'2014年山东省淄博市高考数学一模试卷(理科)

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数学_2014年山东省东营市高考数学一模试卷(理科)_(含答案)

2014年山东省东营市高考数学一模试卷（理科）一、选择题1. 若复数i满足z(1+i)=2i，则在复平面内z对应的点的坐标是（）A (1, 1)B (1, −1)C (−1, 1)D (−1, −1)2. 设全集U＝R，集合A＝{x|2x>1}，B＝{x||x−2|≤3}，则(∁U A)∩B等于（）A [−1, 0)B (0, 5]C [−1, 0]D [0, 5]3. 已知命题p、q，“¬p为真”是“p∧q为假”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件4. 若圆C经过(1, 0)，(3, 0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为（）A (x−2)2+(y±2)2=3B (x−2)2+(y±√3)2=3C (x−2)2+(y±2)2=4 D (x−2)2+(y±√3)2=45. 运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A 1007B 1008C 2013D 20146. 函数y=a|x|与y=sinax(a>0且a≠1)在同一直角坐标系下的图象可能是（）A B CD7. 三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA＝AB＝BC＝1，则球O的表面积为（）A √32π B 32π C 3π D 12π8. 设k=∫(πsinx−cosx)dx，若(1−kx)8=a0+a1x+a2x2+...+a8x8，则a1+a2+ a3+...+a8=()A −1B 0C lD 2569. 对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ={b,a −b ≥1，a,a −b <1，设f(x)=(x 2−1)⊗(4+x)，若函数y =f(x)+k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是( ) A (−2, 1) B [0, 1] C [−2, 0) D [−2, 1)10. 如图，已知直线l:y ＝k(x +1)(k >0)与抛物线C:y 2＝4x 相交于A 、B 两点，且A 、B 两点在抛物线C 准线上的射影分别是M 、N ，若|AM|＝2|BN|，则k 的值是（）A 13 B √23 C 23√2 D 2√2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________12. 若x ，y 满足条件{y ≥2|x|−1，y ≤x +1，则z =x +3y 的最大值为________．13. 若α∈(0,π2)，则sin2αsin 2α+4cos 2α的最大值为________．14. 如图，茎叶图表示甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中的得分，其中一个数字被污损，则甲的平均得分不超过乙的平均得分的概率为________．15. 已知函数y ＝f(x)为奇函数，且对定义域内的任意x 都有f(1+x)＝−f(1−x)．当x ∈(2, 3)时，f(x)＝log 2(x −1)，给出以下4个结论：①函数y ＝f(x)的图象关于点(k, 0)(k ∈Z)成中心对称； ②函数y ＝|f(x)|是以2为周期的周期函数； ③当x ∈(−1, 0)时，f(x)＝−log 2(1−x)；④函数y ＝f(|x|)在(k, k +1)(k ∈Z)上单调递增．其中所有正确结论的序号为________．三、解答题：本小题共6小题，共75分.解答时应写出文字说明，证明过程或验算步骤. 16. 已知函数f(x)=sinx +cosx ．（1）求函数y =f(x)在x ∈[0, 2π]上的单调递增区间；（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知m →=(a, b)，n →=(f(C)，1)且m → // n →，求B ．17.如图，在四棱锥E −ABCD 中，EA ⊥平面ABCD ，AB // CD ，AD =BC =12AB ，∠ABC =π3．（1）求证：△BCE 为直角三角形；（2）若AE =AB ，求CE 与平面ADE 所成角的正弦值．18. 某次数学测验共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道题能排除两个错误选项，另2道只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．（1）求该考生本次测验选择题得50分的概率；（2）求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望．19. 已知数列{a n }的前n 项和S n =a n +n 2−1，数列{b n }满足3n ⋅b n+1=(n +1)a n+1−na n ，且b 1=3．（1）求a n ，b n ；（2）设T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n ，并求满足T n <7时n 的最大值． 20. 已知双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦距为2√7，其一条渐近线的倾斜角为θ，且tanθ=√32．以双曲线C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E ．（1）求椭圆E 的方程；（2）设点A 是椭圆E 的左顶点，P 、Q 为椭圆E 上异于点A 的两动点，若直线AP 、AQ 的斜率之积为−14，问直线PQ 是否恒过定点？若恒过定点，求出该点坐标；若不恒过定点，说明理由．21. 已知函数f(x)=x 3−x −√x ．（1）求函数y =f(x)的零点的个数；（2）令g(x)=2f(x)+√x+lnx ，若函数y =g(x)在(0, 1e )内有极值，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，对任意t ∈(1, +∞)，s ∈(0, 1)，求证：g(t)−g(s)>e +2−1e．2014年山东省东营市高考数学一模试卷（理科）答案1. A2. C3. A4. D5. A6. D7. C8. B9. D 10. C 11. 12 12. 11 13. 1214. 710 15. ①②③16. 解：（1）∵ f(x)=sinx +cosx =√2sin(x +π4)， ∴ 由2kπ−π2≤x +π4≤2kπ+π2，k ∈Z ，得2kπ−3π4≤x ≤2kπ+π4，当k =0时，−3π4≤x ≤π4，k =1时，5π4≤x ≤9π4，∵ x ∈[0, 2π]， ∴ x ∈[0,π4]∪[5π4,2π]，∴ 函数y =f(x)在x ∈[0, 2π]上的单调递增区间为[0,π4]，[5π4,2π]；（2）∵ f(C)=sinC +cosC ，且m → // n →，∴ a −f(C)b =0，即a =b(sinC +cosC)，由正弦定理得sinA =sinB(sinC +cosC)，即sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC =sinBsinC +sinBcosC ，即cosBsinC =sinBsinC ， ∵ sinC ≠0， ∴ cosB =sinB ，即tanB =1，∴ B =π4． 17. （1）证明：在△ABC 中， ∵ BC =12AB ，∠ABC =π3，∴ 由余弦定理，得AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cos π3=3BC 2， ∴ AC =√3BC ，∴ AC 2+BC 2=AB 2，∴ AC ⊥BC ，又∵ EA ⊥平面ABCD ，∴ EA ⊥BC ，又∵ AC ∩AE =A ，∴ BC ⊥平面ACE ，∴ BC ⊥CE ， ∴ △BCE 为直角三角形．（2）由（1）知：AC ⊥BC ，AE ⊥平面ABCD ，以点C 为坐标原点，CA →，CB →，AE →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设BC =a ，则AE =AB =2a ，AC =√3a ，如图2，在等腰梯形ABCD 中，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，则GB =12a ，∴ CD =AB =2GB =a ，过点D 作DH ⊥BC 于H ，由（1）知∠DCH =60∘， ∴ DH =√32a ，CH =a2，∴ D(√3a2, −a 2)．又∵ C(0, 0, 0)A(√3a, 0, 0)，B(0, a, 0)，E(√3a, 0, 2a)，∴ AD →=(−√32a,−a 2,0)，AE→=(0, 0, 2a)，CE →=(√3a, 0, 2a)，设平面ADE 的一个法向量为n →=(x,y,z)，则AD →⋅n →=0，AE →⋅n →=0，∴ {−√3a2x −a2y =02az =0，∴ n →=(√3,−3,0)，设CE 与平面ADE 所成角为θ，则sinθ=|cos <CE →，n →>|=|CE →|⋅|n →|˙=√7a√12|=√2114， ∴ 直线CE 与平面ADE 所成角的正弦值为√2114．18. 解：（1）设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A ，选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B ，则P(A)=12，P(B)=13，该考生选择题得50分的概率为： P(A)P(A)P(B)P(B)=(12)2⋅(13)2=136．（2）该考生所得分数X =30，35，40，45，50， P(X =30)=(12)2(1−13)2=19，P(X =35)=C 21(12)2(23)2+(12)2⋅C 21⋅13⋅23=13，P(X =40)=(12)2(23)2+2×12×12×2×13×23+(12)2(13)2=1336，P(X =45)=C 21(12)2(13)2+(12)2C 21⋅13⋅23=16，P(X =50)=(12)2(13)2=136， ∴ X 的分布列为：EX =30×19+35×13+40×1336+45×16+50×136=1153．19. 解：（1）由S n =a n +n 2−1，得 S n−1=a n−1+(n −1)2−1 (n ≥2)，两式相减得，a n =a n −a n−1+2n −1， ∴ a n−1=2n −1，则a n =2n +1．由3n ⋅b n+1=(n +1)a n+1−na n ，∴ 3n ⋅b n+1=(n +1)(2n +3)−n(2n +1)=4n +3． ∴ b n+1=4n+33n．∴ 当n ≥2时，b n =4n−13n−1，由b 1=3适合上式， ∴ b n =4n−13n−1；（2）由（1）知，b n =4n−13n−1，∴ T n =31+73+1132+⋯+4n−53n−2+4n−13n−1①．13T n =33+732+1133+⋯+4n−53n−1+4n−13n②．①-②得，23T n =3+43+432+⋯+43n−1−4n−13n=3+4⋅13(1−13n−1)1−13−4n−13n=5−4n+53n．∴ T n =152−4n+52⋅3n−1．∵ T n −T n+1=4(n+1)+52⋅3n−4n+52⋅3n−1=−(4n+3)3n<0．∴ T n <T n+1，即{T n }为递增数列．又T 3=152−4×3+52×9=599<7，T 4=152−4×4+52×27=649>7．∴ T n <7时，n 的最大值3． 20. 解：（1）双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的焦距2c =2√7，则c =√7，∴ a 2+b 2=7，①渐近线方程y =±b a x ，由题知tanθ=ba =√32，② 由①②解得a 2=4，b 2=3， ∴ 椭圆E 的方程为x 24+y 23=1．（2）在（1）的条件下，当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y =kx +m ，由{x 24+y 23=1y =kx +m ，消去y 得：(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0，设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−8km3+4k 2，x 1x 2=4m 2−123+4k 2，又A(−2, 0)，由题知k AP ⋅k BQ =y 1x1+2⋅y 2x2+2=−14，则(x 1+2)(x 2+2)+4y 1y 2=0，且x 1，x 2≠−2，则x 1⋅x 2+2(x 1+x 2)+4+4(kx 1+m)(kx 2+m) =(1+4k 2)x 1x 2+(2+4km)(x 1+x 2)+4m 2+4=(1+4k 2)(4m 2−12)3+4k 2+(2+4km)−8km 3+4k 2+4m 2+4=0 则m 2−km −2k 2=0， ∴ (m −2k)(m +k)=0， ∴ m =2k 或m =−k ．当m =2k 时，直线PQ 的方程为y =kx +2k =k(x +2)．此时直线PQ 过定点(−2, 0)，显然不适合题意．当m =−k 时，直线PQ 的方程为y =kx −k =k(x −1)，此时直线PQ 过定点(1, 0)．当直线PQ 的斜率不存在时，若直线PQ 过定点(1, 0)，P 、Q 点的坐标分别为(1,32)，(1,−32)，满足k AP ⋅k AQ =−14．综上，直线PQ 过定点(1, 0)． 21. 解：（1）∵ f(0)=0，∴ x =0是y =f(x)的一个零点，当x >0时，f(x)=x(x 2−1−√x)，设φ(x)=x 2−1√x，φ′(x)=2x 2√x 3>0，∴ φ(x)在(0, +∞)上单调递增．又φ(1)=−1<0，φ(2)=3√2>0，故φ(x)在(1, 2)内有唯一零点，因此y =f(x)在(0, +∞)内有且仅有2个零点；（2）g(x)=ax 2+ax x 3−x+lnx =ax(x+1)x(x+1)(x−1)+lnx =lnx +ax−1，其定义域是(0, 1)∪(1, +∞)，则g ′(x)=1x −a (x−1)2=x 2−2x+1−ax x(x−1)2=x 2−(2+a)x+1x(x−1)2，设ℎ(x)=x 2−(2+a)x +1，要使函数y =g(x)在(0, 1e )内有极值，则ℎ(x)=0有两个不同的根x 1，x 2，∴ △=(2+a)2−4>0，得a >0或a <−4，且一根在(0, 1e )内，不妨设0<x 1<1e ，又x 1x 2=1，∴ 0<x 1<1e <e <x 2，由于ℎ(0)=1，则只需ℎ(1e )<0，即1e 2−(a +2)⋅1e+1<0，解得a >e +1e −2；（3）由（2）可知，当x ∈(1, x 2)时，g ′(x)<0，g(x)递减，x ∈(x 2, +∞)时，g ′(x)>0，g(x)递增，故y =g(x)在(1, +∞)内的最小值为g(x 2)，即t ∈(1, +∞)时，g(t)≥g(x 2)，又当x ∈(0, x 1)时，g ′(x)>0，g(x)单调递增，x ∈(x 1, 1)时，g ′(x)<0，g(x)单调递减，故y =g(x)在(0, 1)内的最大值为g(x 1)，即对任意s ∈(0, 1)，g(s)≤g(x 1)，由（2）可知x 1+x 2=2+a ，x 1x 2=1，x 1∈(0,1e )，x 2∈(e, +∞)，因此，g(t)−g(s)≥g(x 2)−g(x 1)=lnx 2+ax2−1−lnx 1−ax1−1=ln x 2x1+ax 2−1−ax1−1=lnx 22+x 2−1x 2(x 2>e)，设k(x)=lnx 2+x −1x =2lnx +x −1x ，k ′(x)=2x +1+1x 2>0， ∴ k(x)在(e, +∞)内单调递增，故k(x)>k(e)=2+e −1e ，即g(t)−g(s)>e +2−1e ．。

