2004高考全国卷4文科数学试题及答案(必修+选修Ⅰ甘肃青海宁夏贵州新疆等地区)

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2024年高考数学试卷(文)(全国甲卷)(含答案)

绝密★启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷文科数学使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，只将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+Î，则A B =I （）A. {}1,2,3,4B. {}1,2,3 C. {}3,4 D. {}1,2,9【答案】A 【解析】【分析】根据集合B 的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.【详解】依题意得，对于集合B 中的元素x ，满足11,2,3,4,5,9x +=，则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8，即{0,1,2,3,4,8}B =，于是{1,2,3,4}A B Ç=.故选：A2. 设z =，则z z ×=（）A. -iB. 1C. -1D. 2【答案】D 【解析】【分析】先根据共轭复数的定义写出z ，然后根据复数的乘法计算.【详解】依题意得，z =，故22i 2zz =-=.故选：D3. 若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --³ìï--£íï+-£î，则5z x y =-最小值为（）A. 5B.12C. 2-D. 72-【答案】D 【解析】【分析】画出可行域后，利用z 的几何意义计算即可得.【详解】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --³ìï--£íï+-£î，作出可行域如图：由5z x y =-可得1155y x z =-，即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-，则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线1155y x z =-过点A ，联立43302690x y x y --=ìí+-=î，解得321x y ì=ïíï=î，即3,12A æöç÷èø，则min 375122z =-´=-.故选：D.4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（）A. 2- B.73C. 1D.29【答案】D 【解析】的【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成1a 和d 来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.【详解】方法一：利用等差数列的基本量由91S =，根据等差数列的求和公式，911989193612S a d a d ´=+=Û+=，又371111222628(936)99a a a d a d a d a d +=+++=+=+=.故选：D方法二：利用等差数列的性质根据等差数列的性质，1937a a a a +=+，由91S =，根据等差数列的求和公式，193799()9()122a a a a S ++===，故3729a a +=.故选：D方法三：特殊值法不妨取等差数列公差0d =，则9111199S a a ==Þ=，则371229a a a +==.故选：D5. 甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）A.14B.13C.12D.23【答案】B 【解析】【分析】分类讨论甲乙的位置，得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.【详解】当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种；当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；基本事件总数显然是44A 24=，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81243=.故选：B6. 已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F -，点()6,4P -在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A. 4B. 3C. 2D.【答案】C 【解析】【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.【详解】由题意，()10,4F -、()20,4F 、()6,4P -，则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===.故选：C.7. 曲线()631f x x x =+-在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（）A.16B.C.12D. 【答案】A 【解析】【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.【详解】()563f x x =¢+，所以()03f ¢=，故切线方程为3(0)131y x x =--=-，故切线的横截距为13，纵截距为1-，故切线与坐标轴围成的面积为1111236´´=故选：A.8. 函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【详解】()()()()()22ee sin e e sin xx x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42ef æöæö=-+->-+-=-->->ç÷ç÷èøèø，故可排除D.故选：B.9. 已知cos cos sin a a a =-πtan 4a æö+=ç÷èø（）A. 1+B. 1- C.D. 1【答案】B 【解析】【分析】先将cos cos sin aa -a弦化切求得tan a ，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos cos sin aa a=-，所以11tan =-a ，tan 1Þa =，所以tan 1tan 11tan 4a +p æö==a +ç÷-aèø，故选：B .原10题略10. 设a b 、是两个平面，m n 、是两条直线，且m a b =I .下列四个命题：①若//m n ，则//n a 或//n b ②若m n ^，则,n n a b^^③若//n a ，且//n b ，则//m n ④若n 与a 和b 所成的角相等，则m n^其中所有真命题的编号是（）A. ①③ B. ②④C. ①②③D. ①③④【答案】A【解析】【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.【详解】对①，当n Ìa ，因为//m n ，m b Ì，则//n b ，当n b Ì，因为//m n ，m a Ì，则//n a ，当n 既不在a 也不在b 内，因为//m n ，,m m a b ÌÌ，则//n a 且//n b ，故①正确；对②，若m n ^，则n 与,a b 不一定垂直，故②错误；对③，过直线n 分别作两平面与,a b 分别相交于直线s 和直线t ，因为//n a ，过直线n 的平面与平面a 的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s Ë平面b ，t Ì平面b ，则//s 平面b ，因为s Ì平面a ，m a b =I ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，故③正确；对④，若,m n a b Ç=与a 和b 所成的角相等，如果//,//a b n n ，则//m n ，故④错误；综上只有①③正确，故选：A.11. 在ABC V 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A.32B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac p==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +=.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．原13题略12. 函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是______．【答案】2【解析】【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】()πsin 2sin 3f x x x x æö==-ç÷èø，当[]0,πx Î时，ππ2π,333x éù-Î-êúëû，当ππ32x -=时，即5π6x =时，()max 2f x =.故答案为：213. 已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______．【答案】64【解析】【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解.【详解】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，整理得()2225log 60log a a --=，2log 1a Þ=-或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==故答案：64.为14. 曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,¥+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为______．