递推关系的建立及其求解方法
数学递推关系问题：解决递推关系
数学递推关系问题：解决递推关系数学中的递推关系是指一个序列中的每一项都可以由前面一项或多项递推出来的关系。
在解决数学递推关系的问题时，我们通常需要确定递推关系的形式，进而找到规律并求解特定项或整个序列的值。
本文将介绍解决递推关系问题的一般方法和常见技巧。
一、确定递推关系的形式对于给定的数学递推关系，我们首先需要确定它的形式。
递推关系的形式可以通过观察序列中的数值规律来确定。
常见的递推关系形式包括等差数列、等比数列和斐波那契数列等。
以等差数列为例，递推关系通常可表示为：an = an-1 + d，其中an表示第n项，d表示公差。
通过观察序列中相邻项之间的差值是否恒定，我们就可以判断出递推关系的形式。
对于其他形式的递推关系，也可以通过类似的方法进行确定。
需要注意的是，递推关系的形式不一定是唯一的，可能存在多种可能性。
因此，在确定递推关系的形式时，我们需要仔细观察序列中的数值规律，并进行推断和验证。
二、找到规律求解确定递推关系的形式后，我们就可以利用找到的规律来求解特定项或整个序列的值。
以等差数列为例，如果我们已知了序列的首项a1和公差d，可以通过递推公式an = an-1 + d来求解其他项的值。
例如，要求解第n项的值an，可以通过递推公式反复递推计算得到。
除此之外，还可以借助数学方法和工具求解递推关系问题。
例如，对于等比数列，我们可以通过求解特征方程来找到递推关系的通项公式，进而求解特定项的值。
另外，对于一些特殊的递推关系，可能存在已知的求解方法和技巧。
例如，斐波那契数列的递推关系可以通过矩阵乘法或黄金分割公式求解。
三、举例分析为了更好地理解解决递推关系问题的方法和技巧，我们来看一个具体的例子：求解斐波那契数列的第n项的值。
斐波那契数列是一个经典的递推关系，其递推关系可以表示为：Fn = Fn-1 + Fn-2，其中F1 = 1，F2 = 1。
为了求解第n项的值Fn，我们可以使用递推公式反复计算。
用特征根法与不动点法求递推数列的通项公式
用特征根法与不动点法求递推数列的通项公式特征根法和不动点法是两种常用的方法来求解递推数列的通项公式。
本文将从这两个角度详细介绍这两种求解方法，并举例说明其应用。
一、特征根法（Characteristic Root Method）特征根法是一种基于代数方法的求解递推数列通项公式的方法，它通过寻找递推关系式的特征根来获取通项公式。
1.步骤：（1）建立递推关系式：根据问题描述，建立递推数列的递推关系式。
（2）设通项公式：假设递推数列的通项公式为Un=a^n。
（3）代入递推关系式：将通项公式Un=a^n代入递推关系式，得到方程Un=P(Un-1,Un-2,...,Un-k)，其中P为k个变量的多项式函数。
（4）寻找特征根：解方程Un=0，得到特征根r1，r2，...，rk。
（5）确定通项公式：根据特征根，得到通项公式Un=C1*r1^n+C2*r2^n+...+Ck*rk^n，其中C1，C2，...，Ck为待定系数。
（6）确定待定系数：利用已知序列的初始条件，求解待定系数，得到最终的通项公式。
2.示例：求解递推数列Un=3Un-1-2Un-2，已知U0=1，U1=2（1）建立递推关系式：Un=3Un-1-2Un-2（2）设通项公式：Un=a^n。
（3）代入递推关系式：a^n=3a^(n-1)-2a^(n-2)。
（4）寻找特征根：解方程a^n=3a^(n-1)-2a^(n-2)，得到特征根a=2，a=1（5）确定通项公式：Un=C1*2^n+C2*1^n。
（6）确定待定系数：利用初始条件U0=1，U1=2，得到方程组C1+C2=1，2C1+C2=2，解得C1=1，C2=0。
最终的通项公式为Un=2^n。
二、不动点法（Fixed Point Method）不动点法是一种基于迭代的求解递推数列通项公式的方法，它通过设定一个迭代公式，求解极限来获得通项公式。
1.步骤：（1）建立递推关系式：根据问题描述，建立递推数列的递推关系式。
第06-07讲 组合数学——递推关系
定理
r 阶线性常系数非齐次递推关系的通解an是该非齐 次递推关系的一个特解an[p]，加上其相应的齐次 递推关系的通解an[c] [ p] [c ] 即
