二阶常系数递推关系求解方法

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如果某数列{}n a 满足涉及连续三项12,,n n n a a a --的递推关系12n n n a pa qa --=+，

3n ≥，其中,p q 是已知的非零常数，并且初始条件即前两项12,a a 的数值已给出，它的通

项将会是何种形式？

我们把递推关系12n n n a pa qa --=+写成

()112n n n n a a a a μλμ----=-

其中,λμ是待定系数，上式通过合并同类项，还原为

()()12n n n a a a λμλμ--=+-

与12n n n a pa qa --=+进行系数对比，有

p

q λμλμ+=⎧⎨

=-⎩

由一元二次方程根与系数关系，我们知道，,λμ是关于x 的一元二次方程2

0x px q --=（该方程通常写成2

x px q =+）的两根。也就是说对于满足递推关系12n n n a pa qa --=+，

3n ≥的数列{}n a ，其通项公式与一元二次方程2x px q =+的根密切相关。

一般地，我们称方程2

x px q =+及其根,λμ分别为递推关系12n n n a pa qa --=+的特征方程和特征根。

我们就一元二次方程2x px q =+的根的情况分成两点讨论 一、当λμ≠时，即特征方程的判别式2

40p q ∆=+≠时，

递推关系12n n n a pa qa --=+可以写成

()112n n n n a a a a μλμ----=- ①

由于λ与μ的地位对等，我们也可以写出

()112n n n n a a a a λμλ----=- ②

由①知数列{}1n n a a μ+-是以21a a μ-为首项，λ为公比的等比数列，所以有

()1121n n n a a a a μμλ-+-=- ③

同理，由②知

()1121n n n a a a a λλμ-+-=- ④

由③④消去1n a +得

()()()112121n n n a a a a a λμμλλμ---=---

所以，数列{}n a 的通项公式是

()()112121n n n

a a a a a μλλμλμ

-----=

- ⑤ 事实上，由⑤知，对于2

40p q ∆=+≠的情况，只要求出特征根λ与μ，那么递推关系12n n n a pa qa --=+，3n ≥的解必定可以写成

n n n a A B λμ=+

的形式，系数,A B 将由问题的初始条件12,a a 确定。这样做可以减少计算量。 二、当λμ=时，即特征方程的判别式2

40p q ∆=+=时

递推关系12n n n a pa qa --=+可以写成

()112n n n n a a a a λλλ----=-

由上式知数列{}1n n a a λ+-是以21a a λ-为首项，λ为公比的等比数列，所以有

()1121n n n a a a a λλλ-+-=-

两边除以1

n λ

+得

1

21

1

2

n n

n n

a a a a λλ

λλ++--=

所以数列n n a λ⎧⎫

⎨

⎬⎩⎭

是以212

a a λλ-为公差的等差数列，故 ()

1

21

2

1n

n

a a a a n λλ

λ

λ

-=

+-

所以数列{}n a 的通项公式是

()()2

2

1212n n a a a n a a λλλ-=---⎡⎤⎣⎦ ⑥ 由⑥知，对于2

40p q ∆=+=的情况，只要求出二重特征根λ，那么递推关系

12n n n a pa qa --=+，3n ≥的解必定可以写成

()n n a An B λ=+

的形式，系数,A B 将由问题的初始条件12,a a 确定。

例题

1.课本第69页，第6题：已知数列{}n a 中，125,2a a ==，1223n n n a a a --=+，3n ≥，对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？

略解：特征方程2

23x x =+有相异实数根3,1-，再根据初始条件125,2a a ==求得

()1

11731314n n n a --⎡⎤=

⨯+⨯-⎣

⎦.

2. 斐波那契（Fibonacci ）数列：数列{}n F 满足12121,1,,2n n n F F F F F n --===+>，求它的通项公式。

略解：特征方程2

1x x =+

的两根是

11,22

+，再根据初始条件121,1F F ==可得

n n

n F ⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦

. 例题3. 已知数列{}n a 中，10a =，22a =，1244n n n a a a --=-，（3n ≥），求这个数列的通项公式。

略解：特征方程2

44x x =-有二重根2，再由初始条件10a =，22a =可得

()112n n a n -=-⋅