[选修2-1]·[2命题与基本逻辑连接词] · [提高] · [知识点+典型例题]·[教师版]

命题与基本逻辑连接词 知识讲解 一、命题及其关系 1.命题的定义 定义：我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫假命题． 注意：并不是任何语句都是命题，只有能判断真假的语句才是命题．一般来说，疑问句，祈使句，感叹句都不是命题，但是反义疑问句是命题．如：a．“这是一棵大树”；b．“2x”；c．“三角函数是周期函数吗？”，“但愿每一个三次方程都有三个根”，“指数函数的图像真漂亮！”d．125“”，“6=2”，“”是无理数；e．“每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和”（歌德巴赫猜想）；“在2010年前，将有人登上火星” 2.命题的结构 结构：数学中，具有“若p，则q”这种形式的命题是常见的，我们把这种命题中的p称为命

题的条件，q称为命题的结论． 3.命题的四种形式 形式：一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p

和q来表示p和q的否定，

于是四种命题的形式就是：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；否命题：如果p，则q；逆否命题：如果q，则p．

注意：关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以如下表述： (1) 交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题．如：同位角相等，两直线平行．它的逆命题就是：两条直线平行，同位角相等． (2) 同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题如上例的否命题是：同位角不相等，两直线补平行． (3) 交换原命题的条件个结论，并同时否定，所得的命题是逆否命题．如上例：两条直线不平行，同位角不相等． 4.四种命题的相互关系 (1).四种命题以及它们之间的关系

1) .原命题为真，它的逆命题不一定为真；如：原命题“若0a，则0ab”是真命题，它的逆命题“若0ab，则0a”是假命题． 2) .原命题为真，它的否命题不一定为真；如：原命题“若0a，则0ab”是真命题，它的否命题“若0a，则0ab”是假命题． 3) .原命题为真，它的逆否命题一定为真；如：原命题“若0a，则0ab”是真命题，它的否命题“若0ab，则0a”是假命题． 4) .互为逆否的命题是等价命题，它们同真同假， 综上所述：在一个命题的四种命题中，真命题的个数要么是0个，要么是2个，要么是4个． 四种情况：

(2) 四种命题它们之间的等价关系 关系：互为逆否命题是互为等价命题（即真假相同），而其它的命题不是互为等价命题（即

真假不一定相等）．这一等价性，可以从集合的角度来解释：设()Axpx，即使命题p为

否逆

为互逆为互否互否互逆互否

互逆

如果非q,则非p如果非p,则非q如果 q,则 p如果 p,则 q

原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 假 真的对象所组成的集合，B=()xqx，因此由pq可知AB， UUCACB,即pq，反过来，若pq，即UUCACB，AB，即pq 5.命题的否定与否命题的区别 (1) 若命题为“若p，则q”，则其命题的否定：“若p，则q”，而其否命题是：“若p，则q”．

(2) 常见的一些词语和它的否定词语对照表 原词语 等于（=） 大于() 小于() 是 都是 至多有一个 否定词 不等于（） 不大于() 不小于() 不是 不都是 至少有两个 原词语 至多有n个 至少有一个 任意的 能 p或q 否定词语 至少1n个 一个也没有 某个 不能 p且q 二、基本逻辑连接词 1． “且”“或”“非”的概念 (1) 且 定义：一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作pq，

读作“p且q”．逻辑联结词“且”与日常语言中的“并且”、“及”、“和”相当．可以用“且”定义集合的交集：{|()()}ABxxAxB．

判断命题pq的真假: 当pq、都为真命题，pq就为真命题；当pq、两个命题中只要有一个命题为假命题，pq 就为假命题．

(2) 或

定义：一般地，用逻辑联结词“或”把命题p或q联结起来，就得到一个新命题，记作pq，

读作“p或q”．逻辑联结词“或”的意义和日常语言中的“或者”相当．可以用“或”定义集合的并集：{|()()}ABxxAxB．

判断命题pq的真假: 当pq、两个命题中，只要有一个命题为真命题时，pq为真命题；当pq、两个命题都为假命题，pq为假命题 (3) 非 定义：一般地，对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作p，读作“非p”或“p的否定”．逻辑联结词“非”（也称为“否定”）的意义是由日常语言中的“不是”“全盘否定”“问题的反面”等抽象而来．有()pp成立．可以用“非”来定义集合A在全集U中的补集：{|()}{|}UAxUxAxUxAð． 判断p命题的真假： p和p不能同真同假，其中一个为真，另一个必定为假．

