湖南省雅礼中学2014届高考模拟卷(一)数学(文)答案
专题6.导数与函数零点问题【原卷版】
学霸养成.2020高考数学热点难点必杀技系列—导数 函数零点问题是高考中的热点,内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.
1.【2019全国Ⅰ理20】已知函数()sinln(1)fxxx,()fx为()fx的导数．证明： （1）()fx在区间(1,)2存在唯一极大值点； （2）()fx有且仅有2个零点．
一、函数零点个数问题 用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断；另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决．对于函数零点个数问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值；从图象的对称性,分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别,论证是充要关系,要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数． 【例1】若函数f(x)＝x3－3x＋a有三个不同的零点,则实数a的取值范围是________．
【对点训练】【天津市河北区2019届高三一模】已知函数2()ln(21)fxaxxax,其中aR.
（1）当a=1时,求函数fx的单调区间： （2）求函数fx的极值； （3）若函数fx有两个不同的零点,求a的取值范围. 二、零点存在性赋值理论 确定零点是否存在或函数有几个零点,作为客观题常转化为图象交点问题,作为解答题一般不提倡利用图象求解,而是利用函数单调性及零点赋值理论.函数赋值是近年高考的一个热点, 赋值之所以“热”, 是因为它涉及到函数领域的方方面面：讨论函数零点的个数(包括零点的存在性, 唯一性)； 求含参函数的极值或最值； 证明一类超越不等式； 求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各种题型中的参数取值范围等,零点赋值基本模式是已知 f (a) 的符号,探求赋值点 m (假定 m a )使得 f (m) 与 f (a) 异号,则在 (m,a) 上存在零点．赋值点遴选要领：遴选赋值点须做到三个确保：确保参数能取到它的一切值；（2） 确保赋值点 x0
第三关 以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题-高考数学备考优生百日闯关系列(原卷版)
专题一 压轴选择题第三关 以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题【名师综述】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点．要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，以及与球有关的最值问题,更应特别加以关注的．试题一般以小题的形式出现,有一定难度．解决问题的关键是画出正确的截面，把空间“切接”问题转化为平面“问题”处理．类型一 四面体的外接球问题典例1．已知三棱锥P ABC -的顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，若ABC 的面积为,ABC S OBC 的面积为,OBC S PBC 的面积为PBC S ，满足2ABC OBC PBC S S S ⋅=△△△，当,,PAB PBC PAC 的面积之和的最大值为8时，则三棱锥P ABC -外接球的体积为（ ）A ．43πB ．83πC ．163πD ．323π 【来源】山西省晋中市2022届高三上学期1月适应性调研数学（理）试题【举一反三】在四边形ABCD 中（如图1所示），AB AD =，45ABD ∠=，2BC BD CD ===，将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A BCD '（如图2所示），使得90A BC ∠='，E ，F ，G 分别为棱BC ，A D '，A B '的中点，连接EF ，CG ，则下列结论错误的是（ ）．A ．A C BD '⊥B ．直线EF 与CG 45C ．C ，E ，F ，G 四点不共面D ．四面体A BCD '外接球的表面积为8π【来源】陕西省2022届高三上学期元月联考理科数学试题类型二 三棱柱的外接球问题典例2．已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的底边长为a ，高为h ，球的体积为86π，则这个正四棱柱的侧面积的最大值为（ ） A ．482 B ．242 C ．962 D ．122【来源】内蒙古包头市2020-2021学年高三上学期期末考试数学（文）试题【举一反三】在平面内，已知动点P 与两定点A ，B 的距离之比为()0,1λλλ>≠，那么点P 的轨迹是圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.在空间中，也可得到类似结论.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，2AB BC ==，12BB π=，90ABC ∠=︒，点M 为AB 的中点，点P 在三棱柱内部或表面上运动，且2PA PM =，动点P 形成的曲面将三棱柱分成两个部分，体积分别为1V ，()212V V V <，则12V V =（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【来源】贵州省贵阳市2021届高三适应性考试数学（理）试题（一）类型三 四棱锥的外接球问题典例3．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，PB ⊥底面ABCD .若1PB AB CD AD ====， 2BC =，则这个四棱锥的外接球表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π【来源】四川省成都市第七中学2021-2022学年高三下学期入学考试文科数学试题【举一反三】已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，2AB =，若四棱锥P ABCD -82π，则该四棱锥的表面积为（ ） A ．3B ．63C ．83D ．103【来源】山西省吕梁市2021届高三上学期第一次模拟数学（理）试题类型四 几何体的内切球问题典例4．已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为54，6AB =，记三棱柱111ABC A B C -的外接球和内切球分别为球1O ，球2O ，则球1O 上的点到球2O 上的点的距离的最大值为（ ）A ．3B 153C 153D 153【来源】江西省乐平市第一中学2021届高三上学期联考理科数学试题【举一反三】由棱长都为1的4个正四面体和1个正八面体，组合成一个正四面体，再将此正四面体削切、打磨成最大的球，则该球体积为（ ）A 6B 6C ．354D 646 【来源】湖南省长沙市雅礼中学2020届高三下学期5月质量检测文科数学试题【精选名校模拟】1．已知三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，6AB =，8AC =，D 是线段AB 上一点，且2AD DB =.过点D 作球O 的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为25π，则球O 的表面积为（ ）A ．128πB ．132πC ．144πD ．156π【来源】湖北省武汉市武昌区2020-2021学年高三上学期1月质量检测数学试题2．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -，其底面ABCD 是平行四边形，外接球体积为36π，若1AC BD ⊥，则其外接球被平面11AB D 截得图形面积的最小值为（ ）A ．8πB ．24310πC ．8110πD ．6π【来源】安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查理科数学试题3．已知三棱锥P ABC -的底面是正三角形，PA a =，点A 在侧面PBC 内的射影H 是PBC 的垂心，当三棱锥P ABC -体积最大值时，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．343aB ．23a πC ．332a πD ．212a【来源】安徽省黄山市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测理科数学试题4．在三棱锥P ABC -中，22AB AC ==，120BAC ∠=，26PB PC ==，25PA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．40πB ．20πC ．80πD ．60π【来源】江西省名校2021届高三上学期第二次联考数学（理）试题5．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，23AB =，D 是侧面11BCC B 的中心，球O 与该三棱柱的所有面均相切，则直线AD 被球O 截得的弦长为（ ）A ．1010B ．105C ．31010D ．31056．如图，在三棱锥P ABC -，PAC △是以AC 为斜边的等腰直角三角形，且22CB =，6AB AC ==，二面角P AC B --的大小为120︒，则三棱锥P ABC -的外接球表面积为（ ）A 510B ．10πC ．9πD ．(423π+7．已知三棱锥P ABC -的顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，若2ABC OB PBC C S S S ⋅=，且三棱锥P ABC -的外接球半径为3，则PAB PBC PAC S S S ++△△△的最大值为（ ）A ．8B ．10C ．18D ．22【来源】吉林省梅河口市第五中学2020-2021学年高三上学期第三次月考数学（理）试题8．已知三棱锥P ABC -的各顶点都在同一球面上，且PA ⊥平面ABC ，若该棱锥的体积为233，2AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，则此球的表面积等于（ ）A ．