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保密★启用并使用完毕前淄博市2013—2014学年度高三模拟考试试题文科数学本试卷，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．共4页，满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|02}A x x =<<，{|(1)(1)0}B x x x =-+>，则A B =A ．()01，B ．()12，C ．(,1)(0,)-∞-+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞2．在复平面内，复数 2ii+ 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知tan =2α，那么sin 2α的值是A ．45-B ． 45C ．35-D ．354．在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则753a a +=A ．10B ．18C ．20D ．28 5．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为2，则输出的x 的值为A ．3B ．126C ．127D ．1286．设1a >，0b >，若2a b +=，则121a b+-的最小值为 A．3+ B ．6 C． D．7．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥A BCD -的正视图与俯视图ABCD8．下列说法正确．．的是 A ．“p q ∨为真”是“p q ∧为真”的充分不必要条件；B ．若回归直线方程为ˆ2 1.5yx =-，则变量x 每增加一个单位，ˆy 平均减少1.5个单位； C ．若[],0,1a b ∈，则不等式2214a b +<成立的概率是4π； D ．已知空间直线,,a b c ，若a b ⊥，b c ⊥，则//a c ．9．过抛物线24y x =焦点F 的直线交其于A ，B 两点，O 为坐标原点．若||3AF =，则AOB ∆的面积为 A ．22B ．2C ．223 D ．2210．若函数()f x 的导函数在区间(),a b 上的图像关于直线2a bx +=对称，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是A ．①④B ．②④C ．②③D．③④淄博市2013—2014学年度高三模拟考试试题文科数学第Ⅱ卷(共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知函数()f x 为奇函数，当0x >时，2()log f x x =，则满足不等式()0f x >的x 的取值范围是．12．已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+-≤-+0101205x y x y x ，则2z x y =+的最大值是．13．已知a 、b 的夹角为o60，且||2a = ，||1b = ，则a 与2a b + 的夹角为．14．已知点()()2,0,0,2A B -，若点C 是圆2220x x y -+=上的动点，则ABC △面积的最小值为．15．对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：3331373152,39,4,5171119……⎧⎧⎪⎧⎪⎪===⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎪⎩．仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是2015，则m = ．三、解答题：本大题6小题，共75分16．（本题满分12分）已知向量1sin ,22x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，)1,2sin 2cos 3(x x b -= ，函数b a x f ⋅=)(，ABC ∆ 三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()1,f B C +=1a b ==，求ABC ∆的面积S ． 17．（本题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形11BBC C 是矩形，1BB ⊥平面ABC ，CA CB =，11A B ∥AB ，112AB A B =，E ，F 分别是AB ，1AC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面11BBC C ；（Ⅱ）求证：11C A ⊥平面11ABB A ．18．（本题满分12分）参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩分析的茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：（Ⅰ）求参加数学抽测的人数n 、抽测成绩的中位数及分数分别在[)80,90，[]90,100内的人数；（Ⅱ）若从分数在[]80,100内的学生中任选两人进行调研谈话，求恰好有一人分数在[]90,100 内的概率．19．在数列{}n a 中，112a =-，121n n a a n -=--*(2,)n n N ≥∈，设n n b a n =+．（Ⅰ）证明：数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n nb 的前n 项和n T ；（Ⅲ）若1()2nn n c a =-，n P 为数列221n n nn c c c c ⎧⎫++⎨⎬+⎩⎭的前n 项和，求不超过2014P 的最大的整数．20．（本题满分13分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，右焦点2F 到直线1:340l x y +=的距离为35．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点F 2斜率为k （0k ≠）的直线l 与椭圆C 相交于E F 、两点，A 为椭圆的右顶点，直线AE AF ,分别交直线3x =于点M N ,，线段MN 的中点为P ，记直线2PF 的斜率为k '，求证：k k '⋅为定值．21．（本题满分14分）已知函数x x x f ln )(=，2)(2-+-=ax x x g （ 2.7183e ≈，a R ∈）．（Ⅰ）判断曲线)(x f y =在点（1，)1(f ）处的切线与曲线)(x g y =的公共点个数；（Ⅱ）当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，若函数)()(x g x f y -=有两个零点，求a 的取值范围．2014届淄博市一模文科数学试题参考答案及评分说明一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．B 2．D 3．B 4．C 5．C 6．A 7．D 8．B 9．C 10．D 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．(1,0)(1,)-+∞ 12．9 13．030 14．3 15．45三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（Ⅰ）由题意得1()sin sin )2222x x x f x a b =⋅=-+21cos sin 2222x x x =-+==x x cos 21sin 23+πsin()6x =+ ，…………3分令πππ2π2π262k x k -≤+≤+ ()Z k ∈ 解得2ππ2π2π 33k x k -≤≤+ ()Z k ∈ 所以函数()f x 的单调增区间为2ππ2π,2π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()Z k ∈ .………………6分（Ⅱ）解法一：因为()1,f B C +=所以πsin()16B C ++=，又(0,π)B C +∈，ππ7π(,)666B C ++∈, 所以πππ,623B C B C ++=+=，所以2π3A =, …………………………8分由正弦定理Bb A a sin sin =把1a b ==代入，得到1sin 2B = …………10分得6Bπ=或者56B π=，因为23A π=为钝角，所以56B π=舍去所以π6B =，得π6C =. 所以，ABC ∆的面积111sin 1222S ab C ==⋅= . ……………………12分解法二：同上（略）2π3A =, …………………………8分由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-，得231c c =++，1c =或3-（舍去）………10分所以，ABC ∆的面积11sin 112224S bc A ==⋅⋅⋅=. ……………………12分17．证明：（Ⅰ）连接1BC ，因为 E 、F分别是AB ,1AC 的中点，所以 EF ∥1BC ．……………2分又因为EF ⊄平面11BBC C ，1BC ⊂平面11BBC C ，所以 EF ∥平面11BBC C ．……4分（Ⅱ）连结1A E ，CE .因为 1BB ⊥平面ABC ，1BB ⊂平面11A ABB ，所以平面11A ABB ⊥平面ABC …………………………………………6分因为 CA CB =，E 是AB 的中点，所以CE AB ⊥所以CE ⊥平面11A ABB ． …………………………………………8分因为 11B A ∥BA ,111=2B A BA BE = 所以四边形11A EBB 为平行四边形，所以 11//BB A E . ……………………10分又 11//BB CC ，所以11//A E CC 所以四边形11A ECC 为平行四边形，则 11C A ∥CE . 所以 11C A ⊥平面11ABB A ． …………………12分18．解：（Ⅰ）人数25n=，中位数73，[)80,90、[]90,100内的人数分别为4 人、2 人． ……6分（Ⅱ）815………………12分 19．解证：（Ⅰ）由121n n a a n -=--两边加2n 得，12()1n n a n a n -+=+- ……2分所以11(1)2n n a n a n -+=+-，即 112n n b b -=，数列{}n b 是公比为2的等比数列…3分其首项为11111122b a =+=-+=，所以1()2n n b = …………………………4分（Ⅱ）1()22n n n nnb n =⋅= ……………………………………5分234112*********n n n n nT --=++++++L ①122345112341222222n n n n nT +-=++++++L ② ①-②得2341111111111222222222n n n n n n n T ++=+++++-=--所以222n n n T +=-………………………………………………8分(Ⅲ)由(Ⅰ)得1()2n na n =-，所以n c n =22221111111(1)1n n n n c c n n c c n n n n n n ++++==+=+-++++ ……………10分 201411111111(1)(1)(1)(1)12233420142015P =+-++-++-+++- 120152015=-所以不超过2014P 的最大的整数是2014．………………………………12分 20．解证：（Ⅰ）由题意得21==a c e1=，……………………………2分所以1c =，2=a ，所求椭圆方程为13422=+y x ． …………………… 4分（Ⅱ）设过点()1,0P的直线l 方程为：)1(-=x k y ，设),(11y x E ，),(22y x F …………5分将直线l 方程)1(-=x k y 代入椭圆134:22=+yx C 整理得： 01248)34(2222=-+-+k x k x k ………………………………… 6分因为点P 在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交，0∆>恒成立，且3482221+=+k k x x 341242221+-=⋅k k x x …………………………7分直线AE 的方程为：)2(211--=x x y y ，直线AF 的方程为：)2(222--=x x y y令3=x，得点113,2y M x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，223,2y N x ⎛⎫⎪-⎝⎭，所以点P 的坐标121213,222y y x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭………………………………… 9分直线2PF 的斜率为)22(41130)22(21'22112211-+-=---+-=x y x yx y x y k4)(24)(32414)(2)(241212121212121211212++-++-⋅=++-+-+=x x x x kx x k x kx x x x x y y y x x y ……… 11分将34124,34822212221+-=+=+k k x x k k x x 代入上式得：222222224128234134343'412844244343k k k k k k k k k k kk k -⋅-⋅+++=⋅=---+++ 所以'k k ⋅为定值43- ………………………………… 13分21．解：（Ⅰ）()ln 1f x x '=+，所以斜率(1)1k f '== …………………………2分又(1)0f =，曲线在点（1，0）处的切线方程为1-=x y …………3分由222(1)101y x ax x a x y x ⎧=-+-⇒+-+=⎨=-⎩ ……………………4分由△=22(1)423a a a --=--可知：当△>0时，即1-<a或3>a 时，有两个公共点；当△=0时，即1-=a 或3=a 时，有一个公共点；当△<0时,即31<<-a 时，没有公共点 ……………………7分（Ⅱ）)()(x g x f y -==x x ax x ln 22++-，由0=y 得x x x a ln 2++= ……………………8分令x x x x h ln 2)(++=，则 2(1)(2)()x x h x x-+'= 当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由 ()0h x '= 得 1x = …………………10分所以，)(x h 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[]1,e 上单调递增因此，3)1()(min ==h x h ……………………11分由11()21h e e e =+-，2()1h e e e =++比较可知1()()h h e e>所以，当3a <≤21e e++时，函数)()(x g x f y -=有两个零点.……………14分。

