练_圆的综合练(苏科版)(原卷版)
苏科版九年级上册数学第2章 对称图形——圆 含答案
苏科版九年级上册数学第2章对称图形——圆含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1，a 2， a3， a4，则下列关系中正确的是（）A.a4＞a2＞a1B.a4＞a3＞a2C.a1＞a2＞a3D.a2＞a3＞a42、△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的直径为10，∠ABC=45°，则AC的长是（）A.5B.10C.5D.103、下列说法错误的是（）A.有一个角是直角的菱形是正方形B.相等的圆周角所对的弧不一定相等C.垂直于半径的直线是圆的切线D.有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似4、已知点P是半径为5 的⊙O内的一点，且OP＝3，则过点P的所有⊙O的弦中，最短的弦长等于（）A.4B.6C.8D.105、已知圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，则圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.6、如图，AB是⊙O的直径，O为圆心，C是⊙O上的点，D是上的点，若∠D＝120°，则∠BOC的大小为（）A.60°B.55°C.58°D.40°7、如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=2，OB=1，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（）A.πB.π+5C.D.8、已知扇形的圆心角为45°，半径长为10，则该扇形的弧长为（）A. B. C.3π D.9、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么线段OE的长为（）A.6B.5C.4D.310、如图，PA、PB、CD与⊙O相切于点为A、B、E，若PA=7，则△PCD的周长为（）A.7B.14C.10.5D.1011、如图，点A，B是⊙O上两点，AB＝10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF的长为（）A.5B.6C.7D.812、如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点，连接BD、DE.若BD平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是（）A.BD⊥ACB.AC 2=2AB•AEC.△ADE是等腰三角形D.BC=2AD13、将圆心角为90°，面积为4πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径为（）A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm14、如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为4的“等边扇形”的面积为（）A.8B.16C.2πD.4π15、如图，点在上，是的切线，为切点，的延长线交于点，，则的度数是（）A.22．5°B.20°C.30°D.45°二、填空题(共10题，共计30分)16、过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，E两点的圆的圆心为D，如果∠A=60°，那么∠B为________.17、如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=30°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D=________°．18、如图，和分别是的直径和弦，且，，交于点，若，则的长是________.19、如图，AB为⊙O直径，CD⊥AB，∠BDC=35°，则∠CAD=________=________cm2.20、将长为8cm的铁丝首尾相接围成半径为2cm的扇形，则S扇形21、圆锥的底面半径是1，母线长是4，则它的侧面展开图的圆心角是________ .22、已知ΔABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，则ΔABC的外接圆面积为________。
第2章《对称图形--圆》单元自测卷(1)-2021-2022学年苏科版九年级数学上册培优训练(答案)
第2章《对称图形--圆》单元自测卷(1)-苏科版九年级数学上册 培优训练一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）1、已知⊙O 的直径为10，点P 到点O 的距离大于8，那么点P 的位置（ ）A ．一定在⊙O 的内部B ．一定在⊙O 的外部C ．一定在⊙O 的上D ．不能确定2、下列说法：①三角形的外心到三角形三边的距离相等②若两个扇形的圆心角相等，则它们所对的弧长也相等③三点确定一个圆④平分弧的直径垂直于弦⑤等弧所对的圆周角相等⑥在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，其中正确的个数有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3、已知正六边形的边长是2，则该正六边形的边心距是（ ）A ．1B ．3C ．2D ．324、圆锥的高是4cm ，其底面圆半径为3cm ，则它的侧面展开图的面积为（ ）A ．212πcmB ．224πcmC ．215πcmD ．230πcm5、如图，半圆的圆心为0，直径AB 的长为12，C 为半圆上一点，∠CAB ＝30°，AC 的长是（ ） A ．12π B ．6π C ．5π D ．4π(5) (6) (7) (8)6、如图所示，AB 是O 的直径，PA 切O 于点A ，线段PO 交O 于点C ，连接BC ，若36P ∠=︒，则B ∠等于（ ）A ．27︒B ．32︒C ．36︒D ．54︒7、如图，在菱形ABCD 中，以AB 为直径画弧分别交BC 于点F ，交对角线AC 于点E ，若AB =4，F 为BC 的中点，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2233π-B ．23C ．4333π-D ．23π 8、如图，已知A 、B 两点的坐标分别为(2,0)-、(0,1)，C 的圆心坐标为(0,1)-，原点(0,0)在C 上，E 是C 上的一动点，则ABE ∆面积的最小值为( )A ．1B ．522- C ．312- D ．25588- 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）9、O 的圆心是原点()0,0O ，半径为5，点()3,A a 在O 上，如果点A 在第一象限内，那么a =______. 10、平面直角坐标系内的三个点A （1，－3）、B （0，－3）、C （2，－3），___ 确定一个圆．（填“能”或“不能”）11、如图，五边形ABCDE 为O 的内接正五边形，则CAD ∠= ．(11) (12)12、如图所示，若用半径为6，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）， 则这个圆锥的底面半径是______．13、⊙O 的半径为2，弦BC ＝23，点A 是⊙O 上一点，且AB ＝AC ，直线AO 与BC 交于点D ， 则AD 的长为_____．14、在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1cm ，则经过A 、B 、C 三点的弧长是 cm （结果保留π）．(14) (15) (16)15、如图，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A ，点B ，点A 的坐标为(0，3)，M 是第三象限内弧OB上一点，∠BMO ＝120°，则⊙C 的半径为______.16、如图，直线a b ⊥，垂足为H ，点P 在直线b 上，4PH cm =，O 为直线b 上一动点，若以1cm 为半径的O 与直线a 相切，则OP 的长为 ．三、解答题（本大题共有11小题，共102分．）17、（6分）如图，点P 是⊙O 的直径AB 延长线上的一点（PB ＜OB ），点E 是线段OP 的中点．（1）尺规作图：在直径AB 上方的圆上作一点C ，使得EC ＝EP ，连接EC ，PC （保留清晰作图痕迹，不要求写作法）；并证明PC 是⊙O 的切线；（2）在（1）的条件下，若BP ＝4，EB ＝1，求PC 的长．18、（6分）已知：如图点O 是∠EPF 的角平分线上的一点，以点O 为圆心的圆和∠EPF 的两边交于点A 、B 、C 、D ．求证：∠OBA=∠OCD19、（8分） 已知PA ，PB 分别切⊙O 于A ，B ，E 为劣弧AB 上一点，过E 点的切线交PA 于C ，交PB 于D ．(1)若PA ＝6，求△PCD 的周长；(2)若∠P ＝50°，求∠DOC ．20、（8分）如图ABC 内接于O ，60B ∠=，CD 是O 的直径，点P 是CD 延长线上一点，且AP AC =．()1求证：PA 是O 的切线；()2若5PD =，求O 的直径．21、（8分）如图，AB=AC ，CD ⊥AB 于点D ，点O 是∠BAC 的平分线上一点⊙O 与AB 相切于点M ，与CD相切于点N（1）求证：∠AOC=135°（2）若NC=3，BC=5DM 的长22、（10分）如图，AB 、CD 是⊙O 中两条互相垂直的弦，垂足为点E ，且AE ＝CE ，点F 是BC 的中点，延长FE 交AD 于点G ，已知AE ＝1，BE ＝3，OE ＝2．（1）求证：△AED ≌△CEB ；（2）求证：FG ⊥AD ；（3）若一条直线l 到圆心O 的距离d ＝5，试判断直线l 是否是圆O 的切线，并说明理由．23、（10分）如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点C 的直线交AB 的延长线于点D ，AE ⊥DC ，垂足为E ，F 是AE 与⊙O 的交点，AC 平分∠BAE（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．24、（8分）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，点E 在⊙O 外，60EAC D ∠=∠=︒． （1）求证：AE 是⊙O 的切线；（2）当4BC =时，求阴影部分的面积．25、（12分）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A 、B 、C ，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：（1）利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D 点的位置，并写出D 点的坐标为 ；（2）连接AD 、CD ，⊙D 的半径为 ，∠ADC 的度数为 ；（3）若扇形DAC 是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径．26、（12分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上，BD=DC ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，⊙O 经过A ，B ，D 三点．（1）求证：AB 是⊙O 的直径；（2）判断DE 与⊙O 的位置关系，并加以证明；（3）若⊙O 的半径为3，∠BAC=60°，求DE 的长．