小学数学竞赛：还原问题(一).教师版解题技巧 培优 易错 难
本讲主要学习还原问题．通过本节课的学习，可以使学生掌握倒推法的解题思路以及方法，并会运用
倒推法解决问题．
1. 掌握用倒推法解单个变量的还原问题．
2. 了解用倒推法解多个变量的还原问题．
3. 培养学生“倒推”的思想．
一、还原问题
已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题．
还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推．
二、解还原问题的方法
在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反． 方法：倒推法。
口诀：加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数．
关键：从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变
减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号.
模块一、计算中的还原问题
【例 1】 一个数的四分之一减去5，结果等于5，则这个数等于_____。 【考点】计算中的还原问题 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，二试，第3题 【解析】 方法一：倒推计算知道，一个数的四分之一是10，所以这个数是104=40?。
方法二：令这个数为x ,则1
554
-=x ，所以40=x 。
【答案】40
【例 2】 某数先加上3，再乘以3，然后除以2，最后减去2，结果是10，问：原数是多少？ 【考点】计算中的还原问题 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法
例题精讲
知识点拨
教学目标
6-1-2.还原问题（一）
【解析】 分析时可以从最后的结果是10逐步倒着推。这个数没减去2时应该是多少？没除以2时应该是多
少？没乘以3时应该是多少？没加上3时应该是多少？这样依次逆推，就可以推出某数。如果没减去2，此数是：10212+=，如果没除以2，此数是：12224?=，
如果没乘以3，此数是：2438÷=，如果没加上3，此数是：835-=，综合算式()1022335+?÷-=，原数是5. 【答案】5
【巩固】 (2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)有一个数，如果用它加上6，然后乘以6，再减去6，
最后除以6，所得的商还是6，那么这个数是 。
【考点】计算中的还原问题 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】可逆思想方法 【解析】 将最终结果进行逆推，得： 666661（）?+÷-= 【答案】1
【巩固】 一个数减16加上24，再除以7得36，求这个数．你知道这个数是几吗? 【考点】计算中的还原问题 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 3672416244?-+=. 【答案】244
【巩固】 少先队员采集树种子，采得的个数是一个有趣的数．把这个数除以5，再减去25，还剩25，你算一
算，共采集了多少个树种子?
【考点】计算中的还原问题 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 25255250（）+?=(个)，即共采集了250个树种子. 【答案】250
【例 3】 学学做了这样一道题：某数加上10，乘以10，减去10，除以10，其结果等于10，求这个数．小
朋友，你知道答案吗？
【考点】计算中的还原问题 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 根据题意，一个数，经过加法、乘法、减法、除法的变化，得到结果10，应用逆推法，由结果10，
根据加、减法与乘、除法的互逆运算，倒着往前计算．
1010100?=，10010110+=，1101011÷=，11101-=综合算式为： 1010101010100101010110101011101（）（）?+÷-=+÷-=÷-=-=所以这个数为1.
解这种还原问题的关键是从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号，这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法．
【答案】1
【巩固】 学学做了这样一道题：一个数加上3，减去5，乘以4，除以6得16，求这个数．小朋友，你知道
答案吗？
【考点】计算中的还原问题 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 根据题意，一个数，经过加法、减法、乘法、除法的变化，得到结果16，应用逆推法，由结果10，
根据加、减法与乘、除法的互逆运算，倒着往前计算．
16
÷×6
4
-5
+3
某数
综合算式为：16645396453245329326?÷+-=÷+-=+-=-=
【答案】26
【巩固】 一次数学竞赛颁奖会上，小刚问老师：“我得了多少分？”老师说：“你的得分减去6后，缩小2倍，
再加上10后，扩大2倍，恰好是100分”．小刚这次竞赛得了多少分？
【考点】计算中的还原问题 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 从最后一个条件“恰好是100分”向前推算．扩大2倍是100分，没有扩大2倍之前应是100250÷=
(分)，加上10后是50分，没有加上10前应是501040-=(分)，缩小2倍是40分，那么没有缩小2倍前应是40280?=(分)，减去6后是80分，没有减去6前应是80686+=(分)．综合列式为：(100210)26402686÷-?+=?+=(分)，所以，小刚这次竞赛得了86分．
【答案】86
【例 4】 牛老师带着37名同学到野外春游．休息时，小强问：“牛老师您今年多少岁啦?”牛老师有趣地回答：
“我的年龄乘以2，减去16后，再除以2，加上8，结果恰好是我们今天参加活动的总人数．”小朋友们，你知道牛老师今年多少岁吗?
【考点】计算中的还原问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 采用倒推法，我们可以从最后的结果“参加活动的总人数”即38倒着往前推．这个数没加上8时应是
多少？没除以2时应是多少？ 没减去16时应是多少？没乘以2时应是多少？
这样依次逆推，就可以求出牛老师今年的岁数．没加上8时应是：38830-=；没除以2时应是：30260?=；没减去16时应是：601676+=；没乘以2时应是：76238÷=，即[388216] 238（）-?+÷=(岁).
【答案】38岁
【巩固】 小智问小康：“你今年几岁？”小康回答说：“用我的年龄数减去8，乘以7，加上6，除以5，正好
等于4. 请你算一算，我今年几岁？”
【考点】计算中的还原问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 分析时可以从最后的结果是4逐步倒着推。这个数没除以5时应该是多少？没没加上6时应该是多
少？没乘以7时应该是多少？没减去8时应该是多少？这样依次逆推，就可以推出某数。 如果没除以5，此数是：4520?= 如果没加上6，此数是：20614-= 如果没乘以7，此数是：1472÷= 如果没减去8，此数是：2810+=
综合算式：()4567810?-÷+=（岁） 答：小康今年10岁。
【答案】10岁
【巩固】 在小新爷爷今年的年龄数减去15后,除以4,再减去6之后,乘以10,恰好是100,问:小新爷爷今年多少
岁数?
【考点】计算中的还原问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 采用倒推法，(100106)41579÷+?+=（岁）. 【答案】79岁
【巩固】 学学和思思在游玩时，遇到一位小神仙，他们问这位神仙：“你一定不到100岁吧！”谁知这位神仙
摇摇头说：“你们算算吧！把我的年龄加上75，再除以5，然后减去15，再乘以10，恰好是2000岁．”小朋友，你知道这位神仙现在有多少岁吗？
【考点】计算中的还原问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 这就是一个还原问题，可以用倒推法解决．从结果“2000”逐步倒着推，没乘10时是多少？没减去15
时是多少？没除以5时是多少？没加75时是多少？这样依次倒推，就可以知道神仙的年龄了． ⑴ “乘以10，恰好是2000”，不乘10时，应该是：200010200÷= ⑵ “减去15”是200，不减15时，应该是：20015215+= ⑶ “除以5”是215，不除以5，应该是：21551075?=
⑷ 现在的年龄加上75是1075，如果不加75，这个数是：1075751000-= 也就是神仙现在的年龄是1000岁．
验算：按原题顺序进行列式计算，看最后是否等于2000，如果等于2000，则解题正确．
1000751075+=，10755215÷=，21515200-=，200102000?=．
【答案】2000岁
【例 5】 在电脑里先输入一个数，它会按给定的指令进行如下运算：如果输入的数是偶数，就把它除
以2；如果输入的数是奇数，就把它加上3．同样的运算这样进行了3次，得出结果为27．原来输入的数可能是 ．
【考点】计算中的还原问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】可逆思想方法，第七届，小数报 【解析】 本题用倒推法解．最后结果是27，上一步的结果是54，再上一步的结果是108或51，原来输入的
数是216，105，102．思路如下： 21610810554271025148(24()不合意)不合意?????
????
?
????????
????
n n
【答案】216或105或102，答案不唯一
【例 6】 假设有一种计算器，它由A 、B 、C 、D 四种装置组成，将一个数输入一种装置后会自动输出
另一个数。各装置的运算程序如下： 装置A ：将输入的数加上6之后输出；装置B ：将输入的数除以2之后输出；装置C ：将输入的数减去5之后输出；装置D ：将输入的数乘以3之后输出。这些装置可以连接，如在装置A 后连接装置B ，就记作：A →B 。例如：输人1后，经过A →B ，输出3．5。(1)若经过A →B →C →D ，输出120，则输入的数是多少?(2)若经过B →D →A →C ，输出13，则输入的数是多少?
【考点】计算中的还原问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，二试，第16题，可逆思想方法 【解析】 方法一：逆向考虑。（1）输入到D 的数为120÷3=40，输入到C 的数为40+5=45，输入到B 的数为
45×2=90，所以输入到A 的数是90-6=84。（2）输入到C 的数是13+5=18，输入到A 的数是18-6=12，输入到D 的数是12÷3=4，所以输入到B 的数是4×2=8。
方法二：(1)设输入的数是x ，则(653=1202x +??