2014年山东淄博高青县中考一模数学试题(三)及答案

初四数学试题（时间：120分钟满分：120分）第Ⅰ卷（选择题共48分）一、选择题：本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在相应的表格里．每小题4分，共48分．错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分．1.16的值等于A.±4B.4C. ±2D.2 2. sin30°的值为 A.21B.23C.33D.22 3. 二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+0,2y x y x 的解是A.⎩⎨⎧==.2,0y x B.⎩⎨⎧==.0,2y x C.⎩⎨⎧==.1,1y x D.⎩⎨⎧-=-=.1,1y x4.如图，将边长为4个单位的等边△ABC 沿边BC 向右平移2个单位得到△DEF ，则四边形ABFD 的周长为A.12B.16C.20D.24 5.下列运算中，正确的是A.4m -m =3B.-(m -n )=m +nC.(m 2) 3=m 6D.m 2÷m 2=m6.两圆半径分别为3和4，圆心距为7，则这两个圆 A.外切 B.相交 C.相离 D.内切7.在下列命题中，正确的是A.一组对边平行的四边形是平行四边形B.有一个角是直角的四边形是矩形C.有一组邻边相等的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形8.足球比赛中，胜一场可以积3分，平一场可以积1分，负一场得0分，某足球队最后的积分是17分，他获胜的场次最多是ABE CDF第4题图A.3场B.4场C.5场D.6场 9.用配方法解方程x 2＋x －1＝0，配方后所得方程是A.(x －21)2＝43 B.(x ＋21)2＝43 C.(x ＋21)2＝54 D.(x －21)2＝5410.现有A 、B 两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．用小莉掷A 立方体朝上的数字为x 、小明掷B 立方体朝上的数字为y 来确定点P （x ，y ），那么它们各掷一次所确定的点P 落在已知抛物线y =-x 2+4x 上的概率为A.181 B. 121 C. 91 D. 61 11. 如图，四边形ABCD 内接于圆O ，AB 为圆O 的直径，CM 切圆O 于点C ，∠BCM =60º，则∠B 的正切值是A.21B. 3C.22 D. 33 12.如图，直线y =-2x +4与x 轴，y 轴分别相交于A ,B 两点，C 为OB 上一点，且∠1=∠2，则S △ABC =A.1B.2C.3D.4初四数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在相应的表格里．每小题4分，共48分．第Ⅱ卷（非选择题共72分）二、填空题：本题共5小题，满分20分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 13.分解因式：x －x y ＝．14.反比例函数 y =xm 1+的图象经过点（2，1），则m 的值是． 15. a 、b 为实数，且ab =1，设P =11+++b b a a ，Q =1111+++b a ，则P Q （填第11题图第12题图“＞”、“＜”或“＝”）．16.某品牌的牛奶由于质量问题，在市场上受到严重冲击，该乳业公司为了挽回市场，加大了产品质量的管理力度，并采取了“买二赠一”的促销手段，一袋鲜奶售价1.4元，一箱牛奶18袋，如果要买一箱牛奶，应该付款元.17如图，正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按照如图所示的方式放置，点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y =kx +b （k >0）和x 轴上，已知点B 1（1，1），B 2（3，2），则B 3的坐标是 .三、解答题：本大题共7小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18（本小题 6分）解不等式组⎩⎨⎧≥+<+39231x x .19.（本小题6分）已知a ＝21，求代数式1212-+-a a a -aa a a -+-2212的值．20.（本小题7分）如图，有一长方形的地，长为x 米，宽为120米，建筑商将它分成三部分：甲、乙、丙.甲和乙为正方形.现计划甲建设住宅区，乙建设商场，丙开辟成公司.若已知丙地的面积为3200平方米，试求x 的值.第16题图21.（本小题7分）已知圆O的直径AB、CD互相垂直，弦AE交CD于F，若圆O的半径为R.求证：AE·AF＝2 R.22.（本小题8分）下面的表格是李刚同学一学期数学成绩的记录，根据表格提供的信息回答下面的问题（1）李刚同学6次成绩的极差是．（2）李刚同学6次成绩的中位数是．（3）李刚同学平时成绩的平均数是．（4）利用右图的权重计算一下李刚本学期的综合成绩（平时成绩用四次成绩的平均数写出解题过程，每次考试满分都是100分）23.（本小题8分）直线y ＝21x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，D 是x 轴上一点，坐标为（x ，0），△ABD 的面积为S .（1）求点A 和点B 的坐标；（2）求S 与x 的函数关系式；（3）当S =12时，求点D 的坐标.24.（本小题10分）如图，在△ABC 中，∠ACB =90º，AC =3，BC =4．D 是BC 边上一点，直线DE ⊥BC 于D ，交AB 于E ，CF //AB 交直线DE 于F ．设CD =x ．（1）当x 取何值时，四边形EACF 是菱形？请说明理由；（2）当x 取何值时，四边形EACF 的面积等于3？初四数学参考答案一、选择题：本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，共48分．CACBC ACCCB DC二、填空题：本题共5小题，满分20分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 13.x (x -y )(x +y ) 14.1 15.= 16.16.8 17.y =x +1三、解答题：本大题共7小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18.（本小题6分）解：由x+1<3得x <2(2分)；由2x +9≥3得x ≥-3（5分），所以原不等式组的解集为-3≤x <2（6分）.19.（本小题6分）解：由于a ＝21＞0，所以a －1＝21-1=-21＜0（1分），则 AB CD E F原式＝)1()1(1)1(22-----a a a a a ＝a －1＋a 1（5分）.当a ＝21时原式=21-1+2=23（6分）. 20.（本小题7分）解：已知甲、乙皆为正方形，且甲的边长为120米，则乙的边长为（x -120）米，那么丙的长为（x -120）米，宽为[120-（x -120）]=（240-x ）米（2分），根据已知得（x -120）（240-x ）=3200（4分），解得x =160米或x =200米（7分）.21.（本小题7分）证明：连接BE （1分），因为AB 为圆O 的直径，所以∠AEB =90°（2分）.因为AB ⊥CD ，所以∠AOF =90°，所以∠AOF =∠AEB =90°，又∠A =∠A ，那么有△AOF ∽△AEB （4分），所以AEAOAB AF =，则AE ²AF =AO ²AB ，由于AO =R ，AB =2R ，所以有AE ²AF =2R （7分）.22.（本小题8分）解：（1）10分（2分）；（2）90分（4分）；（3）89分（6分）；（4）综合成绩为96×60%+90×30%+89×10%=93.5（分）（8分）.23.（本小题8分）解：（1）A ，B 的坐标分别为（-4,0）和（0,2）（2分）. （2）S =21AD ²OB =21|x -（-4）|³2=|x +4|（5分，也可以等于⎩⎨⎧-<--->+)4(4)4(4x x x x ）（3）由题意知|x +4|=12，解得x =8或x =-16（7分），即D 的坐标为（8,0）或（-16，0）（8分）.24. （本小题10分）解：（1）由题意知四边形EACF 为平行四边形，欲使其为菱形，需要CF =AC =3（1分）.由AC =2，BC =3得AB =5，又AE =CF =3，故BE =2（2分）.根据已知可得△BDE ∽△CDF ，则CD BD CF BE =，即324=-x x （5分），解得x =512，即当x =512时四边形EACF 为菱形（7分）.（2）由S =21（AC +ED ）²DC =21³3x =3解得x =2，即x =2时，四边形EACF 面积为3（10分）.。

数学_2014年山东省高考数学模拟试卷(一)(文科)_(含答案)

2014年山东省高考数学模拟试卷（一）（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题所给的四个选项中只有一个是正确的）1. 设常数a∈R，集合A={x|(x−1)(x−a)≥0}，B={x|x≥a−1}，若A∪B=R，则a 的取值范围为()A (−∞, 2)B (−∞, 2]C (2, +∞)D [2, +∞)2. 复数(1−√3i1+i)2=()A −√3+iB −√3−iC √3+iD √3−i3. “k=1”是“直线x−y+k=0与圆x2+y2=1相交”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 即不充分也不必要条件4. 设0<a<1，m=log a(a2+1)，n=log a(a+1)，p=log a(2a)，则m，n，p的大小关系是（）A n>m>pB m>p>nC m>n>pD p>m>n5. 已知函数f(x)=ax3+bsinx+4(a, b∈R)，f(lg(log210))=5，则f(lg(lg2))=()A −5B −1C 3D 46. 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：①若α // β，m⊂α，n⊂β，则m // n；②若m⊥α，m // β，则α⊥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则m⊥β．其中错误命题的序号是（）A ①④B ①③C ②③④D ②③7. 函数f(x)=12[(1+2x)−|1−2x|]的图象大致为( )A B C D8. 设抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|=3|BF|，则l的方程为( )A y=x−1或y=−x+1B y=√33(x−1)或y=−√33(x−1) C y=√3(x−1)或y=−√3(x−1) D y=√22(x−1)或y=−√22(x−1)9. 函数y=√9−(x−5)2的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该数列的公比的数是（）A 34B √2C √3D √510. 已知0<θ<π4，则双曲线C1:x2sin2θ−y2cos2θ=1与C2:y2cos2θ−x2sin2θ=1的（）A 实轴长相等B 虚轴长相等C 离心率相等D 焦距相等二、填空题（每小题5分，共5分） 11.已知a →=(1,m)，b →=(m,2)，若a → // b →，则实数m =________． 12. 已知实数x ，y 满足{y ≥1y ≤2x −1x +y ≤m，如果目标函数z =x −y 的最小值是−1，那么此目标函数的最大值是________．13. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值是________．14. 已知圆x 2+y 2−10x +24=0的圆心是双曲线x 2a 2−y 29=1(a >0)的一个焦点，则此双曲线的渐近线方程为________． 15. 观察下列一组等式：①sin 230∘+cos 260∘+sin30∘cos60∘=34， ②sin 215∘+cos 245∘+sin15∘cos45∘=34，③sin 245∘+cos 275∘+sin45∘cos75∘=34，…，那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是：________．三、解答题（本大题共6道小题，满分75分，解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤）16. 设△ABC 的内角A ，B ，C 的内角对边分别为a ，b ，c ，满足(a +b +c)(a −b +c)＝ac ． (Ⅰ)求B ． (Ⅱ)若sinAsinC =√3−14，求C ． 17. 2014年山东省第二十三届运动会将在济宁召开，为调查我市某校高中生是否愿意提供志愿者服务，用简单随机抽样方法从该校调查了50人，结果如下：(1)用分层抽样的方法在愿意提供志愿者服务的学生中抽取6人，其中男生抽取多少人？(2)在(1)中抽取的6人中任选2人，求恰有一名女生的概率；(3)你能否有99%的把握认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关？下面的临界值表供参考：，其中n=a+b+c+d．独立性检验统计量K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)18. 设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1≠0，2a n−a1=S1⋅S n，n∈N∗.(1)求a1，a2，并求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{na n}的前n项和．19. 三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90∘，AB= BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．(1)求证：MN // 平面BCC1B1．(2)求证：MN⊥平面A1B1C．(3)求三棱锥M−A1B1C的体积．+y2=1的左、右焦点F1，F2关于直线x+y−2＝0的对称20. 已知F1，F2分别是椭圆E:x25点是圆C的一条直径的两个端点．(Ⅰ)求圆C的方程；(Ⅱ)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b．当ab最大时，求直线l的方程．21. 已知函数f(x)=lnx−ax+1−a−1(a∈R)．x（I）当a=−1时，求曲线y=f(x)在点（2, f(2)）处的切线方程；（II）当a≤1时，讨论f(x)的单调性．22014年山东省高考数学模拟试卷（一）（文科）答案1. B2. A3. A4. D5. C6. A7. A8. C9. D 10. D 11. ±√2 12. 3 13. 1214. y =±34x15. sin 2(30∘+x)+sin(30∘+x)cos(30∘−x)+cos 2(30∘−x)=3416. （I ）∵ (a +b +c)(a −b +c)＝(a +c)2−b 2＝ac ， ∴ a 2+c 2−b 2＝−ac ， ∴ cosB =a 2+c 2−b 22ac=−12，又B 为三角形的内角，则B ＝120∘；(II)由(I)得：A +C ＝60∘，∵ sinAsinC =√3−14，cos(A +C)=12，∴ cos(A −C)＝cosAcosC +sinAsinC ＝cosAcosC −sinAsinC +2sinAsinC ＝cos(A +C)+2sinAsinC =12+2×√3−14=√32， ∴ A −C ＝30∘或A −C ＝−30∘，则C ＝15∘或C ＝45∘．17. 解：(1)由题意，男生抽取6×2020+10=4人，女生抽取6×1020+10=2人；(2)设“被抽取的2人中恰有一名女生”为事件A ，被抽到的4位男生分别即为a ，b ，c ，d ，被抽到的2位女生分别即为e ，f ，则随机抽取2人的基本事件有：ab ，ac ，ad ，ae ，af ， bc ，bd ，be ，bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ，ef 共15种，“恰有一名女生”的基本事件有：ae ，af ，be ，bf ，ce ，cf ，de ，df 共8种，所以事件A 发生的频率P =815；(3)K2=50×(20×15−5×10)2=8.333，30×20×25×25由于8.333>6.635，所以有99%的把握认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关．18. 解：(1)令n=1，得2a1−a1=a12，即a1=a12，∵ a1≠0，∴ a1=1，令n=2，得2a2−1=1⋅(1+a2)，解得a2=2，当n≥2时，由2a n−1=S n，得2a n−1−1=S n−1，两式相减得2a n−2a n−1=a n，即a n=2a n−1，∴ 数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴ a n=2n−1，即数列{a n}的通项公式a n=2n−1；(2)由(1)知，na n=n⋅2n−1，设数列{na n}的前n项和为T n，则T n=1+2×2+3×22+...+n×2n−1，①2T n=1×2+2×22+3×23+...+n×2n，②①-②得，−T n=1+2+22+...+2n−1−n⋅2n=2n−1−n⋅2n，∴ T n=1+(n−1)2n．19. (I)证明：连接BC1，AC1，∵ 在△ABC1中，M，N是AB，A1C的中点∴ MN // BC1．又∵ MN不属于平面BCC1B1，∴ MN // 平面BCC1B1．(II)解：∵ 三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∴ 四边形BCC1B1是正方形．∴ BC1⊥B1C．∴ MN⊥B1C．连接A1M，CM，△AMA1≅△BMC．∴ A1M=CM，又N是A1C的中点，∴ MN⊥A1C．∵ B1C与A1C相交于点C，∴ MN⊥平面A1B1C．(III)解：由(II)知MN是三棱锥M−A1B1C的高．在直角△MNC中，MC=√5，A1C=2√3，∴ MN=√2．又S△A1B1C =2√2．V M−A1B1C=13MN⋅S△A1B1C=43．20. （I）由题意可知：F1(−2, 0)，F2(2, 0)．故⊙C的半径为2，圆心为原点O关于直线x+y−2＝0的对称点．设圆心的坐标为(m, n)．则{nm=1m2+n2−2=0，解得{m=2n=2．∴ 圆C的方程为(x−2)2+(y−2)2＝4；(II)由题意，可设直线l的方程为x＝my+2，则圆心到直线l的距离d=√1+m2，∴ b=2√22−d2=√1+m2．由{x=my+2x2+5y2=5得(5+m2)y2+4my−1＝0．设l与E的两个交点分别为(x1, y1)，(x2, y2)．则y1+y2=−4m5+m2，y1y2=−15+m2．∴ a=√(1+m2)[(y1+y2)2−4y1y2]=√(1+m2)[16m2(5+m2)2+4m2+5]=2√5(m2+1)m2+5，∴ ab=8√5√m2+1m2+5=√5√m2+1+4√2≤√52√√m2+1⋅4√m2+1=2√5．当且仅当√m2+1=√m2+1，即m=±√3时等号成立．故当m=±√3时，ab最大，此时，直线l的方程为x=±√3y+2，即x±√3y−2=0．21. 解：(I)当a=−1时，f(x)=lnx+x+2x−1，x∈(0, +∞)，所以f′(x)=1x +1−2x2，因此，f′(2)=1，即曲线y=f(x)在点（2, f(2)）处的切线斜率为1，又f(2)=ln2+2，y=f(x)在点（2, f(2)）处的切线方程为y−(ln2+2)=x−2，所以曲线，即x−y+ln2=0；（II）因为f(x)=lnx−ax+1−ax−1，所以f′(x)=1x −a+a−1x2=−ax2−x+1−ax2，x∈(0, +∞)，令g(x)=ax2−x+1−a，x∈(0, +∞)，（1）当a=0时，g(x)=−x+1，x∈(0, +∞)，所以，当x∈(0, 1)时，g(x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减；（2）当a≠0时，由g(x)=0，即ax2−x+1−a=0，解得x1=1，x2=1a−1．①当a=12时，x1=x2，g(x)≥0恒成立，此时f′(x)≤0，函数f(x)在(0, +∞)上单调递减；②当0<a<1时，2x∈(0, 1)时，g(x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减，−1)时，g(x)<0，此时f′(x)>0，函数f(x)单调递增，x∈(1, 1a−1, +∞)时，g(x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减；x∈(1a−1<0，③当a<0时，由于1ax∈(0, 1)时，g(x)>0，此时f′(x)<0函数f(x)单调递减；x∈(1, +∞)时，g(x)<0此时函数f′(x)>0函数f(x)单调递增．综上所述：当a≤0时，函数f(x)在(0, 1)上单调递减；函数f(x)在(1, +∞)上单调递增时，函数f(x)在(0, +∞)上单调递减当a=12时，函数f(x)在(0, 1)上单调递减；当0<a<12−1)上单调递增；函数f(x)在(1, 1a−1, +∞)上单调递减．函数f(x)在(1a。