27、（14分）Rt ABC 中,90ACB ∠=︒,2BC =,60B ∠=︒,点D 是AB 的中点,点P 是直线AC 上方平面内一点（不与A ､C 重合）,且PD AD =,以P 为圆心,PA 为半径作P ．（1）如图1,当P 经过点D 时,①PAD △为______ 三角形; ②求证:P 一定经过点C ; ③阴影部分的面积为______;（2）如图2,过点D 作直线l AB ⊥于点D ,且P 与直线l 相切,求AP 的长;（3）设P 与AB 的另一个交点为Q ,当1DQ =时,直接写出AP 的长．第2章《对称图形--圆》单元自测卷(1)-苏科版九年级数学上册 培优训练（解析）一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）1、已知⊙O 的直径为10，点P 到点O 的距离大于8，那么点P 的位置（ ）A ．一定在⊙O 的内部B ．一定在⊙O 的外部C ．一定在⊙O 的上D ．不能确定试题分析：O 的直径为10，半径为5，点P 到点O 的距离大于8，,r d <点P 一定在O 的外部，故选B ．2、下列说法：①三角形的外心到三角形三边的距离相等②若两个扇形的圆心角相等，则它们所对的弧长也相等③三点确定一个圆④平分弧的直径垂直于弦⑤等弧所对的圆周角相等⑥在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，其中正确的个数有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【分析】根据确定圆的条件，垂径定理，三角形外心的性质，圆周角定理，弦、圆心角、弧的关系判断即可．【答案】解：①三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；故不符合题意；②在同圆或等圆中，若两个扇形的圆心角相等，则它们所对的弧长也相等，故不符合题意； ③不在同一条直线上的三点确定一个圆，故不符合题意；④平分弧的直径垂直于这条弧所对的弦；故不符合题意；⑤等弧所对的圆周角相等，故符合题意；⑥在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧或劣弧相等，故不符合题意；故选：B ．3、已知正六边形的边长是2，则该正六边形的边心距是（ ）A ．1 BC ．2 D【分析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．【详解】如图，连接OA ，作OM ⊥AB ．∵正六边形ABCDEF 的边长为2，∴∠AOM =30°，AM 12=AB 12=⨯2=1，∴正六边形的边心距是OM tan AM AOM ∠===故选B ．4、圆锥的高是4cm ，其底面圆半径为3cm ，则它的侧面展开图的面积为（ ）A ．212πcmB ．224πcmC ．215πcmD ．230πcm 【答案】C【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．【解析】∵圆锥的高为4cm ，底面半径为3cm ，∴圆锥的母线长为：22435+=(cm )，∴圆锥的侧面展开图的面积为：π×3×5=15π(cm 2)．故选：C ．5、如图，半圆的圆心为0，直径AB 的长为12，C 为半圆上一点，∠CAB ＝30°，AC 的长是（ ）A ．12πB ．6πC ．5πD ．4π【分析】如图，连接OC ，利用等腰三角形的性质及内角和定理求得∠AOC 的度数，然后利用弧长公式进行解答即可．【详解】解：如图，连接OC ，∵OA ＝OC ，∠CAB ＝30°，∴∠C ＝∠CAB ＝30°，∴∠AOC ＝120°，∴弧AC 的长度l ＝12064180ππ⨯=． 故选：D ．6、如图所示，AB 是O 的直径，PA 切O 于点A ，线段PO 交O 于点C ，连接BC ，若36P ∠=︒，则B ∠等于（ ）A ．27︒B ．32︒C ．36︒D ．54︒【分析】直接利用切线的性质得出90PAO ∠=︒，再利用三角形内角和定理得出54POA ∠=︒，结合圆周角定理得出答案．【详解】∵PA 切O 于点A ，∴90PAO ∠=︒， ∵36P ∠=︒， ∴903654POA ∠=︒-︒=︒，∴1272B POA ∠=∠=︒， 故答案为：A ．7、如图，在菱形ABCD 中，以AB 为直径画弧分别交BC 于点F ，交对角线AC 于点E ，若AB =4，F 为BC 的中点，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2233π-B ．3C ．4333π-D ．23π【分析】取AB 的中点O ，连接AF ，OF ，先证明△ABC 是等边三角形，再把问题转化为S 阴=S 扇形OBF ，由此即可解决问题．【详解】解：如图，取AB 的中点O ，连接AF ，OF ．∵AB 是直径，∴∠AFB =90°，∴AF ⊥BF ，∵CF =BF ，∴AC =AB ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴AE =EC ，易证△CEF ≌△BOF ，∴S 阴=S 扇形OBF =2602360π⋅⋅=23π， 故选D ．8、如图，已知A 、B 两点的坐标分别为(2,0)-、(0,1)，C 的圆心坐标为(0,1)-，原点(0,0)在C 上，E 是C 上的一动点，则ABE ∆面积的最小值为( )A ．1B ．52C ．31D ．2558- 解：如图，过点C 作CD AB ⊥，交C 于E ，此时ABE ∆面积的值最小(AB 是定值，只要圆上一点E 到直线AB 的距离最小，设直线AB 的解析式为(0)y kx b k =+≠，(2,0)A -，(0,1)B ，∴201k b b -+=⎧⎨=⎩，∴121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的解析式为112y x =+①， 设直线CD 的解析式为y k x b ='+'， CD AB ⊥，2k ∴'=-，(0,1)C -，1b ∴=-，∴直线CD 的解析式为21y x =--②，联立①②得，4(5D -，3)5，(0,1)C -，224345()(1)555CD ∴=++=， C 的半径为1，4515DE CD CE ∴=-=-， (2,0)A -，(0,1)B ，22215AB ∴=+=，455111522252ABE S AB DE ∆⎛⎫∴=⋅=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭的最小值，故选：B ．二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）9、O 的圆心是原点()0,0O ，半径为5，点()3,A a 在O 上，如果点A 在第一象限内，那么a =______.【分析】如图,可得OA=5，OB=3，运用勾股定理可以求得AB 的长，即为a 的值.【详解】解：如图由题意得：OA=5，OB=3，由勾股定理可得：2222534OA OB -=-=即a=410、平面直角坐标系内的三个点A （1，－3）、B （0，－3）、C （2，－3），___ 确定一个圆．（填“能”或“不能”）【答案】不能【分析】根据三个点的坐标特征得到它们共线，于是根据确定圆的条件可判断它们不能确定一个圆．【解析】解：∵B （0，-3）、C （2，-3），∴BC ∥x 轴，而点A （1，-3）与C 、B 共线，∴点A 、B 、C 共线，∴三个点A （1，-3）、B （0，-3）、C （2，-3）不能确定一个圆．故答案为：不能．11、如图，五边形ABCDE 为O 的内接正五边形，则CAD ∠= ．【解答】解：五边形ABCDE 是O 的内接正五边形，AB BC ∴=，(52)1801085B BAE -⨯︒∠=∠==︒， 36ACB BAC ∴∠=∠=︒， 同理36EAD ∠=︒，108363636CAD ∴∠=︒-︒-︒=︒，故答案为：36︒．12、如图所示，若用半径为6，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是______．【答案】2【分析】根据半径为6，圆心角为120°的扇形弧长，等于圆锥的底面周长，列方程求解即可．【解析】设圆锥的底面半径为r ，由题意得，12062180r ππ⨯=， 解得，r =2，故答案为：2．13、⊙O的半径为2，弦BC＝23，点A是⊙O上一点，且AB＝AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为_____．【分析】根据垂径定理，得AB=AC，AO⊥BC，由勾股定理得OD=1，分两种情况分别求出AD的值，即可【详解】如图所示：∵⊙O的半径为2，弦BC=23，点A是⊙O上一点，且AB=AC，∴=，∴AO⊥BC，∴BD=BC=3，在Rt△OBD中，∵BD2+OD2=OB2，即（3）2+OD2=22，解得OD=1，∴当如图1所示时，AD=OA﹣OD=2﹣1=1；当如图2所示时，AD=OA+OD=2+1=3．故答案为1或3．14、在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1cm，则经过A、B、C三点的弧长是cm（结果保留π）．【分析】先作图确定圆心，然后计算圆心角，最后，再依据弧长公式求解即可．【解析】连接BC、AB，作BC与AB的垂直平分线交于点O，点O即为A、B、C所在圆的圆心，则OA2＝22+42＝20，OA＝25可知∠AOC＝90°，∴过A、B、C三点的弧：故答案为 515、如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为(0，3)，M是第三象限内弧OB上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径为______.【分析】根据圆内接四边形的对角互补求出∠A的度数，得到∠ABO的度数，根据直角三角形的性质求出AB的长，得到答案.【详解】解：∵点A的坐标为(0，3)，∴OA＝3，∵四边形ABMO是圆内接四边形，∴∠BMO+∠A＝180°，又∠BMO＝120°，∴∠A＝60°，则∠ABO＝30°，∴AB＝2OA＝6，则则⊙C的半径为3，故答案为：3.16、如图，直线a b=，O为直线b上一动点，若以1cm为半径PH cm⊥，垂足为H，点P在直线b上，4的O与直线a相切，则OP的长为．⊥，O为直线b上一动点，【解答】解：直线a b∴与直线a相切时，切点为H，O∴=，1OH cm当点O在点H的左侧，O与直线a相切时，如图1所示：=-=-=；413()OP PH OH cm当点O在点H的右侧，O与直线a相切时，如图2所示：=+=+=；415()OP PH OH cm∴与直线a相切，OP的长为3cm或5cm，O故答案为：3cm或5cm．三、解答题（本大题共有11小题，共102分．）17、（6分）如图，点P是⊙O的直径AB延长线上的一点（PB＜OB），点E是线段OP的中点．（1）尺规作图：在直径AB上方的圆上作一点C，使得EC＝EP，连接EC，PC（保留清晰作图痕迹，不要求写作法）；并证明PC是⊙O的切线；（2）在（1）的条件下，若BP＝4，EB＝1，求PC的长．【分析】（1）利用尺规作图：以点E为圆心，EP长为半径画弧，在直径AB上方的圆上交一点C，再根据已知条件可得OE＝EC＝EP，根据三角形内角和可得∠ECO+∠ECP＝90°，进而证明PC是⊙O的切线；（2）在（1）的条件下，根据BP＝4，EB＝1，可得EP的长，进而可得半径，再根据勾股定理即可求PC的长．【答案】解：（1）如图，点C即为所求；证明：连接OC，∵点E是线段OP的中点，∴OE＝EP，∵EC＝EP，∴OE＝EC＝EP，∴∠COE＝∠ECO，∠ECP＝∠P，∵∠COE+∠ECO+∠ECP+∠P＝180°，∴∠ECO+∠ECP＝90°，∴OC⊥PC，且OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线；（2）∵BP＝4，EB＝1，∴OE＝EP＝BP+EB＝5，∴OP＝2OE＝10，∴OC＝OB＝OE+EB＝6，在Rt△OCP中，根据勾股定理，得PC8．