【答案】()2,1-【解析】【分析】将函数转化为方程，令()2331x x x a -=--+，分离参数a ，构造新函数()3251,g x x x x =+-+结合导数求得()g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【详解】令()2331x x x a -=--+，即3251a x x x =+-+，令()()32510,g x x x x x =+-+>则()()()2325351g x x x x x =+-=+-¢，令()()00g x x ¢=>得1x =，当()0,1x Î时，()0g x ¢<，()g x 单调递减，当()1,x ¥Î+时，()0g x ¢>，()g x 单调递增，()()01,12g g ==-，因为曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,¥+上有两个不同的交点，所以等价于y a =与()g x 有两个交点，所以()2,1a Î-.故答案为：()2,1-三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．15. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n S 通项公式.【答案】（1）153n n a -æö=ç÷èø的（2）353232næö-ç÷èø【解析】【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；（2）利用等比数列的求和公式可求n S .【小问1详解】因为1233n n S a +=-,故1233n n S a -=-，所以()12332n n n a a a n +=-³即153n n a a +=故等比数列的公比为53q =，故1211523333533a a a a =-=´-=-，故11a =，故153n n a -æö=ç÷èø.【小问2详解】由等比数列求和公式得5113353523213n nn S éùæö´-êúç÷èøêúæöëû==-ç÷èø-.16. 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点.（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求点M 到ABF 的距离.【答案】（1）证明见详解；（2【解析】【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形，可证//BM CD，进而得证；（2）作FO AD ^，连接OB ，易证,,OB OD OF 三垂直，结合等体积法M ABF F ABM V V --=即可求解.【小问1详解】因为//,2,4,BC AD BC AD M ==为AD 的中点，所以//,BC MD BC MD =，四边形BCDM 为平行四边形，所以//BM CD ，又因BM Ë平面CDE ，CD Ì平面CDE ，所以//BM 平面CDE ；【小问2详解】如图所示，作BO AD ^交AD 于O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，//,4,BC AD AD =2AB BC ==，所以2CD =，结合（1）BCDM 为平行四边形，可得2BM CD ==，又2AM =，所以ABM V 为等边三角形，O 为AM中点，所以OB =，又因为四边形ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，所以,//EF MD EF MD =，四边形EFMD 为平行四边形，FM ED AF ==，所以AFM △为等腰三角形，ABM V 与AFM △底边上中点O 重合，OF AM ^，3OF ==，因为222OB OF BF +=，所以OB OF ^，所以,,OB OD OF 互相垂直，由等体积法可得M ABF F ABM V V --=，2112333F ABM ABM V S FO -=×=×=△，222cos 2FA AB FBFAB FAB FA AB+-Ð===Ð=×11sin 222FAB S FA AB FAB =××Ð==△，设点M 到FAB的距离为d ，则1133M FAB F ABM FAB V V S d d --==××==△解得d =M 到ABF .为17. 已知函数()()1ln 1f x a x x =--+．（1）求()f x 的单调区间；（2）若2a £时，证明：当1x >时，()1ex f x -<恒成立．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当1x >时，1e 21ln 0x x x --++>即可.【小问1详解】()f x 定义域为(0,)+¥，11()ax f x a x x¢-=-=当0a £时，1()0ax f x x -¢=<，故()f x 在(0,)+¥上单调递减；当0a >时，1,x a ¥æöÎ+ç÷èø时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当10,x a æöÎç÷èø时，()0f x ¢<，()f x 单调递减.综上所述，当0a £时，()f x 在(0,)+¥上单调递减；0a >时，()f x 在1,a ¥æö+ç÷èø上单调递增，在10,a æöç÷èø上单调递减.【小问2详解】2a £，且1x >时，111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x ----=--+-³-++，令1()e 21ln (1)x g x x x x -=-++>，下证()0g x >即可.11()e 2x g x x -¢=-+，再令()()h x g x ¢=，则121()e x h x x-¢=-，显然()h x ¢在(1,)+¥上递增，则0()(1)e 10h x h ¢¢>=-=，即()()g x h x =¢在(1,)+¥上递增，故0()(1)e 210g x g ¢¢>=-+=，即()g x 在(1,)+¥上单调递增，故0()(1)e 21ln10g x g >=-++=，问题得证18. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M æöç÷èø在C 上，且MF x ^轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ^轴．【答案】（1）22143x y += （2）证明见解析【解析】【分析】（1）设(),0F c ，根据M 的坐标及MF ^x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y -，结合韦达定理化简前者可得10Q y y -=，故可证AQ y ^轴.【小问1详解】设(),0F c ，由题设有1c =且232b a =，故2132a a -=，故2a =，故b =，故椭圆方程为22143x y +=.【小问2详解】直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由223412(4)x y y k x ì+=í=-î可得()2222343264120k x k x k +-+-=，故()()422Δ102443464120k k k =-+->，故1122k -<<，又22121222326412,3434k k x x x x k k-+==++，而5,02N æöç÷èø，故直线225:522y BN y x x æö=-ç÷èø-，故22223325252Q y y y x x --==--，所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ´-+-=+=--()()()12224253425k x x k x x -´-+-=-()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k k x x -´-´+-++++==--2222212824160243234025k k k k k x --+++==-，故1Q y y =，即AQ y ^轴.（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意D 的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．19. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1r r q =+.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：x t y t a=ìí=+î（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.【答案】（1）221y x =+（2）34a =【解析】【分析】（1）根据cos xr r q ìï=í=ïî可得C 的直角方程.（2）将直线的新的参数方程代入C 的直角方程，法1：结合参数s 的几何意义可得关于a 的方程，从而可求参数a 的值；法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求a 的值.【小问1详解】由cos 1r r q =+，将cos xr r q ìï=í=ïîcos 1r r q =+，1x =+，两边平方后可得曲线直角坐标方程为221y x =+.【小问2详解】对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为y x a =+.法1：直线l 的斜率为1故直线的参数方程可设为x y ì=ïïíïïî，s ÎR .将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +-+-=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s ，则)()212121,21s s a s s a +=--=-，且()()22Δ818116160a a a =---=->，故1a <，12AB s s\=-=2==，解得34a =.法2：联立221y x a y x =+ìí=+î，得22(22)10x a x a +-+-=，()22Δ(22)41880a a a =---=-+>，解得1a <，的设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a \+=-=-，则AB ==2=，解得34a =20. 实数,ab 满足3a b +³．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-³．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用22222()a b a b +³+即可证明.（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.【小问1详解】因为()()2222222022a b a ab b a b b a -+=--++=³，当a b =时等号成立，则22222()a b a b +³+，因为3a b +³，所以22222()a b a b a b +³+>+;【小问2详解】222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-³-+-=+-+22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+-+³+-+=++-³´=。