数学_2014年山东省日照市高考数学一模试卷(理科)_(含答案)

2014年山东省日照市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合M ＝{x|y ＝ln(1−x)}，集合N ＝{y|y ＝e x , x ∈R}（e 为自然对数的底数），则M ∩N ＝（）A {x|x <1}B {x|x >1}C {x|0<x <1}D ⌀ 2. 复数z =1−i ，则1z +z =( )A 12+32i B 12−32i C 32−32i D 32−12i3. 三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形．若三棱柱的正视图（如图所示）的面积为8，则侧视图的面积为（） A 8 B 4 C 4√3 D √34. 函数y =sin(3x +π3)cos(x −π6)+cos(3x +π3)cos(x +π3)的图象的一条对称轴的方程是（）A x =π12 B x =π6 C x =−π12 D x =−π245. “2a >2b ”是“lga >lgb”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 6. 若P(2, −1)为圆(x −1)2+y 2=25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( ) A x −y −3=0 B 2x +y −3=0 C x +y −1=0 D 2x −y −5=07. 从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为( )A 224B 112C 56D 288. 现有四个函数：①y =x ⋅sinx②y =x ⋅cosx③y =x ⋅|cosx|④y =x ⋅2x 的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（）A ①④③②B ④①②③C ①④②③D ③④②①9. 已知三点A(2, 1)，B(1, −2)，C(35, −15)，动点P(a, b)满足0≤OP →⋅OA →≤2，且0≤OP →⋅OB →≤2，则动点P 到点C 的距离小于14的概率为（） A 1−5π64 B 5π64 C 1−π16 D π1610. 已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)={x2+2，x∈[0,1)2−x2，x∈[−1,0)，且f(x+2)=f(x)，g(x)=2x+5x+2，则方程f(x)=g(x)在区间[−5, 1]上的所有实根之和为（）A −5B −6C −7D −8二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若(√x+2x)n的展开式中的第5项为常数，则n=________．12. 执行框图，若输出P的值是24，则输入的正整数N应为________．13. 若双曲线x2a2−y2b2=1的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率是________．14. 已知双曲正弦函数sℎx=e x−e−x2和双曲余弦函数cℎx=ex+e−x2与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似的正确结论________．15. 若关于x的不等式（组）0≤x2+79x−2n(2n+1)2<29对任意n∈N∗恒成立，则所有这样的解x的集合是________．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16. 已知函数f(x)=2sin(x−π6)sin(x+π3)，x∈R．（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）在△ABC中，若A=π4，锐角C满足f(C2+π6)=12，求BCAB的值．17. 寒假期间，我市某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光花园”社区人们的幸福度，现从调查人群中随机抽取16名，如果所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）；若幸福度分数不低于8.5分，则该人的幸福度为“幸福”．（1）求从这16人中随机选取3人，至少有2人为“幸福”的概率；（2）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．18. 如图，等腰梯形ABCD 中，AD // BC ，P 是平面ABCD 外一点，P 在平面ABCD 的射影O 恰在AD 上，PA =AB =BC =2AO =2，BO =√3．（1）证明：PA ⊥BO ；（2）求二面角A −BP −D 的余弦值．19. 已知数列{a n }是首项为a 1=14，公比q =14的等比数列，设b n +2=3log 14a n (n ∈N ∗)，数列{c n }满足c n =a n ⋅b n ．（1）求证：{b n }是等差数列；（2）求数列{c n }的前n 项和S n ；（3）若c n ≤14m 2+m −1对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围．20. 椭圆C 2的方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)，离心率为√22，且短轴一端点和两焦点构成的三角形面积为1，抛物线C 1的方程为y 2=2px(p >0)，焦点F 与抛物线的一个顶点重合．（1）求椭圆C 2和抛物线C 1的方程；（2）过点F 的直线交抛物线C 1于不同两点A ，B ，交y 轴于点N ，已知NA →=λ1AF →，NB →=λ2BF →，求λ1+λ2的值．（3）直线l 交椭圆C 2于不同两点P ，Q ，P ，Q 在x 轴上的射影分别为P′，Q′，满足OP →⋅OQ →+OP′→⋅OQ′→+1=0（O 为原点），若点S 满足OS →=OP →+OQ →，判定点S 是否在椭圆C 2上，并说明理由．21. 已知函数f(x)=e x +ax ，g(x)=e x lnx(e =2.71828…)．（1）设曲线y =f(x)在x =1处的切线为l ，到点(1, 0)的距离为√22，求a 的值；（2）若对于任意实数x ≥0，f(x)>0恒成立，试确定a 的取值范围；（3）当a =−1时，是否存在实数x 0∈[1, e]，使曲线C:y =g(x)−f(x)在点x =x 0处的切线与y 轴垂直？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．2014年山东省日照市高考数学一模试卷（理科）答案1. C2. D3. C4. A5. B6. A7. B8. C9. B 10. C 11. 12 12. 4 13. 5314. cℎ(x −y)=cℎx ⋅cℎy −sℎx ⋅sℎy 15. {−1,29}16. 解：（1）f(x)=2sin(x −π6)sin[π2+(x −π6)]=2sin(x −π6)cos(x −π6)=sin(2x −π3)， ∵ ω=2，∴ 函数f(x)的最小正周期T =2π2=π；（2）由（1）得，f(C2+π6)=sin[2(C2+π6)−π3]=sinC ，由已知sinC =12，又角C 为锐角， ∴ C =π6，∵ A =π4，∴ 由正弦定理BCsinA =ABsinC ，得BCAB =sinAsinC =√2212=√2．17. 解：（1）记至少有2人是“幸福”为事件A ，由题意知P(A)=1−C 43C 163−C 42×C 121C 163=1−1140−18140=121140．…（2）由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3． P(ξ=0)=(14)3=164，P(ξ=1)=C 31⋅34⋅(14)2=964， P(ξ=2)=C 32(34)2(14)=2764，P(ξ=3)=(34)3=2764，…∴ ξ的分布列为：Eξ=164×0+964×1+2764×2+2764×3=94．…18. （1）证明：∵ AB =2AO =2，BO =√3，∴ AB 2=AO 2+BO 2， ∴ AO ⊥BO ，∵ P 在平面ABCD 的射影O 恰在AD 上， ∴ BO ⊥PO ， ∵ AO ∩PO =O ， ∴ BO ⊥平面PAO ， ∵ PA ⊂平面PAO ， ∴ PA ⊥BO ；（2）解：取PB 的中点E ，连接AE ，DE ， ∵ PA =2AO =2，∴ PO =√3， ∵ BO ⊥PO ，BO ⊥PO ， ∴ PB =√6，∵ PD =BD =2√3 ∴ DE ⊥PB ，∵ PA =AB =2，∴ AO ⊥PB ，∴ ∠AED 是二面角A −BP −D 的平面角． ∵ AE =√102，DE =√422，AD =4，∴ cos∠AED =104+424−16⋅=−√10535． 19. 解：（1）由题意知，a n =(14)n ． ∵ b n +2=3log 14a n ，b 1+2=3log 14a 1∴ b 1=1∴ b n+1−b n =3log 14a n+1−3log 14a n =3log 14a n+1a n=3log 14q =3∴ 数列{b n }是首项为1，公差为3的等差数列．（2）由（1）知，a n =(14)n ．b n =3n −2∴ C n =(3n −2)×(14)n ．∴ S n =1×14+4×(14)2+...+(3n −2)×(14)n ，于是14S n =1×(14)2+4×(14)3+…(3n −2)×(14)n+1，两式相减得34S n =14+3×[(14)2+(14)3+...+(14)n )−(3n −2)×(14)n+1， =12−(3n +2)×(14)n+1，∴ S n =23−3n+23×(14)n ．（3）∵ C n+1−C n =(3n +1)×(14)n+1−(3n −2)×(14)n =9(1−n)×(14)n+1， ∴ 当n =1时，C 2=C 1=14当n ≥2时，C n+1<C n ，即C 2=C 1>C 3>C 4>...>C n ∴ 当n =1时，C n 取最大值是14又C n ≤14m 2+m −1∴ 14m 2+m −1≥14即m 2+4m −5≥0解得m ≥1或m ≤−5．20. 解：（1）由题意，椭圆离心率为√22，且短轴一端点和两焦点构成的三角形面积为1， ∴ ca =√22，bc =1，∵ a 2=b 2+c 2，∴ 解得a =√2，b =c =1， ∴ 椭圆C 2的方程是x 2+y 22=1．由此可知抛物线C 1的焦点为F(1, 0)，得p =2， ∴ 抛物线C 1:y 2=4x ．… （2）由题意知，设直线AB 的方程为y =k(x −1)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则N(0, −k) 直线与抛物线联立，消元可得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0 ∴ x 1+x 2=2k 2+4k 2，x 1x 2=1，由NA →=λ1AF →，NB →=λ2BF →，得λ1(1−x 1)=x 1，λ2(1−x 2)=x 2整理得λ1=x 11−x 1，λ2=x21−x 2可得λ1+λ2=x 1+x 2−2x 1x 21−(x1+x 2)+x 1x 2=−1．…（3）设P(x 3, y 3)，Q(x 4, y 4)，则P′(x 3, 0)，Q′(x 4, 0)， ∵ OS →=OP →+OQ →，∴ S(x 3+x 4, y 3+y 4) ∵ OP →⋅OQ →+OP′→⋅OQ′→+1=0， ∴ 2x 3x 4+y 3y 4=−1①∵ P ，Q 在椭圆上，∴ x 32+y 322=1②，x 42+y 422=1③由①+②+③得(x 3+x 4)2+(y 3+y 4)22=1∴ 点S 在椭圆C 2上．…21. 解：（1）f′(x)=e x +a ，f(1)=e +a ． y =f(x)在x =1处的切线斜率为f′(1)=e +a ，∴ 切线l 的方程为y −(e +a)=(e +a)(x −1)，即(e +a)x −y =0．又点(1, 0)到切线l 的距离为√22，∴√(e+a)2+(−1)2=√22，解之得，a =−e +1或a =−e −1．（2）∵ x ≥0，f(x)=e x +ax >0恒成立，若x =0，f(0)=1>0恒成立；若x >0，f(x)=e x +ax >0恒成立，即a >−e xx ，在x >0上恒成立，设Q(x)=−e xx ，则Q′(x)=−xe x −e xx 2=(1−x)⋅e xx 2，当x ∈(0, 1)时，Q′(x)>0，则Q(x)在(0, 1)上单调递增；当x ∈(1，+∞0时，Q′(x)<0，则Q(x)在(1, +∞)上单调递减； ∴ 当x =1时，Q(x)取得最大值，Q(1)=−e ， ∴ a 的取值范围为(−e, +∞)．（3）依题意，曲线C 的方程为y =e x lnx −e x +x ，令M(x)=e x lnx −e x +x ， ∴ M′(x)=e x x+e x lnx −e x +1=(1x +lnx −1)⋅e x +1，设ℎ(x)=1x +lnx −1，则ℎ′(x)=−1x 2+1x =x−1x 2，当x ∈[1, e]时，ℎ′(x)≥0，故ℎ(x)在[1, e]上单调增函数，因此ℎ(x)在[1, e]上的最小值为ℎ(1)=0，即ℎ(x)=1x +lnx −1≥ℎ(1)=0，又x 0∈[1, e]时，e x >0，1x+lnx −1≥0，∴ M′(x)=(1x +lnx −1)⋅e x +1>0，曲线y =e x lnx −e x +x 在点x =x 0处的切线与y 轴垂直等价于方程M′(x)=0有实数解，但是M′(x)>0，M′(x)=0没有实数解，故不存在实数x 0∈[1, e]，使曲线C:y =g(x)−f(x)在点x =x 0处的切线与y 轴垂直．。

