人教版数学必修二第四章圆与方程知识点总结
高中数学必修二第四章圆与方程_2023年学习资料
的阿题思考-[解析]1t=0时，方程x一a2+0y一b2=就表示点a,-b,此时不表示圆-②由方程+y+D ++F=0,配方得-2+-5-2_D2+E2-4F-由此可见只有在D+E2一4F>0时才能叫做圆-的一般方 ：而当D+E2-4=0时，表示点分-引当-D2+E2一4F<0时不表示任何图形.-。
问题思考-问题4已知点Ax1,y1,B2,y2,则以AB为直径的-圆的方程是x一x1x一x2十y一y10一 2=0.-[答案]对-[解析]设圆上异于A,B的任意一点M的坐标为x,y,-根据圆的性质A⊥B,根据平面向 知识A·MB=0,把坐-标代入即是方程x一x1x一x2十y一y1y一y2=0.由点A,B-的坐标要适合方程 一x1c一x2十心y一y10y一y2=0,故得以-AB为直径的圆的方程是x一x1c一x2十0y一y1y一y =0.
要点探究-方法2：设圆的方程为x一2十y一b2=r2,则--1-02+5-b2=r2,-[u=2,--22+-2-b2=r2,=-→3b=1,-5-2+5-b2=r2,-r=5.-∴.圆的方程为x-22+0y2=25,即x2+y2-4x一2y-20-=0.
弟学入-要点探究-方法3：由题意可求得AC的中垂线方程为x=2,BC的中-垂线方程为x十y一3=0，.圆心 是两中垂线的交点2,1，∴.-半径r=4P列=V2+12+1-52=5,∴.所求的圆的方程为x一-22+y 12=25,即x2+y2-4x-2y-20=0.
要点探究-[解析]1方法1：设圆的方程为x2+y2+Dx十Ey十F=0,-4+-32+2D+E-3十F=0 -则--22+-52+-2D+-5E+F=0,-9-2-到-3=0-D=2,-E=4,-F=-5.-.圆的 程为x2+y2+2x十4y一5=0，
人教版数学必修二第四章圆与方程知识点总结
第四章圆与方程4．1 圆的方程4．圆的标准方程1．以 (3 ，－ 1) 为圆心， 4 为半径的圆的方程为( )A ． (x ＋ 3)2＋( y －1) 2＝ 4B ． ( x － 3) 2＋ (y ＋1) 2＝ 4C ．( x － 3) 2＋ (y ＋1) 2＝ 16 D ． (x ＋ 3) 2＋( y － 1) 2＝ 16222 ．一圆的标准方程为 x ＋ (y ＋ 1)＝ 8，则此圆的圆心与半径分别为 ()A ． (1,0)， 4B ． (－ 1,0) ， 2 2C ．(0,1) ，4D ． (0，－ 1) ， 223 ．圆 (x ＋ 2) 2＋ (y － 2) 2＝ m 2的圆心为 ________ ，半径为 ________ ．4 ．若点 P( － 3,4) 在圆 x 2＋ y 2＝ a 2上，则 a 的值是 ________ ．5 ．以点 (－2,1) 为圆心且与直线x ＋ y ＝ 1 相切的圆的方程是 ____________________ ． 6 ．圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点 (1,2) 的圆的方程为 ( )A ． x 2＋ (y －2)2＝1 B ．x 2＋ (y ＋ 2) 2＝1C ． ( x － 1) 2 ＋ (y －3) 2＝ 1 D ． x 2＋ (y － 3)2＝ 17．一个圆经过点 A(5,0) 与 B( －2,1) ，圆心在直线x － 3y － 10 ＝ 0 上，求此圆的方程．8．点 P(5a ＋ 1,12a) 在圆 (x － 1)2＋y 2＝ 1 的内部，则 a 的取值范围是()A． |a|＜ 11 B． a＜131 C．|a|＜51D． |a|＜13 9．圆 (x－ 1) 2＋ y2＝ 25 上的点到点A(5,5) 的最大距离是__________．10 ．设直线 ax － y＋ 3 ＝ 0 与圆 (x－ 1) 2＋ (y － 2)2＝ 4 订交于 A， B 两点，且弦AB 的长为2 3 ，求 a 的值．圆的一般方程1 ．圆 x2 ＋y 2－ 6x ＝ 0 的圆心坐标是________ ．2 ．若方程 x 2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 表示以 (2 ，－ 4) 为圆心，以 4为半径的圆，则F ＝________.3 ．若方程 x 2＋ y 2－ 4x ＋ 2y ＋ 5k ＝ 0 表示圆，则 k 的取值范围是()A ． k>1B ． k<1C ．k ≥ 1D ． k ≤ 14 ．已知圆的方程是x 2＋ y 2－ 2x ＋ 4y ＋ 3＝ 0，则以下直线中经过圆心的是()A ． 3x ＋ 2y ＋ 1＝ 0B ． 3x ＋ 2y ＝ 0C ．3x － 2y ＝ 0D ． 3x － 2y ＋ 1 ＝ 05 ．圆 x 2 ＋y 2－ 6x ＋ 4y ＝ 0 的周长是 ________ ．6 ．点 (2a,2) 在圆 x 2＋ y 2－ 2y － 4 ＝0 的内部，则 a 的取值范围是()A ．－ 1<a<1B ． 0< a<11C ．－ 1<a< 51D ．－ 5<a<17 ．求以下圆的圆心和半径．(1)x 2 ＋ y 2－ x ＝ 0 ；(2)x 2 ＋ y 2＋ 2ax ＝ 0(a ≠ 0)；(3)x 2＋ y 2＋ 2ay － 1＝ 0.228．过点 A(11,2) 作圆 x ＋ y ＋ 2x － 4y － 164 ＝ 0 的弦，其中弦长为整数的共有 ( )9．已知点 A 在直线 2x －3y ＋ 5 ＝ 0 上搬动，点P 为连接 M(4 ，－ 3) 和点 A 的线段的中点，求P的轨迹方程．10 ．已知方程 x 2＋ y 2－ 2(t ＋ 3)x ＋ 2(1－ 4t 2)y ＋ 16t 4＋ 9＝ 0 表示一个圆．(1) 求 t 的取值范围；(2) 求圆的圆心和半径；(3) 求该圆的半径 r 的最大值及此时圆的标准方程．4． 2 直线、圆的地址关系4．直线与圆的地址关系1．直线 y ＝ x ＋ 3 与圆 x 2＋ y 2＝ 4 的地址关系为( )A ．相切B ．订交但直线但是圆心C ．直线过圆心D ．相离2．以下说法中正确的选项是 ()A ．若直线与圆有两个交点，则直线与圆相切B ．与半径垂直的直线与圆相切C ．过半径外端的直线与圆相切D ．过圆心且与切线垂直的直线过切点2 2)3 ．若直线 x ＋ y ＝2 与圆 x＋ y ＝ m(m>0) 相切，则 m 的值为 (1 2A.2B.2C. 2 D ．24 ． (2013 年陕西 )已知点 M(a ， b) 在圆 O ： x 2＋ y 2＝ 1 外，则直线ax ＋ by ＝ 1 与圆O 的位置关系是 ( )A ．相切B ．订交C ．相离D ．不确定5 ．经过点 M(2,1) 作圆 x 2＋ y 2＝ 5 的切线，则切线方程为( )A. 2x ＋ y ＝ 5B. 2x ＋ y ＋ 5＝ 0 C ．2x ＋ y ＝ 5 D ． 2x ＋ y ＋ 5＝ 06 ． (2013 年浙江 )直线 y ＝ 2x ＋ 3 被圆 x 2＋ y 2－ 6x － 8y ＝ 0 所截得的弦长等于 ________ ．7 ．已知直线 kx －y ＋ 6＝ 0 被圆 x 2＋ y 2＝ 25 所截得的弦长为8，求 k 的值．8．由直线y＝ x＋ 1 上的一点向圆(x－ 3) 2＋ y2＝ 1 引切线，则切线长的最小值为()A． 1 B．2．39．已知圆C：(x － 2) 2＋ (y － 3)2＝ 4 ，直线 l ： (m ＋ 2)x ＋ (2m ＋ 1)y ＝ 7m ＋ 8.(1)证明：无论m 为何值，直线l 与圆 C 恒订交；(2)当直线 l 被圆 C 截得的弦长最短时，求m 的值．2210 ．已知圆 C： x ＋ y － 8y＋ 12＝ 0，直线l∶ax＋y＋2a＝0.(1)当 a 为何值时，直线l 与圆 C 相切；(2)当直线 l 与圆 C 订交于A， B 两点，且AB ＝ 2 2 时，求直线l 的方程．圆与圆的地址关系1 ．已知两圆的方程 x 2＋ y 2＝ 4 和 x 2＋ y 2－ 6x ＋ 8y ＋ 16 ＝ 0，则此两圆的地址关系是 ()A ．外离B ．外切C ．订交D ．内切2 ．圆 x 2 ＋y 2＋ 2x ＋ 1＝ 0 和圆 x 2＋ y 2－ y ＋ 1 ＝0 的公共弦所在直线方程为 ()A ． x － 2y ＝ 0B ． x ＋2y ＝ 0C ．2x － y ＝ 0D ． 2x ＋ y ＝ 03 ．已知直线 x ＝a( a>0) 和圆 (x ＋ 1) 2＋ y 2＝ 9 相切，那么 a 的值是 ( )A ．2B ．3C ．4D ． 54 ．两圆 x 2＋ y 2－ 4x ＋ 2y ＋1＝ 0 与 x 2＋ y 2＋ 4x － 4y － 1 ＝ 0 的公切线有 ( )A ．1 条B ．2 条C ．3 条D ．4 条5 ．已知两圆订交于两点A(1,3) ， B(m ，－ 1) ，两圆圆心都在直线2x － y ＋ c ＝0 上，则 m＋c 的值是 ( )A ．－ 1B ． 2C ．3D ． 06 ．圆 x 2＋ y 2－ 2x －5＝ 0 与圆 x 2＋y 2＋ 2x － 4y － 4＝ 0 的交点为 AB ，则线段 AB 的垂直平分线方程为 ( )A ． x ＋ y － 1＝ 0B ． 2x － y ＋ 1＝ 0C ．x － 2y ＋ 1＝ 0D ． x － y ＋ 1＝ 07．若圆 x 2＋ y 2＝ 4 与圆 x 2＋ y 2＋ 2ay － 6＝ 0(a>0) 的公共弦长为2 3，求实数 a 的值．8．两圆 (x－3) 2＋ ( y－ 4)2＝25 和 (x－ 1)2＋ (y － 2)2＝ r2相切，则半径r ＝ ____________.22229．已知两圆 C1： x＋ y － 10x － 10y ＝ 0与 C2： x＋ y ＋ 6x － 2y － 40＝ 0，(2)公共弦长．10 ．已知圆 x 2＋ y 2－ 4ax ＋2ay ＋ 20(a － 1) ＝ 0.(1) 求证：对任意实数a ，该圆恒过必然点；(2) 若该圆与圆 x 2＋ y 2＝ 4 相切，求 a 的值．直线与圆的方程的应用221．方程 x ＋ y ＋ 2ax － 2ay ＝ 0(a ≠ 0) 表示的圆 ( )B ．关于 y 轴对称C ．关于直线 x － y ＝ 0 对称D ．