-? ???
解得，x =84。(2)设输入的数是y ，则365=132y ?+-，
解得y =8
【答案】（1）84；（2）8
【例 7】 哪吒是个小马虎，他在做一道减法题时，把被减数十位上的6错写成9，减数个位上的9错写成6，
最后所得的差是577，那么这道题的正确答案应该是多少呢？
【考点】计算中的还原问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 被减数十位上的6变成9，使被减数增加906030-=，差也增加了30；减数个位上的9错写成6，
使减数减少了963-=，这样又使差增加了3，这道题可以说成：正确的差加上30后又加上3得577，求正确的差．所以列式得：577969060544（）（）----=．这题的正确答案应该是544．
【答案】544
【巩固】 小马虎在做一道加法题时，把一个加数个位上的9看作6，十位上的6看作9，结果和是174，那么
正确的结果应该是多少呢？
【考点】计算中的还原问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 我们可以这样理解这道题的意思：一个数(正确答案)，由于小马虎两次错误的计算，变成了另一个数
(错误结果)，我们知道引起这种变化的原因是：
①把个位上的9看作6，这就相当于把正确答案减少了963-= ②把十位上的6看作9，这就相当于把正确答案增加了：109630（）?-= 这样原题就变成了“一个数减去3，再加上30，所得结果是174，求这个数．”我们只要把少加的加上，多加的减去，就可以求出正确的结果：174961096174330147（）（）+--?-=+-=
【答案】147
【巩固】淘气在做一道减法时，把减数个位上的9看成了3，把十位上的4看成了7，得到的结果是164，请你帮淘气算算正确的答案应该是多少呢?
【考点】计算中的还原问题【难度】2星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】164(7349) 188
+-=或164630188
-+=.
【答案】188
【巩固】小新在做一道加法题，由于粗心，将个位上的5看作9，把十位上的8看作3，结果所得的和是123．正确的答案是多少？
【考点】计算中的还原问题【难度】2星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】倒推法，把个位上的5看作9，相当于把正确的和多算了4，求正确的和，应把4减去；把十位上的8看作3，相当于把正确的和少算了50，求正确的和，应把50加上去．所以正确的和是：
+---=.
+-=.即：123(8030)(95)169
12350 4169
【答案】169
模块二、单个变量的还原问题
【例 8】一只猴吃63只桃，第一天吃了一半加半只，以后每天吃前一天剩下的一半再加半只，则_________ 天后桃子被吃完。
【考点】单个变量的还原问题【难度】2星【题型】填空
【关键词】希望杯，4年级，1试
【解析】通过画表格的方式,可知答案是6.
【答案】6天
【例 9】乒乓球从高空落下，到达地面后弹起的高度是落下高度的一半，如果乒乓球从8米的高度落下，那么弹起后再落下，则弹起第_______次时它的弹起高度不足1米。
【考点】单个变量的还原问题【难度】2星【题型】填空
【关键词】走美杯，三年级，初赛，可逆思想方法
【解析】弹起第一次时变为4米，弹起第二次时变为2米，弹起第三次时变化为1米，第4次弹起时不足1米，所以弹起第4次时不足1米。
【答案】4次
【例 10】李奶奶卖一筐鸡蛋，第一位客人买走了一半少2个，第二位客人又买走了剩下的一半多2个，第三位客人把剩下的5个鸡蛋全部买走了．老婆婆的篮子里原来有个鸡蛋．
【考点】单个变量的还原问题【难度】2星【题型】填空
【关键词】学而思杯，1年级，第12题，可逆思想方法
【解析】用倒堆的方法，第二位客人没有买走之前共有7714
+=（个），第一位客人没买走之前就是14212
-=（个），121224
+=（个）．
<考点> 数学方法倒退法
【答案】24个
【巩固】小红看一本故事书，第一天看了这本书的一半又10页，第二天看了余下的一半又10页，第三天看了10页正好看完。这本故事书共有页。
【考点】单个变量的还原问题【难度】2星【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，一试，第13题，可逆思想方法
【解析】第三天看的10页等于第一天看了余下的一半少10页，所以第一天看了余下了（10+10）×2=40页，所以原来有（40+10）×2=100页.
【答案】100页
【例 11】学学看到太上老君正在用一根绳子拴宝葫芦，第一次用去全长的一半还多2米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩9米，那么这根绳子原来有多少米呢？
【考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 根据题意，画图倒推分析：15924+=(米)
2410228（）-?=(米)
282260（）+?=(米)
所以，这根绳子全长60米． 【答案】60米
【巩固】 一个人沿着公园马路走了全长的一半后，又走了剩下路程的一班，还剩下1千米，问：公园马路全
长多少千米？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 如图：
采取倒推的方法，1千米是第一次剩下的路程的一半，所以第一次剩下路程就是122?=（千米）。而第一次剩下的路程2千米又是全程长的一半，所以全程长为224?=（千米）。 答：公园马路全长为4千米。
【答案】4千米
【巩固】 一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最
后还剩7米。这捆电线原来有多少米？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 为了帮助同学们分析数量关系，可依照题意画出右图。从线段图上可以看出：
（1）7151012+-=（米），就是第一次用去后余下的一半。
（2）12224?=（米），就是余下的电线长度。 （3）24327+=（米），就是全长的一半。 （4）27254?=（米），就是原来电线的长度。 综合列式计算：()71510232??+-?+???(1223)2=?+?272=?54=（米） 答：这捆电线原来有54米。
【答案】54米
【巩固】 甲在加工一堆零件，第一天加工了这堆零件的一半又10个，第二天又加工了剩下的一半又10个，
还剩下25个没有加工，问：这批零件有多少个？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 如右图所示，按照图与题目的条件，
可以有如下算式：251035+=（个），35270?=（个），701080+=（个），802160?=（个）列综合算式：[](2510)2102160+?+?=，答：这批零件共有160个。
【答案】160个
【巩固】 食堂买进一批大米，第一天吃了全部的一半少28千克，第二天吃了余下的一半少8千克，最后剩下
122千克．这批大米共有多少千克？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 列式为：[1228228]22002400（）-?-?=?=(千克) 【答案】400千克
【巩固】 山顶上有棵桃数，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了总数的一半多2个，第二天又偷吃了剩下的一
半多2个，这时还剩1个，问：树上原来有多少个桃子？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 2[1222]16（）?+?+=(个). 【答案】16个
【例 12】 盒子里有若干个球。小明每次拿出盒中的一半再放回一个球。这样共操作了7次，袋中还有3个球。
袋中原有（ ）个球。
【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3年级，初赛 【解析】 倒退法：如，第7次操作前，还剩()3124-?=个球。
100
66
10
6
4
3
【答案】4个球
【例 13】 有一个培养某种微生物的容器，这个容器的特点是：往里面放入微生物，再把容器封住，每过一
个夜晚，容器里的微生物就会增加一倍，但是，若在白天揭开盖子，容器内的微生物就会正好减少16个。小丽在实验的当天往容器里放入一些微生物，心急的她在第二、三、四天斗开封看了看，到第五天，当她又启封查看时，惊讶地发现微生物都没了。请问：小丽开始往容器里放了 个微生物？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第15题 【解析】 还原倒推：0←16←8←24←12←28←14←30←15所以原来容器内放了15个微生物. 【答案】15个
【例 14】 小丽用4元买了一本《童话大王》，又用剩下的钱的一半买了一本《儿童时代》，买钢笔又用去第二
次剩下的钱的一半多1元，最后还剩4元，问：小丽原有多少钱？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 用倒推法，第二次剩下的一半是415+=（元），第二次剩下5210?=（元），第一次剩下10220
?=（元），原来有20424+=（元）。列综合算式：()4122424+??+= 答：小丽原有24元。
【答案】24元
【巩固】 有一筐苹果，甲取出一半又1个；乙取出余下的一半又1个；丙取出再余下的一半又1个，这时筐
里只剩下1个苹果。这筐苹果共值6元6角，问每个苹果平均值多少钱？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】
从上面的线段图可以看出：
最后剩下的1个再加上丙取出的1个就是再余下的一半，即2个是再余下的一半，因此，再余下的就是224?=（个）；4个再加上乙取出的1个就是余下的一半，所以，甲取出后余下的就是5210?=（个）；10个再加上甲取出的1个就是全筐的一半，所以，全筐苹果的总数是11222?=（个）。22个苹果共值6元6角，于是可求出每个苹果平均值多少钱？先求有多少个苹果：[]{}21222（
1+1）2+1??+?=（个）再求每个苹果平均值多少钱：66223÷=（角），每个苹果平均值3角钱。
【答案】3角
【例 15】 思思看到织女在织布，她把一段五彩布第一次剪去一半，第二次又剪去余下的一半，这时还剩下8
米，你知道这段五彩布原来长多少米吗？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 根据题意，画出线段图，倒推分析．
8216?=(米)
16232?=(米)
所以这段五彩布原来长32米． 【答案】32米
【巩固】 一群蚂蚁搬家，原存一堆食物．第一天运出总数的一半少12克．第二天运出剩下的一半少12克，
结果窝里还剩下43克．问蚂蚁家原有食物多少克?