2014届高三数学一模模拟卷

2012届高三数学一模模拟卷1.命题“ -x ・R ，si nx_-1 ”的否定是 ___________ •y = ”og1(x_3) >,B =』y y =2 —匚，0 <x 兰1 务3. _________________________________________________________________________ 已知向量a , b 满足| a |=1, | b |=2, a _ (a b )，则向量a , b 夹角的大小为 _______________4. 函数y =x 2,(x >o )的图像在点(a k ,a 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为 a k 屮,k ^N*,a 1=16，贝y a 1 a 2 a 3= _______ •5. 已知 a , B E 包sin( a + B )= - 3 sin 命 )=1^ 则 cos辽」 5， V 4厂估6•把函数y n f(x)的图像向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得图象的函数解析式为y =J 2尹9,函数y = f (X )的解析式为 ______________ •7. 已知命题p ：1兰x 兰1,命题q : x 2 _(2a +1)x +a(a +1)兰0,若一1P 是一1 q 的必要而不充分条2件，则实数a 的取值范围是 ____________________________ •x8. 已知函数 f (x )= W (a .0,a=1)，且函数y =g(x)的图象与函数f (x)的图象关于a +1原点对称，贝y g (X ). g (—X )= ____________9. 已知丨 OA I =1,1 OB I = , OA «OB =0,点 C 在/ AOB 内，且/ AO(=30 ，设OC =m OA +n OB (m 、n € R)，则 m 等于n2 严 _ 10. 已知f (x )=x -5 f (3+2s in<m 2 +3m -2对一切日R 恒成立，则实数 m 的范围为2x 'i" x 11. 设函数 f (X)二 2 , x 士0,，若Jog 2 x,x >0贝U 实数a 的取值范围为 ______ . 12. 设函数f(x)=x 2 2X —1，若a ：：b ： -1且f(a)r f(b),则ab a b 的取值范围为13•函数y =f x gx 在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得ln y =g (X )n f (x )，两边求导数 y =g "(x jn f (x f g (x )f (X ),y f (x ) ”(X f (x 內(x 讣彳〔运用此方法可以探求得知 y =x£ (x >0 )的一个单调增区间为 14•已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,若(a 2 -1)3 2010(a 2 -1)=1 ,(a 2009 T)3 ' 2010(a 2009 T)「-1，则下列四个命题中真命题的序号为① S 2009 =2009 ；② S 2010 = 2010 ；③ a 200^：' a 2 ； ④ §009 ■■ S 215. 如图，点B 在以PA 为直径的圆周上，点 C 在线段AB 上，已知 PAPPB^PC 」52，设 NAFB =a,AC = P , a ,P 均为锐角•(1 )求：；(2)求两条向量 AC,PC 的数量积AC PC 的值•16. 已知命题 p : —X [1,2], x 2 -a 2 -0;命题 q :若4x a ：：：0， q ”2•若集合Ah 关于x 的方程f 2(x) -af (x) =0恰有三个不同的实数解,是 y "=f (x $(x为真，“ p且q ”为假，求实数a的取值范围。

2014版高考数学(山东专用)模拟试题精编10无答案

山东省数学高考模拟试题精编十【说明】本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.题号一二三总分13141516171819202122得分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知全集U＝R，集合A＝{x|｜x|≤1，x∈Z｝,B＝{x|x2－2x＝0}，则图中的阴影部分表示的集合为（)A．｛－1｝B．｛2｝C．{1，2｝D．{0，2}2．已知复数z满足z＝错误!（i为虚数单位），则复数错误!所对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．从一个正方体中截去部分几何体，得到的几何体的三视图及尺寸（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是( ）A.错误!cm3B.错误!cm3C.错误!cm3D．8 cm34．（理)已知ξ～N(3,σ2)，若P(ξ≤2）＝0。

2，则P（ξ≤4)等于( ）A．0。

2 B．0.3C．0。

7 D．0.8(文）在一个袋子中装有分别标注1,2，3,4,5,6的6个小球，这些小球除标注的数字外完全相同,现从中随机取出2个小球，则取出标注的数字之差的绝对值为2或4的小球的概率是（）A。

错误!B。

错误!C。

错误! D.错误!5．如图，程序结束输出s的值是（)A．30 B．55C．91 D．1406．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c,且a cos C，b cos B,c cos A成等差数列，若b＝错误!，则a＋c的最大值为( ）A。

错误!B．3C．2错误!D．97．对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图,则估计此样本的众数、中位数分别为（)A．2，2.5 B．2。

25，2。

02C．2。

25，2.5 D．2.5，2。

258．（理)函数f（x)＝错误!的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为( )A．3 B.7 2C．4 D。

山东省淄博市高考数学一模试卷(理科)

山东省淄博市高考数学一模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）(2019·金华模拟) 设集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）如果实数x、y满足那么z=2x+y的范围为（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高一下·水富期中) 已知三角形△ABC三边满足a2+b2=c2﹣ ab，则此三角形的最大内角为（）A . 60°B . 90°C . 120°D . 150°4. （2分） (2016高三上·沈阳期中) 如图给出的是计算 + + +…+ + 的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）A . i≤4030？B . i≥4030？C . i≤4032？D . i≥4032？5. （2分） (2019高二上·安平月考) 设φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分）双曲线9x2﹣16y2=144的渐近线方程是（）A . y=±xB . y=±xC . y=±xD . y=±x7. （2分） (2018高一上·佛山期末) 已知，，则（）A . 2B .C .D . 18. （2分）设函数， g（x）=﹣x2+bx．若y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且仅有两个不同的公共点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），则下列判断正确的是（）A . x1+x2＞0，y1+y2＞0B . x1+x2＞0，y1+y2＜0C . x1+x2＜0，y1+y2＞0D . x1+x2＜0，y1+y2＜0二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分）设复数z满足﹣iz=（3+2i）（1﹣i）（其中i为虚数单位），则z=________10. （1分）(2016·绵阳模拟) （x2﹣2x﹣2）4的展开式中，x3的系数为________．（用数字填写答案）．11. （1分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球体积为________（t为参数）过椭圆C：12. （1分）(2013·湖南理) 在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为________．13. （1分） (2019高三上·上海月考) 若是上单调函数，且对任意都有，则 ________14. （1分）已知定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=（x﹣a）2﹣a2 ，且对x∈R，恒有f（x+1）≥f（x），则实数a的取值范围为________三、解答题 (共6题；共55分)15. （5分）已知函数f（x）=sin cos ﹣cos2 + ，x∈R（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若已知cos（β﹣α）= ，cos（β+α）=﹣，（0＜α＜β≤ ）求f（β+ ）的值．16. （10分） (2016高二下·漯河期末) 某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]芯片甲81240328芯片乙71840296（1）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；（2）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（1）的前提下，记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的分布列及生产1件芯片甲和1件芯片乙所得总利润的平均值．17. （10分） (2017高二下·故城期末) 如图，四边形是等腰梯形，，，，在梯形中，，且，平面 .（1）求证：平面；（2）若二面角的大小为，求的长.18. （15分）(2020高三上·闵行期末) 已知数列满足（1）当时，写出所有可能的值；（2）当时，若且对任意恒成立，求数列的通项公式；（3）记数列的前项和为，若分别构成等差数列，求 .19. （5分） (2019高二下·昭通月考) 如图，已知椭圆过点，且离心率为 .（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作斜率分别为的两条直线，分别交椭圆于点，，且，求直线过定点的坐标.20. （10分） (2017高二下·桂林期末) 已知函数f（x）=x3+ax2+bx在x=﹣与x=1处都取得极值．（1）求a，b的值；（2）求曲线y=f（x）在x=2处的切线方程．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题；共55分)15-1、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、。

