有理数知识点
有理数
一、知识结构图
本章的主要内容可以概括为有理数的概念与有理数的运算两部分。有理数的概念可以利用数轴来认识、理解，同时，利用数轴又可以把这些概念串在一起。有理数的运算是全章的重点。在运算时，要注意四个方面，一是运算法则，二是运算律，三是运算顺序，四是近似计算。 二、知识要点：
1.正数：大于零的数。 负数：小于零的数（在正数前面加上负号“—”的数） 注意：①0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界点
②对于正数和负数，不能简单理解为带“+”号的数是正数，带“—”号的数是负数 ③正数和负数可以表示两种具有相反意义的量。
2.有理数的分类： 按定义分 按性质符号分
?????
???
????????????????????????），，，负分数（如，如正分数分数），，负整数（如自然数）正整数（如整数有理数 ...506.0-529.0-71-)
3.0,238.0,117(2-1-03,2,1
???
?
??
????????
?负分数负整数负有理数正分数正整数
正有理数0 注意：①两种分类方法不同，但都包含了所有的有理数。 ②零既不是正数也不是负数，但它是整数。 ③常见的不是有理数的数有π和有规律的但不循环的小数。如：0.0100100010001000010000010000001……
有理数
3.数轴及有理数的大小比较
要点：①画数轴时，要注意数轴的三要素：原点，正方向，单位长度。
②所有的有理数都可以用数轴上的一个点表示，但数轴上还有些点不代表有理数，如π。 ③数轴上右边点表示的数总比左边点表示的数大。即：负数小于0，0小于正数，负数小于正数。 ④两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 例：-1>-2 4.相反数
数轴上在 两侧且到 的距离相等的两个点表示的两个数互为相反数(几何定义)， 只有符号不同的两个数互为相反数(代数定义)，0的相反数是0。
a 的相反数是 。求一个数的相反数就是在这个数前添“ - ”号后再化简。 5.倒数 乘积等于1的两个数互为倒数。如:a （a≠0）的倒数是
a
1。 6.绝对值
数轴上表示一个数的点到原点的 叫这个数的绝对值。 ①绝对值具有非负性，即┃a ┃ 0. ②互为相反数的两个数的绝对值 。
③若表示两个非负数的式子和为0（或这两个式子互为相反数），则这两个式子都等于 。 即非负条件式。如：若（x-3）2
+┃x+y+7┃=0，求y x
的值。
④数轴上两点间的距离就是表示这两个点的数的差的绝对值：表示数a 的点A 与表示数b 的点B 之间的距离
AB =︱a-b ︱或AB =︱b -a ︱。与表示数m 的点的距离为a （a ＞0）的点有两个：表示的数是m ±a . ⑤去绝对值的3条依据：正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数，
可用字母a 表示如下：??
?
??<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a
7. 有理数的运算： ① 加法法则：
同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。如：（+5）+（+6）=+11 （－5）+（－6）=－11 异号两数相加，绝对值相等时，和为0，绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 如：（+5）+（－5）=0； （+5）+（－6）=－1； （－5）+（+6）=1；
一个数与零相加，仍得这个数，如（+5）+0=+5； （－5）+0=－5
注意：做有理数的加法要经过两个步骤：⑴定 ； ⑵定 。 ②减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
如：（+5）－（+6）=（+5）+（－6）； （+5）－（－6）=（+5）+（+6）
③有理数加减法可以互化，主要表现为省略加号的写法： 如：-20+（+3）+（-5）-（-7）可写成 的形式，它读作： 的和或 。
④乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
如：（+5）×（+6）=30；（－5）×（－6）=30；（+5）×（－6）=－30；（－5）×（+6）=－30； 任何数与零相乘得零。 如：（－5）×0=0；0×（－6）=0 ⑤除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
如：（+9）÷（－3）=－3；（－9）÷（+3）=－3；（－9）÷（－3）=3；（+9）÷（+3）=3； 特别的：零除以一个不为零的数仍得零，零不能做除数。 如：0÷（－5）=0； 0÷（+5）=0； 除法法则还可以理解为：除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数。 如：
)2
3
(97)32(97-?=-÷ ⑥几个非0因数相乘除，积的符号由负因数的个数决定，有奇数个负因数，则积为负，偶数个负因数，则积
为正。若几个因数相乘，其中一个因数为0则结果等于0。
注意：有理数的乘除法仍与加减法类似应先定 ，再定 。会灵活应用乘法运算律简便运算：①分配律： ；②结合律： ；③交换律： 。 ⑦有理数的乘方：乘方是求几个 因式的积的运算。
公式：
个
n n a a a a a ????????= 其中a 叫 ，n 叫 ，a n
叫 .当n =1时， 省略不写。 注意：正数的任何次幂都是正数；0的任何次幂都是0；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即： 当a ＞0时，a n
0;当a<0时，a 2n
0或a 2n+1
0.
当a 为一切有理数时，a 2n 0，即a 2n
是 数(其中n 是正整数)。 ⑧有理数的混合运算顺序：
先乘方，再乘除，后加减；同级运算从左到右进行；如果有括号，先做括号里的运算。（一般情况下按小括号、中括号、大括号的次序进行）
8.特殊数字知识点：
相反数是本身的数是0；绝对值是本身的数是零和正数；绝对值是相反数的数是零和负数；倒数是本身的数 是 -1，+1 ；平方等于本身的数是 0,1 ；立方等于本身的数是0，-1，+1；平方等于相反数的数是0,-1； 立方等于相反数的数是0；奇数次幂等于本身的数是 0,-1 ；偶数次幂等于本身的数是 0,1 ；任何正整数 次幂都等于本身的数是0,1。 9.科学记数法、近似数与有效数字
①一般地一个绝对值大于或等于10的数，都可以记成±a×10n
的形式，其中1≤a＜10，n 等于原数的整数位数减1。这种记数方法，在科学技术方面是常用的，习惯上把它叫做科学记数法。 如：1300000000=1.3×109
。 ②近似数：与实际接近的数。精确度表示近似数与准确数的接近程度。判断一个近似数的精确度就是看这个 数的最 位数字在什么数位上就说精确到哪一位；对于带记数单位的近似数的精确度应看单位前的数 字最末一位在还原后的数．．．．．．的哪一位上；科学记数法也看a 中的最末一位在还原后的数．．．．．．的哪一位上就是精确 到哪一位。按要求取近似值就是将要求精确到的数位后一位四舍五入，对于要求精确到的数位比个位高时 应先化为科学记数法再取近似值，如：35780000（精确到百万位）应为35．780000=3.57．．8×107
≈3.6．×107. ③有效数字：从左边第一个不是0的数字起到精确到的那一位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。
科学记数法的近似数看“a ”中的有效数字；带数量单位的近似数只看单位前的数的有效数字。
如：0.01234 精确到十万分位，有四个有效数字，为：1、2、3、4
2.60万 精确到百位，有三个有效数字，为：2、6、0
·
· · ·
7.8×105
精确到万位，有两个有效数字，为：7、8 误差=近似值－准确值
《有理数》考点透析
考点1：有关有理数的概念
例1（1）如果收入100元记作+100元，那么支出50元记作_________元．
（2）今年我市二月份的最低气温为－5℃，最高气温为13℃，那么这一天的最高气温比最低气温高 Ａ．－18℃； B ．18℃； Ｃ．13℃； Ｄ．5℃. （3）下列各数中，负数是（ ） A.-（-3）；B.-|-3|；C.（-3）2；D.-（-3）3 .
