平面向量及其加减运算(学生版)
【初二数学】八年级春季班-13-平面向量的加减法-学生版
）
r
r
A ．如果向量 b 与向量 a 平行，那么存在唯一的实数
r
r
B．如果 m 、 n 为实数，那么 m( na) ( mn)a ；
rr m 使得 b ma ；
r rr C．如果 m 、 n 为实数，那么 ( m n) a ma na ；
rr
rr
D．如果 m 、 n 为实数，那么 m( a b) ma mb ．
6．向量加法的多边形法则 几个向量相加，可把这几个向量首尾顺次相接，那么以第一个向量的起点为起点、 最后一个向量的终点为终点的向量，就是这几个向量的和向量．
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八年级春季班
例题解析
【例 11】 化 简：
uuur uuur uuur uuur
（ 1） AB BC CD DA
；
uuur uuur uuur uuur uuuur （ 2） ( AB MB) (BO BC) OM _______________ ．
知识精讲
1．有向线段 规定了方向的线段叫做有向线段．
2．向量 既有大小又有方向的量叫做向量． 向量的大小也叫做向量的长度． （或向量的模）
3．向量的表示 （ 1）向量可以用有向线段直观表示
①有向线段的长度表示向量的长度； ②有向线段的方向表示向量的方向．
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八年级春季班
（ 2）常见的表示方法
uuur
uuur
那么 OC =
， AB =
．
【难度】★★ 【答案】 【解析】
【例 8】 在梯形 ABCD 中， AD / /BC ， AB CD ， DE / / AB ，点 E 在 BC 上，如果把图中
线段都画成有向线段，那么在这些有向线段表示的向量中，指出（用符号表示）
(完整版)平面向量的加减法运算和数乘运算
注意：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a r 与b r 不共线时，a r +b r 的方向不同向，且|a r +b r |<|a r |+|b r |;（3）当a r 与b r 同向时，则a r +b r 、a r 、b r 同向，且|a r +b r |=|a r |+|b r |；当a r 与b r 反向时，若|a r |>|b r |,则a r +b r 的方向与a r 相同，且|a r +b r |=|a r |-|b r |，若|a r |<|b r |,则a r +b r 的方向与b r 相同，且|a r +b r |=|b r |-|a r |.2、向量加法的交换律：a r +b r =b r +a r3．向量加法的结合律：(a r +b r ) +c r =a r + (b r +c r )证：知识点二 向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法：“相反向量”的定义： 记作 规定：零向量的相反向量仍是零向量-(-a r ) = a r任一向量与它的相反向量的和是零向量a r + (-a r ) =0r如果a r 、b r 互为相反向量，则a r = -b r , b r = -a r , a r + b r = 0r向量减法的定义：向量a r 加上的b r 相反向量，叫做a r 与b r 的差，即：a r - b r = a r + (-b r )2．用加法的逆运算定义向量的减法：3．求作差向量：已知向量a r 、b r ，求作向量∵(a r -b r ) + b r = a r + (-b r ) + b r = a r +0r = a r减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ， 作OA u u u r = a r , OB uuu r = b r , 则BA u u u r = a r - b r即a r - b r 可以表示为从向量b r 的终点指向向量a r 的终点向量知识点三 向量的数乘运算 1、定义：实数λ与向量a ρ的积是一个 ，这种运算叫做向量的数乘，记作： ，其长度与方向规定如下：（1）|λa ρ|=|λ||a ρ| （2）λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ=02、运算定律 结合律：λ(μa ρ)=第一分配律：(λ+μ)a ρ= 第二分配律：λ(a ρ+b ρ)=3、向量共线定理。
平面向量的加法减法运算PPT课件
ABCD
首
则
AC a b
首 相
C
连
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练一练
a, b 如图,已知 用向量加法的平行四边形法则作出 ab
（1）
b
ab
首
ba
首 相
（2）
b
a
ab
连
a
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回顾例1：平行四边形ABCD中，
AB AD AC
AD 问: 能否不移动向量 , 而移动向
量 ？结果是否和原来一样呢？
AB
。 a
说明：
① 规定 0 0
② 性质
a
a
a
a
a
a
0
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2、向量的减法：
向量
a
与向量
b
的负向量的和定义为向量
a
b 与向量
的差，即
ab a b
求两个向量差的运算叫作向量的减法
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a b 1、向量减法法则：已知向量 ， 不共线，求作
