16.2_矩形-菱形与正方形的性质同步练习

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菱形、矩形、正方形的性质及判定

【知识精讲】
特殊
四边
边
形
菱
形
菱形、矩形、正方形的性质判定
性
质
角
对角线
面积
对称性
判定
边
角
对角线
矩形
正方形
【例题精讲】
【例 1】如图，在矩形 ABCD 中，AE⊥BD，垂足为 E，∠DAE :∠BAE = 3 :1, 求∠EAC的度数。
【拓展练习】
如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相较于点 O，∠AOB=60°，AE 平分∠BAD ，交 BC 于 E，求 ∠BOE的度数
C.AD//BC，∠A =∠C
D.OA=OC，OB=OD，AB=BC
13,.在矩形 ABCD 的边 AB 上有一点 E，且 CE=DE，若 AB=2AD，则∠ADE 等于（
A.45°
B.30°
C.60°
D.75°
14.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成 3 和 5 两部分，则该矩形的周长是（
A.16
8.菱形的周长为 16，两邻角度数的比为 1:2，此菱形的面积为（
）
A.4 3
B.8 3
C.10 3
D.12 3
9.已知 E 是矩形 ABCD 的边 BC 的中点，那么 SΔ AED =
S矩形ABCD （
）
1
1
1
1
A.
B.
C.
D.
2
4
5
6
10.如图，周长为 68 的矩形 ABCD 被分成 7 个全等的矩形，则矩形 ABCD 的面积为
A.75°
B.60°
C.45°
D.30°
6.已知菱形 ABCD，AE⊥BC 于 E，若 S菱形ABCD = 24 ，且 AE=6，则菱形的边长为（

平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定(4) 同步练习

3．3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定⑷ 【新知导读】讨论：老师给孩子们一个任务：从一张彩色纸中剪出一个正方形。小明剪出了一个正方形后，这样检验它：他比较了边的长度，发现4条边是相等的，小明就判定他完成了这个任务。这种检验可信赖吗？小兵用另一种方法检验：他量的不是边，而是对角线，发现对角线是相等的。小兵就认为他正确地剪出了正方形。这对吗？小英剪了正方形后，比较了由对角线互相分成的四条线段，发现它们都是相等的。按照小英的意见，这说明了剪出的四边形是正方形。你们的意见怎样？你们认为应该如何检验，才能又快又准确呢？【范例点睛】例1 如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F，求证：AF—BF=EF．证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=90° ∵DE⊥AG，BF∥DE ∴∠AED=∠BFA=90° ∴∠BAF+∠EAD=90° ∠EAD+∠ADE=90° ∴∠BAF=∠ADE 在△ABF和△DAE中

BAFADEBFAAEDABAD





∴△ABF≌△DAE（AAS） ∴BF=AE∴AF—BF=AF—AE=EF．

例2 如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连结BE、DG． ⑴观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论； ⑵图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说明旋转过程；若不存在，请说明理由．解：⑴BE=DG．理由：∵四边形ABCD和四边形ECGF都是正方形， ∴BC=DC，EC=GC， ∴∠BCE=∠DCG=90°， ∴△BCE≌△DCG，

GFEDCBA

CBA

怎么写怎么想要证AF-BF=EF只需证BF=AE只需证△ABF≌△DAE只需找两个三角形全等的条件

思考与表述 ∴BE=DG． ⑵由⑴证明的过程知，存在，是Rt△BCE和Rt△DCG．将Rt△BCE绕点C顺时针旋转90°，可与Rt△DCG完全重合．（或将Rt△DCG绕点C逆时针旋转90°，可与Rt△BCE完全重合）【课外链接】

