广东省清远市2013-2014学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
2023-2024学年广东省大湾区高二下学期期末联合考试数学试题+答案解析
2023-2024学年广东省大湾区高二下学期期末联合考试数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.等差数列中，，则的公差()A.3B.2C.D.2.已知随机变量的分布列如下表：123P a b a则()A.1B.2C.3D.43.在日常生活中，许多现象都服从正态分布.若，记，，，经统计，某零件的尺寸大小单位：从正态分布，则()A. B. C. D.4.已知一组成对数据中y关于x的一元非线性回归方程，已知，则()A. B.1 C. D.5.画n条直线，将圆的内部区域最多分割成()A.部分B.部分C.部分D.部分6.若函数在区间上是增函数，则实数k的取值范围为()A. B. C. D.7.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度支持与不支持的关系，运用列联表进行独立性检验.整理所得数据后发现，若依据的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动无关；若依据的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动有关，则的值可能为()附表：A. B.C. D.8.已知函数，为实数，的导函数为，在同一直角坐标系中，与的大致图象不可能是()A. B.C. D.二、多选题：本题共3小题，共15分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列函数中，存在极值点的是()A. B. C. D.10.已知数列，其前n项和记为，则()A.若是等差数列，且，则B.若是等差数列，且，则C.若是等比数列，且，其中C为常数，则D.若是等比数列，则也是等比数列11.设A，B是一次随机试验中的两个事件，且，，，则()A.A，B相互独立B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.当时，函数的最小值为__________.13.将5名志愿者分配到四个社区协助开展活动，每名志愿者只能到1个社区，每个社区至少1名，则不同的分配方法数是__________.14.“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．如图所示，去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前46项和为__________.四、解答题：本题共5小题，共60分。
湖北省监利一中2013-2014学年高二上学期第一次月考数学(文)试题(平行班)Word版含答案
考试时间：2013年10月 试卷满分：150分 一、选择题（每小题5分，共50分）1. 倾斜角为135︒，在y 轴上的截距为1-的直线方程是（ ）A ．01=+-y xB ．01=--y xC ．01=-+y xD ．01=++y x 2. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ）3.直线0202=++=++n y x m y x 和的位置关系是( ) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不能确定4. 已知点)3,2(-A 、)2,3(--B ，直线l 过点)1,1(P ，且与线段AB 相交，则直线l 的 斜率k 的取值范围是 （ ） A ．34k ≥或4k ≤- B ．34k ≥或14k ≤- C ．434≤≤-k D ．443≤≤k5．算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、条件结构、循环结构，下列说法正确的是（ ）A ． 一个算法只能含有一种逻辑结构 B. 一个算法最多可以包含两种逻辑结构 C. 一个算法必须含有上述三种逻辑结构D. 一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合6．过p （1，2），且与A （2，3）和B （4，-5）的距离相等的直线方程是（ ） A.064=-+y x B.0723=-+y x C.064=-+y x 或0723=-+y x D. 以上都不对7. 自点 1)3()2()4,1(22=-+--y x A 作圆的切线，则切线长为 （ ） A. 5 B. 3 C. 10 D. 5 8．过点（1，2），且与原点距离最大的直线方程是（ ） A ．052=-+y x B ．042=-+y x C ．073=-+y x D ．032=+-y x9．给出以下一个算法的程序框图（如图所示）：该程序框图的功能是（ ）A ．求出a, b, c 三数中的最大数 B. 求出a, b, c 三数中的最小数 C ．将a, b, c 按从小到大排列 D. 将a, b, c 按从大到小排列 10．方程3)2(42+-=-x k x 有两个不等实根，则k 的取值范围是（ ） .A )125,0( .B ]43,31[ .C ),125(+∞ .D ]43,125( 二、填空题（每小题5分，共35分）11．在空间直角坐标系中，点B 是)3,2,1(A 在yOz 坐标平面内的射影，O 为坐标原点，则OB 等于______________ ．12.如图所示算法，则输出的i 值为13. 若一束光线沿着直线x －2y ＋5＝0射到x 轴上一点，经x 轴反射后其反射线所在直线的方程是 ．14. ①求过点（1,2），且平行于直线3x+4y-12=0的直线的方程为 ;②求过点（1,2），且垂直于直线x+3y-5=0的直线的方程为 . 15．圆4)2()1(22=++-y x 上的点到直线012=+-y x 的最短距离为 .16．过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 .17．过圆x 2+y 2-x+y-2=0和x 2+y 2=5的交点，且圆心在直线3x+4y-1=0上的圆的方程为 .三、解答题 (12分+12分+13分+14分+14分)18．（本小题满分12分）已知△ABC 的三顶点是A (－1，－1)，B (3，1)，C (1，6)．直线l 平行于AB ，交AC ，BC 分别于E ，F ，△CEF 的面积是△CAB 面积的41．求直线l 的方程．19．（本小题满分12分）已知ABC ∆的顶点(5,1)A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，AC 边上的高BH 所在的直线方程为250x y --=，求：（1）顶点C 的坐标；（2）直线BC 的方程.20．（本小题满分13分）某电信部门规定：拨打市内电话时，如果通话时间不超过3分钟，则收取通话费0.2元，如果通话时间超过3分钟，则超过部分以每分钟0.1元收取通话费（通话不足1分钟时按1分钟计），试设计一个计算通话费用的算法.要求写出算法，画出程序框图。
广东省茂名市2023-2024学年高二下学期教学质量监测数学试卷(解析版)
2024年茂名市普通高中高二年级教学质量监测数学试卷本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合104x A xx+=< − ，{}0B x x =>，则A B = （）A.()0,1 B.()0,4 C.()1,0− D.()4,0−【答案】B 【解析】【分析】求出集合A ，根据集合的交集运算进行求解.【详解】由题可得{}10|144x Ax x x x+=<=−<< −，则()0,4A B = ，故选：B 2.复数i1i=−z （i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【详解】1iz i=−(1)11222i i i +==−+,对应点为11(,)22−, 位于第二象限,选B.3.函数()ln f x x x =的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】先判断函数奇偶性得函数为奇函数，故排除C,D ，在根据01x <<时，()0f x <排除B,进而得答案.【详解】因为()()ln ln f x x x x x f x −=−−=−=−， 所以()f x 是奇函数，排除C ，D.当01x <<时，ln 0x <，()0f x <，排除B. 故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.4. 已知直线220x y +−=与抛物线C ：24y x =交于,A B 两点，则AB =（ ）A.B. 5C. D. 【答案】B 【解析】【分析】证明直线过焦点，再利用焦半径公式和韦达定理即可得到答案. 【详解】将220x y +−=与抛物线2:4C y x =联立得2310x x −+=，设()()1122,,,A x y B x y ，显然抛物线焦点坐标为()1,0，令1x =，即220y +−=，则0y =，则直线过焦点， 则12325AB x x p =++=+=. 故选：B.5. 已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为264，所有偶数项的和为253，则此数列的项数是（ ） A. 43 B. 45C. 47D. 49【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的性质与其前n 项和的性质求解即可. 【详解】设该等差数列中有()*21,1,n n n +≥∈N项，其中偶数项有n 项，奇数项有1n +项，设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则()12113521222462122n n n na a n S a a a a a a S a a a a n +++×+++++==+++++× 奇偶， {}n a 为等差数列，12122n n a a a a +∴+=+，1264253S n S n +∴==奇偶，解得23n =， 2147n ∴+=，∴47项.故选：C .6. 已知函数()2211x f x x−=+，则不等式()()211f x f x −<−的解集为（ ） A. (),0∞−B. 2,3 +∞C. 20,3D. ()2,0,3∞∞ −∪+【答案】D 【解析】【分析】证明函数的奇偶性，再分析出其单调性，从而得到|21||1|x x −>−，解出即可.【详解】由221()1xf x x −=+可得x ∈R 且()()222211()11x x f x xx −−−−==++−，则()f x 偶函数， 为()222221212()1111x x f x x x x −++−===−++++，因为21y x =+在(,0)−∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，则210y x =+>恒成立， 则()f x 在(0,)+∞单调递减，在(,0)−∞单调递增，(21)(1),|21||1|f x f x x x −<−∴−>− ，解得0x <或23x >. 故选：D.7. 函数()()2sin f x x ωϕ=+，（0ω>，π02ϕ<<）满足()01f =，且()y f x =在区间π,03−上有且仅有3个零点，则实数ω的取值范围为（ ） A. ()5,7 B. 11,82C. 1319,22D. [)4,8【答案】C 【解析】【分析】代入()01f =解出π6ϕ=，再利用整体法得到(]ππ3π,2π36ω−+∈−−，解出即可. 【详解】ππ(0)2sin 1,0,26f ϕϕϕ==<<∴=， π()2sin 6f x x ω ∴=+ ，因为π,03x∈−，0ω>，则ππππ,6366x ωω +∈−+ 因为()y f x =在区间π,03− 上有且仅有3个零点，且sin y x =在零点0之前的三个零点依次为3π,2π,π−−−，则(]ππ3π,2π36ω−+∈−−，解得1319,22ω∈. 故选：C.8. 如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，1BP BB λ= ，1BQ BC µ=，λ，()0,1µ∈，则下列说法不正确的是（ ）A. λµ=时，11//B C 平面1D PQB.12λ=时，四面体1APQD 的体积为定值C. 12µ=时，()0,1λ∃∈，使得1A Q ⊥平面1D PA D. 若三棱锥P CBD −的外接球表面积为414π，则34λ=【答案】C 【解析】【分析】利用线面平行的判定推理判断A ；由线面平行确定点Q 到平面1AD P 的距离是定值判断B ；由空间向量数量积的运算律计算判断C ；求出外接球半径计算判断D. 【详解】对于A ，当λµ=时，1111()PQ BQ BP BC BB B C λλ=−=−=，即11//PQ B C ，而PQ ⊂平面1D PQ ，11B C ⊄平面1D PQ ，因此11//B C 平面1D PQ ，A 正确； 对于B ，正方体1111ABCD A B C D −中，当12λ=时，1AD P △面积是定值， 又11//BC AD ，1AD ⊂平面1AD P ，1BC ⊄平面1AD P ，则1//BC 平面1AD P ， 于是点Q 到平面1AD P 的距离是定值，因此四面体1APQD 的体积为定值，B 正确；对于C ，当12µ=时，11111111()222A Q BQ BA BC BA BB BA BB BC =−=−+=−−+ ， 而1AP BP BA BB BA λ=−=−，则11111()()22A Q AP BA BB BC BB BA λ⋅=−−+⋅− 22114202BB BA λλ=−+=−≠，因此1AQ 不垂直于AP ，不存在(0,1)λ∈，使得1A Q ⊥平面1D PA ，C错误；对于D ，显然BP ⊥平面ABCD ，则三棱锥P CBD −与以线段,,BA BC BP 为棱的长方体有相同的外接球，令球半径为R ，则2R =，球的表面积2241π4π4(2)π4S R λ==+=，解得34λ=，D 正确. 故选：C【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，进而确定球半径求解.