关于直线 x ＋ y ＝ 0 对称222．若直线x ＋ y ＋ m ＝ 0 与圆 x ＋ y ＝ m 相切，则 m 为 ()C. 2 D ．无解3．过原点的直线与圆 ( x ＋ 2)2 ＋y 2＝1 相切，若切点在第三象限，则该直线方程为(A ． y ＝ 3xB ． y ＝－ 3x3C ．y ＝ 3 x3D ．4．A ．C ．5．A ．)C ．2 2D ．2 2－36．过点 P(2,1) 作圆 C ：x 2＋ y 2－ ax ＋ 2ay ＋ 2a ＋ 1＝0 的切线只有一条， A ． a ＝－ 3 B ．a ＝ 3C ．a ＝ 2D ． a ＝－ 27．与圆 x 2＋ y 2－ 4x － 6y ＋12 ＝ 0 相切且在两坐标轴上的截距相等的直线有 A ．4 条 B ．3 条C ．2 条D ．1 条则 a 的取值是 (())8．设圆 x 2＋ y 2－ 4x － 5＝ 0 的弦 AB 的中点 P(3 ，1)，则直线 AB 的方程为 ____________ ． 9．若实数 x ， y 满足等式 (x － 2) 2＋ y 2＝ 3，那么 y的最大值为 ()1 33xA.2B.3C.210 ．已知圆 C ： x 2＋ y 2－ 4x － 14y ＋ 45＝ 0 及点 Q( －2， 3)．(1) 若点 P(a ， a ＋ 1) 在圆上，求线段 PQ 的长及直线 PQ 的斜率； (2) 若 M 为圆 C 上任一点，求|MQ| 的最大值和最小值；n －322(3) 若实数 m ， n 满足 m ＋n － 4m －14n ＋ 45 ＝ 0 ，求 k ＝的最大值和最小值．空间直角坐标系4．空间直角坐标系1．点 P( － 1,0,1) 位于 ( )A ． y 轴上B ． z 轴上C ．xOz 平面内D ． yOz 平面内2．在空间直角坐标系中，点 (－ 2,1,4) 关于 x 轴的对称点的坐标是 ()A ． (－ 2,1，－ 4)B ． ( －2，－ 1，－ 4)C．(2，－ 1,4)D． (2,1 ，－ 4)3．点 P( － 4,1,3)在平面 yOz 上的投影坐标是 ()A ． (4,1,0)B． (0,1,3)C．(0,3,0)D．都不对4．在空间直角坐标系中，点P(1 ， 2 ， 3) ，过点 P 作平面 yOz 的垂线 PQ 垂足为 Q ，则Q的坐标为()A． (0，2， 0)B． (0，2， 3)C．(1,0 ， 3)D． (1，2， 0)5．点 (2 ，－ 3,0) 在空间直角坐标系中的地址是在( A ． y 轴上B． xOy 平面上C．xOz 平面上D．第一象限内6．设 x， y 为任意实数，相应的点P(x ，y,3) 的会集是A ． z 轴上的两个点B．过 z 轴上的点 (0,0,3) ，且与z 轴垂直的直线C．过 z 轴上的点 (0,0,3) ，且与z 轴垂直的平面D．以上答案都有可能())7．点 A(1 ，－ 3,2) 关于点 (2,2,3) 的对称点的坐标为()A ． (3 ，－ 1,5)B． (3,7,4)C．(0，－ 8,1)D． (7,3,1)8．已知点 A(3 ，y,4) ，B(x,4,2) ，线段 AB 的中点是C(5,6 ， z)，则 x＝ ______ ，y＝ ______ ，z＝________.9．点 P(2,3,5) 到平面 xOy 的距离为 ________ ．10 ．如图 K4- 3-1 ，在四棱锥P -ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，且边长为2a ，棱 PD ⊥底面ABCD G， H ， |PD|＝的坐标．2b ，取各侧棱的中点 E ，F，G ，H ，试建立合适的空间直角坐标系，写出点E，F，图 K4- 3-14．空间两点间的距离公式1．在空间直角坐标系中，点A(2,1,5) 与点 B(2,1 ，－ 1) 之间的距离为 ( )A. 6 B ．6C. 3 D ．22．坐标原点到以下各点的距离最大的是 ()A ． (1,1,1)B ． (2,2,2)C ．(2，－ 3,5)D ． (3,3,4)3．已知 A(1,1,1) ， B(－3，－ 3，－ 3) ，点 P 在 x 轴上，且 |PA| ＝ |PB| ，则点 P 的坐标为 ( )A ． (－ 3,0,0)B ． (－ 3,0,1)C ．(0,0 ，－ 3)D ． (0，－ 3,0)4．设点 B 是 A( － 3,2,5) 关于 xOy平面的对称点，则|AB|＝ ()A ． 10B. 10C ．2 10D ．405．已知空间坐标系中，A(3,3,1) ， B(1,0,5) ，C(0,1,0) ， AB 的中点为 M ，线段 CM 的长 |CM|＝()5353A.4B.253 13C. 2D.26 ．方程 (x －12) 2＋ (y ＋3) 2＋( z － 5) 2＝ 36 的几何意义是 ____________________________．7 ．已知点 A 在 y 轴上，点B(0,1,2) ，且 |AB | ＝ 5，求点 A 的坐标．8 ．以 A(1,2,1) ， B(1,5,1) ， C(1,2,7) 为极点的三角形是 ________ 三角形．9．已知点 A(x,5 －x,2x － 1) ， B(1 ， x＋ 2,2 － x)，当 |AB | 取最小值时， x 的值为 ________ ．10 ．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1) 和 B(1 ， 0，－ 3) ，问：(1) 在 y 轴上可否存在点M，满足|MA |＝ |MB |；(2) 在 y 轴上可否存在点M，使△MAB 为等边三角形？若存在，试求出点M 的坐标．第四章圆与方程4 ． 1 圆的方程4 ． 圆的标准方程1 ． C±5 5.(x ＋ 2) 2＋ (y － 1) 2＝ 23 ． (－ 2,2) |m| 4.0－ 1 2＋ b － 2 2＝ 1，6 ．A 剖析：方法一 (直接法 )：设圆心坐标为 (0 ，b) ，则由题意知解得 b ＝ 2 ，故圆的方程为x 2＋ (y － 2) 2＝ 1.(0,2) ，故圆的方程为 x2方法二 (数形结合法 ) ：作图由点到圆心的距离为1，易知圆心为＋ ( y －2) 2＝ 1.7． 解： 方法一：设圆心P(a ， b) ，a －3b － 10 ＝0，则a －5 2＋b 2＝ a ＋ 2 2＋ b － 1 2，a ＝ 1 ，解得b ＝－ 3.a － 5 2＋b 2＝ 1－5 2＋ －32＝ 5. 圆的半径 r ＝∴圆的标准方程为 (x － 1) 2＋( y ＋3) 2＝25. 方法二：线段5－2， 0 ＋1，AB 的中点 P ′22即 P ′3 1.直线 AB 的斜率 k ＝ 1－ 01，－ 2－＝－ .2 257∴弦 AB 的垂直均分线的方程为y － 1＝ 7 x － 3 ，2 2即 7x －y － 10 ＝ 0.x － 3y － 10＝ 0， x ＝ 1，即圆心 P(1 ，－ 3) ．解方程组得7x － y － 10＝ 0，y ＝－ 3.圆的半径 r ＝ 1 － 5 2＋ －3 2＝ 5.∴圆的标准方程为 (x － 1) 2＋( y ＋3) 2＝25.8 ． D9. 41＋5|a － 2＋ 3|10 ．解：∵弦 AB 的长为 23，则由垂径定理， 圆心 (1,2) 到直线的距离等于1，∴a 2＋ 1＝1，∴a ＝0.4 ． 圆的一般方程1 ． 3 ． B5 ． 2 13 π6 ． A11117 ． 解： (1) x － 2 2，2＋ y ＝ ，圆心 2 0 ，半径 r ＝ .42(2)(x ＋a)2＋ y 2＝ a 2，圆心 (－ a,0) ，半径 r ＝ |a|.(3)x 2 ＋ (y ＋ a)2＝ 1＋ a 2，圆心 (0 ，－ a) ，半径 r ＝ 1 ＋ a 2.8 ． C 剖析： 圆的标准方程是：(x ＋ 1)2＋ (y －2) 2＝ 13 2，圆心 (－ 1,2) ，半径 r ＝ 13. 过点 A(11,2) 的最短的弦长为 10 ，最长的弦长为 26( 分别只有一条 )，还有长度为 11,12 ， ?， 25 的 各 2 条，所以共有长为整数的弦 2＋ 2×15＝ 32( 条 )．9 ． 解： 设点 P 的坐标为 (x ， y) ，A 的坐标为 (x 0， y 0 )．∵点 A 在直线 2x － 3y ＋ 5 ＝ 0 上，∴有2x 0－ 3y 0 ＋ 5＝0.x ＝ 4＋ x 0，又∵ P 为 MA 的中点，∴有2－ 3＋ y 0y ＝2.x 0＝ 2x － 4，∴y 0＝ 2y ＋ 3.代入直线的方程，得2(2x － 4)－ 3(2y ＋ 3)＋ 5＝ 0，化简，得 2x － 3y － 6＝ 0 即为所求． 10 ． 解： (1) 由圆的一般方程，得22 24＋9)>0 ，－ 2(t ＋ 3)] ＋ 4(1 － 4t ) － 4(16t解得－1<t<1.7－ 2 t ＋ 32(2) 圆心为 －2，－ 2 1 － 4t，2即 (t ＋ 3,4t 2－ 1)，半径 r ＝1[ － 2 t ＋ 3 ] 2＋4 1－ 4t 2 2－ 4 16t 4＋ 92＝ － 7t 2＋ 6t ＋ 1.(3)r ＝ － 7t 2－ 32＋16＋ 6t ＋ 1＝7t －，所以当 t ＝3 时， r max ＝4777，771624 213 2故圆的标准方程为 x －7＋ y ＋49＝ 7.4 ． 2直线、圆的地址关系4 ． 直线与圆的地址关系1 ． D4 ． B 剖析： 点 M(a ， b) 在圆 O ： x 2＋ y 2＝ 1 外，有 a 2＋b 2>1 ，圆心到直线ax ＋ by ＝ 1的距离为d ＝1＝ ，所以直线与圆O订交．a 2＋b 2<1 r5． C 剖析： 由于点 (2,1) 在圆 x 2＋ y 2＝ 5 上，所以切线方程为 6． 4 5 剖析： 圆 (x － 3) 2＋ (y － 4) 2＝ 25 ，圆心 (3,4) 到直线 |6－ 4＋3|＝ 5 ，弦长等于 252－ 5 2＝4 5.57．解：设直线 kx － y ＋6＝ 0 被圆为直角三角形．由于圆的半径为|OB| ＝5，半弦所以圆心到直线 kx － y ＋ 6＝ 02x ＋ y ＝ 5.2x － y ＋3＝ 0 的距离为d ＝AB ，其中点为 C ，则△ OCB由点到直线的距离公式得6＝ 3. 