九下数学【投影与视图】知识点汇总，尖子生也未必全会
九年级数学下册3投影与视图章末复习小结课件(新版)湘
3.三视图包括：正（主）视图、俯视图、 侧视图.
4.直棱柱的侧面展开图为矩形，圆锥的侧面展 开图为扇形.
注意事项
1.在平行投影中，如果投影线与投影面互相垂直，称为“正 投影”.当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影 不改变这个面的形状和大小，三视图就是根据这个原理来反 映物体的形状的.
2.三视图的位置有规定：俯视图在主视图的下边，左视图在主视图的右 边.
我思 我进步
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第三章 投影与视图
本章知识回顾
本章知识结 构
直棱柱、圆锥的侧面 展开图
立体图 形
（实物）
（光
投 影
照）
想象 Biblioteka 视 图平行投影（平行 光）
中心投影（点光 源）
正投 影
知识回顾
1.列举几个生活中常见的中心投影、平行投影的应用. 中心投影：灯泡、幻灯机、电影放映机等. 平行投影：探照灯、日晷等.
2.在平行投影中，如果投影线与投影面互相垂直，就称为 “正投影”. 当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与该面的 形状大小完全相同.
第29章 投影与视图小结 人教版数学九年级下册课时2课件(25张)
1 11 212
本题源自《教材帮》
深化练习
6.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六
边形，则该几何体的表面积为
.
本题源自《教材帮》
人教版-数学-九年级-下册
投影与视图
29 小结课
知识梳理-重点解析-深化练习
知识梳理
三 视 图
视图的概念
当我们从某一方向观察一个物体时， 所看到的平面图形叫做物体的一个 视图．
画法
长对正，高平齐，宽相等
看得见的部分轮廓线为实线，看不见 的部分轮廓线为虚线
应用 由三视图确定几何体的形状
知识梳理
主视图
重点解析
深化练习
1.湖南省第二次文物普查时，省考古研究所在冷水滩钱 家州征集到一个宋代“青釉瓜棱形瓷执壶”，如图所示， 该壶为盛酒器，瓷质，侈口，喇叭形长颈，长立把，则 该“青釉瓜棱形瓷执壶”的主视图是( D )
本题源自《教材帮》
深化练习
2.一个几何体的三视图如图所示，该几何体是( A ) A.直三棱柱 B.长方体 C.圆锥 D.立方体
1. 请根据下面提供的三视图，画出几何图形.
主视图 左视图 俯视图
重点解析
2. 如图所示是由若干个完全相同的小正方体搭成的几何 体的主视图和俯视图，则这个几何体可能是由 _6_或__7_或__8_ 个正方体搭成的.
1 1
至少有一处有3个
重点解析
重难点3：由三视图确定几何体的面积
如图是某圆锥的三视图，请根据图中尺寸计算该圆锥的 表面积 (结果保留3位有效数字).
知识梳理
4.三视图之间的关系
(1)位置关系：画三视图时，三个视图都要放在正确的位
置.主视图在左上边，主视图的正下方是俯视图，左视图
九年级数学下册 第29章 投影与视图小结课件下册数学课件
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、回顾思考
1.什么是中心投影、平行投影？什么是正投影？ 答：中心投影:由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影. 平投影线垂直于投影面产生的投影叫正投影. 行投影:由平行光线形成的是平行投影. 2.当平面图形分别平行、倾斜和垂直于投影面时，它的正投影有什么性质？
答：(1)当物体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相 同；当物体的某个面倾斜于投影面时,这个面的正投影与这个面的形状、大小不相同； 当物体的某个面垂直于投影面时,这个面的正投影是一条线段.
3.什么是三视图？它是怎样得到的？画三视图要注意什么？
答：对一个物体在三个投影面内进行正投影,在正面得到的由前向后观察物体的视图, 叫做主视图;在水平面内得到的由上到下观察物体的视图,叫做俯视图;在侧面内得到 的由左向右观察物体的视图,叫做左视图. 画三视图时要注意：（1）主视图在左上方，主视图的右边是左视图，主视图的下 边是俯视图；（2）主视图与俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，左视图与俯 视图宽相等；（3）看得见的部分的轮廓线画成实线,被其他部分遮挡而看不见的部 分的轮廓线画成虚线.