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 已知向量a ，b不共线且0a b ⋅= ，则下列结论一定正确的是（ ）A. 0a = 或0b =B. a b ⊥C. a b a b +=−D. a ，b 在a b +上投影向量相等【答案】BC 【解析】【分析】根据向量垂直的向量表示即可判断AB ；根据向量加减法的几何意义或者根据向量数量积的运算律即可判断C ；举出反例即可判断D.【详解】对AB ，0,a b a b ⋅=∴⊥，A 选项错误；B 选项正确；对C ，由向量加法和减法的几何意义，||,||a b a b +−是矩形的两条对角线长度是相等的，选项C 正确；或者由0a b ⋅=，则222222a a a b b a b b −=+⋅+⋅+，则()()22a ba b +=−=，则a b a b +=−，故C 正确；对D ，根据矩形性质知a ，b 在a b +上在a b + 上的投影向量的模不一定相等，如图所示：,,OA a OB b OC a b ===+ ，且a b ⊥，a ，b 在a b +上的投影向量分别为,OD OE ，故D 选项错误.故选：BC.10. 掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为m ，n ，记事件A =“9m n +>”，B =“mn 为偶数”，C =“m n+为奇数”，则（ ）的A. ()16p A =B. ()15p A B =C. ()19p A C =D. B 与C 互斥【答案】AC 【解析】【分析】列出所有满足题意的情况，根据古典概型公式即可判断A ；求出事件B ，AB ，AC 的情况，再利用条件概率公式即可判断BC ；再根据互斥事件的判定方法即可判断D. 【详解】掷一枚质地均匀的骰子两次的可能结果共有36种. 对A ，事件A =“9m n +>”的可能结果有6种，即()()()()()(){}()614,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6,366A p A =∴==，选项A 正确；对B ，事件B =“mn 为偶数”的可能结果有11113633C C C C 27⋅+⋅=种， 事件AB =“mn 为偶数且9m n +>”的可能结果有5种，()5(|)()27p AB p A B p B ∴==，选项B 错误； 对C ，事件C =“m n +为奇数”的可能结果有111233C C C ⋅⋅=18种， 事件AC =“m n +为奇数且9m n +>”的可能结果有2种.()()21(|)189P AC p A C P C ∴===，选项C 正确；对D ，样本点为(3,4)时，说明B 与C 不互斥，选项D 不正确. 故选：AC. 11. 已知函数()3233a f x x ax axb =−−+，其中实数a ，b ∈R ，且0a >，则（ ） A. 当1a =时，()f x 没有极值点 B. 当()f x 有且仅有3个零点时，5,93b a ∈−C. 当113b a =时，()1f x +为奇函数 D. 当,3a m b∈++∞时，过点()0,A m 作曲线()f x 的切线有且只有1条 【答案】BCD 【解析】【分析】对A ，直接代入求导即可得到其极值点；对B ，求导得到()f x 的单调性，再根据其零点个数得到不等式组，解出即可；对C ，代入113b a =，化简()1f x +即可；对D ，设切点，求出切线方程，代入()0,A m ，再转化得13m b a −>，转化为直线m by a−=与()0g x 的交点个数问题. 【详解】对A ，当1a =时，321()33f x x x x =−−+b ， 则2()23(3)(1)f x x x x x ′=−−=−+，当13x −<<时，()0f x ′<， 当1x <−或3x <时，()0f x ′>，所以1,3x x =−=分别是函数()f x 的极大值点和极小值点，选项A 错误； 对B ，当32()33a f x x ax axb =−−+时，()(1)(3)f x a x x ′=+−， 当13x −<<，()0f x ′<，当1x <−或3x >时，()0f x ′>， 即()f x 在(1,3)−上单调递减，在(,1)−∞−和(3,)+∞上单调递增. 当()f x 有且仅有3个零点时，(1)0f −>且(3)0f <得�53aa +bb >0−9aa +bb <0， 得5,93b a∈−，故B 正确； 对C ，当113b a =时，()3211333a f x x ax ax a =−−+， ()()()32311(1)11314333a a f x x a x a x ax ax +=+−+++=−， 设()343a h x x ax =−，定义域为R ，且()()()()334433a a h x x a x x ax h x−=−−−=−−=−， 所以(1)f x +为奇函数，选项C 正确； 对D ，(0)3af b b m =<+< ，(0,)A m ∴不在曲线()f x 上. 设过点(0,)A m 的曲线()f x 切线的切点为320000,33a x x ax ax b −−+，(0)f b =， ∴过点(0,)A m 的曲线()f x 切线的方程为()()3220000003233a y x ax ax b axax a x x −−−+=−−−，又点(0,)A m 在()f x 切线上，有()3220000003233a m x ax ax b ax ax a x −−−+=−−−， 即230023m b x x a−−=，设()232300022,()33g x x x g x x x =−=−，2()222(1)g x x x x x ′=−=−， 的当0x <或1x >时，()0,()g x g x <′单调递减， 当01x <<时，()0,()g x g x >′单调递增，则()1(1)3g x g ==极大值，()(0)0g x g ==极小值， ∵mm ∈�aa3+bb ,+∞�,∴mm−bb aa>13，根据图象知()g x 与m by a−=只有一个交点，选项D 正确. 故选；BCD.【点睛】关键点点睛：本题D 选项的关键是设出切点坐标，写出切线方程，将(0,)A m 代入切线方程得230023m bx x a−−=，最后转化为直线m b y a −=与函数()g x 的交点个数问题.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12. 已知圆锥的底面直径为，母线长为2，则此圆锥的体积是______.【解析】【分析】求出圆锥的高，再利用圆锥的体积公式即可求出答案. 【详解】记圆锥的底面半径为r ，母线为l ，高为d ，则d ===21π3Vr d ∴=⋅=，.13. 已知数列{}1n a −是首项为23，公比为13的等比数列，且123100n a a a a +++⋅⋅⋅+<，则n 的最大值为______. 【答案】99 【解析】【分析】根据给定条件，求出数列{}n a 的通项公式，再利用分组求和法及等比数列前n 项和公式求和，然后借助数列单调性求解即得.【详解】依题意，1211()33n n a −−=×，则213n n a =+， 数列{}n a 的前n 项和21(1)13311313n n nS n n −=+=+−−，显然数列{}n S 是递增数列，而1009910099111001100,99110033S S =+−>=+−<，所以使得123100n a a a a +++⋅⋅⋅+<成立的n 的最大值为99. 故答案为：9914. 已知双曲线E ：22221x y a b−=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F .过点2F 的直线与y 轴交于点B ，与E 交于点A ，且2232F B F A =−，点1F 在以AB 为直径的圆上，则E 的渐近线方程为______.【答案】y x = 【解析】【分析】设22AF m =，则2113,22BF m BF AF a m ===+，利用勾股定理得到 a m =，则得到124cos 5F AF ∠=，最后再利用余弦定理得到齐次方程即可.【详解】依题意，设22AF m =，则2113,22BF m BF AF a m ===+， 因为点1F 在以AB 为直径的圆上，则190AF B ∠= ，在Rt 1ABF 中，2229(22)25m a m m ++=，则(3)()0a m a m +−=， 故a m =或3a m =−(舍去)，所以12214,2,3AF a AF a BF BF a ====， 则||5AB a =，故11244cos 55AF a F AF AB a ∠===， 所以在12AF F △中，12cos F AF ∠=222164442425a a c a a +−=××，整理得2259c a =，则()22259a b a +=，则2254b a =，则2245b a =，故E的渐近线方程为y x =.故答案为：y x =.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用双曲线的定义和勾股定理得到124cos 5F AF ∠=，最后再利用余弦定理得到齐次方程，四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. 如图，正三棱柱111ABC A B C 中，D 为BC 边的中点.（1）证明：1//A B 平面1ADC ；（2）若2AB =，三棱锥1C ADC −1D AC C −−的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）证明1//DE A B ，利用线面平行判定即可证明；（2）利用等体积法求出12CC =，再建立合适的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用面面角的夹角公式即可.的【小问1详解】连接1AC ，与1AC 交于点E ，连接DE ，,D E 分别为1,BC A C 边的中点，1//DE A B ∴；又DE ⊂平面11,ADC A B ⊄平面1ADC ，1//A B ∴平面1ADC .【小问2详解】11113ADC C ADC C ADCV V CC S −−==⋅ 三棱锥三棱锥1123CC CC ==∴=， 正三棱柱111ABC A B C 中，1BB ⊥平面ABC ，1BB AD ∴⊥， 又ABC 是正三角形，D 是BC 边的中点，BC AD ∴⊥，又1BC BB B = ，且1,BC BB ⊂平面11BB C C ，AD ∴⊥平面11BB C C ， 取11B C 的中点1D ，则1,,DC DA DD 两两垂直，故以D 为原点，1,,DA DB DD 分别为x ，y ，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系；则1(0,0,0),(0,1,2),(0,1,0)D A C C −−，11(0,1,2),(0,0,2),DA DC CC CA ∴==−==，记平面1DAC ，平面1AC C 的法向量分别为()()11112222,,,,,n x y z n x y z ==，则11100DA n DC n ⋅= ⋅= ，21200CA n CC n ⋅= ⋅=，即1110200y z = −+==，222200z y = +=， 故可取121,1z x ==，则12(0,2,1),(1,n n ==，121212cos ,n n n n n n ⋅∴==，又二面角1D AC C −−.16. 已知函数()()ln 1f x x a x =++，a ∈R .（1）若()f x 在点()1,1处的切线的斜率为1，求()f x 的极值； （2）若1a =，证明：当01x <<时，()f x x <.【答案】（1）极小值为11e −+，无极大值（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）由()11f ′=求出a ，再由导致求出极值即可；（2）令()()gx f x x =−，得(1ln g x x x′=+，再构造函数()1ln h x x x =+，利用导数求出()()10h x h >>可得()g x 单调性，结合()g x 在01x <<上最值情况可得答案.【小问1详解】()()ln 0+′=+>x af x x x x， 若()f x 在点()1,1处的切线的斜率为1，则()111f a =′+=，解得0a =， 所以()ln 1f x x x =+，()()ln 10f x x x ′=+>，令()ln 10f x x ′=+=，解得1ex =， 当10ex <<时，()0f x ′<，所以()f x 单调递减， 当1ex >时，()0f x '>，所以()f x 单调递增， 所以()f x 在1e x =有极小值，为1111ln 11e e ee =+=−+ f ，无极大值；的【小问2详解】若1a =，则()()1ln 1=++f x x x ，令()()gx f x x =−， 所以()11ln 1ln +′=+−=+x g x x x x x， 令()()1ln ′==+h x g x x x，则()22111x h x x x x −′=−=， 当01x <<时，()0h x ′<，所以()h x 单调递减，所以()()110h x h >=>， 即()0g x ′>，所以()g x 在()0,1x ∈上单调递增，所以()()12ln1110<=+−=g x g ， 可得()()0=−<g x f x x ，即()f x x <.17. 锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c π2sin 3c A+. （1）求角C 的大小；（23c =，求11tan tan A B+的值. 【答案】（1）π3C =（2 【解析】【分析】（1）根据正弦定理化边为角，再利用两角和的正弦公式展开化简即可得到tan C =C 的大小；（2）记3a m =，则c =，再利用余弦定理得b m =或2b m =，再分类讨论即可.【小问1详解】 由正弦定理得：12sin sin sin sin cos 2B C A A C A C A =+=，)cos cos BA C A C C A =+=+，sin sin cos C A A C ∴，又sin 0A ≠，tan C ∴π(0,π),3C C ∈∴=.