an an
an
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多项式型非齐次递推关系
一般形式 a c a ... c a p( n) n 1 n 1 r nr
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定义
如果递推关系式1的每个解an[s]都可以选择一组常 数B1’ , B2’ ,…, Br’ 使得
an B 1 m B 2 m ... Br m
' n 1 ' n 2 '
s
n r
' n n n 成立，则称 B1 m1 B'2 m2 ... B'r mr 是递推关系式1的通解，其中：B1’ , B2’ ,…, Br’是 任意常数。
D1
Dn
Dn1
D2
P
D3
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r 阶递推关系的一般形式
an c1 nan1 c2 nan 2 ... cr nan r en 其中：n r , cr 0
若e(n) = 0，称其为齐次递推关系式
若e(n)≠0，称其为非齐次递推关系式
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常系数齐次线性递推关系
一般形式：
an c1an1 c2an 2 ... cr an r 0 其中：r 0 c
特征方程：
（式1）
m r c1m r 1 c2 m r 2 ... c r 0
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递推算法
递推算法典型例题一、教学目标1、由浅入深，了解递推算法2、掌握递推算法的经典例题二、重点难点分析1、重点：递推关系的建立2、难点：如何将所求问题转化为数学模型三、教具或课件微机四、主要教学过程(一)引入新课客观世界中的各个事物之间或者一个事物的内部各元素之间，往往存在(隐藏)着很多本质上的关联。
我们设计程序前．应该要通过细心的观察、丰富的联想、不断的尝试推理．尽可能先归纳总结出其内在规律，然后再把这种规律性的东西抽象成数学模型，最后再去编程实现。
递推关系和递归关系都是一种简洁高效的常见数学模型，我们今天先来深入研究一下递推算法如何实现。
(二)教学过程设计递推法是一种重要的数学方法，在数学的各个领域中都有广泛的运用，也是计算机用于数值计算的一个重要算法。
这种算法特点是：一个问题的求解需一系列的计算，在已知条件和所求问题之间总存在着某种相互联系的关系，在计算时，如果可以找到前后过程之间的数量关系（即递推式），那么，这样的问题可以采用递推法来解决。
从已知条件出发，逐步推出要解决的问题，叫顺推；从问题出发逐步推到已知条件，此种方法叫逆推。
无论顺推还是逆推，其关键是要找到递推式。
这种处理问题的方法能使复杂运算化为若干步重复的简单运算，充分发挥出计算机擅长于重复处理的特点。
递推算法的首要问题是得到相邻的数据项间的关系（即递推关系）。
递推算法避开了通项公式的麻烦，把一个复杂的问题的求解，分解成了连续的若干步简单运算。
一般说来可以将递推算法看成是一种特殊的迭代算法。
（在解题时往往还把递推问题表现为迭代形式，用循环处理。
所谓“迭代”，就是在程序中用同一个变量来存放每一次推算出来的值，每一次循环都执行同一个语句，给同一变量赋以新的值，即用一个新值代替旧值，这种方法称为迭代。
）1．递推关系的定义和求解递推关系的方法有一类试题，每相邻两项数之间的变化有一定的规律性，我们可将这种规律归纳成如下简捷的递推关系式：f n=g(f n-1)或者f n-1=g'(f n)这样就在数的序列中，建立起后项和前项之间的关系。
二阶常系数递推关系求解方法
二阶常系数递推关系求解方法一、递推关系的定义与性质在数学中，递推关系是指通过递推公式来描述数列中各项之间的关系。
常系数递推关系是指递推关系中各项的系数都是常数。
设有一个序列 {an}，其中 n 表示序列中的项数。