初中数学矩形、菱形与正方形测试题含答案

矩形、菱形与正方形测试题一、选择题1．能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）．（A）AB∥CD，AD=BC; （B）∠A=∠B，∠C=∠D;（C）AB=CD，AD=BC; （D）AB=AD，CB=CD2．在给定的条件中，能画出平行四边形的是（）．（A）以60cm为一条对角线，20cm、34cm为两条邻边;（B）以6cm、10cm为对角线，8cm为一边;（C）以20cm、36cm为对角线，22cm为一边;（D）以6cm为一条对角线，3cm、10cm为两条邻边3．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）（A）对角线互相平分; （B）对角线相等;（C）对角线平分一组对角; （D）对角线互相垂直4．在下列说法中不正确的是（）（A）两条对角线互相垂直的矩形是正方形;（B）两条对角线相等的菱形是正方形;（C）两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形;（D）两条对角线垂直且相等的四边形是正方形5．下列说法不正确的是（）（A）对角线相等且互相平分的四边形是矩形;（B）对角线互相垂直平分的四边形是菱形;（C）一组对边平行且不等的四边形是梯形;（D）一边上的两角相等的梯形是等腰梯形6．不能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）（A）AB=CD，AD=BC （B）AB//CD（C）AB=CD，AD∥BC （D）AB∥CD，AD∥BC7．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判定它为正方形的题设是（）（A）AO=CO，BO=DO; （B）AO=CO=BO=DO;（C）AO=CO，BO=DO，AC⊥BD; （D）AO=BO=CO=DO，AC⊥BD8．下列说法不正确的是（）（A）只有一组对边平行的四边形是梯形;（B）只有一组对边相等的梯形是等腰梯形;（C）等腰梯形的对角线相等且互相平分;（D）在直角梯形中有且只有两个角是直角9．如图1，在□ABCD中，MN分别是AB、CD的中点，BD分别交AN、CM于点P、Q，在结论：①DP=PQ=QB ②AP=CQ ③CQ=2MQ ④S △ADP=14S ABCD中，正确的个数为（）．（A）1 （B）2 （C）3 （D）4(1) (2) (3)10．如图2，在梯形ABCD中，AD∥CB，AD=2，BC=8，AC=6，BD=8，则梯形ABCD的面积为（）．（A）24 （B）20 （C）16 （D）12二、填空题11．在□ABCD中，AC与BD交于O，则其中共有_____对全等的三角形．12．矩形的对角线相交成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为20cm，则其对角线长为_______，矩形的面积为________．13．一个菱形的两条对角线长分别为6cm，8cm，这个菱形的边长为_______，•面积S=______．14．如果一个四边形的四个角的比是3：5：5：7，则这个四边形是_____形．15．如图3，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，BC=8，AB=6，AD=5，则△CDE的周长是________．16．如图4，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠AEB=_______．(4) (5) (6)17．在长为1.6m，宽为1.2m的矩形铅板上，剪切如图5所示的直角梯形零件（•尺寸单位为mm），则这块铅板最多能剪出______个这样的零件．18．如图6，ABCD中，过对角线交点O，引一直线交BC于E，交AD于F，若AB=2.4cm，BC=4cm，OE=1.1cm，则四边形CDFE周长为________．19．已知等腰梯形的一个锐角等于60•°，•它两底分别为15cm，•49cm，•则腰长为_______．20．已知等腰梯形ABCD中AD∥BC，BD平分∠ABC，BD•⊥DC，•且梯形ABCD•的周长为30cm，则AD=_____．三、计算题21．如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，AD=3cm，BC=7cm，•DE•⊥BC 于E，试求DE的长．四、证明题22．如图，已知四边形ABCD中，AC=BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，求证：四边形EFGH是菱形．23．已知如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AM=MB，DN=NC．求证：MN∥BC，MN=12（BC+AD）．答案:1．（C） 2．（C） 3．（B） 4．（D） 5．（D）6．（C） 7．（D） 8．（C） 9．（C） 10．（A）11．4 12．40cm 4003cm213．5cm 24cm2 14．直角梯形15．15 16．15° •17．12 18．8.6cm 19．34cm20．如图，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，∴AD=EF，设BE=x．则AB=2x，DC=2x，FC=x，∴BD平分∠ABC，∴∠DBC=30°．∴DC=12BC，∴BC=4x．∴EF=2x=AD．又∵AB+BC+CD+AD=30，∴4x+6x=30，x=3，∴AD=6（cm）．21．过D点作DF∥AC，交BC的延长线于点F，则四边形ACFD为平行四边形，•所以AC=DF，AD=CF．因为四边形ABCD为等腰梯形，所以AC=BD，所以BD=DF，又已知AC⊥BD，DF∥AC，•所以BD⊥DF，则△BDF为等腰直角三角形．又因为DF⊥BC，所以DE=12BF=12（BC+CF）=12（BC+AD）=12（7+3）=5（cm）．22．证明：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EF=12AC，HG=12AC，FG=12BD，EH=12BD．∴EF=HG=12AC，FG=EH=12BD．又∵AC=BD，∴EF=HG=FG=EH．∴四边形EFGH是菱形．23．证明：如图，连接AN并延长，交BC的延长线于点E．∵DN=NC，∠1=∠2，∠D=∠3，∴△ADN≌△ECN，∴AN=EN，AD=EC．又AM=MB，∴MN是△ABE的中位线．∴MN∥BC，MN=12BE（三角形中位线定理）∵BE=BC+CE=BC+AD，∴MN=12（BC+AD）．。