则PC的长为8．18、（6分）已知：如图点O是∠EPF的角平分线上的一点，以点O为圆心的圆和∠EPF的两边交于点A、B、C、D．求证：∠OBA=∠OCD【答案】见解析.【分析】过点O分别作OM⊥AB，ON⊥CD，则可知OM=ON，且OB=OC，则可证得△OMB≌△ONC，可得出∠OBA=∠OCD．证明：过点O分别作OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为M、N∵∠EPO=∠FPO，∴OM=ON，在Rt△OMB和Rt△ONC中，OM=ON OB=OC⎧⎨⎩，∴Rt△OMB≌Rt△ONC（HL），∴∠OBA=∠OCD．19、（8分）已知PA，PB分别切⊙O于A，B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C，交PB于D．(1)若PA＝6，求△PCD的周长；(2)若∠P＝50°，求∠DOC．【答案】(1)△PCD的周长为12；(2)∠DOC＝65°.【分析】(1) )连接OE，由切线长定理可得PA＝PB＝6,AC＝CE，BD＝DE.再由△PCD的周长＝PC＋PD＋CD＝PC＋PD＋CE＋DE＝PC＋PD＋AC＋BD＝PA＋PB即可求得△PCD的周长；（2）根据已知条件易求∠AOB＝130°；再证明Rt△AOC≌Rt△EOC，由全等三角形的性质可得∠AOC＝∠COE.同理可求得∠DOE＝∠BOD，由此可得∠DOC＝12∠AOB＝65°.(1)连接OE，∵PA，PB与⊙O相切，∴PA＝PB＝6.同理可得：AC＝CE，BD＝DE.∴△PCD的周长＝PC＋PD＋CD＝PC＋PD＋CE＋DE＝PC＋PD＋AC＋BD＝PA＋PB＝12.(2)∵PA，PB与⊙O相切，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠P＝50°，∴∠AOB＝360°－90°－90°－50°＝130°.在Rt△AOC和Rt△EOC中，∴Rt△AOC≌Rt△EOC(HL)．∴∠AOC＝∠COE.同理：∠DOE＝∠BOD，∴∠DOC＝∠AOB＝65°.20、（8分）如图ABC内接于O，60B∠=，CD是O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP AC=．()1求证：PA是O的切线；()2若5PD=，求O的直径．【答案】（1）详见解析；（2）O 的直径为25．【分析】()1连接OA ，根据圆周角定理求出AOC ∠，再根据同圆的半径相等从而可得ACO OAC 30∠∠==，继而根据等腰三角形的性质可得出P 30∠=，继而由OAP AOC P ∠∠∠=-，可得出OA PA ⊥，从而得出结论；()2利用含30的直角三角形的性质求出OP 2OA =，可得出OP PD OD -=，再由PD 5=，可得出O 的直径． ()1连接OA ，如图，B 60∠=，AOC 2B 120∠∠∴==，又OA OC =，OAC OCA 30∠∠∴==， 又AP AC =，P ACP 30∠∠∴==， OAP AOC P 90∠∠∠∴=-=，OA PA ∴⊥，PA ∴是O 的切线．()2在RtOAP 中，P 30∠=，PO 2OA OD PD ∴==+， 又OA OD =，PD OA ∴=，PD 5=2OA 2PD 25∴==O ∴的直径为2521、（8分）如图，AB=AC ，CD ⊥AB 于点D ，点O 是∠BAC 的平分线上一点⊙O 与AB 相切于点M ，与CD相切于点N（1）求证：∠AOC=135°（2）若NC=3，BC=25，求DM的长【分析】(1)只要证明OC平分∠ACD，即可解决问题；(2)由切线长定理可知：AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，设DM=DN=x，在Rt△BDC中，根据222=+，构建方程即可解决问题．BC BD CD【详解】（1）证明：连接OM，ON，过O点做OE⊥AC，交AC于E，如图所示，∵⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N, ∴OM⊥AB，ON⊥CD，∵OA平分∠BAC，OE⊥AC，OM⊥AB,∴OM=OE,即：E为⊙O的切点；∴OE=ON，又∵OE⊥AC，ON⊥CD∴OC平分∠ACD∵CD⊥AB∴∠ADC=90°∴∠DAC+∠ACD=90°∴∠OAC+∠OCA=45°∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-45°=135°，即：∠AOC=135°（2）由（1）得，AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，设DM=DN=x，∵AB=AC∴BD=AB-AD=AC-AE-DM=CE=DM=3-x∵CD=3+x在Rt∆BCD 中，由勾股定理得：222BC BD CD =+ 即：()()2222533x x =-++,解得：x=1或x=-1（舍去）,即DM=1．22、（10分）如图，AB 、CD 是⊙O 中两条互相垂直的弦，垂足为点E ，且AE ＝CE ，点F 是BC 的中点，延长FE 交AD 于点G ，已知AE ＝1，BE ＝3，OE ＝2．（1）求证：△AED ≌△CEB ；（2）求证：FG ⊥AD ；（3）若一条直线l 到圆心O 的距离d ＝5，试判断直线l 是否是圆O 的切线，并说明理由．【分析】（1）由圆周角定理得∠A ＝∠C ，由ASA 得出△AED ≌△CEB ；（2）由直角三角形斜边上的中线性质得EF ＝12BC ＝BF ，由等腰三角形的性质得∠FEB ＝∠B ，由圆周角定理和对顶角相等证出∠A ＋∠AEG ＝90°，进而得出结论；（3）作OH ⊥AB 于H ，连接OB ，由垂径定理得出AH ＝BH ＝12AB ＝2，则EH ＝AH−AE ＝1，由勾股定理求出OH ＝1，OB 5l 到圆心O 的距离d 5⊙O 的半径，即可得出结论．【详解】（1）证明：由圆周角定理得：∠A ＝∠C ，在△AED 和△CEB 中，A C AE CE AED CEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AED ≌△CEB （ASA ）；（2）证明：∵AB ⊥CD ，∴∠AED ＝∠CEB ＝90°，∴∠C +∠B ＝90°，∵点F 是BC 的中点，∴EF ＝12BC ＝BF ，∴∠FEB ＝∠B ， ∵∠A ＝∠C ，∠AEG ＝∠FEB ＝∠B ，∴∠A +∠AEG ＝∠C +∠B ＝90°，∴∠AGE ＝90°，∴FG ⊥AD ；（3）解：直线l 是圆O 的切线，理由如下：作OH ⊥AB 于H ，连接OB ，如图所示：∵AE ＝1，BE ＝3，∴AB ＝AE +BE ＝4，∵OH ⊥AB ，∴AH ＝BH ＝12AB ＝2，∴EH ＝AH ﹣AE ＝1， ∴OH ＝22OE EH -＝22(2)1-＝1，∴OB ＝22BH OH +＝2221+＝5，即⊙O 的半径为5，∵一条直线l 到圆心O 的距离d ＝5＝⊙O 的半径，∴直线l 是圆O 的切线．23、（10分）如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点C 的直线交AB 的延长线于点D ，AE ⊥DC ，垂足为E ，F 是AE 与⊙O 的交点，AC 平分∠BAE（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）阴影部分的面积为8833π． 【分析】（1）连接OC ，先证明∠OAC=∠OCA ，进而得到OC ∥AE ，于是得到OC ⊥CD ，进而证明DE 是⊙O 的切线；（2）分别求出△OCD 的面积和扇形OBC 的面积，利用S 阴影=S △COD ﹣S 扇形OBC 即可得到答案． 解：（1）连接OC ， ∵OA=OC ， ∴∠OAC=∠OCA ，∵AC 平分∠BAE ， ∴∠OAC=∠CAE ，∴∠OCA=∠CAE ， ∴OC ∥AE ， ∴∠OCD=∠E ，∵AE ⊥DE ， ∴∠E=90°， ∴∠OCD=90°， ∴OC ⊥CD ，∵点C 在圆O 上，OC 为圆O 的半径， ∴CD 是圆O 的切线；（2）在Rt △AED 中， ∵∠D=30°，AE=6， ∴AD=2AE=12，在Rt △OCD 中，∵∠D=30°，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC ，∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8，∴CD=22228443-=-=DO OC∴S △OCD =43422⋅⨯=CD OC =83， ∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴∠DOC=60°， ∴S 扇形OBC =16×π×OC 2=83π， ∵S 阴影=S △COD ﹣S 扇形OBC ∴S 阴影=83﹣83π， ∴阴影部分的面积为83﹣83π．24、（8分）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，点E 在⊙O 外，60EAC D ∠=∠=︒． （1）求证：AE 是⊙O 的切线；（2）当4BC =时，求阴影部分的面积．【答案】（1）见详解；（2）阴影部分的面积为1643 3π-．【分析】（1）根据AB是⊙O的直径，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，结合∠ABC=60°求得∠BAC=30°，从而推出∠BAE=90°，即OA⊥AE，可得AE是⊙O的切线；（2）连接OC，作OF⊥AC，根据三角形中位线性质得出OF=2，根据圆周角定理得出∠AOC=120°，然后根据S阴影=S扇形-S△AOC即可求得．【解析】（1）∵∠ABC与∠D都是劣弧AC所对的圆周角，∠D=60°，∴∠ABC=∠D=60°；∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．可得∠BAC=90°-∠ABC=30°，∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，即BA⊥AE，得OA⊥AE，又∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；（2）连接OC，作OF⊥AC，∴OF垂直平分AC，∵OA=OB，4BC=，∴OF=12BC=2，∵∠D=60°，∴∠AOC=120°，∠ABC=60°，∴AC=3432AB =， ∴S 阴影=S 扇形-S △AOC =12041164324336023ππ⨯-⨯⨯=-． 25、（12分）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A 、B 、C ，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：（1）利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D 点的位置，并写出D 点的坐标为 ；（2）连接AD 、CD ，⊙D 的半径为 ，∠ADC 的度数为 ；（3）若扇形DAC 是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径．【答案】（1）圆心D 点的位置见解析，（2，0）；（2）25， 90°；（3）52． 【分析】（1）利用垂径定理可作AB 和BC 的垂直平分线，两线的交点即为D 点，可得出D 点坐标；（2）在△AOD 中AO 和OD 可由坐标得出，利用勾股定理可求得AD 和CD ，过C 作CE ⊥x 轴于点E ，则可证得△OAD ≌△EDC ，可得∠ADO ＝∠DCE ，可得∠ADO +∠CDE ＝90°，可得到∠ADC 的度数；（3）先求得扇形DAC 的面积，设圆锥底面半径为r ，利用圆锥侧面展开图的面积＝πr •AD ，可求得r ．