2004年高考试题全国卷2文科数学及答案(必修+选修Ⅰ四川吉林黑龙江云南等地区)(1)

2004年高考试题全国卷2文科数学（必修＋选修Ⅰ）(四川、吉林、黑龙江、云南等地区)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1）已知集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N ＝（A ）{x |x ＜－2} （B ）{x |x ＞3} （C ）{x |－1＜x ＜2} （D ）{x |2＜x ＜3}（2）函数y ＝51+x (x ≠－5)的反函数是（A ）y ＝x1－5(x ≠0) （B ）y ＝x ＋5(x ∈R ) （C ）y ＝x1＋5(x ≠0) （D ）y ＝x －5(x ∈R ) （3）曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为（A ）y ＝3x －4 （B ）y ＝－3x ＋2 （C ）y ＝－4x ＋3 （D ）y ＝4x －5（4）已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为（A ）(x ＋1)2＋y 2＝1 （B ）x 2＋y 2＝1 （C ）x 2＋(y ＋1)2＝1 （D ）x 2＋(y －1)2＝1 （5）已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(12π,0)，则φ可以是（A ）－6π （B ）6π （C ）－12π （D ）12π（6）正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（A ）75° （B ）60° （C ）45° （D ）30° （7）函数y ＝－e x 的图象（A ）与y ＝e x 的图象关于y 轴对称（B ）与y ＝e x 的图象关于坐标原点对称（C ）与y ＝e －x 的图象关于y 轴对称（D ）与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称（8）已知点A (1，2)，B(3，1)，则线段AB 的垂直平分线的方程为（A ）4x ＋2y ＝5 （B ）4x －2y ＝5 （C ）x ＋2y ＝5 （D ）x －2y ＝5（9）已知向量a 、b 满足：|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，则|a ＋b|＝（A ）1 （B ）2 （C ）5 （D ）6 （10）已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为（A ）31 （B ）33 （C ）32 （D ）36（11）函数y ＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为（A ）4π （B ）2π（C ）π （D ）2π （12）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（A ）56个（B ）57个（C ）58个（D ）60个二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．（13）已知a 为实数，(x ＋a )10展开式中x 7的系数是－15，则a ＝（14）设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥，y x y ，x ，x 120 则z ＝3x ＋2y 的最大值是．（15）设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是．（16）下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱其中，真命题的编号是 (写出所有真命题的编号)．三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）(本题满分12分)已知等差数列{a n }，a 2＝9，a 5 ＝21(Ⅰ)求{a n }的通项公式；(Ⅱ)令b n ＝n a2，求数列{b n }的前n 项和S n（18） (本小题满分12分)已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝53，sin(A －B )＝51． (Ⅰ)求证：tan A ＝2tan B ；(Ⅱ)设AB ＝3，求AB 边上的高．（19）(本小题满分12分)已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A 、B 两组，每组4支．求 (Ⅰ)A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率；(Ⅱ)A 组中至少有两支弱队的概率．（20）(本小题满分12分) ．如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90o ，AC ＝1，CB ＝2，侧棱AA 1＝1，侧面AA 1B 1B 的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M ． (Ⅰ)求证：CD ⊥平面BDM ；(Ⅱ)求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小．（21）(本题满分12分)若函数f (x )＝31x 3－21ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4) 内为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围（22）(本小题满分14分)给定抛物线C ：y 2＝4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点．(Ⅰ)设l 的斜率为1，求OA 与OB 夹角的大小；(Ⅱ)设FB ＝AF λ，若λ∈[4，9]，求l 在y 轴上截距的变化范围．2004年高考试题全国卷2文科数学（必修＋选修Ⅰ）(四川、吉林、黑龙江、云南等地区)参考答案：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．（1）C （2）A （3）B （4）C （5）A （6）C （7）D （8）B （9）D （10）B （11）B （12）C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．（13）－21 （14）5 （15）21x 2＋y 2＝1 （16）②④ 17．解：a 5-a 2=3d,d=4,a n =a 2+(n-2)d=9+4(n-2)=4n+1 {b n }是首项为32公比为16的等比数列，Sn=)12(15324-n. 18．(I)证明：∵sin(A+B)=53,sin(A-B)=51∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒51sin cos 52cos sin B A B A ⇒2tan tan =B A ，∴B A tan 2tan =. (II)解：∵2π<A+B<π, 53)sin(=+B A , ∴54)cos(-=+B A , 43)tan(-=+B A即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ,将B A tan 2tan =代入上式并整理得01tan 4tan 22=--B B 解得262tan ±=B ,因为B 为锐角，所以262tan +=B ,∴B A tan 2tan = =2+6设AB 上的高为CD ，则AB=AD+DB=623tan tan +=+CDB CD A CD ，由AB=3得CD=2+6 故AB 边上的高为2+619．(I) 解：有一组恰有两支弱队的概率762482523=C C C(II)解：A 组中至少有两支弱队的概率21481533482523=+C C C C C C 20．解法一：(I)如图，连结CA 1、AC 1、CM ，则CA 1=2，∵CB=CA 1=2，∴△CBA 1为等腰三角形，又知D 为其底边A 1B 的中点，∴CD ⊥A 1B ， ∵A 1C 1=1，C 1B 1=2，∴A 1B 1=3，又BB 1=1，∴A 1B=2，∵△A 1CB 为直角三角形，D 为A 1B 的中点，CD=21A 1B=1，CD=CC 1又DM=21AC 1=22，DM=C 1M ，∴△CDN ≌△CC 1M ，∠CDM=∠CC 1M=90°,即CD ⊥DM ，因为A 1B 、DM 为平面BDM 内两条相交直线，所以CD ⊥平面BDM(II)设F 、G 分别为BC 、BD 的中点，连结B 1G 、FG 、B 1F ，则FG ∥CD ，FG=21CD ∴FG=21，FG ⊥BD.由侧面矩形BB 1A 1A 的对角线的交点为D,知BD=B 1D=21A 1B=1，所以△BB 1D 是边长为1的正三角形，于是B 1G ⊥BD ，B 1G=23， ∴∠B 1GF 是所求二面角的平面角又B 1F 2=B 1B 2+BF 2=1+(22)2=23. ∴cos ∠B 1GF=332123223)21()23(222121221-=∙∙-+=∙-+FGG B FB FG G B即所求二面角的大小为π-arccos33 解法二：如图以C 为原点建立坐标系(I):B(2,0,0),B 1(2,1,0),A 1(0,1,1),D(22,21,21), M(22,1,0),=CD (22,21,21),=B A 1(2,-1,-1), =DM (0,21,-21),,0,01=∙=∙DM CD B A CD∴CD ⊥A 1B,CD ⊥DM.