上海数学中考压轴题几何背景探究

上海市中考数学压轴题几何背景探寻近几年来，全国各省市的数学中考压轴题大部分都有一个很明确的几何背景，今年的上海市中考数学压轴题也是如此。

背景1：如图点P是正方形ABCD对角线上任意一点。

求证：PA＝PC
证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝CB，∠ABP＝∠CBP＝
45
又∵BP＝BP
⇒△ABP≌△CBP⇒PA＝PC
背景2：接上题，以P为圆心，以PA为半径画弧交AB（或AB的延长线）于点Q。

求证：PQ⊥PC
证明：∵PA＝PQ⇒∠1＝∠3
又∵△ABP≌△CBP⇒∠1＝∠2
⇒∠1＝∠2＝∠3
而：∠3＋∠4＝
180⇒∠2＋∠4＝
180
又∵∠QBC＝
90
∴∠QPC＝
90⇒PQ⊥PC
当点Q在AB的延长线上时，
∵∠2＝∠3；∠4＝∠5⇒△BQH∽△CPH
∴∠QPC＝
90⇒PQ⊥PC
背景3：反过来，若将一个直角顶点放在正方形的对
角线上移动，一条直角边过点C ，另一条直角边与
正方形的边（或边的延长线）AB交于点Q。

求证：
PQ＝PC
证明：过P作MN平行于BC交AB、CD于M、N
∵∠1＋∠QPC＝∠2＋∠PNC⇒∠1＝∠2
又∵∠MBP＝
45⇒MP＝MB＝NC
而∠QMP＝∠PNC＝
90⇒△QMP≌△PNC⇒PQ＝PC
M
C
M
C
从上述的几个背景看出，当∠QPC ＝
90时，一定有PQ ＝PC ，即AB
AD PC
PQ =
；但反过来
当
AB
AD PC
PQ =
，即PQ ＝PC 时，因为有PA ＝PC 时∠APC ＝
90不一定成立，所以∠QPC
＝
90不一定能够成立。

下面我们将背景弱化：
背景4：若将一个直角顶点放在长方形的对角线上移动，一条直角边过点C ，另一条直角边与长方形的边（或边的延长线）AB 交于点Q 。

求证：
AB
AD PC
PQ =
证明：易证：△QMP ∽△PNC
⇒
AB
AD MB
MP NC
MP PC
PQ ===
背景5：如图，矩形ABCD 的AB ＝a ，AD ＝b ，点P 在对角线BD 上运动，点Q 在射线AB 上运动，若AB
AD PC
PQ =
，试探索a ，b 满足什么条件时，会
有PQ ⊥PC 探索：正常情况下，
NC
MP MB
MP AB
AD PC
PQ =
==
⇒△QMP ∽△PNC ⇒∠QPC ＝
90⇒ PQ ⊥PC
但若点Q 关于MN 的对称点1Q 也在射线AB 上时，如同上述背景一样，连P 1Q ，∠1Q PC ＝
90就不一定成立了。

这里：
a
b PC PQ PN
MQ ==；
a
b CD
BC AM
PN DN
PN =
=
=
两式相乘：
12
2≤=
a
b AM
MQ
b a b a b a
b
≤⇒≤-+⇒≤-⇒0))((02
2
从这两个背景看出，当∠QPC ＝
90时，一定有
AB
AD PC
PQ
=；AB
AD PC
PQ =时，∠QPC ＝
90若遇到b ＞a 时就一定能成立。

背景6：如图四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，∠ABC ＝
90，若将一个直角顶点放在对角线BD 上移动，一条直角边过点C ，另
M
一条直角边与腰AB （或AB 的延长线）交于点Q 。

求证：AB
AD PC
PQ =
证明：易证：△QMP ∽△PNC
⇒
AB
AD MB
MP NC
MP PC
PQ ===
背景7：如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，∠ABC ＝
90， AB ＝a ，BC ＝b ，AD=x,点P 在对角线BD 上运动，点Q 在射线AB 上运动，若AB
AD PC
PQ =
，试探索x 与a 、b 之间
应该满足什么条件时，一定会有PQ ⊥PC 探索：正常情况下，
NC
MP MB
MP AB
AD PC
PQ =
==
⇒△QMP ∽△PNC ⇒∠QPC ＝
90⇒ PQ ⊥PC
但若点Q 关于MN 的对称点1Q 也在射线AB 上时，如同上述背景一样，连P 1Q ，∠1Q PC ＝
90就不一定成立了。

