湖南省对口高考数学模拟试题学习资料

2011年对口升学数学模拟试卷

学校 班级 姓名 总分 。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：（每题只有一个正确答案，本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1． 设集合M={（x,y ）|xy<0},N={(x,y)|x>0,且y>0},则有（ ） A ．M ∪N=N B 。M ∩N =ф C 。M ≠?N D 。N ≠

?M

2．不等式(x 2_4x-5)(x 2 + 8)<0的解集是（ ）

A 。{X|-1

B 。{X|X<-1或X>5}

C 。{X|0

D 。{X|-1

3。已知f(x)是y=(

2

1)x

+4（x ∈R ）的反函数，则f(8)=( ) A 。-3 B 。3 C 。-2 D 。2

4。已知向量b ρ=（3，4），c ρ

=（2，-1），若向量b ρ+λc ρ与c ρ互相垂直，则实数λ的值是（ ）

A 。

21 B 。23

3

C 。2

D 。-52 5。已知1a ，2a ，3a 成等比数列，1a ，m, 2a 成等差数列，2a ，n, 3a 也成等差数列，则

m

a n

a 21=（ ）

A ．1

B 。2

C 。3

D 。4

6．某篮球运动员投篮的命中率为

5

3

，则他投篮5次，恰好命中3次的概率为（ ） A ．53 B 。1 C 。625

216 D 。以上都错

7。下列判断正确的是（ ）

A 。分别处在两个平面内的两直线是异面直线

B 。平行于同一直线的两平面平行

C 。两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两直线平行

D 。经过平面外一点，只有一个平面与已知平面平行

8．从五名学生中选出四人分别参加语文、数学、英语和专业综合知识竞赛，其中学生甲不参加语文和数学竞赛，则不同的参赛方法共有（ ）

A ．24

B 。48

C 。72

D 。120

9．双曲线的一条渐近线的方程为3x+4y=0,则其半焦距与实半轴的比为（ ） A ．

45 B 。35

C 。34

D 。45或3

5

10．在曲线y = x 3

+ x – 2的切线中，与直线4x –y = 1平行的切线方程是

（ ）

（A ）4x –y = 0 （B ）4x –y – 4 = 0

（C ）2x –y – 2 = 0 （D ）4x –y – 4 = 0 或 4x –y = 0

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：（本题共有8小题，每题5分，共40分，请将答案填在答卷对应横线上）。 11、等差数列{a n }中，a 1+ a 4+ a 10+ a 16+ a 19=150，则a 18－2a 14=________．

12．方程x 2+y 2+ax+2ay+2a 2

+a-1=0表示圆，则实数a 的取值范围是 。 13．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为

9

1

，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则事件A 发生的概率P （A ）= 。 14．已知(0)

()1(0)

x x f x x ≥?=?

-

15、已知f (x )是定义在实数集R 上的函数，且满足f (x +2)－f (x +2) f (x )－f (x ) =1，f (1)=－

2

1，f (2)=－

4

1

，则f (2008)=___________． 16、已知5

3

)x 4cos(=+π, 则x 2sin 的值为 __。

17、定义： |→

a ×→

b |=|→

a |·|→

b |·sin θ，其中θ为向量→

a 与→

b 的夹角，若|→

a |=2, |→

b | =5, →

a ·→

b =-6,

则|→

a ×→

b |=______________________。

18．某网络公司，1996年的市场占有率为A ，根据市场分析和预测，该公司自1996年起市

场占有率逐年增加，其规律如图所示：

则该公司1998年的市场占有率为____________；如果把1996年作为第一年，那么第n 年的市场占有率为________________________________

三、解答题：（本题共有6个小题，共60分，必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤）。

19．（本小题10分）

在ABC ?中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且满足2

7

4cos cos 2()22

A B C -+= （Ⅰ）求角A 大小；

（Ⅱ）若3b c +=，3

2

a =，求ABC ?的面积。

20．（本小题满分10分）

如图,已知平面ABC ⊥平面DBC ,且,60,AB BD CBA DBC =∠=∠=? （Ⅰ）求证：DA BC ⊥；

（Ⅱ）求二面角A BD C --的正切值.