解得 k ＝ ± 3.k2＋ 18 ． C9 ． (1) 证明： 由 (m ＋ 2)x ＋ (2m ＋ 1)y ＝ 7m ＋ 8 ， 得 mx ＋ 2x ＋ 2my ＋ y ＝7m ＋8，即m(x ＋ 2y － 7) ＋ (2x ＋ y －8) ＝ 0.x ＋2y － 7 ＝ 0 ，x ＝ 3 ，由解得2x ＋ y － 8 ＝ 0 ，y ＝ 2.∴无论 m 为何值，直线l 恒过定点 (3,2) ．(2) 解：过圆内的一点的所有弦中，最长的弦是过该点的直径，最短的弦是垂直于过该点的直径的那条弦，∵圆心 (2,3) ，定点 (3,2) ，直径的斜率为－ 1，∴最短的弦的斜率为 1，故最短弦的方程为x － y － 1＝ 0.∴ m ＝－ 1.10 ． 解：将圆 C 的方程 x 2＋ y 2－ 8y ＋ 12 ＝ 0 配方，得标准方程为x 2＋( y －4)2＝ 4，则此圆的圆心为 (0,4) ，半径为 2.(1) 若直线 l 与圆 C 相切，则有 |4＋2a|＝ 2.a 2＋ 1解得 a ＝－ 3.故当 a ＝－ 3时，直线 l 与圆 C 相切．4 4(2) 过圆心 C 作 CD ⊥ AB ，则依照题意和圆的性质，|4 ＋ 2a|CD ＝2 ， a ＋ 1 得CD 2＋ DA 2＝ AC 2＝ 2 2， 解得 a ＝－ 7 或 a ＝－ 1.1DA ＝ 2AB ＝2，∴直线 l 的方程是 7x －y ＋ 14＝ 0 或 x － y ＋ 2 ＝ 0.4 ． 圆与圆的地址关系1 ． B(x － 2) 2＋ (y ＋ 1) 2＝ 4 ， ( x ＋ 2) 2＋ (y － 2) 2＝ 9，∴圆心4 ． C 剖析： 圆化为标准方程，得 O 1(2 ，－ 1) ， r 1＝ 2 ， O 2 (－ 2,2) ， r 2＝ 3. ∵ |O 1 O 2|＝5 ＝ r 1＋ r 2，∴两圆外切．∴公切线有 3 条．5 ． D17 ．解：由已知两个圆的方程可得订交弦的直线方程为y ＝ a .利用圆心(0,0) 到直线的距离1 12 2d ＝ a，得a ＝ 2 －3 ＝ 1 ，解得 a ＝ 1 或 a ＝－ 1( 舍 )．8 ． 5－22C 1： x 2＋ y 2 － 10x － 10y ＝ 0 与 C 2： x 2 ＋ y 2＋ 6x －2y － 40 ＝0 相减，9 ． 解： (1) 将两圆方程 得 2x ＋ y － 5＝0.∴公共弦所在直线的方程为 2x ＋ y － 5＝ 0.(2) 圆 C 1： x 2＋ y 2－ 10x －10y ＝ 0 的标准方程为 ( x － 5)2 ＋ (y － 5) 2＝ 50 ，圆心为 (5,5) ，半径为 5 2 ，圆心到直线 2x ＋ y － 5＝ 0 的距离为 2 5 ，依照勾股定理和垂径定理，知公共弦长为2 30.10 ．(1) 证明： 将圆的方程整理，得 (x 2＋ y 2－ 20) ＋ a( －4x ＋ 2y ＋ 20) ＝0，此方程表示过圆 x 2＋ y 2＝ 20 与直线－ 4x ＋ 2y ＋ 20 ＝ 0 的交点的圆系，22x ＝ 4，x ＋ y ＝ 20 ，解方程组得4x －2y － 20 ＝ 0，y ＝－ 2.故对任意实数a ，该圆恒过定点 (4，－ 2)．(2) 解： 圆的方程可化为(x － 2a) 2＋ (y ＋ a) 2＝ 5a 2－ 20a ＋ 20 ＝ 5(a － 2) 2.①若两圆外切，则2＋ 5 a － 2 2＝ 5a 2， 解得 a ＝ 1 ＋ 5 或 a ＝ 1 － 55 5 (舍)；②若两圆内切，则 | 5 a － 2 2－ 2|＝5a 2，55解得 a ＝ 1 － 5 ，或 a ＝ 1＋ 5 (舍)．综上所述， a ＝51±.54．直线与圆的方程的应用1 ． D 剖析： 该圆的圆心 (－ a ， a) ，在直线 x ＋y ＝ 0 上，故关于直线 x ＋ y ＝ 0 对称．2 ． B剖析： 圆心 (0,0) 到直线 x ＋ y ＋ m ＝ 0 的距离 d ＝|m|＝ m ， m ＝ 2.23 ． C4 ． C剖析： 由于直线 ax ＋ by ＝ 1 与圆 x 2＋ y 2＝ 1 相离，则1>1 ，即 a 2＋ b 2<1，a 2＋ b2∴ P 在圆内． 5 ． C7 ． A剖析： 过原点的直线也满足条件．8 ． x ＋y － 4＝ 0 2＋ y 2＝ 3，9 ． D 剖析： 方法一：∵实数 x ， y 满足 (x － 2)∵记 P(x ， y) 是圆 (x － 2) 2＋ y 2＝ 3 上的点，y是直线 OP 的斜率，记为k. ∴直线 OP ： y ＝ kx ，代入圆的方程，消去y ，得 (1 ＋k 2)x 2－x＝ (－ 4) 2－ 4(1 ＋ k 2)≥ 0，4x ＋ 1＝ 0.直线 OP 与圆有公共点的充要条件是∴－ 3 ≤ k ≤ 3.方法二：同方法一，直线OP 与圆有公共点的条件是|k ·2－ 0|≤ 3，∴－ 3 ≤ k ≤ 3.k 2＋ 110 ． 解： (1) ∵点 P(a ， a ＋ 1) 在圆上，∴ a 2＋ (a ＋ 1) 2－ 4a －14(a ＋ 1) ＋ 45 ＝ 0. 解得 a ＝ 4 ，∴ P(4,5) ．∴ |PQ|＝ 4＋2 2＋ 5－ 3 2＝ 2 10，3－ 51k PQ ＝ － 2－ 4＝ 3.(2) ∵圆心坐标C 为(2,7) ，半径为 2 2，∴ |QC|＝ 2＋22＋7－3 2＝4 2.∴ |MQ | max ＝ 4 2 ＋ 2 2 ＝ 6 2 ，|MQ | min ＝ 4 2－ 2 2＝ 2 2.(3) 设点 (－ 2,3) 的直线 l 的方程为y － 3＝ k(x ＋ 2)，即 kx － y ＋2k ＋ 3＝ 0，方程 m 2＋ n 2－ 4m － 14n ＋45 ＝ 0 ， 即 (m － 2) 2＋ (n － 7) 2＝ 8 表示圆． 易知直线 l 与圆方程相切时， k 有最值，∴|2k － 7＋ 2k ＋3|＝ 2 2. ∴ k ＝ 2±3. 1 ＋ k 2∴ k ＝n － 3的最大值为 2＋ 3，最小值为 2 － 3. m＋ 24． 3空间直角坐标系4．空间直角坐标系1． C剖析：点 P 的 y 轴坐标为0，则点 P 在平面 xOz 上．2． B剖析：点 P(a ， b， c) 关于 x 轴的对称点为P′ (a，－ b，－ c) ．3． B8． 78310．解：由图知，DA⊥ DC ，DC ⊥ DP， DP⊥ DA ，故以 D 为原点， DA ， DC ，DP 所在直线分别为x，y， z 轴建立空间直角坐标系．∵ E， F， G ， H 分别为侧棱中点，由立体几何知识可知，平面EFGH ∥底面ABCD ，从而这 4 个点的竖坐标都为P 的竖坐标的一半，也就是 b.由 H 为 DP 的中点，得H (0,0 ， b)．∴E(a,0 ， b) ．同理 G(0 ， a ，b) ．F 在坐标平面xOz 和 yOz 上的投影分别为点 E 和 G，故 F 与 E 的横坐标相同，都是 a ，点 F 与 G 的纵坐标也同为a ，又 F 的竖坐标为 b ，故 F(a ， a ， b) ．4 ． 空间两点间的距离公式1． B6 ．以点 (12 ，－ 3,5) 为球心，半径长为 6 的球7 ． 解： 由题意设 A(0 ， y,0)，则y － 1 2＋ 4＝ 5，得 y ＝ 0 或 y ＝ 2， 故点 A 的坐标为 (0,0,0) 或 (0,2,0) ．8．直角 剖析： 由于 |AB| 2＝ 9，|BC|2 ＝9＋ 36＝ 45，|AC|2＝ 36，所以 |BC|2＝ |AB|2＋ |AC| 2，所以△ ABC 为直角三角形．89.7剖析： |AB|＝ x － 1 2＋ 5－ x －x － 2 2＋ 2x － 1－ 2＋ x 282 5，87＋ 7＝14 x －故当 x ＝ 时， |AB| 获取最小值．10 ． 解： (1) 假设在 y 轴上存在点 M ，满足 |MA| ＝ |MB |. 设 M(0 ， y,0) ，由 |MA | ＝ |MB| ，可得32＋ y 2＋ 1 2＝ 1 2＋ y 2＋ 32.显然，此式对任意 y ∈ R∴ y 轴上所有点都满足关系 恒建立．|MA|＝|MB |.(2) 假设在 y 轴上存在点 M ，使△ MAB 为等边三角形． 由 (1) 可知， y 轴上任一点都有 |MA| ＝ |MB| ，∴只要满足 |MA| ＝ |AB| ，就可以使得△MAB 是等边三角形．∵ |MA | ＝ 10 ＋ y 2， |AB|＝1－ 3 2＋ 0－ 0 2＋ － 3－ 1 2＝20，∴ 10 ＋ y 2＝ 20 ，解得 y ＝ ± 10.故 y 轴上存在点 M ，使△ MAB 为等边三角形，点M 的坐标为 (0 ，10 ， 0)或 (0 ，－ 10，0) ．。
人教版高中数学必修二第四章圆与方程章末复习提升
第四章章末复习提升
1.圆的方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆心在原点的圆的标准
方程为x2＋y2＝r2.
圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).
(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，
而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆.
(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程.如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程.
2.点与圆的位置关系
(1)点在圆上
①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上.
②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上.
(2)点不在圆上
①若点的坐标满足F(x，y)>0，则该点在圆外；若满足
F(x，y)<0，则该点在圆内.
②点到圆心的距离大于半径则点在圆外；点到圆心的距离小于半径则点在圆内.
注意：若P点是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：d max＝|PC|＋r；最小距离：d min＝|PC|－r.