八年级上华东师大版16.2矩形菱形与正方形的性质16.2 .2菱形课件

2、菱形是什么样的对称图形？
结论：
菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形。
菱形的特征：
首先它具有平行四边形的一切特征.
特殊的特征：
1、菱形的四条边相等.
思考：菱形的对角线有什么特征呢？
2、菱形的对角线互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角.
D O
A
C
B ①边：四条边都相等，两组对边分别平行 ②角：两组对角分别相等，邻角互补 ③对角线：两条对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角 ④对称性：是轴对称图形，又是中心对称图形 ……
菱形的周长=20；
AC=，BD=6
思考：
在菱形ABCD中，对角线 AC=8cm,BD=6cm，问菱形ABCD 的面积是多少？
D
A
O B
C
D A
O
解： ∵ 四边形ABCD是菱形
1 1 ∴ AO= AC= ×8=4cm， 2 2 B 1 1 BO= BD= ×6=3cm， 2 2 1 ∴△AOB的面积= ×AO ×BO 21
例: 如图，在菱形ABCD中，∠BAD ＝2∠B，试说明△ABC是等边三角形.
解 ∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝BC， AD∥BC ∴ △ABC为等腰三角形
∵ AD∥BC
∴ ∠B＋∠BAD＝180。又∵∠BAD＝2∠B ∴ ∠B＋2∠B＝180。即∠B＝60°
∴ △ABC为等边三角形.
通过本节课的学习，你有什么收获？ 1、什么是菱形？
例1,已知：如图，AD平分∠BAC， DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．求证：四边形AEDF是菱形．
A
E
3
12
F D C
B
练习
(1)菱形的两对角线长分别是6cm，8cm．求周长和面积． (答：20cm，24cm2) (2) 菱形的周长为20,一条高为2.5．求它的各内角． (答：30°,150°,30°,150°) (3)菱形的一条边与它的两条对角线所夹的角比是3∶2．求菱形的各角． (答：108°，72°，108°，72°)

八年级数学上册 16.2.2菱形的性质精品同步作业华东师大版

16.2.2 菱形的性质◆随堂检测1、在菱形ABCD中，AC＝6，DB＝8，则菱形的面积为 .2、菱形的周长是9.6，两个邻角之比为1：2，则这个菱形较短的对角线长为 .3、菱形的一边与两条对角线所构成的两角比5：4，则它的各内角度数为 .4、如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC和CD上，且△AEF是等边三角形，AE＝AB，则∠BAD的度数为 .5、如图，菱形花坛DEFG的边长为6，∠E＝60度，其中由两个正六边形组成的图形的部分种花，则种花部分的周长（粗线部分）为 .6、如图，在菱形ABCD中，AB=10，OA=8，OB=6. 求这个菱形的周长与两条对角线的长度.◆典例分析如图，在菱形ABCD中，∠ACD=30°，求∠BDA、∠ABC的度数.分析：根据菱形的对角线平分一组对角可知∠DCA=∠BCA=30°，所以∠BCD=60°，根据菱形的对角相等，对边平行可求到∠BAD、∠ABC的度数.解析：∵菱形的对角线平分一组对角，∴∠DCA=∠BCA=30°，即∠BCD=2∠ACD=60°，又∵菱形的对角相等，∴∠DAB=∠DCB=60°，∴∠BDA=∠DAB=60°，又∵CD∥AB，∴∠DCB+∠ABC=180°，∴∠ABC=180°－60°=120°.◆课下作业●拓展提高1、菱形的两个邻角的比是1︰2，两条对角线长分别为a、b，且a＞b，则菱形的周长为（）A.4aB.4bC.2a-bD.4a+4b2、如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连结DF，则∠CDF等于（）A.80°B.70°C.65°D.60°3、如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M、N分别是AB、BC边上的中点，MP+NP的最小值是（）D. 1 24、在菱形ABCD中，对角线BD上一点O到AD的距离为2，则点O到另一边CD的距离为 .5、已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比3︰4，则面积为 .6、如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足.且BE=CE，AB=2.求：（1）∠BAD 的度数；（2）对角线AC 的长及菱形ABCD 的周长.●体验中考1、(2009年河北)如图，在菱形ABCD 中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对角线AC 等于（）A ．20B ．15C ．10D ．52、（2009年广西河池）已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm ，则菱形的面积为（）A.23cmB.24cm2 D．23、（2009年江西）如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm ，若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则1=∠ 度．参考答案：◆随堂检测 1、24. 菱形的面积等于对角线乘积的2倍.2、2.4. 由题可得较短对角线和菱形两边组成等边三角形，所以较短对角线为9.6÷4=2.4. 1 ABC B A C D3、50° 40° 90°4、100°设∠BAE=x，则∠DAF=x，所以∠BAD=2x+60°，所以2∠B=360°-2（2x+60°），又2∠B=180°-x，联立得x=20°.5、206、周长为4×10=40，两条对角线的长度分别为16，12.◆课下作业●拓展提高1、B. 菱形的对角线的性质.2、D. 连接FB，易证AF=FB，∠FAB=∠FBA=12∠BAD=40°，∠ABC=100°，∠CBF=60°，将△CDF沿CF对折，△CDF≌△CBF，所以∠CDF=∠CBF=60°.3、B. 作N关于AC的对称点N′，连接MN′，易证N′为CD中点，MN′=AD=1.4、25、962cm6、解：（1）∵AE⊥BC，且BE=CE，∴△ABC为等边三角形，∠B=∠D=60°，∴∠BAD=∠BCD=120°.(2)AC=AB=2，周长为：4×2=8.●体验中考1、D. 菱形和等边三角形的性质.2、D. 菱形的对角线的性质.3、120 菱形的对角线的性质.。