21．（本小题满分10分）

已知a R ∈， 3

2

()44f x x ax x a =--+

（Ⅰ）若(1)0f '-=，求函数()f x 在区间[2,2]-的最大值与最小值；

（Ⅱ）若函数()f x 在区间(,2]-∞-和[2,)+∞上都是增函数，求实数a 的取值范围

22．（本小题满分10分）

某家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可以获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为

5

1

，若中奖，则家具城返还顾客现金200元. 某顾客购买一张价格为3400元的餐桌，得到3张奖券.

（I ）求家具城恰好返还该顾客现金200元的概率； （II ）求家具城至少返还该顾客现金200元的概率；

23．本小题满分10分

椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左焦点为1F （－2，0），左准线1l 与x 轴交于点N （－3，

0），过点N 且倾斜角为30°的直线l 交椭圆于A 、B 两点．

（Ⅰ）求直线l 和椭圆的方程；

（Ⅱ）求证：点1F （－2，0）在以线段AB 为直径的圆上．

第24，25题为选做题，分值相等，满分10分，考生可任做一题，如果两题都做了解答，则只给第24题给分。

24．某房屋开发公司用128万元购得一块土地，欲建成不低于五层的楼房一幢，该楼每层的建筑面积为1000平方米，楼房的总建筑面积(即各层面积之和)的每平方米的平均建筑费用与楼层有关，若该楼建成x 层时，每平方米的平均建筑费用用f (x )表示，且f (n )=f (m )(1+

20

m

n -)(其中n ＞m ,n ∈N )，又知建成五层楼房时，每平方米的平均建筑费用为400元，为了使该楼每平方米的综合费用最省(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，公司应把该楼建成几层?

25．已知函数f (x )=a x -－x (1)当a =－1时，求f (x )的最值; (2)求不等式f (x )＞0的解.

数学模拟试卷答案

一．选择题。

1．B 2。A 3。C 4。D 5。A 6。C 7。D 8。C 9。D 10。D 二．填空题。 11．-30 12。（-2，32） 13。32 14。（-21，0）∪（0，+∞） 15。-3

5

16.

25

7 17. 8 18. A A

n )22( , 471--．

三、解答题：

19．解：（Ⅰ）A B C π++=Q

2

27

4cos cos 2()2(1cos )cos 22cos 2cos 322

A B C A A A A ∴-+=+-=-++= 21

2cos 2cos 02

A A ∴-+=…………………………………………………2分

1

cos 2A ∴=，0A π<

60o A ∴=………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-=

=得229

4

bc b c =+-

29

()34

b c bc ∴+-

= 9

4

bc ∴=……………………………………………………………………8分

所以119393sin 224ABC S bc A ?=

=??= 所以ABC ?的面积为

93

………………………………………………………10分 20． 解答: （Ⅰ）证法一: 过A 作AE BC ⊥交BC 于E ，连接ED

ACB BCD ⊥Q 平面平面,

∴AE ⊥平面BCD ,……………………………………2分 由平面几何知识得 AEB ?≌DEB ?

∴∠AEB =∠DEB =90? 即 DE BC ⊥………………4分 由三垂线定理得DA BC ⊥…………………………5分

（Ⅱ）过E 作EG BD ⊥于G ，连接AG ,由三垂线定理知AG BD ⊥，所以二面角A BD C --的平面角为AGE ∠…………………………………………………7分 由EG BD ?=BE ED ?可知,34EG BD =

,又32

AE BD =,…………………8分 在Rt AEG ?中,tan 2AGE ∠=.

∴二面角A BD C --的正切值为2.……………………………………10分

21．解：（Ⅰ） 2

()324f x x ax '=--

由(1)0f '-=得1

2

a =

…………………………………………………………2分 所以2

()34f x x x '=-- 由()0f x '=得4

3

x =

或1x =-………………………………………………4分 x

2-

(2,1)-- 1- 4(1,)3- 43

4

(,2)3 2

()f x '

+ 0 - 0

+

()f x

递增

9

2

递减

5027

-

递增 0 由上表知：()f x 在区间[2,2]-上的最大值为2，最小值为27-………………………6分

（Ⅱ）2

()324f x x ax '=--的图像为开口向上且过点(0,4)-的抛物线，由条件

(2)0f '-≥，(2)0f '≥………………………………………………………………………8分

即480

840a a +≥??