3.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程
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高二数学必修二 第四章 圆与圆的方程知识点总结
第四章 圆 与 方 程★1、圆的定义：平面内到肯定点的间隔 等于定长的点的集合叫做圆，定点圆心，定长为圆的半径。
设M （x,y ）为⊙A 上随意一点，则圆的集合可以写作：P = {M |MA| = r }★2、圆的方程（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ； 点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内; （2）一般方程022=++++F Ey Dx y x（x+D/2)2+(y+E/2)2=(D 2+E 2-4F)/4 （0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
（3）求圆的方程的方法：待定系数法：先设后求。
确定一个圆须要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，须要求出D ，E ，F ； 干脆法：干脆依据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
另外要留意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。
★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种状况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的间隔 为22B AC Bb Aa d +++=，则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔< （2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线间隔 =半径，求解k ，②若求得两个一样的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线肯定为另一条切线）(3)22=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的与（差），与圆心距（d ）之间的大小比拟来确定。
(人教版,必修二)高中数学：第四章 圆与方程(配套讲义+
4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式一、基础达标1．空间两点A，B的坐标分别为(x，－y，z)，(－x，－y，－z)，则A，B两点的位置关系是()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于z轴对称D．关于原点对称答案 B解析由A，B两点的坐标可知关于y轴对称．2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为()A．9 B.29C．5 D．2 6答案 B解析由已知求得C1(0,2,3)，∴|AC1|＝29.3．在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4,7,6)，则点M关于y轴的对称点在坐标平面xOz上的射影的坐标为()A．(4,0,6) B．(－4,7，－6)C．(－4,0，－6) D．(－4,7,0)答案 C解析点M关于y轴的对称点是M′(－4,7，－6)，点M′在坐标平面xOz上的射影是(－4,0，－6)．4.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为()A.2aB.22a C ．a D.12a答案 B解析 由题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0，A 1(a,0，a )，C (0，a,0)，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，则|EF |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 22＝22a .5．已知点A (1，a ，－5)，B (2a ，－7，－2)(a ∈R )则|AB |的最小值是 ( )A ．3 3B ．3 6C ．2 3D ．2 6答案 B解析 |AB |2＝(2a －1)2＋(－7－a )2＋(－2＋5)2 ＝5a 2＋10a ＋59 ＝5(a ＋1)2＋54.∴a ＝－1时，|AB |2的最小值为54. ∴|AB |min ＝54＝3 6.6．已知A (1，－2,1)，B (2,2,2)，点P 在z 轴上，且|P A |＝|PB |，则点P 的坐标为________． 答案 (0,0,3)解析 设P (0,0，c )，由题意得 (0－1)2＋(0＋2)2＋(c －1)2 ＝(0－2)2＋(0－2)2＋(c －2)2解之得c ＝3，∴P 的坐标为(0,0,3)．7.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝4，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求M 、N 两点间的距离．解 根据已知条件可得 |A 1C 1|＝22， 由|MC 1|＝2|A 1M |，可得|A 1M |＝223，如图所示，以A 为原点，以AB ，AD ，AA 1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，4，C (2,2,0)，D 1(0,2,4)，N 为CD 1的中点可得N (1,2,2)． ∴|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－232＋(2－4)2＝533.二、能力提升8．△ABC 在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC 边上的中线的长是( )A. 2 B ．2 C. 3 D ．3答案 C解析 BC 的中点坐标为M (1,1,0)， 又A (0,0,1)， ∴|AM |＝12＋12＋(－1)2＝ 3.9．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( )A.62B. 3C.32D.63答案 A解析设P (x ，y ，z )，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1y 2＋z 2＝1，x 2＋z 2＝1∴x 2＋y 2＋z 2＝32.∴x 2＋y 2＋z 2＝62.10．点B 是点A (2，－3,5)关于xOy 平面的对称点，则|AB |＝________. 答案 10解析 点B 的坐标为B (2，－3，－5)， ∴|AB |＝(2－2)2＋(－3＋3)2＋(5＋5)2＝10.11.如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别是棱AB ，B 1C 1的中点，F 是AC 的中点，求DE，EF 的长度．解 以点C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，∴C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，C 1(0,0,2)，B 1(0,2,2)， 由中点坐标公式可得， D (1,1,0)，E (0,1,2)，F (1,0,0)， ∴|DE |＝(1－0)2＋(1－1)2＋(0－2)2＝5， |EF |＝(0－1)2＋(1－0)2＋(2－0)2＝ 6.三、探究与创新12.如图所示，BC ＝4，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，点D 在平面yOz上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求AD 的长度．解 由题意得B (0，－2,0)，C (0,2,0)， 设D (0，y ，z )，则在Rt △BDC 中，∠DCB ＝30°，所以BD ＝2，CD ＝23，z ＝3，2－y ＝3. 所以y ＝－1.所以D (0，－1，3) 又因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，所以|AD |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－02＋⎝⎛⎭⎪⎫12＋12＋(0－3)2＝ 6.13．已知正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM ＝BN ＝a (0<a <2)， 求：(1)MN 的长；(2)a 为何值时，MN 的长最小． 解 (1)∵面ABCD ⊥面ABEF ，面ABCD ∩面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ，BE ⊂平面ABEF ，∴BE ⊥面ABCD . ∴AB 、BC 、BE 两两垂直． ∴以B 为坐标原点，以BA 、BE 、BC 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，1－22a 、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0.∴|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a －22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22a －02＝a 2－2a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫a －222＋12(0<a <2)．(2)∵|MN |＝⎝⎛⎭⎪⎫a －222＋12，故当a＝22时，|MN|min＝22.。
最新人教版高中数学必修2第四章《圆与方程》本章要览
第四章圆与方程
本章要览
内容提要
本章所要学习的内容也是解析几何中的基础知识之一,是进一步学习圆锥曲线的基础.
在上一章的基础上,在直角坐标系中建立圆的方程,通过圆的方程研究直线与圆,圆与圆的位置关系.另外,我们还要学习空间直角坐标系的有关知识,它是用解析法研究空间几何对象的基础.在本章中还介绍了重要的把解析几何与代数几何联系起来的方法——坐标法.
学法指导
1.学习本章的关键是掌握圆的标准方程与一般方程,要理解圆的标准方程体现了圆的几何特点,而圆的一般形式体现了圆的代数特点.应抓住这两个特点,根据题目的条件选择适当的形式.
2.在解决有关直线与圆,圆与圆的位置关系问题时,要注意随时与平面几何中的相关性质相结合.
3.在直角坐标系中,主要是建立几何对象的方程,并通过方程研究几何对象,这是研究几何问题的重要方法,通过坐标系,把点与坐标,曲线与方程联系起来,实现空间形式与数量关系的结合.。
最新人教版高中数学必修2第四章《圆的一般方程》教材梳理
疱丁巧解牛知识·巧学圆的一般方程对方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,当D 2+E 2-4F>0时，此方程表示以(2,2E D --)为圆心，F E D 42122-+为半径的圆；当D 2+E 2-4F=0时，方程仅表示一点(2,2E D --)；当D 2+E 2-4F<0时，不表示任何图形.注意：1.从对方程的研究过程我们可以看到两种方程的内在联系，即一般式方程通过配方便可化为标准式方程，将圆的标准式方程展开，便可得到一般式方程.要掌握两种形式方程的互化，特别是由一般式配方时要仔细计算.2.把圆的一般式方程与二元二次方程Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0相比较，它突出了形式上的特点：①x 2与y 2的系数均相同，均不为0；②无xy 这样的二次项，圆的一般方程中含有三个参数D 、E 、F.因此必须具备三个独立条件，才能确定一个圆.确定D 、E 、F 通常也是利用待定系数法.3.待定系数法是数学中常用的一种方法.例如，由已知条件确定二次函数，利用根与系数的关系确定一元二次方程的系数等.这种方法在求圆的方程或其他问题中有广泛的应用.要求熟练掌握用待定系数法解有关问题.误区警示 并非形如x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的方程就表示圆的一般方程，只有在D 2+E 2-4F>0时，它才表示圆.若D 2+E 2-4F ＝0时，它表示一个点.而当D 2+E 2-4F ＜0时，它不表示任何图形.所以给出一个含参的二元二次方程如果表示圆，则参数的取值必须使得这个不等式成立.并且对于给定的圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0时，其圆心坐标为（2,2E D --），半径为F E D 42122-+. 问题·探究问题1 给出一个二元二次方程Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0，如何判断它是否表示一个圆？ 探究:如果此方程表示一个圆，易知B=0，A=C≠0，而圆的一般式方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示圆时需D 2+E 2-4F>0,所以原二元二次方程可变形为：x 2+y 2+0=++A F y A E x A D ，所以当二元二次方程中B=0，A=C≠0,(A D )2+(AE )2-4·0>AF ，即D 2+E 2-4AF>0时，这个二元二次方程表示圆.问题 2 圆的一般方程与圆的标准方程有怎样的关系？它们各自的优点是什么？如何根据题意选择合适的方程形式来表示圆？探究:圆的一般式方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0).配方后可化为圆的标准方程，即(2D x +)2+(2E y +)2=4422F E D -+，而圆的标准方程展开化简就可得圆的一般方程.标准方程的优点是通过方程可直接得出圆心坐标和圆的半径，而一般式方程更好地突出了方程形式上的特点：x 2和y 2的系数相同，且不等于0,无xy 项.在选择方程形式时，如果题目与圆的相关性质有关时，一般选择标准方程，如果与方程的思想相关时，如解圆的有关方程组的问题时，则选用一般式方程.典题·热题例1 从原点向圆x 2+y 2-12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( )A.πB.2πC.4πD.6π思路解析：求解本题有多种思路，一是由题意求得两条切线的斜率，由此解得劣弧所对的圆心角，进一步求得弧长.另一种思路是利用数形结合，通过圆的相关性质直接求解. 解法一：设过原点的切线方程为y=kx ，则⎩⎨⎧==++kxy 02712y -y x 22⇒(k 2+1)x 2-12kx+27=0. 所以Δ=(-12k)2-4×27(k 2+1)=0，解得k=±3.由此知两切线夹角为3π，又设D 、E 为切点，即 CD ⊥OD,CE ⊥OE.∴∠DCE=323πππ=-.所以劣弧长为∠DCE·R=ππ2332=⨯. 解法二：由圆的方程x 2+y 2-12y+27=0,得x 2+(y-6)2=9，知圆以C(0,6)为圆心，以3为半径.设D 、E 为切点，则CE=R=3，OC=6，知cos ∠OCE=21=OC CE . 所以∠OCE=3π,故∠DCE=32π.所以劣弧长为∠DCE·R=ππ2332=⨯. 答案：B深化升华 本题考查了圆的基本知识，有关圆的相关问题，在求解时，一定要注意圆的相关性质，如圆中的弦长问题，圆的切线，圆当中的直角三角形运用以及圆当中的对称性的应用等.同时要熟练掌握应用转化思想来解决有关曲线问题的方法.例2 求经过点P(-2,4)、Q(3，-1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程.思路解析：根据待定系数法求相应的量即可.当圆上的多个点已知时，可以设圆的一般式方程.解：设圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，将P 、Q 点的坐标分别代入,得⎩⎨⎧=+=-10.F E -3D 0,F -4E -2D 又令y=0，得x 2+Dx+F=0，设其两根分别为x 1、x 2，由|x 1-x 2|=6,有D 2-4F=36.由上综合,可得D=-2,E=-4,F=-8或D=-6,E=-8,F=0.故所求圆的方程为x 2+y 2-2x-4y-8=0或x 2+y 2-6x-8y=0.方法归纳 本题应用待定系数法求圆的方程时，设了圆的一般式方程.那么何时选择用标准方程，何时用一般方程呢？通常的，如果问题中给出了圆心与坐标之间的关系或圆心的特殊位置关系时，一般用标准方程；如果给出圆上三个点的坐标用圆的一般方程.很多题目用标准方程或一般方程都适合条件，要善于从解题中发现条件，更好地选择方程，以使问题简单. 例3 已知定点A(2,0)，圆x 2+y 2=1上有一个动点Q ，∠AOQ 的角平分线交AQ 于点P ，求动点P 的轨迹.思路解析：求解有关两个或两个以上动点的轨迹问题，且有一个动点所在的曲线方程已知，一般采用“代入法”解决.解：设动点P 的坐标为(x,y),Q(x 1,y 1)，由角平分线性质，得2||||||||==OQ OA PQ PA ,即2=PQAP . 利用定比分点坐标公式有⎩⎨⎧==-,23,22311y y x x , 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.23,22311y y x x∵x 12+y 12=1,∴(12-x )2+(23y )2=1. 动点P 的轨迹方程为(12-x )2+(23y )2=1. ∴点P 的轨迹为以(32,0)为圆心，以32为半径的圆. 深化升华 本题应用了求轨迹方程的一种方法：代入法.它适用于处理一个主动点与一个被动点问题，如本题中由于Q 点在已知圆上运动，从而引起了∠AOQ 及线段AQ 的变化，那么点Q 是主动点，点P 是被动点，这时我们只需找出这两点坐标之间的关系(用被动点坐标表示主动点坐标)，然后代入主动点满足的轨迹方程，便可得到被动点所满足的方程，也即得到了我们所要求的轨迹方程.做这类题目时还应注意看清题目是要求轨迹方程还是求轨迹，注意轨迹与轨迹方程的区别：轨迹是方程所表示的曲线(图形).如果是求轨迹，那么在求出轨迹方程后，还应点明此方程表示怎样的一条曲线.。
高中数学必修2--第四章《圆与方程》知识点总结与练习知识讲解