2.复合问题的真值表：

三、量词 1、全称量词 定义：短语“对所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”表示，含有全称

量词的命题，叫做全称命题． 全称命题的否定：全称命题 q：xA，()qx；它的否定是 q：xA，()qx．将

全称量词变为存在量词，再否定它的性质． 2、存在量词 定义：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常用叫做参在量词，用符号“”表示，含有

存在量词的命题，叫做特称命题． 存在性命题的否定：存在性命题 p：xA，()px；它的否定是 p：xA，()px．

将存在量词变为全称量词，再否定它的性质． 3、全称命题与存在性命题不同的表达方法 命题 全称命题xA，()px 存在性命题“xA，()px”

表 述 方

①所有的xA，()px成立 ①存在xA，使()px成立 ②对一切xA，()px成立 ②至少有一个xA，使()px成立 ③对每一个xA，()px成立 ③对有些xA，使()px成立

p q pq pq p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 法 ④任选一个xA，使()px成立 ④对某个xA，使()px成立 ⑤凡xA，都有()px成立 ⑤有一个xA，使()px成立 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

1 典型例题

一．解答题（共16小题） 1．（2017秋•西乡县期末）已知命题p：方程

表示焦点在y

轴上的椭圆， 命题q：双曲线 的离心率e∈（1，2），若p，q只有一个为真， 求实数m的取值范围． 【解答】解：若命题p：方程

表示焦点在y轴上的椭圆为真

命题， 则﹣（m﹣1）＞2m＞0，

解得：m∈（0， ）， 若命题q：双曲线 的离心率e∈（1，2）为真命题，

则

， ，

解得：m∈（0，15）， 若p，q只有一个为真，则p真q假，或p假q真， 当p真q假时，不存在满足条件的m值，

当p假q真时，m∈[ ，15） 则m∈[ ，15）

2．（2017秋•薛城区期末）已知命题P：方程：

表示焦点在y

轴上的椭圆，命题q：双曲线 的离心率 ， ，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求m的取值范围． 【解答】解：若P真，则有9﹣m＞2m＞0即0＜m＜3 若q真，则有m＞0且e2= ， ，解得 ＜ ＜ ； 因为p或q为真命题，P且q为假命题，则P，q一真一假． ①若P真q假，则0＜m＜3，且m≥5或m 即0＜m ， ②若P假q真，则m≥3或m≤0且 ＜ ＜ ，即3≤m＜5， 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 2 综上，实m的取值范围是0＜m 或3≤m＜5．

3．（2018春•宜昌期末）已知p：x2+mx+1=0有两个不等的负根，q：4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．

【解答】解：当p为真命题时， ＞ ＜ ＞ ，∴m＞2． 当q为真命题时，△=42（m﹣2）2﹣16＜0，∴1＜m＜3． 若“p或q”为真，“p且q”为假，则p、q一真一假，即，p真q假或p假q真， ①若p真q假，

∴ ＞ 或 ，∴m≥3． ②若p假q真， ∴ ＜ ＜ ，∴1＜m≤2． 综上m的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．

4．（2017秋•林芝县校级期末）写出下列命题的否定． （1）命题“存在一个三角形，内角和不等于180°” （2）命题“∀x∈R，|x|+x2≥0” 【解答】（本小题（10分），每小题5分） 解：（1）特称命题的否定是全称命题， 所以，命题“存在一个三角形，内角和不等于180°”的否定是所有三角形，内角和都等于180°． （2）全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是：∃x∈R，|x|+x2＜0．

5．（2017秋•郊区校级期末）（Ⅰ）已知命题p：函数f（x）=（2a﹣5）x是R上的减函数； 命题q：在x∈（1，2）时，不等式x2﹣ax+2＜0恒成立，若p∨q是真命题，求实数a的取值范围； （Ⅱ）设条件p：2x2﹣3x+1≤0，条件q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