【小问2详解】记3a m =，则c =；由余弦定理222cos 2a b c C ab +−=，即22219726m b m mb +−=，b m ∴=，或2b m =，b m =时，角A 对的边最大，且222cos 02bc a A bc +−=<， 则A 是钝角，舍去；2b m =时，角A 对的边最大，且222cos 02b c a A bc +−==>，符合.又(0,π),sin tan A A A ∈∴；222cos 2a c b Bac +−==，又(0,π)B ∈，sin tan B B ∴，11tan tan A B ∴+==18. 已知椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）的一个顶点为()0,1A . （1）求E 的方程；（2）设()1,0M −，直线x n =（n ∈R 且1n ≠−）与E 交于不同的两点B ，C ，若直线BM 与E 交于另一点D ，则直线CD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）过定点，定点坐标为(4,0)−. 【解析】【分析】（1）首先得到1b =，再根据离心率和,,a b c 关系即可得到方程组，解出即可；（2）设直线BM 的方程为()()()1122111,,,,,,x my B x y D x y C x y =−−，联立椭圆方程得到韦达定理式，计算直线CD 的方程，令0y =化解即可. 【小问1详解】 由题意可得，1b =，又由22112a c c a =+=，得2,a c==所以E 的方程为2214x y +=.【小问2详解】显然直线BM 的斜率不为0，设直线BM 的方程为()()()1122111,,,,,,x my B x y D x y C x y =−−， 由22114x my x y =−+=消去x 整理得()224230m y my +−−=， ()()222,Δ(2)44(3)1630m m m m ∀∈=−−+−=+>R ，所以121222,4m y y y y m +=⋅=+， 直线CD 的方程为()122212y y yx x y x x −−−+−，根据BC 的对称性可知，若直线CD 恒过定点，则定点在x 轴上，令0y =，解得()212122121212y x x x y x y x x y y y y −+=+=++()()12211212121121my y my y my y y y y y −+−=−++223241424m m m m −⋅+=−=−+ 所以直线CD 过定点(4,0)−.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法联立椭圆方程得到韦达定理式，再写出直线CD 的表达式，令0y =计算x 为定值即可.19. 某同学参加趣味答题比赛，规则如下：第1次答题时，若答对则得2分，否则得1分；从第2次答题开始，若答对则获得上一次答题得分的2倍，否则得1分，该同学每次答对的概率都为13，答错的概率都为23，且每次答对与否相互独立.记第n 次答题得分为n X . （1）求()34p X =；（2）求n X （2n ≥）的分布列和期望；（3）在游戏开始前，该同学有两个选择，①从第2次开始，若第n 次得分刚好为n 时，则该同学获得胜利，游戏结束.②从第1次开始，若第n 次得分刚好为2n 时，则该同学获得胜利，游戏结束.已知共有4次答题环节，求该同学选择哪个方案获得胜利的概率更大. 【答案】（1）227（2）分别列见解析，()223nn E X=−（3）方案② 【解析】【分析】（1）根据独立事件的乘法公式即可得到答案；（2）首先分析出n X 得可能取值，再按步骤列出分布列，最后利用期望公式和等比数列求和公式即可； （3）选择方案①，计算出()p A B +的值，选择方案②，计算出()p M Q +，两者比较大小即可. 【小问1详解】由题意可知34X =表示事件“第1次答错，第2，3次均答对”，()321124.33327p X ==××= 【小问2详解】n X 可取1,2,4,,2n 且1n X =表示事件“第n 次答错”，所以()213n p X ==， 当2n ≥时，2,1,2,3,,1kn X k n ==− ， 表示事件“第n k −次答错，第1,2,,n k n k n −+−+ 次均答对”，所以()12122,1,2,3333kkn k p X k + ==×== ，,1n − ， 2n n X =表示事件“第1,2,3,,n 次都答对”()11233nnn np X === ， 所以()12,0,1,2,1,321,,3k knnk n p X k n + =− == = 所以n X 的分布列为：()()()1100221332122222222333313nn nn n k kk n n n k n k k E X p X −+== − ===×+×=+=−−∑∑ 【小问3详解】若选择方案①，n 只可能为2，4，即:2X =42,4X =，22X =表示事件A =“第1次答错，第2次答对”， 44X =表示事件B =“第2次答错，第3、4次均答对"，因为A 、B 互斥，所以23228()()()3327p A B p A p B +=+=+=若选择方案②，n 只可能为1，2，4，即:122,X X ==44,8X =，12X =表示事件M =“第1次答对”； 24X =表示事件N =“第1、2次均答对”，而第1次答对的话，游戏已结束，故不需要考虑这种情况；48X =表示事件Q =“第1次答错，第2，3，4次均答对”；因为M 与Q 互斥，所以()()()p M Q p M p Q +=+4122924833818127=+=>=， 所以应该选择方案②.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是得到n X ，再利用等比数列的性质得到()12,0,1,2,1,321,,3k knnk n p X k n + =− == = ，最后列出分布列，再求出期望即可.。
广东肇庆2022-2023学年高二下学期期末数学试题(解析版)
肇庆市2022-2023学年第二学期高二年级期末教学质量检测数学本试题共6页，考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处. 2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 2253A C +=（ ）A. 13B. 16C. 23D. 26【答案】C 【解析】【分析】根据排列组合数的运算求解. 【详解】225332A C 542321×+=×+=×, 故选：C.2. 以下求导正确的是（ ） A. ()21log ln2x x ′= B. (cos )sin x x ′= C. 1(ln3)3′= D. 1(3)3x x x ′−=⋅【答案】A 【解析】【分析】利用基本初等函数的求导公式逐项求解作答. 【详解】对于A ，21(log )ln2x x ′=，A 正确； 对于B ，(cos )sin x x ′=−，B 错误； 对于C ，(ln3)0′=，C 错误； 对于D ，3l 3)n (3′=x x ，D 错误.故选：A3. 522x x +的展开式中2x 的系数为（ ） A. 10 B. 20 C. 40 D. 80【答案】A 【解析】【分析】根据通项公式可求出结果. 【详解】通项公式为51522C kkkk T x x −+ =⋅5352C k kk x −⋅， 令532k −=，得1k =，所以展开式中2x 的系数为152C 10×=. 故选：A4. 近年来，农村电商借助互联网，使特色农副产品走向全国，送到世界各地，打破农副产品有“供”无“销”的局面，助力百姓增收致富．已知某农村电商每月直播带货销售收入y （单位：万元）与月份()1,2,,12x x = 具有线性相关关系，根据2023年前5个月的直播销售数据，得到经验回归方程为ˆ0.89.3y x =+，则下列结论正确的是（ ）A. 相关系数0.8r =，销售收入y 与月份x 的相关性较强B. 经验回归直线ˆ0.89.3y x =+过点()3,11.7 C. 根据经验回归方程可得第6个月的销售收入为14.1万元D. 关于两个变量x ，y 所表示的成对数据构成的点都在直线ˆ0.89.3y x =+上 【答案】B 【解析】【分析】根据经验回归方程的性质和定义逐个判定即可.【详解】对于A ，由回归方程为ˆ0.89.3y x =+可知，回归系数为0.8，不是相关系数，故A 错； 对于B ，由前5个月的直播销售数据，得到经验回归方程，故1234535x++++=，30.89.311.7y ∴=×+=，所以过点()3,11.7，故B 正确；对于C ，根据经验回归方程可得第6个月的销售收入的预测值为14.1万元，并不是实际值，故C 错误；对于D ，并不是所有关于两个变量x ，y 所表示的成对数据构成的点都在直线ˆ0.89.3y x =+上，故D 错误； 故选：B5. 有5名学生报名参加宣传、环境治理、卫生劝导、秩序维护4个项目的志愿者，每位学生限报1个项目，每个项目至少安排1名志愿者，且学生甲只能参加卫生劝导和秩序维护中的一个项目，则不同的分配方案共有（ ） A 80种 B. 100种 C. 120种 D. 140种【答案】C 【解析】【分析】采用先分后排的方法可求出结果.【详解】先将5个元素分成4组，有25C 10=种，再安排含甲的一组，有12C 2=种， 再安排其余3组，有33A 6=种，所以不同的分配方案共有1026120××=种. 故选：C6. 某次数学测验共有10道单选题（四个选项中只有一项是正确的），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为X ，且X 服从二项分布110,4B，则以下说法错误的是（ ） A. ()52E X =B. ()158D X =C. ()216E X +=D. ()314P X == 【答案】D 【解析】【分析】根据二项分布的均值公式、方差公式、均值性质以及概率公式计算可得答案. 【详解】因为1~10,4X B，所以15()1042E X =×=，故A 正确； 1115()10(1)448D X =××−=，故B 正确；5(21)2()12162E X E X +=+=×+=，故C 正确；.911011(1)C 144P X ==⋅⋅−= 995324×34≠，故D 错误.故选：D7. 若1ea =，b =ln55c =，则（ ）A. a c b >>B. a b c >>C. c b a >>D. c a b >>【答案】B 【解析】【分析】由ln e ln 2ln 4,e 24a b ===，可构造函数ln ()xf x x=，再求导判断单调性，即可求解. 【详解】ln e ln 2ln 4,e 24a b ===， 设ln ()(0)x f x x x =>，则21ln ()xf x x −′=， 当0e x <<时，则()0,()′>f x f x 单调递增， 当e x >时，则()0,()′<f x f x 单调递减，(e)(4)(5)f f f ∴>>，即a b c >>，故选：B【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.8. 已知函数()22,201ln ,0ex x f x x x −−≤≤= +<≤ ，函数()()1g x f x m =−−恰有两个不同的零点()1212,x x x x <，则212x x +的最大值和最小值的差是（ ） A. 32e −+ B. 34e −+C. 32e −−D. 34e −−【答案】A 【解析】【分析】作出(),1yf x y m ==+的图象，数形结合可得m 的取值范围，将212,x x 用m 表示，构造函数()e 1,(31)x h x x x −+−≤≤，利用导函数讨论单调性求解.【详解】作出(),1y f x y m ==+的图象如下，由图象可知，当212m −≤+≤，即31m −≤≤时，函数(),1y f x y m ==+有2个交点，即函数()()1g x f x m =−−恰有两个不同的零点，因为12x x <，所以21221ln 11x m x m −=+ +=+ ，可得2121e mx mx =− = ， 则212e 1mx x m +=−+，构造函数()e 1,(31)x h x x x −+−≤≤，()e 1,(31)x h x x −−≤≤′， 令()0h x ′>解得，01x <≤，令()0h x ′<解得，−<3≤0x ， 所以()h x 在[)3,0−单调递减，(]0,1单调递增，所以{}3min max ()(0)2,()max (3),(1)e 4h x h h x h h −===−=+， 所以函数()e 1,(31)x h x x x −+−≤≤的最大值和最小值之差为32e −+， 所以212x x +最大值和最小值的差是32e −+， 故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 若1021001210(1)−=++++ x a a x a x a x ，则（ ）A. 01a =B. 01101a a a +++=− C. 100123102a a a a a −+−++= D. 9024102a a a a ++++=−【答案】AC 【解析】【分析】利用赋值法可得.的【详解】A 选项：当0x =时，得100(1)a −=，即01a =，故A 正确；B 选项：当1x =时，得1001210(11)a a a a −=++++ ，即01100a a a +++=，故B 错误； C 选项：当=1x −时，得10012310(11)a a a a a −−=−+−+ ，故100123102a a a a a −+−++=，即C 正确； D 选项：()()10011001231090241002222a a a a a a a a a a a a ++++−+−+++++++=== ， 故D 错误； 故选：AC10. 袋子里有大小和形状完全相同的5个小球，其中红球2个，蓝球3个，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回．记“第一次摸出蓝球”为事件A ，“第二次摸出红球”为事件B ，则下列说法正确的是（ ） A. ()35P A =B ()625P AB =C. ()1|2P B A =D. 摸球两次，恰有一个是红球的概率为13【答案】AC 【解析】【分析】根据古典概型概率公式、条件概率公式、互斥事件的加法公式计算可得答案, 【详解】依题意可得3()5P A =，故A 正确； 323()5410P AB =×=，故B 不正确；所以()()()310|35P AB P B A P A ==12=，故C 正确； 第一次摸出蓝球，第二次摸出红球的概率为3235410×=，第一次摸出红球，第二次摸出蓝球的概率为2335410×=， .