全国高中物理竞赛机械能

【基本内容】 一、 功和功率

1、恒力的功：如果一个恒力F作用在一个质点上,质点发生的位移为S,则力在这段位移上

所做的功为cosWFS,式中是F和S之间的夹角． 2、变力的功 质点在变力F的作用下沿曲线从点a运动到点b的有限过程中,力F做的功为

cosbbaaAFdrFds

3、几种常见力的功 （1）重力的功21()Wmghh

（2）弹力的功22121122Wkxkx （3）万有引力的功21GMmGMmWrr 4、功率：作用在物体上的力在单位时间内所做的功称为功率,即WPt． 某时刻的瞬时功率cosPFv,式中v为某时刻的瞬时速度,为v与F的夹角． 二、动能和动能定理 1、物体由于运动而具有的能量,叫做动能．

质点的动能为 2k12Emv；质点系的动能为212kiiEmv．

2、质点动能定理：合外力对质点所做功的代数和等于质点始末状态下动能的增量,即

2122211122KKAEEmvmv

外．

3、质点系动能定理：作用在质点系的全部外力对系统所做的功及系统内各质点相互作用力（内力）的功的代数和等于该质点系的总动能的增量,即

2122211122KKiiiiiiAAEEmvmv外内． 三、保守力与势能 1、做功与路径无关的力称为保守力．以保守力相互作用的物体系统,在一定的位置状态下所具有的能量称作势能．常见的几种保守力如重力、弹力、万有引力 2、系统内有保守力,它是势能存在的前提,系统内有某种保守力,就存在与之对应的某种势能．力学中常见的势能有三种形式： 





引力势能———弹力势能—重力势能———CrmMGCkxCmghEP

2

2

1

式中,C为任意常数,当选定势能零点后,C为确定值（也可能为零） 保守力的功只取决于受力质点的始、末位置,而与路径无关．亦即沿任意闭合路径,保守力对

质点所做的功为零,即0lFdl保. 四、功能原理和机械能守恒 1、功能原理：物体系在一过程中机械能的增量,等于该过程中外力做功与非保守力做功的总和,即

221121PPA()()KKAEEEEEE外非保守

2、机械能守恒定律 一个物体系统,如果只有保守内力做功,而其他非保守内力及外力都不做功,则该物体系

的机械能不变,即当 000AAEE外非守，时，常数 五、碰撞 如果两个物体（球）在碰撞前后的速度都在其中心连线上,这种碰撞成为正碰（或对心碰撞）；否则就叫斜碰．在正碰和斜碰中,根据动能的变化情况,可分为完全弹性碰撞（常见成为“弹性碰撞”）、非完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞． 1、 完全弹性碰撞 如果两个物体（球）在一水平面上作完全弹性碰撞,这时相互碰撞的两个物体（球）组成的系统不仅动量守恒,而且能量守恒,即有

1102201222mvmvmvmv

10202222221212

1111

2222mvmvmvmv

2、 非完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞 一般情况下,两个物理碰撞时总要损失一部分能量,这叫做非完全弹性碰撞．对非完全弹性碰撞动量守恒仍成立,但系统动能不守恒．如若两物理在碰撞后以同一速度运动,并不分开,这叫做完全非弹性碰撞． 3、 恢复系数

定义为两物体碰后的分离速度（21vv）与碰前的接近速度（1020vv）的比值,即

211020vvevv,e的值在0和1之间．若1e,则为完全弹性碰撞；01e,则为非完全弹性

碰撞；0e,则为完全非弹性碰撞． 【例题】 例1 如图所示,一质量为M、长为L带薄挡板P的木板,静止在水平的地面上,设木板与地面间的静摩擦系数与滑动摩擦系数相等,皆为．质量为m的人从木板的一端由静止开始相对于地面匀加速地向前走向另一端,到达另一端时便骤然抓住挡板P而停在木板上．已知人与木板间的静摩擦系数足够大,人在木板上不滑动．问：在什么条件下,最后可使木板向前方移动的距离达到最大？其值等于多少？ 解：在人从木板的一端向另一端运动的过程中,先讨论木板发生向后运动的情形,以t表

示人开始运动到刚抵达另一端尚未停下这段过程中所用的时间,设以1x表示木板向后移动的距离,如图预解18-5所示．以f表示人与木板间的静摩擦力,以F表示地面作用于木板的摩擦力,以1a和2a分别表示人和木板的加速度,则