评注：解此类问题的关键是要弄清有理数的分类以及各类数的概念和本质特征. 不要被其外形所迷惑，尤其注意带负号的数不一定是负数.
考点2：数轴、相反数、倒数
例2 （1）如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）
（2）-
3
1
的倒数是（ ） A.3； B.- 3； C.
31； D.- 3
1
. （3）若a 与4互为相反数，则a = .如果a ＝－13，那么－a ＝______；
-5的相反数是 ；-（-8）的相反数是 ；- [+（-6）]= a 的相反数是
（4）已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值等于1，求a ＋b ＋x 2
－cdx 的值。 解析：考查相反数、倒数与绝对值的概念，由已知易得a ＋b=0，cd=1，又由|x|=1可知x=±1。 当x=1时，原式=0＋12
－1×1=0， 当x=－1时，原式=0＋（－1）2－1×（－1）=2.
所以a ＋b ＋x 2
－cdx 的值是0或2。
评注：（1）求一个数的相反数，关键要准确掌握相反数概念：只有符号不同的两个数称之为互为相反数. 若a 、b 互为相反数，则a + b = 0. （2）求一个数的倒数，关键要弄清倒数的概念：乘积为1的两个数称之为互为倒数.若a 、b 互为倒数，则ab = 1.
考点3：有关绝对值的运算
例3（1）－|－8|的值是 .
（2）已知|a - 1|= 5，则a 的值是（ ）
A.6；
B.- 4；
C.6或- 4；
D.- 6或4 . （3）已知（x – 2）2与 | y + 3 |互为相反数，则y x = .
（4）如果3>a ，则______3=-a ，______3=-a ． 评注：（1）绝对值是指表示这个数的点与原点的距离. 也就是说，| a |是非负数，即| a |≥0. （2）绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数.（3）若几个数的绝对值的和等于0，则每个数都等于0.
考点4：有关有理数大小的比较
例4 （1）在1，- 1，- 2这3个数中，任意两数之和的最大数是（ ） A.1； B.0； C.-1； D.- 3.
（2）实数a ，b 在数轴上表示如图，下列判断正确的是（ ） A.a < 0； B.a > 1； C.b > - 1； D.b < - 1.
（3）已知：|a|＞|b|，a ＞0，b ＜0，把a 、b 、－a 、－b 按由小到大的顺序排列。
0 a -1 b
解：先把a 、b 在数轴上表示出来，再把－a 、－b 在数轴上表示出来得：
∴－a ＜b ＜－b ＜a
评注：（1）正数 > 0 > 负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小. （2）数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大.
考点5：有关有理数的运算(先定符号，再计算)
例5（1）计算2 -（-3）的结果是（ ）
A.-5；
B.5；
C.1；
D.-1.
（2）计算（- 4）×（-
2
1
）的结果是（ ） A.8； B.-8； C.-2； D.2. （3）（- 4）×（-
2
1
） 例6（1）计算：（-100）×（-20）-（-3）= . （2）计算：- 9 + 5×（-6）-（-4）2÷（-8）. （3）33
= ；（2
1-）2
= ；-52= ；22的平方是 （4）有理数的运算
①（-5）3－3×41()2- ② ??
?
???--?-?-2)32(32322 ③25171()24(5)138612??--+?÷-????
④2
3
10
110.25(0.5)()(1)82
-÷-+-?- ⑤ 222221.02716)412(42)21(5.0÷???????+----+-
补充1：某学习小组的数学成绩，采用了80分为标准的办法，高于80分的记为正，低于80分的记为负，现有10名学生的成绩记录如下：+20，－10，－5，+15，+9，－3，+10，+8，+4，－16求这10名同学的平均成绩。
解：方法一：先求出这10名同学的实际得分：100，70，75，95，89，77，90，88，84，66 ∴平均成绩=
10
1
（100+70+75+95+89+77+90+88+84+66）=83.2 方法二：平均成绩=80+
10
1
（20－10－5+15+9－3+10+8+4－16）=83.2
补充2：已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示为这两数的点位于原点的两侧，两点间的距离为8，求这两个数。
解：设乙数为a ，则甲数为－3a
∴|a－（－3a ）|=8 ∴|a|=2 ∴a=±2 ∴甲数为6，乙数为－2；甲数为-6，乙数为2
评注：对于有理数运算总结如下口诀：加法运算要熟练，减法运算会转换，乘除要把符号判，运算顺序严把关，运算定律须灵变.
考点6：有关科学记数法、近似数与有效数字
例7 （1）41080000用科学记数法表示为 （ ）
A. 7
4.10810?; B. 641.0810?; C. 5410.810? ; D. 8
410810? .
（2）近似数0.4062精确到 ，有 个有效数字.
（3）近似数3.5万精确到 位，有 个有效数字；5.47×105
精确到 位，有 个有效数字 （4）3.4030×105
保留两个有效数字是 ，精确到千位是 . （5）某数有四舍五入得到3.240，那么原来的数一定介于 和 之间.
（6）2003年我国国内生产总值（GDP ）为116694亿元，用四舍五入法保留3个有效数字，用科学记 数法表示为 亿元；将-207 670保留3个有效数字，其近似数为 .
考点7：考查非负数的性质
例8 若有理数a 、b 满足|3a －1|＋(b-2)2
=0，则a b 的值为 。 析解：由绝对值及平方的非负特征，可知|3a －1|≥0，(b-2)2≥0，又|3a －1|＋(b-2)2=0。故只能有|3a －1|=0，
(b-2)2=0，所以 a= 13 ，b=2。∴ a b =（13 ）2= 1
9
。
考点8：考查数学思想方法
例9 设a 是大于1的有理数，若a ，a+23 ，2a+1
3 在数轴上对应的点分别记作A 、B 、C ，则A 、B 、C 三点
在数轴上自左至右的顺序是（ ）
A ． C 、
B 、A B . B 、
C 、A C . A 、B 、C
D . C 、A 、B
析解：本题考查有理数大小的比较方法，同时考查常用数学方法的灵活应用。如本题采用取特殊值法进行比较，则显得简捷明快。
因为a ＞1，所以不妨取a=4，则a+23 =2，2a+13 =3，由2＜3＜4知a+23 ＜2a+1
3 ＜a 。故应选B 。
例10 如下图，若数轴上A 、B 两点表示的数为a 、b ，则下列结论正确的是（ ）
A 、 1
2
b －a ＞0 B 、a －b ＞0 C 、2a ＋b ＞0 D 、a ＋b ＞0
析解：本题主要考查能否应用数形结合的思想并结合加、减法则进行判断，由图形知a ＜－1，0＜b ＜1，a
＜b ； 所以12 b －a = 1
2
b ＋(－a) ＞0；a －b ＜0；显然2a ＋b ＜0；a ＋b ＜0。所以只有A 正确，故选A 。
（注：此题也可由图形取特殊值。如取a =－2，b=0.5等，通过计算验证。）
A B a
b -1
1
例11 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”在一个边长为1的正方形纸版上，依次贴上面积为12 ，14 ，18 ，…，12n 的
矩形彩色纸片（n 为大于1的整数），请你用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，计算12 ＋14 ＋18 ＋…＋1
2
n = 。
析解：本题启示我们，运用数形结合思想构造几何图形，常可巧解代数题。如右图，事实上，这样一直贴下去，即是面积分别为12 、14 、18 、…、1
2
n 的小
矩形面积之和，而这恰好等于边长为1的大正方形的面积，故12 ＋14 ＋18 ＋…＋1
2
n =1。
考点9：考查数学思维能力
例12 已知|a b －2|与（b －1）2互为相反数，试求代数式1ab ＋1(a+1)(b+1) ＋1(a+2)(b+2)
＋…＋1
(a+2005)(b+2005)
的值。
析解：由已知仿例9可知|ab －2|=0，（b －1）2=0，所以ab －2=0，b －1=0，从而a=2，b=1。
则原式=11×2 ＋12×3 ＋13×4 ＋…＋1 2005×2006 ＋1
2006×2007
=(1－12 )＋(12 －13 )＋(13 －14 )＋…＋(12005 －12006 )＋(12006 －1
2007 )
=1－12007 = 2006
2007
.