【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 采用倒推法，教师可画线段图帮助学生理解.如果第二天再多运出12克，就是剩下的一半，所以第
一天运出后，剩下的一半重量是431231-=(克)；这样，第一天运出后剩下的重31262?=(克).那么同理，一半的重量是621250-=(克)，原有食物502100?=(克).即 [4312212]2100（）-?-?=(克).
【答案】100克
【巩固】 一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最
后还剩7米，这捆电线原有多少米？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 由逆推法知，第二次用完还剩下15+722=(米)，第一次用完还剩下(2210)224-?=(米)，原来电线
长(243)254+?=(米)，(15710)23254+-?+=?=(米).
【答案】54米
【例 16】 工程队要修一条小路，第一天修了全长的一半多6米，第二天修了余下的一半少20米，第三天修
了30米，此时还剩下14米没有修，则这条小路长 米。
【考点】单个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】可逆思想方法，2008年，陈省身杯
【解析】 如图1所示，先根据线段图理清数量关系，可得全长为：()143020262108??+-?+?=??（米）
。
【答案】108米
【巩固】 修建一条下水道，第一周修了全长的一半多12米，第二周修了剩下的一半少12米，第三周修了
30米，最后还剩18米，这条下水道长多少米？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 如下图，从图中可知30181236+-=是第一周修后余下的一半，3621284?-=米是下水道全长的一
半．
列式为：[301812212]2842168（）+-?+?=?=(米)，所以，这条下水道长168米．画图法的关键：标好有倍数关系的位置。
【答案】168米
【例 17】 货场原有煤若干吨。第一次运出原有煤的一半，第二次运进450吨，第三次又运出现有煤的
一半又50吨，结果剩余煤的2倍是1200吨。货场原有煤多少吨？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 这道题由于原有煤的总吨数是未知的，所以要想顺解是很不容易的，我们先看图4，然后再分析。
结合上面的线段图，用倒推法进行分析，题中的数量关系就可以跃然纸上，使学生们一目了然。
根据“剩余煤的2倍是1200吨”，就可以求剩余煤的吨数；根据“第三次运出现有煤的一半又50
吨”和剩余煤的吨数，就可以求出现有煤的一半是多少吨，进而可求出现有煤的吨数；用现有煤
的吨数减去第二次运进的450吨，就可以求出原有煤的一半是多少，最后再求出原有煤多少吨。
÷=（吨）
（1）剩余煤的吨数是：12002600
+=（吨）
（2）现有煤的一半是：60050650
?=（吨）
（3）现有煤的吨数是：65021300
-=（吨）
（4）原有煤的一半是：1300450850
?=（吨）
（5）原有煤的吨数是：85021700
答：货场原来有煤1700吨。
【答案】1700吨
【例 18】从前，有一位樵夫，整天幻想着遇见神仙，求得一种不花气力就能发财的窍门．一天，有一位老人突然来到樵夫面前，对他说：“你不是想见到神仙吗？”樵夫苦苦哀求：“我在山里砍了三天
柴，累的要死要活，才卖的这么几个钱．您老人家神通广大，恳求您指点，使我可以不费力气
就能得到钱吧！”老人指着东边的一座石头桥说：“好吧！从现在开始，你只要从那座桥上每走
一个来回，口袋里的钱都会增长一倍，但是每次回来都要付给我24个钱作为报酬．”樵夫高兴的
在桥上走了一个来回，他数一数口袋里的钱，果然增长了一倍．他拿出24个钱交给神仙，然后
又向桥上走去，等到他第三次回来，把24个钱交给神仙后，摸一摸口袋，里面竟然一个钱都没
有了．正当他焦急不安的时候，神仙按原数把钱留下飘然而去，并留下一句话：“年轻人，不劳
而获可不行啊！”故事读完了，小朋友们，你能不能算出，樵夫原来有多少钱呢？
【考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】这个故事里包含的算题是：樵夫每次在桥上走一个来回，口袋里面的钱会增长1倍，樵夫第三次回来，交付24个钱给神仙后，他的口袋里就一无所有了．问樵夫原来有多少钱？我们可以倒着想，最后樵夫从桥上回来后，口袋里面只有24个钱，第二次交给神仙后有24212
÷=（个）钱，从桥上回来后有：122436
÷=（个）钱，第一次从桥+=（个）钱，也就是第一次交给神仙后还剩：36218
上回来后有：182442
+=（个）钱，所以樵夫一开始有：42221
÷=（个）钱．
【答案】21个
【巩固】有一个财迷总想使自己的钱成倍增长，一天他在一座桥上碰见一个老人，老人对他说：“你只要走过这座桥再回来，你身上的钱就会增加一倍，但作为报酬，你每走一个来回要给我32个铜板．”财迷算了算挺合算，就同意了．他走过桥去又走回来，身上的钱果然增加了一倍，他很高兴地给了老人32个铜板．这样走完第五个来回，身上的最后32个铜板都给了老人，一个铜板也没剩下．问：财迷身上原有多少个铜板？
【考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】第五次回来时有32个铜板，表明第五次走时有16个铜板（因为走到桥对面钱数要增加一倍），又表明第四次回来时有48个铜板（因为要给老人32个铜板）……依次类推即可．推算过程可列表如下：
所以原来有31个铜板．
【答案】31个
【巩固】某人发现了一条魔道，下面有一个存钱的小箱子，当他从魔道走过去的时候，箱子里的一些钱会飞到人的身上使人身上的钱增加一倍，这人很高兴；当他从魔道走回来时，身上的钱会飞到箱子里，使箱子里的钱增加一倍；这人一连走了3个来回后，箱子里的钱和人身上的钱都是64枚一元的硬币，那么原来这人身上有多少元？箱子里有多少元？
【考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】已知这个人和钱箱里最后都有64元，采用倒推法解题，列表如下：
所以最开始这个人身上有43元，箱子里有85元．
【答案】85元
【例 19】学学和思思见到一种神奇的虫子，它每小时就长一倍，1天能长到20厘米，聪明的小朋友，你知道小虫长到5厘米时需要多少小时吗？
【考点】单个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】小虫每小时长一倍的意思是：第二个小时的身长是第一个小时的2倍，第三个小时的身长是第二个小时的2倍，第四个小时的身长是第三个小时的2倍，……1天是24个小时，从24小时能长到20厘米开始，往前倒推，当长到20210
÷=(厘米)时，就是第23个小时，以此倒推．(方法一)用倒推法解：20225
÷÷=(厘米)，241122
--=(小时)
(方法二)用列表倒推法解：
【答案】22小时
【例 20】桃园里来了第一群猴子，吃去桃子总数的一半又半个；第二群猴子又来吃掉剩下桃子的一半又半个；第三群猴子又来吃掉剩下桃子数的一半又半个.这时桃园里还只有100个桃了.那么园中原有多
少桃？
【考点】单个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法 【解析】 第三群猴没吃，相应有桃：(1000.5)2201+?=(个)
第二群猴没吃，相应有桃：(2010.5)2403+?=(个)
第一群猴没吃，相应有桃(即桃园中原有桃)：(4030.5)2807+?=(个)
【答案】807个
【巩固】 山顶上有棵桃数，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了总数的一半多2个，第二天又偷吃了剩下的一
半多2个，这时还剩1个，问：树上原来有多少个桃子？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 2[1222]16（）?+?+=(个). 【答案】16个
【巩固】 某水果店进一批水果，运进的是原来的水果的一半，原有的蔬菜卖出去一半以后，恰好与现在的水
果同样多，已知原有的水果800千克，求原有的蔬菜多少千克？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 可逐步算出：运进水果8002400÷=（千克），现有水果8004001200+=（千克），原有蔬菜
120022400?=（千克）
。 【答案】2400千克
【例 21】 玩具店的玩具每卖出一半，就补充20个，到第十次卖出一半后恰好余下20个，则玩具店原有玩
具___个。
【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第4题，可逆思想方法 【解析】 20×2=40，40÷2+20=40，所以前9次每次都剩40个，原有也是40个。 【答案】40个
【巩固】 牧羊人赶一群羊过10条河，每过一条河时都有一半的羊掉入河中，每次他都捞上3只，最后清查
还剩6只。这群羊在过河前共有 只。
【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第6题 【解析】 用还原法，过第10条河之前，有（6-3）×2＝6只，因此他过每一条河之前都有6只羊，最初也共有
6只。
【答案】6只
【巩固】 牧羊人赶一群羊过10条河，每过一条河时都有三分之一的羊掉人河中，每次他都捞上3只，最后
清查还剩9只。这群羊在过河前共有________只。
【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，二试，第4题 【解析】 采用逆推的方法，最后剩的9只羊中有3只是上一次捞上来的，有6只是上次没有掉入河中的，也
就是上次全部羊的2
3
，那么可知前一次过河前羊的数量也是9只，同理可得最初羊的总数也是9.