菱形、矩形、正方形的性质与判定

A．24
B.18
C．12
D.9
9．如图，将矩形纸片 ABCD 沿直线 EF 折叠，使点 C 落在 AD 边的中点 C′处，点 B 落在点 B′处，其中 AB＝9，BC ＝6，则 FC′的长为( D )
A.130
B.4
C．4.5
D.5
10．如图，在矩形 ABCD 中，∠ABC 的平分线交 AD 于点 E，连接 CE.若 BC＝7，AE＝4，则 CE＝ 5 .
(2)解：如图，设 AD⊥BF 于 H，作 DG⊥BC 于 G，则四边形 BGDH 是矩形，∴DG＝BH＝12BF. ∵BF＝BC，BC＝CD，∴DG＝12CD. 在 Rt△CDG 中，∠CGD＝90°，DG＝12CD， ∴∠C＝30°， ∵BC∥AD，∴∠ADC＝180°－∠C＝150°.
菱形、矩形、正方典形范的例性质与判定
1【. 例 1】如图，在菱形 ABCD 中，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，作 DF⊥BC 于点 F，连接 EF.求证： (1)△ADE≌△CDF；(2)∠BEF＝∠BFE.
证明：(1)∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AD＝CD，∠A＝∠C， ∵DE⊥BA，DF⊥CB， ∴∠AED＝∠CFD＝90°，
∠A＝∠C 在△ADE 和△CDF 中，∠AED＝∠CFD＝90° ，
AD＝CD ∴△ADE≌△CDF.
(2)∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝CB， ∵△ADE≌△CDF， ∴AE＝CF，∴BE＝BF， ∴∠BEF＝∠BFE.
4.求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已
在△AOD 和△COE 中， OA＝OC，
∠AOD＝∠COE，

16.2_矩形、菱形与正方形的性质(第2课时_菱形)

.
所以BD＝2BO＝ 2 3(cm)．
练习

1. 如图，已知菱形ABCD的边AB长5cm，一条对角线ＡＣ长6cm，求这个菱形的周长和它的面积．
解:①这个菱形的周长为： l=4AB=4×5=20cm； ②由勾股定理和对对角线知识，知BD=2×4=8cm. 又AC=6cm， 1 所以这个菱形的面积= 2 BD×AC = 1 ×8×6=24(平方厘米) 2
D
美观别致的“菱形”
P105练习
1. 如图，在菱形ABCD中，AB=5cm, AO=4cm，求这一菱形的周长与两条对角线的长度。
解:这一菱形的周长=4AB=4×5=20cm
B
对角线C=2AO=2×4=8cm 由勾股定理，得BO=3cm， A 所以BD=2BO=2×3=6cm。
O
C
D
练习2.如图，已知菱形ABCD中，对角线 AC=10，BD=6，请你求出这个菱形的面积。解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，BO=DO D
辨别对错
1.有一组邻边相等的四边形是菱形. ( )
2.菱形是平行四边形.(
)
4.巩固练习
1.菱形的面积为24cm2，一条对角线的长为6cm, 5cm 则另一条对角线长为______；边长为______。 8cm
2.已知菱形的两个邻角的比是1：5，高是
64cm 8cm，则菱形的周长为______。
性 1.具有平行四边形的一 1.具有平行四边形的一切性质;
菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半。菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
对称轴是对角线所在的直线，对称中心是两条对角线的交点。
作业：
已知菱形ABCD中，对角线AC、BD的长度分别是6cm、8cm，求它的周长和面积．

中考复习《矩形、菱形、正方形》测试题(含答案)