因为A 1B 、DM 为平面BDM 内两条相交直线，所以CD ⊥平面BDM(II):设BD 中点为G ，连结B 1G ，则G ),41,41,423(=BD (-22,21,21)，=G B 1),41,43,42(--∴01=∙G B BD ，∴BD ⊥B 1G ，又CD ⊥BD ，∴CD 与G B 1的夹角θ等于所求二面角的平面角，cos .33||||11-=∙∙=G B CD G B CD θ AB CA'B'C'DM A'CBAC'B'MDA BC A'B'C'DM F Gz XyA'C B AC'B'F MD G所以所求二面角的大小为π-arccos33 21．解：=)('x f x 2-ax+a-1, 函数f(x)在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,＋∞)上为增函数. 设=)('x f x 2-ax+a-1=0的两根为1,a-1,则614≤-≤a ,75≤≤a . 22．解：（I ）C 的焦点为F(1,0)，直线l 的斜率为1，所以l 的方程为y=x-1. 将y=x-1代入方程y 2=4x ，并整理得x 2-6x+1=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则有x 1+x 2=6,x 1x 2=1，OB OA ∙=(x 1,y 1)·(x 2,y 2)=x 1x 2+y 1y 2=2x 1x 2-(x 1+x 2)+1=-3. 41]16)(4[||||21212122222121=+++=+∙+=∙x x x x x x y x y x OB OAcos<OB OA ,>=.41413||||-=∙∙OB OA OB OA 所以OA 与OB 夹角的大小为π-arccos41413. 解：(II)由题设知AF FB λ=得：(x 2-1,y 2)=λ(1-x 1,-y 1)，即⎩⎨⎧-=-=-)2()1()1(11212 y y x x λλ由 (2)得y 22=λ2y 12, ∵y 12=4x 1,y 22=4x 2,∴x 2=λ2x 1 (3)联立(1)(3)解得x 2=λ.依题意有λ>0. ∴B(λ,2λ)或B(λ,-2λ)，又F(1,0),得直线l 的方程为(λ-1)y=2λ(x-1)或(λ-1)y=-2λ(x-1)当λ∈[4,9]时，l 在y 轴上的截距为12-λλ或-12-λλ由12-λλ=1212-++λλ，可知12-λλ在[4，9]上是递减的， ∴≤4312-λλ34≤，-≤34-12-λλ43-≤直线l 在y 轴上截距的变化范围是]34,43[]43,34[ --解：(II)由定比分点公式求解考的范围不出超出这些公式的^_^ 等差数列：通项公式：an=a1+（n-1）d ；求和公式1：Sn=a1n +n （n-1）d/2；求和公式2：Sn=n （a1+an ）/2；中间公式：如果m+n=2k ；m ，n ，k ∈N ；则对于等差数列有：2ak=am+an ；相等公式：如果m+n=p+q ；m ，n ，p ，q ∈N ，则对于等差数列：am+an=ap+aq ；等比数列：通项公式：an=a1q^（n-1）；求和公式1：Sn=a1（1-q^n ）/（1-q ）（q≠1）；求和公式2：Sn=（a1-anq ）/（1-q ）（q≠1）；中间公式：如果m+n=2k ；m ，n ，k ∈N ；则对于等比数列有：（ak ）²=am*an ；相等公式：如果m+n=p+q ；m ，n ，p ，q ∈N ，则对于等差数列：am*an=ap*aq ；解题时常用： n=1时，a1=s1=？ n≥2时，an=Sn-S （n-1）=？遇到无法求解通项公式时，想办法讲所给已知条件化成等比数列或者等差数列；还有利用所求出的前几项（比如求出了a1，a2，a3），猜想数列的通项公式，然后利用数学归纳法去证明；数学归纳法的步骤是：第一步，当n=1时，成立；第二步，假设n=k 时成立，证明n=k+1时也成立。

2023年全国乙卷文科数学高考试卷(原卷+答案)

绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）（适用地区:内蒙古、江西、河南、陕西、甘肃、青海、宁夏、新疆）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案书写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题1. ++=2i 2i 23（） A. 1B. 2C.D. 52. 设全集=U 0,1,2,4,6,8}{，集合==M N 0,4,6,0,1,6}{}{，则⋃=M N U（）A. 0,2,4,6,8}{B. 0,1,4,6,8}{C. 1,2,4,6,8}{D. U3. 如图，网格纸上绘制一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）A. 24B. 26C. 28D. 304. 在ABC 中，内角A B C ,,的对边分别是a b c ,,，若−=a B b A c cos cos ，且=πC 5，则∠=B （）A.π10B.π5C.π103 D. π525. 已知−=f x x ax xe 1()e 是偶函数，则a =（）A. −2B. −1C. 1D. 26. 正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则⋅=EC ED （）A.B. 3C. D. 57. 设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域≤+≤x y xy ,1422}{)(内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于4π的概率为（） A.81 B.61 C.41 D.21的8. 函数=++f x x ax 23)(存在3个零点，则a 的取值范围是（）A −∞−,2)(B. −∞−,3)(C. −−4,1)(D. −3,0)(9. 某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（） A.65 B.32 C.21 D.31 10. 已知函数=+ωϕf x x ()sin()在区间⎝⎭⎪⎛⎫63,π2π单调递增，直线=x 6π和=x 3π2为函数=y f x )(的图像的两条相邻对称轴，则⎝⎭⎪−=⎛⎫f 12π5（） A2B. −21 C.21D.211. 已知实数x y ,满足+−−−=x y x y 424022，则−x y最大值是（）A. +21 B. 4C. +1D. 712. 设A ，B 为双曲线−=x y 9122上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（） A. 1,1)( B.1,2C. 1,3)(D. −−1,4)(二、填空题13.已知点A (在抛物线C ：=y px 22上，则A 到C 的准线的距离为______. 14. 若θθ⎝⎭ ⎪∈=⎛⎫220,,tan 1π，则−=θθsin cos ________． 15. 若x ，y 满足约束条件⎩+≥⎪⎨+≤⎪⎧−≤−x y x y x y 372931，则=−z x y 2的最大值为______.16. 已知点S A B C ,,,均在半径为2的球面上，ABC 是边长为3的等边三角形，⊥SA 平面ABC ，则=SA ________．三、解答题17. 某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为x i ，=⋅⋅⋅y i i 1,2,,10)(．试验结果如下：.记=−=⋅⋅⋅z x y i i i i 1,2,,10)(，记⋅⋅⋅z z z ,,,1210的样本平均数为z ，样本方差为s 2．（1）求z ，s 2；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果≥z ，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）18. 记S n 为等差数列a n }{的前n 项和，已知==a S 11,40210．（1）求a n }{的通项公式；（2）求数列a n }{的前n 项和T n ．19. 如图，在三棱锥P ABC −中，⊥AB BC ，=AB 2，=BC ==PB PC BP AP BC ,,的中点分别为D E O ,,，点F 在AC 上，⊥BF AO ．（1）求证：EF //平面ADO ；（2）若∠=︒POF 120，求三棱锥P ABC −的体积．20. 已知函数⎝⎭⎪=++⎛⎫x f x a x ln 11)()(．（1）当=−a 1时，求曲线=y f x )(在点f x 1,)()(处的切线方程．（2）若函数f x )(在+∞0,)(单调递增，求a 的取值范围．21. 已知椭圆=>>+y a a x b b C (0):12222的离心率是3，点−A 2,0)(在C 上．（1）求C 的方程；（2）过点−2,3)(的直线交C 于P Q ,两点，直线AP AQ ,与y 轴的交点分别为M N ,，证明：线段MN 的中点为定点．【选修4-4】（10分）22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρθθ⎝⎭⎪=≤≤⎛⎫422sin ππ，曲线C 2：⎩=⎨⎧=ααy x 2sin 2cos （α为参数，<<ππα2）.（1）写出C 1的直角坐标方程；（2）若直线=+y x m 既与C 1没有公共点，也与C 2没有公共点，求m 的取值范围.【选修4-5】（10分） 23 已知=+−f x x x 22)(..（1）求不等式≤−f x x 6)(的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组⎩+−≤⎨⎧≤x y f x y60()所确定的平面区域的面积.参考答案1.【答案】C【详解】由题意可得++=−−=−2i 2i 212i 12i 23，则++=−==2i 2i 12i 23 故选：C. 2.【答案】A 【详解】由题意可得=N U2,4,8}{，则=MN U0,2,4,6,8}{.故选：A.3.【答案】D【详解】如图所示，在长方体−ABCD A B C D 1111中，==AB BC 2，=AA 31，点H I J K ,,,为所在棱上靠近点B C D A ,,,1111的三等分点，O L M N ,,,为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体−ABCD A B C D 1111去掉长方体−ONIC LMHB 11之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，其表面积为：⨯⨯+⨯⨯−⨯⨯=22242321130)()()(.故选：D. 4.