土力学第三章土体中的应力计算 (4)

第五章 土体中的应力计算地基中的应力包括自重应并掌大多数建筑物是造建在土层上的，我们把支承建筑物的这种土层称为地基。

由天然土层直接支承建筑物的称天然地基，软弱土层经加固后支承建筑物的称人工地基，而与地基相接触的建筑物底部称为基础。

地基受荷以后将产生应力和变形，给建筑物带来两个工程问题，即土体稳定问题和变形问题。

如果地基内部所产生的应力在土的强度所允许的范围内，那么土体是稳定的，反之，土体就要发生破坏，并能引起整个地基产生滑动而失去稳定，从而导致建筑物倾倒。

地基中的应力，按照其因可以分为自重应力和附加应力两种：自重应力：由土体本身有效重量产生的应力称为自重应力。

一般而言，土体在自重作用下，在漫长的地质历史上已压缩稳定，不再引起土的变形（新沉积土或近期人工充填土除外）。

附加应力：由于外荷（静的或动的）在地基内部引起的应力称为附加应力，它是使地基失去稳定和产生变形的主要原因。

附加应力的大小，除了与计算点的位置有关外，还决定于基底压力的大小和分布状况。

一、应力～应变关系的假定真实土的应力～应变关系是非常复杂的，目前在计算地基中的附加应力时，常把土当成线弹性体，即假定其应力与应变呈线性关系，服从广义虎克定律，从而可直接应用弹性理论得出应力的解析解。

1、关于连续介质问题弹性理论要求：受力体是连续介质。

而土是由三相物质组成的碎散颗粒集合体，不是连续介质。

为此假设土体是连续体，从平均应力的概念出发，用一般材料力学的方法来定义土中的应力。

2、关于线弹性体问题理想弹性体的应力与应变成正比直线关系，且应力卸除后变形可以完全恢复。

土体则是弹塑性物质，它的应力应变关系是呈非线性的和弹塑性的，且应力卸除后，应变也不能完全恢复。

为此进行假设土的应变关系为直线，以便直接用弹性理论求土中的应力分布，但对沉降有特殊要求的建筑物，这种假设误差过大。

3、关于均质、等向问题理想弹性体应是均质的各向同性体。

而天然地基往往是由成层土组成，为非均质各向异性体。

为此进行假设，天然地基作为均质的各向同性体。

二、地基中的几种应力状态计算地基应力时，一般将地基当作半无限空间弹性体来考虑；即把地基看作是一个具有水平界面、深度和广度都无限大的空间弹性体。

（见教材P66图3－2）常见的地基中的应力状态有如下三种： 1、三维应力状态荷载作用下，地基中的应力状态均属三维应力状态。

每一点的应力都是x 、y 、z 的函数，每一点的应力状态都有9个应力分量。

zx xz zy yz yx xy zz yy xx ττττττσσσ,,,,,,,,，写成矩阵形式则为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz zy zx yz yy yx xz xy xx ij στττστττσσ根据剪应力互等原理，有τxy =τyx ,τyz =τzy ,τxz =τzx ，因此，该单元体只有6个应力分量，即σxx ,σyy ,σzz , τxy, τxz, τyz 。

2、二维应变状态（平面应变状态）二维应变状态是指地基中的每一点应力分量只是两个坐标（x,z ）的函数，因为天然地面可看作一个平面，并且沿y 方向的应变0=y ε，由于对称性，0==yz yx ττ，这时，每一点的应力状态有5个应力分量：zx xz zz yy xx ττσσσ,,,, 。

应力矩阵可表示为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz zxyyxz xxij στστσσ0003、侧限应力状态侧限应力状态是指侧向应变为零的一种应力状态；土体只发生竖直向的变形。

由于任何竖直面都是对称面，故在任何竖直面和水平面上都不会有剪应力存在，（P67图3－5），即0===zx yz xy τττ，应力矩阵为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz yyxxij σσσσ00000由y x y x σσεε=⇒==0，并与z σ成正比。

三、土力学中应力符号的规定在进行土中应力计算时：①应力符号的规定法则与弹性力学相同，但正负与弹性力学相反；即当某一截面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个截面称正面；正面上的应力分量以沿坐标轴正方向为负，沿负方向为正。

②用摩尔圆进行应力状态分析时，法向应力仍以压应力为正，剪应力方向以逆时针方向为正。

（P67图3－6）第二节 地基中的自重应力计算在计算地基中的自重应力时，一般将地基作为半无限弹性体来考虑。

由半无限弹性体的边界条件可知，其内部任一与地面平行的平面或垂直的平面上，仅作用着竖向应力sz σ和水平向应力sy sx σσ=，而剪应力0=τ。

1、竖直自重应力sz σ设地基中某单元体离地面的距离z ，土的容重为γ，则单元体上竖直向自重应力等于单位面积上的土柱有效重量，即z sz ⋅=γσ………………… ……(3-1)kpa 或 kN/m 2 可见，土的竖向自重应力随着深度直线增大，呈三角形分布。