注：应予以本题用到了逆向思维的思想（逆用分数加减法则），应予以重视。 例13 先观察下列算式，再填空：
32
－12
=8×1， 52
－32
=8×2, 72
－52
=8×( )， 92
－( )2
=8×4 ( )2
－92
=8×5， 132
－( )2
=8×( )……。
通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论： 。 析解：通过计算或根据规律可得应填数据。（1）3，（2）7，（3）11，（4）11，6。
结论：两个连续奇数的平方差能被8整除。
例14 观察下列等式9-1=8
16-4=12 25-9=16 36-16=20 …………
这些等式反映自然数间的某种规律，设n(n≥1)表示自然数，用关于n 的等式表示这个规律为 .
解析：阅读、观察后，可列下表：
1个 2个 3个 4个 … n 个
第一组数 9 16 25 36 … （n+2）2 第二组数 1 4 9 16 …
n 2 第三组数 8 12 16 20 … (n+2)2-n 2
=4(n+1) 故第n 个式子是：(n+2)2-n 2
=4(n+1).
12
1
4
18
116
132...
评注：在阅读材料、观察其过程的基础上，进行分析、探索、比较、归纳、猜想等思维活动，从而得到规律.
评注：本章内容在中考中大多以填空题，选择题的形式命题。综观近几年各省市中考题，考查的重点内容是相反数、倒数、非负数、绝对值的概念及有关性质，有理数的大小比较，近似数与科学记数法，另有与之相应的创新、探究型问题，但万变不离其宗，关键是理解并掌握基本概念及运算性质。
初学有理数的常见错误剖析
对于初学有理数者，在解题中出现错误是难免的，也是正常的，但必须弄清产生错误的原因，掌握正确的解答方法，只有这样才能逐步形成数学基本技能和能力，本文就有理数这一部分中的解题易犯错误归纳剖析如下．
一、答案不完整
例1．若一个有理数的：①倒数②绝对值③平方④立方，等于它本身，则这个数分别是⑴；（2）；（3）；（4）．
错误答案：⑴1 ⑵正数⑶ 1 ⑷±1 ．
分析：给出的答案不完整，漏掉了一些符合条件的数，产生错误的原因主要是把数的认识局限在正数范围之内，忽视0和才引进的负数，对数的范围的拓宽不适应，另外由于对负数、倒数、绝对值等概念没有完全正确理解而造成的错误．正确答案是：⑴±1 ⑵正数和0 ⑶1和0 ⑷±1和0．
二、分类不明确
例2．有理数中，⑴最小的正整数是；⑵最小的整数是；⑶绝对值最小的数是；
⑷最小的正数是．
错误答案：⑴0 ⑵ 1 ⑶ 1 ⑷ 1 ．
分析：产生错误的原因，一是对有理数的分类没有弄清楚，二是“任意两个有理数之间总至少存在一个有理数”的性质不理解，当然也有一部分同学因“正数”和“整数”的概念混淆而导致错误．
正确答案：⑴ 1 ⑵不存在⑶0 ⑷不存在．
三、概念不清晰
例3．判断正误：（1）任何一个有理数的相反数和它的绝对值都不可能相等（）
（2）任何一个有理数的相反数都不会等于它的倒数（）
错误答案：⑴∨⑵×．
分析：第（1）小题失误原因，一是误认为一个有理数a的相反数－a总是负数；
二是误认为a能够等于a，而得到a≠－a，究其根源是对“相反数”和“绝对值”的概念还没弄明白．第（2）
小题失误原因是对一个有理数和它的倒数，以及相反数的符号之间的关系不清晰所致．正确答案：⑴ × ⑵∨．
四、运算不准确 1．运算符号错误
例4．计算)15(120)4()25.6(-÷--?- 错解：原式=25－8=17．
剖析：此解将120前面的“－”号既视为运算符号，又视为性质符号，以致出错．应当注意“－”号在运算中只能当作二者中的一种．
正解：原式=25－（－8）=33． 例5．计算5)6(42----- 错解：原式=16＋6－5=17．
剖析：此解忽略了2
4-与2
)4(-的区别，24-表示4的平方的相反数，其结果为－16，2
)4(-表示两个－4相乘，其结果为16。应该注意“平方的相反数”与“相反数的平方”之间的区别与联系．
正解：原式=－16+6－5=－15． 2．运算顺序错误 例6．计算11)11
2
(112)11(?-÷?
- 错解：原式=（－2）÷（－2）=1．
剖析：此解法中的错误是违背了运算顺序，乘除为同一级运算，在同级运算中，应从左到右的顺序依次进行。而这里先做了乘法，后做除法．
正解：原式=121111111)211
(112)11(=?=?-??-． 例7．计算)1(2
121)3(22
2-?-+-+． 错解：原式=4+9+0×（－1）=13．
剖析：上面解法错在没有注意运算顺序，按从左到右的顺序依次计算。在)1(2
1
21-?-中，先算了减法，后
算乘法． 正解：原式=4+9+21+2
1
=14．
3．运算性质错误
例7．计算5.05.1)5.04
1()5.2(2-?--÷--．
错解：原式=4
33043122543)24(25)21(23)2141(252
22=+?=+-?=-?--÷．
剖析：上面解法中，出现了三个运算性质上的错误：一是)24(2
5
)2141(25-?≠-÷；二是
222)21()41()2141(-≠-；三是2
15.0-≠-． 正解：原式=4
1
39434043162543)41(252123)2141(2522=-=-?=--÷=?--÷．
4．滥用运算律 例8．计算36÷（
21－31－41
）． 错解：原式=36÷21－36÷31－36÷4
1
．
剖析：对于乘法有分配律a(b+c)=ab+ac ，但除法却没有相应的分配律，即a÷(b+c)≠a÷b ＋a÷c ，上述解法错
在乱造公式，乱套公式．
以上所列错误，究其原因，主要是对有理数的有关概念不明，运算性质、运算法则不熟所致，因此，在学习有理数时，一定要正确理解概念，准确运用运算性质，熟练使用运算法则，提高解题能力．
【模拟试题】 一、想一想，填一填
1. 0.2的相反数的倒数是 。
2.在数轴上A 点表示522
-，B 点表示7
3
2，那么到原点的距离较远的是 。 3.小于5而大于－4的所有偶数的和是 。 4.平方得64的有理数是 。
5.若－3≤m≤－1，－63≤n≤－6，则m －n 的最大值是 。
6.如果a ＞0，b ＜0，a+b ＞0，那么|a| |b|。（用“>”或“<”填空）
7.一个数与7的和等于－2，则这个数与7的积等于 。
8.已知A=a+a 2
+a 3
+a 4
+…+a
2000
，若a=l ，则A= ；若a=－1，则A= 。
补：有一次小明在做24点游戏时抽到的四张牌分别是＋7，＋3，－3，＋7，他苦思不得其解，相信聪明的你一
定能帮他解除困难，请写出一个成功的算式：______________=24. 二、看一看，选一选 9.－0.2，21-，3
1
-的大小顺序是（ ） A.31-
＜21-＜－0.2 B.21-＜－0.2＜31- C.21-＜31-＜－0.2 D.－0.2＜21-＜3
1- 10.如果x 是有理数，那么（ ）
A. 1－x 的值一定比1小
B. 1－x 2
的值一定比1小 C. 1－x 的值不大于1 D. 1－x 2
的值不大于1 11.一天有8.64×104
s ，一年如果按365天计算，则一年有多少秒可用科学记数法表示为（ ） A. 3.153 6×107
B. 3.153 5×106
C. 3.153 6×103
D. 3.153 6×104
12.如果由四舍五入得到的近似数是35，那么在下列各数中不可能是其值的是（ ） A. 34.49 B. 34.51 C. 34.99 D. 35.49 13. a 、b 为有理数，在数轴上如下图所示，则（ ）
A.
