高等数学教案-向量代数与空间解析几何
高等数学教学教案
第8章 向量代数与空间解析几何
授课序号01
教 学 基 本 指 标
教学课题 第8章 第1节 向量及其运算 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合
教学重点 数量积、向量积、混合积，两个向量垂直、平行的条件
教学难点 两个向量垂直、平行的条件
参考教材 同济七版《高等数学》下册 作业布置
大纲要求 1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示.
2.掌握向量的运算（向量运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件.
3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用表达式进行向量运算的方法.
教 学 基 本 内 容
一．空间直角坐标系
1.Oxyz 直角坐标系，点O 叫做坐标原点.
2.在Oxyz 直角坐标系下，数轴Oz Oy Ox ,,统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为zOx yOz xOy ,,三个坐标平面将空间分为八个部分,每一部分叫作一个卦限，分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.
3.数组(, , )x y z 为点M 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，其中z y x ,,分别称为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．
二．空间两点间的距离
设111(, , )M x y z ，222(, , )N x y z 为空间两点，则M 与N 之间的距离为
212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.
三．向量的概念
1. 向量:既有大小又有方向的量，叫做向量（或矢量）．
2. 向量的模:向量的长度称为向量的模，记作a 或AB .
3. 单位向量:模为1的向量叫做单位向量.
4. 零向量:模为0的向量叫做零向量，记作0，规定：零向量的方向可以是任意的．
5. 相等向量:大小相等，方向相同的向量叫做相等向量，记作b a =.规定：所有的零向量都相等.
6.负向量:与向量a 大小相等，方向相反的向量叫做a 的负向量(或反向量)，记作-a ．
7. 平行向量:平行于同一直线的一组向量称为平行向量（或共线向量）．
8. 共面向量:平行于同一平面的一组向量，叫做共面向量，零向量与任何共面的向量共面.
四．向量的线性运算
1. 向量的加法
定义 对向量a ，b ，从同一起点A 作有向线段AB 、AD 分别表示a 与b ，然后以AB 、AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则我们把从起点A 到顶点C 的向量AC 称为向量a 与b 的和，记作b a +．这种向量求和方法称为平行四边形法则．
若将向量b 平移，使其起点与向量a 的终点重合，则以a 的起点为起点，b 的终点为终点的向量c 就是a 与
b 的和，该法则称为三角形法则．
对于任意向量a ，b ，c ，满足以下运算法则：
(1)a +b =b +a (交换律)． (2)()()a +b +c =a +b +c (结合律)． (3)0a +=a ．
2.向量的减法
定义 向量a 与b 的负向量-b 的和，称为向量a 与b 的差，即()--a b =a +b ．特别地，当b =a 时，有()-0a +a =.
若向量a 与b 的起点放在一起，则a ，b 的差向量就是以b 的终点为起点，以a 的终点为终点的向量.
3.数乘向量
定义 实数λ与向量a 的乘积是一个向量，记作λa ，λa 的模是λa ，方向：
当0λ
>时，λa 与a 同向；当0λ<时，λa 与a 反向；当0λ=时，λ0a =．
对于任意向量a ，b 以及任意实数λ，μ，有下列运算法则：
(1) ()()λμλμa =a ． (2) ()+λμλμ+a =a a ． (3) ()+λλλ+a b =a b ．
向量的加法、减法及数乘向量运算统称为向量的线性运算，λμa +b 称为a ，b 的一个线性组合
(, )R λμ∈．特别地，与a 同方向的单位向量叫做a 的单位向量，记作a e ，即|
|a a
e a =
. 定理 向量a 与非零向量b 平行的充分必要条件是存在唯一的实数λ，使得λa =
b .
五．向量的坐标
设向量AB 的始点与终点在轴u 的投影分别为A '、B '，那么轴u 上的有向线段A B ''的值A B ''叫做向量
AB 在轴u 上的投影，记作u prj AB A B ''=，轴u 称为投影轴.
