应力与应力状态分析
§2.4 三向应力状态分析简介
章 称为该点的主坐标系。
应力
主坐标系中的三个轴称
应变 为主轴。分别记为 1、2、3
分析 及应
轴。
力应
变关
在主轴坐标系中切取的
系
单元体为主单元体。
讲
在主单元体上，应力的
义 表示最为简单，如图所示。
3 3
z
O y 1
x 1
2 2
3
BRY 静水应力状态
(1) 若三个主应力中，有两个主应力数值相等，即特征
材
x xy
xz
料 力
yx y yz 0 (2.23)
学 B
zx
zy z
第 此式为关于 的三次代数方程，其三个实数根按代数值大小
2 章
排列即为三个主应力 1 2 3 ，对应于每个主应力 i ( i
= 1, 2, 3 )，以下方程组确定了其主方向 [nxi , nyi , nzi ]T ( i = 1,
2
(2.27)
2 一种特殊的三向应力状态
章
工程实际中，构件的某点处于
应力 一种特殊的三向应力状态，即一个
应变 分析
主应力及相应主方向已知的情况，
及应 力应
如图所示。
变关 系
此时，可在与已知主应力方向垂直
的平面内，按平面应力状态的分析
y y y z
x
z
x
x
讲 方法求得该点的另两个主应力及相 义 应主方向。
对应于该点平行于主轴 1 的所有截面；由
S2
1
圆周上各点就
和 3 确定的
2 S3 圆周上各点就对应于该点平行于主轴 2 的所有截面。
章
(c) 该点与任一主轴不平行的斜截面的正应力和切应力
应力分析
应力分析应力是指在人类生活中常常出现的一种心理和生理的紧张状态。
在现代社会中，人们面临着各种各样的压力，可能来自工作、学业、家庭、人际关系等多个方面。
应对应力成为了现代人不可避免的挑战之一。
应力的产生是由于个体与环境之间的互动关系。
当个体面对外界环境的一系列要求和变化时，他们会经历一种紧张和压迫感，这种感受就是应力。
应力可以是正面的，也可以是负面的，取决于个体对于这种紧张状态的理解和处理方式。
正面的应力可以激发个体的积极性和动力，促使他们更好地应对困难和挑战；而负面的应力可能导致焦虑、抑郁等精神和身体问题。
应力对个体影响的程度取决于多种因素，包括个人的自我规划、社会支持、应变能力等。
一个有明确目标和规划的人，可能更能够解决和应对应力。
同时，拥有良好的社会支持网络的个体，也可以获得来自他人的支持和鼓励，从而减轻应力的影响。
此外，个人的应变能力也是应对应力的重要因素之一。
应变能力包括适应性思维、解决问题的能力、情绪调节等，这些能力可以帮助个体更好地应对各种压力。
应力带来的不良影响在人们的身心健康领域表现得尤为突出。
长期以来，应力与许多心理和生理疾病之间的关联已得到了广泛的研究证实。
在心理方面，应力可能导致焦虑、抑郁、失眠等问题；在生理方面，应力可以引发高血压、心脑血管疾病、免疫系统功能下降等各种身体健康问题。
因此，科学有效地管理和减轻应力对于个人的身心健康至关重要。
那么，如何有效地管理和减轻应力呢？首先，个体应该认识到应力的存在和影响，并带着积极的态度去面对它。
接着，个体可以通过一些方法来缓解和应对应力，例如积极参与体育锻炼、保持良好的作息习惯、学会放松自己、寻找适当的社交支持等。
同时，发展一些积极应对应力的策略也是很重要的，例如制定合理的目标和计划、培养良好的自我调节能力、学习应对技巧等。
此外，管理和减轻应力不应该仅仅依赖于个体的努力，社会也应该承担起责任来创造一个低压力的环境。
例如，提供更好的工作条件和学习环境，为个体提供更多的社会支持和帮助，加强压力管理教育等。
塑性力学-应力状态
几何关系
l m n 1
2 2 2
l,m,n不能同时为零 ，因此前式为包括三个未知量
应力强度 或广义剪应力
i
3 2
0
1
1 2 2
( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 3J 2 ( x y )2 ( y z )2 ( z x ) 2 6( xy yz zx )
2 2 2
0 为平均应力或静