5πB ．8πC ．16πD ．20π【来源】河南省河南大学附属中学2021-2022学年高三上学期11月月考数学文科试题9．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱111ABC A B C -为一个“堑堵”，底面ABC 是以AB 为斜边的直角三角形且5AB =，3AC =，点P 在棱1BB 上，且1PC PC ⊥，当1APC 的面积取最小值时，三棱锥P ABC -的外接球表面积为（ ）A ．45π2B 455πC ．30πD ．45π【来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（文）期末试题10．在菱形ABCD 中，3A π=，3AB =△ABD 沿BD 折起到△PBD 的位置，二面角P BD C--的大小为23π，则三棱锥P BCD -的外接球的表面积为（ ） A ．23πB ．27πC ．72πD ．112π 【来源】山西省长治市第二中学校2021届高三上学期9月质量调研数学（文）试题多选题11．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（biēnào ）.如图，三棱锥D ABC -为一个鳖臑，其中DA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2DA AB BC ===，AM DC ⊥，M 为垂足，则（ ）A ．AM ⊥平面BCDB ．DC 为三棱锥D ABC -的外接球的直径C ．三棱锥M ABD -的外接球体积为43πD ．三棱锥M ABC -的外接球体积与三棱锥M ABD -的外接球体积相等【来源】河北省张家口市2022届高三上学期期末数学试题12．已知边长为a 的菱形ABCD 中，3ADC π∠=，将ADC 沿AC 翻折，下列说法正确的是（ ）A ．在翻折的过程中，直线AD ，BC 始终不可能垂直B ．在翻折的过程中，三棱锥D ABC -体积最大值为38a C ．在翻折过程中，三棱锥D ABC -表面积最大时，其内切球表面积为2(1483)a π-D ．在翻折的过程中，点D 在面ABC 上的投影为D ，E 为棱CD 上的一个动点，ED '3 【来源】江苏省南京市第二十九中学2021-2022学年高三上学期12月月考数学试题。
2024年高考数学二轮复习解题思维提升专题02函数与导数小题部分训练手册
专题02 函数与导数小题部分【训练目标】1、 理解函数的概念，会求函数的定义域，值域和解析式，特殊是定义域的求法；2、 驾驭函数单调性，奇偶性，周期性的推断方法及相互之间的关系，会解决它们之间的综合问题；3、 驾驭指数和对数的运算性质，对数的换底公式；4、 驾驭指数函数和对数函数的图像与性质；5、 驾驭函数的零点存在定理，函数与方程的关系；6、 娴熟数形结合的数学思想在解决函数问题的运用；7、 娴熟驾驭导数的计算，导数的几何意义求切线问题；8、 理解并驾驭导数与函数单调性之间的关系，会利用导数分析函数的单调性，会依据单调性确定参数的取值范围；9、 会利用导数求函数的极值和最值，驾驭构造函数的方法解决问题。
【温馨小提示】本章内容既是高考的重点，又是难点，再备考过程中应当大量解出各种题型，总结其解题方法，积累一些常用的小结论，会给解题带来极大的便利。
【名校试题荟萃】1、（福建省“永安一中、德化一中、漳平一中”2025届高三上学期12月三校联考）已知函数，若()1f x =-，则x = ．【答案】12【解析】问题等价于；，无解。
2、（福建省“永安一中、德化一中、漳平一中”2025届高三上学期12月三校联考）已知函数1()1x f x x +=-的图像在点2,(2)f 处的切线与直线10ax y 平行，则实数a.A 2 .B 12 .C 12- D ．2- 【答案】A【解析】由于，依据导数的几何意义及两直线平行的条件可知 。
3、（福建省上杭县第一中学2025届高三上学期期中考试）函数的图象可能是( )【答案】D【解析】先由推断函数的奇偶性可知函数为奇函数，图像关于原点对称，解除A,B ；当，解除C ，故选D 。
4、（福建省上杭县第一中学2025届高三上学期期中考试）已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且，若()f x 在[]1,0-上是减函数，记，， ()0.52c f =，则（ ）A ． a b c >>B ． a c b >>C ． b a c >>D ． b a c >> 【答案】B5、（福建省上杭县第一中学2025届高三上学期期中考试）已知定义域为),0(+∞，为的导函数，且满意，则不等式的解集是( )A ． )2,0(B ． ),2(+∞C ． )3,2(D ． ),3(+∞ 【答案】D 【解析】构造函数，求导结合可知函数()g x 在定义域),0(+∞为减函数，不等式可化为，等价于，解得结果为),3(+∞。
高考数学重难点第一讲(全国通用) 利用基本不等式求最值8大题型(解析版)(老师专用)
重难点第一讲利用基本不等式求最值8大题型【命题趋势】基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点，在解决数学问题中有着广泛的应用，尤其是在函数最值问题中。
题型通常为选择题与填空题，但它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等。
在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点。
在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用。
第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】利用基本不等式求最值的方法1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；类型2：分母为多项式时方法1：观察法适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为34+a b 与3+a b ，分子为2+a b ，设()()()()2343343+=+++=+++a b a b a b a bλμλμλμ∴31432+=⎧⎨+=⎩λμλμ，解得：1525⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩λμ4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。
5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。
【热点题型】第2天掌握直接法及配凑法求最值模型【题型1直接法求最值】例1（辽宁锦州·高三校考阶段练习）已知0,0x y >>，且12x y +=，则xy 的最大值为（）A．16B．25C．36D．49【答案】C【解析】因为0,0x y >>，12x y +=≥36xy ≤，当且仅当6x y ==时取到等号，故xy 的最大值为36.故选：C【变式1-1】（四川广安·广安二中校考模拟预测）已知3918x y +=，当2x y +取最大值时，则xy 的值为（）B．2C．3D．4【答案】B【解析】由已知3918x y +=可得23318x y +=，则21833x y =+≥+2381x y ≤，所以+24x y ≤，当且仅当=22x y =时取等号，即=2x ，=1y ，此时2xy =.故选：B．【变式1-2】（2023·河南郑州·高三校联考阶段练习）已知正数,a b 满足2221a b +=,则2ab 的最大值是（）A．13C．9D．19【答案】C【解析】解:由题知2222212a b a b b =+=++≥13≤,当且仅当3a b ==时取等号，所以239ab ．故选:C．【变式1-3】（2022·上海·高三统考学业考试）已知x >1，y >1且lg x ＋lg y ＝4，那么lg x ·lg y 的最大值是（）A．2B．12C．14D．4【答案】D【解析】∵x >1，y >1，∴lg x >0，lg y >0，∴22lg lg 4lg lg 422x y x y +⎛⎫⎛⎫⋅≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当lg x ＝lg y ＝2，即x ＝y ＝100时等号成立．故选：D.【变式1-4】（2022春·云南·高三校联考阶段练习）已知正数,a b 满足()()5236a b a b ++=，则2+a b 的最小值为（）A．16B．12C．8D．4【答案】D【解析】因为()()()()252522a b a b a b a b ⎡⎤+++++≤⎢⎥⎣⎦，所以29(2)364a b +≥.又0,0a b >>.所以24a b +≥，当且仅当,3382a b ==时，等号成立.故选：D 【题型2配凑法求最值】【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知30x -<<，则()f x =值为________．【答案】92-【解析】因为30x -<<，所以()229922x x f x -+==≥-=-，当且仅当229x x -=，即322x =-时取等，所以()f x =92-.【变式2-1】（2022春·上海静安·高三上海市市西中学校考期中）函数9()(1)1=+>-f x x x x 的值域为______.【答案】[)7,+∞【解析】由题知，1x >，所以10x ->，所以()9()11171f x x x =-++≥=-，当且仅当911x x -=-，即4x =时取等号，所以函数9()(1)1=+>-f x x x x 的值域为[)7,+∞.【变式2-2】（2022春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知0,0x y >>，且7x y +=，则()()12x y ++的最大值为（）A．36B．25C．16D．9【答案】B【解析】由7x y +=，得()()1210x y +++=，则()()()()21212252x y x y ⎡⎤+++++≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当12x y +=+，即4,3x y ==时，取等号，所以()()12x y ++的最大值为25.故选：B.【变式2-3】（2022春·山东济宁·高三统考期中）已知向量()()5,1,1,1m a n b =-=+，若0,0a b >>，且m n ⊥，则113223a b a b+++的最小值为（）A．