【答案】9只
【例 22】 甲、乙、丙三人一起去钓鱼，他们将钓得的鱼放在一个鱼篓中，就在原地躺下休息，结果都睡着
了。甲先醒来，他将鱼篓中的鱼平均分成3份，发现还多一条，就将多的这条鱼扔回河中，拿着其中的一份鱼回家了。乙随后醒来，他将鱼篓中现有的鱼平均分成3份，发现还多一条，也将多的这条鱼扔回河中，拿着其中的一份鱼回家了。丙最后醒来，他也将鱼篓中的鱼平均分成3份，这时也多一条鱼。这三个人至少钓到__________条鱼。
【考点】单个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，一试，第12题 【解析】 根据题意画图分析如下：
当1=a 时，2317?=+=b b ，无法被2整除 当2=a 时，317+=a ，无法被2整除
当3=a 时，()3125=+÷=b a ，()3128=+÷=c b ∴ 三人至少钓得()38125条?+=
【答案】25条
【巩固】 有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又
一枚；剩下的再四等分又剩一枚.问：原来至少有多少枚棋子？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】可逆思想方法 【解析】 棋子最少的情况是最后一次四等分时每份为1枚.由此逆推，得到第三次分之前有1415?+=(枚)，
第二次分之前有54+121?=(枚)，第一次分之前有214+1=85?(枚).所以原来至少有85枚棋子.
【答案】85枚
初中数学竞赛常用解题方法(代数)
初中数学竞赛常用解题方法（代数） 一、 配方法 例1练习：若2 ()4()()0x z x y y z ----=，试求x+z 与y 的关系。 二、 非负数法 例21 ()2 x y z =++. 三、 构造法 （1）构造多项式 例3、三个整数a 、b 、c 的和是6 的倍数.，那么它们的立方和被6除，得到的余数是( ) (A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 不确定的 （2）构造有理化因式 例4、 已知(2002x y =. 则2 2 346658x xy y x y ----+=___ ___。 （3）构造对偶式 例5、 已知αβ、是方程2 10x x --= 的两根，则4 3αβ+的值是___ ___。 （4）构造递推式 例6、 实数a 、b 、x 、y 满足3ax by +=,2 2 7ax by +=,3 3 16ax by +=,4 4 42ax by +=.求5 5 ax by +的值___ ___。 （5）构造几何图形 例7、（构造对称图形）已知a 、b 是正数，且a + b = 2. 求u =___ ___。 练习：（构造矩形）若a ，b 形的三条边的长，那么这个三角形的面积等于___________。 四、 合成法 例8、若12345,,,x x x x x 和满足方程组
123451234512345123451234520212 224248296 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=++++=++++=++++=++++= 确定4532x x +的值。 五、 比较法（差值比较法、比值比较法、恒等比较法） 例9、71427和19的积被7除，余数是几？ 练习：设0a b c >>>，求证：222a b c b c c a a b a b c a b c +++>. 六、 因式分解法（提取公因式法、公式法、十字相乘法） 1221()(...)n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++ 1221()(...)n n n n n n a b a b a a b ab b ----+=+-+-+ 例10、设n 是整数，证明数3 231 22 M n n n =++为整数，且它是3的倍数。 练习：证明993 991993 991+能被1984整除。 七、 换元法（用新的变量代换原来的变量） 例11、解方程2 9(87)(43)(1)2 x x x +++= 练习：解方程 11 (1) 11 (1x) x =. 八、 过度参数法（常用于列方程解应用题） 例12、一商人进货价便宜8%，售价保持不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前的 %x 增加到(10)%x +，x 等于多少? 九、 判别式法（24b ac ?=-判定一元二次方程20ax bx c ++=的根的性质） 例13、求使2224 33 x x A x x -+=-+为整数的一切实数x. 练习：已知,,x y z 是实数，且 2 2 2 212 x y z a x y z a ++=++=
小学数学教师自培计划3篇
小学数学教师自培计划3篇 （1293字） 时光飞逝，转眼之间一年之初又来到了。在工作的几年中，有工作的艰辛与压力，也有收获的喜悦与欣慰，有求索的痛苦，也有成长的快乐。教育教学道路上的成长要有明确的目标和合理的规划。为此，我对自己今年的成长作了一个计划。 一、自我剖析 (一)优势分析 1．作为年青人，我有着充沛的精力和灵活的头脑，对不断完善、更新的数学教育理念有着较强的适应能力。 2．能在数学教学中熟练地运用现代教育媒体并会制作教学课件，并在工作中进行摸索、探究。 3．具有较强的事业心，平时能对照教育理论来反思自己课堂教学的成功经验和失败教训，逐渐形成具有个性的教学设计。 4．敢于在教学中做一些尝试，努力钻研，实行分层教学，做到因材施教， 注重爱护和培养学生的好奇心和求知欲，保护学生的探索精神、创新思维，营造崇尚真知的氛围。 (二)存在问题 1．在课堂教学中创新意识不强，对学生知识要求多，
能力训练考虑少，偏重学生分数，而较少考虑学生个性。 2．较注重纯学科的教学，而忽略了跨领域学习的必要性，使学科教学有时显得有些封闭性。 3．科研中带有自己的感情色彩，对于感兴趣的内容钻研得较多。 二、自我定位 在以后的工作中，广求良师，博览群书，努力探索，成为知识渊博、教学技艺精湛的骨干教师。 三、自我发展 (一)学习方面 1、每学期听课不少于20节，通过对相关学科的学习与了解，促进本学科与其他学科之间的联系与沟通，寻找教学规律，为培养学生的综合素质打下扎实的基础。 2、针对日新月异的教育理念，我要坚持认真地阅读《小学数学教育》、《小学数学教学设计》等杂志，积极上教育类网站，汲取先进的教育教学理论，吸收成功的教育教学经验，探讨教育教学工作中的得与失，从而快速提高自己的教育教学水平。 3、每年写1-2篇高质量的数学方面的研究论文，力求能获区、市级以上奖， (二)教学方面 1、继续学习新基础教育理念，应用于我校的自主性学
最新小学数学教师国培创新素养研修总结
小学数学教师国培创新素养研修总结 通过学习后，我深深地感受到作为一名人民教师所肩负的神圣而伟大的责任，首先作为教师应该具备基本的教师素质,从品德、学识、能力等方面来不断的提高自己,其教师是人类永恒的职业，但社会对教师条件的选择并不永恒，时代对教师的要求越来越高。教师良好的素质并非与生俱来，而是通过学校教育、继续教育即终身教育才能获得。新的教育观念认为终身教育和终身学习是当代教师成长和发展的必由之路。通过学习，我学到了很多东西，也更加感到自己的不足。 作为教师，我对教师的职业幸福感有了更新的认识，因为我们每天面对的是一群朝气蓬勃的孩子，他们每天都在变化，都在成长。和他们在一起，只要我们用心，我们就会发现他们的可爱，我们就会意识到我们在与他们一起成长，我们就会感到自己永远年轻，我为我所担任的教师这个角色而骄傲而自豪，我们从事的职业确实是太阳底下最光辉的事业。通过对教师素质的学习使自己更明确地认识到，做为一名人民的教师的角色，肩负着振兴教育，振兴民族，培养合格人才的重托，其文化素质和思想道德素质将直接影响青少年培养的质量，因此，做为教师应懂得“教育的最高原则是尊重人，学生不只是受教育的对象，他们首先是人，是正在成长中的青少年，他们有权接受教育，正像他们有权犯错误一样”。所以教师实施教育时要面向全体学生，使所有的受教育者主动地将人类在认知、审美、情感、品德、劳动等方面的文明成果，内化为自己的内在品质，使身心两方面的潜能
都充分得提高和发挥。其次，通过学习，我更加意识自己才疏学浅，意识到自己教学理念的落后，教法的陈旧，我应该强迫自己改变自己的习惯，利用学校创设的学习平台，转变教学理念，认真学习新课标，诚心向各位同仁、学者、专家学习，使自己不断地进步。 新时代中国教师的角色是贯彻执行国家的教育方针政策，培养为社会主义现代化建设服务的具有良好思想道德素质、文化素质、身体素质、心理素质、劳动素质和审美素质的新型人才。一所学校能否坚持社会主义的办学方向，能否培养社会主义事业的建设者和接班人？关键在教师。教师首先要以德育人。教育思想、教育观点对教育事业的发展至关重要，正确的教育观可以造就人才，错误的教育思想则会摧残人才。教师的政治取向、道德素质、教育观、世界观和人生观对学生起直接影响作用。大多数的教师政治立场坚定，高风亮节终身不变，但也有少数人在风云变幻的社会环境中迷失方向，腐败堕落，甚至误人子弟。教书者先强己，育人者先律己，教师要终身加强政治思想修养、加强现代教育理论、国家教育政策、法规和文件的学习；坚定共产主义信念、坚持社会主义方向、坚持正确的教育观、人才观和价值观；“学为人师，身为世范”，引导学生树立各种正确观念，教育学生学会求知、学会做人、学会创造，培养学生成为“全面建设小康社会”的新型人才。 学校教育使我们获得的知识无疑会让我们终身受益，但不能完全适应现代化的教育需要。知识挑战的严峻程度有目共睹，每门学科都是学无止境。专业知识更新周期越来越短，旧知识淘汰很快，我们随