中考复习《矩形、菱形、正方形》测试题（含答案）一、选择题(每题4分，共24分)1．[2015·泸州]菱形具有而平行四边形不具有的性质是(D) A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2．[2015·衢州]如图28－1，已知某菱形花坛ABCD的周长是24 m，∠BAD＝120°，则花坛对角线AC的长是(B)A．6 3 m B．6 m图28－1 C．3 3 m D．3 m【解析】易知△ABC为等边三角形，所以AC＝AB＝6 m.3．[2015·益阳]如图28－2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是(D) A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OB D．OA＝AD图28－2 图28－34．[2014·福州]如图28－3，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为(C) A．45°B．55°C．60°D．75°【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，又∵△ADE 是等边三角形， ∴AE ＝AD ＝DE ，∠DAE ＝60°， ∴AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ，∠BAE ＝90°＋60°＝150°， ∴∠ABE ＝(180°－150°)÷2＝15°，又∵∠BAC ＝45°， ∴∠BFC ＝45°＋15°＝60°.5．[2015·临沂]如图28－4，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连结EB ，EC ，DB .添加一个条件，不能使四边形DBCE 成为矩形的是 (B) A ．AB ＝BEB ．BE ⊥DCC ．∠ADB ＝90°D ．CE ⊥DE【解析】因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AD 綊BC ，因为DE ＝AD ，所以DE 綊BC所以四边形EDBC 为平行四边形，A ．假若AB ＝BE ，因为AB ＝BE ，AD ＝DE ，BD ＝BD ，所以△ADB ≌△EDB ，所以∠BDE ＝90°，所以四边形EDBC 为矩形； B ．假若BE ⊥DC ，可得四边形EDBC 为菱形；C ．假若∠ADB ＝90°，所以∠EDB ＝90°，所以四边形EDBC 为矩形；D ．假若CE ⊥DE ，所以∠DEC ＝90°，所以四边形EDBC 为矩形，故选B. 6．[2015·日照]小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件①AB ＝BC ，②∠ABC ＝90°，③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 中选两个作为补充条件，使▱ABCD 成为正方形(如图28－5)现有下列四种选法，你图28－4图28－5认为其中错误的是(B)A．①②B．②③C．①③D．②④【解析】此题考查正方形的判定，即在▱ABCD的基础上，需要再同时具备矩形和菱形的特征．①是菱形的特征；②是矩形的特征；③是矩形的特征，④是菱形的特征．而B中都是矩形的特征，故选B.二、填空题(每题4分，共20分)7．[2015·铜仁]已知一个菱形的两条对角线长分别为6 cm和8 cm，则这个菱形的面积为__24__cm2.8．[2014·衡阳]如图28－6，在矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AB＝5，则BD的长为__10__．9．[2015·上海]已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，图28－6 AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠F AD＝__22.5__度．10．[2014·淄博]已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个菱形．你添加的条件是__AB＝BC或AC⊥BD等__．11．[2014·资阳]如图28－7，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为__6__．图28－7【解析】如答图，连结BD，DE，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于直线AC对称，∴DE的长即为BQ＋QE的最小值，∵DE＝BQ＋QE＝5，∴△BEQ周长的最小值＝DE＋BE＝5＋1＝6.三、解答题(共20分)12．(10分)[2015·安顺]如图28－8，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于图28－8F.(1)求证：AE＝DF；(2)若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．证明：(1)∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AE＝DF；(2)若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠F AD，∵AE∥DF，∴∠EAD＝ADF，∠DAF＝∠FDA，∴AF＝DF，∴平行四边形AEDF为菱形．13．(10分)[2015·青岛]已知：如图28－9，在△ABC中，AB ＝AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E.(1)求证：△ABD≌△CAE；图28－9(2)连结DE ，线段DE 与AB 之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．解：(1)证明：∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线， ∴AD ⊥BC ，BD ＝CD . ∵AE ∥BC ，CE ⊥AE ， ∴四边形ADCE 是矩形， ∴AD ＝CE .在Rt △ABD 与Rt △CAE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CE ，AB ＝CA ，∴△ABD ≌△CAE (HL )；(2)DE ∥AB ，DE ＝AB .证明如下：如答图所示，∵四边形ADCE 是矩形， ∴AE ＝CD ＝BD ，AE ∥BD ， ∴四边形ABDE 是平行四边形， ∴DE ∥AB ，DE ＝AB .14．(10分)[2014·扬州]如图28－10，已知Rt △ABC ，∠ABC ＝90°，先把△ABC 绕点B 顺时针旋转90°后至△DBE ，再把△ABC 沿射线AB 平移至△FEG ，DE ，FG 相交于点H .(1)判断线段DE ，FG 的位置关系，并说明理由； (2)连结CG ，求证：四边形CBEG 是正方形．解：(1)DE ⊥FG ，理由如下：由题意得∠A ＝∠EDB ＝∠GFE ，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，第13题答图图28－10∴∠BDE＋∠BED＝90°.∴∠GFE＋∠BED＝90°，∴∠FHE＝90°，即DE⊥FG；(2)证明：∵△ABC沿射线AB平移至△FEG，∴CB∥GE，CB＝GE.∴四边形CBEG是平行四边形．∵∠ABC＝∠GEF＝90°，∴四边形CBEG是矩形．∵BC＝BE，∴四边形CBEG是正方形．15．(10分)[2015·南京]如图28－11，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连结EF，∠AEF，∠CFE的平分线交于点G，∠BEF，∠DFE的平分线交于点H.(1)求证：四边形EGFH是矩形；(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD交于点P，Q，得到四边形MNQP.此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框图中补全他的证明思路．小明的证明思路由AB∥CD，MN∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证▱MNQP是菱形，只要证MN＝NQ.由已知条件__FG平分∠CFE__，MN∥EF，可证NG＝NF，故只要证GM＝FQ，即证△MEG≌△QFH，易证__GE＝FH__，__∠GME ＝∠FQH__.故只要证∠MGE＝∠QFH.易证∠MGE＝∠GEF，∠QFH＝∠EFH，__∠GEF＝∠EFH__，即可得证．图28－11解：(1)证明：∵EH平分∠BEF.∴∠FEH＝12∠BEF，∵FH平分∠DFE，∴∠EFH＝12∠DFE，∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°，∴∠FEH＋∠EFH＝12(∠BEF＋∠DFE)＝12×180°＝90°，又∵∠FEH＋∠EFH＋∠EHF＝180°，∴∠EHF＝180°－(∠FEH＋∠EFH)＝180°－90°＝90°，同理可证，∠EGF＝90°，∵EG平分∠AEF，∴∠FEG＝12∠AEF，∵EH平分∠BEF，∴∠FEH＝12∠BEF，∵点A，E，B在同一条直线上．∴∠AEB＝180°，即∠AEF＋∠BEF＝180°.∴∠FEG＋∠FEH＝12(∠AEF＋∠BEF)＝12×180°＝90°，即∠GEH＝90°.∴四边形EGFH是矩形；(2)本题答案不唯一，下列解法供参考．例如，FG平分∠CFE；GE＝FH；∠GME ＝∠FQH；∠GEF＝∠EFH.16．(6分)[2015·资阳]若顺次连结四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是(D) A．矩形B．菱形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形17．(10分)如图28－12，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°.顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；…；按此规律继续下去，则四边形A2B2C2D2的周长是__20__；四边形A2 016B2 016C2 016D2 016的周长是__521 005__．图28－12。