15B．110C．115D．120【答案】A【解析】根据题意，510m n a b ⋅=-++=，即4a b +=，则()()322320a b a b +++=，又0,0a b >>，故113223a b a b +++()()1113223203223a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤=++++ ⎪⎣⎦++⎝⎭123321122203223205a b a b a b a b ⎛⎫++⎛⎫=++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，当且仅当23323223a b a b a b a b++=++，且4a b +=，即2a b ==时取得等号.故选：A.第3天掌握消元法及代换法求最值模型【题型3消元法求最值】【例3】（2022春·湖南永州·高三校考阶段练习）设220,0,12y x y x ≥≥+=，则的最大值为（）A．122C．324【答案】C【解析】因为2212y x +=，所以22022y x =-≥，解得：[]0,1x ∈，故22232224x x +-===≤⨯=，当且仅当22232x x =-，即x 的最大值为4.【变式3-1】（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知正数,a b 满足2240a ab -+=，则4a b -的最小值为（）A．1C．2D．【答案】B【解析】,0a b > ,2240a ab -+=，则有22a b a=+，224244a a a a b a a ∴-=+-=+ 24a a =，即a =时b =【变式3-2】（2022春·广东广州·高三执信中学校考阶段练习）设正实数x 、y 、z 满足22430x xy y z -+-=，则xyz的最大值为（）A．0B．2C．1D．3【答案】C【解析】因为正实数x 、y 、z 满足22430x xy y z -+-=，则2243z x xy y =-+，则22114433xy xy x y z x xy y y x ==-++-，当且仅当20y x =>时取等号.故xyz的最大值为1.故选：C.【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（）A．0B．3C．94D．1【答案】D【解析】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+．∴22114343xy xy x y z x xy y y x ==-++- ，当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+ ，当且仅当1y =时取等号，即212x y z +-的最大值是1．故选：D【变式3-4】（2022春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）（多选）已知a ，b ，c 均为正实数，2ab ac +=，则118ab c a b c+++++的取值不可能是（）A．1B．2C．3D．4【答案】ABC【解析】a ，b ，c 均为正实数，由2ab ac +=得：()2a b c +=，即2b c a+=，所以2211818282222a a aa b c a b c a a a a a+++=++=++++++，由基本不等式得：2211828422a a a b c a b c a a +++=+≥++++，当且仅当222822a a a a +=+，即2a =±【变式3-5】（2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）若22221122124,4,2x y x y x y +=+=⋅=-，则21x y ⋅的最大值为___________．【答案】2【解析】()()()()222222121112211444444204x y y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⋅⎝⎭，由212y x -=，所以211222y x x -==≤，所以112x ≤≤，所以()222112142042044x y x x ⎛⎫=-+≤-⨯⎪⎝⎭⋅= ，当且仅当1||x 时，等号成立，所以21x y ⋅2≤，当且仅当21x y ==21x y ==时取等号，所以21x y ⋅的最大值为2．【题型4代换法求最值】【例4】（2022春·上海崇明·高三上海市崇明中学校考阶段练习）已知0,0x y >>，且41x y +=，则19x y+的最小值是_____．【答案】25【解析】因为0,0x y >>，且41x y +=，所以()1919346913254x y x y x y y x y x +=⎛⎫+=+ ⎪⎝+++⎭+≥=，当且仅当36x y y x =，即13,105x y ==时，等号成立.【变式4-1】（2022春·江西·高三九江一中校联考阶段练习）已知0a >，0b >，2a b +=，则4ba b +的最小值为_______.【答案】2【解析】因为0a >，0b >，且2a b +=，所以4422222b b a b b a a b a b a b +⎛⎫+=+=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当222b a =时取等号故4b a b +的最小值为2【变式4-2】（2022春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）若正实数x ，y 满足2x y xy +=，则2x y +的最小值为______．【答案】9【解析】由2x y xy +=得211y x+=，又因为0x >，0y >，所以()212222559x y x y x y y x yx ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当3x y ==时等号成立，故2x y +的最小值为9．【变式4-3】（2022春·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考阶段练习）已知2x >-，0y >，23x y +=，则2272x y x y++++的最小值为（）A．4B．6C．8D．10【答案】B【解析】因为2x >-，0y >，23x y +=，所以()227x y ++=，20x +>，()()22722222222222x y x y y x y x x y x y x y +++++=+++=++++++26≥+，当且仅当2x y +=，即13x =，73y =时等号成立，即2272x y x y++++的最小值为6，故选：B.【变式4-4】（2022·广西·统考一模）如图，在△ABC 中，M 为线段BC 的中点，G 为线段AM 上一点且2AG GM =，过点G 的直线分别交直线AB 、AC 于P 、Q 两点，(0)AB x AP x => ，(0AC y AQ y => ），则111x y ++的最小值为（）A．34B．1C．43D．4【答案】B【解析】由于M 为线段BC 的中点，则1122AM AB AC =+ ；又2AG GM =，所以32AM AG = ，又(0)AB x AP x => ，(0AC y AQ y => ）；所以3222x y AG AP AQ =+，则33x y AG AP AQ =+ ；因为,,G P Q 三点共线，则133x y+=，化得()14x y ++=；由()111111111221141414x y x y x y x y y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++=++≥+=⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭；当且仅当11x y y x+=+时，即2,1x y ==时，等号成立，111x y ++的最小值为1故选：B第4天掌握双换元法及齐次化求最值模型【题型5双换元法求最值】【例5】（2022春·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习）设1,2x y >->-，且4x y +=，则2212x y x y +++的最小值是__________.【答案】167【解析】令1(0)x a a +=>，2(0)y b b +=>，则1x a =-，2y b =-，因为4x y +=，则有7a b +=，所以2222(1)(2)142412x y a b a b x y a b a b--+=++-++-++14724(a b =--++1141()()7a b a b =+++141(147b a a b =++++1161(577≥+⨯+=；当且仅当2b a =，即714,33a b ==时取等号，则,x y 分别等于48,33时，2212x yx y +++的最小值是167.【变式5-1】（2022春·江西南昌·高三南昌二中校考阶段练习）已知正数x ，y满足()()381232x y y x y x +=++，则xy 的最小值是（）A．54B．83C．43D．52【答案】D【解析】()()3838232232x y xy xy x y y x y x x y x y ⎡⎤=+=+⎢⎥++++⎣⎦，令2x y m +=，32x y n +=，则2n m x -=，34m n y -=，38367752322222x y n m xy x y x y m n =+=+-≥-=++，当且仅当362n m m n =且()()381232x y y x y x +=++，即x =y =所以52xy ≥，故xy 有最小值52.故选：D.【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习）设正实数, x y 满足1,12x y >>，不等式224121x y m y x +≥--恒成立，则m 的最大值为（）A．8B．16C．D．【答案】A【解析】设1,21y b x a -=-=，则()()()110,102y b b x a a =+>=+>所以()()2222114121a b x y y x b a ++++++++=+≥=--()222228⎛=≥=⋅+= ⎝；当且仅当1a b ==即2,1x y ==时取等号；所以224121x y y x +--的最小值是8，则m 的最大值为8.故选A【变式5-3】（2022春·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中）已知0,0x y >>，若1x y +=，则313213x y y+++的最小值是___________.