所以摸球两次，恰有一个是红球为事件33310105+=，故D 不正确. 故选：AC11. 已知某大型社区的居民每周运动总时间为随机变量X （单位：小时），X 服从正态分布()25,N σ，若()4.5P X p <=，则（ ）A. ()152P X >=B. ()14.552pP X −<<=C. σ越小，每周运动总时间在()4.5,5.5内的概率越大D. 若310p =，则从该社区中随机抽取3名居民，恰好有2名居民每周运动总时间在()4.5,5.5内的概率为36125【答案】ACD 【解析】【分析】利用正态密度曲线的对称性可判断AB 选项；利用σ与正态密度曲线的关系可判断C 选项；利用独立重复试验的概率公式可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，因为)2~5,X N σ，则()152P X >=，A 对； 对于B 选项，因为()4.5P X p <=，则()()()124.555 4.52pP X P X P X −<<=<−<=，B 错； 对于C 选项，σ越小，每周运动总时间在()4.5,5.5内的概率越大，C 对； 对于D 选项，若310p =，()324.5 5.51212105P X p <<=−=−×=， 所以，从该社区中随机抽取3名居民，恰好有2名居民每周运动总时间在()4.5,5.5内的概率为2232336C 55125⋅⋅= ，D 对.故选：ACD.12. 已知函数()42361f x x x =−+−，()f x ′是()f x 的导函数，且()()()f a f b f c =′′=′，其中a b c <<，则下列说法正确的是（ ）A. ()f x 的所有极值点之和为0B. ()f x 的极大值点之积为2C. 1ab ac bc ++=−D. abc 的取值范围是(− 【答案】AC 【解析】【分析】求出()f x ′讨论其符号后可得函数的极值点，故可判断AB 的正误，设()()()f a f b f c t ′′′===，则()31212g x x x t =−+−有3个不同的零点,,a b c ，利用导数和因式分解可求t 的范围及ab bc ac ++与t 的关系，故可判断CD 的正误.【详解】()()()312121211f x x x x x x ′=−+=−−+， 令()0f x '>，则1x <−或01x <<；令()0f x ′<，则10x −<<或1x >； 故()f x 的极大值点为1,1−，它们的乘积为1−，故B 错误.而()f x 的极小值点为0，故()f x 的所有极值点之和为0，故A 正确.设()()()f a f b f c t ′′′===， 则()f x t ′=有三个不同的实数解,,a b c ，且a b c <<.设()31212g x x x t =−+−，则()g x 有3个不同的零点， 又()23612g x x ′=−+，令()0g x ′>，则x <<令()0g x ′<，则x <x >故()g x 在 为增函数，在, −∞ 、 ∞ 上为增函数，因为()0g x =有三个不同的实数解，故00g g >< ，整理得到：1212012120t t −+> −<，解得t <<. 又因为()0g x =有三个不同的实数解,,a b c ，故()()()()12g x t x a x b x c −=−−−− ()()3212x a b c x ab bc ac x abc =−−+++++− ，故()()332121212x x t x a b c x ab bc ac x abc −+−=−−+++++− 恒成立，故1ab bc ca ++=−且12t abc −=，故C 正确，而12t abc −=∈ ，故D 错误. 故选：AC.断，则需根据导数的符号来确定.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知随机变量X 的分布列如下表所示，若()74E X =，则()2P X ≤=_________．【答案】34##0.75 【解析】【分析】利用分布列的性质结合期望公式可得出关于m 、n 的方程组，解出这两个量的值，结合表格可求得()2P X ≤的值.【详解】由分布列的性质和期望公式可得()114172344m n E X m n ++= =+×+= ，解得1214m n = =，因此，()1132244P X ≤=+=. 故答案为：34. 14. 已知多项选择题的四个选项A ，B ，C ，D 中至少有两个选项正确，规定：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．若某题的正确答案是ACD ，小明完全不知道四个选项的正误，则在小明得分的情况下，拿到2分的概率为_________． 【答案】67【解析】【分析】利用条件概率直接求解.【详解】设事件A ：“小明得分”，事件B ：“小明拿到2分”，小明只选一个选项有14C 4=种选法；小明只选两个选项有24C 6=种选法； 小明只选三个选项有34C 4=种选法； 小明选四个选项有44C 1=种选法；事件A ：“小明得分”包含123333C C C 7++=个基本事件； 事件B ：“小明拿到2分” 包含1233C C 6+=个基本事件； 所以6(|)7P B A =, 故答案为:67. 15. “白日依山尽，黄河入海流”是唐代诗人王之涣形容美景的一首诗词．某数学爱好者用两个函数图象描绘了这两句诗词：()[]3sin sin ,0,2πf x x x x =+∈的图象犹如两座高低不一的大山，太阳从两山之间落下（如图1），()[]1sin2,0,2π2g x x x =∈的图象如滚滚波涛，奔腾入海流（如图2）．若存在一点0πx ≠，使()f x 在()()00,x f x 处的切线与()g x 在()()00,x g x 处的切线平行，则0cos x 的值为_________．【解析】【分析】将函数()f x 表示为分段函数的形式，根据切线的平行和导函数的关系列出三角等式，利用余弦的二倍角公式求解.【详解】由题可知()[](]4sin ,0,π2sin ,π,2πx x f x x x ∈ = −∈ ，()[](]4cos ,0,π2cos ,π,2πx x f x x x ∈ = −∈′，()[]cos2,0,2πg x x x ′=∈当[)00,πx ∈时，由题意得，00()()f x g x ′′=，所以004cos cos 2x x =，即2002cos 4cos 10x x −−=，解得0cos x =0cos x =0cos x = 当(]0π,2πx ∈时，由题意得，00()()f x g x ′′=，所以002cos cos 2x x −=，即2002cos 2cos 10x x +−=，解得0cos x =0cos x =（舍）或0cos x =，故答案为:16. 已知函数()ln 2g x x a =−的两个零点分别为1x 和2x ，且12x x <，则212x x a的最小值为_________．【答案】2e 【解析】【分析】先将1x 和2x 用a 去表示，可将212x x a 转化为2e a a，构造函数()2e x f x x =，利用导数求最小值即可.【详解】当01x <<时，ln 0x <，当1x >，时ln 0x >，由题意1ln 2x a −=，2ln 2x a =，0a >， 所以21eax −=，22e ax =，故2212e ax x a a=设()2e xf x x=，0x >， 则()()22e 21x xf x x−′=， 当102x <<时，()0f x ′<，()f x 在区间10,2上单调递减， 当12x >时，()0f x '>，()f x 在区间1,2 +∞上单调递增， 故()12e 2f x f≥=， 故2212e ax x a a=最小值为2e . 故答案为：2e四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数．（1）这个五位数为奇数，则不同的五位数有多少个？（结果用数值表示） （2）要求3和4相邻，则不同的五位数有多少个？（结果用数值表示） 【答案】（1）72 （2）48 【解析】【分析】（1）先从1，3，5中选一个填入个位，其他数字全排即可求解；（2）先排好3和4：可以在第1，2位或第2，3位或第3，4位或第4，5位这4个位置中选1个，然后3和4内部全排列，然后其他数字全排即可求解. 【小问1详解】的从1，3，5中选一个填入个位，有13A 种， 剩余四个位置全排列，有44A 种， 故共有4134A =72A 个． 【小问2详解】3和4相邻，可以在第1，2位或第2，3位或第3，4位或第4，5位这4个位置中选1个，然后3和4内部全排列，有1242A A 种，其他位置进行全排列，有33A 种， 故共有123423A A A 48=个．18. 甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛（不考虑平局），比赛采用“五局三胜”制，先赢得三局的人获胜，比赛结束．假设每局比赛甲获胜的概率为23，各局比赛结果相互独立． （1）求甲以3:1获胜的概率；（2）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X 的分布列及数学期望()E X ． 【答案】（1）827（2）分布列见解析，10727． 【解析】【分析】（1）由题意可得前三局甲胜两局，负一局，第四局甲胜，从而可求出其概率；（2）由题意得X 的所有可能取值为3，4，5，然后根据题意求出各自对应的概率，从而可求出比赛结束时比赛局数X 的分布列及数学期望. 【小问1详解】若四局比赛甲以3：1获胜，则前三局甲胜两局，负一局，第四局甲胜，概率为：2232228C 133327P =×−×=． 【小问2详解】由题意得X 的所有可能取值为3，4，5，则打了三局，前三局都是甲胜或都是乙胜，则()332113333P X ==+=，打了四局，且前三局甲胜两局，负一局，第四局甲胜；或前三局乙胜两局，负一局，第四局乙胜，则()222233222111104C 1C 133333327P X ==×−×+×−×= ， 打了五局，前四局各赢了两局，没有分出胜负，第五局谁输谁赢都可以，法一：()22242185C 3327P X ==×=．法二：可用列举法，具体情况如下表：甲前四局胜负及概率情况()48568127P X ==×=． 所以X 的分布列为所以X 的数学期望()11081073453272727E X =×+×+×=． 19. 已知函数()323612f x x x x =−−+． （1）若()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，求()()1212x x f x f x ++的值； （2）设[]2,3x ∈−，求()f x 的最值．【答案】（1）()()1212132x x f x f x ++=− （2）最大值为92，最小值为9−． 【解析】【分析】（1）求导后，令导数为0判断单调性，从而可确定极值点，进而求解即可； （2）计算极值和端点的函数值，从而可求解. 【小问1详解】()f x 的定义域为R ．由()323612f x x x x =−−+，得()()()2336321f x x x x x ′=−−=−+， 令()0f x ′=，解得=1x −或2x =，当(),1x ∈−∞−时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当()1,2x ∈−时，()0f x ′<，()f x 单调递减， 当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， 依题意有11x =−，22x =，则()()1912f x f =−=，()()229f x f ==−， 所以()()1212132x x f x f x ++=−． 【小问2详解】由（1）知()f x 在[)2,1−−上单调递增，在()1,2-上单调递减，在(]2,3上单调递增，所以()9()12f x f =−=极大值， ()()29f x f ==−极小值．又(2)1f −=−，7(3)2f =−， 所以()f x 的最大值为92，最小值为9−． 20. 为进一步加强城市建设和产业集聚效应，某市通过“两化”中的信息化和工业化之间的完美交融结合，达到了经济效益的“倍增式”发展．该市某高科技企业对某核心技术加大研发投资力度，持续构建面向未来的竞争力．现得到一组在该技术研发投入x （单位：亿元）与收益y （单位：亿元）的数据如下表所示：研发投入x 3 6 8 10 14 17 22 32收益y 43 52 60 71 74 81 89 98（1）已知可用一元线性回归模型ˆˆˆy bx a =+模型拟合y 与x 的关系，求此经验回归方程；（附：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ， ，(),n n x y ，其经验回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为()121ˆn i ii ni i x y nxybx x ==−=−∑∑，ˆˆa y bx=−，819138i i i x y ==∑，()821634i i x x =−=∑，结果保留两位小数） （2）该企业主要生产I 、II 类产品，现随机抽取I 类产品2件、II 类产品1件进行质量检验，已知I 类、II 类产品独立检验为合格品的概率分别为34，23，求在恰有2件产品为合格品的条件下，II 类产品为合格品的概率．【答案】（1）ˆ 1.8744.82yx +（2）47． 【解析】【分析】（1）利用最小二乘法估计公式可得经验回归方程； （2）根据条件概率公式可得. 【小问1详解】3681014172232148x +++++++=，4352607174818998718y+++++++=，()8182189138814711186ˆ 1.87634634i ii ii x y xybx x ==−−××==≈−∑∑， ˆˆ71 1.871444.82abx y =−≈−×=， 所以y 关于x 的经验回归方程为ˆ 1.8744.82yx +．