如果序列满足递推关系 an = c1an-1+ c2an-2 + ... + ck an-k ，其中ci (1 ≤ i ≤ k) 为常数，那么我们称该序列满足一个 k 阶常系数递推关系。
常系数递推关系的性质：1. 齐次性：如果一个递推关系的非齐次项为0，即对于所有的 i，ci = 0，则该递推关系称为齐次线性递推关系。
2. 非齐次性：如果一个递推关系的非齐次项不为0，即存在一些 i，ci ≠ 0，则该递推关系称为非齐次线性递推关系。
3.初值条件：对于一个k阶线性递推关系，需要给出前k项的初值条件才能确定整个序列。
二、求解齐次线性递推关系的通解对于线性递推关系 an = c1an-1+ c2an-2 + ... + ck an-k ，其中ci (1 ≤ i ≤ k) 为常数，我们可以采用特征根法求解其通解。
1. 假设通解为an = λn ，将其代入递推关系，得到λ^n = c1λ^(n-1)+ c2λ^(n-2) + ... + ck λ^(n-k)2.将等式左边的λ^n移至等式右边，得到λ^n - c1λ^(n-1) - c2λ^(n-2) - ... - ck λ^(n-k) = 03.将该齐次方程转化为特征方程，即λ^k - c1λ^(k-1) - c2λ^(k-2) - ... - ck = 04.解特征方程，得到k个实数或复数根λ1,λ2,...,λk。
5.得到齐次线性递推关系的通解为an = A1λ1^n + A2λ2^n + ... + Akλk^n其中A1,A2,...,Ak为待定系数。
通过给定的初值条件，可以使用线性方程组求解方法来确定待定系数A1,A2,...,Ak。
三、求解非齐次线性递推关系的通解对于非齐次线性递推关系 an = c1an-1+ c2an-2 + ... + ck an-k + f(n)，其中 f(n) 为一个关于 n 的函数，我们可以采用常数变易法求解其通解。
数列递推公式的九种方法
数列递推公式的九种方法1.等差数列递推公式：在等差数列中，相邻两项之间存在相同的差。
如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，可以求得递推公式为an = a1 + (n-1)d，其中n为第n项。
2.等比数列递推公式：在等比数列中，相邻两项之间的比值相同。
如果已知等比数列的首项为a1，公比为r，可以求得递推公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n为第n项。
3. 几何数列递推公式：几何数列是一种特殊的等比数列，其公比是常数项。
如果已知几何数列的首项为a1，公比为r，可以求得递推公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n为第n项。
4. 斐波那契数列递推公式：斐波那契数列是一种特殊的数列，每一项都是前两项的和。
斐波那契数列的递推公式为an = an-1 + an-2，其中n为第n项，a1和a2为前两项。
5. 回型数列递推公式：回型数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由周围的四个数字决定的。
回型数列的递推公式为an = an-1 + 8 * (n-1)，其中n为第n项，a1为第一项。
6. 斯特恩-布洛特数列递推公式：斯特恩-布洛特数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之和的约数个数决定的。
斯特恩-布洛特数列的递推公式为an = 2 * an-1 - an-2，其中n为第n项，a1和a2为前两项。
7. 阶乘数列递推公式：阶乘数列是一种特殊的数列，它的每一项都是前一项的阶乘。
阶乘数列的递推公式为an = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1，其中n为第n项，a1为第一项。
8. 斯特林数列递推公式：斯特林数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之积的和决定的。
斯特林数列的递推公式为an = an-1 * n + 1，其中n为第n项，a1为第一项。