【答案】85【解析】设()()3213x y k x y y λμ++=+++，由对应系数相等得13123k λλμμ=⎧⎪=+⎨⎪=⎩，得1319k λμ⎧=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩；所以()()1113213939x y x y y ++=+++；整理得()()31132131010x y y =+++即()()()11961310x y y =+++；所以()()()3113196133213103213x y y x y y x y y⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭()313196811032135y x y x y y ⎛⎫++=+ ⎪++⎝⎭ .经验证当12x y ==时，等号可取到.【题型6齐次化求最值】【例6】（2020春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习）已知,a b 都是负实数，则2a ba b a b+++的最小值是____________.【答案】2-【解析】222222232a b a ab b a b a b a ab b +++=++++22132ab a ab b =-++1123a b b a=-++，因为,a b 都是负实数，所以20,0a b ba >>，所以2a b b a +≥2a b b a =时等号成立）.所以233a b b a++≥，所以123a b b a≤++，所以1323a b b a -≥=++，所以1113223a b b a-≥+=++.即2a b a b a b+++的最小值是2.【变式6-1】（2021春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知对任意正实数x ，y ，恒有()2222x y a x xy y +-+≤，则实数a 的最小值是___________.【答案】2【解析】因为0,0x y >>，则()2220x xy y x y xy -+=-+>，则()2222x y a x xy y +-+≤，即2222x y a x xy y+-+≤，又22222211x y xy x xy y x y +=-+-+，因为222x y xy +≥，所以22112xy x y -≥+，所以22121xy x y≤-+，即22222x y x xy y +≤-+，当且仅当x y =时，取等号，所以2222max2x y x xy y ⎛⎫+= ⎪-+⎝⎭，所以2a ≥，即实数a 的最小值是2.【变式6-2】（2022·全国·高三专题练习）已知0x >，0y >，则2223x y xy y ++的最小值为____．【答案】2【解析】∵x ，y ＞0，则2223x y xy y ++＝2231x y x y++，设x y ＝t ，t ＞0，则()()2222212143311t t x y t xy y t t +-++++==+++＝（t +1）+41t +当且仅当t +1＝41t +，即t ＝1时取等号，此时x ＝y ，故2223x y xy y ++的最小值为2.第5天掌握构造不等式法及多次使用不等式求最值模型【题型7构造不等式法求最值】【例7】（2013春·浙江嘉兴·高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足212ab a b =++，则ab 的最小值是___________.【答案】9【解析】由212ab a b =++得，212ab ≥，化简得)320≥，解得9ab ≥，所以ab 的最小值是9.【变式7-1】已知0x >，0y >，24xy x y =++，则x y +的最小值为______．【答案】4【解析】由题知0,0,x y >>由基本不等式得22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即2422x y x y +⎛⎫++≤⨯ ⎪⎝⎭，令t x y =+，0t >，则有2422t t ⎛⎫+≤⨯ ⎪⎝⎭，整理得2280t t --≥，解得2t ≤-(舍去)或4t ≥，即4x y +≥，当且仅当2x y ==时等号成立，所以x y +的最小值为4.【变式7-2】（2022·全国·高三专题练习）若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值是___________．【解析】∵2241x y xy ++=，∴2222325(2)31(2)(2)228x y x y xy x y x y +⎛⎫+-=≥+-=+ ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =时，等号成立，此时28(2)5x y +≤，所以2x y +≤2x y +的最大值是5.【变式7-3】（2020春·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）若0x >，0y >，1425y x x y+++=，则2x y +的最小值为___________.【答案】8【解析】因为0x >，0y >，所以20x y +>；由1425y x x y+++=两边同时乘xy ，得22425y y x x xy +++=，即2244254x y xy x y xy xy ++++=+，则()()2229x y x y xy +++=，因为()2222224x y x y xy ++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以()()2229999222248x y xy xy x y +=⨯≤⨯=+，故()()()2292228x y x y x y +++≤+，整理得()()22820x y x y +-+≥，即()()2280x y x y ++-≥，所以28x y +≥或20x y +≤（舍去），故2x y +的最小值为8.【题型8多次使用不等式求最值】【例8】（2022春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知0,0a b >>，则242ba ba ++的最小值为（）A．B．C．1D．1【答案】B【解析】因为0,0a b >>，所以24422224b a a a b a a ++≥=+≥，当且仅当24b ba =且42a a =，即ab ==即242ba b a ++的最小值为故选：B.【变式8-1】（2022春·江苏淮安·高三校联考期中）当02,x a <<不等式()221112x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．)+∞B．(0C．(]0,2D．[)2,+∞【答案】B【解析】()221112x a x +≥-恒成立，即()22min 1112x a x ⎡⎤+≥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦；02,20x a a x <<∴-> ，又222211222(2)(2)(22)x a x x a x x a x a +≥=≥=+---，上述两个不等式中，等号均在2x a x =-时取到，()m 222in1122x a a x ⎡⎤∴+=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，212a ∴≥，解得a ≤0a ≠，又0a >，实数a的取值范围是(0.故选：B.【变式8-2】（2022·全国·模拟预测）已知0a >，0b >，1c >，22a b +=，则1221c a b c ⎛⎫++⎪-⎝⎭的最小值为（）A．92B．2C．6D．212【答案】D【解析】()()121121221925542222baa b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当23a b ==时等号成立，（应用基本不等式时注意等号成立的条件）所以()12292911212c c a b c c ⎛⎫++≥-++≥ ⎪--⎝⎭92122=，当且仅当()91221c c -=-，即53c =且23a b ==时，等号成立，故最小值为212，故选：D【变式8-3】（2022春·安徽·高三校联考阶段练习）已知,,a b c +∈R ，,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式()2222cos 4b a c a b cθ+++ 恒成立，则θ的取值范围是（）A．,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B．,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D．,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】因为,,,,22a b c ππθ+⎡⎤∈∈-⎢⎥⎣⎦R ，不等式()2222cos 4b a ca b c θ+++ 恒成立，所以()222max2cos 4b a c a b c θ⎡⎤+⎢⎥++⎣⎦ ，因为,,a b c +∈R，所以)))2222222ab aa b ⎤=≤+=+⎥⎦，当且仅当a =时等号成立；)))2222222bc cc c b ⎤=++⎥⎦，当且仅当c 时等号成立.所以()2222222222244b a c ab bc a b c a b c ++=≤++++=，当且仅当a c ==时等号成立，所以()22224b a c a bc +++，所以cos 2θ≥，又因为,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以,44ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故选：C.【变式8-4】（2023·全国·高三专题练习）若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（）A．12B．14C．22【答案】A【解析】因为a ，b均为正实数，则2222222ab bc a c a c a b c b b ++=++++12==≤=，当且仅当222a c b b+=，且a c =，即a b c ==时取等号，则2222ab bc a b c +++的最大值为12．故选：A．第6天融会贯通限时练习（1）1．