两类二次矩阵方程的数值求解方法
《数值计算方法》课件
分类
分为单目标最优化和多目标最优化问题。
应用领域
广泛应用于经济、工程、科学计算等领域。
一维搜索算法
01
黄金分割法
通过不断将搜索区间一分为二，寻 找最优解。
牛顿法
利用目标函数的导数信息，通过迭 代逼近最优解。
03
02
二分法
在闭区间上，通过不断缩小搜索区 间来寻找最优解。
插值法
利用已知点构造插值函数，求解目 标函数的最优解。
04
插值与拟合
插值法
线性插值
通过已知的两点，利用线性函数进行插值。
样条插值
通过构造样条曲线，在已知数据点之间进行 插值。
二次插值
利用三个已知点，通过二次函数进行插值。
立方插值
利用四个已知点，通过立方函数进行插值。
最小二乘法拟合
线性最小二乘拟合
通过最小化误差平方和，找到最佳的线性拟合直线。
多项式最小二乘拟合
该课程是计算机科学与技术、数学与 应用数学等专业的重要基础课程之一 ，旨在培养学生掌握基本的数值计算 方法和技能，能够解决实际问题。
课程目标
01
掌握数值计算的基本原理和方法，包括迭代法、数值积分、数值微分 、线性方程组求解等。
02
理解误差分析和数值稳定性的概念，能够分析算法的精度和稳定性。
03
学会使用常用的数值计算软件包，如 MATLAB、Python 等，进行数 值实验和编程实践。
数值微分方法
介绍常用的数值微分方法，如差分法、中心差分法、有限元法等。
误差分析
分析各种数值微分方法的误差，以及如何选择合适的微分方法。
应用实例
通过具体实例展示如何使用数值微分方法解决实际问题。
数值分析复习资料
数值分析复习资料一、重点公式第一章 非线性方程和方程组的数值解法 1）二分法的基本原理，误差：~12k b ax α+--<2）迭代法收敛阶：1lim0i pi ic εε+→∞=≠，若1p =则要求01c <<3）单点迭代收敛定理：定理一：若当[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈且'()1x l ϕ≤<，[],x a b ∀∈，则迭代格式收敛于唯一的根；定理二：设()x ϕ满足：①[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈， ②[]121212,,, ()(),01x x a b x x l x x l ϕϕ∀∈-≤-<<有 则对任意初值[]0,x a b ∈迭代收敛，且：110111i i iii x x x llx x x lαα+-≤---≤-- 定理三：设()x ϕ在α的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1ϕα<，则迭代格式具有局部收敛性；定理四：假设()x ϕ在根α的邻域内充分可导，则迭代格式1()i i x x ϕ+=是P 阶收敛的 ()()()0,1,,1,()0j P j P ϕαϕα==-≠ （Taylor 展开证明）4）Newton 迭代法：1'()()i i i i f x x x f x +=-，平方收敛 5）Newton 迭代法收敛定理：设()f x 在有根区间[],a b 上有二阶导数，且满足： ①：()()0f a f b <； ②：[]'()0,,f x x a b ≠∈；③：[]'',,f x a b ∈不变号④：初值[]0,x a b ∈使得''()()0f x f x <；则Newton 迭代法收敛于根α。
6）多点迭代法：1111111()()()()()()()()()i i i i i i i i i i i i i i i f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x f x x x -+-----=-=+----收敛阶：P =7）Newton 迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton 法进行修改 ①：已知根的重数r ，1'()()i i i i f x x x rf x +=-（平方收敛） ②：未知根的重数：1''()(),()()()i i i i u x f x x x u x u x f x +=-=，α为()f x 的重根，则α为()u x 的单根。
实验五(线性方程组的数值解法和非线性方程求解)
1大学数学实验 实验报告 | 2014/4/5一、 实验目的1、学习用Matlab 软件数值求解线性代数方程组，对迭代法的收敛性和解的稳定性作初步分析；2、通过实例学习用线性代数方程组解决简化问题。
二、 实验内容项目一：种群的繁殖与稳定收获：种群的数量因繁殖而增加，因自然死亡而减少，对于人工饲养的种群（比如家畜）而言，为了保证稳定的收获，各个年龄的种群数量应维持不变。