12/11/2021
一、回顾思考
4.举例说明立体图形与其三视图、展开图之间的关系. 答：立体图形与其三视图、展开图可以互相转化：（1）立体 图形从三个互相垂直的方向观看得到三视图，根据三视图可 以还原立体图形.（2）立体图形沿其表面剪开铺平得到其展开 图，将展开图按序围起来得到立体图形.（3）由三视图先得到 立体图形，进而得到其展开图；同理由展开图先得到立体图 形，进而得到其三视图. 如下图圆锥与其三视图、展开图之间的关系：
人教版九年级数学《投影与视图》(知识讲解及考点训练)
专题29.1 投影与视图（知识讲解）【学习目标】1.以分析实际例子为背景，认识投影和视图的基本概念和基本性质；2.通过讨论简单立体图形(包括相应的表面展开图)与它的三视图的相互转化，经历画图、识图等过程，分析立体图形和平面图形之间的联系，提高空间想象能力；3.通过制作立体模型的学习，在实际动手中进一步加深对投影和视图知识的认识，在实践活动中培养实际操作能力.【要点梳理】要点一、平行投影1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.2. 物高与影长的关系（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.即：.利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.要点诠释：1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻.2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.要点二、中心投影若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.要点诠释：光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.要点三、中心投影与平行投影的区别与联系1.联系：（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线.（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.2.区别：（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例.（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.要点诠释：在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题.要点四、正投影正投影的定义：如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.(1)线段的正投影分为三种情况.如图所示.①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等；②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长；③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示.①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等；②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似.③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分.(3)立体图形的正投影.物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等.要点诠释：(1)正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.(2)由线段、平面图形和立体图形的正投影规律，可以识别或画出物体的正投影.(3)由于正投影的投影线垂直于投影面，一个物体的正投影与我们沿投影线方向观察这个物体看到的图象之间是有联系的.要点五、三视图1.三视图的概念（1）视图从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图.（2）正面、水平面和侧面用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右边的面叫做侧面.（3）三视图一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.2.三视图之间的关系（1）位置关系三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，如图(1)所示.（2）大小关系三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示.要点诠释：物体的三视图的位置是有严格规定的，不能随意乱放.三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础.要点六、画几何体的三视图画图方法：画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：(1)确定主视图的位置，画出主视图；(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线.