当A B ''与轴u 同向时，投影取正号，当A B ''与轴u 反向时，投影取负号． 注 (1) 向量在轴上投影是标量．
（2）设MN 为空间直角坐标系中的一个向量，点M 的坐标为111(, , )x y z ，点N 的坐标为222(, , )x y z ，显然，向量MN 在三个坐标轴上的投影分别为12x x -，12y y -，12z z -．
空间直角坐标系Oxyz 中，在x 轴、y 轴、z 轴上各取一个与坐标轴同向的单位向量，依次记作, , i j k ，它们称为坐标向量．
空间中任意向量a ，它都可以唯一地表示为, , i j k 数乘之和．
x y z a =i +j +k ．
我们把上式中, , i j k 系数组成的有序数组(, , )x y z 叫做向量a 的坐标，记为{, , }x y z a =，于是确定了向
量．
显然，式中的, , x y z 是向量a 分别在x 轴、y 轴、z 轴上的投影．
六．向量的数量积和方向余弦
1. 向量的数量积
定义 设a ，b 为空间中的两个向量，则数cos ,a b a b 叫做向量a 与b 的数量积(也称内积或点积)，记作?a b ．即cos ,?a b =a b a b ,其中,a b 表示向量a 与b 的夹角，并且规定0, π≤≤a b ．两向量的数量积是一个数量而不是向量，特别地当两向量中一个为零向量时，就有0?a b =. 由向量数量积的定义易知：
(1)2
?a a =a ，因此=
?a a a ．
(2) 对于两个非零向量a ,b ,a 与b 垂直的充要条件是它们的数量积为零，即
⊥a b ?0?a b =．
数量积的运算满足如下运算性质：
对于任意向量a ，b 及任意实数λ，有 (1) 交换律：??a b =b a ．
(2) 分配律：()???a b +c =a b +a c ．
(3) 与数乘结合律：()()()λλλ??=?a b =a b a b ． (4)0?≥a a ，当且仅当0a
=时，等号成立．
(5) 数量积的坐标表示：设向量111{,,}x y z a =，向量222{,,}x y z b =，则121212x x y y z z ?++a b =． （6）向量的模、两向量的夹角公式以及两向量垂直的充要条件 设非零向量111{,,}x y z a =，向量222{,,}x y z b =，则
222111a a x y z =?=++a ．
cos ||||
?=
a b
a,b a b 121212
22222
2
1
1
1
1
22
++=
++++x x y y z z x y z x y z ?．
⊥a b ?1212120x x y y z z ++=．
2.方向余弦
设空间向量=a 12M M 与三条坐标轴的正向的夹角分别为,,αβγ，规定：
0,0,0απβπγπ≤≤≤≤≤≤,称,,αβγ为向量a 的方向角.
因为向量a 的坐标就是向量在坐标轴上的投影，因此
=?=αcos ||21M M a x ?||a αcos ,
=?=βcos ||21M M a y ?||a βcos ,
=?=γcos ||21M M a z ?||a γcos ,
上式中出现的cos ,cos ,cos αβγ称为向量a 的方向余弦.而 向量a 的方向余弦为222222222cos ,cos ,cos ,y x z x
y
z
x
y
z
x
y
z
a a a a a a
a a a
a a a
αβγ=
=
=
++++++并且
222cos cos cos 1αβγ++=.
七．向量的向量积和混合积
1.向量积
定义 设a ，b 为空间中的两个向量，若由a ，b 所决定的向量c ，其模为sin , c =a b a b ，其方向与
a ，
b 均垂直且a ，b ，
c 成右手系，如图8.15所示，则向量c 叫做向量a 与b 的向量积(也称外积或叉积)，
记作?a b .
注 (1) 两向量a 与b 的向量积?a b 是一个向量，其模?a b 的几何意义是以a ,b 为邻边的平行四边形的面积．
(2)?0a a =.这是因为?0a a =.
(3)对两个非零向量a 与b ，a 与b 平行(即平行)的充要条件是它们的向量积为零向量．即
a ∥
b ??0a b =．
向量积的运算满足如下性质： 对任意向量a ,b 及任意实数λ，有 （1）反交换律：?-?a b =b a ．
（2）分配律:()???a b +c =a b +a c ，()???a +b c =a c +b c ．
（3）与数乘的结合律：()()()λλλ???a b =a b =a b ．
（4）向量积的坐标表示1
11111
22222
2
y z x z x
y y z x z x y ?-a b =
i j +k 111222
x y z x y z =i
j k ． 注 设两个非零向量111{, , }x y z a =，222{, , }x y z b =，则a ∥b ??0a b =?2
1
2121z z y y x x ==． 若某个分母为零，则规定相应的分子为零．
2.向量的混合积
定义 给定空间三个向量c b a ,,，如果先作前两个向量a 与b 的向量积，再作所得的向量与第三个向量c 的数量积，最后得到的这个数叫做三向量c b a ,,的混合积，记作c b a ??)(或][abc .