【小问2详解】记“恰有2件产品为合格品”为事件A ，“II 类产品为合格品”为事件B ，则()2123233271C 14344316P A =×−+−××= ， ()123321C 14434P AB =−××=， 由条件概率的计算公式得()()()144|7716P AB P B A P A ===， 故在恰有2件产品为合格品的条件下，II 类产品为合格品的概率为47． 21. 为充分了解广大业主对小区物业服务的满意程度及需求，进一步提升物业服务质量，现对小区物业开展业主满意度调查，从小区中选出100名业主，对安保服务和维修服务的评价进行统计，数据如下表． （1）完成下面的22×列联表，并根据小概率值0.001α=的独立性检验判断业主对安保服务的满意度与对维修服务的满意度是否有关联；（2）现从对物业服务不满意的业主中抽取6人，其中对维修服务不满意的有4人，然后从这6人中随机抽取3人，记这3人中“对安保服务不满意”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附：①()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，其中n a b c d =+++．②临界值表α0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x α2.7063.84166357.87910.828【答案】（1）表格见解析，认为业主对安保服务的满意度与对维修服务的满意度有关联.（2）分布列见解析，()1E X = 【解析】【分析】（1）根据题中信息完善22×列联表，计算出2χ的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）分析可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可求得()E X 的值. 【小问1详解】解：依题意得22×列联表如下：评价服务合计安保服务维修服务 满意 28 57 85 不满意 12 3 15 合计4060100 零假设为0:H 业主对安保服务的满意度与对维修服务的满意度无关联，220.001100(2831257)11.76510.82840608515x χ××−×=≈>=×××，根据小概率值0.001α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为业主对安保服务的满意度与对维修服务的满意度有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001． 【小问2详解】解：依题意可知，所抽取的6人中对维修服务不满意的有4人，对安保服务不满意的有2人，X 的所有可能取值为0、1、2，则()3436C 10C 5P X ===，()214236C C 31C 5P X ===，()124236C C 12C 5P X ===， 所以X 的分布列如下：故X 的数学期望为()1310121555E X =×+×+×=． 22. 已知函数()e ln 1xf x ax x x =−−−．（1）当0a =时，求()f x 的单调区间； （2）若不等式()0f x ≥恒成立，证明：1a ≥．【答案】（1）()f x 的单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间 （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）利用导数的符号可得结果； （2）转化为maxln 1e xx x a x ++≥ ，再构造函数，利用导数求出其最大值证不等式成立. 【小问1详解】当0a =时，()()ln 1,0,f x x x x =−−−∈+∞．所以()110f x x′=−−<， 故()f x 的单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间． 【小问2详解】由()e ln 10xf x ax x x =−−−≥恒成立，可知ln 1e xx x a x ++≥恒成立，即maxln 1e x x x a x ++ ≥ ， 令()ln ln 1ln 1e e x x xx x x x g x x +++++==， 不妨设ln t x x =+，则()()1e tt h t t +=∈R ，()()2e 1e e et ttt t t h t −+==−′， 由()0h t ′>，得0t <，由()0h t ′<，得0t >，所以()h t 在(),0∞−上单调递增，在()0,∞+上单调递减．故()()()0max max 101eg x h t h ====， 所以()max 1a g x ≥=．【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,yf x x a b ∈，（1）若[],x a b ∀∈，总有()f x k <成立，故()max f x k <； （2）若[],x a b ∀∈，总有()f x k >成立，故()min f x k >； （3）若[],x a b ∃∈，使得()f x k <成立，故()min f x k <； （4）若[],x a b ∃∈，使得()f x k >，故()max f x k >.。
宁夏育才中学2014-2021学年高二上学期第一次月考数学(理)试题 Word版含答案
数学理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1、下列赋值语句中正确的是( )A.3=+n mB.i =3C.1+=i iD.3==j i 2、下列各数中最小的是 （ ）A. ）（2111111B. )6(210C. ）（41000D. 813、阅读下图中的算法，其功能是( )．A ．将a ，b ，c 由小到大排序B ．将a ，b ，c 由大到小排序C ．输出a ，b ，c 中的最大值D ．输出a ，b ，c 中的最小值4、下面一段程序执行后输出结果是（ ） A. 2 B. 8 C. 10 D. 185、从932人中抽取一个样本容量为100的样本，接受系统抽样的方法则必需从这932人中剔除（ ）人A. 32B. 24C. 16D. 486、用秦九韶算法计算多项式654323567983512)(x x x x x x x f ++++-+=在4-=x 时的值时,3V 的值为（ ）A. －845B. 220C. －57D. 34（第7题）（第8题）7、执行上面图2所示的程序框图,若输入n 的值为6,则输出s 的值为 （ ）A ．105B ．16C ．15D ．18、对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如上图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是 （ ）A ．46,45,56B ．46,45,53C ．47,45,56D ．45,47,539、交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓状况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N ,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N 为 （ ）A ．101B ．808C ．1212D ．202210、若样本数据10321,......,,x x x x 的平均数是10，方差是2，则数 据12,......12,12,1210321++++x x x x 的平均数与方差分别是（）A. 20,8B. 21,12C. 22,2D. 21,811、执行右面的程序框图，假如输入的N=4，那么输出的S=（） A.1+12+13+14B.1+12+13×2+14×3×2C.1+12+13+14+15D.1+12+13×2+14×3×2+15×4×3×212、下面的程序框图中，若输出S 的值为126，则图中应填上的条件为（ ）A ．5n ≤B ．6n ≤C ．7n ≤D ．8n ≤ （12题）第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13、一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职第一步，m = a .其次步，b ＜m ，则m = b .第三步，若c ＜m ，则m = c . 第四步，输出m. （第3题）A=2 A=A*2 A=A+6PRINT A （第4题）开头1,0n S ==否2nS S =+1n n =+是输出S结束称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入状况，打算接受分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是 .14、育才中学从参与高二班级学业水平测试的同学中抽出100名同学，其数学成果的频率分布直方图如下图所示．其中成果分组区间是[40，50），[50,60），[60,70），[70,80），[80,90) ,[90,100]．则成果在[80 ,100]上的人数为 .（第14题：） （第15题）S=0i=0WHILE i<=10 S= S+i i=i^2+1 WEND PRINT S END15、阅读下列程序：写出运行的结果是16、已知样本9,10,11,,x y 的平均数是10，标准差是2，则xy = 三.解答题：（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明和步骤） 17、（10分）用辗转相除法求459与357的最大公约数，并用更相减损术检验。
2013—2014学年度七年级第二学期期末调研考试数学试题(含答案)
2013—2014学年度七年级第二学期期末调研考试数 学 试 卷（人教版）注意：本试卷共8页，满分为120分，考试时间为120分钟．一、选择题（本大题共12个小题；每小题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．点到直线的距离是指……………………………………………………………（ ） A ．从直线外一点到这条直线的垂线 B ．从直线外一点到这条直线的垂线段 C ．从直线外一点到这条直线的垂线的长 D ．从直线外一点到这条直线的垂线段的长2．如图，将直线l 1沿着AB 的方向平移得到直线l 2，若∠1=50°， 则∠2的度数是…………………………………………（ ） A ．40° B ．50° C ．90° D ．130°3．下列语句中正确的是…………………………………………………………（ ） A ．-9的平方根是-3 B ．9的平方根是3 C ．9的算术平方根是±3 D ．9的算术平方根是34．下列关于数的说法正确的是……………………………………………………（ ） A ．有理数都是有限小数 B ．无限小数都是无理数 C ．无理数都是无限小数 D ．有限小数是无理数5．点（-5，1）所在的象限是……………………………………………………（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6．将点A （2，1）向左平移2个单位长度得到点A ′，则点A ′的坐标是………（ ） A ．（0，1） B ．（2，－1） C ．（4，1） D ．（2，3）7．下列调查中，适宜采用全面调查方式的是……………………………………（ ） A ．对我国首架大陆民用飞机各零部件质量的检查A Bl 1l 212 (2题图)B ．调查我市冷饮市场雪糕质量情况C ．调查我国网民对某事件的看法D ．对我市中学生心理健康现状的调查8．二元一次方程3x ＋2y ＝11………………………………………………………（ ） A ．任何一对有理数都是它的解 B ．只有一个解 C ．只有两个解 D ．有无数个解9．方程组⎩⎨⎧=+=+32y x y x ■，的解为⎩⎨⎧==■y x 2，则被遮盖的两个数分别为…………（ ）A ．1，2B ．5，1C ．2，3D ．2，410．如图是甲、乙两户居民家庭全年支出费用的扇形统计图，根据统计图，下面对食品支出费用判断正确的是…………………………………………………………（ ）A ．甲户比乙户多B ．乙户比甲户多C ．甲、乙两户一样多D ．无法确定哪一户多11．如图，点O 在直线AB 上，OC 为射线，∠1比∠2的3倍少10°，设∠1，∠2的度数分别为x ，y ，那么下列求出这两个角的度数的方程是………………………（ ）A ．⎩⎨⎧-==+10180y x y xB ．⎩⎨⎧-==+103180y x y xC ．⎩⎨⎧+==+10180y x y x D ．⎩⎨⎧-==1031803y x y12．5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a 米，后两名的平均身高为b 米．又前两名的平均身高为c 米，后三名的平均身高为d 米，则………………………………………………………………………………（ ） A ．2b c +＞2b a + B ．2b a +＞2b c + C ．2b c +=2ba +D ．以上都不对ABC1 2O (11题图)二、填空题（本大题共8个小题；每小题3分，共24分．把答案写在题中横线上）13．在同一平面内，已知直线a 、b 、c ，且a ∥b ，b ⊥c ，那么直线a 和c 的位置关系是___________． 14．下列说法中①两点之间，直线最短；②经过直线外一点，能作一条直线与这条直线平行； ③和已知直线垂直的直线有且只有一条；④在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线． 正确的是：_______________．（只需填写序号）15．11在两个连续整数a 和b 之间，a ＜11＜b ，那么b a 的立方根是____________． 16．在实数3.14,－36.0,－66,0.13241324…,39 ,－π,32中，无理数的个数是______． 17．一只蚂蚁由（0，0）先向上爬4个单位长度，再向右爬3个单位长度，再向下爬2个单位长度后，它所在位置的坐标是_________．18．某空调生产厂家想了解一批空调的质量，把仓库中的空调编上号，然后抽取了编号为5的倍数的空调进行检验．你认为这种调查方式_____________．(填“合适”或“不合适”)19．如图，围棋盘放置在某个平面直角坐标系内，如果白棋②的坐标为(－7,－4)，白棋④的坐标为(－6,－8)，那么黑棋的坐标应该是_________________．20．