（2022春·江苏徐州·高三学业考试）若正实数x ，y 满足121x y+=，则x +2y 的最小值为（）A．7B．8C．9D．10【答案】C【解析】因为x ，y 是正数，所以有()12222559y x x y x y x y ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当22y xx y=时取等号，即当且仅当3x y ==时取等号，故选：C 2．（2022春·广东湛江·高三校考阶段练习）已知12,2x y x x >=+-，则y 的最小值为（）A．2B．1C．4D．3【答案】C【解析】因为2x >，所以120,02x x ->>-，由基本不等式得11222422y x x x x =+=-++≥=--，当且仅当122x x -=-，即3x =时，等号成立，则y 的最小值为4.故选：C3．（2022春·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知1a >，1b >，且ln 4ln 2a b +=，则4log lo e e g a b +的最小值为（）A．9lg2B．212C．252D．12【答案】C 【解析】n e 1log l a a =，44l l e og n b b=，因为1a >，1b >，故ln 0a >，ln 0b >，()414114log log ln 4ln ln ln 2ln ln e e a b a b a b a b ⎛⎫+=+=⨯++ ⎪⎝⎭14ln 4ln 12517172ln ln 22b a a b ⎛⎛⎫=⨯++≥⨯+= ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当ln ln a b =时，即25e a b ==时等号成立．所以4log lo e e g a b +的最小值为252．故选：C 4．（2022春·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知正数,a b 满足494a b +=，则ab 的最大值为（）A．19B．16C．13D．12【答案】A【解析】正数,a b 满足494a b +=，由基本不等式得：494a b +=≥19ab ≤，当且仅当49a b =，即12,29a b ==时，等号成立，ab 的最大值为19.故选：A5．（2022春·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）已知0a >，0b >，9是3a与27b的等比中项，则22231a b a b+++的最小值为（）A．9+C．7【答案】B【解析】由等比中项定义知：3232739a b a b +⋅==，34a b ∴+=，()2223121121163434544a b b a a b a b a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫∴+=+++=+++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1521454444⎛++≥++=+= ⎝（当且仅当6b a a b =，即8a =，(433b =时取等号），即22231a b a b +++6．（2022春·河南南阳·高三校考阶段练习）在ABC 中，过重心E 任作一直线分别交AB ，AC 于M ，N 两点，设AM xAB =u u u r u u u r ，AN yAC =u u ur u u u r ，（0x >，0y >），则4x y +的最小值是（）A．43B．103C．3D．2【答案】C【解析】在ABC 中，E 为重心，所以21()32AE AB AC =⋅+ 1()3AB AC =+，设AM xAB =u u u r u u u r ，AN yAC =u u ur u u u r ，（0x >，0y >）所以1AB AM x = ，1AC AN y = ，所以111133AE AM AN x y =⋅+⋅ .因为M 、E 、N 三点共线，所以11133x y+=，所以11(4)33x y x y ⎛⎫++⎪⎝⎭4143333y x x y =+++533≥+=（当且仅当433y x x y =，即12x =，1y =时取等号）．故4x y +的最小值是3．故选：C．7．（2022春·四川德阳·高三阶段练习）已知实数0a b >、，且函数()f x =的定义域为R ，则22a b a+的最小值是（）A．4B．6C．D．2【答案】A【解析】∵()f x =定义域为R，∴22()2()10x a b x a b -+++-≥在R 上恒成立，∴2[2()]4[2()1]0a b a b ∆=-+-⨯+-≤，即：2()2()10a b a b +-++≤∴2(1)0a b +-≤，解得：1a b +=又∵0,0a b >>∴2121212222a b b a b a b a -+=+=+-1212=()()224222a b a b b a b a ++-=++≥=当且仅当22a bb a=，即21,33a b ==时取等号.故选：A.8．（2022春·江西宜春·高三校考阶段练习）设x y z >>，且11()nn x y y z x z +≥∈---N 恒成立，则n 的最大值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】因为x y z >>，所以0x y ->，0y z ->，0x z ->，所以不等式11n x y y z x z +≥---恒成立等价于11()n x z x y y z ⎛⎫≤-+ --⎝⎭恒成立.因为()()x z x y y z -=-+-≥，11x y y z +≥--所以11()44x z x y y z ⎛⎫-⋅+≥ ⎪--⎝⎭（当且仅当x y y z -=-时等号成立），则要使11()n x z x yy z ⎛⎫≤-⋅+⎪--⎝⎭恒成立，只需使4()n n ≤∈N ，故n 的最大值为4.故选：C第7天融会贯通限时练习（2）1．（2022春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）（多选）已知实数a ，b 满足2241a ab b -+=，以下说法正确的是（）A．15a ≤B．1a b +<C．2244453a b ≤+≤D．25a b -≤【答案】ACD【解析】由2241a ab b -+=，可得22410b ab a -+-=，关于b 的方程有解，所以()()224410a a ∆=---≥，所以2415a ≤，即a ≤A 正确；取0,1a b ==，2241a ab b -+=，则1a b +=，故B 错误；由2241a ab b -+=，可得22141122a b ab ab +=+=+⋅，又222244222a b a b ab ++-≤≤，令224t a b =+，则()2122t t t -≤-≤，所以4453t ≤≤，即2244453a b ≤+≤，故C 正确；由2241a ab b -+=，可得()2231a b ab -+=，所以()()23213122a b ab a b -=-=+⋅⋅-，令2u a b =-，由()2222a b a b -⎛⎫⋅-≤ ⎪⎝⎭，可得22318u u ≤+，所以285u ≤，即2a b -≤故D 正确.故选：ACD.2．（2022·浙江·模拟预测）（多选）已知a ，b 为正数，且220a b +-=，则（）A．2168a a +>B．219ab+≥5≥D．35422a b a +-<<-【答案】ACD【解析】对于A 选项，()2216840a a a +-=-≥，当且仅当4a =时等号成立，当4a =时，由于220a b +-=，得22286b a =-=-=-，与b 为正数矛盾，故4a ≠，即得2168a a +>，故A 选项正确；对于B 选项，220a b +-= ，12ba ∴+=.又0,0a b >> 212115922222b b a a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫∴+=++=+++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当b aa b =，即23a b ==时等号成立；故B 选项不正确；对于C 选项，220a b +-= ，22b a ∴=-，()0,1a ∈.()2222224422584555a b a a a a a ⎛⎫+=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭ ，2245a b ∴+≥，当且仅当45a =时等号成立，≥C 选项正确；对于D 选项，220a b +-= ，22b a ∴=-，()0,1a ∈.()()2552253510122222a ab a a a a a a a a a ---+-+----∴====--<<-----，当01a <<时，221a -<-<-，55522a ∴-<<--，得351422a <--<-，即35422a b a +-<<-，故D 选项正确.故选：ACD3．（2022春·山西·高三校联考阶段练习）（多选）若1a b >>，且35a b +=，则（）A．141a b b +--的最小值为24B．141a b b +--的最小值为25C．2ab b a b --+的最大值为14D．2ab b a b --+的最大值为116【答案】BD【解析】由1a b >>，可知0a b ->，10b ->，()()4134541a b b a b -+-=+-=-=，()()()()441411411a b b a b b a b b a b b -+-⎡⎤-+-⎣⎦+=+--()()414171b a b a b b --=++--17≥+25=；当且仅当115a b b -=-=时，等号成立，141a b b +--的最小值为25．又()()141a b b =-+-=≥()1412a b b -=-=时，等号成立，所以()()21116ab b a b a b b --+=-⋅-≤，故2ab b a b --+的最大值为116．故选：BD .4．（2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）（多选）在下列函数中，最小值是4的是（）A．4y xx=+B．0)y x =>C．4sin sin y x x =+，0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D．