种群因雌性个体的繁殖而改变，为方便起见以下种群数量均指其中的雌性。
种群年龄记作k=1,2,…,n ,当年年龄k 的种群数量记作x k ，繁殖率记作b k （每个雌性个体1年的繁殖的数量），自然存活率记作s k （s k =1−d k ，d k 为1年的死亡率），收获量记作ℎk ，则来年年龄k 的种群数量x ̌k 应该为x ̌k =∑b k n k=1x k , x ̌k+1=s k x k −ℎk , (k=1,2,…,n -1)。
要求各个年龄的种群数量每年维持不变就是要求使得x ̌k =x k , (k=1,2,…,n -1).(1) 如果b k , s k 已知，给定收获量ℎk ，建立求各个年龄的稳定种群数量x k 的模型（用矩阵、向量表示）.(2) 设n =5,b 1=b 2=b 5=0,b 3=5,b 4=3,s 1=s 4=0.4,s 2=s 3=0.6,如要求ℎ1~ℎ5为500,400,200,100,100，求x 1~x 5.(3) 要使ℎ1~ℎ5均为500，如何达到？问题分析：该问题属于简单的种群数量增长模型，在一定的条件（存活率，繁殖率等）下为使各年龄阶段的种群数量保持不变，各个年龄段的种群数量将会满足一定的要求，只要找到种群数量与各个参量之间的关系，建立起种群数量恒定的方程就可以求解出各年龄阶段的种群数量。
模型建立：根据题目中的信息，令x ̌k =x k ，得到方程组如下：{x ̌1=∑b k nk=1x k =x 1x ̌k+1=s k x k −ℎk =x k+1整理得到：{−x 1∑b k nk=1x k =0−x k+1+s k x k =ℎk2 大学数学实验 实验报告 | 2014/4/52写成系数矩阵的形式如下：A =[b 1−1b 2b 3s 1−100s 2−1…b n−1b n0000⋮⋱⋮000000000⋯00−10s n−1−1]令h =[0, ℎ1,ℎ2,ℎ3,…,ℎn−2,ℎn−1]Tx =[x n , x n−1,…,x 1]T则方程组化为矩阵形式：Ax =h ，即为所求模型。
数值求解方法
数值求解方法数值求解方法是一种通过数值计算来解决数学问题的方法。
在许多实际问题中，我们需要求解各种方程或函数的根、极值、积分等问题，而数值求解方法可以提供一种有效的途径来解决这些问题。
本文将介绍几种常见的数值求解方法，并分析其原理和应用。
一、二分法二分法是一种简单而有效的数值求解方法，它通过不断将求解区间一分为二，并根据函数值的正负判断根的位置，最终逼近根的位置。
二分法的原理是基于函数在连续区间上的性质，通过不断缩小求解区间的范围来逼近根的位置。
二分法的优点是简单易用，但收敛速度相对较慢，对于某些特殊函数可能不适用。
二、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种通过线性逼近来求解方程的数值方法。
它通过对方程进行泰勒展开，利用切线与x轴的交点作为下一个近似解，从而逐步逼近方程的根。
牛顿迭代法的优点是收敛速度快，但对于某些复杂函数可能存在收敛性问题，需要进行合理的初始近似值选择。
三、割线法割线法是一种通过线性逼近来求解方程的数值方法，类似于牛顿迭代法。
它通过对方程进行割线近似，利用割线与x轴的交点作为下一个近似解，从而逐步逼近方程的根。
割线法的优点是相对于牛顿迭代法而言，不需要计算函数的导数，因此更加简单易用，但收敛速度较慢。
四、高斯消元法高斯消元法是一种用于求解线性方程组的数值方法。
它通过对方程组进行一系列的行变换，将方程组化为上三角形矩阵，然后通过回代求解得到方程组的解。
高斯消元法的优点是简单直观，适用于一般的线性方程组求解，但对于某些特殊的方程组可能存在奇异性或多解的问题。
五、龙贝格积分法龙贝格积分法是一种用于数值积分的方法，通过对区间进行逐步细分，并计算相应的复合梯形面积来逼近积分值。
龙贝格积分法的优点是收敛速度较快，精度较高，适用于各种类型的函数积分求解，但对于某些特殊函数可能存在收敛性问题。
六、插值法插值法是一种通过已知数据点来求解未知数据点的数值方法。
它通过构造一个插值函数，使得该函数在已知数据点上与原函数值相等，从而通过插值函数来求解未知数据点的近似值。
matlab求解二元一次方程组的数值解
matlab求解二元一次方程组的数值解摘要：一、引言二、Matlab中求解二元一次方程组的常用方法1.直接法2.迭代法3.数值方法三、数值方法的原理及应用1.雅可比迭代法2.托马斯迭代法3.平方根法四、实例演示1.编写Matlab程序2.输出结果及分析五、结论与展望正文：一、引言二元一次方程组是数学中的一种基本问题，而在工程、科学等领域中也广泛存在。
