特征值与特征向量习题

特征值与特征向量

1．设????

? ??----=2 4 24 2 22 2 1A ，求A 的特征值与特征向量。

3．若3是??????

? ??=2 1 0 01 0 00 0 0 10 0 1 0y A 的一个特征值，求A y 及的其它特征值。 4．设33?A 的特征值为1，－2，－3，求A 及1-A 、*A 、E A A ++22的特征值。

5．设E B P A P B P A 2,,1 0 01 0 10 1 0,3 2 22 3 22 2 3*1+=????

? ??=????? ??=-求的特征值与特征向量。

6．设.2,,,)1,0,1(n T T A E n aa A a -=-=求为正整数

7．设n 阶可逆阵A 的每行元素之和均为E A a a 32),0(1+≠-求的一个特征值与对应的特征向量。

8．设????

? ??---= 0 13 b 5c 1 a c a A ，*,1A A -=有一个特征值0λ，属于0λ的一个特征向量为0,,,)1,1,1(λα及求c b a T --=.

9．????

? ??--=1 2 20 2 00 2 1A ，问A 能否与对角阵相似？

10． 1 2 20 2 00 0 1A --?? ?= ? ???

，问A 能否与对角阵相似？

. 2)(,33351315 2.的特征值及，求设A c A r c A =????

? ??----=

11．设????

? ??----=3241223 k k A ，问k 取何值时，存在可逆阵P ，使AP P 1-为对角阵？并求P 及相应的对角阵。

12．若????

? ??=6 0 0 2 80 2 2a A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆阵P 使.1Λ=-AP P

13．????

? ??---=5 3 3 4 1 1 1y x A 有三个线性无关的特征向量，2=λ是A 的二重特征值，试求可逆阵P ，使AP P 1-为对角阵。

14．设????? ??----= a A 33242111与????

? ??= b B 00020002相似，求a,b 及可逆阵P ，使.1B AP P =-

15．设,2A A =试证明A 的特征值只能是1或0，求证 2 .A E -可逆

16．设A 与对角阵???

? ??O O O r E 相似（1≤r ≤n ）,证明r E A 2=+. 17．设n 阶方阵A 满足1,2=+=E A O A 证明.

18．设A 为n 阶可逆阵且每行元素之和都为a ，证明1-A 的每行元素之和都为.1a

19. 设3阶矩阵A 的特征值为3,2,1321===λλλ，对应的特征向量依次为T T T )9,3,1(,)4,2,1(,)1,1,1(321===ξξξ，又向量T )3,1,1(=β.

（1）将321,,ξξξβ用线性表示；（2）求βn A （n 为自然数）。 20．,A B 为两个n 阶矩阵，已知：

（1）A 有n 个互异的特征值；

（2）A 的特征向量也是B 的特征向量；

求证AB =BA .