向量 ，使 c
a a a a
a
a bbbbb
B
A
C
a b AB AC CB
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a b 例1 已知如图所示向量 、 ，请画出向量
a
b
O a
A
b a b
a b
B
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例2 化简：
⑴ OD OA
⑵ AB AC BD DC
解： ⑴ OD OA AD
⑵ AB AC BD DC
的向量．
这种求不共线的两个向量和的方法叫做
首
向量加法的平行四边形法则
首 相
平面向量的加减运算
平面向量的加减运算平面向量是数学中的重要概念，它在几何学和物理学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍平面向量的加减运算，以及相关的性质和应用。
一、平面向量的表示方法平面向量的表示方法有多种，如AB、(AB)、A B⃗等。
其中，AB 表示由点A指向点B的有向线段，(AB)表示线段的名字，A B⃗表示向量的名字。
在本文中，我们将使用A B⃗来表示平面向量。
二、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
假设有向量A B⃗和向量C D⃗，它们的加法运算可以表示为A B⃗+C D⃗=E F⃗。
其中，E F⃗是向量A B⃗和向量C D⃗的和向量。
平面向量的加法运算有以下几个性质：1. 交换律：A B⃗+C D⃗=C D⃗+A B⃗，即向量的加法满足顺序交换的性质。
2. 结合律：(A B⃗+C D⃗)+E F⃗=A B⃗+(C D⃗+E F⃗)，即向量的加法满足结合的性质。
3. 对于向量A B⃗，存在一个特殊向量0⃗，使得A B⃗+0⃗=A B⃗。
其中，0⃗表示零向量，它的长度为0且方向任意。
三、平面向量的减法平面向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
假设有向量A B⃗和向量C D⃗，它们的减法运算可以表示为A B⃗-C D⃗=G H⃗。
其中，G H⃗是向量A B⃗减去向量C D⃗的差向量。
平面向量的减法运算可以通过加法运算来实现：A B⃗-C D⃗=A B⃗+(-C D⃗)，其中，-C D⃗表示向量C D⃗的相反向量，它的长度与方向与向量C D⃗相同，但方向相反。
平面向量的减法运算有以下几个性质：1. 减法的定义：A B⃗-C D⃗=A B⃗+(-C D⃗)。
2. A B⃗-A B⃗=0⃗，即一个向量减去它本身得到零向量。
四、平面向量的加减运算的应用平面向量的加减运算在几何学和物理学等领域有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用案例：1. 平移变换：可以通过向量的加法实现平面上的点的平移变换。
平面向量加减法课件
在物理学中的应用
01
平面向量加减法在物理学中的性质和定理
02
向量的加法满足平行四边形定则
向量的减法满足三角形定则
03
在物理学中的应用
向量的数乘满足标量积定理
1
2
平面向量加减法在物理学中的实际应用
确定力的合成与分解
3
在物理学中的应用
计算物体的运动轨迹和速度
解决物理问题，如力学、电磁学等
05
平面向量加减法的练习 与巩固
平行法则适用于任何两个相同的向量 。通过将一个向量分解成两个相同的 子向量，可以找到原始向量的和。这 个法则也可以用于任何数量的相同向 量。
04
平面向量加减法的应用
解向量方程
求解向量方程的解 根据给定的向量方程，确定未知量
通过加减法运算，解出未知量的值
解向量方程
检验解的正确性，确 保解符合原始向量方 程
向量减法的几何意义
两个向量相减，得到的新的向量的方向和大小与原来的两个向量有关系。
02
平面向量加减法的运算 性质
向量的加法交换律
总结词
向量加法满足交换律
详细描述
设$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$是平面向量，则有$\mathbf{a} + \mathbf{b} = \mathbf{b} + \mathbf{a}$，即向量加法满足交换律。ຫໍສະໝຸດ 练习题一：判断题总结词
掌握平面向量加减法的基本概念
判断下列说法是否正确
向量a+向量b的和向量等于向量a与 向量b之和。（×）
判断下列说法是否正确
向量a与向量b的和向量等于向量a+ 向量b。（×）
判断下列说法是否正确
平面向量的加减运算
平面向量的加减运算平面向量是表示平面上的有向线段的数学工具，常用于描述位移、速度、力等物理量。
在平面向量的运算中，加法和减法是最基本的操作。
1. 加法运算平面向量的加法运算是指将两个向量相加得到一个新的向量的操作。
设有向量A(A₁, A₂)和向量A(A₁, A₂)，则它们的和为向量A(A₁,A₂)，即：A = A + A = (A₁ + A₁, A₂ + A₂)2. 减法运算平面向量的减法运算是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量的操作。
设有向量A(A₁, A₂)和向量A(A₁, A₂)，则它们的差为向量A(A₁, A₂)，即：A = A - A = (A₁ - A₁, A₂ - A₂)在进行平面向量的加减运算时，我们可以利用向量的坐标表示进行计算。
具体操作如下：1. 给出需要进行加减运算的向量A和向量A的坐标表示。
2. 将两个向量的对应坐标进行相加（或相减），得到新的坐标。