小学数学教师国培心得体会
小学数学教师国培心得体会 这次我非常幸运地参加了省教育部“国培计划”培训,在培训学习中，我聆听了专家与名师的报告，他们以鲜活的案例和丰富的知识内涵及精湛的理论阐述，给了我强烈的感染和深深的理论引领，每一天都能感受到思想火花的冲击；结交了一群优秀的同行朋友，探讨了疑惑。在一次次的感悟中，我深感自己的责任重大、知识贫乏。通过这次培训，收获颇丰、感想颇深：眼界开阔了、理念更新了，思考问题也能站在更高的境界，许多疑问得到了解决或者启发。对我们的教育与新课程极其改革又有了一个新的认识。下面将我的学习心得小结如下： 一、在学习中反思。 “一个人能走多远，看他与谁同行，一个人有多优秀，看他有什么人指点，一个人有多成功，看他与什么人相伴，有几位好同伴，将会成就你的一生。”当我听了专家的专题报告后，心中不由地涌起了这句话。在贯彻新《课标》精神的过程中，他们带来的思想道德教育：鼓励教师安心——是最高的境界；激发教师负起责任、开拓视野；勉励教师不辱使命——建设现代教育；激起我心中的许多感想。老师们带来的心理健康教育，使我能对自己的心态作一个调适，让我树立了新的正确的教育观，并能以良好的心态投入到教学工作中；感受到要先做人，再教书。做人要有一个好心态，一个好心情。心理健康，身体才能健康，工作才能愉快。好心态成就一切事业。爱学生，爱同事，轻轻松松地当老师，快快乐乐地当老师，简简单单地当老师，放下包
袱，抛却沉重，让微笑永远绽放在脸上！感悟到要善待学生，尊重生命。要善于引导，做到能理解、宽容。要通过改变目标、改进方法、转换活动、合理宣泄、调整认知等六个方面向名师靠近，促进自己向大师方向发展，学到了自信，学到了方法，感悟至深。就如古人说的“授人以鱼不如授人以渔”。作为一名教师，我认为这种观念的形成是很重要的。有了这个观念的引导，在今后课程改革中尽管可能会碰到各种各样的问题、挫折，坚信我会去探索、解决，而不是躲避，因为希望就在前面！ 我们以前评课总是在关注教师的设计和讲授，而很少关注学生的认知水平和参与度，也很少去体察学生的情感和需求。听了老师的讲座后使我在上课方面有了更深入的了解，提高了自身的素养，为后来开展的讲课比赛奠定了理论基础。由此，我又一次在观念上、理念上发生了巨大的变化。我想，新课改的精神就像阳光一样，普照到了与之相关的每一人。 通过本次培训学习，让我充分领略到专家与名师那份独特的魅力――广博的知识积累和深厚的文化底蕴。“恰当把握教学生成,切实提高教学实效”，使我的心灵受到了很大的冲击。他们关心偏远农村地区中小学的精神，对教育事业深深地爱，让我们感受到无形的压力及敬佩的心情，心中不由联想起“春蚕到死丝方尽，蜡炬成灰泪始干”这一古诗句的深深意境；深深地感受到身为一名教育者的魅力所在；在聆听他讲述自己放下自己的头衔，在武汉市偏远中学当老师的报告后，我的头脑中产生了无限思绪，似有一种无形的动力激励我们
高中数学竞赛解题方法篇(不等式)
高中数学竞赛中不等式的解法 摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。 希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。 不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用. 1．排序不等式 定理1 设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有 1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和) 1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和） 其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或 12...n b b b ===时成立.
（说明： 本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.） 证明：考察右边不等式，并记1 2 12...n r r n r S a b a b a b =+++。 不等式 1 2 12...n r r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n ===时，S 达到 最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有 .n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ （1-1） 事实上， ()()()0n n n n n k r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥ 不等式（1-1）告诉我们当n r n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不 变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了 1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++. 再证不等式左端, 由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端， 得 1211(...)n n n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++
数学教师个人工作计划
数学教师个人工作计划 新的学期新的工作计划，在新学期里，作为一名数学老师会怎么制定工作计划呢？下面是为你整理了“数学教师个人工作计划范文”，希望能帮助到您。 数学教师个人工作计划范文1 一、教研重点： 围绕＂建立新课程下数学学习方式＂，转变学生学习方式。向教研要质量。 二、指导思想 在课程改革的实践中，本着继续全面贯彻新课程理念，深化课程改革的工作思路，以《国家教学课程标准》为指导，以＂减轻学生负担，转变数学学习方式＂为核心，以＂如何在课堂教学中主自探索＂为工作重点，以学校教研组为基地，围绕课程实施中遇到的实际问题展开行之有效的教研活动，制订一系列有效的教学策略。让学生在活动中主动学习，自主发展，帮助学生体验到数学和日常生活的密切联系，培养学生的创新意识、实践能力和学习数学的兴趣。 三、工作思路 围绕一个重心——课程改革；抓好两个重点——校本研究活动和学生数学学习方式的建立；落实三项措施——转变观念，落实行为，完善教研建设；完成四个目标——一个校本研究、一批骨干教师、一个实验课题研究、一批实验成果。 四、具体措施： 1、加强教师学习培训，确立新理念、进一步通过“传、帮、带”
活动，采取“请进来，走出去”或请一些专家来做讲座或现场指导的培训方式，展开观摩、学习和取经活动，取人之长补己之短，开拓教师的视野，更新自己的教学观念，推动青年教师的专业成长。 2、转变教师教学观念，建立新的教学理念。各数学教师更要养成“课后反思”的习惯，在反思中不断更新自己的教学观念、丰富自己的实践经验，为后继实验积累有价值的经验素材。 3、在课堂教学中，紧紧围绕＂建立新课程下数学学习方式”，转变学生学习方式，让学生主动尝试探索，调动学生学习积极度性，发展能力；在此基础上，鼓励教师开展不拘一格的课堂教学改革。 4、根据上级、学校有关活动精神，结合本学科的特点，积极、及时组织教师、学生开展各类竞赛、趣味数学学习活动，挖掘学生的潜力，激发学生的学习兴趣。 5、建立旨在促进教师不断提高的评价体系，以教师自评为重点，加强教师对自己教学行为的诊断和反思：对教材的理解，教学资源的挖掘，课堂上学生是否积极主动学习，获得并掌握了什么。 6、加强课堂教学研究，改进教学方式和方法，提高课堂教学效率（1）领会教材编者的意图，创造性地使用教材，用活教材，特别是对旧教材，要根据新课标理念，重新组合，体现数学与生活的紧密联系。 （2）改进课堂教学，努力体现新理念。课堂是学生焕发活力的地方，教学中要以学生为主体，放手让学生动手实践、自主探索、合作交流。
小学数学国培总结
小学数学国培总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