矩形、菱形、正方形综合练习

矩形练习题1. 下面的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A. 角B. 任意三角形C. 矩形D. 等腰三角形2．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A. 对角相等B. 对边相等C. 对角线相等D. 对角线互相平分3.四边形ABCD的对角线交于点O，在下列条件中，不能说明它是矩形的是（）. A. AB=CD，AD=BC，∠BAD=90° B.∠BAD=∠ABC =90°∠BAD+∠ADC=180°. C∠BAD=∠BCD,∠ABC+∠ADC=180° D. AO=CO,BO=DO,AC=BD4. 如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点R分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMRP的面积S1，与矩形QCNR的面积S2的大小关系是()A. S1> S2B. S1= S2C. S1< S2D. 不能确定5．如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，且∠AED=90°．当AD=10cm时，AB=__ __cm 6．如果一个矩形较短的边长为5cm．两条对角线所夹的角为60°，则这个矩形的面积是_ cm2. 7．矩形的两邻边之比为3：4名入矩形的周长为70cm ，则矩形的面积为cm2.。

8．在Rt△ABC中，两直角边分别为5，12，则这个直角三角形的斜边上的中线长为。

9．如图，在矩形ABCD中BF∥DE，若AD=12cm ,AB=7cm，且AE：BE=5：2，则S四边形EBFD= 。

2，BC=1，则AB边上的中线长等于。

10．在△ABC中，AB=3，AC= 211．在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,BD=10, ∠ACB =30°,则CD= ．12．如图, 矩形ABCD中,AB=2CD,E在CD上,且AB=BE,则∠AED=．13．已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F．若AE=BC，求证：CE=FE．14．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4cm.(1)平行四边形ABCD是矩形吗？说明理由。

