八种经典数列通项公式的方法

八种求数列通项公式的方法

一、公式法

例1 已知数列{}n a 满足1232n

n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232n

n n a a +=+?两边除以12n +，得

113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1

2

22a 11==为首项，以23

为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n

a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222

n

n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n

n n a a +=+?转化为

113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2

n

n

a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出3

1(1)

22

n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 二、累加法

例2 已知数列{}n a 满足1121

1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

11232211

2

()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1

2[(1)(2)21](1)1

(1)2(1)1

2

(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n

n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2

n a n =。

评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出

11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+L ，即得数列{}n a 的通项公式。

例3 已知数列{}n a 满足112313n

n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由1231n n n a a +=+?+得1231n

n n a a +-=?+则

11232211

122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)3

13

331331

n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-L L L

所以3 1.n

n a n =+-

评注：本题解题的关键是把递推关系式1231n n n a a +=+?+转化为1231n

n n a a +-=?+，进而求出

11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+L ，即得数列{}n a 的通项公式。

例4 已知数列{}n a 满足1132313n

n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：13231n n n a a +=+?+两边除以1

3n +，得

111

21

3333

n n n n n a a +++=++， 则

111

21

3333n n n n n a a +++-=+

，故 11223211

2232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1

333333

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++L L L

因此11

(13)2(1)211

3133133223n n n n n

a n n ---=++=+-

-?， 则211

33.322

n n n a n =

??+?- 评注：本题解题的关键是把递推关系式13231n

n n a a +=+?+转化为

11121

3333

n n n n n a a +++-=+，进而求出112232*********(

)()()()333333333n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a -----------+-+-++-+L ，即得数列3n n a ??????

的通项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。 三、累乘法

例5 已知数列{}n a 满足112(1)53n

n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为112(1)53n

n n a n a a +=+?=，，所以0n a ≠，则

1

2(1)5n n n

a n a +=+，故

13211221

12211(1)(2)21(1)

1

2

[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]5332

5!

n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=

?????=-+-+??+?+??=-?????=???L L L L 所以数列{}n a 的通项公式为(1)1

2

32

5

!.n n n n a n --=???

评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n

n n a n a +=+?转化为

12(1)5n n n a n a +=+，进而求出13211221

n n n n a a a a

a a a a a ---?????L ，即得数列{}n a 的通项公式。

例6已知数列{}n a 满足112311

23(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥L ，，求{}n a 的通项公式。 解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥L ①

所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+L ②

用②式－①式得1.n n n a a na +-= 则1(1)(2)n n a n a n +=+≥

故

1

1(2)n n

a n n a +=+≥ 所以13222122![(1)43].2

n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=

????=-???=L L ③

由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥L ，21222n a a a ==+取得，则21a a =，又知11a =，则21a =，代入③得

!

13452

n n a n =?????=

L 。 所以，{}n a 的通项公式为!.2

n n a =

评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为

11(2)n n a n n a +=+≥，进而求出132122

n n n n a a a

a a a a ---????L ，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。 四、待定系数法

例7 已知数列{}n a 满足112356n

n n a a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：设1

15

2(5)n n n n a x a x +++?=+?

④

将1235n n n a a +=+?代入④式，得12355225n n n n n a x a x ++?+?=+?，等式两边消去2n a ，得135525n n n

x x +?+?=?，两

边除以5n ，得352,1,x x x +==-则代入④式得1

15

2(5)n n n n a a ++-=-

⑤

由1

156510a -=-=≠及⑤式得50n

n a -≠，则1

1525

n n n

n a a ++-=-，则数列{5}n n a -是以1151a -=为首项，以2为公比的等比数列，则152n n n a --=，故125n n

n a -=+。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1235n n n a a +=+?转化为1152(5)n n n n a a ++-=-，从而可知数列{5}n

n a -是等比数列，进而求出数列{5}n

n a -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。

例8 已知数列{}n a 满足1135241n

n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：设1

12

3(2)n n n n a x y a x y +++?+=+?+

⑥

将13524n

n n a a +=+?+代入⑥式，得

1352423(2)n n n n n a x y a x y ++?++?+=+?+

整理得(52)24323n

n

x y x y +?++=?+。

令52343x x y y +=??