小学数学国培总结 学习“国培”，我从一开始的渺茫到逐渐的清晰；从陌生到熟悉；回顾学习“国培”期间的点点滴滴，我感慨万分。在此，我感谢国家的国培计划给我们提供了这样一个学习平台，也感谢我们学校领导给予了我这次学习机会。经过这一阶段的学习，本人主要有以下几点深刻的心得： 一、“国培”学习使我们更加全面深刻地理解了新课标理念，为“新”教育全面贯彻实施奠定了基础。 新课标理念强调知识与技能，方法与过程，情感、态度、价值观的三维整合。“国培”专家深入浅出的讲析、诠释无不紧扣新课标理念，对像我这些一线的教师学习后对新课标又有了一个全新的认识，丰实了我们的头脑，使我们领悟到了新时期数学教学的精神实质，为教学能力的提升奠定了基础。聆听了各位专家对人教版数学教材全面分析，对我把握教材的重难点和如何创设数学情境等有了很大的帮助 二、“国培”学习使我们全面了解了小学不同学段、内容的特点，为科学施教找到了“指南针”。 小学教学是一个系统工程，既要整体把握，又要分段了解、分析、探究。“国培”专家各从自己擅长的研究领域谈起，理论结合实例，既注重“言传”，又注重“身教”；让我们很好地把握了不同学段、内容的特征；为我们深入教本探究，科学“备课”，有效施教指明了方向。
三、“国培”学习不但告诉我们“什么”，而且结合实例，告诉我们“怎么做”、“为什么要这么做”，重在提升我们实际的教学本领。 古人曰：“授人以鱼，不如授人以渔”；专家在讲解自己的理论观点时，无不旁征博引，特别是展示了大量优秀教师的课堂实例，在实际课堂教学操作中、在过程的引领中传授知识、讲析技法、阐明理念；可以说这些专家都毫不保留地把自己的“金点子”的本领传授给了我们，让我们在教学的“迷津”中找到方向，在过程的体会、领悟中内化知识，促进自己实际的教学技能的形成、巩固。 “国培”是教育部送给我们一线教师一份“大餐”，一份精神文化的“大餐”，当然，这份大餐的消化、吸收还需要有一个过程，甚至是一个相当长的时间；这就需要我们结合自身实际，对这份弥足珍贵的“营养物质”不断咀嚼、消化吸收，使自己精神的大树长得更加茁壮茂盛，使自己思想的成长不再“缺钙”！ 通过培训，我重新审视了自己，只有通过不断的学习，不断的提高来充实自己，找到自己的人生价值。培训后，让我的业务水平不断地提高，我将带着收获、带着感悟、带着信念、带着满腔热情，在今后的教学中，我要汲取专家的精华，反思自己的教学行为，让自己在教学实践中获得成长，使自己的教学水平和教学能力更上一个台阶。
数学教师国培心得体会范文5篇2021
数学教师国培心得体会范文5篇2021 新的基础教育课程基本目的是：培养学生的创新精神、创新意识和实践能力，以及造就德、智、体、美、劳全面发展的社会主义新人。作为教师，一定要解放思想，改变旧的教学观念，勇于探索，勇于创新，实现课程改革的既定目的。下面是由带来的有关教师国培心得体会5篇，以方便大家借鉴学习。 教师国培心得体会1 通过这次“国培计划”远程项目的培训，使我提高了认识，理清了思路，学到了新的教学理念，找到了自身的差距和不足。我从中学习到了很多知识，而且在国培计划中有幸倾听了众多专家和学者的精彩讲解，使我对教学有了更多新的认识。 经过这次的培训令我感触很大，下面将谈谈我的一些感受： 本次培训给我许多思考，深刻的体会到自己有很多东西要去学习。怎样成为一个受欢迎的数学老师呢?怎样才能在教学过程中给学生营造一个良好的氛围，建立平等、民主、信任的新型师生关系?怎样才能……?我认为要解决的问题还很多，还需要自己不断的积累，不断的去学习。 首先，教育学生，从爱出发。平等的爱，理解的爱，尊重的爱，信任的爱，这些都是老师爱的真谛。不论在生活上，还是在学习上，都要给予学生必要的关心和帮助。只要有了问题时及时处理，处理的方法得当，注意和学生沟通，学生就会信任你，喜欢你。爱学生，还
表现在老师对学生的尊重和信任，以及对学生的严格要求，又要注意对学生的个体差异，区别对待。对成绩比较差的学生，我们老师要采用不同的教育方法，因材施教。师爱要全面、公平。 其次，如何使我们的数学课堂愈发显得真实、自然、厚重而又充满着人情味，作为数学老师的我更要关注的是蕴藏在数学课堂中那些只可意会、不可言传，只有身临其境的教师和孩子们才能分享的东西，要关注那些伴随着师生共同进行的探究、交流所衍生的积极的情感体验。我们不但要传授知识，而且要善于以自身的智慧不断唤醒孩子们的学习热情，点化孩子们的学习方法，丰富孩子们的学习经验，开启孩子们的学习智慧。让我们行动起来，做一位有心的“烹饪师”，让每一节数学课都成为孩子们“既好吃又有营养”的“数学大餐”! 最后，我还认识到：一节好的数学课，新在理念、巧在设计、赢在实践、成在后续。一节好的数学课，要做到两个关注：一是：关注学生，从学生的实际出发，关注学生的情感需求和认知需求，关注学生的已有的知识基础和生活经验……是一节成功课堂的必要基础。二是：关注数学：抓住数学的本质进行教学，注重数学思维方法的渗透，让学生在观察、操作、推理、验证的过程中有机会经历数学化的学习过程，使学生真正体验到数学，乐学、爱学数学。此外，我认识到：一节好的数学课，不要有“做秀”情结，提倡“简洁而深刻、清新而厚重”的教学风格，展现思维力度，关注数学方法，体现数学课的灵魂，使数学课上出“数学味”!而教师的“装糊涂、留空间”也是一种教学的智慧和方法。
小学数学教师自培计划
小学数学教师自培计划 小学教师个人自培计划XX学校 :读书使人明智，读书使人聪慧，读书使人高尚……..以推进素质教育为宗旨，以提高教师的素质为目的，尽快掌握现代教育的方法，认真贯彻执行学校教育工作方针，争做优秀教师为了促进教学实践与理论的结合，提高自己的政治、业务水平和师德修养，使自己的教育教学行为更能符合时代的要求，以满足学校教育教学工作的需要，特制定个人自培计划如下：一、个人学习目标1、提高自身的政治、业务理论水平，提高教育实践能力，以适应形势的发展2、坚持个人理论学习制度，不断提高自己的理论水平认真学习教育书刊，如苏霍姆林斯基的《给教师的建议》、《教育心理学》，《班主任之友》等，并认真做好读书笔记通过读书活动不断提升自己的文化内涵和修养，提高自己运用科学发展观点看待和解决教育问题的能力3、培养提高自身学习的兴趣是理论与实践相结合，逐步提高自己的教育教学水平二、具体方案1、继续学习新基础教育理念，应用于我校的自主性学习教改中，摸索适用于我所带班级的整合点，通过多看、多学、多听、多做来提高自己的钻研能力2、、调整好自己工作的心态，把工作当成是人生的一大趣事来完成用科研的观点去认真备好每一节课，上好每一节课在教学中应面向全体学生，实施启发、探索和讨论式教学，指导学生主动学习，尊重和保护学生的学习自主
性和积极性在课堂上营造民主和谐的氛围，让孩子真正成为学习的主人3、.教学中要因材施教，有的放矢，不盲目追求形式，注重知识产生发展过程，提高生生互动、师生互动的有效性在还给课堂生命气息的同时努力提高课堂效益同时，注重知识的积累，做好实践反思本的撰写，及时总结反思每堂课的优缺点，及时加以调整及改进4、树立终生学习的观念，不断学习各方面的理论知识充实自己，武装自己，提高理论素养，使自己成为一个有内涵的教师向身边的每一位老师学习，学习他们的经验和教学技巧5、倾听学生的心声，关注每个孩子的成长采用激励的策略，以一颗宽容的心对待班级中的点点滴滴及时与学生进行交流与沟通，帮助学生找出数学薄弱的原因6、多看刊物，提高自己的理论水平，做好笔记和摘录，为自己的工作积累经验；同时利用网络，搜索学习先进的教育教学方法以及先进的教育理念和管理经验同时，我还将结合学校发展规划，坚持以校为本，积极投入生命教育课题研究，踊跃参加校本研修，尽我所能，成就自我，为学校的发展做出贡献校本研修教师自培计划时光飞逝，转眼之间一年之初又来到了在工作的几年中，有工作的艰辛与压力，也有收获的喜悦与欣慰，有求索的痛苦，也有成长的快乐教育教学道路上的成长要有明确的目标和合理的规划为此，我对自己今年的成长作了一个计划一、自我剖析(一)优势分析1．作为年青人，我有着充沛的精力和灵
2019年数学国培年中个人学习总结
2019年数学国培年中个人学习总结 通过培训，我不仅对对教师这个职业的内涵有了更深一层的了解，明白教师这个职业的沉重份量，也使我在平时的教学工作上有所进步。各位教授每天授课所讲的内容都是他们几十年站在各个高度对 数学教学的理解，他们都慷慨的毫无保留的传授给我们这些来自全省 各个地方的农村教师们，这些精华为我的工作指明了方向。 一、激发学生潜能，鼓励探索 建构主义学习理论认为，知识不是通过教师传授而得到的，而 是学习者在一定的社会文化背景下，借助其他人(包括教师、家长、同学)的帮助，利用必要的学习资源，主动地采用适合自身的学习方法，通过意义建构的方式而获得的。这要求教师在课堂教学中，要根 据教学内容创设情境，激发学生的学习热情，挖掘学生的潜能，鼓励 学生大胆创新与实践。要让学生在自主探索和合作交流过程中获得基 本数学知识和技能，使他们觉得每项知识都是他们实践创造出来的， 而不是教师强加给他们的。例如“多边形的内角和”一节的教学，大家，讨论了先复习三角形的内角和知识，然后提问：我们如何利用已 有的三角形知识来解决多边形的内角和问题?学生经过讨论不难得出：(1)想办法把多边形转化为三角形;(2)具体转化方法采用添线来分割 多边形，使之成为若干个三角形。在此基础上，可以继续提问：(1)你们有哪些具体的分割方法(从一个顶点出发连对角线、从一边上任