【解析】（1）如图1，分别作AB 、BC 的垂直平分线，两线交于点D ，∴D 点的坐标为（2，0），故答案为：（2，0）；（2）如图2，连接AD 、CD ，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，则OA ＝4，OD ＝2，在Rt △AOD 中，可求得AD ＝5即⊙D 的半径为5且CE ＝2，DE ＝4，∴AO ＝DE ，OD ＝CE ，在△AOD 和△DEC 中，AOD CED OD AO D CE E ∠∠=⎧⎪⎨⎪⎩＝＝ ， ∴△AOD ≌△DEC （SAS ），∴∠OAD ＝∠CDE ，∴∠CDE +∠ADO ＝90°，∴∠ADC ＝90°， 故答案为590°；（3）弧AC 的长＝90180π×55π， 设圆锥底面半径为r 则有2πr 5，解得：r 5， 5．26、（12分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上，BD=DC ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，⊙O 经过A ，B ，D 三点．（1）求证：AB 是⊙O 的直径；（2）判断DE 与⊙O 的位置关系，并加以证明；（3）若⊙O 的半径为3，∠BAC=60°，求DE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）DE 与⊙O 相切；（3）332 【分析】（1）连接AD ，根据等腰三角形三线合一性质得到AD ⊥BC ，再根据90°的圆周角所对的弦为直径即可证得AB 是⊙O 的直径；（2）DE 与圆O 相切，理由为：连接OD ，利用中位线定理得到OD ∥AC ，利用两直线平行内错角相等得到∠ODE 为直角，再由OD 为半径，即可得证；（3）由AB=AC ，且∠BAC=60°，得到DABC 为等边三角形，连接BF ，DE 为DCBF 中位线，求出BF 的长，即可确定出DE 的长．【解析】解：（1）证明：连接AD ，∵AB=AC ，BD=DC ，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB=90°，∴AB 为⊙O 的直径； （2）DE 与⊙O 相切，理由为：连接OD ，∵O 、D 分别为AB 、BC 的中点，∴OD 为△ABC 的中位线，∴OD ∥BC ， ∵DE ⊥BC ，∴DE ⊥OD ，∵OD 为⊙O 的半径，∴DE 与⊙O 相切；（3）解：连接BF ，∵AB=AC ，∠BAC=60°，∴△ABC 为等边三角形，∴AB=AC=BC=6，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AFB=∠DEC=90°，∴AF=CF=3，DE ∥BF ，∵D 为BC 中点，∴E 为CF 中点，DE=12BF ，在Rt △ABF 中，∠AFB=90°，AB=6，AF=3， ∴BF=22226333F AB A -=-=，则DE=12BF=332．27、（14分）Rt ABC 中,90ACB ∠=︒,2BC =,60B ∠=︒,点D 是AB 的中点,点P 是直线AC 上方平面内一点（不与A ､C 重合）,且PD AD =,以P 为圆心,PA 为半径作P ．（1）如图1,当P 经过点D 时,①PAD △为______ 三角形; ②求证:P 一定经过点C ; ③阴影部分的面积为______;（2）如图2,过点D 作直线l AB ⊥于点D ,且P 与直线l 相切,求AP 的长;（3）设P 与AB 的另一个交点为Q ,当1DQ =时,直接写出AP 的长．【答案】（1）①等边;②见解析;③2233S π=-阴影;（2）232AP =-;（3）2AP =或6 【分析】（1）①根据P 经过点D ,则有PA PD =,又PD AD =,即得出结论;②连接PC ､CD ,已得到CDB △为等边三角形,进而得出PCD 为等边三角形,即可得出结论;③由②可得阴影部分的面积扇形CPD 扇形CPD BCD PCD ABC S S S S S =+-=- ,即可得出答案;（2）设切点为N ,连接PN ,作PF AD ⊥于点F ,可得四边形 PFDN 是矩形,设PA r =,则2AF AD FD r =-=-,在Rt APF 和Rt PDN △中,利用勾股定理,列出方程,即可得出答案;（3）过点P 作PG AD ⊥,垂足为点G ,则AG =QG ,根据点Q 的位置可分为两种情况进行讨论即可．【详解】解：（1）①等边三角形 ∵P 经过点D ,∴PA ,PD 为P 的半径,即, ∵PD AD =,∴PA PD AD ==,∴PAD △是等边三角形;②如图,连接PC ､CDCD 为AB 边上中线,90ACB ∠=︒∴CD AD DB ==又60B ∠=︒∴CDB △为等边三角形∴60CDB ∠=︒又PAD △为等边三角形∴60PDA ∠=︒∴18060∠=︒-∠-∠=︒PDC CDB PDAPD AD =,CD AD =∴PD CD =∴PCD 为等边三角形∴PC PD =又PD 为P 半径∴PC 为P 半径即P 一定经过点C ; ③由②可知60,,CPD BCD PCD ∠=︒≌阴影部分的面积扇形CPD 扇形CPD BCD PCD ABC S S S S S =+-=- , 在Rt ABC 中,90ACB ∠=︒,2BC =,60B ∠=︒, ∴tan 602323AC BC ︒=⋅=⨯= ,∴2阴影160222232323603S ππ⋅⋅=⨯⨯-=- , （2）如图,设切点为N ,连接PN ,作PF AD ⊥于点F ．P 与直线l 相切∴PN DN ⊥DN AD ⊥,PF AD ⊥∴四边形 PFDN 是矩形∴PN DF =,PF DN =设PA r =,则2AF AD FD r =-=- Rt APF 中,222PF PA AF =-()222r r =-- Rt PDN △中,222=-DN PD PN 222r =-∴()222222r r r --=- 解得232r =-或232r =--（舍去）即P 相切于l 时,232AP =- （3）如图,过点P 作PG AD ⊥,垂足为点G ,则AG =QG ,当点Q 在A ,D 之间时,∵1DQ =，AD =2，∴AG =QG =12 , 在Rt APG △ 和Rt PDG △ 中,222PG AP AG =- ,222PG DP DG =-,即222211()2(1)22AP -=-+,解得:2AP = 或2AP =-（舍去）; 当点Q 在B ,D 之间时,有2PD AD ==,3AQ AD DQ =+= ,1322AG AQ == 12DG = , ∴222231()2()22AP -=-,解得:6AP =或6AP =-（舍去）; 综上所述:AP 的长2AP 6AP =.。
部编版2020九年级数学上册 第二章 对称图形—圆章末单元测试题三 (新版)苏科版
第二章对称图形—圆1．如图，已知A、B、C三点在⊙O上，∠A=50°，则∠BOC的度数为B OCAA．50° B．25° C．75° D．100°2．如图，在∆ABC中, ∠C＝90°，分别以A、B为圆心，2为半径画圆，则图中阴影部分的面积和为 ( )A BCA．3π B．2π C．π D．2π33．如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC=4，AD=，则AE的长是（）A． 1 B． 1.2 C． 2 D． 34．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DC切⊙O 于E，交AM于D，交BN于C．若AD⋅BC=9，则直径AB的长为A．32 B． 6 C． 9 D．135．如图，在正方形纸板上剪下一个扇形和圆，刚好能围成一个圆锥模型，设围成的圆锥底面半径为r，母线长为R，则r与R之间的关系为（）A．R=2r B．4R=9r C．R=3r D．R=4r6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OC，⊙O的半径R=2，sinB=34，则弦AC的长为（）A． 3 B．7 C．32D．347．图中，EB为半圆O的直径，点A在EB的延长线上，AD切半圆O于点D，BC⊥AD于点C，AB=2，半圆O的半径为2，则BC的长为（）A． 2 B． 1 C． 1.5 D． 0.58．如图所示，从☉O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC，已知∠A=26°，则∠ACB的度数为（）A ． 32° B． 30° C． 26° D． 13°9．如图，在△ABC 中，AB=8 cm ，BC=4 cm ，∠ABC=30°，把△ABC 以点B 为中心按逆时针方向旋转，使点C 旋转到AB 边的延长线上的点C'处，那么AC 边扫过的图形(图中阴影部分)面积是（ ）A ． 20π cm 2B ． (20π+8) cm 2C ． 16π cm 2D ． (16π+8) cm 210．以下命题：①直径相等的圆是等圆； ②长度相等弧是等弧； ③相等的弦所对的弧也相等； ④圆的对称轴是直径；⑤相等的圆周角所对的弧相等；其中正确的个数是（ ）A ． 4B ． 3C ． 2D ． 111．一条弦AB 把圆的 直径分成3和11两 部分，弦 和 直径相交 成300角，则AB 的长为 ． 12．如图，点A 、B 、C 在半径为1的⊙O 上，的长为π，则∠ACB 的大小是_____．13．如图，已知等腰△ABC ，AB =BC ，以AB 为直径的圆交AC 于点D ，过点D 的⊙O 的切线交BC 于点E ，若CD =5，CE =4，则⊙O 的半径是________．14．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ， E 为CD 的延长线上一点.若110B ∠=°，则ADE ∠的大小为____________.15．如图，AB为⊙O直径，BD切⊙O于B点，弦AC的延长线与BD交于D点，若AB=10，AC=8，则DC长为________．16．已知⊙O的周长为8 cm,若PO=2cm,则点P在_______;若PO=4cm,则点P在_____;若PO=6cm,则点P在_______.17．用一张半径为9cm、圆心角为的扇形纸片，做成一个圆锥形冰淇淋的侧面（不计接缝），那么这个圆锥形冰淇淋的底面半径是____cm．18．已知圆锥底面半径为5cm，高为12cm，则它的侧面展开图的面积是cm2．19．如图，⊙ O是△ ABC的外接圆，∠ AOB=70°，则∠ C为______度.20．如图是一个装有两个大小相同的球形礼品的包装盒，其中两个小球之间有个等腰三角形隔板，已知矩形长为45cm，宽为20cm，两圆与矩形的边以及等腰△ABC的腰都相切，则所需的三角形隔板的底边AB长为___________21．在平面直角坐标系中，将某点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这个点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”．（1）以O为圆心，半径为5的圆上有无数对“互换点”，请写出一对符合条件的“互换点”；（2）点M，N是一对“互换点”，点M的坐标为（m，n），且（m＞n），⊙P经过点M，N．①点M的坐标为（4，0），求圆心P所在直线的表达式；②⊙P的半径为5，求m－n的取值范围．22．（1）如图，在矩形ABCD中.点O在边AB上，∠AOC=∠BOD．求证：AO=OB．（2）如图，AB是的直径，PA与相切于点A，OP与相交于点C，连接CB，∠OPA=40°，求∠ABC的度数.23．如图，已知△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r.(1) 当r取什么值时，点A、B在⊙C外.(2)当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外.24．