注 三个不共面向量c b a ,,的混合积的绝对值等于以c b a ,,为棱的平行六面体的体积V . 定理 如果a 1x =i +1y j +1z k ，b 2x =i +2y j +2z k ，c 3x =i +3y j +3z k ，那么
])(c b a ??=3
3
3
222
111z y x z y x z y x .
八．例题讲解
例1设)1,1,1(A 与)4,3,2(B 为空间两点，求A 与B 两点间的距离． 例2在z 轴上求与点(3, 5, 2)A -和(4, 1, 5)B -等距离的点M ．
例3在空间直角坐标系中设点)2,3,4(M ，)3,45(，N ，求向量MN 及NM 的坐标．
例4 (定比分点公式) 设111(,,)A x y z 和222(,,)B x y z 为已知点，有向线段AB 上的点M 将它分为两条有向
线段AM 和MB ，使它们的值的比等于数(1)λλ≠-，即
AM
MB
λ=，求分点(,,)M x y z 的坐标. 例5已知向量}2,1,3{--=a ，}1,2,1{-=b ，求b a ?，a 、b 的夹角的余弦值． 例6已知两点1(2,2,2)M 和()21,3,0M ,求向量12M M 的模、方向余弦和方向角. 例7 已知向量}2,1,3{--=a ，}1,2,1{-=b ，求b a 2?.
例8 已知三角形ABC 的顶点分别是(1,1,1)(1,2,3)(2,3,4)、、A B C ，求三角形ABC 的面积.
授课序号02
教 学 基 本 指 标
教学课题 第8章 第2节 空间平面和直线 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合
教学重点 平面方程和直线方程及其求法，平面与平面，平面与直线，直线与直线之间的夹角
教学难点 利用平面、直线的相互关系（平
行、垂直、相交等）解决问题
参考教材 同济七版《高等数学》下册
作业布置
大纲要求 1.掌握平面方程和直线方程及其求法.
2.会求平面与平面，平面与直线，直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题.
3.会求点到直线以及点到平面的距离.
教 学 基 本 内 容
一．空间平面方程
1.平面方程的各种形式
（1）若一个非零向量n 垂直于平面∏，则称向量n 为平面∏的一个法向量．
（2）平面的点法式方程：过点0000(, , )M x y z ，法向量为{, , }A B C n =的平面方程为
000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=．
（3）平面的三点式方程：过三点(,,)(1,2,3)k k k k M x y z k =的平面方程为1
11
21
212131
31
31
0x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 称为平面的三点式方程.
（4）平面的截距式方程：过三点(, 0, 0)A a ，(0, , 0)B b ，(0, 0, )C c (0)abc ≠的平面的方程为
00
0=---c
a
b a z y a x ，化简整理得
1=++c
z
b y a x ．称为平面的截距式方程，如图8.16所示． 2.平面的一般式方程
1.称方程0=+++D Cz By Ax 为平面的一般式方程, 其中{, , }A B C n =为该平面的一个法向量．
2.当某些系数或常数项为零时的情况.
（1）0D =，上式变为0Ax By Cz ++=，平面通过原点.
（2）,,A B C 中有一个为0，例如0A =，上式就变为0By Cz D ++=，当0D ≠时，x 轴与平面平行；当0D =时，平面通过x 轴. （3）,,A B C 中有两个为0时，有
当且仅当()
0000，或D B C A C A B ≠======，平面平行于yOz 坐标面 (xOz 面或xOy 面)；当且仅当()
0000，或D B C A C A B =======平面就是yOz 坐标面（xOz 面或xOy 面）.
3.两平面间的位置关系
空间两个平面之间的位置关系有三种：平行、重合和相交．设有两个平面1∏与2∏，它们的方程为
1∏：01111=+++D z C y B x A (111, , A B C 不同时为零)，
2∏：02222=+++D z C y B x A (222, , A B C 不同时为零)，
则它们的法向量分别为1111{,,}A B C =n 和2222{,,}A B C =n ．
(1) 两平面平行?1n ∥2n ?