+=?，则5

2

x y =??=?，代入⑥式得

115223(522)n n n n a a +++?+=+?+

⑦

由1

1522112130a +?+=+=≠及⑦式，

得5220n

n a +?+≠，则11522

3522

n n n

n a a +++?+=+?+， 故数列{522}n n a +?+是以1152211213a +?+=+=为首项，以3为公比的等比数列，因此1

522133n n n a -+?+=?，则

1133522n n n a -=?-?-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式13524n n n a a +=+?+转化为115223(522)n n

n n a a +++?+=+?+，从而可知数列

{522}n n a +?+是等比数列，进而求出数列{522}n n a +?+的通项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。

例11 已知数列{}n a 满足3(1)2

115n

n n n a a a ++==，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为3(1)21n n n n a a ++=，所以1

21

323(1)2

321

2

[]n n n n n n n n n a a a ---?-??--== 2(2)(1)

32(2)(1)3(3)(2)(1)

112(3)(2)(1)

(1)1

2

3(1)22

3(2)23(1)23

3(2)(1)23

323(2)(1)21

3

!21[]

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a

a a a

a -+---+--+-+--+++-+-+----??--?-??---?-??-?-????======L L L L L

又15a =，所以数列{}n a 的通项公式为(1)12

3!2

5

n n n n n a --??=。

评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式3(1)2

1n

n n n a a ++=

例13 已知数列{}n a

满足111

(14116n n a a a +=

+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：令n b =2

1(1)24

n n a b =- 故2111(1)24n n a b ++=

-

，代入11

(1416

n n a a +=+得 22

1111(1)[14(1)]241624

n n n b b b +-=+-+ 即2214(3)n n b b +=+

因为0n b =≥

，故10n b +=≥ 则123n n b b +=+，即11322

n n b b +=+， 可化为11

3(3)2

n n b b +-=

-， 所以{3}n b -

是以13332b -==为首项，以21

为公比的等比数列，因此121132()()22

n n n b ---==，则2

1

()

32

n n b -=+

21

()32

n -=+，得

2111()()3423

n n n a =++。

[例1] 已知3

log 1log 23

-=

x ，求???++???+++n

x x x x 32的前n 项和.

解：由2

1

2log log 3log 1log 3323

=?-=?-=

x x x

由等比数列求和公式得：n n

x x x x S +???+++=32 =

x

x x n

--1)

1(＝

2

11)211(21--n ＝1－n 21

[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求

1

)32()(++=

n n

S n S n f 的最大值.

解：由等差数列求和公式得

)1(21+=

n n S n ， 11

(1)(2)2

n S n n +=++ ∴

1)32()(++=

n n S n S n f ＝64

342++n n n

＝

n

n 64341+

+＝

50

)8(12+-

n

n 50

1

≤∴ 当

0=，即n ＝8时，501)(max =n f

64(n 16)n +

≥=也可以利用基本不等式

[例3] 求和：132)12(7531--+???++++=n n

x n x x x S ………………………①

解：由题可知，{

1

)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{

1

-n x }的通项之积：设

n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=…②（设制错位）

①－②得

n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：

n

n n x n x

x x S x )12(1121)1(1----?+=--。∴ 2

1)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列

??????,22,,26,24,2232n n 前n 项的和.解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2

1

}的通项之积 设n n n

S 2226242232+???+++=…………………………………①

14322226242221++???+++=n n n S …………② ①－②得1432222222222222)211(+-+???++++=-n n n n S

1122212+---=n n n ∴ 12

24-+-=n n n S

三、倒序相加法求和

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.

[例6] 求οοοοο

89sin 88sin 3sin 2sin 1sin

22222++???+++的值

解：设οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++=S

…………. ①

将①式右边反序得：

ο

οοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++???++=S ……② 又因为

1

cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x ο，

①

+

②

得

：

)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222οοοοοο++???++++=S ＝89 ∴ S ＝44.5