菱形矩形的练习题

菱形矩形的练习题菱形和矩形是我们初中数学学习中经常遇到的几何形状。

它们具有特殊的性质和特点，在几何图形的分类和性质研究中起到重要的作用。

本篇文章将围绕菱形和矩形展开论述，介绍一些与它们相关的练习题供大家练习。

1. 菱形练习题题目：已知菱形ABCD的对角线AC和BD的长度分别为12cm和16cm，求菱形的周长和面积。

解答：首先，菱形的对角线相等且互相垂直，所以菱形的四条边长相等。

设菱形的边长为a，则有4a = 12，解得a = 3 cm。

因此，菱形的周长为4a = 12 cm，面积为(AC × BD) / 2 = (12 cm × 16 cm) / 2 = 96 cm²。

2. 矩形练习题题目：已知矩形ABCDE的长为10 cm，宽为6 cm，求矩形的周长和面积。

解答：矩形的周长等于两倍的长加两倍的宽，所以矩形的周长为2× (10 cm + 6 cm) = 32 cm。

面积等于长乘以宽，所以矩形的面积为10cm × 6 cm = 60 cm²。

3. 组合练习题题目：在菱形和矩形的组合图形ABCDE中，已知菱形ABCD的周长为24 cm，矩形AEFG的面积为30 cm²，求矩形的长和宽。

解答：设菱形的边长为a，则矩形的长为2a，宽为4a。

根据菱形的周长为24 cm，有4a = 24，解得a = 6 cm。

因此，矩形的长为2 × 6 cm = 12 cm，宽为4 × 6 cm = 24 cm。

通过以上练习题的解答，我们可以进一步巩固菱形和矩形的性质和计算方法。

在实际应用中，我们还可以利用菱形和矩形的特点来解决一些几何问题，例如计算建筑物、绘图等。

总结：菱形和矩形是初中数学中常见的几何形状，具有独特的性质和特点。

对于菱形，其对角线相等且互相垂直，四条边长相等；对于矩形，其对角线相等，两对边平行且相等。

通过练习题的解答，我们可以进一步加深对菱形和矩形的理解，并且巩固周长和面积的计算方法。

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- 1 - 16.2矩形、菱形与正方形的性质一、课内训练： 1．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOD=120°，AB=4cm，求对角线AC的长． DA

www.czsx.com.cn

2．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，对角线BD=5，求菱形的周长．

3．如图1，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F．（1）求证：OE=OF；（2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM与EB的延长线交于点M，交DB的延长线于点F，其他条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

(1) (2) 4．如图，以正方形ABCD的边CD为一边在正方形外作等边△CDE，连接BE，交正方形的对角线AC于点F，连接DF，求∠AFD的度数．

5．（1）如图，把一矩形ABCD的纸片，沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置上，ED′与BC的交点为G，若∠EFG=55°，求∠1、∠2的度数．

（2）如图，把一矩形纸片ABCD，沿EF折叠后，点D和点B重合，点C落在C•′位置，若AB=4cm，AD=12cm，求BE的长度．

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Bwww.czsx.com.cn - 2 -

6．已知△ABC，∠A：∠B：∠C=1：2：3，AB=6cm，D为AB边上的中点，求CD的长． 7．•已知菱形的边长为10cm，•则菱形对角线的交点到四条边中点的距离之和为_____cm． 8．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC分∠BAD为∠1，∠2，且∠1：∠2=1：2，AB=3cm，求AC的长．

9．菱形ABCD的两条对角线分别为5cm，12cm，则菱形ABCD的面积为多少？ 10．对于左栏的案例4，采用“补短法”还可以怎样作辅助线，证明出BE=BG+FC？ 11．如图，E、F分别在正方形ABCD的边AD、CD上，且∠FBC=∠EBF，• 求证：BE=AE+CF．

二、课外演练 1．正方形具有而菱形不一定具有的特征是（） A．四条边都相等 B．对角线互相垂直平C．对角线平分一组对角 D．对角线相等 2．一个菱形的两条对角线长分别为7cm和8cm，则这个菱形的面积为（） A．56cm2 B．28cm2 C．14cm2 D．36cm2 3．如图，EF为矩形ABCD对角线的交点O，•且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的（）A．15 B．14 C．13 D．310

（第3题）（第6题）（第8题）

4．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是（） - 3 -

5．菱形的一条对角线与一条边长相等，则这菱形锐角的度数为_______． 6．如图，已知矩形ABCD的对角线相交于点O，△AOD的周长比△AOB的周长大8cm，矩形周长是80cm，求矩形ABCD的面积．