水压力，只引起物 体体积的变化，i 或0只引起物体形 状的变化， 与应 力状态有关。
应力偏量分量、主应力用应力强度、 平均应力与应力状态状态角表示
应力偏量 主应力
s1+s2+s3 = 0
1+2+3 = 30
应力星圆
应力星圆是以距原点O为0的一点为圆心，以
塑性力学
第1章 应力分析
1. 应力状态
2. 三维应力状态分析
3. 三维应力状态的主应力
4. 最大剪应力
5. 等倾面上的正应力和剪应力 6. 应力罗德参数与应力罗德角 7. 应力张量的分解 8. 平衡微分方程
1－1 应力状态
1. 外力
体力、面力
(1) 体力 —— 弹性体内单位体积上所受的外力
Q —— 体力分布集度 F lim （矢量） V 0 V F Xi Yj Zk
八面体上 的正应力 与剪应力
p 0 0
称为应力状态的特征角，cos 为应力形式指数 。
第三章 应力分析
σx τxy τxz σy yx τ τyz Sx τzy σz τzx By Sz S= σ Sy N
A x
主平面上的应力
S x = σ l , S y = σ m, S z = σ n S x = σl = σ x l + τ yx m + τ zx n ⎫
⎪ S y = σm = τ xy l + σ y m + τ zy n⎬ ⎪ S z = σn = τ xz l + τ yzx m + σ z n ⎭
S y dF − σ y mdF − τ xy ldF − τ zy ndF = 0
写成矩阵形式：
z C σ τx
y x
dF N σ Sz S Sy Sx O τz
y z
斜面上全应力为： 斜面上切应力为：
S = Sx + S y + Sz
2 2 2
2
σ
y z
τx τy
x z
σ = S xl + S y m + S z n
F0
P
N θ
σ0
σθ C F1 C1 Q Q
P P ⎧ C ⎪ Sθ = F = F cos θ = σ 0 cos θ 1 0 ⎪ ⎪ 2 ⎨σ θ = Sθ cos θ = σ 0 cos θ ⎪ 1 ⎪τ θ = Sθ sin θ = σ 0 cos θ sin θ = σ 0 sin 2θ 2 ⎪ ⎩
SN = σ N +τ N
2 2
2
3.2 点应力状态
点应力状态：点的应力状态，是指物体内任意一点附近不同方位上所承 受的应力情况，必须了解物体内任意一点的应力状态，才可推断整个变 形物体的应力状态。 1、一点应力状态的两种描述方法 第一种方法：应力状态图 在变形区内某点附近取一无限小的单元六面体，在其每个界面上都 作用着一个全应力，设单元体很小，可视为一点，故对称面上的应力是 相等的，只需在三个可见的面上画出全应力：
第九章应力状态(3,4,5)
s
3
e3
1 E
s
3
s 1
s 2
例 9-17
边长a =0.1 m的铜质立方体，置于刚性很大的 钢块中的凹坑内(图a)，钢块与凹坑之间无间隙。 试求当铜块受均匀分布于顶面的竖向荷载F =300 kN时，铜块内的主应力，最大切应力，以及铜块 的体应变。已知铜的弹性模量E =100 GPa，泊松比
1 2
E
sx sy sz
思考: 各向同性材料制成的构件内一点处，
三个主应力为s1＝30 MPa，s2＝10 MPa，s3＝-40
MPa。现从该点处以平行于主应力的截面取出边 长均为a的单元体，试问：(1) 变形后该单元体的 体积有无变化？(2) 变形后该单元体的三个边长之 比有无变化？
弹性,小变形条件下可以
应用叠加原理，故知x方 向的线应变与正应力之
间的关系为
e x
sx
E
sy
E
sz
E
1 E
sx
sy
sz
同理有
e y
1 E
s
y
s x
s z ，e z
1 E
sz
sx
s
最一般表现形式的空间应力状态中有9个应力
分量，但根据切应力互等定理有txy＝tyx，tyz＝tzy ， txz＝tzx，因而独立的应力分量为6个，即sx、sy、sz、 tyx、tzy、tzx。
当空间应力状态的三个主应
力s1、s2、s3已知时(图a)，与
任何一个主平面垂直的那些斜截
面(即平行于该主平面上主应力