1111
2222
A B C D A B C D ==≠． (2) 两平面重合?
212121C C B B A A =
=2
1
D D =． (3) 两平面相交?111, , A B C 与222, , A B C 不成比例．
当两平面相交时，把它们的夹角θ定义为其法向量的夹角12,n n ，且规定02
π
θ≤≤
．
即121212||
cos cos , ||||
n n n n n n θ?==
1212122222
2
2
1
1
1
222
||A A B B C C A B C A B C ++=
++?++.
特别地，当12∏∏⊥时，12⊥n n ，则120?=n n ，即0212121=++C C B B A A ． 反之亦然，所以12∏∏⊥?0212121=++C C B B A A ．
4．点到平面的距离
在空间直角坐标系中，设点000(, , )M x y z ，平面∏：0=+++D Cz By Ax (, , A B C 不全为零)，则点
M 到平面∏的距离为10000102
2
2
n PP n |Ax By Cz D |
d Prj PP n
A B C
?+++===
++.
二．空间的直线方程
1.直线的点向式方程
（1）如果一个非零向量s 与直线l 平行，则称向量s 是直线l 的一个方向向量．而向量s 的方向余弦叫做该直线的方向余弦.
（2）在空间直角坐标系中，若0000(, , )M x y z 是直线l 上的一个点，{, , }m n p s =为l 的一个方向向量，求直线l 的方程．
设(, , )M x y z 为直线l 上的任一点，如图8.17所示，则0M M ∥s ，所以两向量对应坐标成比例．而0M M 的坐标为000{, , }x x y y z z ---，因此有
p
z z n y y m x x 0
00-=-=-，称为直线l 的点向式方程（或叫对称式方程）,其中000(, , )x y z 是直线l 上一点的坐标，(, , )m n p =s 为直线l 的一个方向向量．
（3）直线的参数方程：设000
x x y y z z t m n p ---===，则有000
,
,,
x x mt y y nt z z pt =+??=+??=+?称为直线的参数方程. 2.直线的一般式方程
设两个平面的方程为1∏：01111=+++D z C y B x A ，2∏：02222=+++D z C y B x A ，则
111122220,
A x
B y
C z
D A x B y C z D +++=??
+++=?表示一条直线，其中111, , A B C 与222, , A B C 不成比例．称上述方程组为直线的一般式方程．
3．两直线的位置关系
设两条直线1l 与2l 的方程为1l ：
111111p z z n y y m x x -=-=-，2l ：2
2
2222p z z n y y m x x -=-=-，两相交直线1l 与2l 所形成的角中，把不大于
2
π
的那对对顶角θ叫做这两条直线的夹角．
若1l 与2l 的方向向量分别为1s ，2s ，则有
121212121222222212111222
||
cos cos , .||||m m n n p p m n p m n p θ++?==
=++++s s s s s s
注 (1) 若1l ∥2l ，相当于
2
12121p p
n n m m ==，规定1l 与2l 的夹角为0； (2) 对于异面直线，可把这两条直线平移至相交状态，此时，它们的夹角称为异面直线的夹角； (3) 若1l ⊥2l ?120?=s s ?0212121=++p p n n m m ．
4.直线与平面的位置关系
（1）直线与它在平面上的投影之间的夹角θ (02
π
θ≤≤)，称为直线与平面的夹角．
（2）已知直线l ：
p
z z n y y m x x 0
00-=
-=-，平面π：0=+++D Cz By Ax ，则直线l 的方向向量为{, , }m n p =s ，平面π的法向量为{, , }A B C n =，直线l 与平面π的法线之间的夹角为?，则2
π
θ?=
-，
所以，222222||||
sin cos ||||s n s n Am Bn Cp m n p A B C
θ??++==
=
?++?++． （3）l π⊥?s ∥n ??0s n =?C
p
B n A m ==；l 在π内或l ∥π?0?s n =，即⊥s n 时. 三．例题讲解
例1求通过点0(1,1,2)M 且垂直于向量}4,1,2{-=n 的平面方程．
例2求过三点()12,1,4M -，()2M 1,3,2--，()3M 0,2,3的平面∏的方程． 例3求过两点(3, 0, 2)A -，(1, 2, 4)B -且与x 轴平行的平面方程． 例4求两平面260x y z -+-=和250x y z ++-=的夹角. 例5求点1(2, 0, )2
P -到平面∏：017244=++-z y x 的距离． 例6求过点)3,1,4(-且平行于直线
31
215
x y z --==
的直线方程. 例7求过点(1, 0, 2)M -且与两平面1∏：5=+z x 和2∏：1832=+-z y x 都平行的直线方程． 例8将直线的一般式方程2310,
32120,
x y z x y z -+-=??