数学_2014年山东省某校高考数学一模试卷(文科)_(含答案)

2014年山东省某校高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知i 为虚数单位，复数z 1=a +i ，z 2=2−i ，且|z 1|=|z 2|，则实数a 的值为（）A 2B −2C 2或−2D ±2或02. 已知全集U =R ，且A ={x||x −1|>2}，B ={x|x 2−6x +8<0}，则(∁U A)∩B 等于（）A (2, 3)B [2, 3]C (2, 3]D (−2, 3]3. (cosπ12−sin π12)(cos π12+sin π12)=( ) A −√32 B −12 C 12 D √324. 一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为（）A 12B 32C 1D 13 5. 已知x 、y 的取值如下表从所得的散点图分析，y 与x 线性相关，且y ̂=0.95x +a ，则a =6. 下列结论错误的是( )A 命题“若x 2−3x −4=0，则x =4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2−3x −4≠0” B “x =4”是“x 2−3x −4=0”的充分条件 C 命题“若m >0，则方程x 2+x −m =0有实根”的逆命题为真命题 D 命题“若m 2+n 2=0，则m =0且n =0”的否命题是“若m 2+n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”7. 设z =x +y ，其中实数x ，y 满足{x +2y ≥0x −y ≤00≤y ≤k，若z 的最大值为12，则z 的最小值为（）A −3B −6C 3D 68. 已知△ABC 的三边长为a 、b 、c ，满足直线ax +by +c ＝0与圆x 2+y 2＝1相离，则△ABC 是（）A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 以上情况都有可能9. 抛物线y 2=−12x 的准线与双曲线x 29−y 23=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于（）A 3√3B 2√3C 2D √310. 已知函数f(x)={2−x −1(x ≤0)f(x −1)(x >0) ，若方程f(x)＝x +a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（）A (−∞, 1]B (0, 1)C [0, +∞)D (−∞, 1)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知向量a →，b →满足|a →|=√2，|b →|=2，(a →−b →)⊥a →，则向量a →与b →的夹角等于________．12. 如果执行如图的框图，输入N =5，则输出的数等于________． 13. 若△ABC 三边长a ，b ，c 满足等式(a +b −c)(a +b +c)=ab ，则角C 的大小为________．14. 已知数列{a n }为：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，则a 50=________．15. 若函数y =f(x)是奇函数，则：①y =|f(x)|的图象关于y 轴对称；②若函数f(x)对任意x ∈R 满足f(x +2)=1−f(x)1+f(x)，则4是函数f(x)的一个周期；③若log m 3<log n 3<0，则0<m <n <1；④若f(x)=e |x−a|在[1, +∞)上是增函数，则a ≤1．其中正确命题的序号是________．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知函数f(x)＝2√3sin(x +π4)cos(x +π4)−sin(2x +π)．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(Ⅱ)若将f(x)的图象向右平移π12个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0, π2]上的最大值和最小值． 17. 对山东省实验中学高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取m名学生作样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如图：（1）求出表中m，p及图中a的值；（2）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求两人来自同一小组的概率．合计m118. 如图，点C是以AB为直径的圆上一点，直角梯形BCDE所在平面与圆O所在平面垂直，且DE // BC，DC⊥BC，DE=12BC=2，AC=CD=3．（1）证明：EO // 平面ACD；（2）证明：平面ACD⊥平面BCDE；（3）求三棱锥E−ABD的体积．19. 已知等差数列{a n}的公差d>0，且a2，a5是方程x2−12x+27=0的两根，数列{b n}的前n项和为T n，且满足b1=3，b n+1=2T n+3(n∈N∗)．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设数列{c n}满足，c n=a nb n，求数列{c n}的前n项和M n．20. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，过焦点垂直于长轴的弦长为√2，焦点与短轴两端点构成等腰直角三角形．（1）求椭圆C的标准方程．（2）过点P(−2, 0)作直线l与椭圆C交于A、B两点，求△AF1B的面积的最大值．21. 已知函数f(x)=12x2−ax+(a−1)lnx．（1）函数f(x)在点（2, f(2)）处的切线与x+y+3=0平行，求a的值；（2）讨论函数f(x)的单调性；（3）对于任意x1，x2∈(0, +∞)，x1>x2，有f(x1)−f(x2)>x2−x1，求实数a的范围．2014年山东省某校高考数学一模试卷（文科）答案1. C2. C3. D4. A5. D6. C7. B8. C9. A10. D11. 45∘12. 4513. 2π3 14. 6515. ①②④16. （1）f(x)＝2√3sin(x +π4)cos(x +π4)−sin(2x +π)=√3sin(2x +π2)+sin2x =√3cos2x +sin2x＝2sin(2x +π3)， ∵ ω＝2，∴ f(x)的最小正周期为π；令2kπ−π2≤2x +π3≤2kπ+π2，k ∈Z ，解得：kπ−5π12≤x ≤kπ+π12，k ∈Z ，则f(x)单调递增区间为[kπ−5π12, kπ+π12]，k ∈Z ；（2）根据题意得：g(x)＝2sin[2(x −π12)+π3]＝2sin(2x +π6)，∵ 2x +π6∈[π6, 7π6]，∴ −1≤2sin(2x +π6)≤2，则f(x)的最大值为2，最小值为−1．17. 解：（1）由频率分布表知，[10, 15)内的频数为10，频率为0.25，∵ 10M =0.25，∴ M =40，p =1−0.25−0.6−0.05=0.1．（2）∵ m =40−10−24−2=4，∴ 社区服务的次数不小于20次的学生共有，m +2=6，[20, 25)小组由4人，设为A ，B ，C ，D ，[25, 30)小组由2人，设为E ，F ，任选2人的基本事件有，AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，共15种，来自同一组的有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，EF ，共7种，∴ 两人来自同一小组的概率为715． 18. 解：（1）如图，取BC 的中点M ，连接O 同、ME ．在三角形ABC 中，O 是AB 的中点，M 是BC 的中点，∴ OM // AC ，在直角梯形BCDE 中，DE // BC ，且DE =CM ，∴ 四边形MCDE 是平行四边形，∴ EM // CD ，∴ 面EMO // 面ACD ，又∵ EO ⊂面EMO ，∴ EO // 面ACD ．（2）∵ AB 是圆的直径，C 点在圆上，∴ AC ⊥BC ，又∵ 平面BDCE ⊥平面ABC ，平面BDCE ∩平面ABC =BC∴ AC ⊥平面BDCE ，∵ AC ⊂平面ACD ，∴ 平面ACD ⊥平面BCDE ；（3）由（2）知AC ⊥平面ABDE ，可得AC 是三棱锥A −BDE 的高线，∵ Rt △BDE 中，S △BDE =12DE ×CD =12×2×3=3．因此三棱锥E −ABD 的体积=三棱锥A −BDE 的体积=13×S △BDE ×AC =13×3×3=3． 19. 解：（1）∵ 等差数列{a n }的公差d >0，且a 2，a 5是方程x 2−12x +27=0的两根，∴ {a 2+a 5=12a 2a 5=27，解得a 2=3，a 5=9，或a 2=9，a 5=3（∵ d >0，∴ 舍去） ∴ {a 1+d =3a 1+4d =9，解得a 1=1，d =2， ∴ a n =1+(n −1)×2=2n −1．n ∈N ∗．∵ b 1=3，b n+1=2T n +3(n ∈N ∗)，①∴ b n =2T n−1+3(n ∈N ∗)，②两式相减并整理，得b n+1=3b n ，n ≥2，∴ b n =3n ，n ∈N ∗．（2）c n =a n b n =2n−13n ，∴ M n =13+332+⋯+2n+13n ，① 13M n =132+333+⋯+2n−13n+1，②23M n =13+232+233+⋯+23n −2n −13n+1 =13+29(1−13n−1)1−13−2n −13n+1 =23−2n+23n+1，∴ M n =1−n+13n ．20. 解：（1）∵ 过焦点垂直于长轴的弦长为√2，焦点与短轴两端点构成等腰直角三角形， ∴ b =c ，2b 2a =√2，∴ a =√2，b =1，∴ 椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1．（2）设直线l:my =x +2(m ≠0)，代入椭圆方程可得(m 2+2)y 2−4my +2=0， △=(4m)2−8(m 2+2)>0，可得m 2>2，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则y 1+y 2=4m m 2+2，y 1⋅y 2=2m 2+2，∴ △AF 1B 的面积为S △PF 1B −S △PF 1A =12|PF 1||y 2−y 1|=12|y 2−y 1|， |y 2−y 1|=√(4m m 2+2)2−8m 2+2=2√2(m 2−2)(m 2+2)2=2√2(m 2−2)+16m 2−2+8≤2√28+8=√22，当且仅当m 2=6时，取等号，满足m 2>2，∴ △AF 1B 的面积的最大值为12⋅√22=√24． 21. 解：（1）∵ f(x)=12x 2−ax +(a −1)lnx ，∴ f′(x)=x −a +a−1x ，∵ 函数f(x)在点（2, f(2)）处的切线与x +y +3=0平行，∴ 2−a +a−12=−1，∴ a =5；（2）f′(x)=(x−1)[x−(a−1)]，x∴ x=1或a−1．a>2时，f(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, a−1)上单调递减，在(a−1, +∞)上递增；a=2时，f(x)在(0, +∞)上单调递增；1<a<2时，f(x)在(0, a−1)上单调递增，在(a−1, 1)上单调递减，在(1, +∞)上递增；a≤1时，f(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上递增．（3）∵ f(x1)−f(x2)>x2−x1，∴ f(x1)+x1>f(x2)+x2，令F(x)=f(x)+x，则对于任意x1，x2∈(0, +∞)，x1>x2，有f(x1)−f(x2)>x2−x1，等价于F(x)在(0, +∞)上是增函数．∵ F(x)=f(x)+x，[x2−(a−1)x+a−1]，∴ F′(x)=1x令g(x)=x2−(a−1)x+a−1a−1<0时，F′(x)≥0在(0, +∞)上恒成立，则g(0)≥0，∴ a≥1，不成立；a−1≥0，则g(a−1)≥0，即(a−1)(a−5)≤0，∴ 1≤a≤5，2综上1≤a≤5．。

2014年山东省烟台市高考数学一模试卷(理科)

