平面向量及运算法则

平面向量及运算法则

1、向量：

（1）概念：既有 又有 的量叫做向量

（2）表示：可以用有向线段来表示，包含三个要素： 、 和 ；记为AB 或 a （3）模：AB 的长度叫向量的模，记为||AB 或 ||a

（4）零向量：零向量的方向是任意的

单位向量是____________的向量.

（5）相等向量： 的向量叫相等向量；

（6）共线向量： 的向量叫平行向量，也叫共线向量 2、向量运算的两个法则： 加法法则：

（1）平行四边形法则，要点是：统一起点； （2）三角形法则，要点是：首尾相接；

减法法则：向量减法运算满足三角形法则，要点是统一起点，从 指向 。

3、实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘,记作a λ ，其长度与方向规定如下：

（1）||a λ = ||||a λ；（2）λ> 0 时，a λ与a 同向；λ< 0 时，a λ与a 反向；（3）λ= 0 时，a λ=0

4、向量的线性运算满足： （1）()a λμ=

（2）(λμ+)a = （3）()a b λ+=

5、//a b (0)b a a λ⇔=≠其中R λ∈且唯一

随堂练习

1.给出下列命题：

①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上； ②两个单位向量是相等向量； ③若a =b, b=c,则a=c ；

④若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定； ⑤若|a |=|b |,则a =b 。

错误!未找到引用源。若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线 其中正确命题的个数是（ ）

D

B

A

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

2、如图所示，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点,则DB AF -＝( )

A. B.

C.FE

D.BE

3、在平行四边形ABCD 中，下列各式中成立的是（ ） A ．+=AB BC CA B ．+=AB AC BC C ．+=AC BA AD D ．+=AC AD DC

4．下面给出的四个式子中，其中值不一定为0的是（ ） A.AB BC CA ++ B.OA OC BO CO +++ C.AB AC BD CD -+- D.NQ QP MN MP ++-

5．在平行四边形ABCD 中，若AB AD AB AD +=-则必有 ( ) A. 0AD = B. 00AB AD ==或 C. ABCD 是矩形 D. ABCD 是正方形

6、如图所示，OADB 是以向量=，=为边的平行四边形，又BM=3

1

BC ，CN=3

1

CD ．试用，表示OM ，ON ，．

7、设两个非零向量1e 、2e 不是平行向量

（1）如果AB =1e +2e ，BC =21e +82e ，CD =3(21e e -)，求证A 、B 、D 三点共线； （2）试确定实数k 的值，使k 1e +2e 和1e +k 2e 是两个平行向量．

O

A

D

B

C

M

N

变式: 已知OA 、OB 不共线，OP =a OA +b OB ． 求证：A 、P 、B 三点共线的充要条件是a +b =1．

1．平面向量的基本定理：

如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a = （2）平面向量的坐标运算： 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差；一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。若

),(),,(2211y x B y x A ，则=-=( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)；实数与向

量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

（3）向量共线的两种判定方法：a ∥ｂ(0≠b )12210x y x y λ⇔=⇔-= a b 。

2．平面向量的数量积

（1）平面向量数量积的定义：已知两个非零向量a 与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫a 与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）。并规定0与任何向量的数量积为0。注意：两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定. （2）向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积. （3）两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量，e 是单位向量； 1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0；

3︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别地a ⋅a = |a |2或||=

a 4︒ cos θ =

||||

⋅a b

a b

5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |。

（4）向量的数量积满足下列运算律

已知向量a b c ，

，与实数λ。 ①a b ⋅＝___________（______律）

②()

a b λ⋅＝___________ ③()a+b c ⋅＝___________

（5）平面向量数量积的坐标表示

已知非零向量()()1122a=x y ,b=x y ,a b=⋅⋅⋅ （6）平面内两点间的距离公式

设a=(x,y),2

a =___ 或a =___________ 。 3.向量垂直的判定

()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,则a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0；12120x x y y ⇔+=

小结：向量共线的两种判定方法()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,

a ∥ｂ(0≠

b )12210x y x y λ⇔=⇔-= a b 。

向量垂直的两种判定方法()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,则a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0；

12120x x y y ⇔+=

4．平面向量的应用

（1）能用平面向量知识处理平面几何中的一些问题，如长度、角、距离，平行、垂直等问题。

（2）用向量知识把日常生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型解决实际问题。

随堂练习

1．下列说法中，正确的是（ ）

①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量。

Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②③ Ｄ①②③

2．若向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c

等于( )

A 、21-a +23b

B 、21a 23-b

C 、23a 2

1-b

D 、2

3-a + 21b