9. 卡特兰数列递推公式：卡特兰数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之和的乘积决定的。
卡特兰数列的递推公式为an = (4*n - 2) / (n + 1) * an-1，其中n为第n项，a1为第一项。
数列递推的技巧
数列递推的技巧
数列递推是指根据已知的数列前几项，通过某种规律或公式来确定数列的后续项。
下面列举一些常见的数列递推的技巧：
1. 线性递推法：对于满足线性递推关系的数列，可以使用线性递推法来求解。
线性递推关系一般可以表示为an = c1 * an-1 + c2 * an-2 + ... + ck * an-k，其中c1,c2,...,ck为常数。
常见的线性递推数列有斐波那契数列、等差数列等。
2. 指数递推法：对于满足指数递推关系的数列，可以使用指数递推法来求解。
指数递推关系一般可以表示为an = c * an-1^k，其中c和k为常数。
常见的指数递推数列有幂函数数列、几何数列等。
3. 差分递推法：对于满足差分递推关系的数列，可以使用差分递推法来求解。
差分递推关系一般可以表示为an = an-1 + dn，其中dn为常数。
常见的差分递推数列有阶乘数列、等差数列等。
4. 递归递推法：对于满足递归递推关系的数列，可以使用递归递推法来求解。
递归递推关系一般可以表示为an = f(an-1, an-2, ...)，其中f为一个函数。
常见的递归递推数列有斐波那契数列、双核函数数列等。
5. 其他递推技巧：还有一些特殊的递推技巧，如矩阵快速幂递推法、莫比乌斯反演递推法等，可根据具体的问题和数列特点选择合适的方法进行递推求解。
线代递推法
线代递推法
线代递推法指的是在线性代数中，通过递推关系式来求解一系列线性方程组的方法。
具体操作步骤如下：
1. 设定初始条件。
给出递推关系式之前，首先需要给出起始的一组线性方程组解。
这些解可以通过已知条件、初值或者自选来确定。
2. 建立递推关系式。
假设我们已经知道了第n个方程组的解，我们希望求解出第n+1个方程组的解。
通过观察已知的方程
解的规律，我们可以得到一个递推关系式，将第n+1个方程
组的解与第n个方程组的解建立起联系。
3. 求解递推关系式。
根据递推关系式，我们可以通过已知的第n个方程组的解求解出第n+1个方程组的解。
这可以通过矩阵
运算来实现，例如求解矩阵的特征值和特征向量，进行矩阵相乘等。
4. 迭代求解。
通过不断重复第2步和第3步，我们可以计算出连续的方程组解，直到达到所需的精度或者满足其他终止条件。
5. 检验结果。
最后，我们需要检验所求得的方程组解是否满足递推关系式，并对计算结果进行验证。
线代递推法常用于求解具有递推性质的问题，在数学、物理等领域中有广泛的应用。
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以此类推，当1柱上有n(n>2)个盘子时，我们可以利用下列步骤： 第一步：先借助3柱把1柱上面的n-1个盘子移动到2柱上，所需的移 动次数为f(n-1)。 第二步：然后再把1柱最下面的一个盘子移动到3柱上，只需要1次 盘子。 第三步：再借助1柱把2柱上的n-1个盘子移动到3上，所需的移动次 数为f(n-1)。
一、递推式的建立 1、Hanoi塔问题 问题Ⅰ: 三柱问题 问题Ⅱ：四柱问题 问题Ⅲ：m柱问题 2、平面分割问题 问题Ⅰ：封闭曲线分割平面 问题Ⅱ：‘Z’分割平面 问题Ⅲ：‘M’分割平面 3、Catalan数 问题一：凸n边形的三角形剖分 问题二：二叉树数目 问题三：出栈序列 4、第二类Stirling数 问题一：放置小球 问题二：集合划分问题 5、其他 问题一：集合取数问题 问题二：整数划分问题
5 、其他： １）‘集合取数问题 设f(n,k)是从集合{1，2，。。。，n}中能够选择的没有两个连续 整数的k个元素子集的数目，求递归式f(n,k)。
【问题分析】： N有两种情况： ① 当n在子集时，则n-1一定不在子集中，即在{1，2，。。。，n-2}中选 k-1个元素，数目为f(n-2,k-1)。 ② 当n不在子集中时，则在{1，2，。。。，n-1}中选k个元素，数目为 f(n-1,k)。 所以：f(n,k)= f(n-2,k-1) +f(n-1,k) 边界条件：F(n,1)=n, f(n,k)=0 ( n<=k)