第三节圆_的_方_程[知识能否忆起]1．圆的定义及方程2．点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.[小题能否全取]1．(教材习题改编)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A.14＜m ＜1 B ．m ＜14或m ＞1C ．m ＜14D ．m ＞1解析：选B 由(4m )2＋4－4×5m ＞0得m ＜14或m ＞1.2．(教材习题改编)点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选A ∵点(1,1)在圆的内部， ∴(1－a )2＋(1＋a )2＜4， ∴－1＜a ＜1.3．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：选A 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知(0－1)2＋(b －2)2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.4．(2012·潍坊调研)圆x 2－2x ＋y 2－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为________．解析：圆心(1,0)，d ＝|1－3|1＋3＝1.答案：15．(教材习题改编)圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为 ____________________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＝a 2(a ＞0) ∴|2|1＋1＝a ，∴a ＝2，∴x 2＋y 2＝2. 答案：x 2＋y 2＝21.方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是： (1)B ＝0；(2)A ＝C ≠0；(3)D 2＋E 2－4AF ＞0.2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．典题导入[例1] (1)(2012·顺义模拟)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长之比为1∶2，则圆C 的方程为( )A.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43B.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13C ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43D ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13(2)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________________． [自主解答] (1)由已知知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，b )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|b |，解得r ＝23，|b |＝33，即b ＝±33.故圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43.(2)圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧26＋5D ＋F ＝0，10＋D ＋F ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，F ＝－6.圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －6＝0. [答案] (1)C (2)x 2＋y 2－4x －6＝0由题悟法1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组． 2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．以题试法1．(2012·浙江五校联考)过圆x 2＋y 2＝4外一点P (4,2)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则△ABP 的外接圆的方程是( )A ．(x －4)2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y －2)2＝4C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5D ．(x －2)2＋(y －1)2＝5解析：选D 易知圆心为坐标原点O ，根据圆的切线的性质可知OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，因此P ，A ，O ，B 四点共圆，△P AB 的外接圆就是以线段OP 为直径的圆，这个圆的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝5.典题导入[例2] (1)(2012·湖北高考)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0(2)P (x ，y )在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上移动，则x 2＋y 2的最小值为________． [自主解答] (1)当圆心与P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与P 点连线的斜率k ＝1，∴直线OP 垂直于x ＋y －2＝0.(2)由C (1,1)得|OC |＝2，则|OP |min ＝2－1，即(x 2＋y 2)min ＝2－1.所以x 2＋y 2的最小值为(2－1)2＝3－2 2.[答案] (1)A (2)3－2 2由题悟法解决与圆有关的最值问题的常用方法 (1)形如u ＝y －bx －a的最值问题，可转化为定点(a ，b )与圆上的动点(x ，y )的斜率的最值问题(如A 级T 9)；9．(2012·南京模拟)已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________．解析：y －2x －1表示圆上的点P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率，所以y －2x －1的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝k (x －1)即kx －y ＋2－k ＝0.由|2－k |k 2＋1＝1得k ＝34，结合图形可知，y －2x －1≥34，故最小值为34. 答案：34(2)形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题(如以题试法2(2))； (3)形如(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题(如例(2))．以题试法2．(1)(2012·东北三校联考)与曲线C ：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0相内切，同时又与直线l ：y ＝2－x 相切的半径最小的圆的半径是________．(2)已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2＝1则2x －y 的最大值为________，最小值为________．解析：(1)依题意，曲线C 表示的是以点C (－1，－1)为圆心，2为半径的圆，圆心C (－1，－1)到直线y ＝2－x 即x ＋y －2＝0的距离等于|－1－1－2|2＝22，易知所求圆的半径等于22＋22＝322.(2)令b ＝2x －y ，则b 为直线2x －y ＝b 在y 轴上的截距的相反数，当直线2x －y ＝b 与圆相切时，b 取得最值．由|2×2＋1－b |5＝1.解得b ＝5±5，所以2x －y 的最大值为5＋5，最小值为5－ 5.答案：(1)322 (2)5＋5 5－5典题导入[例3] (2012·正定模拟)如图，已知点A (－1,0)与点B (1,0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连接BC 并延长至D ，使得|CD |＝|BC |，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．[自主解答] 设动点P (x ，y )，由题意可知P 是△ABD 的重心． 由A (－1,0)，B (1,0)，令动点C (x 0，y 0)， 则D (2x 0－1,2y 0)，由重心坐标公式得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋1＋2x 0－13，y ＝2y 03，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ＋12，y 0＝3y 2(y 0≠0)，代入x 2＋y 2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫x ＋132＋y 2＝49(y ≠0)， 故所求轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x ＋132＋y 2＝49(y ≠0)．由题悟法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．以题试法3．(2012·郑州模拟)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：选B 设P (x ，y )，则由题意可得2(x －2)2＋y 2＝(x －8)2＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16.[题后悟道] 该题是圆与集合，不等式交汇问题，解决本题的关键点有： ①弄清集合代表的几何意义；②结合直线与圆的位置关系求得m 的取值范围． 针对训练若直线l ：ax ＋by ＋4＝0(a >0，b >0)始终平分圆C ：x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0，则ab 的最大值为( )A ．4B ．2C ．1D.14解析：选C 圆C 的圆心坐标为(－4，－1)， 则有－4a －b ＋4＝0，即4a ＋b ＝4. 所以ab ＝14(4a ·b )≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋b 22＝14×⎝⎛⎭⎫422＝1.当且仅当a ＝12，b ＝2取得等号．1．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点P (0,0)对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5解析：选A 圆上任一点(x ，y )关于原点对称点为(－x ，－y )在圆(x ＋2)2＋y 2＝5上，即(－x ＋2)2＋(－y )2＝5.即(x －2)2＋y 2＝5.2．(2012·辽宁高考)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0解析：选C 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A ，B ，C ，D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心．3．(2012·青岛二中期末)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋⎝⎛⎭⎫y －732＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D.⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －1)2＝1 解析：选B 依题意设圆心C (a,1)(a ＞0)，由圆C 与直线4x －3y ＝0相切，得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1.4．(2012·海淀检测)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：选A设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝4＋x2，y ＝－2＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．(2013·杭州模拟)若圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0，关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选A 将圆的方程变形为(x －1)2＋(y ＋3)2＝10－5a ，可知，圆心为(1，－3)，且10－5a ＞0，即a ＜2.∵圆关于直线y ＝x ＋2b 对称，∴圆心在直线y ＝x ＋2b 上，即－3＝1＋2b ，解得b ＝－2，∴a －b ＜4.6．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )A.95 B ．1 C.45D.135解析：选C 圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45. 7．如果三角形三个顶点分别是O (0,0)，A (0,15)，B (－8,0)，则它的内切圆方程为________________．解析：因为△AOB 是直角三角形，所以内切圆半径为r ＝|OA |＋|OB |－|AB |2＝15＋8－172＝3，圆心坐标为(－3,3)，故内切圆方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝9.答案：(x ＋3)2＋(y －3)2＝98．(2013·河南三市调研)已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为__________．解析：设所求圆的半径是R ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋(－3)2＝1，则R 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫|AB |22＝10，因此圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.答案：x 2＋(y －1)2＝109．(2012·南京模拟)已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________．解析：y －2x －1表示圆上的点P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率，所以y －2x －1的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝k (x －1)即kx －y ＋2－k ＝0.由|2－k |k 2＋1＝1得k ＝34，结合图形可知，y －2x －1≥34，故最小值为34. 答案：3410．过点C (3,4)且与x 轴，y 轴都相切的两个圆的半径分别为r 1，r 2，求r 1r 2. 解：由题意知，这两个圆的圆心都在第一象限， 且在直线y ＝x 上，故可设两圆方程为 (x －a )2＋(y －a )2＝a 2，(x －b )2＋(y －b )2＝b 2， 且r 1＝a ，r 2＝b .由于两圆都过点C ， 则(3－a )2＋(4－a )2＝a 2，(3－b )2＋(4－b )2＝b 2 即a 2－14a ＋25＝0，b 2－14b ＋25＝0. 则a 、b 是方程x 2－14x ＋25＝0的两个根．故r 1r 2＝ab ＝25.11．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)， 即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又∵直径|CD |＝410，∴|P A |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)． ∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40 或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.12．(2012·吉林摸底)已知关于x ，y 的方程C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)当m 为何值时，方程C 表示圆；(2)在(1)的条件下，若圆C 与直线l ：x ＋2y －4＝0相交于M 、N 两点，且|MN |＝455，求m 的值．解：(1)方程C 可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，显然只要5－m ＞0，即m ＜5时方程C 表示圆．(2)因为圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，其中m ＜5，所以圆心C (1,2)，半径r ＝5－m ，则圆心C (1,2)到直线l ：x ＋2y －4＝0的距离为d ＝|1＋2×2－4|12＋22＝15，因为|MN |＝455，所以12|MN |＝255，所以5－m ＝⎝⎛⎭⎫152＋⎝⎛⎭⎫2552， 解得m ＝4.1．(2012·常州模拟)以双曲线x 26－y 23＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋y 2＝1B ．(x －3)2＋y 2＝3C ．(x －3)2＋y 2＝3D ．(x －3)2＋y 2＝9解析：选B 双曲线的渐近线方程为x ±2y ＝0，其右焦点为(3,0)，所求圆半径r ＝|3|12＋(±2)2＝3，所求圆方程为(x －3)2＋y 2＝3.2．由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当|PT |最小时，点P 的坐标是( )A ．(－1,1)B ．(0,2)C ．(－2,0)D ．