求解二元一次方程组的数值解是Matlab编程中的常见任务，本文将介绍在Matlab中求解二元一次方程组的常用方法及实例演示。
二、Matlab中求解二元一次方程组的常用方法直接法是通过高斯消元法求解二元一次方程组。
在Matlab中，可以使用`gesdd`函数直接求解。
例如：```matlabA = [1, 2; 3, 4];b = [5; 6];x = gesdd(A, b);```2.迭代法迭代法是通过不断更新变量来求解方程组。
在Matlab中，可以使用`fsolve`函数进行迭代求解。
例如：```matlabA = [1, 1; 1, 1];b = [2; 3];x0 = [1; 1];x = fsolve(@(x) A*x == b, x0);```3.数值方法数值方法包括雅可比迭代法、托马斯迭代法、平方根法等。
在Matlab 中，可以使用`fsolve`函数结合数值方法求解。
例如：```matlabA = [1, 1; 1, 1];x0 = [1; 1];options = optimoptions("fsolve", "Display", "on", "Tolerance", 1e-6);x = fsolve(@(x) A*x == b, x0, options);```三、数值方法的原理及应用1.雅可比迭代法雅可比迭代法是基于雅可比矩阵的迭代公式进行求解。
在Matlab中，可以使用自定义函数实现。
基于matlab平台的三种迭代法求解矩阵方程
数值分析第二次作业学院：电子工程学院基于matlab平台的三种迭代法求解矩阵方程组求解系数矩阵由16阶Hilbert方程组构成的线性方程组的解，其中右端项为[2877/851,3491/1431,816/409,2035/1187,2155/1423,538/395,1587/1279,573/502,947 /895,1669/1691,1589/1717,414/475,337/409,905/1158,1272/1711,173/244].要求：1）Gauss_Sedel迭代法；2）最速下降法；3）共轭梯度法；4）将结果进行分析对比。
解：根据题目要求，编写了对应算法的matlab程序，求解结果如下：（求解精度为10e-4，最大迭代次数1000）1、方程的解：如下图1所示图1 三种方法求解的结果对比图2 Gause_Sedel算法收敛特性图3 最速下降法收敛特性图3 共轭梯度法收敛特性从图中可以看到，在相同的最大迭代次数和预设求解精度条件下，共轭梯度算法仅需要4次迭代便可求出方程组的解，耗时0.000454秒，而且求出解的精度最高；Gauss_Sedel方法需要465次迭代，耗时0.006779秒，求解精度最差；最速下降法需要398次迭代，耗时0.007595秒，求解精度与共轭梯度算法差不多，因此两者求出的解也几乎相同。
从中可以得出结论，共轭梯度算法无论从求解精度还是求解速度上都优于其他两种，最速下降法在求解精度上几乎与共轭梯度算法持平，但求解速度更慢。
Gauss_Sedel方法在求解精度和速度两方面都最差。
具体的解为:Gauss_Sedel迭代法:(共需465次迭代，求解精度达到9.97e-5) X=[0.995328360833192 1.01431732497804 1.052861239300110.934006974137998 0.931493373808838 0.9665081384030661.00661848511341 1.03799789809258 1.051806903036541.06215849948572 1.04857676431223 1.028561990411131.01999170162638 0.971831831519515 0.9525261666348130.916996019179182].最速下降法:(共需398次迭代，求解精度达到9.94e-5)X=[0.998835379744322 1.01507463472900 0.9825890937201850.980191460759243 0.991245169713628 1.003780222253291.01350884374478 1.01928337905816 1.020859096651941.01930314197028 1.01444777381651 1.007040589892970.998384452250809 0.987399404644377 0.9757678149709120.963209150871750].