问题一：凸n边形的三角形剖分 在一个凸n边形中，通过不相交于n边形内部的对角线，把n边形拆分成若 干三角形，不同的拆分数目用f(n)表之，f(n)即为Catalan数。例如五边形 有如下五种拆分方案，故f(5)=5。求对于一个任意的凸n边形相应的f(n)。
区域①是一个凸k边形，区域②是一个凸n-k+1边形，区域①的拆分方案总数是f(k) 区域②的拆分方案数为f(n-k+1)，故包含△P1PkPn的n 边形的拆分方案数为 f(k)* f(n-k+1)种
问题Ⅲ：‘M’分割平面 问题二的扩展：在问题二的基础上进一步考虑：如果‘z’图形扩展为m边的 下列图形：看一下问题的解。
通过上面的分析我们很容易知道：n个上述图形可以将 平面划分的区域的递推关系： f（n）=f（n-1）+m（m（n-1）+1）-（m-1） 初始条件：f（1）=2
3、Catalan数
F（n）=f（n-1）+2(n-1)
问题Ⅱ
问题的提出：一个‘z’形曲线可以把一个平面分割成2部分。如图所示。求 n个‘z’形曲线最多能把平面分割成多少部分。写出递推式f(n)。
【问题分析】： 根据上图容易得出：f（1）=2；f（2）=12。 假设平面上已有n-1个‘z’图形把’后，单独考虑第n个‘z’的3条边，每一条边和前面的n1个‘z’共有3（n-1）个交点，即这条边被分成3（n-1）+1部分， 所以增加3（n-1）+1个区域，3条边共增加3（3（n-1）+1）个区域。 但是第n个‘z’本身有2个交点，故少了2个区域，所以实际增加了3 （3（n-1）+1）-2个区域。 由以上得出：f（n）=f（n-1）+3（3（n-1）+1）-2 即：f（n）=f（n-1）+9n-8 初始条件：f（1）=2
现在要求把1柱上n个圆盘按下述规则移到m柱上： (1) 一次只能移一个圆盘； (2) 圆盘只能在m个柱上存放； (3) 在移动过程中，不允许大盘压小盘。
求将这n个盘子从1柱移动到m柱上所需要移动盘子的最少次数 。
问题Ⅰ:三柱问题
设f(n)为n 个盘子从1柱移到3柱所需移动的最少盘次。 当n=1时，f(1)=1。 当n=2时，f(2)=3。
问题Ⅲ：m柱问题
j
【问题分析】： 设F(m,n)为m根柱子,n个盘子时移动的最少次数：
1、先把1柱上的前j个盘子移动到另外其中一个除m柱以外的非目标柱上，移 动次数为：f[m, j]；
2、再把原1柱上剩下的n-j个盘子在m-1根柱子之间移动，最后 移动到目标柱m上，移动次数为：f[m-1, n-j]； 3、最后把非目标柱上的j个盘子移动到目标柱没柱上，移动 次数为：f[m, j]。
由以上3步得出总共移动盘子的次数为：f(n-1)+1+ f(n-1)。 所以：f(n)=2 f(n-1)+1
f(n)= 2n-1
问题Ⅱ：四柱问题
【问题分析】： 令f[i]表示四个柱子时，把i个盘子从原柱移动到目标柱所需的最少移动次数。
j
第一步：先把1柱上的前j个盘子移动到另外其中一个非目标柱（2或3柱均可，假 设移到2柱）上，此时3和4柱可以作为中间柱。移动次数为：f[j]。 第二步：再把原1柱上剩下的i-j个盘子在3根柱子（1、3、4）之间移动，最后 移动到目标柱4上，因为此时2柱不能作为中间柱子使用，根据三柱问题可知， 移动次数为：2^(i-j)-1。 第三步：最后把非目标柱2柱上的j个盘子移动到目标柱上，次数为：f[j]。
F(n)=
f(i) * f(n - i 1)
i 2
n 1
问题二：二叉树数目 问题描述：求n个结点能构成不同二叉数的数目。
【问题分析】： 设F(n)为n个结点组成二叉树的数目。 容易知道：f(1)=1;f(2)=2,f(3)=5
选定1个结点为根，左子树结点的个数为i，二叉树数目f（i）种； 右子树结点数目为n-i-1，二叉树数目f（n-i-1）种，I的可取范围[0， n-1]。所以有： F(n)=