(1,3)解析：选B 根据切线长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知|PT |＝|PC |2－1，故|PT |最小时，即|PC |最小，此时PC 垂直于直线y ＝x ＋2，则直线PC 的方程为y ＋2＝－(x－4)，即y ＝－x ＋2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2，解得点P 的坐标为(0,2)．3．已知圆M 过两点C (1，－1)，D (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上． (1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形P AMB 面积的最小值．解：(1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0.解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2)因为四边形P AMB 的面积S ＝S △P AM ＋S △PBM ＝12|AM |·|P A |＋12|BM |·|PB |， 又|AM |＝|BM |＝2，|P A |＝|PB |，所以S ＝2|P A |， 而|P A |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，即S ＝2|PM |2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可， 即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以|PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以四边形P AMB 面积的最小值为S ＝2|PM |2min －4＝232－4＝2 5.1．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2解析：选B 由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)，半径是10，且点E (0,1)位于该圆内，故过点E (0,1)的最短弦长|BD |＝210－(12＋22)＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E (0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC |＝210，且AC ⊥BD ，因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |＝12×210×25＝10 2.2．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________．解析：l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离d ＝32， 则AB 边上的高的最小值为32－1. 故△ABC 面积的最小值是12×22×⎝⎛⎭⎫32－1＝3－ 2.答案：3－ 23．(2012·抚顺调研)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)二、圆与圆的位置关系(⊙O1、⊙O2半径r1、r2，d＝|O1O2|)[小题能否全取]1．(教材习题改编)圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是()A．相切B．相交但直线不过圆心C．相交过圆心D．相离解析：选B由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝5，0＜d＜6，故该直线与圆相交但不过圆心．2．(2012·银川质检)由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )A.7B ．2 2C ．3D. 2解析：选A 由题意知，圆心到直线上的点的距离最小时，切线长最小．圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0可化为(x －3)2＋y 2＝1，则圆心(3,0)到直线y ＝x ＋1的距离为42＝22，切线长的最小值为(22)2－1＝7.3．直线x －y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝r 2相交于A ，B 两点，且AB 的长为2，则圆的半径为( )A.322B.62C ．1D ．2解析：选B 圆心(0,0)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝12.则r 2＝⎝⎛⎭⎫12|AB |2＋d 2＝32，r ＝62. 4．(教材习题改编)若圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点，则实数k 的取值范围是________．解析：由题意知21＋k2＞1，解得－3＜k ＜ 3.答案：(－3， 3)5．已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是____________．解析：两圆相减即得x －2y ＋4＝0. 答案：x －2y ＋4＝01.求圆的弦长问题，注意应用圆的几何性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．2．对于圆的切线问题，要注意切线斜率不存在的情况．典题导入[例1] (2012·陕西高考) 已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( )A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能[自主解答] 将点P (3,0)的坐标代入圆的方程，得 32＋02－4×3＝9－12＝－3<0， 所以点P (3,0)在圆内．故过点P 的直线l 定与圆C 相交． [答案] A本例中若直线l 为“x －y ＋4＝0”问题不变． 解：∵圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4， ∴圆心(2,0)，r ＝2. 又圆心到直线的距离为d ＝62＝32＞2. ∴l 与C 相离．由题悟法判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． (2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．以题试法1．(2012·哈师大附中月考)已知直线l 过点(－2,0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是( )A ．(－22，22)B ．(－2，2) C.⎝⎛⎭⎫－24，24D.⎝⎛⎭⎫－18，18 解析：选C 易知圆心坐标是(1,0)，圆的半径是1，直线l 的方程是y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，根据点到直线的距离公式得|k ＋2k |k 2＋1＜1，即k 2＜18，解得－24＜k ＜24.典题导入[例2] (1)(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于( )A ．33B ．2 3 C. 3D ．1(2)(2012·天津高考)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋ 3 ]B ．(－∞，1－ 3 ]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋2 2 ]D ．(－∞，2－2 2 ]∪[2＋22，＋∞)[自主解答] (1)圆x 2＋y 2＝4的圆心(0,0)，半径为2，则圆心到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝532＋42＝1.故|AB |＝2r 2－d 2＝24－1＝2 3.(2)圆心(1,1)到直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0的距离为|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，所以m ＋n＋1＝mn ≤14(m ＋n )2，整理得[(m ＋n )－2]2－8≥0，解得m ＋n ≥2＋22或m ＋n ≤2－2 2.[答案] (1)B (2)D由题悟法1．圆的弦长的常用求法：(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2. (2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]. [注意] 常用几何法研究圆的弦的有关问题．2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点与圆的位置关系，若点在圆内，无解；若点在圆上，有一解；若点在圆外，有两解．以题试法2．(2012·杭州模拟)直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－34，0B.⎣⎡⎦⎤－33，33 C ．[－3， 3]D.⎣⎡⎦⎤－23，0解析：选B 如图，设圆心C (2,3)到直线y ＝kx ＋3的距离为d ，若|MN |≥23，则d 2＝r 2－⎝⎛⎭⎫12|MN |2≤4－3＝1，即|2k |21＋k2≤1，解得－33≤k ≤ 33.典题导入[例3] (1)(2012·山东高考)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离(2)设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝________. [自主解答] (1)两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17.∵3－2＜d ＜3＋2，∴两圆相交．(2)由题意可设两圆的方程为(x －r i )2＋(y －r i )2＝r 2i ，r i ＞0，i ＝1,2.由两圆都过点(4,1)得(4－r i )2＋(1－r i )2＝r 2i ，整理得r 2i －10r i ＋17＝0，此方程的两根即为两圆的半径r 1，r 2，所以r 1r 2＝17，r 1＋r 2＝10，则|C 1C 2|＝(r 1－r 2)2＋(r 1－r 2)2＝2×(r 1＋r 2)2－4r 1r 2＝2×100－68＝8. [答案] (1)B (2)8由题悟法两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．以题试法3．(2012·青岛二中月考)若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是________．解析：依题意得|OO 1|＝5＋20＝5，且△OO 1A 是直角三角形，S △O O 1A ＝12·|AB |2·|OO 1|＝12·|OA |·|AO 1|，因此|AB |＝2·|OA |·|AO 1||OO 1|＝2×5×255＝4. 答案：4[典例](2012·东城模拟)直线l过点(－4,0)且与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25交于A，B两点，如果|AB|＝8，那么直线l的方程为()A．5x＋12y＋20＝0B．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0C．5x－12y＋20＝0D．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0[尝试解题]过点(－4,0)的直线若垂直于x轴，经验证符合条件，即方程为x＋4＝0满足题意；若存在斜率，设其直线方程为y＝k(x＋4)，由被圆截得的弦长为8，可得圆心(－1，2)到直线y＝k(x＋4)的距离为3，即|3k－2|1＋k2＝3，解得k＝－512，此时直线方程为5x＋12y＋20＝0，综上直线方程为5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0.[答案] D——————[易错提醒]—————————————————————————1.解答本题易误认为斜率k一定存在从而错选A.2.对于过定点的动直线设方程时，可结合题意或作出符合题意的图形分析斜率k是否存在，以避免漏解.——————————————————————————————————————针对训练1．过点A(2,4)向圆x2＋y2＝4所引切线的方程为__________________．解析：显然x＝2为所求切线之一．当切线斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，那么|4－2k |k 2＋1＝2，k ＝34，即3x －4y ＋10＝0.答案：x ＝2或3x －4y ＋10＝02．已知直线l 过(2,1)，(m,3)两点，则直线l 的方程为________________． 解析：当m ＝2时，直线l 的方程为x ＝2； 当m ≠2时，直线l 的方程为y －13－1＝x －2m －2，即2x －(m －2)y ＋m －6＝0.因为m ＝2时，方程2x －(m －2)y ＋m －6＝0， 即为x ＝2，所以直线l 的方程为2x －(m －2)y ＋m －6＝0. 答案：2x －(m －2)y ＋m －6＝0一、选择题1．(2012·人大附中月考)设m ＞0，则直线2(x ＋y )＋1＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相切或相离D ．相交或相切解析：选C 圆心到直线l 的距离为d ＝1＋m 2，圆半径为m .因为d －r ＝1＋m 2－m ＝12(m －2m ＋1)＝12(m －1)2≥0，所以直线与圆的位置关系是相切或相离．2．(2012·福建高考)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于( )A ．2 5B ．2 3 C. 3D ．1解析：选B 因为圆心(0,0)到直线x ＋3y －2＝0的距离为1，所以AB ＝24－1＝2 3.3．(2012·安徽高考)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：选C 欲使直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，只需使圆心到直线的距离小于等于圆的半径2即可，即|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，化简得|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.4．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3解析：选C 设圆上的点为(x 0，y 0)，其中x 0>0，y 0>0，则切线方程为x 0x ＋y 0y ＝1.分别令x ＝0，y ＝0得A ⎝⎛⎭⎫1x 0，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1y 0，则|AB |＝ ⎝⎛⎭⎫1x 02＋⎝⎛⎭⎫1y 02＝1x 0y 0≥1x 20＋y 202＝2.当且仅当x 0＝y 0时，等号成立．5．(2013·兰州模拟)若圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上仅有4个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围为( )A ．(2＋1，＋∞)B ．(2－1, 2＋1)C ．(0, 2－1)D ．(0, 2＋1)解析：选A 计算得圆心到直线l 的距离为22＝ 2＞1，如图．直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l 1，l 2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离 2＋1.6．(2013·临沂模拟)已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A. 2B.212C ．2 2D ．2解析：选D 圆心C (0,1)到l 的距离d ＝5k 2＋1， 所以四边形面积的最小值为2×⎝⎛⎭⎫12×1×d 2－1＝2，解得k 2＝4，即k ＝±2. 又k ＞0，即k ＝2.7．(2012·朝阳高三期末)设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________．解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x －my －1＝0的距离d ＝4－3＝1，即|1－2m －1|1＋m 2＝1，解得m ＝±33. 答案：±338．(2012·东北三校联考)若a ，b ，c 是直角三角形ABC 三边的长(c 为斜边)，则圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为________．解析：由题意可知圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为2 4－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋b 22，由于a 2＋b 2＝c 2，所以所求弦长为2 3. 答案：2 39．(2012·江西高考)过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．解析：∵点P 在直线x ＋y －22＝0上，∴可设点P (x 0，－x 0＋22)，且其中一个切点为M .∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有OP ＝2OM ＝2.由两点间的距离公式得OP ＝x 20＋(－x 0＋22)2＝2，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是( 2， 2)．答案：( 2， 2)10．(2012·福州调研)已知⊙M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点．(1)若|AB |＝423，求|MQ |及直线MQ 的方程；(2)求证：直线AB 恒过定点．