+--=?化为点向式方程和参数方程．
例9求直线113
:
141x y z l -+==
-和220:20x y l x z ++=??+=?
的夹角. 例10求直线30
x y z x y z ++=??
--=?与平面10x y z --+=的夹角.
授课序号03
教 学 基 本 指 标
教学课题 第8章 第3节 空间曲面和曲线 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合
教学重点 以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程
教学难点 空间曲线在坐标平面上的投影
及其方程
参考教材 同济七版《高等数学》下册 作业布置
大纲要求 1.理解曲线方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面
及母线平行于坐标轴的柱面方程. 2.了解空间曲线的参数方程和一般方程.
3.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程.
教 学 基 本 内 容
一．空间曲面
定义 如果曲面∑与方程(, , )0F x y z =满足如下关系： (1) 曲面∑上每一点的坐标都满足方程(, , )0F x y z =；
(2) 以满足方程(, , )0F x y z =的解为坐标的点都在曲面∑上． 则称方程(, , )0F x y z =为曲面∑的方程，而称曲面∑为此方程的图形．
几个常见的曲面方程.
1.球面
（1）以坐标原点为球心，以R 为半径的球面方程为2222R z y x =++．
（2）以000(,,)x y z 为球心，以R 为半径的球面方程为2222
000()()()x x y y z z R -+-+-=.
（3）一般方程02
22=++++++D Cz By Ax z y x . 球面方程具有下列两个特点：
（1）它是z y x ,,之间的二次方程，且方程中缺zx yz xy ,,项； （2）222,,z y x 的系数相同且不为零.
2.柱面
（1）用直线L 沿空间一条曲线C 平行移动所形成的曲面称为柱面．动直线L 称为柱面的母线，定曲线C 称为柱面的准线．
（2）准线在坐标面上，母线平行于坐标轴的柱面方程.
①方程中缺少z ，即0),(=y x f ，表示准线在xOy 坐标面上，母线平行于z 轴的柱面； ②方程0),(=z y g ，表示准线在yOz 坐标面上，母线平行于x 轴的柱面；
③方程0),(=x z h ，表示准线在zOx 坐标面上，母线平行于y 轴的柱面. （3）常见的柱面除了圆柱面：2
2
2
R y x =+外,还有双曲柱面：
12
22
2=-
a
x b
y ,抛物柱面：py x
22
=．
3.旋转曲面
一条平面曲线C 绕同一平面内的一条定直线L 旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面．曲线C 称为旋转曲面的母线，定直线L 称为旋转曲面的旋转轴，简称轴．
（1）曲线C 的方程为(, )0,0,f y z x =??
=?
曲线C 绕z 轴旋转所生成的旋转曲面方程为22
(, )0f x y z ±+=．
（2）曲线C 的方程为(, )0,
0,
f y z x =??
=?曲线C 绕y 轴旋转所生成的旋转曲面方程为22(, )0f y x z ±+=．
（3）曲线C 的方程为(,)0,
0,
h z x y =??
=?曲线C 绕x 轴旋转的旋转曲面的方程为22(, )0h y z x ±+=．
（4）曲线C 的方程为(,)0,0,
h z x y =??=?曲线C 绕z 轴旋转的旋转曲面的方程为22
(, )0h z x y ±+=．
如在yOz 平面内的椭圆12
22
2=+
c
z b
y 绕z 轴旋转所得到的旋转曲面的方程为
12
22
22=+
+c
z b
y x ，该曲面称为旋
转椭球面．
二．空间曲线
1.空间曲线的一般方程
空间曲线可看作两曲面的交线.设(,,)0F x y z =和(,,)0G x y z =是两曲面的方程，它们的交线为C .方程
组(,,)0,
(,,)0.F x y z G x y z =??
=?
称作空间曲线的一般方程.