材料力学-应力状态与应变状态分析
s2 引起 1 s 2 E 2 s 2 E 3 s 2 E
s3 引起 1 s 3 E 2 s 3 E 3 s 3 E
小变形 i i i i i 1,2,3
1
1 E
s1
(s 2
s 3 )
广
2
1 E
s 2
(s 3
s1 )
义 虎 克 定
3
1 E
s 3
(s 1
s 2)
t T ＝ 1 πD3 (1－a4) 16
1
＝
1 E
[s1－
(s2＋s3)]
＝
1＋
E
t
T＝8.38 kN·m
二、体积应变
单元体边长：dx、dy、dz
体积：V0 = dx·dy·dz
dy
dx → dx +△dx = dx + 1dx = (1 + 1) dx
dy → dy +△dy = dy + 2dy = (1 + 2) dy
体积的绝对增量：△V = V－V0 = V0 (1+ 2+ 3)
单位体积增量：
V V0
1 2
3
体积应变 体积的相对增量
1 2
E
(s1
s2
s
3)
讨论：
V V0
1 2
E
(s1 s 2
s 3)
⒈ 若 s1 + s2 + s3＞0，
则 ＞0 →△V ＞0，即体积增大；
若 s1 + s2 + s3＜0，
s2
s3 dsz 1
dx
dz → dz +△dz = dz + 3dz = (1 + 3) dz
工程力学第2节 二向应力状态分析
例12-1 已知构件内某点处的应力单元体如图所示，
试求斜截面上的正应力 和切应力 。
解：按正负号规定则有：
x 60 MPa x 120 MPa y 80 MPa 300
代入公式得：
x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2
78.9MPa
低碳钢试件扭转破坏是被剪断的，且其抗剪能力
低于其抗拉能力。
铸铁试件扭转破坏是被拉断的，且其抗拉能力低 于其抗剪能力。
例12-3 图示单元体，x=100MPa，x= –20MPa，
y=30MPa。试求：1） = 40º的斜截面上的 和 ； 2）确定A点处的max、max和它们所在的位置。
x
y
2
sin 2
x
cos2
121MPa
二、主应力和极限切应力
1、主应力和主平面
x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos2
将公式 对 求一阶导数、并令其为0：
d d
x
2
y
(2 sin
由切应力互等定理有x=y，并利用三角关系：
sin2 1 cos2 、 cos2 1 cos2 及
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2sin cos sin 2 对以上二式进行整理得到：
x
y
2
x
y
2
弹性力学_第二章__应力状态分析
第二章应力状态分析一、内容介绍弹性力学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体入手，本章的任务就是从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和面力边界条件。
应力状态是本章讨论的首要问题。
由于应力矢量与内力和作用截面方位均有关。
因此，一点各个截面的应力是不同的。
确定一点不同截面的应力变化规律称为应力状态分析。
首先是确定应力状态的描述方法，这包括应力矢量定义，及其分解为主应力、切应力和应力分量；其次是任意截面的应力分量的确定—转轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力和主平面、最大切应力和应力圆等。
应力状态分析表明应力分量为二阶对称张量。
本课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程，如果你没有学习过张量概念，请进入附录一，或者查阅参考资料。
本章的另一个任务是讨论弹性体内一点－微分单元体的平衡。
弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分方程和切应力互等定理；边界单元体的平衡条件为面力边界条件。
二、重点1、应力状态的定义：应力矢量；正应力与切应力；应力分量；2、平衡微分方程与切应力互等定理；3、面力边界条件；4、应力分量的转轴公式；5、应力状态特征方程和应力不变量；知识点：体力；面力；应力矢量；正应力与切应力；应力分量；应力矢量与应力分量；平衡微分方程；面力边界条件；主平面与主应力；主应力性质；截面正应力与切应力；三向应力圆；八面体单元；偏应力张量不变量；切应力互等定理；应力分量转轴公式；平面问题的转轴公式；应力状态特征方程；应力不变量；最大切应力；球应力张量和偏应力张量§2.1 体力和面力学习思路:本节介绍弹性力学的基本概念——体力和面力，体力F b和面力F s的概念均不难理解。
应该注意的问题是，在弹性力学中，虽然体力和面力都是矢量，但是它们均为作用于一点的力，而且体力是指单位体积的力；面力为单位面积的作用力。
体力矢量用F b表示，其沿三个坐标轴的分量用F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表示，称为体力分量。
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应力与应力状态分析拉伸模量拉伸模量是指材料在拉伸时的弹性，其计算公式如下：拉伸模量（㎏/c ㎡)=△f/△h(㎏/c ㎡)其中，△f 表示单位面积两点之间的力变化，△h 表示以上两点之间的应变化。
更具体地说，△h ＝（L-L0）/L0，其中L0表示拉伸长前的长度，L 表示拉伸长后的长度。
§4-1 几组基本术语与概念一、变形固体的基本假设1、均匀连续性假设：假设在变形固体的整个体积内均匀地、毫无空隙地充满着物质，并且各点处的力学性质完全相同。
根据这一假设，可从变形固体内任意一点取出微小单元体进行研究，且各点处的力学性质完全相同，因而固体内部各质点的位移、各点处的内力都将是连续分布的，可以表示为各点坐标的连续函数。
2、各向同性假设：假设变形固体在所有方向上均具有相同的力学性质。
3、小变形假设：认为构件的变形与构件的原始尺寸相比及其微小。
根据小变形假设，在研究构件上力系的简化、研究构件及其局部的平衡时，均可忽略构件的变形而按构件的原始形状、尺寸进行计算。
二、应力的概念1、正应力的概念分布内力的大小（或称分布集度），用单位面积上的内力大小来度量，称为应力。
由于内力是矢量，因而应力也是矢量，其方向就是分布内力的方向。
沿截面法线方向的应力称为正应力，用希腊字母σ表示。
应力的常用单位有牛/米2 （2/m N ，12/m N 称为1帕，代号a P ）、千米/米2（2/m KN ，12/m KN 称为1千帕，代号Ka P ），此外还有更大的单位兆帕（M a P ）、吉帕（G a P ）。
几种单位的换算关系为：1 K a P =310a P 1 M a P =310K a P 1 G a P =310M a P =610K a P =910a P2、切应力与全应力的概念与截面相切的应力分量称为切应力，用希腊字母τ表示。
K 点处某截面上的全应力K p 等于该点处同一截面上的正应力K σ与切应力K τ的矢量和。
三、位移、变形及应变的概念变形：构件的形状和尺寸的改变。
位移：构件轴线上点的位置变化和截面方位的改变。
变形和位移的关系：构件的变形必然会使结构产生位移，但结构的位移不一定是由构件的变形引起的，温度变化、支座移动等也会使结构产生位移。
单元体：围绕构件内某一点截取出来的边长为无限小的正六面体。
应变：描述单元体变形程度的几何量，包括线应变和角应变两类。
线应变（正应变）ε：单元体线性尺寸的相对改变量。
ε=Δu / u角应变（切应变）γ：单元体上直角的改变量。
γ= 90°- θ应力与应变的对应关系：正应力σ与正应变ε相互对应；切应力τ与切应变γ相互对应。
四、受力构件内一点处的应力状态的概念构件内某点处的应力状态，是指通过该点的各个不同方位截面上的应力情况的总体。