一点出发连不相邻的顶点、从多边形内任一点出发连各顶点等)呢?(2)从一个顶点出发连对角线可以有多少条?那么一个多边形一共应有多少条对角线?(3)根据对角线的条数你能确定是几边形吗?(4)你还能得出其他结论吗?通过学生思考探索，他们总结出许多解决多边形的 内角和的方法，还因势利导探索多边形对角线的有关知识，活跃了学生的思维，锻炼了他们的创新能力。 二、转变教育观念，发扬教学民主 数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经 验基础之上。在教学过程中，教师要转变思想，更新教育观念，把学 习的主动权交给学生，鼓励学生积极参与教学活动。教师要走出演讲者的角色，成为全体学生学习的组织者、激励者、引导者、协调者和 合作者。学生能自己做的事教师不能代劳。教师的主要任务应是在学生的学习过程中，在恰当的时候给予恰当的引导与帮助。要让学生通过亲身经历、体验数学知识的形成和应用过程来获取知识，发展能力。 三、联系生活实际，培养学习兴趣 某些学生不想学习或讨厌学习，是因为他们觉得学习枯燥无味，认为学习数学就是把那些公式、定理、法则和解题规律记熟，然后反 反复复地做题。新教材的内容编排切实体现了数学来源于生活又服务
小学数学竞赛一几种解题方法
一几种解题方法 1．28分。提示：按从多到少顺序枚举。如果小军是两个1角硬币，那么小红的三枚硬币不可能是18分；当小军是一个1角一个5分时，小红是一个1角，一个2分，一个1分。 2．5种。 3．495。解：因为93＞700，所以只有下面三种可能： 13+33+53=153 13+33+73=371， 33+53+73=495，其中只有495是11的倍数。 4．286。解：此数是13的偶数倍，必能被26整除。由260依次往小试验，260－26=234，234－26=208，都不符合题意。再由260往大试验，260+26=286符合题意。 5．15。解：1与不小于4的任何自然数都不满足题意，所以四个数中没有1。取2，3，4，a，前三个数满足条件，a=5不满足条件，a=6满足条件。所求数为2+3+4+6=15。 6．8种。解：将四个瓶子依次记为A，B，C，D，将四张标签依次记为a，b，c，d。假设A贴对了，其余的都贴错了，有两种情况： ①Aa，Bc，Cd，Db；②Aa，Bd，Cb，Dc。 同理B，C，D贴对了，其余的都贴错了，也各有两种情况。共8种。 7．10种。提示：有0，0，3；0，1，2；0，2，1；0，3，0；1，0，2；1，1，1；1，2，0；2，0，1；2，1，0；3，0，0十种方法。 8．7。解：不拆盒可买的节数有3，5，8，9，10，…因为超过10的数都可以由8，9，10中的某个数加3的倍数形成，而8，9，10都可以不拆盒，所以买7节以上（不含7）都不必拆盒。 9．11。提示：与第8题类似。 10．18支、10支、6支、4支。提示：因为总的铅笔数不多，故可依次假设丁有2支、3支、4支……铅笔。 11．21个。 提示：乙的红球、白球都是偶数。因为甲的红球数是乙的白球数的2倍，并且不超过10，所以乙的白球数只能是2或4。
(完整)小学高年级数学教研组工作计划
小学高年级数学教研组工作计划 一、指导思想 新的一学期里，我们数学教研组把学校总体教学工作作为依据，以提高教研质量和教学质量作为目标，把培养学生的创新精神和实践能力作为我们教研重点，积极探索发掘教研工作的增长点，促进教师专业成长和学生的全面发展，提高数学教学质量。 二、工作目标 针对本学期学校的工作重点，制定以下目标： 1、以“新基础教育理念，新课改精神”为宗旨开展教研活动，促进教师树立全新的教育教学理念。 2、在教研活动中为每位老师创造机会，提高老师的教学业务水平。 3、学习相关理论、撰写教学案例及教学论文，提高教研能力。 4、在课堂教学中，培养学生自觉、主动的学习品质，培养学生自主、创新、实践的学习精神，从而全面提高学生的素质。 三、主要工作 （一）、学习新课改和新基础理论，转变教师的教育观念。 1、组织教师进行教育教学理论学习。 2、每位教师都要立足课堂，用新课标的理念改进教法，树立只有统一的教学理念，没有统一的教法模式，要主动构建具有自我特色的个性化教学模式，在课堂这个舞台上展示自己的风采，让课堂焕发出生命的活力。
3、重视教学过程的反思，每节课后教师要认真地反思教学过程，及时地把教学中点点滴滴的感受写下来，重视备课和反思，要从深层次上去考虑自己的教学工作，写出有质量的教学反思和重建。 （二）定时开展教研活动，提高活动质量和教学效益。 1、组织好业务学习，做到定时、定点、定人、定内容，转变教研理念，改进教研方法，优化教研模式，力争形成浓厚的教学研究氛围。 2、组织教师的听评课活动，落实好教学研讨课。关注对学生学习过程的研究，重视对学生学习习惯的培养，落实减负增效的措施。在听课评课、反思重建中提高每位教师自身的业务水平。 （三）加强青年教师的培养工作，形成强大的数学教师队伍。 1、加强对青年教师的自培工作,走教师专业化发展道路，促进教师在新课改实践中探索并形成具有自身特点的教学方法。关心青年教师的成长，在业务上对青年教师进行指导，做到有目的，有成效，帮助他们尽快适应教学。 2、骨干教师应多听青年教师的课，听后及时反馈，指出不足之处，让青年教师能及时成长。组内要创造更多的机会让新教师展现，给教学带来新的思想。教师之间多交流教学的经验，共同提高数学教学质量。
小学数学国培学习总结三篇
小学数学国培学习总结三篇 【导语】好的总结，能让一年工作完美收官，给领导留下好印象。《小学数学国培学习总结三篇》是为大家准备的，希望对大家有帮助。 篇一 时光飞逝，转眼间，为期三个月的“国培计划（20XX）”贵州省小学数学骨干教师脱产置换研修培训已结束。这次培训内容丰富，形式多样。通过这次国培计划学习，使我不断的完善自己，对新课程、新理念有了一个全面全新的认识；同时也使我认清了自己在教学中的不足，需要学习的东西很多，需要改进的地方也颇多。现就这段时间的学习情况及取得的成绩总结如下： 一、培训学习的经历和感触。 这次培训活动安排合理，内容丰富，专家们的解惑都是我们一线数学教师所关注和急需的领域，是我们发自内心想在这次培训中能得到提高的内容，可以说是“人心所向”。在培训过程当中，我始终流露出积极、乐观、向上的心态。我认为，保持这种心态对每个人的工作、生活都是至关重要的。作为一名新课改的实施者，我应积极投身于新课改的发展之中，成为新课标实施的引领者，与全体教师共同致力于新课标的研究与探索中，共同寻求适应现代教学改革的心路，切实以新观念、新思路、新方法投入教学，适应现代教学改革需要，切实发挥新课标在新时期教学改革中的科学性、引领性，使学生在新课改中获得能力的提高。同时，我还深刻体会到，教材是教学过程中的
载体，但不是的载体。在教学过程中教材是死的，但作为教师的人是活的。在新课程改革的今天，深刻的感受到了学生知识的广泛化，作为新时代的传道、授业、解惑者，名教师，应该不断地学习，不断地增加、更新自己的知识，才能将教材中有限的知识拓展到无限的生活当中去。“我是用教材教，还是教教材？”作为一名教师，应当经常问问自己。而这次专家给了我明确的回答。 二、本次学习的收获 1、坚持不懈地学习教育思想和教育理论，从思想上给自己充电。 “活到老，学到老，知识也有保质期”、“教师不光要有一桶水，更要有流动的水”。作为教师，实践经验是财富，同时也有它的局限性。教师都要有熟练地驾驭课堂的能力，那是在应试教育的模式下形成的，在实施新课程中会不自觉地走上老路。新课程标准出台后，教材也做了很大的修改，教材体系打乱了，熟悉的内容不见了，造成许多的不适应，教师因此对课程改革产生了抵触情绪，这种抵触情绪我也有过，一开始都感到新教材不好教。正是本次的“国培”小学数学学习，使我从教学理论上得到了提高，知道如何处理教材中题少难教的问题，怎样进行最有效的课堂教学，在业务了却实得到了提高。今后，我们教必须要用全新、科学、与时代相吻合教育思想、理念、方式、方法来更新自己的头脑。 2、有效的组织好课堂教学。 课堂是学校教育的主阵地和主渠道，是学生学习知识，获取知识，不断完善自我的主要场所；教师的教学活动是在课堂中展开、进行、
数学教师培训学习心得体会5篇(通用)