要点诠释：画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图.要点七、由三视图想象几何体的形状由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形.要点诠释：由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：(1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；(2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；(3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助；(4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法.【典型例题】类型一、投影的作图问题1．如何才能使如图所示的两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等，试画图说明．【答案与解析】(1)如图所示．可在同一方向上画出与原长相等的影长，此时为平行投影．(2)如图所示，可在两树外侧不同方向上画出与原长相等的影子，连结影子的顶点与树的顶点．相交于点P．此时为中心投影，P点即为光源位置．举一反三：【变式】与一盏路灯相对，有一玻璃幕墙，幕墙前面的地面上有一盆花CD和一棵树AB．晚上，幕墙反射路灯，灯光形成那盆花的影子DF，树影BE是路灯灯光直接形成的，如图所示，你能确定此时路灯光源的位置吗?【答案】作法如下：①连结FC并延长交玻璃幕墙于O点；②过点O作直线OG垂直于玻璃幕墙面；③在OC另一侧作∠POG＝∠FOG且交EA延长线于点P．P点即此时路灯光源位置，如图所示．类型二、投影的应用2．某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图（1），已测出树AB的影长AC为12米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．（1）求出树高AB；（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变．求树的最大影长．（用图（2）解答）【答案与解析】解：（1）AB=ACtan30°=12×=4（米）．答：树高约为4米．（2）如图（2），B1N=AN=AB1sin45°=4×=2（米）．NC1=NB1tan60°=2×=6（米）．AC1=AN+NC1=2+6．当树与地面成60°角时影长最大AC2（或树与光线垂直时影长最大或光线与半径为AB的⊙A相切时影长最大）AC2=2AB2=；类型三、由三视图描述物体的形状3．如图所示，这是个由小立方体搭成的几何体从上面看的视角，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，请画出从正面看和左面看的视图．【思路点拨】由已知条件可知，从正面看有4列，每列小正方数形数目分别为2，2，3，2；从左面看有2列，每列小正方形数目分别为3，2．据此可画出图形．【解析】解：如图所示：．类型四、三视图的有关计算4．某工厂要对一机器零件表面进行喷漆，设计者给出了该零件的三视图(如图所示)，请你根据三视图确定其喷漆的面积．【答案与解析】长方体的表面积为(30×40+40×25+25×30)×2＝5900(cm2)，圆柱体的侧面积为3.14×20×32＝2010(cm2)，其喷漆的面积为5900+2010＝7910(cm2)．举一反三：【变式】某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图(如图所示)，请你按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积(单位：mm)．【答案】由三视图可知，密封罐的形状是正六棱柱(如图(1)所示)．密封罐的高为50mm ，底面正六边形的对角线为100mm ，边长为50 mm ，如图(2)所示． 由展开图可知，制作一个密封罐所需钢板的面积为S ＝6×50×50+2×6×12×50×50×sin60°＝6×50°×1⎛+ ⎝⎭≈27990(mm 2)．。
人教版初中数学中考总复习：投影与视图--知识讲解
第十四讲投影与视图【考纲要求】1.通过实例了解平行投影和中心投影的含义及简单应用；2.会画基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图(主视图，左视图、俯视图)，能根据三视图描述基本几何体或实物的原型．【知识网络】【考点梳理】考点一、生活中的几何体1．常见的几何体的分类在丰富多彩的图形世界中，我们常见的几何体有长方体、正方体、棱柱体、棱锥体、圆柱体、圆锥体、球体、台体等．2．点、线、面、体的关系(1)点动成线，线动成面，面动成体；(2)面面相交成线，线线相交成点．要点诠释：体体相交可成点，不一定成线．3．基本几何体的展开图(1)正方体的展开图是六个正方形；(2)棱柱的展开图是两个多边形和一个长方形；(3)圆锥的展开图是一个圆和一个扇形；(4)圆柱的展开图是两个圆和一个长方形．考点二、投影1．投影用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在平面叫做投影面．2．平行投影和中心投影由平行光线形成的投影是平行投影；由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影．3．正投影投影线垂直投影面产生的投影叫做正投影．