共轭梯度法:(共需4次迭代，求解精度达到3.98e-5)X=[0.996472751179456 1.02707840189049 0.9776233734098530.973206695321590 0.986133032967607 1.001289025642341.01322158496914 1.02047386502293 1.023009050605651.02163015083975 1.01678089454399 1.009203108638740.999772406055155 0.988443827498859 0.9760941924969490.962844741655005].Matlab程序主程序:clc;clear;%% 本程序用于计算第二次数值分析作业，关于希尔伯特矩阵方程的解，用三种方法，分析并比较，也可推广至任意n维的矩阵方程%%A=hilb(16); %生成希尔伯特系数矩阵b=[2877/851;3491/1431;816/409;2035/1187;2155/1423;538/395;1587/1279;573/502;947/895;166 9/1691;1589/1717;414/475;337/409;905/1158;1272/1711;173/244]; %右端向量M=1000; %最大迭代次数err=1.0e-4; %求解精度[x,n,xx,cc,jingdu]=yakebi_diedai(A,b,err,M); % 雅克比算法求解tic;[x1,n1,xx1,cc1,jingdu1]=gauss_seidel(A,b,err,M); % gauss_seidel算法求解toc;tic;[x2,n2,xx2,jingdu2]=zuisuxiajiangfa(A,b,err,M); % 最速下降法求解toc;tic;[x3,flag,jingdu3,n3]=bicg(A,b,err); % matlab内置双共轭梯度算法求解toc;tic;[x4,xx4,n4,jingdu4]=con_grad(A,b,err,M); % 教材共轭梯度算法求解toc;%% 计算相应结果，用于作图%%num=[1:16]';jie=[num,x1,x2,x4]; % 三者的解对比% 三者的收敛情况对比num1=[1:n1]';fit1=[num1,jingdu1'];num2=[1:n2]';fit2=[num2,jingdu2'];num4=[1:n4]';fit4=[num4,jingdu4'];子函数1(Gause_Sedel算法):function [x,n,xx,cc,jingdu] = gauss_seidel(A,b,err,M)% 利用迭代方法求解矩阵方程这里是高斯赛尔得迭代方法% A 为系数矩阵b 为右端向量err为精度大小返回求解所得向量x及迭代次数% M 为最大迭代次数cc 迭代矩阵普半径jingdu 求解过程的精度n 所需迭代次数xx 存储求解过程中每次迭代产生的解for ii=1:length(b)if A(ii,ii)==0x='error';break;endendD=diag(diag(A));L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);B=(D-L)\U;cc=vrho(B); %迭代矩阵普半径FG=(D-L)\b;x0=zeros(length(b),1);x=B*x0+FG;k=0;xx(:,1)=x;while norm(A*x-b)>errx0=x;x=B*x0+FG;k=k+1;xx(:,k+1)=x;if k>=Mdisp('迭代次数太多可能不收敛！');break;endjingdu(k)=norm(A*x-b);endend子函数2(最速下降算法):function [x,n,xx,jingdu]=zuisuxiajiangfa(A,b,eps,M)% 利用迭代方法求解矩阵方程这里是最速下降迭代方法% A 为系数矩阵b 为右端向量err为精度大小返回求解所得向量x及迭代次数% % M 为最大迭代次数jingdu 求解过程的精度n 所需迭代次数xx 存储求解过程中每次迭代产生的解x0=zeros(length(b),1);r0=b-A*x0;t0=r0'*r0/(r0'*A*r0);x=x0+t0*r0;r=b-A*x;xx(:,1)=x;k=0;while norm(r)>epsr=r;x=x;t=r'*r/(r'*A*r);x=x+t*r;r=b-A*x;k=k+1;xx(:,k+1)=x;if k>=Mdisp('迭代次数太多可能不收敛！');break;endn=k;jingdu(k)=norm(r);endend子函31(共轭梯度法):function [x,xx,n,jingdu]=con_grad(A,b,eps,M)% 利用迭代方法求解矩阵方程这里是共轭梯度迭代方法% A 为系数矩阵b 为右端向量err为精度大小返回求解所得向量x及迭代次数% M 为最大迭代次数jingdu 求解过程的精度n 所需迭代次数xx 存储求解过程中每次迭代产生的解x0=zeros(length(b),1);r0=b-A*x0;p0=r0;% t0=r0'*r0/(r0'*A*r0);% x=x0+t0*r0;% xx(:,1)=x;k=0;x=x0;r=r0;p=p0;while norm(r)>epsx=x;r=r;p=p;afa=r'*r/(p'*A*p);x1=x+afa*p;r1=r-afa*A*p;beta=r1'*r1/(r'*r);p1=r1+beta*p;x=x1;r=r1;p=p1;k=k+1;xx(:,k)=x;if k>=Mdisp('迭代次数太多可能不收敛！');break;endn=k;jingdu(k)=norm(r);endend。
数值分析-北交大-王兵团-3-线性方程组解法 (1)
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追赶法求解公式为：
追赶法算法
用追赶法来求解三对角线性方程组， 计算量只是5n-4，这比Gauss消元法的计算 量要小很多。
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第3章 线性方程组解法
§3.5 线性方程组解对系数的敏感性
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1、解对系数敏感性的相对误差 设方程组Ax=b的解为
扰动方程组的准确解为
有
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用上述过程求解 的方法称为追赶法解法。
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定理3.7
Sor法收敛的必要条件是松弛因子满足0<<2 证明
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2、误差估计 定理3.8 设矩阵B的某种矩阵范数
证明参照非线性方程求根定理的证明， 将：绝对值换成范数、函数换成矩阵，注意范数关系 的使用，
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例3.1 用Jacobi 迭代法解线性方程组 解
Jacobi迭代收敛！
故所求近似解为 准确解：
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第3章 线性方程组解法
§3.4 线性方程组的直接解法
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一、Gauss消元法 1、基本思想 先将线性方程组通过消元方法化为同解的上三角
方程组，然后从该三角方程组中按第n个方程、第n1个方程、…、第1个方程的顺序，逐步回代求出线 性方程组的解。
2、构造原理 Gauss消元法的求解过程分为两个: “消元”：把原方程组化为上三角方程组； “回代”：求上三角方程组的解。
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计算量
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2）Gauss消元法矩阵解释 第1步消元
第n-1步消元后，有
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L是下三角阵，U是上 三角阵。
A=D-L-U ?
例：研究线性方程组
的Gauss消元法求解结果，假设计算在4位浮点十进 制数的计算机上求解。
解：
用Gauss消元法得
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用Gauss消元法求解得 其准确解为
数值计算方法
1.题目造倒数表，并例求 18 的倒数。
（精度为 0.0005)2.算法原理2.1 牛顿迭代法牛顿迭代法是通过非线性方程线性化得到迭代序列的一种方法。
对于非线性方程f x( ) = 0 ，若已知根x* 的一个近似值x k ，将f (x) 在x k 处展成一阶泰勒公式后忽略高次项可得：f (x) ≈f x( k ) + f '(x k )(x −x k )右端是直线方程，用这个直线方程来近似非线性方程f (x) 。