7．如果矩形的两条对角线所成的角中有一个角为60°，那么（） A．它的对角线长是长边长度的2倍 B．它的对角线长是短边长度的2倍 C．它的长边是短边长度的2倍 D．上述关系无法确定 8．如图，矩形ABCD中，AD=30，AB=20，E、F三等分对角线AC，则S△ABE=（）A．60 B．100 C．150 D．200 9．能够在图形内找到一点，使该点到四边形的各边距离都相等，则该四边形一定是（） A．平行四边形、菱形; B．矩形、正方形; C．矩形、菱形; D．菱形、正方形 10．如图16-2-21，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE=3∠BAE，则∠EAC为（）A．30°B．45°C60°D．75°

（第10题）（第14题）（第15题）

11．矩形的一个角的平分线把矩形的一边分成5cm或8cm，此矩形周长为_____cm． 12．菱形的面积为24cm2，一条对角线的长为8cm，则另一条对角线的长是_____cm． 13．菱形的周长是20cm，那么一边上的中点到两条对角线交点的距离为______cm． 14．如图，若点P是正方形ABCD内任意一点，且正方形的边长为1，若S△ABP =0.4，则S△DCP =______． 15．如图，正方形ABCD的对角线相交于O点，点O是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长都为1，那么正方形绕点O旋转，•两个正方形重叠部分的面积（） A14B13 C15 D随着旋转而变化 16．如图，在矩形ABCD中，E、F分别在AB、CD上，BF∥DE，若AD=12cm，•AB=7cm，AE：EB=5：2，则阴影部分的面积是_______cm2．

17．如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH•拼成的一个大正方形ABCD，若S正方形

ABCD=13，S正方形EFGH=1，直角三角形较短直角边为a，较长的直角边为b，求（a+b）2的值． - 4 -

18．有块如图，形状的钢板，如何用一条直线将其分成面积相等的两部分？（至少用2种方法） 19．在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积和是多少？

一、填空题： 1、在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝2∠BOC，若AC＝18厘米，则AD＝ 2、一周长为56的矩形ABCD，O为对角线的交点，△BOC与△AOB的周长之差为4，则AB＝，BC＝ 3、矩形相邻两边的比为2：3，面积为54，则矩形的周长为 4、已知一个边长为4的矩形的面积与一个腰长为4的等腰直角三角形的面积相等，则此矩形的周长为 5、如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E、F是AC的三等分点，则△BEF的面积是 6、如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE+PF的值为： 7、如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AB＝1，BD＝2，则 ∠AOB＝

8、如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠A＝90○，BC＝45，四边形DEFG是矩形，且DG：DE＝5：2，则DE＝，EF＝ 9、在矩形ABCD中，M为AD的中点，MB⊥MC，矩形的周长为24，则AB

＝ BC＝ 10、如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，BF∥DE，若AD＝12，AB＝7，且AE：EB＝5：2，则图中阴影部分的面积为： 11、已知矩形的边长为10和15，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分长分别为、二、解答题： 12、如图，E为矩形ABCD的边AD上一点，且BE＝DE，M为对角线BD上的一点，MP⊥BE，MQ⊥AD，垂足分别为P、Q，试说明AB＝MP+MQ。

13、如图，矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为点E，（1）∠DAE＝3∠BAE，求∠EAC的度数。（2）若∠CAE＝3∠BAE

CDAB

OEFDABC

ODABC

FEGCA

PQEDA

BCM

EODA

EDA

BCF - 5 -

14、如图，已知角角AOB，OA＝OB，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形，请你只用无刻度的直尺在图中画出角角AOB的平分线（请保留画图痕迹）

OFAEB 15、如图，四边形ABCD为矩形，对角线AC、BD相关交于点O，CE平行于DB，交AB的延长线于E，试说明AC＝CE

FEDABC

一、填空： 1、在菱形ABCD中，AC＝6，DB＝8，则菱形的面积为：

2、菱形的周长是9.6，两个邻角之比为1：2，则这个菱形较短的对角线长为： 3、菱形的一边与两条对角线所构成的两角比5：4，则它的各内角度数为： 4、如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC和CD上，且△AEF是等边三角形，AE＝AB，则 ∠BAD的度数

5、如图，菱形花坛DEFG的边长为6， ∠E＝60度度，其中由两个正六边形组成的图形的部分种花，则种

花部分的周长（粗线部分）为： EFGDH'IBCH 6、菱形的两条对角线长之比是5：3，它们的差是4厘米，则这个菱形的面积是

7、菱形ABCD的对角线AC＝16厘米，BD＝16厘米，BC＝10厘米，DE⊥BC，垂足为点E，则DE的长是 8、菱形的一个内角为120度度，较短的对角线长为15，则该菱形的周长为

9、已知菱形的周长为52厘米， ∠BAD： ∠ABC＝1：2，则BD＝ AC＝二、解答题 10、如图，在菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为点E，AB＝2厘米，（1） ∠BAD的度数（2）对角线AC的长

CBF

EDABC