144xx y -=+【答案】BD【解析】对于A，当0x >时，44y x x =+≥=，当且仅当4x x=，即2x =时取等号；当0x <时，44[()]4y x x xx=+=--+-≤-=-，当且仅当4x x-=-，即2x =-时取等号，所以(,4][4,)y ∈-∞-+∞ ，A 错误；对于B，y =，因为0x >1>，4=3x =时取等号，所以0)y x =>的最小值为4，B 正确；对于C，因为0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以sin (0,1]x ∈，由对勾函数性质可知：4sin [5,)sin y x x=+∈+∞，C 错误；对于D，40x >，1444444x x x x y -=++=≥，当且仅当444x x =，即12x =时取等号，所以144x x y -=+的最小值为4，D 正确.故选：BD5．（2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知正实数x ，y 满足474x y +=，则2132x y x y+++的最小值为______.【答案】94【解析】因为474x y +=，所以()()2112123232432x y x y x y x y x y x y ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎣⎦++++⎝⎭，所以()()22211413242233x y x y x y x y x y x y ⎡⎤++=+++⎢⎥++⎣+++⎦，因为,x y 为正实数，所以()()220,02233x y y y x y x x +++>>+，所以()()4222233x y x y x y x y ++++≥=+，当且仅当32474x y x y x y +=+⎧⎨+=⎩时等号成立，即84,1515x y ==时等号成立，所以()21194413244x y x y +≥++=++，当且仅当84,1515x y ==时等号成立，所以2132x y x y +++的最小值为94.6．（2022春·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）若,a b ∈R ，且221b a -=，则22a b a b+-的最大值为___________.【解析】由题知，,a b ∈R ，且221b a -=，即221b a =+，所以221a b a a b b+-+=，当0a =时，21b =，即1b =±，此时11a b +=±，所以22a b a b+-的最大值为1，当0a ≠时，22221212211212a a a a ab b a a ⎛+⎫++==+≤+= ⎪+⎝⎭，当且仅当1=a 时取等号，此时1ab+≤；所以22a ab b+-.综上，22a ab b+-的最大值.7．（2022春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知正数,x y 满足22831322x xy xy y +=++，则xy 的最小值是_________．【答案】52【解析】根据题意，由22831322x xy xy y +=++可得22228(2)3(32)1(32)(2)xy y x xy x xy xy y +++=++，即322223221)6914384384y x xy x x y xy yx xy y y x ++=+++=+；所以222222221691416914383844y y y x xy x x y y y x xy x xxy ++=+=+++++；又因为,x y 均是正数，令()0,y t x =∈+∞，则221614983()4xy f t t t t t =++++=；所以，22221831()4444316149348388183t t t t t t t t t f t t +++++==-=++++-+令2384)183(g t t t t ++=+，则16162112110101899()292718396183272727g t t t t t ⎛⎫=++=+++≥= ⎪++⎝⎭当且仅当1621996183t t ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，即12t =时，等号成立；所以2181455()44184182718332f t t t t +=+=-≥-=+；所以()f t 的最小值为min 5()2f t =;即当1,22y t x y x ====时，即x y ==时，等号成立.8．（2022春·陕西商洛·高三校联考阶段练习）已知正实数,,a b c 满足222120a ab b c ++-=，则当a bc+取得最大值时，2a b c -+的最大值为______.【答案】916【解析】由222120a ab b c ++-=，可得()()()2222231224a b c a b ab a b a b +⎛⎫=+-≥+-=+ ⎪⎝⎭，即4a b c +≤，当且仅当a b =时，等号成立，所以当a bc+取得最大值时，a b =，42a b a c +==，所以2223392416a b c a a a ⎛⎫-+=-=--+ ⎪⎝⎭，故当333,,448a b c ===时，2a b c -+取最大值916.。
2020年炎德英才大联考语文试卷 炎德英才大联考雅礼中学2020届高考模拟卷(二)语文(高清含答案)
数学分类汇编(2)命题及其关系、充分条件与必要条件
（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）6.设且，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】D【解析】【分析】由题意看命题“ab＞1”与“”能否互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．【详解】若“ab＞1”当a＝﹣2，b＝﹣1时，不能得到“”，若“”，例如当a＝1，b＝﹣1时，不能得到“ab＞1“，故“ab＞1”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D．【点睛】本小题主要考查了充分必要条件，考查了对不等关系的分析，属于基础题．（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）3.设，则“”是“函数在定义域上是奇函数”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】注意到当时，函数是奇函数，故是函数为奇函数的充分不必要条件.【详解】当时，，，函数为奇函数；当时，，，函数为奇函数.故当时，函数是奇函数，所以是函数为奇函数的充分不必要条件.故选A.【点睛】本小题主要考查充要条件的判断，考查函数奇偶性的定义以及判断，属于基础题.（四川省绵阳市2019届高三第二次（1月）诊断性考试数学理试题）4.“a＝b＝1”是“直线ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】a＝b＝1时，两条直线平行成立，但由ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行，可得ab＝1，不一定是a＝b＝1．【详解】a＝b＝1时，两条直线ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行，反之由ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行，可得：ab＝1，显然不一定是a＝b＝1，所以，必要性不成立，∴“a＝b＝1”是“直线ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行”的充分不必要条件．故选：A．【点睛】本题考查了直线平行的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测理科数学试题）3.在等比数列中，“，是方程的两根”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】结合充分、必要条件判定，即可。
2021届湖南雅礼中学新高考模拟试卷(三十)地理试题
2021届湖南雅礼中学新高考模拟试卷（三十）地理试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题建筑陶瓷产业主要生产房屋、道路、给排水和庭园等各种土木建筑工程用的陶瓷制品，耗能大，污染大。
2007年，江西省高安市抓住广东佛山产业结构调整升级的契机，引入了佛山的建陶产业链。
经过十余年的发展，高安市已发展成为我国第二大建陶产业基地。
下图示意高安市建陶产业发展进程。
据此完成问题。
1. 促使佛山建筑陶瓷产业转移至高安的最主要因素是A. 市场B. 交通C. 劳动力D. 政策2. 2013年以来，高安市主动关停中小建陶企业，主要是为了A. 降低对陶瓷产业的过度依赖B. 减少内部恶性竞争C. 降低建陶企业市场风险D. 减少能源消耗3. 由此推测，高安市建陶产业一直致力于A. 扩大规模B. 增加销量C. 品牌建设D. 清洁生产【答案】1. D 2. B 3. C【解析】【1题详解】江西省高安市抓住广东佛山产业结构调整升级的契机，引入了佛山的建陶产业链。
湖南省长沙市雅礼中学2020届高三月考(六)数学(理)试题及答案