数学教师培训学习心得体会5篇 数学教师培训学习心得体会(1) 我有机会参加了初中数学新课程培训，使我受益非浅，对新课程改革也有一些心得体会。教育改革是科学的，应该按照科学规律办事，否则要受到规律的惩罚。教学要体现课程改革的基本理念，在教学中充分考虑数学的学科特点，初中学生的心理特点，不同水平、不同爱好、学生的学习需求，运用多种教学方法和手段，引导学生积极主动地学习，把握数学的基础知识和基本技能以及它们所体现的思想方法，发展应用意识和创新意识，对数学教学有较为全面的熟悉，提高数学素养，形成积极的情感态度，为未来发展进一步学习打好基础。 通过学习，我体会到认识到要上好数学课，我们教师非下苦工夫不可。为了适应数学新课程改革需要，尽快提高学生的数学水平，达到新课标的要求，我在新学期里应该努力做到以下几点：一.制定学习计法 数学学习切不可盲目，一定要制定一个切实可行、周密有效的计划。同时老师要给学生明确各阶段的学习目标，并制定相应的措施来保证目标的实施，要加大督促检查的力度，并在此基础上进行总结。在教学过程中，应注意思想教育与知识教学互相渗透，寓思想素质教育于知识教育之中，如：向学生讲述中国经济的迅猛发展急需大量的外语人才、北京奥运会的举办更需要更多的人会讲数学等，让学生认识到学数学的重要性，鼓励学生树立远大的理想，努力学好数学二、关注学生的情感，营造宽松、民主、和谐的教学氛围。 二.尊重学生 学生只有对自己、对数学及其文化、对数学学习有积极的情感，才能保持数学学习的动力并取得成绩。消极的情感不仅会影响数学学习的效果，而且会影响学生的长远发展。因此，在数学教学中我应该自始至终关注学生的情感，努力营造宽松、民主、和谐的教学氛围。为此数学教师要做到： 1、尊重每个学生，积极鼓励他们在学习中的尝试，保护他们的自尊心和积极性。 2、把数学教学与情感教育有机地结合起来，创设各种合作学习的活动，促使学
小学数学教研组工作计划(第一学期)
小学数学教研组工作计划（第一学期） 一、教研思想： 本学期我校数学教研组工作坚持“高效、低耗、和谐、进步”的教育发展主题，进一步确立新课程标准的基本理念，稳步推进素质教育，深化教育改革。积极围绕教研组的专题，转变教育理念，以提高课堂教学效率为重点，深化教学研究，优化教学指导，强化教学管理，努力提升学生的数学素养，同时凝聚整个教研组的力量，促进每个教师的专业成长。 二、教研目标： 1、以“问题教学法”为宗旨积极开展教研活动，促进教师进一步更新教学观念，树立全新的教育教学理念。 2、结合专题研究，开展专题学习，探索问题教学法的新模式，努力提高课堂教学效率。 3、立足于课堂，实行“研教结对”活动，提高全组教师的数学学科教学水平。 4、加强教学常规管理，发现问题及时反馈、改进，形成质量监控制度。 5、积极开展教学研讨，营造研讨氛围，提升数学教师教研水平。 三、教研内容： 学习《新课标》和《基础教育改革纲要》等理论知识；有专题讲座、案例分析、听课、说课、评课、新教师跟踪、“青蓝工程”结对、“同课异构”等活动；还
有观看教学录像、宽展兴趣小组活动。 四、具体措施及要求： （一）认真组织理论学习，更新教师的教育教学观念。 1、组织教师继续学习《数学新课程标准》、《基础教育改革纲要》及有关的教育教学资料，写好学习笔记，并组织好教师之间的交流工作。 2、立足课堂，用新课标的理念改进教法，树立只有统一的教学理念，没有统一的教法模式的思想，要主动构建具有自我特色的个性化教学模式，在课堂这个舞台上展示自己的风采，让课堂焕发出生命的活力。 3、重视教学过程的反思，每节课后教师要认真地反思教学过程，及时地把教学中点点滴滴的感受写下来，重视备课和反思，要从深层次上去考虑自己的教学工作，写出有质量的教学反思和改进措施。 （二）定时期开展教研活动，提高活动质量和教学效益。 1、每2周观看一次教学录像。 2、每周定期检查教师的常规。 3、每周有一个教师提出教学中的一个困惑，形成书面形式。 4、每学期进行一次说课比赛。 5、每学期领导带头上好一节示范课。 6、每学期上好一个年级的同课异构课。 7、每学期举行一次青年教师优质课竞赛。 （三）狠抓平时，认真做好培优、扶中、补差等工作。 1、要抓好后进生的转化工作，补差重在平时的
小学数学教师国培总结
篇一:《小学数学教师国培学习心得体会》 小学数学教师国培学习体会 张秀森 2013、12、18 有一句话学到老，活到老，的确，不学习的话，人就要落后。不学习就不能使我们的教育具有后续动力，不学习就跟不上时代的发展要求，不学习就会使人的头脑僵化，终身学习是当今的时代要义；“国培计划”就是一次难得的机会。经过这一阶段的学习，我受益匪浅，并有以下几点深刻的心得 一、“国培”学习使我们更加全面深刻地理解了新课标理念，为实施素质教育奠定了基础。新课标理念强调语文教学过程(本文来自优秀教育资源网斐.斐.课.件.园)中，应以学生发展为中心，应注重语文学科的工具性和人文性，强调知识与技能、方法与过程、情感、态度、价值观的三维整合。“国培”专家深入浅出的讲析、诠释无不紧扣新课标理念，让我们这些一线的教师对新课标又有了一个全新与更刻的认识，丰实了我们的头脑，使我们领悟到了新时期数学教学的精神实质，为教学能力了基础。 二、国培让认识到我们教师应树立新观念。新课程已经走进课堂，作为教师，我们应把握时代的脉搏，顺应历史的要求，那就要迅速转型，由“知识仓库型”升级为“创新型”教师，以创新教育来促进社会的发展。教师要勤于学习，充实自我，使自己具备相应的知识结构、教育理念、文化素养、道德素养。不断提升自己的知识结构，要视角敏锐，跟上时代步伐，勇于接受新思想，新观念。根据学生的不同个性特点，采用不同的教育方法。总之，不能停滞不前，不能只靠过去的经验，不能做个教书的匠人，而应做个育人的艺术家。一个知识面不广的教师，很难给学生以人格上的感召。所以我们要不断充实自己，提高自己。 三、国培活动让我增强了投身数学教学的兴趣和信心。通过学习探讨，我对数学教学有了崭新的认识，学海无涯，教学相长，我要把自己所学的新的理念、知识运用到日常教学及班级管理之中，用科学的理论指导自己的言行，用科学的方法引导自己的学生。在国培教师的指引下，在众多同行们的帮助下，我相信自己通过自身的努力，会在语文教学中不断进步。“刀不磨要生锈，人不学要落后”，在今后的教学工作中，我会把握国培这个难得的机会，好好钻研教学业务，让自己理论水平更高、实践能力更强，发展进步更快。我会不断研究，反思，改进，悉心向同仁们学习,把数学教学当作自己毕生的追求，思索数学教学中的问题。我也相信在倾听、反思、实践中，我的教学之路会愈趋成熟，相信会做得更好。 篇二:《小学数学国培学习总结》 小学数学国培学习总结 石佛中心小学马朝霞 时间过得真快，转眼间整个国培就快结束了。虽然培训学习是短暂的，但它对我的教学
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全 (含竞赛答题技巧)
（共30套）初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全适合中学教师作为辅导教材使用
第一讲 走进追问求根公式 形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法. 而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法. 求根公式a ac b b x 2422 ,1-±-= 内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美. 降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决. 解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法. 【例题求解】 【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个. 思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程. 【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ） A 、一4 B 、8 C 、6 D 、0 思路点拨：求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=. 【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a . 思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论. 【例4】 设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和. 思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解. 【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x a d d c c b b a =+=+=+=+ 1 111， 试求x 的值. 思路点拨：运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值. 注：一元二次方程常见的变形形式有： (1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换； (2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次； (3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x . 解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如222 x x x ==.