【答案】C【详解】由题意结合正弦定理可得−=A B B A C sin cos sin cos sin ，即−=+=+A B B A A B A B B A sin cos sin cos sin sin cos sin cos )(，整理可得=B A sin cos 0，由于∈B π0,)(，故>B sin 0，据此可得==A A 2cos 0,π，则=−−=−−=B AC 2510πππ3ππ.故选：C. 5.【答案】D【详解】因为−=f x x ax x e 1e )(为偶函数，则−−−−−=−==⎣⎦−−⎡⎤−−−f x f x x x x ax ax axx x x a x e 1e 1e 10e e e e 1)()()()(，又因为x 不恒为0，可得−=−x a x e e 01)(，即=−x a x e e 1)(，则=−x a x 1)(，即=−a 11，解得=a 2. 故选：D. 6.【答案】B.【详解】以AB AD ,}{为基底向量，可知==⋅=AB AD AB AD 2,0，则=+=+=+=−+EC EB BC AB AD ED EA AD AB AD 22,11，所以⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⋅=+⋅−+=−+=−+=⎛⎫⎛⎫EC ED AB AD AB AD AB AD 22414311122； 7.【答案】C 【详解】因为区域≤+≤x y xy ,|1422}{)(表示以O 0,0)(圆心，外圆半径=R 2，内圆半径=r 1的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于4π的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角∠=MON 4π，结合对称性可得所求概率==⨯P 4π341π31. 故选：C.8.【答案】B【详解】=++f x x ax ()23，则=+'f x x a ()32，若f x )(要存在3个零点，则f x )(要存在极大值和极小值，则0a<，令=+='f x x a ()302，解得=x且当⎝⎝⎭ ⎪ ⎪∈−∞+∞−⎛⎛⎫x a 3,,时，>'f x ()0，当⎝ ∈⎛x ，<'f x ()0，故f x )(的极大值为⎝ ⎛f，极小值为f ，若f x )(要存在3个零点，则⎩⎪<⎪⎨⎝⎪ ⎪>⎛⎧f f 00，即+<>2020，解得<−a 3，9.【答案】A【详解】用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表：共有36个不同结果，它们等可能，其中甲乙抽到相同结果有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)，共6个，因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率==P 366305. 10.【答案】D【详解】因为=+ωϕf x x ()sin()⎝⎭ ⎪⎛⎫63,π2π单调递增，所以=−=T 2362πππ2，且>ω0，则=T π，==T w 2π2，当=x 6π时，f x )(取得最小值，则⋅+=−ϕk 62π22ππ，∈k Z ，则=−ϕk 6π2π5，∈k Z ，不妨取=k 0，则⎝⎭⎪=−⎛⎫f x x 6sin 2π5)(，则⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪−=−=⎛⎫⎛⎫f 1232sin π5π5， 11.【答案】C【详解】令−=x y k ，则=+x k y ，代入原式化简得+−+−−=y k y k k 22644022)(，因为存在实数y ，则∆≥0，即−−⨯−−≥k k k 264244022)()(，化简得−−≤k k 21702，解得−≤≤+k 11，故−x y 的最大值是+1， 12.【答案】D【详解】设A x y B x y ,,,1122)()(，则AB 的中点⎝⎭⎪⎛⎫++M x x y y 22,1212，可得−++===−++x x x x x x k k y y y y y y AB2,2121212121212，因A B ,在双曲线上，则⎩⎪−=⎪⎨⎪⎪−=⎧x y x y 919122221122，两式相减得−−=−x x y y 9012122222)(，所以−⋅==−x x k k y y AB 912221222. 对于选项A ：可得==k k AB 1,9，则=−AB y x :98，联立方程⎩⎪−=⎨⎪⎧=−x y y x 919822，消去y 得−⨯+=x x 722727302，此时∆=−⨯−⨯⨯=−<2724727328802)(，所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；对于选项B ：可得=−=−k k AB 22,9，则=−−AB y x 22:95，联立方程⎩⎪−=⎪⎨⎪⎪=−−⎧x y y x 91229522，消去y 得+⨯+=x x 452456102，此时∆=⨯−⨯⨯=−⨯⨯<245445614451602)(，所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；对于选项C ：可得==k k AB 3,3，则=AB y x :3由双曲线方程可得==a b 1,3，则=AB y x :3为双曲线的渐近线，所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；对于选项D ：==k k AB44,9，则=−AB y x 44:97，联立方程⎩⎪−=⎪⎨⎪⎪=−⎧x y y x 91449722，消去y 得+−=x x 6312619302，此时∆=+⨯⨯>12646319302，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确；故选：D. 13【答案】49【详解】由题意可得：=⨯p 212，则=p 25，抛物线的方程为=y x 52，准线方程为=−x 45，点A 到C 的准线的距离为⎝⎭ ⎪−−=⎛⎫44159.故答案为：49.14.【答案】−5【详解】因为⎝⎭⎪∈⎛⎫θ20,π，则>>θθsin 0,cos 0，又因为==θθθcos 2tan sin 1，则=θθcos 2sin ，为且θθθθθ+=+==cos sin4sin sin5sin122222，解得=θ5sin或=θ5sin（舍去），所以θθθθθ−=−=−=−5sin cos sin2sin sin.故答案为：−5.15.【答案】8【详解】作出可行域如下图所示：=−z x y2，移项得=−y x z2，联立有⎩+=⎨⎧−=−x yx y2931，解得⎩=⎨⎧=yx25，设A5,2)(，显然平移直线=y x2使其经过点A，此时截距−z最小，则z最大，代入得=z8，故答案为：8.16.【答案】2【详解】如图，将三棱锥−S ABC转化为直三棱柱SMN ABC，设ABC的外接圆圆心为O1，半径为r，则∠===ACBrABsin2，可得=r，设三棱锥−S ABC的外接球球心为O，连接OA OO,1，则==OA OO SA22,11，因为=+OA OO O A11222，即=+SA44312，解得=SA2.故答案为：2.17.【答案】（1）=z11，=s612；（2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.【解析】【小问1详解】==+++++++++x10552.3545533551522575544541568596548，==+++++++++y 10541.3536527543530560533522550576536，=−=−=z x y 552.3541.311，=−z x y i i i 的值分别为: −9,6,8,8,15,11,19,18,20,12，故==−+−+−+−−+−++−+−+−+−s 10612011)(1211)(911)(611)(811)(811)(1511)0(1911)(1811)(2222222222【小问2详解】由（1）知:=z 11，==≥z 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.18.【答案】（1）=−a n n 152 （2）⎩−+≥⎨=−≤⎧n n n T n n n n 1498,814,722 【解析】【小问1详解】设等差数列的公差为d ，由题意可得⎩⎪=+=⨯⎨⎪⎧=+=S a d a a d 210401091110121，即⎩+=⎨⎧+=a d a d 2981111，解得⎩=−⎨⎧=d a 2131，所以=−−=−a n n n 1321152)(，【小问2详解】因为==−+−S n n n n n 214131522)(，令=−>a n n 1520，解得<n 215，且N ∈n *，当≤n 7时，则>a n 0，可得=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+==−T a a a a a a S n n n n n n 1412122；当≥n 8时，则<a n 0，可得=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+−+⋅⋅⋅+T a a a a a a a a n n n 121278)()(=−−=−=⨯−−−=−+S S S S S n n n n n n 221477141498777222)()()(；综上所述：⎩−+≥⎨=−≤⎧n n n T n n n n 1498,814,722. 19.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【小问1详解】连接DE OF ,，设=AF tAC ，则=+=−+BF BA AF t BA tBC (1)，=−+AO BA BC 21，⊥BF AO ，则⋅=−+⋅−+=−+=−+=BF AO t BA tBC BA BC t BA tBC t t 22[(1)]()(1)4(1)401122，解得=t 21，则F 为AC 的中点，由D E O F ,,,分别为PB PA BC AC ,,,的中点，于是==DE AB DE AB OF AB OF AB 22//,,//,11，即=DE OF DE OF //,，则四边形ODEF 为平行四边形，=EF DO EF DO //,，又⊄EF 平面⊂ADO DO ,平面ADO ，所以EF //平面ADO .