如图，母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒．从图中信息可知，则买5束鲜花和5个礼盒的总价为________元．(19题图)(20题图)三、解答题（共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21．解下列方程组或不等式（组）:（1，2小题各4分，3小题6分， 共14分）（1）⎩⎨⎧-=+=+;62,32y x y x（2）⎩⎨⎧=-=+;2463,247y x y x（3）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上：3(1)7251.3x x xx --⎧⎪⎨--<⎪⎩≤， ① ②22．（本题8分）如图，CD 平分∠ACB ，DE ∥BC ，∠AED =80°，求∠EDC 的度数．23．（本题6分）小刘是快餐店的送货员，如果快餐店的位置记为（0,0），现有位置分别是A （100,0），B （150，－50），C （50, 100）三位顾客需要送快餐，小刘带着三位顾客需要的快餐从快餐店出发，依次送货上门服务，然后回到快餐店．请你设计一条合适的送货路线并计算总路程有多长．（画出坐标系后用“箭头”标出）ADB CE24．（本题10分）已知：如图，AD ⊥BC 于D ，EG ⊥BC 于G ，AE =AF ．求证：AD 平分∠BAC ．25．应用题(本题10分)某校为了解七年级学生体育测试情况，以七年级(1)班学生的体育测试成绩为样本，按A ，B ，C ，D 四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给的信息解答下列问题：（说明：A 级：90分～100分；B 级：75分～89分；C 级：60分～74分；D 级：60分以下）（1）请把条形统计图补充完整；（2）样本中D 级的学生人数占全班学生人数的百分比是__________； （3）扇形统计图中A 级所在的扇形的圆心角度数是__________；（4）若该校七年级有500名学生，请你用此样本估计体育测试中A 级和B 级的学生人数约为多少人．(24题图)FE ACBGD3 2 1C BD A 46% 20%24%如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/（吨·千米），铁路运价为1.2元/（吨·千米），且这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元．求：（1）该工厂从A地购买了多少吨原料？制成运往B地的产品多少吨？（2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？（1）如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON 的度数．（2）如果（1）中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数．（3）如果（1）中∠BOC＝β（β为锐角），其他条件不变，求∠MON的度数．（4）从（1）（2）（3）的结果能看出什么规律？（5）线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿（1）～（4），设计一道以线段为背景的计算题，写出其中的规律来？AMBONC2-1-0 1参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 答案DBDCBAADBDB A12∵a ＞d ，∴2a +2b ＜2c +2d ， ∴a +b ＜c +d ，∴＜， 即＞，故选B ．二、填空题 13．a ⊥c ； 14．②，④； 15．4； 16．3； 17．（3，2）；18．合适 点拨：因为这样使得该抽样调查具有随机性、代表性． 19．(－3,－7)； 20．440． 三、解答题： 21．（1）解：由①得：y =－2x +3……③ ③代入② x +2（－2x +3）=－6 x =4………………………………………………………………………………2分把x =4代入③得 y =－5 ∴原方程组解为 ⎩⎨⎧-==54y x ………………4分（2）解：①×3+②×2得： 27x =54x =2把x =2代入①得：4y =－12y =－3………………………………………………………………………2分 ∴原方程组解为 ⎩⎨⎧-==32y x ……………………………………………4分（3）解：解不等式①，得2x -≥； 解不等式②，得12x <-．在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图所示：…………………………2分……………………………………4分所以，原不等式组的解集是122x -<-≤．……………………………………6分 22．解：∵ DE ∥BC ，∠AED =80°，∴ ∠ACB =∠AED =80°. ………………………………………4分 ∵ CD 平分∠ACB ， ∴ ∠BCD =21∠ACB =40°，……………………………………6分 ∴ ∠EDC =∠BCD =40°．…………………………………………8分 23．解：合适的路线有四条，如图所示是其中的一条， 即向北走100 m ，再向东走50 m 到C ；接着向南走 100 m ，再向东走50 m 到A ；接着向东走50 m ，再向 南走50 m 到B ；接着向西走150 m ，再向北走50 m 回到O .尽可能少走重复路段．如图所示，所走的路线 长最短，共为600 m. …………………………………6分 24．证明：∵AD ⊥BC 于D ，EG ⊥BC 于G∴AD ∥EG ，………………………3分 ∴∠2=∠3, ∠1=∠E , ………………5分 ∵AE =AF ∴∠E = ∠3，∴∠1 = ∠2，……………………………8分 ∴AD 平分∠BAC ．………………………10分 25．解：(1)条形图补充如图所示．………………3分(2)10%……………………………………5分 (3)72°……………………………………7分 (4)500×(46%＋20%)＝330(人)．………………10分26．解：（1）设工厂从A 地购买了x 吨原料,制成运往B 地的产品y 吨.则依题意，得：⎩⎨⎧=+=+.97200)120110(2.1,15000)1020(5.1x y x y …………………………………6分DB七年级(下)数学期末试卷 第11页(共8页) 解这个方程组，得：⎩⎨⎧==.300,400y x ∴工厂从A 地购买了400吨原料,制成运往B 地的产品300吨. ……………………………………………………………9分（2）依题意，得：300×8000－400×1000－15000－97200=1887800∴批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元. ……………………12分27．解：(1)∠MON ＝∠COM －∠CON ＝12∠AOC －12∠BOC ＝12×120°－12×30°＝45°； ……………………………………………………………2分(2)∠MON ＝∠COM －∠CON ＝12∠AOC －12∠BOC ＝12(α＋30°)－12×30°＝12α； ……………………………………………………………4分(3)∠MON ＝∠COM －∠CON ＝12∠AOC －12∠BOC ＝12(90°＋β)－12β＝45°；……6分 (4)∠MON 的大小等于∠AOB 的一半，而与∠BOC 的大小无关；……………9分(5)如图，设线段AB ＝a ，延长AB 到C ，使BC ＝b ，点M ，N 分别为AC ，BC 的中点，求MN 的长．规律是：MN 的长度总等于AB 的长度的一半，而与BC 的长度无关．…………12分。
广东省大湾区2023-2024学年高二下学期期末联合考试数学试题(解析版)
大湾区2023—2024学年第二学期期末联合考试高二数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 等差数列{}n a 中，141,8a a =−=，则{}n a 的公差d =（ ）A. 3B. 2C. 2−D. 3−【答案】A 【解析】【分析】直接根据等差数列的公差计算公式即可求解．【详解】由141,8a a =−=得，4193413a a d −===−， 故选：A ．2. 已知随机变量ξ的分布列如下表：ξ 12 3Pab a则()E ξ=（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据分布列概率之和为1得21a b +=，再由随机变量的期望公式计算即可. 【详解】由分布列的性质可得，1a b a ++=，即21a b +=，()()12342222E a b a a b a b ξ=×+×+×=+=+=.故选：B ．3. 在日常生活中，许多现象都服从正态分布.若()2,X Nµσ ，记()1p P X µσµσ=−<<+，()222p P X µσµσ=−<<+，()333p P X µσµσ=−<<+，经统计，某零件的尺寸大小X （单位：dm ）从正态分布()30,25N ，则()40P X >=（ ） A. 112p −B. 212p −C.212p − D.312p − 【答案】C 【解析】【分析】根据正态分布的对称性即可得所求.【详解】由题意知，()30,25X N ∼，则30µ=，5σ=，220µσ∴−=，240µσ+=. 结合正态曲线的对称性可得()()21204014022P X p P X −≤≤−>==. 故选：C.4. 已知一组成对数据()(),1,2,,6i i x y i = 中y 关于x 的一元非线性回归方程21y bx =+，已知666211112,4,18i i i i i i x x y =====∑∑∑，则b =（ ）A. 1−B. 1C. 92−D.92【答案】B 【解析】【分析】根据题意，求得2x 和y 的平均数，根据样本中心满足回归方程，即可求解. 【详解】因为y 关于x 的一元非线性回归方程21y bx =+，设2t x =，则回归直线方程ˆˆ1y bt =+，又因为6621112,18ii i i x y ===∑∑，可得66211112,366i i i i x y ====∑∑，即样本中心为(2,3)， 将样本中心(2,3)代入回归直线方程ˆˆ1y bt =+，可得ˆ321b=+，解得ˆ1b =，即1b =. 故选：B.5. 画n 条直线，将圆的内部区域最多分割成（ ）A. 2212n n ++部分B. 222n n ++部分C. 232n n +部分D. 242n n −+部分【答案】B 【解析】【分析】设画n 条线把圆最多分成n a 部分，根据已知条件得到递推关系式，从而求出通项公式. 【详解】设画n 条直线，将圆最多分割成n a 部分， 则12a =，1(2)n n a a n n −−=≥，因此213212,3,,(2)n n a a a a a a n n −−=−=−=≥ ， 相加得：1(1)(2)234(2)2n n n a a n n −+−=++++=≥ ，所以22(2)2n n n a n ++=≥， 当1n =，12a =，符合上式，所以222n n n a ++=， 故选：B.6. 若函数()e ln xf x k x =−在区间()1e ，上是增函数，则实数k 的取值范围为（ ）A. (]0−∞，B. 1e ， −∞C. (]e −∞，D. (ee −∞ ，【答案】C 【解析】【分析】根据题意，将问题转化为恒成立问题，然后求导得最值即可.【详解】由()e 0xkf x x=′−≥，可得e x k x ≤，记()()e 1e x g x x x =∈，，， 则()()1e 0xg x x ′=+>，所以()g x 在()1,e 单调递增，所以()1e k g ≤=. 故选：C7. 某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用22×列联表进行独立性检验.整理所得数据后发现，若依据0.010α=的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动无关；若依据0.025α=的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动有关，则2χ的值可能为（ ） 附表：α0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x α2.7063.8415.0246.6357.87910.828A. 4.238B. 4.972C. 6.687D. 6.069【答案】D 【解析】【分析】依据α的取值，得出2χ的取值范围，判断即可. 【详解】由题知[)25.024,6.635χ∈，故2χ的值可能为6.069.故选：D8. 已知函数()(0)f x x x α=>，α为实数，()f x 的导函数为()f x ′，在同一直角坐标系中，()f x 与()f x ′的大致图象不可能是（ ）A. B.C. D..【答案】C 【解析】【分析】先通过特值代入易得A 项符合，对于B, C, D 项，通过图象观察分析可得1α>，结合两函数图象交点的位置舍去C 项.【详解】由(),f x x α=可得()1f x xαα−′=对于A ，当1α=−时，在第一象限上()1f x x −=递减，对应()221f x x x−=−′=−图象在第四象限且递增，故A 项符合；对于B C D ,,,在第一象限上()f x 与()f x ′的图象在(0,)+∞上都单调递增，故0α>且10α−>，则1α>.又由()()f x f x =′可得1x α=>，即()f x x α=与()1f x x αα−′=的图象交点横坐标应大于1，显然C 项不符合，B, D 项均符合. 故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列函数中，存在极值点的是（ ） A. 1y x x=−B. 32y x x =−−C. ln y x x =D. sin y x x =【答案】CD 【解析】【分析】根据极值的定义以及导数符号对选项一一验证即可. 