a 1＜1＜
b 1 B. a 1＜b 1＜1 C. b 1＜a 1＜1 D. 1＜b 1＜a
1 14.已知n 表示正整数，则2
)1(1n
n -+一定是（ ）
A. 0
B. 1
C. 0或1
D.无法确定，随n 的不同而不同 补：计算（－2）2004+（－2）2003的结果是（ ）
A 、－1
B 、－2
C 、22003
D 、－22004
三、试一试，答一答
15.已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，e 的绝对值为1，求2005
20062b a cd e +-+的值。
16.计算：
⑴524)436183(2411÷??
?
????-+- ⑵???
???-÷---?-243)21(12)1()2(
17. 已知()0122
=++-b ab
（1）求a,b 的值 （2）求2008
2008
2??
?
??-a b
的值
（3）求()()()()
()()2008200812211111--+??+--+--+b a b a b a ab
18.计算：
⑴ 234
)5()3(251)32(313---?-??
?????-÷ ⑵??????-?÷---?--22)3()532.01(2)3(
19．如果一个数等于它的不包括自身的所有因数之和，那么这个数就叫完全数．例如，6的不包括自身的所有因数为1，2，3．而且6123=++，所以6是完全数．大约2200多年前，欧几里德提出：如果21n
-是质数，那么)12(2
1
-?-n n 是一个完全数，请你根据这个结论写出6之后的下一个完全数是 ．
20、杭州市出租车收费标准如下：3公里以内（含3公里）收费10元，超过3公里的部分每公里收费2元。超过起步里程10公里以上的部分加收50%，即每公里3元。（不足1公里以1公里计算） ⑴小明一次乘坐出租车行驶4.1公里应付车费多少元？（3分） ⑵若小明乘坐出租车行驶14.9公里，问应付车费多少元？（3分）
⑶小明家距离学校13.1公里，周末小明身边带了31元钱，则小明从学校坐出租车到家的钱够吗？如果够，还剩多少钱？如果不够他至少要先走多少公里路？（4分）
初一数学专题——有理数
试题答案
一、想一想，填一填（每小题3分，共24分）
1、－5
2、B
3、4
4、±8
5、62
6、＞
7、－63
8、2000，0； 二、看一看，选一选（每小题3分，共18分）
9、C 10、D 11、A 12、A 13、B 14、C 三、试一试，答一答（共58分）
15、a+b=0 cd=1 |e|=1 ∴e 2
=1 值为2007 16、（1） 24
29
（2）40 17、 18、（1）30（2）－12 19、28
20、
（1）不足1公里以1公里计算，4.1≈5，又3公里以内（含3公里）收费10元，超过3公里的部分每公里收费2元， 故车费为10+（5-3）×2=14（元）．
∴小明一次乘坐出租车行驶4.1公里应付车费14元；
（2）不足1公里以1公里计算，14.9≈15，又3公里以内（含3公里）收费10元，超过3公里的部分每公里收费2元，超过起步里程10公里以上每公里3元，故车费为10+10×2+（15-3-10）×3=36（元）， ∴小明乘坐出租车行驶14.9公里应付车费36元；
（3）不足1公里以1公里计算，13.1≈14，又3公里以内（含3公里）收费10元，超过3公里的部分每公里收费2元，超过起步里程10公里以上每公里3元，故车费为10+10×2+（14-3-10）×3=33（元）． ∴小明的钱不够， ∴31-10-10×2=1＜3（元） 故小明至少要走0.1公里路．
∴小明从学校坐出租车到家的钱不够，至少要走0.1公里路．
有理数的运算T16：（1）67．
（2）图4中所有圆圈中共有12(121)
12312782
++++
+=
=个数， 其中23个负数，1个0，54个正数，
∴图4中所有圆圈中各数的绝对值之和|23||22||1|01254=-+-++-++++
+
(12323)(12354)27614851761=+++++++++=+=．
有理数知识点归纳及典型例题
一、【正负数】 有理数的分类：★☆▲ _____________统称整数，试举例说明。 _____________统称分数，试举例说明。 ____________统称有理数。 [基础练习] 1☆把下列各数填在相应额大括号内： 1，－，-789，25，0，-20，，-590，6/7 ·正整数集｛ …｝；·正有理数集｛ …｝；·负有理数集｛ …｝ ·负整数集｛ …｝；·自然数集｛ …｝；·正分数集｛ …｝ ·负分数集｛ …｝ 2☆ 某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则元的意义 是 ；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是 。 二、【数轴】 规定了 、 、 的直线，叫数轴 [基础练习] 1☆如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（ ） 2☆在数轴上画出表示下列各数的点，并按从大到小的顺序排列，用“>”号连接起来。 4，-|-2|， ， 1， 0 3下列语句中正确的是（ ） Ａ数轴上的点只能表示整数 Ｂ数轴上的点只能表示分数 Ｃ数轴上的点只能表示有理数 Ｄ所有有理数都可以用数轴上的点表示出来 4、★ ①比－3大的负整数是_______； ②已知ｍ是整数且-4 新浙教版七年级上册数学第一章《有理数》知识点及典型例题 知识框图 如升高3米与下除2米；盈利3万与亏损5万；收入4万与支出8万等 为了表示具有相反意义的量，把一种意义的量规定为正，与之意义相反 的量规定为负 规定了原点、单位长度、和正方向的直线叫做数轴; 任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示 数轴 两个数只有符号不同，称其中一个数为另一个数的相反数 互为相反数的两个数所对应的点在数轴上的位置关系 数轴比较法 有理数大小的比较 法则比较法 自然数 1 ! 分数 用以计量事物的件数或表示事物次序的数 计数 测量 标号或排序 可以看做两个整数相除。所有的分数都可以化为有限小数或无限循环小数， 但 并不是所有的小数都可以化为分数，如圆周率 n 绝对值 J 绝对值的法则 绝对值的概念 具有相反意义的量 有理数 相反数 将考点与相应习题联系起来 考点一、关于“……说法正确的是……”的题型（ 只可能是选择题） 1、下列语句：① 带“-”号的数是负数；② 如果a 为正数，则-a 一定是负数；③ 不存在既不是正数又不是负 数的数；④0°C 表示没有温度，正确的有（ ）个 A.0 B.1 C.2 D.3 2、下列说法不正确的是（ ） 5、 若| a + b| =—（ a + b ）,下列结论正确的是（ ） A.a + b < 0 B.a + b<0 C.a + b=0 D.a + b>0 6、 下列说法：① 一个数的绝对值的相反数一定是负数；② 只有负数的绝对值是它的相反数；③ 正数和零的绝 对值都等于它本身；④互为相反数的两个数的绝对值相等，错误的个数是 （） A.3 个 B.2个 C.1 个 D.0 个 7、 如果a 表示有理数，那么下列说法中正确的是（ ） A.+a 与-（-a ）互为相反数 B. +a 与-a 一定不相等 C.-a 一定是负数 D. -（+a ） 与+（-a ） —定相等 8、 已知字母a 、b 表示有理数，如果 a + b =0,则下列说法正确的是（ ） A. a 、b 中一定有一个是负数 B. a 、b 都为0 C. a 与b 不可能相等 D. a 与b 的绝对值相等 9、 下列说法正确的是（ ） A. -|a| —定是负数 B.只有两个数相等时，它们的绝对值才相等 C.若|a|=|b|,则a 与b 互为相反数 D.若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数 10、 给出下面说法：① 互为相反数的两个数绝对值相等；② 一个数的绝对值等于它本身，这个数不是负数； ③若|m|>m ，贝U m<0 :④若|a|>|b|,贝U a>b ，其中正确的有（ ） A.①②③ B. ①②④ C. ①③④ D.②③④ 考点二、具有相反意义的量、相反数、数轴、绝对值、有理数的分类等概念的直接考题 1、 某项科学研究，以 45分钟为1个时间单位，并记每天上午 10时为0, 10时以前记为负，10时以后记为正， 例如9： 15记为-1 , 10： 45记为1等等，以此类推，上午 7: 45应记为 __________ 1 2、 在时钟上，把时针从钟面数字“ 12”按顺时针方向拨到“ 6”，计做拨了“ +— ”周，那么，把时针从“ 12” 2 1 开始，拨了“ 一”周后，该时针所指的钟面数字是 ______________ 4 3、 若a 与b 互为相反数，则下列式子：① a+b=0；②a=-b :③|a|=|-b| :④a=b ,其中一定成立的序号为 _________ 4、 数轴上到数-1所表示的点的距离为 5的点所表示的数是 5、 绝对值最小的有理数是 ________ ;绝对值最小的整数是 ____________ ； | 3.14 —n |= ________ A.数轴是一条直线; B.表示-1的点，离原点1个单位长度; C.数轴上表示-3的点与表示-1的点相距2个单位长度; D.距原点3个单位长度的点表示一3或3。 3、 下列说法中不正确的是（ ） A. — 5表示的点到原点的距离是5; C. 一个有理数的绝对值一定不是负数； 4、 如图：下列说法正确的是（ ） A.a 比b 大 B.b 比a 大 C.a B. 一个有理数的绝对值一定是正数； D.互为相反数的两个数的绝对值一定相等. b 一样大 D.a 、b 的大小无法确定 b 初中有理数知识点总结 初中有理数知识点总结 有理数 （1）凡能写成形式的数，都是有理数。正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数。注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；p不是有理数； （2）有理数的分类：①整数②分数 （3）注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性； （4）自然数：0和正整数。a＞0，a是正数；a＜0，a是负数；a≥0，a是正数或0，a是非负数；a≤0，a是负数或0，a是非正数。 有理数比大小： （1）正数的绝对值越大，这个数越大； （2）正数永远比0大，负数永远比0小； （3）正数大于一切负数； （4）两个负数比大小，绝对值大的反而小； （5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； （6）大数-小数＞0，小数-大数＜0. 