湖南省长沙市雅礼中学2020届高三月考（六）数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x ∈N |x ≤3}，B ＝{x |﹣1≤x ≤5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2，3}B ．{0，1，2}C ．{0，1，2，3}D ．{﹣1，0，1，2，3}2．若复数z 满足|z +1|+|z ﹣1|＝4，则|z|的最小值为（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．23．已知a →=(−2，−1)，b →=(λ，1)，则λ＞−12是“a →与b →的夹角为钝角”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要4．函数y ＝xlnx 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．在等差数列{a n }中，其公差d ≠0，若S 7＝S 12，现有以下四个命题：①S 19＝0；②S 10＝S 9；③若d ＞0，则S n 有最大值；④若d ＞0，则S n 有最小值． 则关于这四个命题，正确的是（ ） A ．①②③B ．①②④C ．①④D ．②③．6．甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相，则甲．乙两人中至少有一人站在两端的概率为（ ） A ．56B ．12C ．13D ．237．在空间中，a 、b 、c 是三条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b B ．若a ⊂α，b ⊂β，则a ⊥bC ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥bD ．若α∥β，a ⊂α，则a ∥β8．已知变量x ，y 之间的线性回归方程为y =−0.7x +10.3，且变量x ，y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ） x 6 8 10 12 y6m32A ．变量x ，y 之间呈现负相关关系B ．可以预测，当x ＝20时，y ＝﹣3.7C ．m ＝4D ．该回归直线必过点（9，4） 9．cos10°sin10°−4cos10°＝（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．210．设a =log 23，b =log 45，c =212，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞＞a11．在数列{a n }中，a 1＝a ，a n +1＝2a n ﹣1，若a n 为递增数列，则a 的取值范围为（ ） A ．a ＞0B ．a ＞1C ．a ＞2D ．a ＞312．双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)上存在一点P ，使sin∠PF 2F1sin∠PF 1F 2=ca ，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ） A ．(1，1+√2)B ．（1，2]C ．(1+√2，+∞)D ．[2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x +y −3≥0x −3≤0，则z ＝x ﹣2y 的最小值为 ．14．点P 为椭圆C ：x 2a 2+y 2a 2−1=1（a ＞1）上的任意﹣一点，AB 为圆M ：（x ﹣1）2+y 2＝1的任意一条直径，若PA →⋅PB →的最大值为15，则a ＝ ．15．在（x +y +z ）6的展开式中，所有形如x 3y a z b （a ∈N ，B ∈N ）的项的系数之和为 ． 16．函数f （x ）=1sinx+8cosx(0＜x ＜π2)的最小值为 ．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知（a +b ）（sin A ﹣sin B ）＝（c ﹣b ）sin C ． （1）求角A 的大小； （2）求b+c a的取值范围．18．（12分）在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，所有棱长均为2，∠AA 1D 1＝∠AA 1B 1＝60°，∠D 1A 1B 1＝90°． （1）求证：A 1C ⊥B 1D 1； （2）求对角线AC 1的长；（3）求二面角C 1﹣AB 1﹣D 1的平面角的余弦值的大小．19．（12分）已知中心在原点的双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，且该双曲线过点（2，2）． （1）求双曲线C 的标准方程；（2）点A 为双曲线C 上任一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，过其中的一个焦点作∠F 1AF 2的角平分线的垂线，垂足为点P ，求点P 的轨迹方程． 20．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax +a ，a ∈R ． （1）求f （x ）的单调区间；（2）当x ≥1时，恒有g （x ）＝（x +1）f （x ）﹣lnx ≤0恒成立，求a 的取值范围..21．（12分）现有甲、乙、丙、丁四个人相互之间传球，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙、丙、丁中的任何一个人，依此类推．（1）通过三次传球后，球经过乙的次数为ξ，求ξ的分布列和期望； （2）设经过n 次传球后，球落在甲手上的概率为a n ， （i ）求a 1，a 2，a n ；（ii ）探究：随着传球的次数足够多，球落在甲、乙、丙、丁每个人手上的概率是否相等，并简单说明理由．请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l 的参数方程为{x =1+t y =3+2t （t 为参数），曲线C 的极坐标方程为ρ2=91+8sin 2θ．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，P （1，3），求1|PA|+1|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣1|+|2x ﹣6|（x ∈R ），记f （x ）的最小值为c ． （1）求c 的值；（2）若实数a 、b 满足a ＞0，b ＞0，a +b ＝c ，求a 2a+1+b 2b+1的最小值．一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．【详解详析】∵集合A ＝{x ∈N |x ≤3}＝{0，1，2，3}， B ＝{x |﹣1≤x ≤5}， ∴A ∩B ＝{0，1，2，3}． 故选：C ．2．【详解详析】设z 对应的点为（x ，y ），则x 24+y 23=1，所以 |z|最小值=√3． 故选：C ．3．【详解详析】∵a →=(−2，−1)，b →=(λ，1)， ∴a →与b →的夹角为钝角⇔﹣2λ﹣1＜0且﹣2+λ≠0， 即λ＞−12且λ≠2．∴λ＞−12是“a →与b →的夹角为钝角”的必要不充分条件．故选：B ．4．【详解详析】当x →0+时，lnx →﹣∞，∴xlnx ＜0，排除A 、B 选项， 当x →+∞时，xlnx →+∞，排除C 选项， 故选：D ．5．【详解详析】在等差数列{a n }中，其公差d ≠0，若S 7＝S 12， 则：a 8+a 9+a 10+a 11+a 12＝0，整理得5a 10＝0， 所以a 10＝0， 所以A ：S 19=19(a 1+a 19)2=19a 10＝0．B ：由S 10＝S 9；整理得a 10＝0，C ：若d ＞0，则S n 有=na 1+n(n−1)2d =d 2n 2+(a 1−d2)n ，所以S n 有最小值． 故；①②④正确． 故选：B ．6．【详解详析】∵甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相，基本事件总数n=A44=24，甲、乙两人中至少有一人站在两端包含的基本事件个数m=A44−A22A22=20，∴甲．乙两人中至少有一人站在两端的概率为：P=mn =2024=56．故选：A．7．【详解详析】对于选项A：若a⊥c，b⊥c，则a和b可能是异面直线，故错误．对于选项B：若a⊂α，b⊂β，则a和b不能判定有垂直和平行的关系，故错误．对于选项C：若a∥α，b∥β，α∥β，则a和b可能异面，故错误．对于选项D：若α∥β，a⊂α，则a∥β，正确．故选：D．8．【详解详析】对于A：根据b的正负即可判断正负相关关系．线性回归方程为y=−0.7x+10.3，b＝﹣0.7＜0，负相关．对于B，当x＝20时，代入可得y＝﹣3.7．对于C：根据表中数据：x=14(6+8+10+12)=9．可得y=−0.7×9+10.3=4．即14(6+m+3+2)=4，解得：m＝5．对于D：由线性回归方程一定过（x，y），即（9，4）．故选：C．9．【详解详析】原式=cos10°−2sin20°sin10°=cos10°−2sin(30°−10°)sin10°=√3sin10°sin10°=√3．故选：C．10．【详解详析】log23＞log2232＞log2√5=log45，∴a＞32＞b，又log45＜log4443=43＜212＜32，∴a＞c＞b．故选：A．11．【详解详析】∴a n+1＝2a n﹣1，∴a n+1﹣1＝2（a n﹣1），∴a n+1−1a n−1=2，又∵a1﹣1＝a﹣1，∴数列{a n﹣1}是首项为a﹣1，公比为2的等比数列，∴a n−1=(a−1)2n−1，∴a n =(a −1)2n−1+1， 又∵{a n }为递增数列，∴a n+1−a n =(a −1)2n −(a −1)2n−1=12(a −1)2n ＞0， ∴a ﹣1＞0，∴a ＞1， 故选：B ．12．【详解详析】设P 在右支上，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ﹣n ＝2a ， 又因为sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2=c a =m n ，可得c−a a=m−n n，所以2a n =c−a a，所以n =2a 2c−a ＞c ﹣a ，即c 2﹣2ac ﹣a 2＜0，即e 2﹣2e ﹣1＜0，解得1−√2＜e ＜1+√2， 由于e ＞1，所以可得1＜e ＜1+√2， 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．【详解详析】由约束条件{x −y +1≥0x +y −3≥0x −3≤0作出可行域如图，联立{x =3x −y +1=0，解得B （3，4）．化目标函数z ＝x ﹣2y 为y =12x −12z ，由图可知，当直线y =12x −12z 过B （3，4）时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为：3﹣2×4＝﹣5．故答案为：﹣5．14．【详解详析】圆M ：（x ﹣1）2+y 2＝1的圆心M （1，0），半径为1， AB 为圆M 的直径，可得MB →=−MA →， 椭圆C ：x 2a 2+y 2a 2−1=1（a ＞1）的焦点为（﹣1，0），（1，0），则PA →⋅PB →=（PM →+MA →）•（PM →+MB →）＝（PM →+MA →）•（PM →−MA →）＝|PM →|2﹣|MA →|2＝|PM →|2﹣1，又P 为椭圆上一点，M为椭圆的右焦点，可得|PM →|2﹣|MA →|2≤（a +c ）2﹣1＝15，当P 为椭圆的左顶点（﹣a ，0），上式取得等号， 则a +c ＝4，又c ＝1，可得a ＝3． 