解：(1)设直线MQ 交AB 于点P ，则|AP |＝223，又|AM |＝1，AP ⊥MQ ，AM ⊥AQ ，得|MP |＝ 12－89＝13，又∵|MQ |＝|MA |2|MP |，∴|MQ |＝3.设Q (x,0)，而点M (0,2)，由x 2＋22＝3，得x ＝±5，则Q 点的坐标为(5，0)或(－5，0)．从而直线MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.(2)证明：设点Q (q,0)，由几何性质，可知A ，B 两点在以QM 为直径的圆上，此圆的方程为x (x －q )＋y (y －2)＝0，而线段AB 是此圆与已知圆的公共弦，相减可得AB 的方程为qx－2y ＋3＝0，所以直线AB 恒过定点⎝⎛⎭⎫0，32. 11．已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△AOB 的面积为定值；(2)设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M 、N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程．解：(1)证明：由题设知，圆C 的方程为(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，化简得x 2－2tx ＋y 2－4ty ＝0， 当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A (2t,0)；当x ＝0时，y ＝0或4t，则B ⎝⎛⎭⎫0，4t ， 所以S △AOB ＝12|OA |·|OB | ＝12|2t |·⎪⎪⎪⎪4t ＝4为定值． (2)∵|OM |＝|ON |，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ，∴C 、H 、O 三点共线，则直线OC 的斜率k ＝2t t ＝2t 2＝12，∴t ＝2或t ＝－2. ∴圆心为C (2,1)或C (－2，－1)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5，由于当圆方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，直线2x ＋y －4＝0到圆心的距离d ＞r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA ＋OB 与PQ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6,0)．过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )>0，解得－34<k <0，即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－34，0. (2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)则OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①得x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2.② 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③因P (0,2)、Q (6,0)，PQ ＝(6，－2)，所以OA ＋OB 与PQ 共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34. 而由(1)知k ∈⎝⎛⎭⎫－34，0，故没有符合题意的常数k.1．已知两圆x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，则它们的公共弦所在直线的方程为________________；公共弦长为________．解析：由两圆的方程x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，相减并整理得公共弦所在直线的方程为2x ＋y －5＝0.圆心(5,5)到直线2x ＋y －5＝0的距离为105＝25，弦长的一半为50－20＝30，得公共弦长为230. 答案：2x ＋y －5＝0 2302．(2012·上海模拟)已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，a 1，a 2，…，a 11是该圆过点(3,5)的11条弦的长，若数列a 1，a 2，…，a 11成等差数列，则该等差数列公差的最大值是________．解析：容易判断，点(3,5)在圆内部，过圆内一点最长的弦是直径，过该点与直径垂直的弦最短，因此，过(3,5)的弦中，最长为10，最短为46，故公差最大为10－4610＝5－265. 答案：5－2653.(2012·江西六校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，焦点为F ，圆M 的圆心在x 轴的正半轴上，圆M 与y 轴相切，过原点O 作倾斜角为π3的直线n ，交直线l 于点A ，交圆M 于不同的两点O 、B ，且|AO |＝|BO |＝2.(1)求圆M 和抛物线C 的方程；(2)若P 为抛物线C 上的动点，求PM ,·PF ,的最小值； (3)过直线l 上的动点Q 向圆M 作切线，切点分别为S 、T ，求证：直线ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标．解：(1)易得B (1，3)，A (－1，－3)，设圆M 的方程为(x －a )2＋y 2＝a 2(a ＞0)， 将点B (1，3)代入圆M 的方程得a ＝2，所以圆M 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，因为点A (－1，－3)在准线l 上，所以p 2＝1，p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)由(1)得，M (2,0)，F (1,0)，设点P (x ，y )，则PM ,＝(2－x ，－y )，PF ,＝(1－x ，－y )，又点P 在抛物线y 2＝4x 上，所以PM ,·PF ,＝(2－x )(1－x )＋y 2＝x 2－3x ＋2＋4x ＝x 2＋x ＋2，因为x ≥0，所以PM ,·PF ,≥2，即PM ,·PF ,的最小值为2. (3)证明：设点Q (－1，m )，则|QS |＝|QT |＝m 2＋5，以Q 为圆心，m 2＋5为半径的圆的方程为(x ＋1)2＋(y －m )2＝m 2＋5，即x 2＋y 2＋2x －2my －4＝0，①又圆M 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，②由①②两式相减即得直线ST 的方程3x －my －2＝0，显然直线ST 恒过定点⎝⎛⎭⎫23，0.1．两个圆：C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选B 由题知C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，则圆心C 1(－1，－1)，C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心C 2(2,1)，两圆半径均为2，又|C 1C 2|＝(2＋1)2＋(1＋1)2＝13＜4，则两圆相交⇒只有两条外公切线．2．(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．解析：设圆心C (4,0)到直线y ＝kx －2的距离为d ，则d ＝|4k －2|k 2＋1，由题意知，问题转化为d ≤2，即d ＝|4k －2|k 2＋1≤2，得0≤k ≤43，所以k max ＝43. 答案：43 3．过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为 2，则直线l 的斜率为________．解析：将圆的方程化成标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，其圆心为(1,1)，半径r ＝1.由弦长为2得弦心距为22.设直线方程为y ＋2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k －2＝0，则|2k －3|k 2＋1＝22，化简得7k 2－24k ＋17＝0，得k ＝1或k ＝177. 答案：1或1774．圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心为O 2(2,1)．(1)若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 2与圆O 1交于A 、B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程．解：(1)设圆O 2的半径为r 2，∵两圆外切，∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2，r 2＝|O 1O 2|－r 1＝2(2－1)，故圆O 2的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝4(2－1)2.(2)设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22，又圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程：4x ＋4y ＋r 22－8＝0. 因为圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离为 |r 22－12|42＝ 4－⎝⎛⎭⎫2222＝2， 解得r 22＝4或r 22＝20.故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.。
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第四章圆与方程4．1 圆的方程4．1.1 圆的标准方程1．以(3，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为()A．(x＋3)2＋(y－1)2＝4B．(x－3)2＋(y＋1)2＝4C．(x－3)2＋(y＋1)2＝16D．(x＋3)2＋(y－1)2＝162．一圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝8，则此圆的圆心与半径分别为()A．(1,0)，4 B．(－1,0)，2 2C．(0,1)，4 D．(0，－1)，2 23．圆(x＋2)2＋(y－2)2＝m2的圆心为________，半径为________．4．若点P(－3,4)在圆x2＋y2＝a2上，则a的值是________．5．以点(－2,1)为圆心且与直线x＋y＝1相切的圆的方程是____________________．6．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝17．一个圆经过点A(5,0)与B(－2,1)，圆心在直线x－3y－10＝0上，求此圆的方程．8．点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则a的取值范围是()A．|a|＜1B．a＜113C．|a|＜1 5D．|a|＜1 139．圆(x－1)2＋y2＝25上的点到点A(5,5)的最大距离是__________．10．设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A，B两点，且弦AB的长为2 3，求a的值．4.1.2 圆的一般方程1．圆x 2＋y 2－6x ＝0的圆心坐标是________．2．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，以4为半径的圆，则F ＝________.3．若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则k 的取值范围是( ) A ．k >1 B ．k <1 C ．k ≥1 D ．k ≤14．已知圆的方程是x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0，则下列直线中通过圆心的是( ) A ．3x ＋2y ＋1＝0 B ．3x ＋2y ＝0 C ．3x －2y ＝0 D ．3x －2y ＋1＝05．圆x 2＋y 2－6x ＋4y ＝0的周长是________．6．点(2a,2)在圆x 2＋y 2－2y －4＝0的内部，则a 的取值范围是( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <1C ．－1<a <15D ．－15<a <17．求下列圆的圆心和半径． (1)x 2＋y 2－x ＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)； (3)x 2＋y 2＋2ay －1＝0.8．过点A (11,2)作圆x 2＋y 2＋2x －4y －164＝0的弦，其中弦长为整数的共有( ) A ．16条 B ．17条 C ．32条 D ．34条 9．已知点A 在直线2x －3y ＋5＝0上移动，点P 为连接M (4，－3)和点A 的线段的中点，求P 的轨迹方程．10．已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0表示一个圆． (1)求t 的取值范围； (2)求圆的圆心和半径；(3)求该圆的半径r 的最大值及此时圆的标准方程．4．2 直线、圆的位置关系 4．2.1 直线与圆的位置关系1．直线y ＝x ＋3与圆x 2＋y 2＝4的位置关系为( ) A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离2．下列说法中正确的是( )A ．若直线与圆有两个交点，则直线与圆相切B ．与半径垂直的直线与圆相切C ．过半径外端的直线与圆相切D ．过圆心且与切线垂直的直线过切点3．若直线x ＋y ＝2与圆x 2＋y 2＝m (m >0)相切，则m 的值为( ) A.12 B.22C. 2 D ．2 4．(20XX 年陕西)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定5．经过点M (2,1)作圆x 2＋y 2＝5的切线，则切线方程为( ) A.2x ＋y ＝5 B.2x ＋y ＋5＝0 C ．2x ＋y ＝5 D ．2x ＋y ＋5＝06．(20XX 年浙江)直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________． 7．已知直线kx －y ＋6＝0被圆x 2＋y 2＝25所截得的弦长为8，求k 的值．8．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为() A．1 B．2 2 C.7 D．39．已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4，直线l：(m＋2)x＋(2m＋1)y＝7m＋8.(1)证明：无论m为何值，直线l与圆C恒相交；(2)当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值．10．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l∶ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且AB＝2 2时，求直线l的方程．4.2.2 圆与圆的位置关系1．已知两圆的方程x2＋y2＝4和x2＋y2－6x＋8y＋16＝0，则此两圆的位置关系是() A．外离B．外切C．相交D．内切2．圆x2＋y2＋2x＋1＝0和圆x2＋y2－y＋1＝0的公共弦所在直线方程为()A．x－2y＝0 B．x＋2y＝0C．2x－y＝0 D．2x＋y＝03．已知直线x＝a(a>0)和圆(x＋1)2＋y2＝9相切，那么a的值是()A．2 B．3C．4 D．54．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有()A．1条B．2条C．3条D．4条5．已知两圆相交于两点A(1,3)，B(m，－1)，两圆圆心都在直线2x－y＋c＝0上，则m ＋c的值是()A．－1 B．2C．3D．06．圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为AB，则线段AB的垂直平分线方程为()A．x＋y－1＝0B．2x－y＋1＝0C．x－2y＋1＝0D．x－y＋1＝07．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2 3，求实数a的值．8．两圆(x－3)2＋(y－4)2＝25和(x－1)2＋(y－2)2＝r2相切，则半径r＝____________.9．已知两圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0与C2：x2＋y2＋6x－2y－40＝0，求：(1)它们的公共弦所在直线的方程；(2)公共弦长．10．已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20(a－1)＝0.(1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；(2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值．4.2.3 直线与圆的方程的应用1．方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示的圆()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线x－y＝0对称D．关于直线x＋y＝0对称2．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m为()A．0或2 B．2C. 2 D．无解3．过原点的直线与圆(x＋2)2＋y2＝1相切，若切点在第三象限，则该直线方程为() A．y＝3xB．y＝－3xC．y＝3 3xD．y＝－3 3x4．