要点诠释：正投影是平行投影的一种．考点三、物体的三视图1．物体的视图当我们从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的视图．我们用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的叫做正面，正面下方的叫做水平面，右边的叫做侧面．一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图．要点诠释：三视图就是我们从三个方向看物体所得到的3个图象．2．画三视图的要求(1)位置的规定：主视图下方是俯视图，主视图右边是左视图．(2)长度的规定：长对正，高平齐，宽相等．要点诠释：主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽．【典型例题】类型一、三视图及展开图1．用大小和形状完全相同的小正方体木块搭成一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这样的一个几何体至少需要小正方体木块的个数为( )A．22 B．19 C．16 D．13【思路点拨】视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形.【答案】D；【解析】综合主视图和俯视图，这个几何体的底层最少有3+3+1=7个小正方体，第二层最少有3个，第三层最少有2个，第四层最少有1个，因此搭成这样的一个几何体至少需要小正方体木块的个数为：7+3+2+1=13个．故答案为：13．【总结升华】由三视图判断组成原几何体的小正方体的个数与由相同的小正方体构成的几何体画三视图正好相反．举一反三：【变式1】（秋•莲湖区校级期末）用小正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体最少需要正方体个．【答案】7.【解析】∵俯视图中有5个正方形，∴最底层有5个正方体；∵主视图第二层有2个正方形，∴几何体第二层最少有2个正方体，∴最少有几何体5+2=7．【变式2】下图是由几个相同的小正方体搭成的几何体从三个方向看到的图形，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（）个．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B.2．美术课上，老师要求同学们将如图所示的白纸只沿虚线剪开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部份围成一个立体模型，然后放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是（）A． B．C． D．【思路点拨】动手操作看得到小正方体的阴影部分的具体部位即可．【答案】B【解析】动手操作折叠成正方体的形状放置到白纸的阴影部分上，所得正方体中的阴影部分应紧靠白纸，故选B．【总结升华】用到的知识与正方体展开图有关，考察学生空间想象能力．建议学生在平时的教学过程中应结合实际模型将展开图的若干种情况分析清楚．举一反三：左面看正面看上面看【变式】如图所示的是以一个由一些相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图．设组成这个几何体的小正方体的个数为n，请写出n的所有可能的值．【答案】n为8，9，10，11．3．下列图形中经过折叠能围成一个棱柱的是（）A． B． C． D．【思路点拨】利用四棱柱及其表面展开图的特点解题．【答案】D；【解析】A、侧面少一个长方形，故不能；B、侧面多一个长方形，折叠后不能围成棱柱，故不能；C、折叠后少一个底面，不能围成棱柱；只有D能围成四棱柱．故选D．【总结升华】四棱柱的侧面展开图为四个长方形组成的大长方形．举一反三：【变式】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、BB1、BC的中点，沿EG、EF、FG将这个正方体切去一个角后，得到的几何体的俯视图是（）A． B． C． D．【答案】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．从上面看易得1个正方形，但上面少了一个角，在俯视图中，右下角有一条线段．故选B．类型二、投影有关问题4．如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m，塔影长DE=18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，求塔高AB的长.【思路点拨】过点D构造矩形，把塔高的影长分解为平地上的BD，斜坡上的DE．然后根据影长的比分别求得AG，GB长，把它们相加即可．【答案与解析】【解析1】解：如图1，过D作DF⊥CD，交AE于点F，过F作FG⊥AB，垂足为G．可得矩形BDFG．由题意得：．∴DF=DE×1.6÷2=14.4（m）．∴GF=BD=CD=6m．又∵．∴AG=1.6×6=9.6（m）．∴AB=14.4+9.6=24（m）．答：铁塔的高度为24m．图1 图2【解析2】如图2，作DG∥AE，交AB于点G，BG的影长为BD，AG 的影长为DE，由题意得：AG 1.6=DE2．∴AG=18×1.6÷2=14.4（m）．又∵BG 1.6=BD1．∴B G=1.6×6=9.6（m）．∴AB=14.4+9.6=24（m）．答：铁塔的高度为24m．【总结升华】运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，要求我们要具备数学建模能力（即将实际问题转化为数学问题）．