3. 根据得到的新坐标，构造新的向量A（加法运算）或向量A（减法运算）。
4. 最后，将新的向量A（加法运算）或向量A（减法运算）的坐标表示写出，即完成了平面向量的加减运算。
补充说明：1. 在计算过程中，要注意坐标的顺序，确保符号对应正确。
2. 加法运算和减法运算可以通过相互转化来进行，即：A + A = A - ( - A)3. 若有多个向量进行加减运算，可以采用逐步进行的方法，先进行第一对向量的运算，然后将得到的结果与下一个向量进行运算，依次类推。
4. 在实际问题中，应用到向量加减运算时，可以结合图像进行解释和计算，更直观地理解向量的运算规律。
通过以上步骤，我们可以完成平面向量的加减运算。
在实际应用中，平面向量的加减运算常常用于解决平面几何和物理学中的问题，如位移、速度、力的合成分解等。
总结：平面向量的加减运算是指将两个向量相加或相减得到一个新的向量。
通过计算向量的各个坐标，然后进行相应的加减操作，我们可以得到最终的结果。
平面向量的加法减法与数乘运算课件
数乘的运算性 质
结合律
$\lambda(\mu\mathbf{a})=(\lambda\mu)\mathbf{a}$。
分配律
$\lambda(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\lambda\mathbf{a}+\lambd a\mathbf{b}$。
反交换律
$\lambda\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\lambda(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})$。
2023
PART 04
平面向量的加法减法与数 乘运算的应用
REPORTING
在物理学中的应用
力的合成
电磁学中的向量表示
在物理中，向量加法可以应用于力的 合成，例如两个力的向量和可以表示 为它们的加法运算。
在电磁学中，向量加法可以用于表示 电磁场中的向量，例如电场强度和磁 场强度。
速度和加速度
速度和加速度是物理学中重要的向量 概念，通过向量加法可以计算出物体 在不同方向上的速度和加速度。
详细描述
2. 这类题目需要学生灵活运用所学知识，进行深入思考 和细致计算。
2023
REPORTING
THANKS
感谢观看
求解向量与轴的夹角
通过数乘运算可以求得向量与 轴之间的夹角。
投影问题
通过数乘运算可以求得一个向 量在另一个向量上的投影。来自 2023PART 03
平面向量的加法减法与数 乘运算的几何意 义
REPORTING
平面向量的几何意 义
01
02
03
04
向量表示为有向线段
向量的起点为线段的起点，终 点为线段的终点
向量的长度和方向
平面向量的加减法
平面向量的加减法一、引言在数学中，向量是一个朝着特定方向的量，它有大小和方向两个属性。
平面向量可以按照特定的法则进行加减运算，这使得我们可以方便地处理平面上的各种几何问题。
本文将详细介绍平面向量的加减法，在探讨其原理和应用的基础上，给出一些实例进行解析。
二、平面向量的定义平面向量是指在平面上的一个有方向的线段，可以用一个箭头来表示。
平面向量通常用字母加上一个箭头表示，如a→和b→。
其中，线段的起点称为向量的起点，线段的终点称为向量的终点。
平面向量还可以用坐标表示，如向量a→可以表示为(a₁, a₂)。
三、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量按照一定的法则相加得到一个新的向量。
对于平面向量a→(a₁, a₂)和b→(b₁, b₂)，它们的加法定义如下：a→ + b→ = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)换句话说，平面向量的加法就是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
这一法则也可以简单归纳为平行四边形法则。
1. 加法示例例如，对于平面向量a→(2, 3)和b→(4, -1)，它们的和可以计算如下：a→ + b→ = (2 + 4, 3 + (-1)) = (6, 2)四、平面向量的减法平面向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量的操作。
对于平面向量a→(a₁, a₂)和b→(b₁, b₂)，它们的减法定义如下：a→ - b→ = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)换句话说，平面向量的减法就是将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。
1. 减法示例例如，对于平面向量a→(2, 3)和b→(4, -1)，它们的差可以计算如下：a→ - b→ = (2 - 4, 3 - (-1)) = (-2, 4)五、平面向量的性质平面向量的加法和减法满足一些性质，下面列举几个重要的性质：1.交换律：a→ + b→ = b→ + a→2.结合律：a→ + (b→ + c→) = (a→ + b→) + c→3.零向量：对于任意向量a→，都有a→ + 0→ = a→4.反向量：对于任意向量a→，都有a→ + (-a→) = 0→这些性质对于解题和简化计算过程是非常有用的。
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【知识结构】 【要点点拨】 一.平面向量 1.有向线段 规定了方向的线段叫做有向线段。
2.向量既有大小又有方向的量叫做向量。
向量的大小也叫做向量的长度。