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数。 有理数加法的运算律： （1）加法的交换律：a+b=b+a；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。 9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）。 有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； （2）任何数同零相乘都得零； （3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定。 有理数乘法的运算律： （1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）； （3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac。 有理数除法法则： 除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，。 有理数乘方的法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n为正奇数时：（-a）n=-an或（a-b）n=-（b-a）n，当n为正偶数时：（-a）n=an 或（a-b）n=（b-a）n。 有理数的运算 一、本节学习指导 有理数的运算和我们小学学习的四则运算很相似，运算规律也一样，不同的是有理数运算中有负数参与，所以相对要复杂一些，本节要多加练习。 二、知识要点 1、有理数的加法 （1）、有理数加法法则： ① 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ② 异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ③ 一个数与0相加，仍得这个数。 （2）、加法计算步骤：先定符号，再算绝对值。 （3）、有理数加法的运算律： ① 加法的交换律：a+b=b+a; ② 加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。 （4）、为了计算简便 ,往往会采取以下方法： ①互为相反的两个数，可以先相加； ②符号相同的数，可以先相加； ③分母相同的数，可以先相加； ④几个数相加能得到整数，可以先相加。 2、有理数的减法 （1）、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+ （-b）。（有理数减法运算时注意两“变”:①减法变加法；②把减数变为它的相反数。） 注：有理数的减法实质就是把减法变加法。 3、有理数的乘法 （1）、有理数乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； ②任何数同零相乘都得零； （2）、一个数同1相乘，结果是原数；一个数同-1相乘，结果是原数的相反数。 （3）、乘积为1的两个数互为倒数； 注意：0没有倒数；若ab=1<====>a、b互为倒数。 （4）、几个不是偶的数相乘，积的符号由负因式的个数决定。负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数是，积是负数。 （5）、有理数乘法的运算律： ① 乘法的交换律：ab=ba; ② 乘法的结合律：（ab）c=a（bc）； ③ 乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac. 4、有理数的除法 （1）、有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 （2）、有理数除法符号法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0. （3）、乘除混合运算的步骤：①先把除法转化为乘法；②确定积的符号； ③运用乘法运算律和乘法法则进行计算得出结果。 5、有理数的乘方 （1）、求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在a n中， ，这样的数叫_________ 、把下列各数填在相应的集合里： _________ 1、叫做互为相反数。其中一个是另一个的相反数。数a的相反数是，（a是任意一个有理数）；0的相反数是 . 若a、b互为相反数，则 . 若a+b=0，则 2、数轴上表示数a的点与原点的叫做数a的绝对值。记作。 由绝对值的定义可得：（1）一个正数的绝对值是它；若a＞0，则︱a︱= a ; （2）一个负数的绝对值是它的；若a＜0，则︱a︱= -a ; （3）0的绝对值是 . 若a =0，则︱a︱= 0 ; 4．特殊数字知识点总结：最小的正整数是____，最大的负整数是_____，最大的非 正数是 。绝对值最小的有理数是_______。绝对值等于它的相反数的数是 相反数是本身的数是 ；绝对值是本身的数是 ；绝对值是相反数的数是 ；倒数是本身的数是 ；平方等于本身的数是 ；立方等于本身的数是 ；平方等于相反数的数是 ；奇数次幂等于本身的数是 ；偶数次幂等于本身的数是 ；任何次幂都等于本身的数是 。 4、 |-8|= 。 -|-5|= 。 绝对值等于4的数是______。 5、若a a -=，则a ；7=-x ，则______=x 若a ＝2 13-, 则∣a ∣＝___; 若∣a ∣＝3, 则a ＝__。 6、已知：∣a-2∣＋∣b+3∣=0，求2a 2－b ＋1的值。 7、若∣x ∣=3，∣y ∣=5，且x>y ，再求x ＋y 的值。 8、已知a 、b 都是有理数，且|a|=a ，|b|=-b 、，则ab 是（ ） A ．负数； B.正数； C.负数或 零； D.非负数 9、绝对值不大于11的整数有（ ）个，它们的和等于_____。积等于______。 10、2-的倒数是____ ,-1/3的倒数是_____.-|-1|的倒数是_____. 11、数轴上表示1与-3的两点之间的距离是______；数轴上表示x 与-1的两点间的距离是____，设这两点间的线段为AB ，若AB=2，那么x 为_____. 12、若（x-3）2+┃x+y+7┃=0，求y x 的值。 知识点五：有理数大小的比较： 1）数轴比较：在数轴上的两个数，右边的数总比左边的数 ； 正数都大于 ，负数都小于 ；正数 一切负数； 2）两个负数， 即:若a ＜0,b ＜0,且︱a ︱＞︱b ︱, 则a ＜ b. 3） 做差法：∵ a-b>0 ，∴ ; 。圆周率不是有理数； （3）自然数<==>0和正整数；a>0 <==>a是正数；a<0 <==>a是负数； a≥0<==>a是正数或0<==>a是非负数；a≤0<==>a是负数或0<==>a是非正数。 3、数轴【重点】 （1）、用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。它满足以下要求： ①在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点； ②通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； ③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1,2,3…；从原点向左，用类似的方法依次表示-1,-2,-3… （2）、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。 （3）、画数轴的步骤：一画（画一条直线并选取原点）；二取（取正反向）；三选（选取单位长度）；四标（标数字）。数轴的规范画法：是条直线，数字在下，字母在上。 注意：所有的有理数都可以用数字上的点表示，但是数轴上的所有点并不都表示有理数。 （4）、一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。 4、相反数 （1）、只有符号不同的两个数叫做互为相反数。如：5和-5，-2和2，它们数字相同符号相反，所以互为相反数。 求任何一个数或式子的相反数，只需要在这个数或式子前面加上“负号”，然后适当化简即可。 如：a+b的相反数是-（a+b）=-a-b （2）、一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，他们分别在原点的两侧，表示a和-a,我们说这两点关于原点对称。 （3）、a和-a互为相反数。0的相反数是0,正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。相反数是它本身的数只有0. 第一章有理数知识点归纳及典 型例题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 一、【正负数】有理数的分类：★☆▲ _____________统称整数，试举例说明。 _____________统称分数，试举例说明。 ____________统称有理数。 [基础练习] 1☆把下列各数填在相应额大括号内： 1，－，-789，25，0，-20，，-590，6/7 ·正整数集｛…｝；·正有理数集｛…｝；·负有理数集｛…｝·负整数集｛…｝；·自然数集｛…｝；·正分数集｛…｝ ·负分数集｛…｝ 2☆某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则元的意义是；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是。 二、【数轴】规定了、、的直线，叫数轴 [基础练习] 1☆如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（） 2☆在数轴上画出表示下列各数的点，并按从大到小的顺序排列，用“>”号连接起来。 4，-|-2|，，1，0 3下列语句中正确的是（） Ａ数轴上的点只能表示整数Ｂ数轴上的点只能表示分数 Ｃ数轴上的点只能表示有理数Ｄ所有有理数都可以用数轴上的点表示出来 4、★①比－3大的负整数是_______；②已知ｍ是整数且-4 ?????????有理数?????)3,2,1:()3,2,1:(ΛΛ如负整数如正整数整数)0(零?????