如何在操场上画一个半径为5m的圆，请说明你的理由？25．如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，以AD为半径的⊙A分别与边AC、AB交于点E和点F，DE∥AB，延长CA交⊙A于点G，连接BG.(1)求证：BG是⊙A的切线；(2)若∠ACB＝30°，AD＝3，求图中阴影部分的面积．26．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2．27．如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F ， 60B ∠=︒， 70C ∠=︒.（1）求∠BOC 的度数；（2）求∠EDF 的度数．答案：1．D试题分析：根据圆周角定理求解即可．∵∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°．故选D ．考点：圆周角定理.2．C.试题分析：先根据直角三角形的性质求出直角三角形两锐角的和，再根据扇形的面积公式进行计算即可．∵△ABC 中，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵两圆的半径都为2cm，∴S阴影=2902=360ππ⨯⨯.故选C.3．A分析：利用圆周角性质和等腰三角形性质，确定AB为圆的直径，利用相似三角形的判定及性质，确定△ADE和△BCE边长之间的关系，利用相似比求出线段AE的长度即可．详解：∵等腰Rt△ABC，BC=4，∴AB为⊙O的直径，AC=4，AB=4，∴∠D=90°，在Rt△ABD中，AD=，AB=4，∴BD=，∵∠D=∠C，∠DAC=∠CBE，∴△ADE∽△BCE，∵AD：BC=：4=1：5，∴相似比为1：5，设AE=x，∴BE=5x，∴DE=-5x，∴CE=28-25x，∵AC=4，∴x+28-25x=4，解得：x=1．故选：A．点拨：题目考查了圆的基本性质、等腰直角三角形性质、相似三角形的判定及应用等知识点，题目考查知识点较多，是一道综合性试题，题目难易程度适中，适合课后训练．4．B试题解析：如图，连接OC ．∵AM 和BN 是它的两条切线，∴AM ⊥AB ，BN ⊥AB ，∴AM ∥BN ，∴∠ADE+∠BCE=180°∵DC 切⊙O 于E ，∴∠ODE=12∠ADE ，∠OCE=12∠BCE ， ∴∠ODE+∠OCE=90°，∴∠DOC=90°，∴∠AOD+∠COB=90°，∵∠AOD+∠ADO=90°，∴∠AOD=∠OCB ，∵∠OAD=∠OBC=90°，∴△AOD ∽△BCO ，∴=AD AO BO BC， ∴OA 2=AD•BC=9，∴OA=3，∴AB=2•OA=6．故选B ．点拨：本题考查切线的性质、平行线的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形性质解决问题，属于中考常考题型．5．D试题分析：求得侧面展开图的弧长，以及圆锥的底面周长，让它们相等即可求得r 与R 之间的关系． 解：由题意得：=2πr，解得：R=4r ，故选D ．6．A 延长AO 交圆于点D ，连接CD ，由圆周角定理，得：∠ACD=90°，∠D=∠B∴sinD=sinB=34，Rt△ADC中，sinD=34，AD=2R=4，∴AC=AD•sinD=3．故选A．7．B试题分析：连接OD．AD是切线，点D是切点，∴BC⊥AD，∴∠ODA=∠ACB=90°，BC∥OD．∵AB=O B=2，则点B是AO的中点，∴BC=OD=1．故选B．8．A分析：连接OB，根据切线的性质和直角三角形的两锐角互余求得∠AOB=64°，再由等腰三角形的性质可得∠C=∠OBC，根据三角形外角的性质即可求得∠ACB的度数.详解：连接OB，∵AB与☉O相切于点B，∴∠OBA=90°，∵∠A=26°，∴∠AOB=90°-26°=64°，∵OB=OC，∴∠C=∠OBC，∴∠AOB=∠C+∠OBC=2∠C，∴∠C=32°.故选A.9．A因为△ABC ≌△A′BC ，所以AC 边扫过的图形中阴影部分的面积是一个圆环的面积，即=20πcm²，故选A ．10．D以下命题：①直径相等的圆是等圆，正确； ②长度相等弧是等弧，错误，只有在同圆或等圆中长度相等的弧是等弧；③相等的弦所对的弧也相等，错误；④圆的对称轴是直径，错误，应该是直径所在的直线；⑤相等的圆周角所对的弧相等，错误；所以正确的只有1个，故选D.11．56． 试题分析：如图，过点O 作OF ⊥AB 于点F ，设弦AB 与直径CD 相交于点E ，连接OB ，∵分直径成3和11两部分，∴CD=14，∴OC=12CD=7，∴OE=OC ﹣CE=4，∵∠OE F=30°，∴OF=12OE=2（cm ），∴BF=22OB OF =35，∴AB=2BF=56．故答案为：56．12．36°试题解析：连结OA 、OB ．设∠AOB=n°．∵的长为2π，∴=2π，∴n=40，∴∠AOB=40°，∴∠ACB=∠AOB=20°．．13．258如图所示：连接OD、BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AC，又∵AB=BC，∴AD=CD，又∵AO=OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，∴DE⊥BC，∵CD=5，CE=4，22543，∵S△BCD=BD•CD÷2=BC•DE÷2，∴5BD=3BC，∴BD＝35 BC，∵BD2+CD2=BC2，∴(35BC )2+52＝BC 2，解得BC=254，∵AB=BC，∴AB=254，∴⊙O 的半径是： 254÷2＝258．故答案是： 258．14．110°解析：∵四边形ABCD 内接于圆O ，∠B=110°，∴∠ADC=180°−∠B=70°，∴∠ADE=180°−∠ADC=110°.故答案为：110°.15．412试题分析：解：连接BC ，∵AB 为⊙O 直径，∴∠ACB ＝90°，∴BC 22AB AC -22108-＝6，∵BD 切⊙O 于点B ，∴∠DBA ＝90°，∴∠ABC ＋∠DBC ＝90°，∵∠A ＋∠ABC ＝90°，∴∠A ＝∠DBC ，又∠ACB ＝∠BCD ＝90°，∴△ACB ∽△BCD ，∴AC BC BC DC=， ∴DC ＝2BC AC ＝268＝4.5． 故答案为4.5．点拨：此题主要考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质和勾股定理的综合应用，题目有一定的综合性，找出其中的相似三角形是解决此题的关键．16．⊙O 内，⊙O 上，⊙O 外试题分析：点到圆心的距离为d ，圆半径为r ：当r d >时，点在圆外；当r d =时，点在圆上；当r d <时，点在圆内.由题意得⊙O 的半径cm r 428=÷=ππ若PO=2cm,则点P 在⊙O 内；若PO=4cm,则点P 在⊙O 上；若PO=6cm ,则点P 在⊙O 外.考点：点与圆的位置关系17．3分析：根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长是6π，列出方程求解即可．详解：半径为9cm 、圆心角为120°的扇形弧长是：=6π，设圆锥的底面半径是r ，则2πr=6π，解得：r=3cm ．这个圆锥形冰淇淋的底面半径是3cm ．故答案为：3.点拨：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键． 18．65π试题分析：∵圆锥的底面半径、高和母线长组成直角三角形，且圆锥的高为12cm ，底面半径为5cm ， ∴根据勾股定理，圆锥的母线长为：13cm 。
专题06 多边形与圆(原卷版)21-22年九年级数学上学期专题(苏科版)
专题06多边形与圆
一．选择题
1．（2019秋•乐亭县期末）一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放，它们都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，则∠AOB的度数是（ ）
A．83°B．84°C．85°D．94°
2．（2020•盈江县模拟）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则S﹣S1的值为（ ）（π≈3.14）
A．πB．2πC．3πD．4π
5．（2020•邯山区校级二模）如图，用n个全等的正五边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为24°，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则n的值为（ ）
A．5B．6C．8D．10
6．（2018•石家庄二模）老师在微信群发了这样一个图：以线段AB为边作正五边形ABCDE和正三角形ABG，连接AC、DG，交点为F，下列四位同学的说法不正确的是（ ）
（1）求∠AED的度数．
（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF＝1，AE＝4，求DE的长度．
23．（2012•南关区校级模拟）如图，已知正五边形ABCDE中，BF与CM相交于点P，CF＝DM．
（1）求证：△BCF≌△CDM．
（2）求∠BPM的度数．
24．（2017•槐荫区一模）（1）如图1，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC＝4，求正六边形的边长．
18．（2020•宁波模拟）如图，正五边形ABCDE内接于半径为4的圆O，作OF⊥BC交⊙O于点F，连接FA，FB，则FA•FB的值为．
苏科版九年级数学上册第2章《对称图形—圆》 培优提升测评 【含答案】
苏科版九年级数学上册第2章《对称图形—圆》培优提升测评一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）1．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点C是AB的中点，连接OC，则OC的长为（）A．1B．2C．3D．42．如图，△ABC内接于⊙O，D是BC的中点，连接OD并延长交⊙O于点E，连接EC，若∠OEC＝65°，则∠A的大小是（）A．50°B．55°C．60°D．65°3．如图，点A的坐标为（﹣3，2），⊙A的半径为1，P为坐标轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，在所有P点中，使得PQ长最小时，点P的坐标为（）A．（0，2）B．（0，3）C．（﹣2，0）D．（﹣3，0）4．如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（）A．2B．2C．D．15．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠ACE＝20°，则∠BDE的度数为（）A．90°B．100°C．110°D．120°6．如图，正方形ABCD的边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线BD于点E，则阴影部分的面积（）A．4﹣πB．4πC．16﹣πD．8﹣π7．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD是⊙O的直径，若AD＝3，则BC＝（）A．2B．3C．3D．48．如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若∠P＝70°，则∠ABO＝（）A．30°B．35°C．45°D．55°9．如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（）A．B．C．D．110．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（）①AC＝CD；②AD＝BD；③+＝；④CD平分∠ACBA．