2014年山东省烟台市高考数学一模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.设i是虚数单位，复数的虚部为()A.-iB.-1C.iD.1【答案】D【解析】试题分析：利用复数的运算法则和虚部的意义即可得出．复数===3+i，其虚部为1．故选：D．2.已知集合M={x|y=ln(1-x)}，集合N={(x，y)|y=e x，x∈R(e为自然对数的底数)}，则M∩N=()A.{x|x＜1}B.{x|x＞1}C.{x|0＜x＜1}D.Φ【答案】D【解析】试题分析：由集合M={x|y=ln(1-x)}是数集，集合N={(x，y)|y=e x，x∈R}是点集，知M∩N=Φ．∵集合M={x|y=ln(1-x)}={x|1-x＞0}={x|x＜1}是数集，集合N={(x，y)|y=e x，x∈R}是点集，∴M∩N=Φ，故选D．3.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A.48B.32+8C.48+8D.80【答案】C【解析】试题分析：由已知中的三视图我们可以得到该几何体是一个底面为等腰梯形的直四棱柱，根据三视图中标识的数据，我们分别求出四棱柱的底面积和侧面积即可得到答案．如图所示的三视图是以左视图所示等腰梯形为底的直四棱柱，其底面上底长为2，下底长为4，高为4，故底面积S底=×(2+4)×4=12腰长为：=则底面周长为：2+4+2×=6+2则其侧面积S侧=4×(6+2)=24+8则该几何体的表面积为S=2×S底+S侧=2×12+24+8=48+8故选C．4.某程序的框图如图所示．执行该程序，若输入的p为16，则输出的n的值为( )A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】试题分析：根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到不满足条件S＜16，输出n 的值，可得答案．由程序框图知：程序第一次运行S=0+3×1=3，n=1+1=2；第二次运行S=3+3×2=9，n=2+1=3；第三次运行S=3+6+3×3=18，n=3+1=4．不满足条件S＜16，输出n=4，S=18．故选：B．5.以q为公比的等比数列{a n}中，a1＞0，则“a1＜a3”是“q＞1”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：根据等比数列的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．在等比数列中，若a1＜a3，则a1＜a1q2，∵a1＞0，∴q2＞1，即q＞1或q＜-1．若q＞1，则a1q2＞a1，即a1＜a3成立，∴“a1＜a3”是“q＞1”成立的必要不充分条件，故选：B．6.已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α∥β④若m∥l，则α⊥β其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】试题分析：根据有关定理中的诸多条件，对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件去判定，将由条件可能推出的其它的结论也列举出来．(1)中，若α∥β，且m⊥α⇒m⊥β，又l⊂β⇒m⊥l，所以①正确．(2)中，若α⊥β，且m⊥α⇒m∥β，又l⊂β，则m与l可能平行，可能异面，所以②不正确．(3)中，若m⊥l，且m⊥α，l⊂β⇒α与β可能平行，可能相交．所以③不正确．(4)中，若m∥l，且m⊥α⇒l⊥α又l⊂β⇒α⊥β，∴④正确．故选B．7.已知圆O：x2+y2=1及以下3个函数：①f(x)=x3；②f(x)=tanx；③f(x)=xsinx其中图象能等分圆C面积的函数有()A.3个B.2个C.1 个D.0个【答案】B【解析】试题分析：要使图象能等分圆C面积，则函数必须关于原点对称．圆O关于原点O对称．函数f(x)=x3与函数f(x)=tanx是定义域上的奇函数，其图象关于原点对称，能等分圆O面积；而f(x)=xsinx是R上的偶函数，其图象关于y轴对称，且当0＜x≤1时，f(x)=xsinx＞0不能等分圆O面积．故满足条件的函数只有①②．故选：B．8.双曲线C1的中心在原点，焦点在x轴上，若C1的一个焦点与抛物线C2：y2=12x的焦点重合，且抛物线C2的准线交双曲线C1所得的弦长为4，则双曲线C1的实轴长为( ) A.6 B.2 C. D.2【答案】D【解析】试题分析：由题意可得双曲线C1的一个焦点为(3，0)，c=3，可设双曲线C1的方程为再根据抛物线C2的准线交双曲线C1所得的弦长为4，求得a的值，可得双曲线C1的实轴长2a的值．由题意可得双曲线C1的一个焦点为(3，0)，∴c=3，可设双曲线C1的方程为．由，解得y=±，∴2×=4，解得a=，∴双曲线C1的实轴长为2a=2，故选：D．9.下列四个图中，哪个可能是函数的图象( )A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：根据的图象由奇函数左移一个单位而得，结合对称性特点判断．∵是奇函数，向左平移一个单位得，∴图象关于(-1，0)中心对称，故排除A、D，当x＜-2时，y＜0恒成立，排除B．故选：C10.已知函数f(x)=x+sinx(x∈R)，且f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤0，则当y≥1时，的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：判断函数f(x)的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，利用直线和圆的位置关系，结合数形结合和的几何意义即可得到结论．∵f(x)=x+sinx(x∈R)，∴f(-x)=-x-sinx=-(x+sinx)=-f(x)，即f(x)=x+sinx(x∈R)是奇函数，∵f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤0，∴f(y2-2y+3)≤-f(x2-4x+1)=f[-(x2-4x+1)]，由f'(x)=1-cosx≥0，∴函数单调递增．∴(y2-2y+3)≤-(x2-4x+1)，即(y2-2y+3)+(x2-4x+1)≤0，∴(y-1)2+(x-2)2≤1，∵y≥1，∴不等式对应的平面区域为圆心为(2，1)，半径为1的圆的上半部分．的几何意义为动点P(x，y)到定点A(-1，0)的斜率的取值范围．设k=，(k＞0)则y=kx+k，即kx-y+k=0．当直线和圆相切是，圆心到直线的距离d=，即8k2-6k=0，解得k=．此时直线斜率最大．当直线kx-y+k=0．经过点B(3，1)时，直线斜率最小，此时3k-1+k=0，即4k=1，解得k=，∴，故选：A．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.若实数x，y满足，则z=y-x的最小值是．【答案】-3【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．由z=y-x得y=x+z，作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分ABC)：平移直线y=x+z由图象可知当直线y=x+z经过点A时，直线y=x+z的截距最小，此时z也最小，由，解得，即A(2，-1)．将A(2，-1)代入目标函数z=y-x，得z=-1-2=-3．故答案为：-3．12.已知tanα=2，则= ．【答案】【解析】试题分析：先将所求三角式化为二次齐次式，注意运用同角三角函数基本关系式和二倍角公式，再将分式的分子分母同除以cos2α，即可将所求化为关于tanα的式子，最后将已知代入即可∵==将上式分子分母同除以cos2α，得=，∵tanα=2∴==故答案为13.设a=sinxdx，则二项式(a-)6的展开式中含有x2的项为．【答案】-192x2【解析】试题分析：计算定积分求得a，从而求得二项式的通项公式，再在二项式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求得r的值，可得展开式中含有x2的项．∵a=sinxdx=-cosx=-(cosπ-cos0)=2，∴二项式(a-)6=(2-)6的通项公式为：T r+1=••(-1)r•=(-1)r••26-r•x3-r，令3-r=2，求得r=1，∴展开式中含有x2的项为：-192x2，故答案为：-192x2．14.某团队有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为．【答案】【解析】试题分析：6个人拿6把钥匙可以看作是6个人的全排列，而甲乙对门的拿法种数包括甲乙拿301与302门的钥匙，其余4人任意排列，甲乙拿303与304门的钥匙，其余4人任意排列，甲乙拿305与306门的钥匙，其余4人任意排列，然后利用古典概型概率计算公式求概率．法一、6个人拿6把钥匙共有种不同的拿法，记甲、乙恰好对门为事件A，则事件A包括甲、乙拿了301与302，其余4人随意拿．共种；甲、乙拿了303与304，其余4人随意拿．共种；甲、乙拿了305与306，其余4人随意拿．共种；所以甲、乙两人恰好对门的拿法共有种．则甲、乙两人恰好对门的概率为p(A)=．故答案为．法二、仅思考甲乙2人那钥匙的情况，甲可以拿走6个房间中的任意一把钥匙，有6种拿法，乙则从剩余的5把钥匙中那走一把，共有6×5=30种不同的拿法，而甲乙对门的拿法仅有种，所以甲乙恰好对门的概率为．故答案为．15.在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在平面向量集D={|=(x，y)，x∈R，y∈R}上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“›”．定义如下：对于任意两个向量=(x1，y1)，=(x2，y2)，›当且仅当“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”．按上述定义的关系“›”，给出如下四个命题：①若=(1，0)，=(0，1)，=(0，0)，则››；②若›，›，则›；③若›，则对于任意∈D，(+)›(+)；④对于任意向量›，=(0，0)若›，则•›•．其中真命题的序号为．【答案】①②③【解析】试题分析：根据已知条件中，›当且仅当“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”．按上述定义的关系“›”，判断各个选项是否正确，从而得出结论．对于任意两个向量=(x1，y1)，=(x2，y2)，›当且仅当“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”，对于①，若=(1，0)，=(0，1)，=(0，0)，则›，且›，故①正确．对于②，设向量=(x1，y1)，=(x2，y2)，=(x3，y3)，若›，›，则有“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”，“x2＞x3”或“x2=x3且y2＞y3”．故有“x1＞x3”或“x1=x3且y1＞y3”．故有›．对于③，若›，则对于任意∈D，设=(x，y)，=(x1，y1)，=(x2，y2)，∵“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”，∴“x+x1＞x+x2”或“x+x1=x+x2且y+y1＞y+y2”，∴(+)›(+)，故③正确．对于④，设设=(x，y)，=(x1，y1)，=(x2，y2)，由›，得“x＞0”或“x=0且y＞0”；由›，得“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”；可得“x=0且y＞0”且“x1＞x2且y1＜y2”，故有“xx1=xx2且yy1＜yy2”，所以›不成立，所以④不正确，故答案为：①②③．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已=(2cosx+2sinx，1)，=(cosx，-y)，满足．(1)将y表示为x的函数f(x)，并求f(x)的最小正周期；(2)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若对所有的x∈R恒成立，且a=2，求b+c的取值范围．【答案】解：(1)∵，=(2cosx+2sinx，1)，=(cosx，-y)，∴(2cosx+2sinx)cosx-y=0即f(x)=(2cosx+2sinx)cosx=2cos2x+2sinxcosx=1+cos2x+sin2x=1+2sin(2x+)T==π∴f(x)的最小正周期为π．(2)∵对所有的x∈R恒成立∴1+2sin(2x+)≤1+2sin(A+)对所有的x∈R恒成立即sin(2x+)≤sin(A+)对所有的x∈R恒成立，而A是三角形中的角∴A=∴cos A=cos=即b2+c2=4+bc即(b+c)2=4+3bc≤4+3∴(b+c)2≤16即b+c≤4而b+c＞a=2∴2＜b+c≤4即b+c的取值范围为(2，4]【解析】(1)根据向量的数量积公式可求出f(x)的解析式，然后利用二倍角公式和辅助角公式进行化简，最后利用周期公式可求出所求；(2)根据对所有的x∈R恒成立可求出角A，然后利用余弦定理求出b与c的等量关系，利用基本不等式和构成三角形的条件可求出b+c的取值范围．17.已知数列{a n}前n项和为S n，首项为a1，且成等差数列．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)数列满足b n=(log2a2n+1)×(log2a2n+3)，求证：．【答案】解：(Ⅰ)∵成等差数列，∴，当n=1时，，解得；当n≥2时，，，两式相减得：a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1，∴，所以数列{a n}是首项为，公比为2的等比数列，．(Ⅱ)b n=(log2a2n+1)×(log2a2n+3)=×=(2n-1)(2n+1)，，则==．【解析】(Ⅰ)由题意可得，令n=1可求a1，n≥2时，，，两式相减可得递推式，由递推式可判断该数列为等比数列，从而可得a n；(Ⅱ)表示出b n，进而可得，并拆项，利用裂项相消法可求和，由和可得结论；18.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，对人体健康和大气环境质量的影响很大．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某市环保局从360天的市区PM2.5监测数据中，随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)．(1)从这15天的数据中任取3天的数据，记ξ表示空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列；(2)以这15天的PM2.5日均值来估计这360天的空气质量情况，则其中大约有多少天的空气质量达到一级．【答案】解：(1)由题意知N=15，M=6，n=3，ξ的可能取值为0，1，2，3，其分布列为P(ξ=k)=，(k=0，1，2，3)∴P(ξ=0)==，P(ξ=1)==，P(ξ=2)==，P(ξ=3)==，∴ξ的分布列是：(2)依题意知，一年中每天空气质量达到一级的概率为P==，一年中空气质量达到一级的天数为η，则η～B(360，)，∴Eη=360×=144，∴一年中空气质量达到一级的天数为144天．【解析】(1)由题意知N=15，M=6，n=3，ξ的可能取值为0，1，2，3，其分布列为P(ξ=k)=，(k=0，1，2，3)，由此能求出ξ的分布列．(2)依题意知，一年中每天空气质量达到一级的概率为，一年中空气质量达到一级的天数η～B(360，)，由此能求出一年中空气质量达到一级的天数．19.已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿直线BD将△BCD翻折成△BC′D，使得平面BC′D⊥平面ABD．(Ⅰ)求证：C′D⊥平面ABD；(Ⅱ)求直线BD与平面BEC′所成角的正弦值．【答案】(Ⅰ)证明：平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，沿直线BD将△BCD翻折成△BC′D，可知CD=6，BC′=BC=10，BD=8，即BC′2=C′D2+BD2，故C′D⊥BD．∵平面BC'D⊥平面ABD，平面BC′D∩平面ABD=BD，C′D⊂平面BC′D，∴C′D⊥平面ABD．(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知C′D⊥平面ABD，且CD⊥BD，如图，以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，则D(0，0，0)，A(8，6，0)，B(8，0，0)，C'(0，0，6)．∵E是线段AD的中点，∴E(4，3，0)，=(-8，0，0)，．在平面BEC′中，=(-4，3，0)，′=(-8，0，6)，设平面BEC′法向量为=(x，y，z)，∴，令x=3，得y=4，z=4，故=(3，4，4)．设直线BD与平面BEC′所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=∴直线BD与平面BEC′所成角的正弦值为．【解析】(Ⅰ)根据题意可得翻折成△BC'D以后线段的长度不发生变化，所以可得CD=6，BC′=BC=10，BD=8，即BC′2=C′D2+BD2，故C′D⊥BD．，再结合面面垂直的性质定理可得线面垂直．(II)根据题意建立空间直角坐标系，求出直线所在的向量与平面的法向量，再利用向量的有关知识求出两个向量的夹角，进而可求直线BD与平面BEC′所成角的正弦值．20.已知椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P(2，3)，Q(2，-3)在椭圆上，点A、B是椭圆上不同的两个动点，且满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．【答案】(1)∵椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，∴设椭圆C的方程为，a＞b＞0，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点，∴b=2，，∵a2=b2+c2，∴a=4，∴椭圆C的方程为．(2)当∠APQ=∠BPQ时，PA，PB的斜率之和为0，设直线PA的斜为k，则PB的斜率为-k，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设PA的直线方程为y-3=k(x-2)，由，消去y并整理，得：(3+4k2)x2+8(3-2k)kx+4(3-2k2)-48=0，∴，设PB的直线方程为y-3=-k(x-2)，同理，得=，∴，，k AB====，∴AB的斜率为定值．【解析】(1)由已知条件设椭圆C的方程为，并且b=2，，由此能求出椭圆C的方程．(2)由已知条件设PA的直线方程为y-3=k(x-2)，PB的直线方程为y-3=-k(x-2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由已知条件推导出，，由此能求出AB 的斜率为定值．21.已知函数f n(x)=，其中n∈N*，a∈R，e是自然对数的底数．(1)求函数g(x)=f1(x)-f2(x)的零点；(2)若对任意n∈N*，f n(x)均有两个极值点，一个在区间(1，4)内，另一个在区间[1，4]外，求a的取值范围；(3)已知k，m∈N*，k＜m，且函数f k(x)在R上是单调函数，探究函数f m(x)的单调性．【答案】(1)g(x)=f1(x)-f2(x)=-=，△=4+4a，①当a＜-1时，△＜0，函数g(x)有1个零点：x1=0；②当a=-1时，△=0，函数g(x)有2个零点：x1=0，x2=1，；③当a=0时，△＞0，函数g(x)有两个零点：x1=0，x2=2；④当a＞-1，a≠0时，△＞0函数g(x)有三个零点：x1=0，x2=1-，；(2)′=，设g n(x)=-nx2+2(n+1)x+an-2，g n(x)的图象是开口向下的抛物线．由题意对任意n∈N*，g n(x)=0有两个不等实数根x1，x2，且x1∈(1，4)，x2∉[1，4]，则对任意n∈N*，g n(1)g n(4)＜0，即n(a+1)•n•[a-(8-)]＜0，又任意n∈N*，8-关于n递增，8-＞-1，故-1＜a＜(8-)min，-1＜a＜8-6=2，∴a的取值范围是(-1，2)．(3)由(2)知，存在x∈R，′＜0，又函数f k(x)在R上是单调函数，故函数f k(x)在R上是单调减函数，从而=4(k2a+k2+1)≤0，即a，∴≤4[]=，由k，m∈N*，k＜m，知△m＜0，即对任意x∈R，′＜0，故函数f m(x)在R上是减函数．【解析】(1)表示出g(x)=f1(x)-f2(x)=，e x-1有一零点0，只需讨论x2-2x-a的零点情况，△=4+4a，分△＜0，△=0，△＞0三种情况进行讨论可得‘(2)′=，令g n(x)=-nx2+2(n+1)x+an-2，则问题等价于对任意n∈N*，g n(x)=0有两个不等实数根x1，x2，且x1∈(1，4)，x2∉[1，4]，进而由零点判定定理得对任意n∈N*，g n(1)g n(4)＜0，化为恒成立可求；(3)可知函数f k(x)在R上是单调减函数，从而f′k(x)＜0，则=4(k2a+k2+1)≤0，由此推导f′m(x)的符号可得结论；。