类型三、投影视图综合问题5.用小立方体搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体最多要小立方体．【思路点拨】从正视图和侧视图考查几何体的形状，从俯视图看出几何体的小立方块最多的数目．【答案】17.【解析】解：由主视图可知，它自下而上共有3列，第一列3块，第二列2块，第三列1块．由俯视图可知，它自左而右共有3列，第二列各3块，第三列1块，从空中俯视的块数只要最低层有一块即可．因此，综合两图可知这个几何体的形状不能确定；如图，最多时有3×5+2×1=17块小立方体．故答案为17．【总结升华】本题考查简单空间图形的三视图，考查空间想象能力，是基础题，但很容易出错．6．（•永春县校级自主招生）如图是某中学生公寓时的一个示意图（每栋公寓均朝正南方向，且楼高相等，相邻两栋公寓的距离也相等）．已知该地区冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°，在公寓的采光不受影响（冬季正午最底层受到阳光照射）的情况下，公寓的高为AB，相邻两公寓间的最小距离为BC．（1）若设计公寓高为20米，则相邻两公寓之间的距离至少需要多少米时，采光不受影响？（2）该中学现已建成的公寓为5层，每层高为3米，相邻两公寓的距离24米，问其采光是否符合要求？（参考数据：取sin32°=，cos32°=，tan32°=）【思路点拨】（1）在直角三角形ABC中，已知AB利用锐角三角函数求得BC的长即可；（2）利用楼高求得不受影响时候两楼之间的距离与24米比较即可得到结果；【答案与解析】解：（1）∵在直角三角形ABC中，AB=20米，∠ACB=32°，∴=tan32°∴BC===32米，∴相邻两公寓之间的距离至少需要32米时，采光不受影响；（2）∵楼高=3×5=15米，∴不受影响时两楼之间的距离为15÷tan32°=24米，∵相邻两公寓的距离恰为24米，∴符合采光要求；【总结升华】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，做到学数学，用数学，才是学习数学的意义．7．如图，不透明圆锥体DEC放在直线BP所在的水平面上，且BP过底面圆的圆心，其高23m，底面半径为2m．某光源位于点A处，照射圆锥体在水平面上留下的影长BE=4m．（1）求∠B的度数；（2）若∠ACP=2∠B，求光源A距平面的高度．【思路点拨】（1）如下图所示，过点D作DF垂直BC于点F．由题意，得DF=23，EF=2，BE=4，在Rt△DFB中，tan∠B= DFBF，由此可以求出∠B；（2）过点A作AH垂直BP于点H．因为∠ACP=2∠B=60°所以∠BAC=30°，AC=BC=8．在Rt△ACH中，AH=AC•Sin∠ACP，所以可以求出AH了，即求出了光源A距平面的高度．【答案与解析】解：（1）过点D作DF垂直BC于点F．由题意，得DF=23，EF=2，BE=4．在Rt△DFB中，tan∠B=DF233==BF2+43，所以∠B=30°；（2）过点A作AH垂直BP于点H．∵∠ACP=2∠B=60°，∴∠BAC=30°，∴AC=BC=8，在Rt△ACH中，AH=AC•Sin∠ACP=38=432，即光源A距平面的高度为43m．【总结升华】本题考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，又让学生感受到生活处处有数学，数学在生产生活中有着广泛的作用．第十四讲投影与视图一、选择题1.下面四个几何体中，俯视图不是圆形的几何体的个数是（）.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，形状相同、大小相等的两个小木块放在一起，其俯视图如图所示，则其主视图是（）3．如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x 的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为（）4．（春•杭州校级月考）有一个底面为正三角形的直三棱柱，三视图如图所示，则这个直棱柱的侧面积为（）A．24 B．8 C．12 D．24+85．如图，是由若干个同样大小的立方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置立方体的个数，则这个几何体的主视图是（）6．如图是一个包装纸盒的三视图（单位：cm），则制作一个纸盒所需纸板的面积是（）A ．275(13)cm +B ．217513cm 2⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C ．275(23)cm + D ．217523cm 2⎛⎫+ ⎪⎝⎭二、填空题7.（•杭州模拟）一个直棱柱，主视图是边长为2的正方形、俯视图是边长为2的正三角形，则左视图的面积为 .8．如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C ，D 的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲、乙同学相距1米．甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是_________米．第8题 第9题 第10题9．如图，小明在A 时测得某树影长为2m ，B 时又测得该树的影长为8m ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________m ．