（或向量的模） 3.向量的表示（1）向量可以用有向线段直观表示 ①有向线段的长度表示向量的长度； ②有向线段的方向表示向量的方向。
（2）常见的表示方法①向量AB u u u r，长度记为AB u u u r ；②向量a r 、b r 、c r ，长度记为a r 、b r 、c r。
4.相等的向量方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量。
5.相反的向量方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量。
6.平行向量方向相同或相反的两个向量叫做平行向量。
例1:判断下列语句是否正确：（1）用有向线段表示向量时，起点不同但“同向且等长”的有向线段表示相等的向量。
（2）表示两个向量的有向线段具有同一起点，那么当两个向量不相等时，两个有向线段的终点有可能相同。
（3）向量AB u u u r 与向量BA u u u r是同一个向量。
（4）相等向量一定是平行向量。
（5）互为相反的向量不一定是平行向量。
（6）平行向量一定是相等向量或互为相反的向量。
例2:在梯形ABCD 中，//AD BC ，AB CD ，//DE AB ，点E 在BC 上，如果把图中线段都画成有向线段，那么在这些有向线段表示的向量中，指出（用符号表示）。
平面向量的减法平面向量的加法平面向量的概念平面向量（1）所有与AB u u u r相等的向量。
（2）所有与AB u u u r互为相反的向量。
（3）所有与AD u u u r平行的向量。
二.平面向量的加法 1.向量的加法求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法。
2.零向量长度为零的向量叫做零向量，记作0r 。
规定0r 的方向可以是任意的（或者说不确定）；00=r。
因此，两个相反向量的和向量是零向量，即：()0a a +-=r r r 。
对于任意向量，都有0a a +=r r r ，0a a +=r r r。
3.向量的加法满足交换律：a b b a +=+r r r r。
4.向量的加法满足结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r r u u r。
5.向量加法的三角形法则求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量。
6.向量加法的多边形法则几个向量相加，可把这几个向量首尾顺次相接，那么以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，就是这几个向量的和向量。
例1 如图，已知向量a r 与b r ，求作a b +r r。
例2 计算：（1）AB BC +=u u u r u u u r ；OE EF +=u u u r u u u r. （2）AE FC EF ++=u u u r u u u r u u u r。
（3）AB BC CD DE EF ++++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r。
三、平面向量的减法 1.向量的减法已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法。
减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即：()a b a b -=+-r r r r。
2.向量减法的三角形法则在平面内取一点，以这个点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量。
3.向量加法的平行四边形法则如果a r ，b r是两个不平行的向量，那么求它们的和向量时，可以在平面内任取一点为公共起点作两个向量与a r ，b r相等，以这两个向量为邻边作平行四边形，然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是a r ，b r的和向量，这个法则叫做向量加法的平行四边形法则。
4.另外一个对角线向量，即是a r ，b r的差向量，这个差向量与被减向量共终点。
例1 如图，在图中画出向量AB AC -u u u r u u u r。
例2 计算：AB-u u u r例3 如图，a =r ，BC b =u u u r r 。
试用向量a r 和b r 表示向量OA u u u r ，OC u u u r，OE uuu r。
巩固练习 一、填空题1.已知下列各量:2.已知向量a r 与向量b r 是互为相反的向量，如果a kb =r r，那么k = .3.如果a r 与b r 互为相反的向量，则a b +=r r.4.已知平行四边形ABCD 中，向量AC u u u r ，DA u u u r ，BD u u u r的和为 . 5.如右图，梯形ABCD 中，//AB DC ，点E 在AB 上，//EC AD ，则6.在ABCD Y 中，若AD a =u u u r r ，AB b =u u u r r ，则DB =u u u r（用a r 和b r 表示）。
7.如图，四边形OACB 是平行四边形，AB 、OC 是对角线。
如果OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，那么OC uuu r= ，AB uuu r= 。
二、选择题1.下列句子正确的是（ ）A.向量是描述“两个点得分相对位置差”的量B.向量与“平移”没有关系C.有向线段表示同一个向量必须起点相同且“同向等长”D.两条不同的有向线段分别表示的向量一定不是相等向量2.下列关于a r 、b r 的式子：①//a b r r ；②a b =-r r ；③0a b +=r r ；④a b =r r。