【小问2详解】过P 作PM 垂直FO 的延长线交于点M ，因为=PB PC O ,是BC 中点，所以⊥PO BC ，在△PBO Rt 中，===PB BO BC 21，所以===PO 2，因为⊥AB BC OF AB ,//，所以⊥OF BC ，又⋂=PO OF O ，⊂PO OF ,平面POF ，所以⊥BC平面POF ，又⊂PM 平面POF ，所以⊥BC PM ，又=BCFM O ，⊂BC FM ,平面ABC ，所以⊥PM 平面ABC ，即三棱锥P ABC −的高为PM ，因为∠=︒POF 120，所以∠=︒POM 60，所以=︒=⨯PM PO 2sin 602又△=⋅=⨯⨯=S AB BC ABC 22211△=⋅=⨯=−V S PM P ABC ABC 33311.20.【答案】（1）+−=x y ln 2ln 20)(；（2）⎩⎭⎨⎬≥⎧⎫a a 2|1. 【解析】【小问1详解】当=−a 1时，⎝⎭⎪=−+>−⎛⎫x f x x x 1ln 111)()()(，则⎝⎭+ ⎪=−⨯++−⨯'⎛⎫x x x x f x 1ln 111112)()(，据此可得==−'f f 10,1ln 2)()(，所以函数在f 1,1)()(处的切线方程为−=−−y x 0ln 21)(，即+−=x y ln 2ln 20)(. 【小问2详解】由函数的解析式可得⎝⎭⎝⎭+ ⎪ ⎪−+++⨯>−'⎛⎫⎛⎫x x x f x x a x 1=ln 111112)()()(，满足题意时≥'f x 0)(在区间+∞0,)(上恒成立. 令⎝⎭⎝⎭+ ⎪ ⎪−+++≥⎛⎫⎛⎫x x x x a 1ln 101112)(，则−++++≥x x x ax 1ln 102)()()(，令+−++g x ax x x x =1ln 12)()()(，原问题等价于≥g x 0)(在区间+∞0,)(上恒成立，则=−+'g x ax x 2ln 1)()(，当≤a 0时，由于≤+>ax x 20,ln 10)(，故<'g x 0)(，g x )(在区间+∞0,)(上单调递减，此时<=g x g 00)()(，不合题意;令==−+'h x g x ax x 2ln 1)()()(，则+='−x h x a 121)(，当≥a 21，≥a 21时，由于+<x 111，所以>'h x h x 0,)()(在区间+∞0,)(上单调递增，即'g x )(在区间+∞0,)(上单调递增，所以=''g x g >00)()(，g x )(在区间+∞0,)(上单调递增，>=g x g 00)()(，满足题意. 当<<a 201时，由'+=−=x h x a 1201)(可得−ax 2=11，当⎝⎭ ⎪∈−⎛⎫a x 20,11时，<'h x h x 0,)()(在区间⎝⎭⎪−⎛⎫a 20,11上单调递减，即'g x )(单调递减，注意到='g 00)(，故当⎝⎭⎪∈−⎛⎫a x 20,11时，<=''g x g 00)()(，g x )(单调递减，由于=g 00)(，故当⎝⎭ ⎪∈−⎛⎫a x 20,11时，<=g x g 00)()(，不合题意. 综上可知：实数a 得取值范围是⎩⎭⎨⎬≥⎧⎫a a 2|1. 21.【答案】（1）+=y x 94122（2）证明见详解【解析】【小问1详解】由题意可得⎩⎪==⎪⎪⎨=+⎪⎪=⎪⎧a e c a b c b 32222，解得⎩=⎪⎨=⎪=⎧c b a 23，所以椭圆方程为+=y x 94122.【小问2详解】由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设=++PQ y k x P x y Q x y :23,,,,1122)()()(，联立方程⎩⎪+=⎨⎪=++⎧y x y k x 9412322)(，消去y 得：+++++=k x k k x k k 498231630222)()()(，则=+−++=−>kk k k k k 64236449317280Δ2222)()()(，解得<k 0，可得+++=−=++k k x x x x k k k k 4949,8231632212122)()(，因为−A 2,0)(，则直线+=+x AP y x y 2:211)(，令=x 0，解得+=x y y 2211，即⎝⎭+ ⎪⎛⎫x M y 20,211,同理可得⎝⎭+ ⎪⎛⎫x N y 20,222，则++=+⎣⎦⎣⎦++⎡⎤⎡⎤+++++x x x x k x k x y y 2222223232212121212)()( ++=⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤+++++++x x kx k x kx k x 22232232121221)()()()()()(+++=+++++x x x x kx x k x x k 2424342312121212)()()()(++−+++===++−+++++k k k k k k k k k k k k k k k 494941623163363494910842384323323222222)()()()()()(，所以线段MN 的中点是定点0,3)(.22.【答案】（1）+−=∈∈x y x y 11,0,1,1,222][][)( （2）−∞+∞,022,)()(【解析】【小问1详解】因为=ρθ2sin ，即=ρρθ2sin 2，可得+=x y y 222，整理得+−=x y 1122)(，表示以0,1)(为圆心，半径为1的圆，又因为ρθθθθρθθθ======−x y cos 2sin cos sin 2,sin 2sin 1cos 22，且≤≤θ42ππ，则θ≤≤2π2π，则θθ=∈=−∈x y sin 20,1,1cos 21,2][][，故+−=∈∈C x y x y :11,0,1,1,2122][][)(. 【小问2详解】因为⎩=⎨⎧=ααy C x 2sin :2cos 2（α为参数，<<α2ππ），整理得+=x y 422，表示圆心为O 0,0)(，半径为2，且位于第二象限的圆弧，如图所示，若直线=+y x m 过1,1)(，则=+m 11，解得=m 0；若直线=+y x m ，即−+=x y m 0与C 2相切，则⎩>=m 02，解得=m ，若直线=+y x m 与C C ,12均没有公共点，则>m 或<m 0，即实数m 的取值范围−∞+∞,022,)()(.23.【答案】（1）−[2,2]；（2）8. 【解析】【小问1详解】依题意，⎩−+<⎪⎨=+≤≤⎪⎧−>x x f x x x x x 32,0()2,0232,2，不等式≤−f x x ()6化为：⎩−≤−⎨⎧>x x x 3262或⎩+≤−⎨⎧≤≤x x x 2602或⎩−+≤−⎨⎧<x x x 3260，解⎩−≤−⎨⎧>x x x 3262，得无解；解⎩+≤−⎨⎧≤≤x x x 2602，得≤≤x 02，解⎩−+≤−⎨⎧<x x x 3260，得−≤<x 20，因此−≤≤x 22，所以原不等式的解集为：−[2,2]【小问2详解】作出不等式组⎩+−≤⎨⎧≤x y f x y60()表示的平面区域，如图中阴影ABC ，由⎩+=⎨⎧=−+x y y x 632，解得−A (2,8)，由⎩+=⎨⎧=+x y y x 62, 解得C (2,4)，又B D (0,2),(0,6)，所以ABC 的面积=⨯−=−⨯−−=S BD x x ABCC A 22|||62||2(2)|811.。

2004年全国统一高考数学试卷Ⅰ(文)

2004年河南省高考数学试卷Ⅰ（文）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集U=|1，2，3，4，5|，且A={2，3，4}，B={1，2}，则A∩（∁∪B）等于（）A．{2}B．{5}C．{3，4}D．{2，3，4，5} 2．已知函数= （）A．B．﹣C．2 D．﹣23．已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么||= （）A．B．C．D．44．函数y=+1（x≥1）的反函数是（）A．y=x2﹣2x+2（x＜1）B．y=x2﹣2x+2（x≥1）C．y=x2﹣2x（x＜1）D．y=x2﹣2x（x≥1）5．的展开式中常数项是（）A．14 B．﹣14 C．42 D．﹣426．设，若，则= （）A．B．C．D．7．+y2=1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|等于（）A．B．C．D．48．设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣2，2]C．[﹣1，1]D．[﹣4，4] 9．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度10．已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H．设四面体EFGHA．B．C．D．11．从1，2，…，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（）A．B．C．D．12．a2+b2=1，b2+c2=2，c2+a2=2，则ab+bc+ca的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣﹣D．+二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．不等式x+x3≥0的解集是．14．已知等比数列{a n}中，a3=3，a10=384，则该数列的通项a n=．15．由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P 的轨迹方程为．16．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）等差数列{a n}的前n项和记为S n．已知a10=30，a20=50．（Ⅱ）若S n=242，求n．18．（12分）求函数的最小正周期、最大值和最小值．19．（12分）已知f（x）=ax3+3x2﹣x+1在R上是减函数，求a的取值范围．20．（12分）从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验．每位女同学能通过测验的概率均为，每位男同学能通过测验的概率均为．试求：（I）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；（II）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率．21．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°．（I）求点P到平面ABCD的距离，（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小．22．（12分）设双曲线C：=1（a＞0）与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．（Ⅰ）求双曲线C的离心率e的取值范围：（Ⅱ）设直线l与y轴的交点为P，且．求a的值．。