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2014年山东省淄博市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）（2014•濮阳二模）已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|（x﹣1）（x+1）＞0}，则A∩B=（） A．（0，1） B．（1，2） C．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

2．（5分）（2014•天津二模）在复平面内，复数的对应点位于（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（5分）（2014•东城区二模）已知tanα=2，那么sin2α的值是（）

A． B． C． D． 4．（5分）（2014•武汉模拟）在等差数列{an}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=（） A．10 B．18 C．20 D．28 5．（5分）（2014•葫芦岛二模）执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2，则输出的x的值为（）

A．3 B．126 C．127 D．128 6．（5分）（2014•淄博一模）如图所示，曲线y=x2﹣1，x=2，x=0，y=0围成的阴影部分的面积为（）

A． B． C． D． 7．（5分）（2014•韶关模拟）把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥C﹣ABD的主视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（）

A． B． C． D． 8．（5分）（2014•淄博一模）下列说法正确的是（） A．“p∨q为真”是“p∧q为真”的充分不必要条件菁优网 www.jyeoo.com

C．若a，b∈[0，1]，则不等式成立的概率是 D．已知空间直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c 9．（5分）（2012•安徽）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（）

A． B． C． D．2

10．（5分）（2014•上海模拟）若函数y=f（x）的导函数在区间（a，b）上的图象关于直线x=对称，则函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（）

A．① B．② C．③ D．③④ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．（5分）（2014•淄博一模）不等式|x+1|+|x﹣2|≤5的解集为 _________ ．

12．（5分）（2014•淄博一模）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是 _________ ． 13．（5分）（2014•淄博一模）在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=2，AC=1，若，则= _________ ． 14．（5分）（2014•淄博一模）从0，1，2，3，4中任取四个数字组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数是 _________ （用数字作答）． 15．（5分）（2014•淄博一模）已知在平面直角坐标系中有一个点列：P1（0，1），P2（x2，y2），…，

．若点Pn（xn，yn）到点Pn+1（xn+1，yn+1）的变化关系为：（n∈N*），则|P2013P2014|等于 _________ ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．

16．（12分）（2014•淄博一模）已知向量=（cos（2x﹣），cosx+sinx），=（1，cosx﹣sinx），函数f

（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）=，a=2，B=，求△ABC的面积S． 17．（12分）（2014•淄博一模）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠ABC=60°，AB=2CB=2．在梯形ACEF中，EF∥AC，且AC=2EF，EC⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：BC⊥AF；菁优网 www.jyeoo.com

18．（12分）（2014•淄博一模）中国男子篮球职业联赛总决赛采用七场四胜制（即先胜四场者获胜）．进入总决赛的甲乙两队中，若每一场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，假设每场比赛的结果互相独立．现已赛完两场，乙队以2：0暂时领先．（Ⅰ）求甲队获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望EX． 19．（12分）（2014•新余二模）若数列{An}满足An+1=An2，则称数列{An}为“平方递推数列”．已知数列{an}中，a1=9，点（an，an+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，其中n为正整数．（Ⅰ）证明数列{an+1}是“平方递推数列”，且数列{lg（an+1）}为等比数列；（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前n项积为Tn，即Tn=（a1+1）（a2+1）…（an+1），求lgTn；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记bn=，求数列{bn}的前n项和Sn，并求使Sn＞4026的n的最小值． 20．（13分）（2014•淄博一模）已知椭圆C：（a＞b＞0）的焦距为2，且过点（1，），右焦

点为F2．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中点M的横坐标为，线段AB的中垂线交椭圆C于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）求的取值范围．

21．（14分）（2014•淄博一模）已知函数f（x）=ex﹣m﹣ln（2x）．（Ⅰ）设x=1是函数f（x）的极值点，求m的值并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当m≤2时，证明：f（x）＞﹣ln2．菁优网 www.jyeoo.com

©2010-2015 jyeoo.com 2014年山东省淄博市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）（2014•濮阳二模）已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|（x﹣1）（x+1）＞0}，则A∩B=（） A．（0，1） B．（1，2） C．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

解答：解：由B中的不等式解得：x＞1或x＜﹣1， ∴B=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）， ∵A={x|0＜x＜2}=（0，2）， ∴A∩B=（1，2）．故选：B．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．（5分）（2014•天津二模）在复平面内，复数的对应点位于（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

解答：解：复数=，

∴复数在复平面内对应的点为（1，﹣2），故复数的对应点位于第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数的代数表示法以及几何意义，考查了复数的代数形式的乘法运算，解题时要认真审题．复数的几何意义是复数和复平面内的点是一一对应关系．属于基础题．

3．（5分）（2014•东城区二模）已知tanα=2，那么sin2α的值是（） A． B． C． D．

解答：解：∵tanα=2， ∴sin2α===．

点评：本题考查二倍角公式，同角三角函数关系，考查学生的计算能力，正确化简是关键． 4．（5分）（2014•武汉模拟）在等差数列{an}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=（） A． 10 B． 18 C． 20 D． 28

解答：解：由等差数列的性质得： 3a5+a7=2a5+（a5+a7）=2a5+（2a6）=2（a5+a6）=2（a3+a8）=20，故选C．点评：本题考查等差数列的性质及其应用，属基础题，准确理解有关性质是解决问题的关键．菁优网 www.jyeoo.com

A． 3 B． 126 C． 127 D． 128 解答：解：当输出的x=2时，执行循环体后，x=3，不满足退出循环的条件，当x=3时，执行循环体后，x=7，不满足退出循环的条件，当x=7时，执行循环体后，x=127，满足退出循环的条件，故输出的x值为127 故选：C 点评：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法．

6．（5分）（2014•淄博一模）如图所示，曲线y=x2﹣1，x=2，x=0，y=0围成的阴影部分的面积为（）

A． B． C． D．

解答：解：由题意S==，

故选A．点评：本题着重考查了定积分的几何意义和积分的计算公式等知识点，属于中档题．

7．（5分）（2014•韶关模拟）把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥C﹣ABD的主视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（）

A． B． C． D．菁优网 www.jyeoo.com

左视图的面积等于，故选：D．

点评：本题考查空间几何体的三视图的画法，三棱锥的三视图的画法，有难度，注意左视图的形状，及其数据，是解题的关键．

8．（5分）（2014•淄博一模）下列说法正确的是（） A． “p∨q为真”是“p∧q为真”的充分不必要条件 B．已知随机变量X～N（2，σ2），且P（X≤4）=0.84，则P（X≤0）=0.16

C．若a，b∈[0，1]，则不等式成立的概率是

D．已知空间直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c

解答：解：对A，因为“p∨q为真”不一定“p∧q为真”，所以A不对；对B，因为随机变量X～N（2，σ2），且P（X≤4）=0.84，所以随机变量X服从正态分布N（2，σ2）， μ=2，所以p（X≤0）=p（X≥4）=1﹣p（X≤4）=0.16．故B对；

对C，这是几何概型问题．其中区域D：边长为1的正方形，区域d：半径为的第一象限内的圆，测度为面积，所以则不等式成立的概率是，故C错；对D，若空间直线a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则a，c平行或相交或异面，所以D错．故选：B．点评：本题主要考查充分必要条件的判断以及随机变量中正态分布、概率中的几何概率、空间两直线的位置关系，解题时必须对每一个选项考虑，还应注意选正确的，还是错误的，是一道基础题．

9．（5分）（2012•安徽）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（） A． B． C． D． 2