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相离，则点P(a，b)与圆的位置关系是() A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．都有可能5．圆x2＋y2－4x－4y－1＝0上的动点P到直线x＋y＝0的最小距离为()A．1 B．0C．2 2 D．2 2－36．过点P(2,1)作圆C：x2＋y2－ax＋2ay＋2a＋1＝0的切线只有一条，则a的取值是() A．a＝－3 B．a＝3C．a＝2 D．a＝－27．与圆x2＋y2－4x－6y＋12＝0相切且在两坐标轴上的截距相等的直线有()A．4条B．3条C．2条D．1条8．设圆x 2＋y 2－4x －5＝0的弦AB 的中点P (3，1)，则直线AB 的方程为____________．9．若实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝3，那么yx的最大值为( )A.12B.33C.32D. 310．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0及点Q (－2，3)．(1)若点P (a ，a ＋1)在圆上，求线段PQ 的长及直线PQ 的斜率； (2)若M 为圆C 上任一点，求|MQ |的最大值和最小值；(3)若实数m ，n 满足m 2＋n 2－4m －14n ＋45＝0，求k ＝n －3m ＋2的最大值和最小值．4.3 空间直角坐标系 4．3.1 空间直角坐标系1．点P (－1,0,1)位于( ) A ．y 轴上 B ．z 轴上C ．xOz 平面内D ．yOz 平面内2．在空间直角坐标系中，点(－2,1,4)关于x 轴的对称点的坐标是( ) A ．(－2,1，－4) B ．(－2，－1，－4) C ．(2，－1,4) D ．(2,1，－4)3．点P (－4,1,3)在平面yOz 上的投影坐标是( ) A ．(4,1,0) B ．(0,1,3) C ．(0,3,0) D ．都不对4．在空间直角坐标系中，点P (1，2，3)，过点P 作平面yOz 的垂线PQ 垂足为Q ，则Q 的坐标为( )A ．(0，2，0)B ．(0，2，3)C ．(1,0，3)D ．(1，2，0)5．点(2，－3,0)在空间直角坐标系中的位置是在()A．y轴上B．xOy平面上C．xOz平面上D．第一象限内6．设x，y为任意实数，相应的点P(x，y,3)的集合是()A．z轴上的两个点B．过z轴上的点(0,0,3)，且与z轴垂直的直线C．过z轴上的点(0,0,3)，且与z轴垂直的平面D．以上答案都有可能7．点A(1，－3,2)关于点(2,2,3)的对称点的坐标为()A．(3，－1,5)B．(3,7,4)C．(0，－8,1)D．(7,3,1)8．已知点A(3，y,4)，B(x,4,2)，线段AB的中点是C(5,6，z)，则x＝______，y＝______，z＝________.9．点P(2,3,5)到平面xOy的距离为________．10．如图K4-3-1，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且边长为2a，棱PD ⊥底面ABCD，|PD|＝2b，取各侧棱的中点E，F，G，H，试建立适当的空间直角坐标系，写出点E，F，G，H的坐标．图K4-3-14．3.2 空间两点间的距离公式1．在空间直角坐标系中，点A(2,1,5)与点B(2,1，－1)之间的距离为()A. 6 B．6C. 3 D．22．坐标原点到下列各点的距离最大的是()A．(1,1,1) B．(2,2,2)C．(2，－3,5) D．(3,3,4)3．已知A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，点P在x轴上，且|P A|＝|PB|，则点P的坐标为() A．(－3,0,0) B．(－3,0,1)C．(0,0，－3) D．(0，－3,0)4．设点B是A(－3,2,5)关于xOy平面的对称点，则|AB|＝()A．10 B.10C．2 10 D．405．已知空间坐标系中，A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，AB的中点为M，线段CM的长|CM|＝()A.534 B.532C.532 D.1326．方程(x－12)2＋(y＋3)2＋(z－5)2＝36的几何意义是____________________________．7．已知点A在y轴上，点B(0,1,2)，且|AB|＝5，求点A的坐标．8．以A(1,2,1)，B(1,5,1)，C(1,2,7)为顶点的三角形是________三角形．9．已知点A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为________．10．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1，0，－3)，问：(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|；(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标．第四章 圆与方程4．1 圆的方程4．1.1 圆的标准方程 1．C 2.D3．(－2,2) |m | 4.±5 5.(x ＋2)2＋(y －1)2＝26．A 解析：方法一(直接法)：设圆心坐标为(0，b )，则由题意知(0－1)2＋(b －2)2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.方法二(数形结合法)：作图由点到圆心的距离为1，易知圆心为(0,2)，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.7．解：方法一：设圆心P (a ，b )， 则⎩⎨⎧a －3b －10＝0，(a －5)2＋b 2＝(a ＋2)2＋(b －1)2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3.圆的半径r ＝(a －5)2＋b 2＝(1－5)2＋(－3)2＝5. ∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝25.方法二：线段AB 的中点P ′⎝⎛⎭⎫5－22，0＋12，即P ′⎝⎛⎭⎫32，12.直线AB 的斜率k ＝1－0－2－5＝－17. ∴弦AB 的垂直平分线的方程为y －12＝7⎝⎛⎭⎫x －32， 即7x －y －10＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y －10＝0，7x －y －10＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3.即圆心P (1，－3)． 圆的半径r ＝(1－5)2＋(－3)2＝5.∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝25. 8．D 9.41＋510．解：∵弦AB 的长为2 3，则由垂径定理，圆心(1,2)到直线的距离等于1，∴|a －2＋3|a 2＋1＝1，∴a ＝0.4．1.2 圆的一般方程 1．(3,0) 2.4 3．B 4.A 5．2 13π 6．A7．解：(1)⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14，圆心⎝⎛⎭⎫12，0，半径r ＝12. (2)(x ＋a )2＋y 2＝a 2，圆心(－a,0)，半径r ＝|a |.(3)x 2＋(y ＋a )2＝1＋a 2，圆心(0，－a )，半径r ＝1＋a 2.8．C 解析：圆的标准方程是：(x ＋1)2＋(y －2)2＝132，圆心(－1,2)，半径r ＝13.过点A (11,2)的最短的弦长为10，最长的弦长为26(分别只有一条)，还有长度为11,12，…，25的各2条，所以共有长为整数的弦2＋2×15＝32(条)．9．解：设点P 的坐标为(x ，y )，A 的坐标为(x 0，y 0)． ∵点A 在直线2x －3y ＋5＝0上，∴有2x 0－3y 0＋5＝0.又∵P 为MA 的中点，∴有⎩⎨⎧x ＝4＋x 02，y ＝－3＋y 02.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋3. 代入直线的方程，得2(2x －4)－3(2y ＋3)＋5＝0，化简，得2x －3y －6＝0即为所求．10．解：(1)由圆的一般方程，得[－2(t ＋3)]2＋4(1－4t 2)2－4(16t 4＋9)>0，解得－17<t <1. (2)圆心为⎝⎛⎭⎫－－2(t ＋3)2，－2(1－4t 2)2，即(t ＋3,4t 2－1)，半径r ＝12[－2(t ＋3)]2＋4(1－4t 2)2－4(16t 4＋9) ＝－7t 2＋6t ＋1.(3)r ＝－7t 2＋6t ＋1＝－7⎝⎛⎭⎫t －372＋167， 所以当t ＝37时，r max ＝4 77， 故圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －2472＋⎝⎛⎭⎫y ＋13492＝167. 4．2 直线、圆的位置关系4．2.1 直线与圆的位置关系1．D 2.D 3.D4．B 解析：点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，有a 2＋b 2>1，圆心到直线ax ＋by ＝1的距离为d ＝1a 2＋b 2<1＝r ，所以直线与圆O 相交． 5．C 解析：因为点(2,1)在圆x 2＋y 2＝5上，所以切线方程为2x ＋y ＝5.6．4 5 解析：圆(x －3)2＋(y －4)2＝25，圆心(3,4)到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|6－4＋3|5＝5，弦长等于252－(5)2＝4 5. 7．解：设直线kx －y ＋6＝0被圆x 2＋y 2＝25所截得的弦长为AB ，其中点为C ，则△OCB 为直角三角形．因为圆的半径为|OB |＝5，半弦长为|AB |2＝|BC |＝4， 所以圆心到直线kx －y ＋6＝0的距离为3.由点到直线的距离公式得6k 2＋1＝3.解得k ＝±3. 8．C9．(1)证明：由(m ＋2)x ＋(2m ＋1)y ＝7m ＋8，得mx ＋2x ＋2my ＋y ＝7m ＋8，即m (x ＋2y －7)＋(2x ＋y －8)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －7＝0，2x ＋y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2. ∴无论m 为何值，直线l 恒过定点(3,2)．(2)解：过圆内的一点的所有弦中，最长的弦是过该点的直径，最短的弦是垂直于过该点的直径的那条弦，∵圆心(2,3)，定点(3,2)，直径的斜率为－1，∴最短的弦的斜率为1，故最短弦的方程为x －y －1＝0.∴m ＝－1.10．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方，得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2. 解得a ＝－34.故当a ＝－34时，直线l 与圆C 相切． (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎨⎧ CD ＝|4＋2a |a 2＋1，CD 2＋DA 2＝AC 2＝22，DA ＝12AB ＝2，解得a ＝－7或a ＝－1.∴直线l 的方程是7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.4．2.2 圆与圆的位置关系1．B 2.D 3.A4．C 解析：圆化为标准方程，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，(x ＋2)2＋(y －2)2＝9，∴圆心O 1(2，－1)，r 1＝2，O 2(－2,2)，r 2＝3.∵|O 1O 2|＝5＝r 1＋r 2，∴两圆外切．∴公切线有3条．5．D 6.A7．解：由已知两个圆的方程可得相交弦的直线方程为y ＝1a .利用圆心(0,0)到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪1a ，得⎪⎪⎪⎪1a ＝22－(3)2＝1，解得a ＝1或a ＝－1(舍)． 8．5－2 29．解：(1)将两圆方程C 1：x 2＋y 2－10x －10y ＝0与C 2：x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0相减，得2x ＋y －5＝0.∴公共弦所在直线的方程为2x ＋y －5＝0. (2)圆C 1：x 2＋y 2－10x －10y ＝0的标准方程为(x －5)2＋(y －5)2＝50，圆心为(5,5)，半径为5 2，圆心到直线2x ＋y －5＝0的距离为2 5，根据勾股定理和垂径定理，知公共弦长为2 30.10．(1)证明：将圆的方程整理，得(x 2＋y 2－20)＋a (－4x ＋2y ＋20)＝0，此方程表示过圆x 2＋y 2＝20与直线－4x ＋2y ＋20＝0的交点的圆系，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝20，4x －2y －20＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2. 故对任意实数a ，该圆恒过定点(4，－2)．(2)解：圆的方程可化为(x －2a )2＋(y ＋a )2＝5a 2－20a ＋20＝5(a －2)2.①若两圆外切，则2＋5(a －2)2＝5a 2，解得a ＝1＋55或a ＝1－55(舍)； ②若两圆内切，则|5(a －2)2－2|＝5a 2，解得a ＝1－55，或a ＝1＋55(舍)． 综上所述，a ＝1±55. 4．2.3 直线与圆的方程的应用1．D 解析：该圆的圆心(－a ，a )，在直线x ＋y ＝0上，故关于直线x ＋y ＝0对称．2．B 解析：圆心(0,0)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离d ＝|m |2＝m ，m ＝2. 3．C4．C 解析：由于直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相离，则1a 2＋b2>1，即a 2＋b 2<1， ∴P 在圆内．5．C 6.A7．A 解析：过原点的直线也满足条件．8．x ＋y －4＝09．D 解析：方法一：∵实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，∵记P (x ，y )是圆(x －2)2＋y 2＝3上的点，y x是直线OP 的斜率，记为k .∴直线OP ：y ＝kx ，代入圆的方程，消去y ，得(1＋k 2)x 2－4x ＋1＝0.直线OP 与圆有公共点的充要条件是Δ＝(－4)2－4(1＋k 2)≥0，∴－3≤k ≤ 3.方法二：同方法一，直线OP 与圆有公共点的条件是|k ·2－0|k 2＋1≤3，∴－3≤k ≤ 3. 10．解：(1)∵点P (a ，a ＋1)在圆上，∴a 2＋(a ＋1)2－4a －14(a ＋1)＋45＝0.解得a ＝4，∴P (4,5)．∴|PQ |＝(4＋2)2＋(5－3)2＝210，k PQ ＝3－5－2－4＝13. (2)∵圆心坐标C 为(2,7)，半径为2 2，∴|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝4 2.∴|MQ |max ＝4 2＋2 2＝6 2，|MQ |min ＝4 2－2 2＝2 2.(3)设点(－2,3)的直线l 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，方程m 2＋n 2－4m －14n ＋45＝0，即(m －2)2＋(n －7)2＝8表示圆．易知直线l 与圆方程相切时，k 有最值，∴|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2＝2 2.∴k ＝2±3. ∴k ＝n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. 4．3 空间直角坐标系4．3.1 空间直角坐标系1．C 解析：点P 的y 轴坐标为0，则点P 在平面xOz 上．2．B 解析：点P (a ，b ，c )关于x 轴的对称点为P ′(a ，－b ，－c )．3．B 4.B 5.B 6.C 7.B8．7 8 3 9.510．解：由图知，DA ⊥DC ，DC ⊥DP ，DP ⊥DA ，故以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． ∵E ，F ，G ，H 分别为侧棱中点，由立体几何知识可知，平面EFGH ∥底面ABCD ， 从而这4个点的竖坐标都为P 的竖坐标的一半，也就是b .由H 为DP 的中点，得H (0,0，b )．E 在底面ABCD 上的投影为AD 的中点，∴E (a,0，b )．同理G (0，a ，b )．F 在坐标平面xOz 和yOz 上的投影分别为点E 和G ，故F 与E 的横坐标相同，都是a ，点F 与G 的纵坐标也同为a ，又F 的竖坐标为b ，故F (a ，a ，b )．4．3.2 空间两点间的距离公式1．B 2.C 3.A 4.A 5.C6．以点(12，－3,5)为球心，半径长为6的球7．解：由题意设A (0，y,0)，则(y －1)2＋4＝5，得y ＝0或y ＝2，故点A 的坐标为(0,0,0)或(0,2,0)．8．直角 解析：因为|AB |2＝9，|BC |2＝9＋36＝45，|AC |2＝36，所以|BC |2＝|AB |2＋|AC |2，所以△ABC 为直角三角形．9.87解析：|AB | ＝(x －1)2＋(5－x －x －2)2＋(2x －1－2＋x )2＝14⎝⎛⎭⎫x －872＋57， 故当x ＝87时，|AB |取得最小值． 10．解：(1)假设在y 轴上存在点M ，满足|MA |＝|MB |.设M (0，y,0)，由|MA |＝|MB |，可得32＋y 2＋12＝12＋y 2＋32.显然，此式对任意y ∈R 恒成立．∴y 轴上所有点都满足关系|MA |＝|MB |.(2)假设在y 轴上存在点M ，使△MAB 为等边三角形．由(1)可知，y 轴上任一点都有|MA |＝|MB |，∴只要满足|MA |＝|AB |，就可以使得△MAB 是等边三角形． ∵|MA |＝10＋y 2，|AB |＝(1－3)2＋(0－0)2＋(－3－1)2＝20，∴10＋y 2＝20，解得y ＝±10.故y 轴上存在点M ，使△MAB 为等边三角形，点M 的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0)．。