-≥?

得22a -≤≤……………………………………………………10分

22． 解：（I ）家具城恰好返还给该顾客现金200元，

即该顾客的三张奖券有且只有一张中奖……………………………………2分

125

48)54()51(213=?=C p ………………………………4分（结果不对扣1分）

（II ）设家具城至少返还给该顾客现金200元为事件A ，这位顾客的三张奖券有且只有一张中奖为事件1A ，这位顾客有且只有两张中奖为事件2A ，这位顾客有且只有三张中奖为事件

3A ，则123A A A A =++，1A 、2A 、3A 是互斥事件…………………………………6分 123()()()()P A P A P A P A =++

3

33223213)51()54()51()54()51(c c c +?+?=……………………………8分

125

11251212548++= 125

61

=

………………………………………………………………………10分 另解：设家具城至少返还给顾客200元为事件A ，则其对立事件为三张奖券无一中奖, 故3

461

()1()1().5

125

P A P A =-=-= 23．本小题满分10分 解：（Ⅰ）直线l ：)3(3

3

+=

x y ………………………………………………………2分 由已知c ＝2及32

=c a 解得：62=a ，∴ 22622=-=b ．……………………4分 ∴ 椭圆方程为12

62

2=+y x ．…………………………………………………………5分

（Ⅱ）解方程组?

?

?

??+=-+=②

①

，，)3(06333

22x y x y 将②代入①，整理得03622

=++x x ．③……………………………………………6分 设A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），则321-=+x x ，2

3

21=x x ．……………………7分 解法一：2

22211

11++=

??x y x y k k B F A F 1]

4)(2[39)(3)2)(2()

3)(3(31

212121212121-=++++++=++++=

x x x x x x x x x x x x ，………………………………8分 ∴ B F A F 11⊥．则?=∠901B AF ．

∴ 点1F （－2，0）在以线段AB 为直径的圆上．…………………………………10分 解法二：)2

()2(221111y x y x F F ，，++=?? 2121)2)(2(y y x x +++= ………………………………………………………………8分 ]9)(3[3

1

4)(221212121+++++++=x x x x x x x x 07)(33

4

2121=+++=

x x x x ， ∴ B F A F 11⊥．则?=∠901B AF ．

∴ 点1F （－2，0）在以线段AB 为直径的圆上． …………………………………10分

24.解：设该楼建成x 层，则每平方米的购地费用为x 1000101284?＝x

1280

(2分)

由题意知f (5)＝400, f (x )＝f (5)(1+

205-x )＝400(1+205

-x ) (2分) 从而每平方米的综合费用为y =f (x )+x

1280＝20（x +x 64

）+300。求导，由导数可知，当且仅

当x =8时取最值。 (8分)

故当该楼建成8层时，每平方米的综合费用最省. (10分) 22.解：(1)f (x )＝1+x －x ＝－(1+x －2

1)２＋43

(x ≥－1)

∴f (x )最大值为

4

3

(4分)

x －a x ≥0 x －a ＞x 当a ≥0时，②无解，当a ＜0时，②的解为a ≤x ＜0 (6分)

x ≥0

２－x +a ＜0， 当Δ＝1－4a ≤0时，①无解，当Δ＝1－4a ＞0时，x ２

－x +a ＜0解为

2

411a

--＜x ＜2

411a

-+ 故a ≥0时①的解为

2411a --＜x ＜2

411a

-+； 当a ＜0时①的解为0≤x ＜

2

411a

-+ (8分) 综上所述，a ≥

41时，原不等式无解；当0≤a ＜4

1

时，原不等式解为2411a --＜x ＜

2411a -+，当a ＜0时，a ≤x ＜2

411a

-+ (10分)