【详解】对于A ，1y x x=−，定义域为()(),00,∞−+∞ ， 其导数2110y x′=+>，则函数1y x x =−在(),0∞−和()0,∞+上单调递增，没有极值点，故A 错误； 对于B ，32y x x =−−在定义域R 上单调递减，没有极值点，故B 错误； 对于C ，ln y x x =，定义域为()0,∞+，其导数ln 1y x '=+，再10,e x∈时，0′<y ，函数单调递减，再1,e x ∞ ∈+时，0′>y ，函数单调递增，则当1ex =时，函数取得极小值，故C 正确； 对于D ，sin y x x =，定义域为R ，其导数sin cos y x x x ′=+，当,02x π∈−时，0′<y ，函数单调递减， 当0,2x π∈时，0′>y ，函数单调递增， 则当0x =时，函数取得极小值，故D 正确； 故选：CD.10. 已知数列{}n a ，其前n 项和记为n S ，则（ ）A. 若{}n a 等差数列，且p q s t a a a a +=+，则p q s t +=+B. 若{}n a 是等差数列，且()2,,n S An Bn C A B C ++∈R ，则0C =C. 若{}n a 是等比数列，且12n n S C +=+，其中C 为常数，则2C =−D. 若{}n a 是等比数列，则232,,,k k k k k S S S S S --⋅⋅⋅也是等比数列 【答案】BC 【解析】【分析】举反例判断AD n 项和公式判断BC 选项.【详解】A 选项中，当等差数列{}n a 是常数列时，由p q s t a a a a +=+，就不能得到p q s t +=+，所以A 是错误的；B 选项中，设等差数列{}n a 公差为d ，由前n 项和()21111222n d d S na n n d n a n=+−=+−， 可知0C =，所以B 是正确的； C 选项中，由12n n S C +=+可知，等比数列{}n a 公比不为1，设公比为q ，由等比数列前和公式得()1111111n n n a q a a S qq q q−==−−−−，则有2q ，121a q =−−，则常数2C =−，所以C 是正确的；D 选项中，等比数列{}n a 中，当公比1q =−时，若2k =，有20S =，则24264,,,S S S S S −−⋅⋅⋅就不是等比数列，所以D 是错误的； 故选：BC ．是11. 设A ，B 是一次随机试验中的两个事件，且1()3P A =，1()4P B =，7()12P AB AB +=，则（ ）A. A ，B 相互独立B. 5()6P A B +=C. ()13P B A =D. ()()P A B P B A ≠【答案】ABD 【解析】【分析】利用独立事件、对立事件、互斥事件的定义与概率公式可判定A 、B ，利用条件概率的定义与公式可判定C 、D .【详解】由题意可知()()()23()1,134P A P A P B P B =−==−=， 事件,AB AB 互斥，且()()()()()(),P AB P AB P A P AB P AB P B +=+=， 所以()()()()()7()212P AB AB P AB P AB P A P B P AB +++−， 即()()()()2171234126P AB P AB P A P B +−=⇒==，故A 正确； 则()()()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P B +=+−=+−⋅1313534346=+−×=，故B 正确； 由条件概率公式可知：()()()11162433P AB P B A P A ===≠，故C 错误； ()()()()()()11146134P AB P B P AB P A B P B P B −−====， ()()()()()()21336243P BA P A P AB P B AP A P A −−====即()()P A B P B A ≠，故D 正确. 故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 当[]0,3x ∈时，函数()3123f x x x =−+的最小值为_______. 【答案】43##113【解析】【分析】首先求函数的导数，并判断函数定义域内的单调性，即可求函数的最小值.【详解】由题意可知，()()()2111f x x x x −+−′，令()0f x ′=，有1x =或=1x −（舍）， 当[)0,1x ∈时，()0f x ′<，()f x 单调递减，当(]1,3x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以当1x =时，函数取得最小值()1114233f =−+=. 故答案为：4313. 将5名志愿者分配到四个社区协助开展活动，每名志愿者只能到1个社区，每个社区至少1名，则不同的分配方法数是____________. 【答案】240 【解析】【分析】把5名志愿者分成4组，再分配到4个社区即可. 【详解】把5名志愿者分成4组，有25C 种分法， 再把每一种分法的4组分配到4个社区有44A 种方法， 所以不同的分配方法数是2454C A 240=. 故答案为：240.14. “杨辉三角”.如图所示，去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前46项和为_____.【答案】2037 【解析】【分析】根据“杨辉三角”的特点可知n 次二项式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第1n +行，从而得到第1n +行去掉所有为1的项的各项之和为：22n −；根据每一行去掉所有为1的项的数字个数成等差数列的特点可求得至第11行结束，数列共有45项，则第46项为11111C =，从而加和可得结果.【详解】由题意可知，n 次二项式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第1n +行 则“杨辉三角”第1n +行各项之和为：2n∴第1n +行去掉所有为1的项的各项之和为：22n −从第3行开始每一行去掉所有为1的项的数字个数为：1,2,3,4,⋅⋅⋅则：12345678945++++++++=，即至第11行结束，数列共有45项∴第46项为第12行第1个不为1的数，即为：11111C =∴前46项的和为：1231022222222112037−+−+−+⋅⋅⋅+−+=本题正确结果：2037【点睛】本题考查数列求和的知识，关键是能够根据“杨辉三角”的特征，结合二项式定理、等差等比数列求和的方法来进行转化求解，对于学生分析问题和总结归纳的能力有一定的要求，属于较难题.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 数列{}n a 满足11a =，110+++−=n n n n a a a a . （1）求数列{}n a 通项公式；（2）设cos π22n nn b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）1n a n=； （2）9,24,N 71,214nnn k S k n n k ∗ = ∈− =− . 【解析】【分析】（1）变形给定等式，利用等差数列求出通项即得.（2）利用（1）的结论，求出n b ，按n 为奇数和偶数并结合并项求和法分别求和. 【小问1详解】数列{}n a 中，11a =，110+++−=n n n n a a a a ，显然0n a ≠，则1111n na a +-=， 数列1{}na 是首项为1，公差为1的等差数列，11(1)1=+−⋅=n n n a ，所以数列{}n a 通项公式是1n a n=. 【小问2详解】 由（1）知，(1)22nn nb =−⋅+， 当2,N n k k ∗=∈时，1119(1)2(1)2222n n n n n nb b −−−=−⋅⋅+++−+=，99224n n n S =⋅=，当21,N n k k ∗=−∈时，119(1)1712424n n n n n n S S b ++++−=−=−−=， 所以9,24,N 71,214nnn k S k n n k ∗ = ∈− =− . 16. 小家电指除大功率､大体积家用电器（如冰箱､洗衣机､空调等）以外的家用电器，运用场景广泛，近年来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，下表为连续5年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元），其中年份对应的代码依次为15∼. 年份代码x 12345市场规模y 0.9 1.2 1.5 1.4 1.6（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立y 关于x 的经验回归方程（系数精确到0.01）. 参考数据：51: 1.32, 3.16i i i y x y ===≈≈∑；参考公式：相关系数r =，回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆˆˆ,niii nii x x y y bay bx x x ==−−==−−∑∑. 【答案】（1）答案见解析（2）ˆˆ0.160.84yx+ 【解析】【分析】（1）由题意代入公式即可求出相关系数近似为0.92，说明y 与x 的线性相关程度较高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系；（2）利用最小二乘法求出ˆ0.16b=，ˆ0.84a =，即可得到y 关于x 的经验回归方程. 【小问1详解】由已知得()521123453, 1.32,0.555i i x y x x =++++===−=≈∑,()()5511521.453 1.321.6i ii ii i x x y y x y x y =−−=−⋅=−××=∑∑ 1.60.923.160.55r ∴≈≈×.因为y 与x 的相关系数近似为0.92，说明y 与x 的线性相关程度较高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系. 【小问2详解】 由题可得，552222221121.4,1234555i ii i i x yx ===++++=∑∑()()51522211.6ˆ0.1655535iii ii x x y y bx x ==−−==−×−∑∑，ˆˆ 1.320.1630.84a y bx =−=−×= 故y 关于x 的经验回归方程为ˆˆ0.160.84y x+. 17. 某同学在研究二项式定理的时候发现：()()1221111C C C C nn n n nn n n n f x x x x x x −−=+=+++++ 其中C r n 为rx 的系数，它具有好多性质，如：①1211C C C C 2n n n n n n n −+++++=;②C C m n m n n −=;③11C C k k n n k n −−=；请借助于该同学的研究方法或者研究成果解决下列问题:（1）计算：12377777C 2C 3C 7C ++++ ；(请用数字作答) （2）若*N n ∈，且3n ≥，证明：()221C 12nkn nk k n n −==+⋅∑；（3）设数列0a ，1a ，2a ，…，n a 是公差不为0的等差数列，证明：对任意的*N n ∈，函数()()()()120122012C 1C 1C 1C nn n n nn n n n np x a x a x x a x x a x −−=−+−+−++ 是关于x 的一次函数. 【答案】（1）448；（2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用C C m n mn n −=，结合组合数公式计算即得.（2）根据给定条件，利用11C Ckk nn k n −−=变形等式左边，再结合0C 2nk n n k ==∑推理即得. （3）设出等差数列的公差，利用首项、公差表示n a 并代入函数式，再分组求和并逆用二项式定理推理即得. 【小问1详解】原式16253477777777C 6C 2C 5C 3C 4C 7C =++++++ 012377777(C C C C )7(172135)764448=++++++=×=. 【小问2详解】显然211C C C k k k n n n k k k k n −−=⋅=⋅，而1112111121C (1)C C (1)C C k k k k k n n n n n k k n −−−−−−−−−−=−+=−+， 因此22121C (1)C C kk k n n n k n n n −−−−−+=， 则22121221121C (1)CC (1)22(1)2nnnkk k n n n nn n k k k k n n n n n n n n −−−−−−−===−+=−⋅+⋅=+∑∑∑. 所以原命题成立. 【小问3详解】设等差数列0a ，1a ，2a ，…，n a 的公差为d ，0d ≠，则011222012()C (1)C (1)C (1)C n n n n n n n n n n p x a x a x x a x x a x −−=−+−+−++011000C (1)()C (1)()C n n nn n n n a x a d x x a nd x −=−++−+++0110[C (1)C (1)C ]n n n nn n n a x x x x −−+−++ 11222[C (1)2C (1)C ]n n n n n n n d x x x x n x −−+−+−++ 0112110111[(1)][C (1)C (1)C ]n n n n n n n n a x x dnx x x x x−−−−−−−=−++−+−++ ()101n a dnx x x − =++−0a dnx =+所以对任意的*N n ∈，()p x 是关于x 的一次函数.【点睛】思路点睛：本题第（3）利用公差1,d a 表示n a ，借助分组求和的思想并逆用二项式定理即可推理得证..18. 为改善人口结构，我国自2021年5月31日起实施三胎政策.政策实施以来，某市的人口出生率得到了一定程度的提高，某机构对该市家庭生育情况进行抽查，抽取到第2个三胎家庭就停止抽取，记抽取的家庭数为随机变量()2X X ≥，且该市随机抽取一户是三胎家庭的概率为13，已知各家庭抽查结果相互独立. （1）求()4P X =；（2）若抽取的家庭数X 不超过n 的概率不小于23，求整数n 的最小值. 【答案】（1）427（2）7 【解析】【分析】（1）利用独立事件的乘法公式求解即可；（2）利用错位相减法求取的家庭数X 不超过n 的概率，再结合数列的单调性求解即可. 【小问1详解】由题意，前三次抽到一户三胎家庭，第四次抽到一户三胎家庭，所以2131214(4)C 33327P X ==×××= . 