将非线性方程f x( ) = 0的根x*代入f x( *) = 0 ，即f x( k ) + f '(x k )(x* −x k ) ≈ 0* x k−f (x k ) 解出x ≈f '(x k )将右端取为x k+1 ，则x k+1 是比x k 更接近于x* 的近似值，即f (x k )x k+1 ≈x k −f '(x k ) 这就是牛顿迭代公式，相应的迭代函数是f (x)ϕ(x) = x −f '(x)2.2 牛顿迭代法的应用1 1算是求cx− =1 0的解，解出计x，即得到。
取c c 有牛顿迭代公式精品文档cx k −11 x k+1 = x k −= c c 这样就失去了迭代的意义，达不到迭代的效果。
1f (x) = cx−1，f '(x)= c，故重新构造方程：cx2 −x = 0 ，也是该式的解。
故取f (x) = cx2 −x ，cf '(x) = 2cx −1，则有牛顿迭代公式x k+1 = x k −cx k2 −x k = cx k2 , k = 0,1,...2cx k −1 2c k −11 1的值在~ 之间，取初值x0 = 0.1。
20 103.流程图0 ,,N x ε读入 1 k⇒ ( ) 0?0x f ′ = 1x 输出 01 1 k kx x ⇒ + ⇒ ( ) ( )0 10 0f x x x f x ⇒ − ′ 1 0 ?x x ε − < ≠=<=≥≠4.输出结果5.结果分析当k= 3时，得 5 位有效数字 0.05 564。
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两类二次矩阵方程的数值求解方法
二次矩阵方程在物理学、材料学、工程学、控制理论和科学计算等诸多领域
有着广泛而深刻的应用.对其解的存在性研究和相应的数值求解方法不但在理论
上具有重要意义而且在实际应用中也非常有价值.尤其近十几年随着计算机的飞
速发展,非线性矩阵方程的数值解在工程控制领域和计算数学领域都逐渐发展成
为了一个非常热门的课题.本文主要研究来自于物理中质量一弹簧系统的一类单
边二次矩阵方程的数值求解问题和来自粒子转移理论中的非对称代数Riccati
矩阵方程数值求解问题.在第2章,我们研究来自于质量-弹簧系统的一类单边二
次矩阵方程的数值求解问题.我们首先提出这一方程解存在的一个充分条件；其
次根据方程系数矩阵的特点,我们提出一种保M-矩阵结构的加倍算法来计算方
程的极端解；在适当的条件下,我们还证明该算法的单调收敛性和局部二次收敛
性.我们的数值试验说明我们提出的算法要优于带精确线性搜索的牛顿法和伯努
利迭代法.在第3章,我们研究用循环约化算法来求解过阻尼系统产生的单边二
次矩阵方程.与现有的二次收敛循环约化算法不同,我们提出一种三次收敛的循
环约化算法.在过阻尼条件下我们证明所提出算法的适定性和收敛性.数值试验
表明该算法在方程接近于过阻尼系统的临界状态时将比原来的循环约化算法具
有更快的收敛性.在第4章,我们继续研究循环约化算法的在临界状态过阻尼系
统中的收敛性.Guo, Higham和Tisseur在假设临界过阻尼系统中按绝对值大小
顺序排列的第n个特征值的部分重数(partial multiplicity)为2的条件下证明
了循环约化算法的线性收敛性,而且算法产生的某些矩阵序列收敛于零矩阵.我
们首先给出一个例子说明当上述假设条件不满足时,循环约化算法的收敛性与
Guo等的收敛结论并不完全相同,即算法产生的相应的矩阵序列可以不收敛到零
矩阵；其次在不需要对第n个的特征值部分重数做任何假设的条件下,我们对一
类临界状态过阻尼系统证明循环约化算法的收敛性；最后通过数值试验验证本文
的收敛性结果.在第5章,我们研究来自粒子转移理论中的非对称代数Riccati
矩阵方程数值求解问题.我们重新考虑用牛顿法和不动点迭代法来求得这一方程
具有物理意义的最小正解.通过注意到牛顿法子问题的特殊矩阵结构,我们基于
分解的交替方向隐式(Factored Alternating Direction Implicit, FADI)迭代
设计一种低记忆低复杂度的牛顿法.随后我们进一步将这一思想拓展到不动点迭
代方法的子问题从而提出了两种低记忆低复杂度的不动点迭代法.同时我们还证
明这些算法在迭代过程中系数矩阵特征值和迭代点列所具有的良好性质.数值试
验表明我们提出的算法能非常有效的求得这一非对称代数Riccati矩阵方程的
最小正解.尤其在中等规模和大规模问题中,低记忆低复杂度的牛顿法要优于
Bai等提出的NBGS算法和Bini等提出的快速牛顿法.此博士论文得到了教育部
重大项目(309023)和国家自然科学基金(11071087)的资助.此博士论文用
LATEX2ε软件打印.