01第1章质点运动学

1 第１章 质点运动学 1.1 结构要点 一、知识结构 1. 描述质点运动的物理量 （直角坐标系） （自然坐标系） （极坐标系）

2．几种典型的质点运动 二、基本要求 1. 掌握描述质点运动的四个物理量的定义及性质（矢量性、瞬时性、相对性）； 2. 理解运动方程的意义以及求解四个物理量的数学关系； 3. 掌握质点几种典型运动的规律； 4. 掌握求解运动学两类问题的方法和步骤．

)(t角位置dttrdta)()(

dttrdtv)()(

积

分

积分

求导

求导

位矢 速度 加速度 kvjvivvzyx

2,vadtdvan

ktzjtyitxtr)()()()(r位移

)(tss

kajaiaazyxdtdsv

naaan

)(t　角速度　角位移)(t角加速度)()(tRts

)(tvv)()(tRtv

Ra

2Ran

dttdt)()(

dttdt)()(

抛体运动： 圆周运动：

直线运动： 常用一维直角坐标描述．

常用二维直角坐标描述． 常用极坐标和角量描述． 2

1.2 学习指南 一、描述质点运动的三个前提条件 1．选取参考系 描述物体运动时，被选作参考的物体称为参照物，也称参考系． 2．确定坐标系 在参考系上选择坐标原点，并根据质点运动特点确定直角坐标系或自然坐标系． 3．建立质点模型 运动物体只有满足两个条件才能视为质点：(1) 当物体的大小和形状在所研究的问题中不起作用或所起作用很小，可以忽略不计时；（2）物体作平动时． 二、描述质点运动的四个基本物理量 1．位置矢量（位矢）：描述运动质点在空间位置的物理量，是时间t 的函数．

位矢的直角坐标表示：ktzjtyitxtr)()()()(

位矢的大小：222rrxyz (1-1) 位矢的方向： cos;cos;cosxyzrrr； (1-2)

2221coscoscos (1-3)

位矢的特点：(1) 矢量性，是一个有方向的量，要按矢量法则运算； (2) 相对性，大小和方向随选取参考系的不同而变化； (3) 瞬时性，大小和方向一般都会随时间变化． 运动方程：位矢随时间变化的关系式)(tr称为运动方程．

矢量式：()rrt；分量式：()()xxtyyt (1-4) 轨迹方程：将运动方程消去时间参数t得到坐标分量之间的函数关系称为轨迹方程，例如，平面运动可表示为()yfx． 2．位移：描述质点某段时间内位置变化情况的物理量． 如图1-2，设1t时刻，质点位于1P点，2t时刻，质点位于2P点，质点在1t～2t时间

x y 图1－1 z r i j



k

P（x,y,z） 3

内的位移12rpp，21rrr，212121()()()rxxiyyjzzk． 位移与路程的区别：位移表示质点始末位置变化的大小和方向，是矢量；路程表示质点实际经历路径的长短，是非负标量．

3．速度：描述运动质点位置变化快慢及方向的物理量． ⑴平均速度：设质点在上述t时间内位移为r，则t内的平均速度为

trv

 (1-5)

质点在不同的时间段内平均速度是不同的．表述平均速度时一定要指明是在哪一段时间内的平均速度，这样才有意义． ⑵瞬时速度：质点在某时刻（或某位置）时的瞬时速度，简称速度．

0limtrdrvtdt

kdtdzjdtdyidtdxkvjvivzyx (1-6)

速度的方向：v的方向是当t→0时，r的极限方向，也就是沿质点运动轨迹上某点的切线，并指向质点前进的方向． 速度的大小： 222xyzvvvv (1-7) 4．加速度：描述质点速度变化大小和方向的物理量． (1)平均加速度：设在t时间内速度的增量为v，则平均加

速度为tva a的方向就是v的方向，如图1－4所示．

平均加速度是粗略描述质点运动速度变化大小及方向的物理量．表述平均加速度时，要表明是在哪段时间内的平均加速度．

1v 2v vΔ

图1－4

1P（1x,1y,1z）

2P（2x,2y,2z）

x y

zo 图1－2

1r 2r rΔ

图1－3 4

⑵ 瞬时加速度：质点在t时刻的瞬时加速度，简称加速度． 220tvdvdralimtdtdt



kajaiazyx (1-8)

加速度的方向：a的方向就是当0t时v的方向，在曲线运动中a的方向与v

的方向不一致，但总是指向曲线凹的一侧．由问题的具体条件确定． 加速度的大小：222xyzaaaa (1-9) 三、几种典型的质点运动 1．直线运动：质点的运动轨迹为一条直线． 当a为常量时，为匀变速直线运动：

atvv0，20021attvxx，)(20202xxavv．

2．平面曲线运动（抛体运动）：质点运动的轨迹为平面上的曲线；描述质点状态的物理量随时间在二维空间变化．

基本物理量的矢量式变为：jtyitxtr)()()(，jvivvyx，jaiaayx

分量形式： 2122()()xxxxxtxxxdxvxtdtdvdxadtdt， 2122()()yyyyytyyydyvytdtdvdyadtdt (1-10) 平面曲线运动的自然坐标系描述：s=s(t) (弧长)；dsvsdt． (1-11) 切向加速度和法向加速度：在自然坐标系中，a可沿切向和法向两个方向作正交分解为naana(n、分别为法向、切向的单位矢量)， a称为切向分量， na称为

法向分量．大小：22naaa；方向：tan(,)nana．其中， 221()nvds

adt， 22dvdsadtdt (1-12)

式中，为质点所在轨道处的曲率半径．如果已知该处的an和v，则可求出． 3．圆周运动：质点的轨迹是一个圆．描述圆周运动可用自然坐标和角量的方法． 5

(1)角量描述：选取参考方向如图1－5所示．t时刻质点在1P点，ttΔ+时刻到2P点，1r、2r与参考方向夹角分别为1θ

和2θ．基本物理量为：)(t，

12

，dtd，dtddtd2，

当为常数时，为匀速率圆周运动，有 t0，20021tt，)(20202 (1-13)

(2) 角量与线量的关系： )(tRs，Rv，2Ran，Ra 4．相对运动 同一物体，在两个不同的惯性系研究，描述物体运动的物理量之间满足一定的关系． 如果把两个参照系分为静止参考系（地面）和相对运动参照系，运动物体相对于静止参照系的量称为“绝对”量；相对于运动参照系的量称为相对量；把运动参考系相对于静止参考系的量称为牵连量，则有 绝对量＝相对量＋牵连量 以A表示研究对象，以S表示静止参考系，以S′表示运动参考系，则位移、速度、加速度的关系式为：

ASASSSASASSSASASSS

rrrvvvaaa





 (1-14)

1.3 解题指导 质点运动学问题都是解决位矢、位移、速度、加速度这四个基本物理量以及派生出的路程、平均速度、轨道方程等问题的求解．把握这些物理量之间的数学关系是解决问题的基础．通常采用两种方法：微分法和积分法． 解题时需注意一维、二维、三维坐标的关系及矢量的表达方法．

一、已知质点的运动方程，求位移、速度、加速度等 这类问题主要采用求导的方法得到表达通式，再将已知条件代入即可．

1P2PO 1r2r

1θ2θ

图1－5