所以这里我们应该关注当点1Q “最低”时点P 的位置，其实无论AD 边的长度如何要使得点1Q 的位置“最低”，那么点P 的位置只能与点B 重合。

这时△Q 'DP ∽△PQC ，且P Q '＝PQ b
a
x b a a
x 2
=
⇒=⇒
又∵
AB
AD PC
PQ =
，而当AD ＞
b
a
2
时，在AB 、BC 都是定值的情况下，PQ 也就变大了，
C
即Q '点就不在射线AB 上了（而是在射线BA 上了），那样∠Q 'PC ＝
90就一定成立了
所以结论就是当AD ＞b
a
2
时，∠Q 'PC ＝
90一定成立
09上海市中考数学压轴题：
25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）
已知9023A B C A B B C A D B C P ∠===°，，，∥，为线段B D 上的动点，点Q 在射线A B 上，且满足
P Q A D P C
A B
=
（如图8所示）．
（1）当2A D =，且点Q 与点B 重合时（如图9所示），求线段P C 的长； （2）在图8中，联结A P ．当32
A D =
，且点Q 在线段A B 上时，设点B Q 、之间的距离
为x ，
A P Q P
B C
S y S =△△，其中A P Q S △表示A P Q △的面积，P B C S △表示P B C △的面积，求y 关
于x 的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）当AD AB <，且点Q 在线段A B 的延长线上时（如图10所示），求Q P C ∠的大小．
第一步：对所给的主条件进行分析，做“先期准备”，我们发现当“点P 为线段B D 上的动点，点Q 在射线A B 上，且满足
P Q A D P C
A B
=（如图8所示）”时，一定有∠QPC ＝
90
A
D P
C
B
Q 图8
D
A
P
C
B
（Q ） 图9
图10
C
A
D
P B Q
第二步：做第一小题时，我们知道AD ＝AB 时一定有PB ＝PC ，又因为有∠BAD ＝
90
9045
45
459045
＝＝－＝＝BPC PCB PBC ABD ∠⇒=∠⇒∠⇒∠⇒
又∵BC ＝32
232
3=
=
⇒PC 。

出题者的本意是想给同学一个∠QPC
＝
90的提示的。

但是这个提示不明显，直接影响了后面的作图和解决问题，第一小题“铺垫”的目的没有很好地达到。

第三步：第二小题的条件在主条件上加了一个
3
2A D =
，所以我们还要对
这个图形单独地做个分析：这是的△ADB 和△PQC 都是3︰4︰5的直角三角形，因为BC ＝2AD ，也容易证明△DBC 为等腰三角形，DC ＝DB 等等。

第四步：画出所有运动状态，在“极限图形”中求出x 等于多少？y 存在还是不存在？ 要注意这里的“点P 为线段B D 上的动点，点Q 在线段A B 上”，所以有三个图：
在图1中x ＝0，y 是存在的，在图3中8
154
32
543=⇒=
⇒
==PQ PQ AB
AD PC
PQ
而878
98
122
3=
⇒=
⇒=
=
x AQ AD ，这时y 也是存在的。

所以x 的取值范围应该是：8
70≤
≤x 。

在图2中我们容易知道：4
24
33
23
23
232
1
)2(2
1
2
12
1
x x AB
AD x h h x h h x y -=
⨯
-=
∙
-=
∙
-=
⨯⨯-=
第五步：在做第三小题时，由于题中已经明确有“点Q 在线段A B 的延长线上时、如图10所示”两个明确条件，所以我们在背景中考虑的另类情况在这里就没有必要讨论了。

C
Q C
H C
C
最后看来，除了第一小题有点值得商榷外，今年上海市的压轴题紧扣教材（所有的背景都在初二几何证明部分中出现过），注重双基，不偏不怪，也有一定的分析问题、解决问题的能力要求和数学计算要求。

确实是一道好题。

以上的几何背景分析也许能反映作者平时理解问题的不简捷，简单问题往往复杂化，再加上写得匆忙没来得及仔细斟酌合适的表达语句，错误之处还望各位同行或专家批评指正。