10．如图是由大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和左视图，那么组成这个几何体的小正方体的个数最多为__________．11．如图是由棱长为1的正方体搭成的积木三视图，则图中棱长为1的正方体的个数是_________．12．如图，一根直立于水平地面上的木杆AB 在灯光下形成影子，当木杆绕点A 按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化．设垂直于地面时的影长为AC （假定AC ＞AB ），影长的最大值为m ，最小值为n，那么下列结论：①m＞AC；②m＝AC；③n＝AB；④影子的长度先增大后减小，其中正确结论的序号是___ _____．三、解答题13．学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时间，身高为1.6m的小明(AB)的影子BC长是3m，而小颖(EH)刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得HB＝6m．(1)请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；(2)求路灯灯泡的垂直高度GH；(3)如果小明沿线段BH向小颖(点H)走去，当小明走到BH中点B1处时，求其影子B1C1的长；当小明继续走剩下路程的13到B2处时，求其影子B2C2的长；当小明继续走剩下路程的14到B3处，……按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的11n到B n处时，其影子n nB C的长为________m(直接用含n的代数式表示)．14.（•东海县一模）现在各地房产开发商，为了获取更大利益，缩短楼间距，以增加住宅楼栋数．合肥市某小区正在兴建的若干幢20层住宅楼，国家规定普通住宅层高宜为2.80米．如果楼间距过小，将影响其他住户的采光（如图所示，窗户高1.3米）．（1）合肥的太阳高度角（即正午太阳光线与水平面的夹角）：夏至日为81.4度，冬至日为34.88度．为了不影响各住户的采光，两栋住宅楼的楼间距至少为多少米？（2）有关规定：平行布置住宅楼，其建筑间距应不小于南侧建筑高度的1.2倍；按照此规定，是否影响北侧住宅楼住户的全年的采光？若有影响，试求哪些楼层的住户受到影响？（本题参考值：sin81.4°=0.99，cos81.4°=0.15，tan81.4°=6.61；sin34.88°=0.57，cos34.88°=0.82，tan34.88°=0.70）15．某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图（1），已测出树AB的影长AC为12米，并测出此时太阳光线与地面成30°角．（2≈1.4，3≈1.7）（1）求出树高AB；（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变．（用图（2）解答）①求树与地面成45°角时的影长；②求树的最大影长．16.如图（1）是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm的正三角形，三个侧面都是矩形，现将宽为15cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD（如图（2）），然后用这条平行四边形纸带按如图（3）的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满．（1）请在图（2）中，计算裁剪的角度∠BAD ；（2）计算按图（3）方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度．【答案与解析】一、选择题1.【答案】A ；【解析】俯视图不是圆形的几何体只有正方体，所以选A.2.【答案】D ；【解析】只有D 答案体现了后排只有一层．3.【答案】A ；【解析】根据中心投影的性质，小亮的影长y 随x 逐渐变小再逐渐变大，且y 是x 的一次函数．4.【答案】C ；【解析】这个直棱柱的侧面积为：2×2×3=12．故选：C ．5.【答案】D ；【解析】根据俯视图可知主视图有两列，左边一列的最大高度为2，右边一列的高度是3，故选D ．6.【答案】C ；【解析】由三视图知此包装纸盒是一个正六棱柱，其全面积22356255675315075(23)cm 4S =⨯⨯⨯+⨯⨯=+=+． 二、填空题7．【答案】6；【解析】过A 作AD ⊥BC ，∵俯视图是边长为2的正三角形，∴BC=2，∠B=60°，∴AD=ABsin60°=2×=3，∵主视图是边长为2的正方形，∴左视图的面积为3×=6.8．【答案】6；【解析】设甲的影长AC＝x米，则乙的影长AD＝(x-1)米．根据同一时刻物高与影长成比例，可得1 1.51.8xx-=．解得x＝6(米)．9．【答案】4；【解析】如图，设树高CD＝h，在Rt△CEF中，由题意得ED＝2，FD＝8．由Rt△CDE∽△RFCD，可得CD EDDF CD=．即28CDCD=．∴ CD2＝16．故CD＝4m．即树的高度为4m．10．【答案】7：【解析】由主视图知几何体左右共两排，由左视图知几何体前后三排，且左排最高两层，所以组成这个几何体的小正方体的个数最多为7个．11．【答案】6；【解析】主视图能反映每一列的最大高度，左视图能反映每一行的最大高度，俯视图能反映行列数，由三视图可发现俯视图中行列的高度如图所示，则图中棱长为1的正方体的个数是1+1+1+1+2＝6（个）．