----)8.4,3.2,31,21:(Λ如负分数分数)8.3,3.5,31,21:(Λ如正分数有理数及其运算知识点汇总 1、 2、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。 3、任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。（反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数） 4、如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。（0的相反数是0） 5、在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。 数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。正数在原点的右边，负数在原点的左边。 6、绝对值的定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。数a 的绝对值记作|a|。 7、正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的数；0的绝对值是0。 ?????<-=>)0()0(0)0(||a a a a a a 或 ???<-≥)0()0(||a a a a a 8、绝对值的性质：除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数； 互为相反数的两数（除0外）的绝对值相等； 任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥0 9、比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下： ①先求出两个数负数的绝对值； ②比较两个绝对值的大小； ③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。 10、绝对值的性质： ①对任何有理数a ，都有|a|≥0 ②若|a|=0，则|a|=0，反之亦然 ③若|a|=b ，则a=±b ④对任何有理数a,都有|a|=|-a| 11、有理数加法法则： ①同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。 ②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，并 用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。 ③一个数同0相加，仍得这个数。 12、加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。 越来越大 有理数知识点总结 0的数叫做正数。 1. 0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，一、正数和负数自然数，有理数。 （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。） 2.意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。 有理数：整数和分数统称有理数。 概念整数：正整数、0、负整数统称为整数。 分数：正分数、负分数统称分数。 （有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非 负整数，负整数和零统称为非正整数。 ⑵按整数、分数分类： 正有理数正整数正整数 正分数整数0 零有理数负整数 负有理数负整数分数正分数 负分数负分数 1.概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 2.对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 三、数轴 比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 3.应用 求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 （注意不带“+”“—”号） 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。 1.概念（0的相反数是0） 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之， 若a＋b=0，则a与b互为相反数。 四、相反数 两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。 3.多重符号的化简 多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数， 当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号 1.概念：乘积为1的两个数互为倒数。 （倒数是它本身的数是±1；0没有倒数） 五、倒数 2.性质若a与b互为倒数，则a·b=1；反之，若a·b=1，则a与b互为倒数。 若a与b互为负倒数，则a·b=-1；反之，若a·b= -1则a与b互为负倒数。 a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 一个正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b） 一个负数的绝对值是它的相反数 0的绝对值是0 a ＞0，|a|=a 反之，|a|＝a，则a≥0 a = 0，|a|=0 |a|＝﹣a，则a≦0 a＜0，|a|=‐a 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。 |a|≥0。几个非负数之和等 于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 1.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 七、比较大小 2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 有理数 考点1、正数和负数 正数：大于零的数 负数：小于零的数（在正数前面加上负号“—”的数） 注意：①0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界点 ②对于正数和负数，不能简单理解为带“+”号的数是正数，带“—”号的数是负数 例1、 向北走2000米与向南走1000米，若规定向北走为正，则向北走2000米可记作 ， 向南走1000米，原地不动课记作 例2、 七年级一班第一小组五名同学某次数学测验的平均成绩为85分，一名同学以平均成绩为标准，超 过平均分记正，将五名同学的成绩分别记作—15分，—4分，0分，4分，15分。这五名同学的实际成绩分别是多少分？ 例3、 观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的数，你能说出第15个、第101个、第2010个的 数是什么？ 1）、—1、—2、+3、—4、—5、+6、—7、—8、 、 、 …… 2）、—1、 21、—3、41、—5、21 、—7、8 1、 、 、 …… 易错点： 1、 误认为凡带正号的数就是正数，误认为凡带负号的数就是负数 例：a 一定是正数吗？ 2、 对于“0”的含义理解不准确 例：下列说法错误的是（ ） A 、0是自然数 B 、0是整数 C 、0是偶数 D 、海拔0米表示没有海拔 考点2、有理数 1、有理数的分类 按定义分：?????????????? ? ??负分数正分数分数负整数 正整数整数有理数0 按性质符号分：有理数??? ? ??????? ????负分数负整数负有理数正分数正整数 正有理数0 注意：1、有理数只包括正数和分数，无限不循环小数不是有理数，如圆周率就不是有理数了。 2、0是整数不是分数 例1、把下列各数填在相应的集合内： π，4 1 - 错误！未找到引用源。，-3，2，-1，-0.58，0，-3.14，错误！未找到引用源。，0.618，10 整数集合：｛ …｝ 分数集合：｛ …｝ 非负数集合：｛ …｝ 例2、下列说法正确的是（ ） A 有理数分为正数和负数 B 有理数-a 一定表示负数 C 正整数、正分数、负整数、负分数统称为有理数 D 有理数包括整数和分数 有理数知识点梳理 一、正数和负数 ⒈数和负数的概念 负数：比0小的数 正数：比0大的数 0既不是正数，也不是负数 注意： ①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断） ②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。 2.具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如： 零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃ 3.0表示的意义 ⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人； ⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。如：整数。 二、有理数 1.有理数的概念 ⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数） ⑵正分数和负分数统称为分数 ⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 理解：只有能化成分数的数才是有理数。 ①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。 注意：引入负数以后，奇数和偶数的围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。 2.有理数的分类 ⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分 正整数正整数 整数 0 正有理数 负整数正分数 有理数有理数 0 （0不能忽视） 正分数负整数 分数负有理数 负分数负分数 总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数） ②负整数、0统称为非正整数 ③正有理数、0统称为非负有理数 ④负有理数、0统称为非正有理数 三、数轴 ⒈轴的概念 规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。 