故答案为：3．15．【详解详析】（x +y +z ）6表示6个因式（x +y +z ）的乘积，其中有3个因式都取x ，得C 63⋅x 3，另外的三个因式取y 或z ，即可得到形如x 3y a z b （a ∈N ，B ∈N ）的项． 而（y +z ）3的各项系数和为23，故所有形如x 3y a z b （a ∈N ，B ∈N ）的项的系数之和为C 63•23＝160，故答案为：160． 16．【详解详析】f′(x)=−cosx sin 2x+8sinx cos 2x=8sin 3x−cos 3x (sinxcosx)2=(2sinx−cosx)(4sin 2x+2sinxcosx+cos 2x)(sinxcosx)2，由f ′（x ）＝0可得cos x ＝2sin x 即tan x =12， 又因为0＜x ＜12π，根据导数与单调性的关系可知，当tan x =12时，函数取得最小值，此时sin x =5cos x =5，故f （x ）min ＝5√5．故答案为：5√5．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．【详解详析】（1）∵（a +b ）（sin A ﹣sin B ）＝（c ﹣b ）sin C ． 由正弦定理可得：（a +b ）（a ﹣b ）＝（c ﹣b ）c ． 化为b 2+c 2﹣a 2＝bc ， 由余弦定理可得：cos A =b 2+c 2−a 22bc=12，∵A ∈（0，π）， ∴A =π3． （2）∵A =π3， ∴a 2＝b 2+c 2﹣bc ≥(b+c)22−（b+c 2）2=(b+c)24，∴（b+c a）2≤4，∴b+c a≤2，可得b+c a的最大值为2，又b +c ＞a ， ∴b+c a的取值范围为（1，2]．18．【详解详析】（1）证明：（1）∵在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，所有棱长均为2， ∴AD 1＝AB 1＝2，连结A 1C 1，B 1D 1，交于点O ，连结AO ， ∵∠AA 1D 1＝∠AA 1B 1＝60°，∠D 1A 1B 1＝90°．∴AO ⊥B 1D 1， ∵四边形A 1B 1C 1D 1为正方形，∴B 1D 1⊥A 1C 1， ∴B 1D 1⊥平面A 1ACC 1，∵A 1C ⊂平面A 1ACC 1，∴B 1D 1⊥A 1C ．（2）解：在△AB 1D 1中，AO =√2，A 1O =√2，AA 1＝2， ∴AO 2+A 1O 2=A 1A 2，∴AO ⊥A 1O ， ∵AO ⊥B 1D 1，∴AO ⊥平面A 1B 1C 1D 1， ∴AO ⊥OC 1，∴AC 1=√AO 2+OC 12=2． （3）解：由（2）知AO ⊥平面A 1B 1C 1D 1，以点O 为原点，OA 1为x 轴，OB 1为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系， A （0，0，√2），B 1（0，√2，0），C 1（−√2，0，0）， AB 1→=（0，√2，−√2），AC 1→=（−√2，0，−√2），设平面AB 1C 1的法向量m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅AB 1→=√2y −√2z =0m →⋅AC 1→=−√2x −√2z =0，取x ＝1，得m →=（1，﹣1，﹣1）， 平面AB 1D 1的法向量n →=（1，0，0）， 设二面角C 1﹣AB 1﹣D 1的平面角为θ， 则cosθ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√3=√33， ∴二面角C 1﹣AB 1﹣D 1的平面角的余弦值为√33．19．【详解详析】（1）根据题意，双曲线的渐近线方程是y ＝±2x ，则设双曲线方程为：4x 2﹣y 2＝λ，（λ≠0）， 点（2，2）代入得：λ＝12， 则双曲线方程为：4x 2﹣y 2＝12， 即x 23−y 212=1，（2）∵F 1，F 2是双曲线x 23−y 212=1的左右焦点，过F 2作角的平分线AB 的垂线，垂足为P ，并且交AF 1于Q ，连接OP ，则OP =∥12F 1Q ，由角的平分线定理可得：|AQ |＝|AF 2|，∴|F 1Q |＝|AF 1|﹣|AQ |＝|AF 1|﹣|AF 2|＝2a ，∴|OP |＝a =√3，由圆的定义可知，点P 的轨迹是以点O 为圆心，√3为半径的圆，所以P 的轨迹方程为：x 2+y 2＝3．20．【详解详析】（1）函数的定义域（0，+∞），f′(x)=1x −a =1−ax x，（i ）当a ≤0时，f ′（x ）＞0恒成立，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，（ii ）当a ＞0时，由f ′（x ）＞0可得，0＜x ＜1a ，此时函数单调递增，由f ′（x ）＜0可得，x ＞1a ，此时函数单调递减，（2）当x ≥1时，g （x ）＝（x +1）（lnx ﹣ax +a ）﹣lnx ＝xlnx ﹣ax 2+a ，g ′（x ）＝lnx +1﹣2ax ， 令h （x ）＝lnx +1﹣2ax ，则h ′（x ）=1x −2a ，（i ）当a ≤0时，h ′（x ）＞0恒成立，h （x ）在[1，+∞）上单调递增，h （x ）≥h （1）＝1﹣2a ＞0， 即g ′（x ）》0，故g （x ）在[1，+∞）上单调递增，g （x ）≥g （1）＝0，不合题意；（ii ）当0＜a ＜12时，h （x ）在[1，12a ]上单调递增，h （x ）≥h （1）＝1﹣2a ＞0，此时g （x ）在[1，12a ]上单调递增，所以g （12a ）＞g （1）＝0，不合题意；（iii ）当a ≥12时，h ′（x ）≤0，h （x ）在[1，+∞）上单调递减，所以h （x ）≤h （1）＝1﹣2a ＜0，故g ′（x ）≤0， 所以g （x ）在[1，+∞）上单调递减，所以g （x ）≤g （1）＝0，所以g （x ）≤0恒成立． 21．【详解详析】（1）由题意得ξ的取值为0，1，2， P （ξ＝0）=23×23×23=827，P （ξ＝1）=13×1×23+23×13×1+23×23×13=1627，P （ξ＝2）=13×1×13=19， ∴ξ的分布列为： ξ 0 1 2 P827162719∴E （ξ）=0×827+1×1627+2×19=2227． （2）（i ）由题意可知，a 1=0，a 2=13，a n =13(1−a n−1)，n ≥2，∴a n −14=−13（a n−1−14），（n ≥2）， ∴a n −14=（a 1−14）×（−13）n ﹣1， ∴a n =14−14×(−13)n−1．11 （ii ）由（i ）可知，当n →+∞时，a n →14， ∴当传球次数足够多时，球落在甲手上的概率趋向于一个常数14，又第一次从甲开始传球，而且每一次都是等可能地把球传给任何一个人，∴球落在每个人手上的概率都相等，∴球落在乙、丙、丁手上的概率为（1−14）÷3=14，∴随着传球的次数足够多，球落在甲、乙、丙、丁每个人手上的概率相等，都是14． 请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【详解详析】（1）直线l 的参数方程为 {x =1+t y =3+2t（t 为参数），消去参数，可得直线l 的普通方程y ＝2x +1，曲线C 的极坐标方程为ρ2=91+8sin 2θ，即8ρ2sin 2θ+ρ2＝9，∴x 2+y 2+8y 2＝9，∴曲线C 的直角坐标方程为x 29+y 2＝1；（2）直线的参数方程改写为 {x =1+√55t y =3+2√55t（t 为参数）， 代入x 29+y 2＝1，375t 2√5t +73＝0，t 1+t 2=−√5375，t 1t 2=73375， 1|PA|+1|PB|=|t 1−t 2t 1t 2|=√5×73=22√573． ∴当直线l 与曲线C 相交时，1|PA|+1|PB|=22√573． [选修4-5：不等式选讲]23．【详解详析】（1）f （x ）＝|x ﹣1|+|2x ﹣6＝|x ﹣1|+|x ﹣3|+|x ﹣3|，f （x ）表示数轴上的点到数轴上1，3，3对应点的距离之和．∴f （x ）min ＝f （3）＝2，∴c ＝2．（2）∵a +b ＝2，∴a 2a+1+b 2b+1=14[（a +1）+（b +1）]（a 2a+1+b 2b+1）； =14[a 2+b 2+(b+1)a 2a+1+(a+1)b 2b+1]≥14（a 2+b 2+2ab ）=14（a +b ）2＝1；当且仅当{a +b =2(b+1)a 2a+1=(a+1)b 2b+1，即{a =1b =1时，有最小值1．。
2021届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期“每周一练”高考模拟英语试题(四)
高2021届雅礼中学高三上学期“每周一练”高考模拟英语试题（四）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在打题卡上，写在试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例：How much is the shirt?A. £19.15.B. £9.18.C. £9.15.答案是C。
1. Where does this conversation take place?A. In a classroom.B. In a hospital.C. In a museum.2. What does Jack want to do?A. Take fitness classes.B. Buy a pair of gym shoes.C. Change his work schedule.3. What are the speakers talking about?A. What to drink.B. Where to meet.C. When to leave.4. What is the relationship between the speakers?A. Colleagues.B. Classmates.C. Strangers.5. Why is Emily mentioned in the conversation?A. She might want a ticket.B. She is looking for the man.C. She has an extra ticket.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。