２）整数划分问题 将整数n分成k份，且每份不能为空，任意两种分法不能相同(不考虑顺 序) 。 例如：n=7，k=3，下面三种分法被认为是相同的。 1，1，5; 1，5，1; 5，1，1; 问有多少种不同的分法。 输入：n，k (6<n<=200，2<=k<=6) 输出：一个整数，即不同的分法。 样例 输入： 7 3 输出：4 {四种分法为：1，1，5;1，2，4;1，3，3;2，2，3;}
假设当前平面上已有的n-1条曲线将平面分割成f(n-1)个区域，现在加 入第n条封闭曲线。第n条曲线每与已有的n-1条曲线相交共有2(n-1)个 交点，也就是说第n条曲线被前n-1条曲线分割成2(n-1)段弧线，而每 一条弧线就会把原来的区域一分为二，即增加一个区域，所以共增加 2(n-1)个区域
不同的方案数用S(n,m)表示 从中取出bn，bn的放法有以下两种： S(n-1,m-1) １、bn独自占一个集合；那么剩下的数只能放在m-1个集合中，方案数为； ２、bn与别的数共占一个集合；那么我们可以先将b1,b2,……bn-1这n-1个数划分为m个 集合，然后再将bn可以任意放入其中一个集合中，方案数为 m*S(n-1,m) 综合以上两种情况可以得出： S(n,m)=m*S(n-1,m)+S(n-1,m-1) (n>1,m1) 边界条件：S2(n,1)=1；S2(n,n)=1；S2(n,k)=0(k>n)。
F(m,n) = min{2*F(m, j)+F(m-1,n-j)} (1<= j < n)
2、平面分割问题
问题Ⅰ
问题的提出：设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且 任何三条封闭曲线不相交于同一点，求这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。
【问题分析】： 设f(n)为n条封闭曲线把平面分割成的区域个数。 由图4很容易得出：f(1)=2；f(2)=4。
【问题分析】： 用f(I,j)表示将整数I分成j分的分法，可以划分为两类： 第一类 ：j分中不包含1的分法，为保证每份都>=2，可以先那出j个1分到 每一份，然后再把剩下的I-j分成j份即可，分法有：f(I-j,j). 第二类 : j份中至少有一份为1的分法，可以先那出一个1作为单独的1份， 剩下的I-1再分成j-1份即可，分法有：f(I-1,j-1). 所以：f(I,j)= f(I-j,j)+ f(I-1,j-1) 边界条件：f（i，1）=1， f（i，j）=0， （I<j）
通过以上步骤我们可以初步得出： f[i] = 2*f[j]+2^(i-j)-1
j可取的范围是1<=j<I，所以对于不同的j，得到的f[i]可能 是不同的，本题要求最少的移动次数
f[i] = min{2*f[j]+2^(i-j)-1}，其中1<=j<I
const MaxNum = 1000; var n : integer; F3, F4 : array[1..MaxNum] of double; procedure Init; var i : integer; begin fillChar(F3,sizeOf(F3),0); fillChar(F4,sizeOf(F4),0); readln(n); F3[1] := 1; F4[1] := 1; {*F3[n] 为Hanoi塔中3根柱子，n个盘子的最少移动次数 F3[n] = 2^n -1; F4[n] 为Hanoi塔中4根柱子，n个盘子的最少移动次数*} for i :=2 to n do F3[i] := 2*F3[i-1] + 1; end;
procedure Run; var i, j : integer; minF4i,temp : double; begin for i := 2 to n do begin minF4i :=1e+100; for j := 1 to i-1 do begin temp := 2*F4[j] + F3[i-j]; if (temp < minF4i) then minF4i := temp; end; {*F4[i] = min(2*F4[j] + F3[i-j]);( 1=< j <=i-1) *} F4[i] :=minF4i; end; writeln(F4[n]:0:0); end; begin Init; Run; end.