注：（1）若计算点在地下水位以下，由于水对土体有浮力作用，则水下部分土柱的有效重量应采用土的浮容重'γ或饱和容重sat γ计算；a ：当位于地下水位以下的土为砂土时，土中水为自由水，计算时用'γ。

b ：当位于地下水位以下的土为坚硬粘土时，在饱和坚硬粘土中只含有结合水，计算自重应力时应采用饱和容重。

c ：水下粘土，当I L ≥1时，用'γ。

d ：如果是介乎砂土和坚硬粘土之间的土，则要按具体情况分析选用适当的容重。

例如下图中的B 点，其竖向自重应力为2121)('h h h h w sat sz γγγγγσ-+=+=（2）若地基是由多层土组成，如图3－7（a ）（见教材P68），设各土层的厚度为H 1、H 2、……Hn ，相应的容重分别为n γγγ ,,21，则地基中的第n 层底面处的竖向自重应力为：n n sz H H H H γγγγσ++++= 332211＝∑=ni i i H 1γ……………………………… （3－2）2、水平向自重应力sy sx σσ,在半无限体内，由侧限条件可知，土不可能发生侧向变形（0==y x εε），因此，该单元体上两个水平向应力相等并按下式计算：z K K sz sy sx γσσσ00===……………… ……（3－3）式中K 0——土的侧压力系，它是侧限条件下土中水平向有效应力与竖直有效应力之比，可由试验测定，υυ-=10K ，υ是土的泊松比。

第三节 地基中的附加应力在求解地基中的附加应力时，一般假定地基土是连续、均匀、各向同性的弹性体，然后根据弹性理论的基本公式进行计算。

另外，按照问题的性质，将应力划分为空间（三维）问题和平面问题两大类型。

矩形、圆形等基础（L/B<10）下的附加应力计算即属空间问题（其应力是x,y,z 的函数）；条形基础（L/B ≥10）下的附加应力计算即属于平面问题（其应力是x,z 的函数），坝、挡土墙等大多属于条形基础。

一、空间问题条件下的附加应力 （一）竖直集中力作用下的附加应力如图P71图3－10所示，当半极限弹性体表面上作用着竖直集中力p 时，弹性体内部任意点M 的六个应力分量zx xz zy yz yx xy z y x ττττττσσσ===,,,,,，由弹性理论求出的表达式为：（3－6）5252325332252332252532323)()2(32123)()2()(132123)()2()(13212323R xz p R yz p R z R xy z R R xyz p R z R Z R x Z R Z R R R Z X p R z R Z R y Z R Z R R R Z Y p RZ p zxzy xy x y z ⋅=⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⋅-+⋅=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-+⋅=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-+⋅=⋅=πτπτυπτυπσυπσπσ式中：z y x σσσ,,——x,y,z 方向的法向应力zy xz xy τττ,,——剪应力υ——土的泊松比R ——M 点至坐标原点o 的距离22222z r z y x R +=++=β——直角三角形OM ’M 中OM 与'MM 的夹角上式为著名的布幸内斯克（Boussinesq ）解答，它是求解地基中附加应力的基本公式。

对于土力学来说，z σ具有特别重要的意义，它是使地基土产生压缩变形的原因。

由公式可知，垂直应力zσ只与荷载P 和点的位置有关，而与地基土变形性质无关（υ，E ）。

由几何关系：222z r R +=；（3－6a ）可以写为：22/52253)(112323z p K z r z p R z p z ⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⋅=⋅=ππσ…………… （3－7） 式中：2/52)(1123⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅=z r K π………… 竖直集中力作用下的竖向应力分布函数，它是z r 的函数；可由P72图3－11和表3－1中查得。

从式3－7可知（1）在集中力作用线上（即223,23,0zpK r z ⋅===πσπ），附加应力z σ随着深度z 的增加而递减（见教材P73图3-12）；（2）当离集中力作用线某一距离r 时，（由3－6a 可知）在地表处的附加应力z σ＝0，随着深度的增加，zσ逐渐递增，但到一定深度后，z σ又随着深度z 的增加而减小（见教材P73图3-12）。

（3）当z 一定时，即在同一水平面上，附加应力z σ随着r 的增大而减小（见教材P73图3-12）。

注：如果的地面上有几个集中力作用时（见教材P73图3-14），则地基中任意点M 处的附加应力z σ可以利用式（3－7）分别求出各集中力对该点所引起的附加应力，然后进行叠加，即：2222211zp K z p K z p K n n z +++= σ 式中：n K K K ,,21分别为集中力n p p p ,,,21 作用下的竖向应力分布函数。

（二）矩形基底受竖直均布荷载作用时角点下的竖向附加应力矩形基础当底面受到竖直均布荷载（此处指均布压力）作用时，基础角点下任意点深度处的竖向附加应力，可以利用基本公式（3－7）沿着整个矩形面积进行积分求得。

P74如图3－16，若设基础面上作用着强度为p 的竖直均布荷载，则微小面积dxdy 上的作用力dp ＝pdxdy 可作为集中力来看待，于是，由该集中力在基础角点o 以下深度为z 处的M 点所引起的竖向附加应力为：22/52)(1123z dxdyz r p d z ⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅=πσ………………… ……（3－8） 将222y x r +=代入上式并沿整个基底面积积分，即可得到矩形基底竖直均布荷载对角点o 以下深度为z 处所引起的附加应力为：⎰⎰++⋅=BoLoz z y x dxdy z p 52223)(23πσ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++⋅++=)1arctan()111(122222222n m m n n m n m m n p π =KsP ……………………………………（3－9）式中：s K ——矩形基础，底面受竖直均布荷载作用时，角点以下的竖直附 加应力分布系数，),(n m f K s =可以从P75表3－2中查得BZ n B L m ==, L ：为基础底面的长边，B ：为基础底面的短边，且L ≥B 。