1B．2C．3D．4二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）11．如图，⊙O的直径AB和弦CD垂直相交于点E，CD＝4，CF⊥AD于点F，交AB 于点G，且OG＝1，则⊙O的半径长为．12．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为8cm，扇形的圆心角θ＝90°，则圆锥的底面圆半径r为cm．13．如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b＝20mm，则边长a ＝mm．14．如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A，与y轴分别交点为B，C，圆心M的坐标是（4，5），则弦BC的长度为．15．点O是△ABC的外心，若∠BOC＝110°，则∠BAC为°．16．点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙O 的半径是．17．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C，已知AC＝3，BC＝2，则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为．18．如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝1，∠A＝45°，则的长度为．19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且AE＝CD＝6，则⊙O的半径为．20．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B是第一象限内的一个动点并且使∠OBA＝90°，点C（0，3），则BC的最小值为．三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）21．已知，如图，点A，C，D在⊙O上，且满足∠C＝45°．连接OD，AD，过点A作直线AB∥OD，交CD的延长线于点B．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）如果OD＝CD＝2，求AC边的长．22．如图，AC是⊙O的直径，OD与⊙O相交于点B，∠DAB＝∠ACB．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若∠ADB＝30°，DB＝2，求直径AC的长度．23．如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于C，过点B作BE⊥DC，交DC延长线于点E．（1）求证：BC是∠ABE的平分线；（2）若DC＝8，⊙O的半径OA＝6，求CE的长．24．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝60°，BD是⊙O的直径，点P是BD延长线上一点，且P A是⊙O的切线，A是切点．（1）求证：AP＝AB；（2）若PD＝，求阴影部分的面积．25．已知AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠CAB＝26°，连接BC．（1）如图1，若BD平分∠ABC，求∠ABC和∠ACD的大小；（2）如图2，若点D为弧AC的中点，过点D作⊙O的切线交BA的延长线于点P，求∠P的大小．26．已知，ABCD为菱形，点A，B，D在⊙O上．（Ⅰ）如图①，若CB，CD为⊙O的切线，求∠C的大小；（Ⅱ）如图②，BC，CD与⊙O分别交于点E，点F，连接BF，若∠BDC＝50°，求∠CBF的度数．答案一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）1．解：∵⊙O的半径为5，弦AB＝8，点C是AB的中点，∴OC⊥AB，AC＝BC＝4，OA＝5，∴OC＝＝＝3，故选：C．2．解：∵∠OEC＝65°，OE＝OC，∴∠EOC＝180°﹣2×65°＝50°，∵D是BC的中点，∴OE⊥BC，∴，∴∠EOB＝50°，∴∠BOC＝100°，∴∠A＝50°，故选：A．3．解：连接AQ、P A，如图，∵PQ切⊙A于点Q，∴AQ⊥PQ，∴∠AQP＝90°，∴PQ＝＝，当AP的长度最小时，PQ的长度最小，∵AP⊥x轴时，AP的长度最小，∴AP⊥x轴时，PQ的长度最小，∵A（﹣3，2），∴此时P点坐标为（﹣3，0）．故选：D．4．解：连接AD、AE、OD、OC、OE，过点O作OH⊥CE于点H，∵∠DCE＝100°，∴∠DAE＝180°﹣∠DCE＝80°，∵点D关于AB对称的点为E，∴∠BAD＝∠BAE＝40°，∴∠BOD＝∠BOE＝80°，∵点C是的中点，∴∠BOC＝∠COD＝40°，∴∠COE＝∠BOC+∠BOE＝120°，∵OE＝OC，OH⊥CE，∴EH＝CH，∠OEC＝∠OCE＝30°，∵直径AB＝4，∴OE＝OC＝2，∴EH＝CH＝，∴CE＝2．故选：A．5．解：连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ACE＝20°，∴∠ADE＝∠ACE＝20°，∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝110°，故选：C．6．解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝4，∴OB＝2，∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形OBE＝×4×4﹣＝8﹣π．故选：D．7．解：过点O作OE⊥BC于点E，如图所示：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，又∵对应圆周角为∠ACB和∠ADB，∴∠ACB＝∠ADB＝30°，而BD为直径，∴∠BAD＝90°，在Rt△BAD中，∠ADB＝30°，AD＝3，∴BD＝2，∴OB＝，又∵∠ABD＝90°﹣∠ADB＝90°﹣30°＝60°，∠ABC＝30°，∴∠OBE＝30°，又∵OE⊥BC，∴△OBE为直角三角形，∴BE＝，由垂径定理可得：BC＝2BE＝2×＝3，故C正确，故选：C．8．解：连接OA，∵P A，PB是⊙O的切线，A，B是切点，∴∠PBO＝∠P AO＝90°，∵∠P＝70°，∴∠BOA＝360°﹣∠PBO﹣∠P AO﹣∠P＝110°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝（180°﹣∠BOA）＝（180°﹣110°）＝35°，故选：B．9．解：∵⊙O的直径为2，则半径是：1，∴S⊙O＝π×12＝π，连接BC、AO，根据题意知BC⊥AO，AO＝BO＝1，在Rt△ABO中，AB＝＝，即扇形的对应半径R＝，弧长l＝＝，设圆锥底面圆半径为r，则有2πr＝，解得：r＝．故选：B．10．解：过D作DD'⊥BC，交⊙O于D'，连接CD'、BD'，由折叠得：CD＝CD'，∠ABC＝∠CBD'，∴AC＝CD'＝CD，故①正确；∵点D是AB的中点，∴AD＝BD，∵AC＝CD'，故②正确；∴＝，由折叠得：＝，∴+＝；故③正确；延长OD交⊙O于E，连接CE，∵OD⊥AB，∴∠ACE＝∠BCE，∴CD不平分∠ACB，故④错误；故选：A．二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）11．解：连接AC，BC，OC，∵⊙O的直径AB和弦CD垂直相交于点E，CD＝4，∴CE＝DE＝2，＝，∠ACB＝90°，∴∠B+∠CAB＝90°，∠CAB＝∠DAB，∵CF⊥AD，∴∠GF A＝90°，∴∠DAB+∠AGF＝90°，∴∠B＝∠AGF，∵∠CGB＝∠AGF，∴∠B＝∠CGB，∴BC＝CG，∵AB⊥CD，∴GE＝EB，设OE＝x，∵OG＝1，∴GE＝BE＝x+1，∴OC＝OB＝x+x+1＝2x+1，在Rt△OCE中，由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，即（2x+1）2＝（2）2+x2，解得：x＝1（x＝﹣舍去），∴OC＝2×1+1＝3，即⊙O的半径长为3，故3．12．解：∵扇形的圆心角为90°，母线长为8cm，∴扇形的弧长为＝4π，设圆锥的底面半径为rcm，则2πr＝4π，解得：r＝2，故答案为2．13．解：如图，连接OC、OD，过O作OH⊥CD于H．∵∠COD＝＝60°，OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴∠COH＝90°﹣60°＝30°，∵OH⊥CD，∴CH＝DH＝CD，OH＝b＝10（mm），∴CH＝（mm），∴a＝2CH＝（mm），故．14．解：如图，连接BM、AM，作MH⊥BC于H，则BH＝CH，∴BC＝2BH，∵⊙M与x轴相切于点A，∴MA⊥OA，∵圆心M的坐标是（4，5），∴MA＝5，MH＝4，∴MB＝MA＝5，在Rt△MBH中，由勾股定理得：BH＝＝＝3，∴BC＝2×3＝6，故6．15．解：①△ABC是锐角三角形，如图，∵∠BOC＝110°，∴∠BAC＝55°；②△A′BC是钝角三角形，如图，∵∠BAC+∠BA′C＝180°，∴∠BA′C＝125°．故55°或125．16．解：分为两种情况：①当点在圆内时，如图1，∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离P A＝9cm，∴直径AB＝4cm+9cm＝13cm，∴半径r＝6.5cm；②当点在圆外时，如图2，∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离P A＝9cm，∴直径AB＝9cm﹣4cm＝5cm，∴半径r＝2.5cm；故6.5cm或2.5cm．17．解：∵△ABC绕点C旋转120°得到△A′B′C，∴△ABC≌△A′B′C，∴S△ABC＝S△A′B′C，∠BCB′＝∠ACA′＝120°．∵AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′+S△ABC﹣S扇形BCB′﹣S△A′B′C，∴AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′﹣S扇形BCB′，∴AB扫过的图形的面积＝﹣＝．故．18．解：连接OC、OD，∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．∴OC⊥AC，OD⊥BD，∵∠A＝45°，∴∠AOC＝45°，∴AC＝OC＝1，∵AC＝BD＝1，OC＝OD＝1，∴OD＝BD，∴∠BOD＝45°，∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴的长度为：＝π，故．19．解：∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD，∵AE＝CD＝6，∴CE＝DE＝3，∵OD＝OB＝OA，OE＝AE﹣OA，在Rt△ODE中，由勾股定理可得：OD2＝DE2+（AE﹣OA）2，即：OD2＝32+（6﹣OD）2，解得：OD＝，∴⊙O的半径为：，故．20．解：如图，以OA为直径作⊙D，连接CD，交⊙D于B，此时BC长最小，∵A（4，0），C（0，3），∴OC＝3，OA＝4，∴OD＝DB＝2，∴CD＝＝＝，∴BC＝CD﹣BD＝﹣2，故﹣2．三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）21．（1）证明：如图，连接OA，∵∠C＝45°，∴∠DOA＝90°，∴AO⊥OD，∵AB∥OD，∴OA⊥AB，OA是半径，∴AB是⊙O的切线；（2）如图，过点D作DE⊥AC于点E，∵∠C＝45°，CD＝2，∴CE＝DE＝CD＝，∵∠AOD＝90°，OA＝OD＝2，∴AD＝＝2，∴AE＝＝＝，∴AC＝AE+EC＝+．