研究应力状态，对全面了解受力杆件的应力全貌，以及分析杆件的强度和破坏机理，都是必需的。
为了研究一点处的应力状态，通常是围绕该点取一边长为无限小的正六面体，即单元体。
主平面：单元体上没有切应力的面称为主平面。
主应力：主平面上的正应力称为主应力。
可以证明，通过一点处的所有方向面中，一定存在三个互相垂直的主平面（即一定存在主单元体），因而每一点都对应着三个主应力。
一点处的三个主应力分别用σ1 , σ2 和σ3来表示，并按应力代数值的大小顺序排列，即σ1≥σ2≥σ3。
原始单元体：从一点处取出的各面上应力都已知的单元体，称为该点的原始单元体。
对于杆件，通常用一对横截面和两对互相垂直的纵截面截取原始单元体。
主单元体：各面上没有切应力的单元体称为主单元体。
应力状态的分类：空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零平面（二向）应力状态：一个主应力为零单向应力状态：两个主应力为零一种特殊的二向应力状态——纯剪应力状态：单元体的四个面上有切应力，各面上均无正应力。
简单应力状态与复杂应力状态：单向应力状态和纯剪应力状态合称为简单应力状态，除了二向纯剪应力状态之外的其他二向应力状态和三向应力状态统称为复杂应力状态。
五、切应力互等定理切应力互等定理：单元体的两个相互垂直的平面上，垂直于公共棱边的切应力同时存在，都指向或都背离公共棱边，并且大小相等。
六、应力与应变之间的关系试验表明，当只要杆件处于线弹性阶段（应力不超过一定限度），杆件内某点的主应力与主应变之间以及切应力与剪应变之间存在一定的关系，这种关系统称为胡克定律。
虎克定理的表现形式有以下几种：单向应力状态下的胡克定律；轴向拉压杆胡克定律的另一种表达形式；剪切胡克定律；广义胡克定律。
注意：所有胡克定律的适用条件均为：材料处于线弹性阶段。
单向应力状态下的胡克定律和剪切虎克定律均可看作是广义虎克定律的一种特例。
1、单向应力状态下的胡克定律单向应力状态下，在材料的线弹性范围内，单元体沿正应力σ方向的线应变ε与正应力σ之间存在如下的正比关系：σx = E εx式中比例常数 E 称为材料的弹性模量，其常用单位为 GPa 。
弹性模量E 只与材料的种类有关，它属于材料的弹性常数。
单向应力状态下横向应变与纵向应变之间的关系：μεε-='泊松比μ也属于材料的弹性常数，它也只与材料的种类有关。
2、轴向拉压杆胡克定律的另一种表达形式EA lF l N =∆这是轴向拉压杆胡克定律的另一种表达形式。
它表明：对于轴向拉压杆，当等直杆段内轴力为常数时，只要杆件处于弹性状态（正应力不超过一定限度），则其伸缩变形量与轴力成正比，与杆段原长成正比，与杆件横截面积成反比，比例系数即材料的弹性模量。
3、剪切胡克定律在材料的线弹性范围内，单元体的切应力τ引起的角应变γ与切应力τ之间存在如下的正比关系：τ =G γ式中比例常数G 称为材料的剪切弹性模量（又称为切变模量），其常用单位为 GPa 。
剪切弹性模量G 只与材料的种类有关，它属于材料的弹性常数。
4、广义虎克定律三向应力状态下主单元体沿三个主应力1σ、2σ、3σ方向的线应变分别用1ε、2ε、3ε表示，这种沿主应力方向的线应变称为主应变(principal strain )。
对于各向同性材料，在应力不超过其比例极限时，可以用叠加法来求其主应变。
()[]()[]()[]⎪⎭⎪⎬⎫+-=+-=+-=213313223211111σσμσεσσμσεσσμσεE E E 上式表示在三向应力状态下，主应变和主应力或应变分量与应力分量之间的关系，称为广义虎克定律，它表明各向同性材料在弹性范围内应力和应变之间的线性本构关系。
广义虎克定律只有在应力不超过材料的比例极限时才能使用。
使用上式时，其中的1σ、2σ、3σ应以代数值代入，求的1ε、2ε、3ε中，正值表示伸长，负值表示缩短，三个主应变仍按代数值大小顺序排列，即321εεε≥≥。
单向和二向应力状态可以认为是三向应力状态的特例，上式仍然适用。