注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线； ⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可； ⑶同一数轴上的单位长度要统一； ⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。 2.数轴上的点与有理数的关系 ⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示：正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。 ⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数） 3.利用数轴表示两数大小 ⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大； ⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数； ⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。 4.数轴上特殊的最大（小）数 ⑴最小的自然数是0，无最大的自然数； ⑵最小的正整数是1，无最大的正整数； ⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数 5.a可以表示什么数 ⑴a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0； ⑵a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0 ⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=0 6.数轴上点的移动规律 根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。 四、相反数 ⒈相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。 注意：⑴相反数是成对出现的； ⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负； ⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。 本章复习 【知识与技能】 掌握本章主要知识，会求一个数的相反数和绝对值、倒数，会比较有理数的大小，能灵活运用计算法则和运算律进行有理数的运算. 【过程与方法】 通过梳理本章知识，回顾解决问题中所涉及的数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，加深对本章知识的理解 【情感态度】 在运用本章知识解决具体问题过程中，进一步体会数学与生活的密切联系，增强数学应用意识，激发学生学习兴趣. 【教学重点】 回顾本章知识点，构建知识体系. 【教学难点】 利用有理数的相关知识解决实际问题. 一、知识框图，整体把握 【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构框图，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.教学时，边回顾边建立结构框图. 二、释疑解感，加深理解 1.相反数、绝对值、倒数 相反数：如果一两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，数a的相反数为-a. 绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，数a的绝对值为｜a｜. 绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的 绝对值是0.用字母表示是 倒数：乘积为1的两个数互为倒数，数a 的倒数为1 a (a ≠0). 2.科学记数法 一般地，一个大于10的数可以表示成a ×10n 的形式，其中1≤a ＜10，n 是正整数，这种记数方法叫做科学记数法. 3.有理数的混合运算法则 有理数的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的. 4.有理数的运算律 加法的交换律：a+b=b+a 加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法的交换律：a ·b=b ·a 乘法的结合律：（ab ）c=a(bc) 乘法的分配律：a(b+c)=ab+ac 三、典例精析，复习新知 例1在给出的数轴上，标出以下各数及它们的相反数：-1，2，0，5 2 ，-4. 观察以上各数在数轴上的位置，解答下列问题： （1）写出以上各数和它们的相反数的绝对值. （2）比较表示在原点左边的各数的大小，并说明这些数的大小与其绝对值的关系. （3）若｜x ｜=2,则x= . （4）若整数x 满足1＜｜x ｜≤4，求x 的值. 解： （1）｜-4｜=4，｜4｜=4；｜-52｜=52，｜52｜=5 2 ；｜-2｜=2，｜2｜=2；｜-1｜=1，｜1｜=1；｜0｜=0. 1.1 有理数 【知识点清单】 （一）学习温故 小学里学过的数可分为三类:、和，它们都是由于实际需要而产生的。 （二）正数 1、正数：大于0的数叫做正数。如：2，0.6，，，……※正数都比0要。 2、正数的表示方法：在正数前面加上一个“＋”，读作“正”号。如：，，，…… 其中“＋”号可以省略。 （三）负数 1、负数：在正数前面加上一个“－”号，这样的数叫做负数。如：，，，…… ※负数都比0要。 2、负数的表示方法：一个负数前的“－”号不可以省略。 3、0既不是正数也不是负数。 4、正数和负数的意义 在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有__________的意义。如：如果80m表示向东走80m，那么-60m表示：______________。 （四）有理数 1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数。 2、有理数的分类 【经典例题：】 例1：把下列各数分别填在题后相应的集合中： ，0，，0.73，2，，，，+28，，8，-，-3.5，102.3，-，1 （1）整数集合： { ……} （2）负整数集合：{ ……} （3）负分数集合：{ ……} （4）自然数集合：{ ……} （5）非负数集合：{ ……} 例2：在下面每个集合中任意写出3个符合条件的数： 例3：下列选项中均为负数的是（ ） A．，，B．，， C．，, D．，， 例4：下列说法中正确的是（） A. 整数又叫自然数 B. 0是整数 C. 一个数不是正数就是负数 D. 0不是自然数例5：下列说法正确的个数是（）。 ①一个有理数不是整数就是分数；②一个有理数不是正数就是负数； ③一个整数不是正的就是负的；④一个分数不是正的就是负的。 A．1B．2C．3D．4 例6：把下列各数填在相应的集合中： 1.2 数轴 【学习目标】 一、认识数轴 1、数轴的三要素：,________,_________。 2、用原点表示，在原点的左边，在原点的右边 画数轴要注意：⒈画直线. ⒉在直线上取一点作为原点.⒊确定正方向，并用箭头表示. ⒋根据需要选取适当单位长度. 说明：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 【目标检测】 正数集负数集整数集自然数 第一章有理数知识点归纳 一、正数和负数 正数和负数的概念 负数：比0小的数；正数：比0大的数。 0既不是正数，也不是负数 ☆注意：字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。强调：带正号的数不一定是正数，带负号的数不一定是负数。 具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量。习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负. 二、有理数 有理数的概念 （1）正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数） （2）正分数和负分数统称为分数 （3）整数和分数统称有理数 ☆注意：①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。 数轴 （1）数轴的概念：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。 注意：数轴是一条向两端无限延伸的直线； 原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可； 数轴的三要素都是根据实际需要规定的，同一数轴上的单位长度要统一； （2）数轴上的点与有理数的关系 所有的有理数都可以用数轴上唯一的点来表示，正有理数可用原点正方向的点表示，负有理数可用原点负方向的点表示，0用原点表示。 相反数 （1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数；0的相反数是0；任何一个有理数都有相反数 （2）互为相反数的两数的和为0，即：若a、b互为相反数，则a+b=0；互为相反数的两个点在数轴上分别位于原点两侧，并且与原点的距离相等。 （3）在一个数的前面加上负号“-”，就得到了这个数的相反数。a的相反数是-a。 （4）多重符号的化简 多重符号的化简规律：“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。 绝对值 （1）绝对值的几何定义：数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做a的绝对值， 有理数基础知识 正数和负数 ⒈正数和负数的概念 负数：比0小的数正数：比0大的数0既不是正数，也不是负数 注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断） ②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。 