全国卷IV2004年理科

2004年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷IV ）适用地区：贵州、宁夏.一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. （2004▪全国卷IV ▪理）已知集合{M =0，1，2}，{|2N x x a ==，}a M ∈，则集合M N = A.{0}B.{0，1}C.{1，2}D.{0，2}2. （2004▪全国卷IV ▪理）函数2()x y e x R =∈的反函数为A.2ln (0)y x x =>B.ln(2)(0)y x x =>C.1ln (0)2y x x => D.1ln(2)(0)2y x x => 3. （2004▪全国卷IV ▪理）过点(1-，3)且垂直于直线230x y -+=的直线方程为A.210x y +-=B.250x y +-=C.250x y +-=D.270x y -+=4. （2004▪全国卷IV ▪理）2=i B.i i D.i5. （2004▪全国卷IV ▪理）不等式(2)03x x x +<-的解集为 A.{|2x x <-或03}x << B.{|20x x -<<或3}x > C.{|2x x <-或0}x > D.{|0x x <或3}x >6. （2004▪全国卷IV ▪理）等差数列{}n a 中，12324a a a ++=-，18192078a a a ++=，则此数列前20项和等于 A.160 B.180 C.200 D.220 7. （2004▪全国卷IV ▪理）对于直线m 、n 和平面α，下面命题中的真命题是A.如果m α⊂，n α⊄，m 、n 是异面直线，那么n ∥αB.如果m α⊂，n α⊄，m 、n 是异面直线，那么n 与α相交C.如果m α⊂，n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥nD.如果m ∥α，n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥n 8. （2004▪全国卷IV ▪理）已知椭圆的中心在原点，离心率12e =，且它的一个焦点与抛物线24y x =-的焦点重合，则此椭圆方程为A.22143x y += B.22186x y += C.2212x y += D.2214x y += 9. （2004▪全国卷IV ▪理）从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男女教师都有，则不同的选派方案共有 A.210种 B.420种 C.630种 D.840种10. （2004▪全国卷IV ▪理）已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点，如果2AB AC ==，BC =ABC 的距离为A.1D.211. （2004▪全国卷IV ▪理）ABC ∆中，a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，30B ∠=︒，ABC ∆的面积为32，那么b 等于A.12B.1C.22+D.212. （2004▪全国卷IV ▪理）设函数()()f x x R ∈为奇函数，1(1)2f =，(2)()f x f x +=+ (2)f ，则(5)f =A.0B.1C.52D.5二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13. （2004▪全国卷IV ▪理）8(x x-展开式中5x 的系数为__________. 14. （2004▪全国卷IV ▪理）向量a 、b 满足()a b -▪(2)4a b +=-，且2a =，4b =，则a 与b 夹角的余弦值等于_________.15. （2004▪全国卷IV ▪理）函数1()cos cos 2()2f x x x x R =-∈的最大值等于________. 16. （2004▪全国卷IV ▪理）设x 、y 满足约束条件10x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值是__________.三、解答题（共6小题，满分12×5＋14＝74分）17. （2004▪全国卷IV ▪理）已知α为第二象限角，且sin α=求s i n ()4s i n 2c o s 21πααα+++的值.18. （2004▪全国卷IV ▪理）求函数21()ln(1)4f x x x =+-在[0，2]上的最大值和最小值. 19. （2004▪全国卷IV ▪理）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题．竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得﹣100分．假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响．⑴求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望；⑵求这名同学总得分不为负分（即0ξ≥）的概率.20. （2004▪全国卷IV ▪理）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，8AB =，AD =PAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为60︒． ⑴求四棱锥P ABCD -的体积； ⑵证明PA BD ⊥.21. （2004▪全国卷IV ▪理）双曲线22221(1x y a a b-=>，0)b >的焦距为2c ，直线l 过点(a ，0)和(0，)b ，且点(1，0)到直线l 的距离与点(1-，0)到直线l 的距离之和45s c ≥.求双曲线的离心率e 的取值范围. 22. （2004▪全国卷IV ▪理）已知函数()(cos sin )x f x e x x -=+，将满足()0f x '=的所有正数x 从小到大排成数列{}n x .⑴证明数列{()}n f x 为等比数列；⑵记n S 是数列{()}n n x f x 的前n 项和，求12limnn S S S n→∞+++.2004年贵州省高考数学试卷（理）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2004•贵州）已知集合M={0，1，2}，N={x|x=2a，a∈M}，则集合M∩N=（）A．{0} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，2}【分析】集合N的元素需要运用集合M的元素进行计算，经过计算得出M的元素，再求交集【解答】解：由题意知，N={0，2，4}，故M∩N={0，2}，故选D．【点评】此题考查学生交集的概念，属于基础题2．（5分）（2004•贵州）函数y=e2x（x∈R）的反函数为（）A．y=2lnx（x＞0）B．y=ln（2x）（x＞0）C．y=lnx（x＞0）D．y=ln（2x）（x＞0）【分析】本题主要考查求反函数的方法以及指数式和对数式的互化，属于基础性题，考查对2个知识点的灵活运用．【解答】解：由y=e2x可得2x=lny即 x=lny，将x、y互换得y=lnx（x＞0）∴函数y=e2x（x∈R）的反函数为y=lnx（x＞0）．故选C【点评】求反函数的解题过程一般分为三个层次，其一是把原函数看做方程利用指对互化解出x；其二是根据反函数定义x、y进行互换，其三是定义域的确定．3．（5分）（2004•贵州）过点（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=0【分析】根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过定点坐标，由点斜式得所求直线方程．【解答】解：根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过点（﹣1，3），由点斜式得所求直线方程为2x+y﹣1=0．【点评】本题考查直线垂直与斜率的相互关系，注意斜率不存在的特殊情况．4．（5分）（2004•贵州）=（）A．B．C．D．【分析】化简复数的分子和分母，然后同乘分母的共轭复数，化为a+bi（a、b∈R）的形式即可．【解答】解：故选D．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，是基础题．5．（5分）（2004•贵州）不等式＜0的解集为（）A．{x|x＜﹣2或0＜x＜3} B．{x|﹣2＜x＜0或x＞3} C．{x|x＜﹣2或x＞0} D．{x|x＜0或x＞3}【分析】将“不等式＜0”转化为：“x（x+2）（x+3）＜0”，用穿根法求解．【解答】解：依题意：原不等式转化为：x（x+2）（x+3）＜0解得：x＜﹣2或0＜x＜3故选A【点评】本题主要考查分式不等式的解法，一般是转化为整式不等式，再用穿根法求解．6．（5分）（2004•贵州）等差数列中，a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78，则此数列前20项和等于（）A．160 B．180 C．200 D．220【分析】先根据a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78可得到a1+a20=18，再由等差数列的前20项和的式子可得到答案．【解答】解：∵a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78∴a1+a20+a2+a19+a3+a18=54=3（a1+a20）∴a1+a20=18∴=180故选B【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式的应用．考查等差数列的性质．7．（5分）（2004•贵州）对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是（）A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n【分析】根据空间中直线与直线之间的位置关系和空间中直线与平面之间的位置关系及其性质对A、B、C、D四个选项进行一一判断，从而进行求解．