当单元体的各面上既有正应力，又有切应力时，即成为三向应力状态的一般情况。
可以证明，在小变形条件下，切应力引起的线应变比起正应力引起的线应变是高阶微量，可以忽略，即可认为线应变只与正应力有关，而与切应力无关。
此时，若将上式中应力和应变的脚标1、2、3相应的改为x 、y 、z ，等式仍然成立，即：()[]()[]()[]⎪⎭⎪⎬⎫+-=+-=+-=y x z z x z y y z y x x EE E σσμσεσσμσεσσμσε111应注意按上式求出的应变x ε、y ε、z ε不一定是主应变。
在三向应力状态下，切应力和切应变之间也有一定关系，即τx y = G γxyτyz = G γyzτzx = G γzx广义胡克定律应用非常广泛，例如弹性力学分析物体的应力和应变时，需用它作为物理方程；在实验应力分析中，根据某点处测出的应变，可以计算主应力或正应力、切应力。
5、弹性常数E 、G 、 μ之间的关系对各向同性材料可以证明，弹性常数E 、G 、μ存在如下关系上式表明3个常数只有2个是独立的§4-2 轴向拉压杆与受扭杆横截面上的应力一、轴向拉压杆横截面上的应力由于轴向拉（压）杆横截面上只有均匀分布的拉（压）力，故横截面上各点只有正应力，且正应力相等。
设轴向拉（压）杆横截面上轴力为N F ，面积为A ，则横截面上任一点的正应力为A F N =σ 轴力N F 为拉力时，正应力σ取正号；N F 为压力时，σ取负号。
由于 2266/1/10101mm N m N P MP a a ===，因此，在计算应力值时，只要力的单位换算为N ，长度单位换算为mm ，得到的应力单位就是a MP 。
二、应力集中的概念 等直杆不论受轴向拉力作用还是受轴向压力作用，其横截面上都只产生均匀分布的正应力，但是，若等直杆件横截面有局部削弱的情况（如开槽、钻孔等），即使外力仍是轴向拉压，被削弱横截面上的正应力也不再均匀分布。
实测表明，在被削弱横截面上，靠近削弱部位的正应力急剧增大的现象，称为应力集中。
三、圆截面扭转杆横截面上的应力分布规律及其计算圆杆受扭时，横截面上的内力是扭矩，该扭矩是横截面上切线方向分布内力的合力偶矩。
也就是说，只发生扭转变形的圆轴横截面上有且只有切应力。
圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算公式为P x I ρρτM )(=P I 称为截面的极惯性矩。
对于受扭圆轴，其横截面上切应力在圆轴边缘处达到最大，即：P x P x I r I M M max max ==ρτ 若令 r I W P P =)1(2μ+=EGP W 称为抗扭截面系数，则又有P xW M max =τp I 、p W 的计算对于直径为d 的圆截面杆：324d I P π= 163d W P π=对于空心圆截面杆，其内径为d ，外径为D ，内外径比值D d =α，有)1(3232324444απππ-=-=D d D I P )1(1643απ-=D W P四、矩形截面自由扭转杆的扭转切应力非圆截面杆扭转时，若截面翘曲不受约束，这时杆的横截面上只有切应力而没有正应力，这种扭转称为自由扭转。
若杆端存在约束或杆的各截面上扭矩不同，这时，横截面的翘曲受到限制，因而各截面上翘曲程度不同，这时杆的横截面上除有切应力外，还伴随着产生正应力，这种扭转称为约束扭转。
由约束扭转产生的正应力，在实体截面杆中很小，可不予考虑；但在薄壁截面杆中，却不能忽略。
1、矩形截面杆的扭转矩形截面杆扭转时，横截面周边上各点处的切应力平行于周边，凸角处和截面形心处无切应力存在，长边中点处的切应力是整个横截面上的最大切应力。
2、开口薄壁截面杆的扭转工程中广泛采用薄壁杆件。
薄壁杆件横截面的壁厚平分线称为中线。
若中线是一条不闭合的线，这种杆称为开口薄壁截面杆；若中线是一条闭合线，这种杆称为闭口薄壁截面杆。
可以证明，形状和尺寸相同的闭口薄壁截面与开口薄壁截面相比，在相同的外力偶矩作用下，前者所产生的最大切应力和最大扭转角比后者小得多，即闭口薄壁截面形式的受力和变形性能比开口薄壁截面好。