答：AC边的长为+．22．（1）证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠CAB＝90°，又∵∠ACB＝∠DAB，∴∠DAB+∠CAB＝90°，即∠OAD＝90°，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；（2）解：由（1）可知∠OAD＝90°，∵∠ADB＝30°，∴OA＝OD＝（OB+BD），∵OA＝OB，BD＝2，∴OA＝2，∴AC＝2OA＝4．23．（1）证明：∵CD与⊙O相切于C，∴OC⊥DC，∵BE⊥DC，∴BE∥OC，∴∠EBC＝∠OCB，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠EBC＝∠OBC，即BC是∠ABE的平分线；（2）解：过C作CM⊥BD于M，∵BC是∠ABE的平分线，BE⊥CE，∴CE＝CM，∵OC⊥DC，∴∠OCD＝90°，∵DC＝8，OC＝OA＝6，∴OD＝＝＝10，∵S△DCO＝＝，∴8×6＝10×CM，解得：CM＝4.8，即CE＝CM＝4.8．24．（1）证明：连接OA，AD，∵∠ACB＝60°，∴∠ADB＝∠ACB＝60°，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠ABD＝90°﹣∠ADB＝30°，∵OB＝OA，∴∠OAB＝∠ABD＝30°，∴∠AOP＝∠ABD+∠OAB＝60°，∵P A切⊙O于A，∴∠P AO＝90°，∴∠P＝90°﹣∠AOP＝30°，即∠P＝∠ABD，∴AB＝AP；（2）解：过O作OQ⊥AB于Q，∵∠P AO＝90°，∠P＝30°，∴OP＝2AO，∵PD＝，OA＝OD，∴OD+＝2OA，解得：OA＝OD＝＝OB，在Rt△BQO中，∠OQB＝90°，∠ABO＝30°，∴OQ＝OB＝，由勾股定理得：BQ＝＝＝，∵OA＝OB，OQ⊥AB，∴AB＝2BQ＝2×＝，∵∠ABO＝∠OAB＝30°，∴∠AOB＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴阴影部分的面积S＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣×＝﹣．25．解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝26°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝64°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝32°，∴∠ACD＝∠ABD＝32°，即∠ABC＝64°，∠ACD＝32°；（2）连接BD，DO，由（1）知：∠ABC＝64°，∵D为的中点，∴∠ABD＝∠CBD＝64°＝32°，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠ABD＝32°，∴∠POD＝∠ABD+∠ODB＝32°+32°＝64°，∵PD切⊙O于D，∴∠ODP＝90°，∴∠P＝90°﹣∠POD＝90°﹣64°＝26°．26．解：（Ⅰ）如图①，连接OB、OD，∵四边形ABCD为菱形，∴∠A＝∠C，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A，∴∠BOD＝2∠C，∵CB，CD为⊙O的切线，∴OB⊥BC，OD⊥CD，∴∠BOD+∠C＝180°，∴2∠C+∠C＝180°，∴∠C＝60°；（Ⅱ）如图②，∵四边形ABCD为菱形，∠BDC＝50°，∴∠BDA＝∠BDC＝50°，AB＝AD，∴∠DBA＝∠BDA＝50°，∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，同理，∠C＝80°，∵四边形ABFD是⊙O内接四边形，∴∠BFC＝∠A＝80°∴∠CBF＝180°﹣∠C﹣∠BFC＝20°．。
第2章 对称图形——圆数学九年级上册-单元测试卷-苏科版(含答案)
第2章对称图形——圆数学九年级上册-单元测试卷-苏科版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，E是△ABC的内心，若∠BEC=130°，则∠A的度数是（）A.60°B.80°C.50°D.75°2、有下列四个命题，其中正确的有（）①圆的对称轴是直径；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．A.4个B.3个C.2个D.1个3、如图所示，已知为的直径，直线为圆的一条切线，在圆周上有一点，且使得，连接，则的大小为（）A. B. C. D.4、如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB=90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为( )A. B. C. D.5、如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OD，若∠BOD=∠BCD，则的长为（）A.πB.C.2πD.3π6、如图，⊙O的半径为，BD是⊙O的切线，D为切点，过圆上一点C作BD的垂线，垂足为B，BC=3，点A是优弧CD的中点，则sin∠A的值是（）A. B. C. D.7、如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，连接CO，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点E，若DE∥AC，∠BAC＝40°，则∠OCD的度数为（）A.65°B.30°C.25°D.20°8、如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”，其中FK1， K1K2， K2K3， K3K4， K5K6…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为l1， l2， l3， l4， l5， l6，…．当AB=1时，l2014等于（）A. B. C. D.9、如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝.若BC＝，则的长为（）A.πB.C.2πD.10、如图，PA、PB、AB都与⊙O相切，∠P=60°，则∠AOB等于（）A.50°B.60°C.70° D.80°11、如图，用两根等长的金属丝，各自首尾相接，分别围成正方形ABCD和扇形A1D1C1，使A1D1=AD，D1C1=DC，正方形面积为P，扇形面积为Q，那么P和Q的关系是（）A.P＜QB.P=QC. P＞QD. 无法确定12、如图，矩形ABCD中，AB＝4，以顶点A为圆心，AD的长为半径作弧交AB于点E，以AB为直径作半圆恰好与DC相切，则图中阴影部分的面积为（）A. B. C. D.13、如图，点C是⊙O的劣弧AB上一点，∠AOB＝96°，则∠ACB的度数为（）A.192°B.120°C.132°D.l5014、对于以下图形有下列结论，其中正确的是（）A.如图①，是弦B.如图①，直径与组成半圆C.如图②，线段是边上的高 D.如图②，线段是边上的高15、已知的半径为5，若，则点与的位置关系是（）A.点在内B.点在外C.点在上D.无法判断二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，是锐角三角形的外接圆，，且，点是高线的交点，连接，则的度数为________，的长为________.17、如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点.若∠B＝110°，则∠ADE的度数为________.18、如图，己知等边的边长为8，以为直径的与边、分别交于、两点，则劣弧的长为________.19、如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，则此扇形的面积为________ .20、已知扇形的弧长为，圆心角为120°，则它的半径为________ 。
数学：5.7正多边形与圆同步练习(苏科版九年级上)
5.7 正多边形与圆同步练习1．正方形的内切圆半径为r ，这个正方形将它的外接圆分割出四个弓形，其中一个弓形的面积为_________。
2．如果正三角形的边长为a ，那么它的外接圆的周长是内切圆周长的_______倍。
3．如图2，正方形边长为2a ，那么图中阴影部分的面积是__________。
4．正多边形的一个内角等于它的一个外角的8倍，那么这个正多边形的边数是________。
5．半径为R 的圆的内接正n 边形的面积等于__________。
6．如果圆的半径为a ，它的内接正方形边长为b ，该正方形的内切圆的内接正方形的边长为c ，则a,b,c 间满足的关系式为___________。
7．如图3，正△ABC 内接于半径为1cm 的圆，则阴影部分的面积为___________。
8．如果圆内接正六边形的边长为10cm ，则它的边心距为_______cm ，正六边形的一边在圆上截得的弓形面积是____________。
9．已知正方形的边长为a ，以各边为直径在正方形内画半圆，则所围成的阴影部分（如图）的面积为__________。
10．周长相等的正方形和正六边形的面积分别为4S 和6S ，则4S 和6S 的大小关系为__________。
参考答案1．由已知得正方形的边长为2r ， 从而正方形的外接圆半径为2r ，所求弓形的面积为2)221(r -π。
2．边长为a 的正三角形的外接圆半径和内切圆半径分别为a 33、a 63，其周长分别为332的πa 和a π33，故它的外接圆周长是内切圆周长的2倍。
3．阴影部分面积为22241)22(21)2(41a a a πππ=- 4．设所求正多边形的边数为n ，则它的一个内角等于︒⋅-180)2(n n ， 相应的外角等于180°- ︒⋅-180)2(nn ， 则由已知，得︒⋅-180)2(n n =8×（180°-︒⋅-180)2(nn ），解之，得n = 18。
正多边形与圆(八大题型)( 原卷版)
A．1B．2C． D．
解题技巧提炼
主要考查了正多边形和圆，正六边形的性质、正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，正确掌握它们的性质是解决问题的关键．
【变式3-1】（2022•成都）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的边长为（ ）
A． B． C．3D．2
正多边形.
◆2等于 的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，得到圆的n个等分点；
（2）顺次连接各等分点.
【例题1】下列命题正确的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形
B．正多边形一定是中心对称图形
C．各角相等的圆内接多边形是正多边形
D．正多边形外接圆的半径是正多边形的半径
半径
外接圆的半径叫做正多边形的半径.
边心距
内切圆的半径叫做正多边形的边心距.
中心角
正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.
◆2、正多边形的判定：
一个多边形必须同时满足各边相等，各角也相等才能判定其是正多边形，两个条件缺一不可，如菱形的各边相等，但各角不一定相等，矩形的各角相等，但各边不一定相等，因此它们不是正多边形.
解题技巧提炼
根据正多边形的相关概念进行判断即可，正n边形（n≥3，n为整数）都是轴对称图形，都有n条对称轴，且这些对称轴都交于一点，当n为偶数时，正n边形为中心对称图形.