12．【答案】①③④；【解析】如图所示．当AB转至AE时影长最大值m＝AD＞AC，当AB转至AB′时影长最小值；当AB转至AB′时影长最小值n＝AB，影子的长度先增大后减小，所以正确结论的序号是①③④．三、解答题13.【答案与解析】解：(1)如图：(2)由题意得△ABC ∽△GHC ． ∴AB BC GH HC =． ∴1.6363GH =+． ∴GH ＝4.8m ．(3)∵△A 1B 1C 1∽△GHC 1，∴11111A B B C GH HC =．设B 1C 1长为xm ， 则1.64.83x x =+．解得32x =，即B 1C 1=32m ． 同理22221.64.82B C B C =+，解得221m B C =，31n n B C m n =+．14.【答案与解析】解：（1）如图所示：AC 为太阳光线，太阳高度角选择冬至日的34.88度，即∠ACE=34.88°，楼高AB 为2.80×20=56米，窗台CD 高为1米；过点C 作CE 垂直AB 于点E ，所以AE=AB ﹣BE=AB ﹣CD=55米；在直角三角形ACE 中，由tan∠ACE=，得：BD=CE= 即两栋住宅楼的楼间距至少为78.6米．（2）利用（1）题中的图：此时∠ACE=34.88°，楼高AB 为2.80×20=56米，楼间距BD=CE=AB×1.2=67.2米；在直角三角形ACE 中，由tan∠ACE=，得：AE=CE×tan∠ACE=67.2×0.70=47.04m则CD=BE=AB ﹣AE=8.96m而 8.96=2.8×3+0.56，故北侧住宅楼1至3楼的住户的采光受影响，4楼及4楼以上住户不受影响．15.【答案与解析】解：(1)AB ＝ACtan30°＝12×3433=≈7(米)．(结果也可以保留一位小数，下同) 答：树高约7米．(2) 解析：①在Rt △ABC 中，AB ＝ACtan30°；②过B 1作B 1N ⊥AC 1，在Rt △AB 1N 和Rt △B 1NC 1中分别求AN 和NC 1．当树与地面成60°角时影长最大(如图AC 2)①如图，B 1N ＝AN ＝ABsin 45°＝2432⨯≈5(米)．NC 1＝NB 1tan60°＝263⨯≈8(米)．AC 1＝AN+NC 1＝5+8≈13(米)．答：树与地面成45°角时影长为13米．②如图，当树与地面成60°角时影长最大，为AC 2＝2AB 2≈14(米)(或树与光线垂直时影长最大或光线与半径为AB 的⊙A 相切时影长最大)16.【答案与解析】解析：(1)观察图(3)的包贴方式知AB 的长等于三棱柱的底面周长，则AB ＝30．由AM ＝15可以求出∠ABM ＝30°．由AD ∥BC 求出∠BAD ＝∠ABM ＝30°．(2)可将三棱柱的侧面展开，利用平面图形计算MC 的长．解：(1)由图(3)的包贴方法知：AB 的长等于三棱柱的底面周长，∴AB ＝30．∵纸带宽为15，sin ∠DAB ＝sin ∠ABM ＝151302AM AB ==， ∴∠DAB ＝30°．(2)在图(3)中，将三棱柱沿过点A 的侧棱剪开，得到如图甲的侧面展开图，将图甲中的△ABE 向左平移30 cm ，△CDF 向右平移30 cm ，拼成如图乙中的平行四边形ABCD ， 此平行四边形即为图(2)中的平行四边形ABCD ．由题意，知：BC ＝BE+CE ＝2CE ＝2×403cos30CD =°∴所需矩形纸带的长为MB+BC ＝30·cos30°+403553=．。
人教版初中九年级下册数学课件 《投影》投影与视图教学课件
3、阳光下旗杆影子长5米，一会儿旗杆影子变长
了，这种现象发C生在（ ）。
A、上午
B、中午
C、下午
4、一天中，阳光下物体的影子B（ ）最短。
A、早晨
B、正午 C、傍晚
第 26 页
练所获之 理5.(2019年成都中考） 把一个正五棱柱如图摆
放，当投射线由正前方射到后方时，它的B正投
影是（ ）
A
.
B.
C.
中心投影
投 影
平行投 影
正投 影
投影线互相平行， 且斜着照射投影 面
探数学新
第 20 页
知如图，把一根直的细铁丝 (记为线段AB) 放在三个不同位
置. (1) 铁丝平行于投影面；(2)铁丝倾斜于投影面；
(3) 铁丝垂直于投影面 (铁丝不一定要与投影面有交 点). 三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？
DC
AB
DC
''
β
A'
B '
第 22 页
D
A DBC C
A
B
D C D'(C
''
')
A' B A'(
' B')
理所获新 知
不同
位置 物体平行于投影
物体
面
物体倾斜于投影 面
物体垂直于投 影面
线段
形状、大小 不变（全等）
大小变化
点
面
形状、大小 形状、大 不变（全等） 小均变化
线
第 23 页
练所获之
理 例 画出如图摆放的正方体在投影面P上的正投
人教版数学 九年级下册
29.1 投影
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九下数学【投影与视图】知识点汇总，尖子生也未必全会
为了同学们更好的掌握知识，王老师专门整理了初中所有科目的知识点，帮同学们把各个科目里最精华的部分归纳起来，并且是准备了一些真题，让大家在复习后可以刷题巩固。
今天和大家分享的是九下数学【投影与视图】知识点汇总，有需要的同学可以做起来了。
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投影与视图
A）三视图
·主视图——从正面看到的图左视图——从左面看到的图俯视图——从上面看到的图
·画物体的三视图时,要符合如下原则:大小：长对正,高平齐,宽相等.