如果a r 、b r 互为相反向量，那么上面式子中正确的个数为（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 3.下列命题中，假命题的是（ ）A.若0a b -=r r r ，则a b =r rB.若a b =-r r ，则//a b r rED CBA OCB AC.若a b =r r ，则//a b r rD.若a b =r r，则a b =r r 4.下列判断中，不正确的是（ ）A.如果AB CD =u u u r u u u r ，那么AB CD =u u u r u u u rB.0AB BA +=u u u r u u u rC.a b c c b a ++=++r r r r r rD.()()a b c a b c ++=++r r r r r r5.下列命题中，假命题的是（ ）A.零向量没有方向B.零向量和任意向量平行C.a b b a +=+r r r rD.如果(0)a k b k =⋅≠r r，那么//a b r r6.若O 是等边三角形ABC 的三边上的高的交点，则向量,,AO OB OC u u u r u u u r u u u r是（ ）A.起点相同的量B.平行的量C.模相等的向量D.相等的向量 7.在平行四边形中，下列等式成立的是（ ）A.0AB CD +=u u u r u u u rB.AD AB CA +=u u u r u u u r u u rC.AD AB DB -=u u u r u u u r u u u rD.0AB CD +=u u u r u u u r r8.如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，AC 、BD 相交于O ，下列命题正确的个数是（ ）①若AB DC =u u u r u u u r ，则梯形是等腰梯形； ②若OB OC =u u u r u u u r，则梯形是等腰梯形； ③若梯形是等腰梯形，则AB DC =u u u r u u u r ④若AB DC =u u u r u u u r ，则AC DB =u u u r u u u r。
A.1个B.2个C.3个D.4个 三、解答题1.用有向线段（比例尺1:100）表示两个点的相对位置。
（1）点A 在点B 的正南250米处。
（2）点C 在点B 的东北150米处。
（3）点D 在点B 的南偏东30o方向的3米处。
2.如图，等边ABC V 中，D 、E 、F 分别是AC 、AB 、BC 的中点，图中点的边都看成有向线段，那么（1）与ED 相等的线段有 条。
（2）写出与向量DE u u u r相等的向量。
（3）写出与向量DE u u u r平行的向量。
3.某人从A 出发向西走了200米到达点B ，然后改变了方向向北偏西60o走了450米到达点C ，最后又改变方向，向东走了200米到达点D 。
（1）作出向量AB u u u r 、BC uuur 、CD uuu r （比例尺为1:10000）。
（2）求DA u u u r。
4.如图，已知a r ，b r ，c r ，求作：a c b ++r r r。
5.如图，已知在梯形ABCD 中，//AD BC ，点E 在边BC 上，联结DE ，AC 。
（1）填空：CD DE +=u u u r u u u r ；BC AB DA CE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r。
（2）求作：AB AD +u u u r u u u r。
FED CBA DA ODCB AODCBA6.已知a r ，b r ，用平行四边形法则求（1）a b +r r 。
（2）a b -r r 。
7.如图，点E 在ABCD Y 的对角线BD 上。
（1）填空：BC BA +=u u u r u u u r ； BC AE -=u u u r u u u r。
（2）求作：BC AE +u u u r u u u r。
8.如图，点B 、D 在平行四边形AECF 的对角线EF 上，且EB DF =，设EC a =u u u r r ，EA b =u u u r r ,AD c =u u u r r。
（1）填空：a b -=r r ； b c +=r r。
（2）求作：a c +r r。
家庭作业 一.填空题1.在四边形ABCD 中，如果AB DC =u u u r u u u r ，那么与CB u u u r相等的向量是 . 2.用向量的形式添加一个条件 ，使四边形ABCD 是平行四边形.3.计算：AB BC CD DE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r. 4.8a =r ，方向向西，5b =r ，方向向东，则a b +=r r.5.计算：（1）OA CA OC --=u u u r u u r u u u r . （2）AO AD OC -+=u u u r u u u r u u u r.（3）AB DE CD BE --+=u u u r u u u r u u u r u u u r . （4）AC BA CK BK ++-=u u u r u u u r u u u r u u u r.6.已知ABCD Y 中，若AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么用a r 和b r 表示向量CA u u r= .7.已知：矩形ABCD ，对角线AC 、BD 相交于点O 。