【小问2详解】因为22111212()C (2)3393i i i i P X i i −−−−==××=×≥.所以抽取的家庭数X 不超过n 的概率为2()(2)(3)()ni P P X i P X P X P X n =====+=++=∑， 即01221222321293939393n n P −−=×+×+×++×，1221212222212393939393n n n n P −−−−=×+×++×+×，两式相减，得0122111222212,39333393n n n P −− −=×++++−×所以11211123233313n n n P −−− − =×−× −111212221133333n n n n n −−−−+ =−−×=−⋅ .由12221333n n P −+=−⋅≥，得12(2)13n n − +⋅≤，令12(2)(2)3n n a n n −=+⋅≥，则121221(2)(1)333n n n n n a a n n −−−−−=+⋅−+⋅=.220(3)3n n −<≥，所以1n n a a −<，所以数列{}(2)n a n ≥是递减数列，因为5667225626481,913243381a a =×=>=×=<， 所以整数n 的最小值是7.19. 已知函数()()ln 1,e 1xf x xg x =+=−. （1）求曲线()y f x =与()y g x =的公切线的条数；（2）若()()()220,1,,11a x f x a g x a a ∞>∀∈−++≤+−+，求a 的取值范围.【答案】（1）2条 （2）1a ≥ 【解析】【分析】（1）设切点，求导，分别求解()(),f x g x 的切线方程，根据公切线可得2221121eln e e 1x x x x x x = =−+− ，即可求解20x =或21x =，从而得解，（2）将问题转化为()2ln 1e xx a a +≤−对于()1,x ∞∀∈−+恒成立，根据0x =可得1a ≥，进而构造函数()ln 1,m x x x =−+证明()ln 1x x +≤，即可先求解2e x x a a ≤−，构造函数()()2e ,1xF x x a a x =−+>−，求导，结合分类讨论即可求解. 【小问1详解】设()()ln 1,e 1xf x xg x =+=−的切点分别为()()()()1122,,,x f x x g x ， 则()1,()e x f x g x x′′==， 故()()ln 1,e 1xf x xg x =+=−在切点处的切线方程分别为()1111111ln 1ln y x x x y x x x x =−++⇒=+， ()2222222e e 1e e e 1x x x x x y x x y x x −+−⇒−+−则需满足；2221121e ln e e 1x x x x x x = =−+− ,故()()2222221ln e e 1e 110e x x x x x x =−+−⇒−−=， 解得20x =或21x =，因此曲线()y f x =与()y g x =有两条不同的公切线， 【小问2详解】由()()2211f x a g x a a +≤+−+可得()()22ln 11e11xx aa a ++≤−+−+，即()2ln 1e xx a a +≤−对于()1,x ∞∀∈−+恒成立，()20ln 01e a a +≤−，结合0,a >解得1a ≥设()ln 1,m x x x =−+， 则当1x >时()1()10,m x m x x−<′=单调递减，当01x <<时，()()0,m x m x >′单调递增， 故当()()10m x m ≤=，故ln 1,x x ≤− 因此()ln 1x x +≤，()1x >−，令()()2e ,1xF x x a a x =−+>−，则()21e xF x a =−′，令()21e 0xF x a ′=−=，得2ln x a =−， 当2ln 1a −≤−时，此时a ≥()21e 0x F x a ′=−<，故()F x 在1x >−上单调递减， 所以()()2222e e ee e 241120e e ea a a a F x F a−−+− −+− <−=−−+==≤<， 所以()2e 0xF x x a a =−+<，由于()ln 1x x +≤进而2ln(1)e 0x x a a +−+<，满足题意， 当2ln 1a −>−时，此时1a <<，令()21e 0xF x a ′=−>，解得()12ln ,x a F x −<<−单调递增， 令()21e 0xF x a ′=−<，解得()2ln ,x a F x >−单调递减， 故()()()max 2ln 2ln 1F x F x F a a a ≤=−=−−+，令()2ln 1p a a a =−−+，则()221a p a a a−=−+=′，由于1a <<，所以()2210a p a a a−=−+=<′， 故()pa 1a <<单调递减，故()()1p a p <，即可()0p a <，因此()()()()max 2ln 2ln 100F x F x F a a a F x ≤=−=−−+<⇒<所以()2e 0xF x x a a =−+<，由于()ln 1x x +≤进而2ln(1)e 0x x a a +−+<，满足题意，综上可得1a ≥【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，在的。
高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)(2021年最新整理)
黑龙江省牡丹江市2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题理（含解析）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（黑龙江省牡丹江市2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题理（含解析））的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2016-2017年度下学期期末考试高二理科数学试题一、选择题：(本大题共12小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1。
已知集合，则等于( )A. B. C。
D.【答案】C【解析】选C.2。
若，则下列结论不正确的是( )A. B。
C。
D.【答案】D【解析】,选D.3。
函数的定义域为( ）A。
B。
C. D.【答案】A【解析】由题意得，所以【考点定位】本题考查函数的定义域的求法，考查数形结合思想和运算能力. 根据函数解析式确定函数的定义域,往往涉及到被开放数非负、分母不能为零，真数为正等多种特殊情形，然后通过交集运算确定。
4. 设，，，则的大小关系是（）A. B. C. D。
【答案】C。
.。
.。
.。
..。
..。
.。
故,选C考点：对数函数和指数函数的性质5. 已知，，则成立的一个充分不必要条件是（）A. B。
C. D.【答案】B【解析】因为，所以，因此选B.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合,例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆,则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．6。
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2013-2014学年广东省清远市高二（下）期末数学试卷（理
科）
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．复数i﹣1（i是虚数单位）的虚部是（ ）
A． 1 B． ﹣1 C． i D． ﹣i
2．函数f（x）=x3﹣x2+x+1在点（1，2）处的切线的斜率是（ ）
A． B． 1 C． 2 D．
3
3．运行如图的程序框图，则输出s的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．由函数y=x2的图象与直线x=1、x=2和x轴所围成的封闭图形的面积是（ ）
A． 3 B． C． 2 D．
5．用数学归纳法证明12+32+52+…+（2n﹣1）2=n（4n2﹣1）过程中，由n=k递推到n=k+1
时，不等式左边增加的项为（ ）
A． （2k）2 B． （2k+3）2 C． （2k+2）2 D．
（2k+1）2
6．设（1﹣x）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2014x2014+a2015x2015，则a2014=（ ）
A． ﹣2014 B． 2014 C． ﹣2015 D．
2015
7．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）=0.9，则P（0＜ξ＜2）=（ ）
A． 0.2 B． 0.3 C． 0.4 D．
0.6
8．已知an=（）n，把数列{an}的各项排列成如图所示的三角形状，记A（m，n）表示第
m行的第n个数，则A（10，11）=（ ）
A． （）92 B． （）93 C． （）94 D．
（）112
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9．若复数z满足iz=1（其中i为虚数单位），则|z|= _________ ．
10．为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在我市某普通中学高中生中随机
抽取200名学生，得到如下2×2列联表：
喜欢数学课 不喜欢数学课 合计
男
30 60 90
女
20 90 110
合计
50 150 200
经计算K2≈6.06，根据独立性检验的基本思想，约有 _________ （填百分数）的把握认
为“性别与喜欢数学课之间有关系”．
11．（2014•濮阳县一模）如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假
设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，
基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是
_________ ．
12．若logmn=﹣1，则m+2n的最小值为 _________ ．
13．现有4个男生和3个女生作为7个不同学科的科代表人选，若要求体育科代表是男生且
英语科代表是女生，则不同的安排方法的种数为 _________ （用数字作答）．
14．世卫组织规定，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方
米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．清远市
环保局从市区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测
值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶），从这15天的数据中任取3天的数据，则恰有一天
空气质量达到一级的概率为 _________ （用分数作答）．
三、解答题（共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（12分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），函数f（x）=•﹣．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）如果△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A、B、C，且满足b2+c2=a2+bc，求f
（A）的值．
16．（13分）从某节能灯生产线上随机抽取100件产品进行寿命试验，按连续使用时间（单
位：天）共分5组，得到频率分布直方图如图．
（1）请根据频率分布直方图，估算样本数据的众数和中位数（中位数精确到0.01）；
（2）若将频率视为概率，从该生产线所生产的产品（数量很多）中随机抽取3个，用ξ表
示连续使用寿命高于350天的产品件数，求ξ的分布列和期望．
17．（13分）如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD=90°，且PA=AD，E、
F分别是线段PA、CD的中点．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求EF和平面ABCD所成的角α的正切；
（Ⅲ）求异面直线EF与BD所成的角β的余弦．
18．（14分）在数列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，b
n+1
成等比数列（n∈N*）
（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4；
（2）猜想{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论．
19．（14分）设F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点．
（1）设点A（1，）是椭圆C上的点，且F1（﹣1，0），F2（1，0），试写出椭圆C的方
程；
（2）设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段KF1的中点B的轨迹方程；
（3）设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M、N两点，若直线
PM，PN的斜率都存在，并记为KPM，KPN，试探究KPM•KPN的值是否与点P及直线L有
关，并证明你的结论．
20．（14分）已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x
﹣1．
（1）用a表示出b，c；
（2）证明：当a≥时，f（x）≥1nx在[1，+∞）上恒成立；
（3）证明：1+++…+＞1n（n+1）+．（n∈N*）