2.空间曲线的参数方程
对于空间曲线C ，若C 上的动点的坐标x y z ,,
可表示成为参数t 的函数??
???===),(),(),
(t z z t y y t x x 随着t 的变动可得到
曲线C 上的全部点，此方程组叫做空间曲线的参数方程.
3.空间曲线在坐标面上的投影
（1）设空间曲线C 的一般方程为(,,)0,
(,,)0.
F x y z
G x y z =??=?消去变量z 之后所得到的方程(,)0
H x y =,表示一个母
线平行于z 轴的柱面，因此，此柱面必定包含曲线C .以曲线C 为准线，母线平行于z 轴的柱面叫做关于xoy 面的投影柱面.投影柱面与xoy 面的交线叫做空间曲线C 在xoy 面上的投影曲线，该曲线的方程可写成
(,)0,
0.
H x y z =??
=? （2）消去方程组(,,)0,
(,,)0
F x y z
G x y z =??
=?中的变量x 或y ，再分别与0x =或0y =联立，我们便得到了空间曲
线C 在yoz 或xoz 面上的投影曲线方程：(,)0,0,
R y z x =??=?或(,)0,
0.T x z y =??=?
（3）确定一个空间立体或空间曲面在坐标面上的投影.一般来说，这种投影往往是一个平面区域，我们称它为空间立体或空间曲面在坐标面的投影区域..
投影区域可以利用投影柱面与投影曲线来确定.
三．二次曲面
1.椭圆锥面
由方程222
22x y z a b
+=所确定的曲面称为椭圆锥面.
2.椭球面
由方程122
2222=++c
z b y a x (0, 0, 0a b c >>>)所确定的曲面称为椭球面，, , a b c 称为椭球面的半轴，此
方程称为椭球面的标准方程．
3.单叶双曲面
由方程122
2222=-+c
z b y a x (0, 0, 0a b c >>>)所确定的曲面称为单叶双曲面．
4.双叶双曲面
由方程122
2222-=-+c
z b y a x (0, 0, 0a b c >>>)所确定的曲面称为双叶双曲面．
注 方程1222222=+-c
z b y a x 和122
2222=++-c z b y a x 也都是单叶双曲面;
方程1222222-=+-c z b y a x 和122
2222-=++-c
z b y a x 也都是双叶双曲面．
5.椭圆抛物面
由方程22
22b
y a x z += (0, 0, 0a b c >>>)所确定的曲面称为椭圆抛物面．
6.双曲抛物面
由方程22
22b
y a x z -= (0, 0, 0a b c >>>)所确定的曲面称为双曲抛物面．双曲抛物面的图形形状很象马
鞍，因此也称马鞍面．
四．例题讲解
例1建立球面的中心是点),,(0000z y x M ，半径为R 的球面方程. 例2 方程024222=+-++y x z y x 表示怎样的曲面？ 例3 分析方程222R y x =+表示怎样的曲面？
例4 双曲线型冷却塔是电厂、核电站的循环水自然通风冷却的一种建筑物, 如图8.24所示.试分析双曲线型冷却塔外表面的数学模型.
图8.24 图8.25
例5将yOz 坐标面上的双曲线122
22=-b
y c z 分别绕z 轴和y 轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程.
例6 直线L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点为圆锥面的顶点，两直线的夹角??
?
?
?
<<20παα叫圆锥面的半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶角为α的圆锥面方程．
例7 方程组221,
236,x y x z ?+=?+=?
表示怎样的曲线？
例8讨论方程组?????=+---=,)2
()2(,22
2222a y a x y x a z 表示的曲线. 例9 将空间曲线C ：222
9,
21,
x y z x z ?++=???+=?表示成参数方程.
例10 螺旋线是实际中常用的曲线，例如：平头螺丝钉的螺纹就是螺旋线.螺旋线的运动轨迹如下，如图8.32所示：空间一点M 在圆柱面2
2
2
x y a +=以角速度ω绕z 轴旋转,同时以线速度v 沿平行于z 轴的正方向
上升点M 构成螺旋线图形.试建立其数学模型.
例11 已知222222
216,
0,
x y z x z y ?++=?+-=?求它们的交线在xOy 面上的投影曲线方程. 例12 求上半球面2
2
2z x y =--和锥面22z x y =
+所围成的空间立体Ω在xoy 面上的投影区域.