三角函数正余弦函数的图像及性质复习汇总
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课
题 三角函数的图像及性质
1.借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（ π /2 ±α , 的π±α正弦、余弦、正切）
2.利用单位圆中的三角函数线作出
y sin x, x R 的图象，明确图象的形状；
教学目标
3.根据关系 cos x
sin( x
) ，作出 y cos x, x R 的图象；
2
重点、难点
4.用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题；
1、正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值
2、作余弦函数的图象。
教学内容
一、正弦函数和余弦函数的图象 ：
y=sinx
y
-5
-
2 1
2
-7
o -4
-3
-2 -3 -
2 -1
2
3 7 2
2 2
5 3
4
2
2
x
y=cosx
y
-5
- 2 1
-32
- -4
-7
-2 -3
o 2
2
-1
3 3
7 2
2
2
5 4
2
2
x
正弦函数 y
sin x 和余弦函数 y
cos x 图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为 0，,,
3
, 2
2
2
的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。
二、正弦函数 y sin x(x
R) 、余弦函数 y cos x(x
R) 的性质 ：
（ 1）定义域 ：都是 R 。 （ 2）值域 ： 1、都是 1,1 ，
2、 y
sin x ，当 x
2k
k Z 时， y 取最大值 1；当 x 2k
3 Z 时， y 取最小值－ 1；
k
2
2
3、 y cos x ，当 x 2k k Z 时， y 取最大值 1，当 x 2k
k Z 时， y 取最小值－ 1。
例：（ 1）若函数 y a
bsin(3 x
) 的最大值为 3 ，最小值为
1
，则 a __， b ＿
1
,b 1 或 b
6
2
2
（答： a
1）；
2
[ 键入文字 ]
⑵ 函数 y=-2sinx+10 取最小值时，自变量 x 的集合是
。
（ 3）周期性 ：
① y sin x 、 y cos x 的最小正周期都是 2 ；
② f ( x)
Asin( x
) 和 f ( x)
A cos( x
) 的最小正周期都是
2 。
T
|
|
例： (1) 若 f ( x) sin
x
，则 f (1) f (2)
f (3)
f (2003) ＝___（答： 0）；
3
⑵ ．下列函数中，最小正周期为 的是（
）
A . y cos4 x
B. y sin 2x
C. y
sin
x
D. y
cos
x
（ 4）奇偶性与对称性 ：
2 4
1、正弦函数 y
sin x( x R) 是奇函数，对称中心是 k ,0
k Z ，对称轴是直线 x k
k
Z ；
2
、余弦函数
y
cos x( x R) 是偶函数，对称中心是
k
,0 k Z
，对称轴是直线 x k
k
Z
2
2
（正 ( 余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线，对称中心为图象与
x 轴的交
点）。
例：（ 1）函数 y sin
5 2x 的奇偶性是 ______（答：偶函数）；
2
（ 2）已知函数 f ( x)
ax bsin 3 x 1( a,b 为常数），且 f ( 5 ) 7 ，则 f ( 5 ) ______（答：－ 5）；
（ 5）单调性 ：
y
sin x 在 2k
,2 k
k Z 上单调递增，在
2k
,2 k
3 单调递减；
k Z
2
2
2
2
y cos x 在 2k ,2 k
k Z 上单调递减，在 2k
,2 k
2 k Z 上单调递增。 特别提醒 ，
别忘了 k Z ！
⑴函数 y=sin2x 的单调减区间是（
）
A.
2
2
2k (k z) B.
2k . 3
C.
＋2k
,3
2k
(k
z)
D.
k
, k 3 z)
(k
4 4
k
, k (k z)
4
4
（ 5）研究函数 y 中的 x 看成 y 通过诱导公式先将
Asin( x ) 性质的方法：类比于研究 y sin x 的性质 ，只需将 y Asin( x )
sin x 中的 x ，但在求 y A sin( x ) 的单调区间时，要特别注意 A 和 的符号，化正。
如（ 1）函数 y sin( 2x
) 的递减区间是 ______（答： [ k 5 ]( k Z ) ）； ,k
3
12
12