【变式1-1】下列说法中，错误的是（ ）
A．正多边形的外接圆的圆心，就是它的中心
B．正多边形的外接圆的半径，就是它的半径
C．正多边形的内切圆的半径，就是它的边心距
（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形---圆》
九年级数学上册 第二章 对称图形-圆 第20讲 圆周角的应用课后练习 (新版)苏科版
第20讲圆周角的应用题一：如图，AB是半圆的直径，AC、BC分别和半圆相交于点E、D，请仅用无刻度的直尺画出△ABC的AB边上的高．题二：已知斜边c和斜边上的高h，利用直尺和圆规作直角三角形（写出作图步骤）．题三：如图，圆心角∠AOB=100°，则圆周角∠ACB= 度．题四：如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=48°，则圆周角∠ACB的度数是______ .题五：如图，CD为⊙O的直径，且CD⊥弦AB，∠CDB=60°，则∠AOD= ．题六：如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB，∠AOD=132°，则∠B= .第20讲圆周角的应用题一：见详解．详解：如图所示：①连接AD、BE，因为AB是半圆的直径，所以∠AEB=∠ADB=90°，所以AD、BE分别是边BC和AC上的高，②设AD、BE相交于点M，连接CM并延长交AB于点H，③CH即为所求的△ABC的AB边上的高 (根据三角形的三条高线交于一点)．题二：见详解．详解：如图所示：①作射线AD，在射线上截取AB=c，②以AB为直径作半圆，③作AB的平行线l，使两平行线相距h，④直线l与半圆的交点即为直角三角形的顶点C，⑤连接BC、AC，△ABC即为所求的直角三角形．题三：130.详解：在优弧AB上取点D（不与A、B重合），连接AD、BD；则∠ADB=∠AOB=×100°=50°；∵四边形ADBC内接于⊙O，∴∠ACB=180°∠ADB=180°50°=130°题四：24°．详解：根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得∠ACB=∠AOB=24°．题五：60°．详解：∵ CD⊥弦AB，且∠CDB=60°，∴∠B=180°90°60°=30°，∵CD为⊙O的直径，∠AOD为圆心角，题六：∵∠AOD=132°，∴∠BOD=48°，∴∠BCD=∠BOD=24°，∵CD∥AB，∴∠B=∠BCD=24°．（本资料素材和资料部分来自网络，供参考。
九年级数学苏科版上册课时练第2单元《 2.2 圆的对称性》(1) 练习试题试卷 含答案
课时练2.2圆的对称性一、选择题1.如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，则CD长是()A.2B.3C.4D.52.如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A.2B.4C.6D.83.如图,弦CD垂直于⊙O直径AB,垂足为H,且CD=，BD=，则AB长为（）A.2B.3C.4D.54.在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）A．40cm B．60cm C．80cm D．100cm5.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是()A.OC∥BDB.AD⊥OCC.△CEF≌△BEDD.AF=FD6.如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB=10，AC=8，则BD的长为()A．2B．4C．2D．4.87.《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就.它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（）A.13寸B.20寸C.26寸D.28寸8.如图所示，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，则直尺的宽度为().A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm9.如图，在半径为13cm圆形铁片上切下一块高为8cm弓形铁片，则弓形弦AB长为().A.10cmB.16cmC.24cmD.26cm10.杭州市钱江新城，最有名的标志性建筑就是“日月同辉”，其中“日”指的是“杭州国际会议中心”，如图所示为它的主视图.已知这个球体的高度是85m，球的半径是50m，则杭州国际会议中心的占地面积是().A.1275πm2B.2550πm2C.3825πm2D.5100πm2二、填空题11.如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为．12.如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是.13.在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图.若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为cm.14.如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧ABC上，AB=8，BC=3，则DP=．15.如图所示为由两个长方形组成的工件平面图(单位：mm)，直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是mm.16.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高CD为米．三、解答题17.如图，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.(1)求证：点E是OB的中点；(2)若AB=8，求CD的长．18.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，圆心O在△ABC内部，且⊙O经过B，C 两点，若BC=8，AO=1，求⊙O的半径．19.如图所示，残缺的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线CD交圆形轮片于点C，垂足为点D，解答下列问题：(1)用尺规作图找出圆形轮片的圆心O的位置并将圆形轮片所在的圆补全；(要求：保留作图痕迹，不写作法)(2)若弦AB=8，CD=3，求圆形轮片所在圆的半径R.20.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B=∠D；（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长．参考答案1.A.2.D．3.B4.B5.C.6. C.7.C.8.C.9.C.10.A.11.23．12.(2，0).13.40.14.5.5；15.50.16.8．17.解：(1)证明：连接AC.∵OB⊥CD，∴CE=ED，即OB是CD的垂直平分线．∴AC=AD.同理AC=CD.∴△ACD是等边三角形．∴∠ACD=60°，∠DCF=30°.在Rt△COE中，OE=12OC=12OB.∴点E是OB的中点．(2)∵AB=8，∴OC=12AB=4.又∵BE=OE，∴OE=2.∴CE=OC 2－OE 2=16－4=2 3.∴CD=2CE=4 3.18.解如答图所示，连结BO，CO，延长AO 交BC 于点D.∵△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴AB=AC.∵点O 是圆心，∴OB=OC.∴直线OA 是线段BC 的垂直平分线.∴AD⊥BC，且D 是BC 的中点.在Rt△ABC 中，AD=BD=21BC，∵BC=8，∴BD=AD=4.∵AO=1，∴OD=AD-AO=3.∵AD⊥BC，∴∠BDO=90°.∴OB=22BD OD +=2243+=5.19.解：(1)图略.(2)连结OA.∵CD 是弦AB 的垂直平分线，AB=8，∴AD=12AB=4.在Rt△ADO 中，AO=R，AD=4，DO=R－3，根据勾股定理，得R 2=16＋(R－3)2，解得R=256.20.（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，又∵DC=CB，∴AD=AB，∴∠B=∠D；（2）解：设BC=x，则AC=x﹣2，在Rt△ABC 中，AC 2+BC 2=AB 2，∴（x﹣2）2+x 2=42，解得：x 1=1+，x 2=1﹣（舍去），∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∵CD=CB，∴CE=CB=1+．。
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练习10 圆的综合练习
1．已知Rt△ABC和⊙O如图放置，已知AB=√3，BC＝1，∠ABC＝90°，⊙O的半径为1，圆心O与直
线AB的距离为5．现△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，设△ABC移动的时间为t（s）．
（1）当△ABC的边AC与圆第一次相切时，求t的值；
（2）若在△ABC移动的同时，圆O也以每秒1个单位的速度向右移动，则△ABC从开始移动，到它的
边与圆最后一次相切时，求t的值；
（3）在（2）的条件下的移动过程中，圆心O到AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d，当d＜
1时，求t的取值范围．
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）如果AB＝4，AE＝2，求⊙O的半径．
3．如图1，AB为半圆O的直径，半径OP⊥AB，过劣弧AP上一点D作DC⊥AB于点C．连接DB，交OP
于点E，∠DBA＝22.5°．
（1）若OC＝2，则AC的长为 ；
（2）试写出AC与PE之间的数量关系，并说明理由；
（3）连接AD并延长，交OP的延长线于点G，设DC＝x，GP＝y，请求出x与y之间的等量关系式．（请
先补全图形，再解答）．
4．如图，以矩形OCPD的顶点O为原点，它的两条边所在的直线分别为x轴和y轴建立直角坐标系．以点
P为圆心，PC为半径的⊙P与x轴的正半轴交于A、B两点，函数y＝ax2+bx+3过A，B，C三点且AB＝
6．
（1）求⊙P的半径R的长；
（2）若点M（m，n）为抛物线y＝ax
2
+bx+3上的动点（只在x轴上方运动），若∠AMB＜45°，求m，
n的取值范围．
5．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，弦BD＝BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．
（1）求证：BC平分∠ECA；
（2）求证：BE是⊙O的切线；
（3）若CE＝1，BE＝3，求DE的长．
6．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC、AC于点D、E．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若∠ABC＝63°，求∠BDE的度数；
（3）过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点F，当AO＝DF＝4时，求图中阴影部分的面积．
7．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，D是射线AB上一点，作△BCD的外接圆⊙O，CE
是⊙O的直径，连接DE、BE．
（1）若点D在AB边上，求∠DCE的度数；
（2）若△ACD与△BDE全等，求AD的长；
（3）若AD=√2，求⊙O的半径r的值．
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，⊙C与AB相切于点D，延长AC到点E，使CE
＝AC，连接EB．过点E作BE的垂线，交⊙C于点P、Q，交BA的延长线于点F．
（1）求AD的长；
（2）求证：EB与⊙C相切；
（3）求线段PQ的长．
9．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣5，0），以OA为半径作半圆，点C是第一象限内圆周上一动点，
连结AC、BC，并延长BC至点D，使CD＝BC，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线AC于点E、F，
点E为垂足，连结OF．
（1）当∠BAC＝30°时，求△ABC的面积；
（2）当DE＝8时，求线段EF的长；
（3）在点C运动过程中，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点E
的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，AB为⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，且CD平分∠ACB，交AB于点E．
（1）求证：∠ABD＝∠BCD；
（2）若DE＝13，AE＝17，求⊙O的半径；
（3）DF⊥AC于点F，试探究线段AF、DF、BC之间的数量关系，并说明理由．
11．如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O与CD边相切于点E，BC交⊙O于点F（AF
＞BF），连接AE，EF．
（1）求证：∠AFE＝45°；
（2）求证：EF2＝AF•CF；
（3）若⊙O的半径是3√102，且𝐶𝐹𝐴𝐹=29，求AD的长．
12．（1）如图①，AB是⊙O的直径，C、D在⊙O上，且BC＝BD，AD＝CD．求证：∠ADC＝2∠BDC．
（2）如图②，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．若平面内的点D满足AD＝CD，且∠ADC＝2∠BDC．
①利用直尺和圆规在图②中作出所有满足条件的点D（保留作图痕迹，不写作法）；
②若AB＝4，BC长度为m（0＜m＜4），则平面内满足条件的点D的个数随着m的值变化而变化．请直
接写出满足条件点D的个数及对应m的取值范围．
13．如图①，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC边上一动点，连接AE、DE，作△ABE的外接
⊙O，交AD于点F，交DE于点G，连接FG．
（1）若∠DFG＝60°，则∠AED＝ °；
（2）当CE的长为 时，△DFG为等腰三角形；
（3）如图②，当⊙O与CD相切时，求CE的长．
14．如图，直线l1⊥l2，O为垂足，以O圆心，√3的半径作圆，交l1于点M，N，交l2于点P，Q．在⊙O
上任取一点A，作△ABC，使∠A＝90°，∠ACB＝30°，顶点A，B，C按顺时针方向分布，点C落在
射线ON上，且不在⊙O内．若△ABC的某一边所在直线与⊙O相切，我们称该边为⊙O的“相伴切边”．
（1）如图1，CA为⊙O的“相伴切边”，CA平分∠OCB，求OC的长；
（2）是否存在△ABC三边中两边都是⊙O的“相伴切边”的情形？若存在，请求出AC的长；若不存在，
请说明理由．