1fma （1）

211

1

2Lxat （2）

2fFMa （3）

212

1

2xat （4）

解以上四式,得 2()LMmtMfmfF

 （5）

对人和木板组成的系统,人在木板另一端骤然停下后,两者的总动量等于从开始到此时地面的摩擦力F的冲量,忽略人骤然停下那段极短的时间,则有 ()FtMmv （6）

v为人在木板另一端刚停下时两者一起运动的速度．设人在木板另一端停下后两者一起向前

移动的距离为2x,地面的滑动摩擦系数为,则有

22

1

()()2MmvMmgx （7）

木板向前移动的净距离为 21Xxx （8）

由以上各式得 21()()()()FLMmLm

XfFgMmMmfFMFMfmfF



由此式可知,欲使木板向前移动的距离X为最大,应有 fF （9）

即 max()fFMmg （10） 即木板向前移动的距离为最大的条件是：人作用于木板的静摩擦力等于地面作用于木板的滑 动摩擦力． 移动的最大距离

maxmXLMm

 （11）

由上可见,在设木板发生向后运动,即fF的情况下,fF时,X有极大值,也就是说,在时间0～t内,木板刚刚不动的条件下X有极大值． 再来讨论木板不动即fF的情况,那时,因为fF,所以人积累的动能和碰后的总动能都将

变小,从而前进的距离x也变小,即小于上述的maxX 例2 一辆火车质量为M,在额定功率推动下行驶,阻力恒定．火车经过时间t,前进距离s,使速度0v从达到最大值mv,求火车的额定功率P和所受阻力f． 解：由题给出的火车初、末态的速度,即可确定火车动能的增量 2201122kmEMvMv

在此过程中,火车受到牵引力F和阻力f的共同作用．写出这两个力在此过程中所做的功,就可以写出动能定理． 阻力在此过程中做的功,表达为

fWfs

牵引力F是变力,它在此过程中做的功可以通过功率写出 FWPt 因此,动能定理可以写成 2201122mPtfsMvMv

（1）

此式有两个未知量：P和f,再找依个 方程．考虑到,当火车速度达最大时,火车加速度为零,此时,火车的最大牵引力等于阻力,即 mFf 功率表示为 mmmPFvfv （2）

联立式（1）和（2）,解出火车的额定功率P和所受阻力f为

22022011221122mm

mm

sPMvMvtvfMvMvvts







例3 如图（a）所示,在航天飞船上,有一个长度20cml的圆筒,绕着与筒的长度方向垂

直的轴'OO以恒定的转速100rmin旋转,筒的近轴端离开轴线'OO的距离为 10cmd,筒内装满非常粘稠、密度为31.2gcm的液体．有一颗质量为'1.0mgm、

密度为3'1.5gcm的粒子从圆筒的正中部释放（释放时粒子相对于圆筒为静止）． a）试问该粒子在到达筒端的过程中克服液体的粘稠阻力所做的功．

b如果这个粒子的密度是3''1.0gcm,其他条件均不变,则粒子在到达筒端的过程中克服粘滞阻力所做的功又是多少？ 解：（1）设该粒子的体积为V,它离开转轴的距离为r．现设圆筒中都是液体,那么在粒子位置上的液滴在旋转参照系里应当是平衡的．它在水平方向上受到两个力的作用如图（b）所示,其中惯性力

2FmaVr

'F是周围液体对该液滴的作用力,'FF．

实际上,占有该体积的是密度为'的粒子．对它来说'F是不会变的,但F却变大了,因此该粒子无法平衡,将缓缓地向管外端移动．在移动的过程中,它还将受到周围液体的粘滞阻力f的作用．因液体非常粘稠,粒子移动得很缓慢,因此仍可将它看成是受力平衡的,即 ''2FfVr

'2fVr

在粒子由管子中央向外端移动的过程中,f随着r线性增大,因此其做的负功为



1'2

263370.20.30.1021.01021.51.2101000.250.11.510605.510JWfsV















（2）如果粒子的密度小于液体的密度,那么根据与以上相同的分析,在管子旋转地时候,粒子将向转轴方向缓慢移动,此时粘滞阻力向外,做的仍然是负功．





''22

263370.10.20.1021.01021.21.0101000.150.11.010603.310JWV















粒子克服粘滞阻力做的功和粘滞阻力做的负功大小是一样的,但却是正功．

dOl

'O

(a)

'm

FFr

(b)