·虚实:在画图时,看的见部分的轮廓通常画成实线,看不见部分的轮廓线通常画成虚线.
B）投影
·物体在光线的照射下,会在地面或墙壁上留下它的影子,这就是投影现象.
·太阳光线可以看成平行光线,像这样的光线所形成的投影称为平行投影。
·在同一时刻,物体高度与影子长度成比例.
·物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线(垂直于投影面的平行光线)下的平行投影.
·探照灯,手电筒,路灯,和台灯的光线可以看成是从一点出发的光线,像这样的光线所形成的投影称
为中心投影
·皮影和手影都是在灯光照射下形成的影子.它们是中心投影。
C）视点、视线、盲区的定义以及在生活中的应用。
. 眼睛所在的位置称为视点，
. 由视点发出的光线称为视线，
. 眼睛看不到的地方称为盲区
一、重点清单
1. 明确常见几何体的展开图，通过几何体的展开与折叠，体会平面图形与立体图形之间的关系。
2. 三视图是中考必考热点，一般考查由物体确定视图，由视图确定物体较少见，抓住三视图从三个方向观看这个特点，发挥空间想象力，便可做出准确判断。
二、提分策略
1. 图形的展开与折叠。
常见几何体的展开与折叠：①棱柱的平面展开图是由两个相同的多边形和一些长方形组成，按棱柱表面不同的棱剪开，可能得到不同组合方式的平面展开图，特别关注正方体的表面展开图；②圆柱的平面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成的；③圆锥的平面展开图是由一个圆形和一个扇形组成的。
【例】如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是( )。
【解析】将A，B，C，D分别展开，能和原图相对应的即为正确答案。
A项展开得到
，不能和原图相对应；B项展开得到
，能和原图相对应；C项展开得到
，不能和原图相对应；D项展开得到
，不能和原图相对应，所以选B。
2. 几何体的三视图。
三个视图是分别从正面、左面、上面三个方向看同一个物体所得到的平面图形，要注意用平行光去看。
画三个视图时应注意尺寸的大小，即三个视图的特征：主视图(从正面看)体现物体的长和高，左视图体现物体的高和宽，俯视图体现物体的长和宽。
【例】如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是( )。
A. 3个或4个或5个
B. 4个或5个
C. 5个或6个
D. 6个或7个【解析】本题考查由三视图判断几何体，主要考查了考生的空间想象能力以及三视图的相关知识。
左视图与主视图相同，可判断出底面最少有2个小正方体，最多有4个小正方体，而第二行则只有1个小正方体，则这个几何体的小立方体可能有3个或4个或5个，A项正确。
根据这个思路可判断出该几何体有3个或4个或5个小立方体。
本题最大误区在于：判断不出左视图与主视图相同时最多有多少个小正方体，最少有多少个小正方体。
【例】如图(1)，是由6个棱长为1个单位的正方体摆放而成的，将正方体A向右平移2个单位，向后平移1个单位后，所得图(2)所示
几何体的视图( )。
A. 主视图改变，俯视图改变
B. 主视图不变，俯视图不变
C. 主视图不变，俯视图改变
D. 主视图改变，俯视图不变
【解析】此题考查了简单组合体的三视图，掌握主视图及俯视图的观察方法是解答本题的关键，主视图是从正面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形，结合图形即可作出判断。
只有熟练掌握三种视图的画法，本题才不会出现误判。
根据图形可得：图(1)及图(2)的主视图一样，俯视图不一样，即主视图不变，俯视图改变。
所以选择C。
END。