立体几何中的向量方法(一)—证明平行与垂直讲义

立体几何中的向量方法(一)—证明平行与垂直讲义
一、知识梳理
1．直线的方向向量与平面的法向量的确定
(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．
(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向
量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧
n ·a ＝0，n ·b ＝0. 2．用向量证明空间中的平行关系
(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.
(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.
(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .
(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1 ∥u 2.
3．用向量证明空间中的垂直关系
(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.
(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .
(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.
二、基础检测
题组一：思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线的方向向量是唯一确定的．( )
(2)平面的单位法向量是唯一确定的．( )
(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( )
(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( )
(5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．( )
(6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( )
题组二：教材改编
2．设u ，v 分别是平面α，β的法向量，u ＝(－2,2,5)，当v ＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为__________；当v ＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________．
3．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是________．
题组三：易错自纠
4．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则下平面ABC 单位法向量的是
5．直线l的方向向量a＝(1，－3,5)，平面α的法向量n＝(－1,3，－5)，则有()
A．l∥αB．l⊥α
C．l与α斜交D．l⊂α或l∥α
6．已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2,3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则()
A．α∥βB．α⊥β
C．α，β相交但不垂直D．以上均不对
三、典型例题
题型一：利用空间向量证明平行问题
典例如图所示，平面P AD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△P AD是直角三角形，且P A＝AD＝2，E，F，G分别是线段P A，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG.
引申探究：若本例中条件不变，证明平面EFG∥平面PBC.
思维升华：(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．
(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．
跟踪训练如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.
证明：PQ∥平面BCD.
题型二：利用空间向量证明垂直问题
命题点1：证线面垂直
典例如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.
命题点2：证面面垂直
典例如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面P AD⊥底面ABCD，且P A＝
PD＝
2
2AD，设E，F分别为PC，BD的中点．
(1)求证：EF∥平面P AD；
(2)求证：平面P AB⊥平面PDC.
思维升华：证明垂直问题的方法
(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．
(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．
跟踪训练如图所示，已知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC ＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.证明：
(1)P A⊥BD；
(2)平面P AD⊥平面P AB.
题型三：利用空间向量解决探索性问题
典例如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.
(1)求证：BD⊥AA1；
(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．
思维升华：对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”．
跟踪训练：如图，在四棱锥P ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5.
(1)求证：PD ⊥平面P AB ；
(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；
(3)在棱P A 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AM AP
的值；若不存在，说明理由． 注意：利用向量法解决立体几何问题
典例 (12分)如图1所示，正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A －DC －B ，如图2所示．
(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；
(2)求二面角E －DF －C 的余弦值；
(3)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？证明你的结论．
四、反馈练习
1．已知平面α内有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面α内的是( )
A ．P (2,3,3)
B ．P (－2,0,1)
C ．P (－4,4,0)
D ．P (3，－3,4)
2．设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t 等于( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
3.如图，F 是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱CD 的中点，E 是BB 1上一点，若D 1F ⊥DE ，则有( )
A ．
B 1E ＝EB B ．B 1E ＝2EB
C ．B 1E ＝12
EB D ．E 与B 重合 4．已知平面α内的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________________________．
5．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ＋y ＝________.
6．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，
－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的序号是
________．
答案 ①②③
7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1C ，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .
8.如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12
PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ .
9.如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为1的正方形，P A ⊥CD ，P A ＝1，PD ＝2，E 为PD 上一点，PE ＝2ED .
(1)求证：P A ⊥平面ABCD ；
(2)在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得BF ∥平面AEC ？若存在，指出F 点的位置，并证明；若不存在，请说明理由．
10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝2a 3，
则MN与平面BB1C1C的位置关系是()
A．相交B．平行
C．垂直D．MN在平面BB1C1C内
11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和为________．
12．如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周)．若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为________．。