2.具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如： 零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃ 3.0表示的意义 ⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人； ⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。如： 有理数 1.有理数的概念 ⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数） ⑵正分数和负分数统称为分数 ⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。 注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。 2.有理数的分类 ⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分 正整数正整数 整数 0 正有理数 负整数正分数 有理数有理数 0 （0不能忽视） 正分数负整数 分数负有理数 负分数负分数 总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数） ②负整数、0统称为非正整数 ③正有理数、0统称为非负有理数 ④负有理数、0统称为非正有理数 第一章 有理数 一、 知识框架图 知识点详列： 1、正数和负数：数0既不是正数也不是负数。 正数和负数是表示两种具有相反意义的量。 2、 有理数分类 （1）按定义分类： （2）按性质符号分类： ???? ?????????? ? ??负分数正分数分数负整数正整数 整数有理数0 ???????????????负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0 3、数轴：通常，用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。 它满足以下要求： （1） 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点； （2） 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； （3） 选取适当的长度为单位长度。 4、相反数：绝对值相等，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。0的相反数仍是0. 5、绝对值：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记做|a|。 由绝对值的定义可得：|a-b|表示数轴上a点到b点的距离。 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 6、有理数比较大小 正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。 7、有理数的四则运算 （1）有理数的加法 加法法则： ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0. ③一个数同0相加，仍得这个数。 运算律： 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律:（a+b）+c=a+（b+c） (2)有理数的减法 可转化为加法进行，减去一个数等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b)。 正-正=正+负；正-负=正+正； 负-正=负+负；负-负=负+正。 （4）有理数的乘法 乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 ②任何数同0相乘，都得0. ③乘积是1的两个数互为倒数。 ④几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积为负。 运算律： 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：（ab）c=ab+ac (5)有理数的除法 实验中学 马贵荣编 一、【正负数】 有理数的分类：★☆▲ _____________统称整数，试举例说明。 _____________统称分数，试举例说明。 ____________统称有理数。 [基础练习] 1☆把下列各数填在相应额大括号内： 1，－0.1，-789，25，0，-20，-3.14，-590，6/7 ·正整数集｛ …｝；·正有理数集｛ …｝；·负有理数集｛ …｝ ·负整数集｛ …｝；·自然数集｛ …｝；·正分数集｛ …｝ ·负分数集｛ …｝ 2☆ 某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5.8元的意义 是 ；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是 。 二、【数轴】 规定了 、 、 的直线，叫数轴 [基础练习] 1☆如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（ ） 2☆在数轴上画出表示下列各数的点，并按从大到小的顺序排列，用“>”号连接起来。 4，-|-2|， -4.5， 1， 0 3下列语句中正确的是（ ） Ａ数轴上的点只能表示整数 Ｂ数轴上的点只能表示分数 Ｃ数轴上的点只能表示有理数 Ｄ所有有理数都可以用数轴上的点表示出来 4、★ ①比－3大的负整数是_______； ②已知ｍ是整数且-4 (4).实数的相关概念：①整数：正整数、零、负整数统称整数；②分数：正分数和负分数统称分数；③有理数：整 数和分数统称有理数（即：整数、分数、有限小数、无限循环小数都是有理数）；☆④无理数:无限不循环小数称为无理数（即：圆周率π、开不尽的方根、无限不循环小数都是无理数）☆⑤实数：有理数和无理数统称实数。 ⑺.非负数：非负数就是不是负数的数，也就是零和正数；数的绝对值、数的偶次幂、算术根等都是常见的非负 数；几个非负数的和为零，则这几个非负数必同时为零。（非正数：非正数就是不是正数的数，也就是零和负数） ⑻.有理数的运算法则： ○1加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；○2互为相反数的两个数相加得零； ○ 3减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数； ○ 4乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘，都得零。 ○ 5除法法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；零除以任何一个不等于零的数，都得零；（零不能作除数） ⑼.有理数的乘方：一般地，n 个相同的因数a 相乘，即 记作n a ，读作a 的n 次方；像这样求n 个相同因 数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂；在n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数， 读作a 的n 次方，当n a 看作a 的n 次方的结果时，也可读作a 的n 次幂；当指数 是1时，通常省略不写．【a ?a 可简记为a 2，读作a 的平方(或二次方)；a ?a ?a 可简 记为a 3，读作a 的立方(或三次方)】 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；零的任何非零次幂都是0；零的零次幂没有意义；任何不等于零的数的零次幂都等于1,即()010≠=a a ；☆任何不等于零的数的-P （P 是正整数）次幂，等于这个数的P 次幂的倒数,即 p p a a 1=-（a ≠0,P 是正整数）. ⑽.有理数的混合运算顺序:○ 1先算乘方，再算乘除，最后算加减；○2同级运算，按照从左至右的顺序进行；○3如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。（加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算；乘方和开方(今后将会学到)叫做第三级运算。）（进行分数的乘除运算，一般要把带分数化为假分数，把除法转化为乘法.） 知识点复习 1、整数包括哪些数？自然数是什么？什么叫有理数？ 答：整数包括正整数、零、负整数；零和正整数（即非负整数）又叫自然数；正整数、零、负整数、正分数、负分数（即整数和分数）统称为有理数。 2、什么叫数轴？在数轴上如何表示数？ 答：数轴是一条带有方向、原点和规定长度单位的直线。一个有理数在数轴上总可以找出一点和它对应。表示方向的箭头在直线的右端。数轴上方或右方是正数、原点的左方或下方是负数、原点是零。 3、什么叫相反数？什么是绝对值？如何判定有理数的大小？ 答：到原点距离相等的两个数叫互为相反的数。零的相反数是零。数轴上表示的数a 到原点的距离叫数a 的绝对值。一个正数的绝对值是它本身、一个负数的绝对值是它相反数、零的绝对值是它本身。正数大于零，零大于负数，正数大于负数、两个负数绝对值大的反而小。 4、有理数加法法则是什么？ 答：符号相同的两数相加，和的符号与加数的符号相同，并把它们的绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，和的符号取绝对值较大的那个加数的符号，并把较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的数相加，和为零；任何数与零相加，和就是这个数。七年级上册数学第一章《有理数》知识点及典型例题
初中有理数知识点总结
七年级上册数学《有理数》有理数的运算 知识点整理
有理数知识点复习总结
有理数的概念知识点整理
第一章有理数知识点归纳及典型例题
(完整版)有理数及其运算知识点汇总
七年级第一章有理数知识点总结
有理数知识点整理
有理数知识点梳理归纳和习题练习
北师大版数学七年级(上册)有理数知识点复习
七年级有理数知识点及典型例题
七年级上册有理数知识点归纳
有理数知识点总结
有理数知识点、重点、难点、易错点
第一章有理数知识点归纳及典型例题
有理数概念、知识点汇总