估计量的评价标准

第二节 估计量的评价标准

设总体X 服从［0，θ］上的均匀分布，由上节例7可知ˆ2X θ=矩，{}1ˆmax L i i n

X θ≤≤ 都是θ的估计，这两个估计哪一个好？下面我们首先讨论衡量估计量好坏的标准问题.

1.无偏性

定义7.2 若估计量（X 1，X 2，…，X n ）的数学期望等于未知参数θ，即：

ˆ()E θ

θ=， （7.6） 则称ˆθ为θ的无偏估计量（Non -deviation estimator ）.

估计量ˆθ的值不一定就是θ的真值，因为它是一个随机变量，若ˆθ是θ的无偏估计，则尽管ˆθ的值随样本值的不同而变化，但平均来说它会等于θ的真值.

例7.9 设X 1，X 2，…，X n 为总体X 的一个样本，E （X ）=μ，则样本平均数11n

i i X X n ==∑是μ的无偏估计量.

证 因为E （X ）=μ，所以E （X i ）=μ，i =1，2，…，n ，于是

11

11()()n n

i i i i E X E X E X n n ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑=μ. 所以X 是μ的无偏估计量.

例7.10 设有总体X ，E （X ）=μ，D （X ）=σ2，（X 1，X 2，…，X n ）为从该总体中抽

得的一个样本，样本方差S 2

及二阶样本中心矩B 2=11()n

i i X X n =-∑是否为总体方差σ2的无偏估计？

解 因为E （S 2）=σ2，所以S 2是σ2的一个无偏估计，这也是我们称S 2为样本方差的理由.由于

B 2=

21n S n

-， 那么 E （B 2）=2211()n n E S n n σ--=, 所以B 2不是σ2的一个无偏估计.

还需指出：一般说来无偏估计量的函数并不是未知参数相应函数的无偏估计量.例如，当X ~N （μ，σ2）时，X 是μ的无偏估计量，但2

X 不是μ2的无偏估计量，事实上： 22222()()().E X D X E X n σμμ⎡⎤=+=

+≠⎣⎦

2.有效性

对于未知参数θ，如果有两个无偏估计量1ˆθ与2ˆθ，即E （1ˆθ）=E （2ˆθ）=θ，那么在1

ˆθ，2

ˆθ中谁更好呢？此时我们自然希望对θ的平均偏差E （ˆθ-θ）2越小越好，即一个好的估计量应该有尽可能小的方差，这就是有效性.

定义7.3 设1ˆθ和2

ˆθ都是未知参数θ的无偏估计，若对任意的参数θ，有 D （1ˆθ）≤D （2ˆθ）， （7.7）

则称1ˆθ比2

ˆθ有效. 如果1ˆθ比2ˆθ有效，则虽然1ˆθ还不是θ的真值，但1ˆθ在θ附近取值的密集程度较2

ˆθ高，即用1

ˆθ估计θ精度要高些. 例如，对正态总体N （μ，σ2

），11n

i i X X n ==∑，X i 和X 都是E （X ）=μ的无偏估计量，但

D （X ）=2

n

σ≤D （X i ）=σ2， 故X 较个别观测值X i 有效.实际当中也是如此，比如要估计某个班学生的平均成绩，可用两种方法进行估计，一种是在该班任意抽一个同学，就以该同学的成绩作为全班的平均成绩；另一种方法是在该班抽取n 位同学，以这n 个同学的平均成绩作为全班的平均成绩，显然第二种方法比第一种方法好.

3.一致性

无偏性、有效性都是在样本容量n 一定的条件下进行讨论的，然而（X 1，X 2，…，X n ）不仅与样本值有关，而且与样本容量n 有关，不妨记为n ，很自然，我们希望n 越大时，n 对θ的估计应该越精确.

定义7.4 如果n 依概率收敛于θ，即∀ε＞0，有

{}

ˆlim 1,n n P θθε→∞-<=，（7.8） 则称ˆn

θ是θ的一致估计量（Uniform estimator ）. 由辛钦大数定律可以证明：样本平均数X 是总体均值μ的一致估计量，样本的方差S 2

及二阶样本中心矩B 2都是总体方差σ2的一致估计量.