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椭圆的焦点弦长公式

θ2222

21cos 2c a ab F F ?=及其应用

在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有命题：

若椭圆的焦点弦21F F 所在直线的倾斜角为θ，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和焦半距，则有θ

2222

21cos 2c a ab F F ?=。 上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。

例1、已知椭圆的长轴长AB 8=，焦距21F F =24，过椭圆的焦点1F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点，设X PF 1∠=α)0(πα<<，当α取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴长？

分析：由题意可知PQ 是椭圆的焦点弦，且4=a ，22=c ，从而22=b ，故由焦

点弦长公式θ222221cos 2c a ab F F ?=及题设可得：24cos 816)22(4222

=???α

，解得αcos ±=22?，即α=arc 22cos ?或arc ?π22cos ?。

例2、在直角坐标系中，已知椭圆E 的一个焦点为F （3，1），相应于F 的准线为Y 轴，直线l 通过点F ，且倾斜角为

3

π，又直线l 被椭圆E 截得的线段的长度为516，求椭圆E 的方程。 分析：由题意可设椭圆E 的方程为1)1()3(22

22=?+??b

y a c x ，又椭圆E 相应于F 的准线为Y 轴，故有32

+=c c a （1）， 又由焦点弦长公式有3cos 22222π

c a ab ?=5

16 （2）又 222c b a += （3）。解由（1）、（2）、（3）联列的方程组得：42=a ，32=b ，1=c ，

从而所求椭圆E 的方程为13

)1(4)4(2

2=?+?y x 。 例3、已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ），直线1l ：1=?b

y a x 被椭圆C 截得的

弦长为22，过椭圆右焦点且斜率为3的直线2l 被椭圆C 截得的弦长是它的长轴长的5

2，求椭圆C 的方程。

分析：由题意可知直线1l 过椭圆C 的长、短轴的两个端点，故有822=+b a ， （1）又由焦点弦长公式得θ2222cos 2c a ab ?=54a ， （2） 因tan θ=3，得3

πθ=，（3） 又 222c b a += （4）。解由（1）、（2）、（3）、（4）联列的方程组得：62=a ，22=b ，

从而所求椭圆E 的方程为12

62

2=+y x 。