【解答】解：A、∵m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，若n⊥m，则n⊥α，故A错误；B、∵m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，可知n与α也可以平行，故B错误；C、∵m⊂α，n∥α，m、n共面，⇒m∥n，故C正确；D、∵m∥α，n∥α，m、n共面，可知m与n也可以垂直，故D错误；故选C．【点评】此题是一道立体几何题，主要考查直线与直线之间的位置关系：相交与平行；空间中直线与平面之间的位置关系：平行或相交，比较基础．8．（5分）（2004•贵州）已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，则此椭圆方程为（）A．B．C．D．【分析】先求出焦点的坐标，再由离心率求得半长轴的长，从而得到短半轴长的平方，写出椭圆的标准方程．【解答】解：抛物线y2=﹣4x的焦点为（﹣1，0），∴c=1，由离心率可得a=2，∴b2=a2﹣c2=3，故椭圆的标准方程为+=1，故选 A．【点评】本题考查椭圆的简单性质，以及求椭圆的标准方程的方法．9．（5分）（2004•贵州）从5位男数学教师和4位女数学教师中选出3位教师派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男女教师都有，则不同的选派方案共有（）A．210 B．420 C．630 D．840【分析】题目要求有男女教师九人选三个到3个班担任班主任是三个元素在九个位置排列，要求这3位班主任中男女教师都有，则选的都是男教师和选的都是女教师不和题意就，需要从总数中去掉．【解答】解：∵共有男女教师九人选三个到3个班担任班主任共有A93种结果，要求这3位班主任中男女教师都有，则选的都是男教师和选的都是女教师不合题意，选的都是男教师有A53种结果，选的都是女教师有A43种结果，∴满足条件的方案有A93﹣（A53+A43）=420，故选B．【点评】排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．10．（5分）（2004•贵州）已知球的表面积为20π，球面上有A、B、C三点，如果AB=AC=2，BC=2，则球心到平面ABC的距离为（）A．1 B．C．D．2【分析】由已知中球的表面积为20π，我们可以求出球半径R，再由△ABC中，AB=AC=2，BC=2，解三角形我们可以求出△ABC所在平面截球所得圆（即△ABC的外接圆半径），然后根据球心距d，球半径R，截面圆半径r，构造直角三角形，满足勾股定理，我们即可求出球心到平面ABC的距离．【解答】解：∵球的表面积为20π∴球的半径R=∵又AB=AC=2，BC=2，由余弦定理得CosA=﹣则SinA=则△ABC的外接圆半径2r==4则r=2则球心到平面ABC的距离d==1故选A【点评】本题考查的知识点是空间点、线、面之间的距离计算，其中根据球心距d，球半径R，截面圆半径r，构造直角三角形，满足勾股定理，是与球相关的距离问题常用方法．11．（5分）（2004•贵州）△ABC中，a，b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a，b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（）A．B．C．D．【分析】先根据等差中项的性质可求得2b=a+c，两边平方求得a，b和c的关系式，利用三角形面积公式求得ac的值，进而把a，b和c的关系式代入余弦定理求得b的值．【解答】解：∵a，b、c成等差数列，∴2b=a+c，得a2+c2=4b2﹣2ac，又∵△ABC的面积为，∠B=30°，故由，得ac=6．∴a2+c2=4b2﹣12．由余弦定理，得，解得．又b为边长，∴．故选B【点评】本题主要考查了余弦定理的运用．考查了学生分析问题和基本的运算能力．12．（5分）（2004•贵州）设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．【点评】本题考查抽象函数求值的方法，考查函数性质在求函数值中的应用，考查了抽象函数求函数值的赋值法．灵活运用已知条件赋值是迅速解决本题的关键，考查学生的转化与化归思想．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2004•贵州）展开式中x5的系数为28 ．【分析】由题意知本题要求二项式定理展开式的一个项的系数，先写出二项式的通项，使得变量x的指数等于5，解出r的值，把r的值代入通项得到这一项的系数．【解答】解：∵T r+1=C8r x8﹣r=，要求x5的系数，∴8﹣=5，∴r=2，∴x5的系数是（﹣1）2C82=28，故答案为：28【点评】本题是一个典型的二项式问题，主要考查二项式的通项，注意二项式系数和项的系数之间的关系，这是容易出错的地方，本题考查展开式的通项式，这是解题的关键．14．（4分）（2004•贵州）向量、满足（﹣）•（2+）=﹣4，且||=2，||=4，则与夹角的余弦值等于．【分析】（﹣）•（2+）=﹣4，且||=2，||=4，三式联立借助数量积的定义，求夹角的余弦值．【解答】解：（﹣）•（2+）=﹣4，得22﹣2﹣•=﹣4又||=2，||=4，∴8﹣16﹣2×4cosθ=﹣4 （θ是与夹角）∴cosθ=﹣应填﹣．【点评】考查向量的运算与向量的数量积公式．15．（4分）（2004•贵州）函数的最大值等于．【分析】首先由余弦的倍角公式把函数转化为同名三角函数，再利用配方法求最值．【解答】解：f（x）=cosx﹣cos2x=cosx﹣（2cos2x﹣1）=﹣cos2x+cosx+=所以f（x）的最大值为．故答案为．【点评】本题考查余弦的倍角公式及配方法求最值．16．（4分）（2004•贵州）设x、y满足约束条件，则z=x2+y2的最小值是 1 ．【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）构成的线段的长度问题．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，z=x2+y2，表示可行域内点到原点距离OP的平方，当P在点A时，z最小，最小值为12+02=1，故答案为：1．【点评】本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2004•贵州）已知α为第二象限角，且，求的值．【分析】先利用两角和与差的正弦函数和二倍角公式将待求式子化成只含有角α的三角函数，再由三角函数的同角公式求出角α余弦值，从而求出结果即可．【解答】解：=，当α为第二象限角，且时，sinα+cosα≠0，，所以=．【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数、二倍角的正弦余弦、同角公式等，属于基础题．18．（12分）（2004•贵州）求函数在[0，2]上的最大值和最小值．【分析】要求函数在区间的最值，求出导函数令其为零得到驻点，然后分区间讨论函数的增减性，求出函数的极大值，考虑闭区间两个端点对应的函数值的大小，最后判断出最大值和最小值即可．【解答】解：，令，化简为x2+x﹣2=0，解得x1=﹣2（舍去），x2=1．当0≤x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调增加；当1＜x≤2时，f'（x）＜0，f（x）单调减少．所以为函数f（x）的极大值．又因为f（0）=0，f（2）=ln3﹣1＞0，f（1）＞f（2），所以f（0）=0为函数f（x）在[0，2]上的最小值，为函数f（x）；在[0，2]上的最大值．【点评】本小题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值、最小值以及综合运算能力．19．（12分）（2004•贵州）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题．竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得﹣100分．假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（Ⅰ）求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望；（Ⅱ）求这名同学总得分不为负分（即ξ≥0）的概率．【分析】（1）由题意知这名同学回答这三个问题时可能三个题目都答对，答对两个、答对一个、答对0个，所以总得分ξ的可能取值是﹣300，﹣100，100，300．根据变量对应的事件根据独立重复试验公式得到结果．（2）不得负分包括得100和300分，而得这两个分数这两个事件是互斥的，根据互斥事件的概率，得到结果．【解答】解：（Ⅰ）ξ的可能值为﹣300，﹣100，100，300．P（ξ=﹣300）=0.23=0.008，P（ξ=﹣100）=3×0.22×0.8=0.096，P（ξ=100）=3×0.2×0.82=0.384，P（ξ=300）=0.83=0.512，Eξ=（﹣300）×0.008+（﹣100）×0.096+100×0.384+300×0.512=180．（Ⅱ）这名同学总得分不为负分的概率为P（ξ≥0）=0.384+0.512=0.896．【点评】本小题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望等概念，以及运用概率统计知识解决实际问题的能力．这种题目高考必考，应注意解题的格式．20．（12分）（2004•贵州）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=8，AD=4，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°．（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（Ⅱ）证明PA⊥BD．【分析】（Ⅰ）取AD的中点E，连接PE，则PE⊥AD．作PO⊥平面在ABCD，垂足为O，连接OE．求出高PO和底面ABCD的面积，可求四棱锥P﹣ABCD的体积；（Ⅱ）法一：建立空间直角坐标系，求出，计算，就证明了PA⊥BD．法二：连接AO，延长AO交BD于点F，通过相似和计算，证明直线BD垂直直线PA在平面ABCD内的身影AF，即可证明PA⊥BD．【解答】解：（Ⅰ）如图1，取AD的中点E，连接PE，则PE⊥AD．作PO⊥平面在ABCD，垂足为O，连接OE．根据三垂线定理的逆定理得OE⊥AD，所以∠PEO为侧面PAD与底面所成的二面角的平面角，由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，所以PO=3，四棱锥P﹣ABCD的体积V P﹣ABCD=．（Ⅱ）法一：如图1，以O为原点建立空间直角坐标系．通过计算可得P（0，0，3），A（2，﹣3，0），B（2，5，0），D（﹣2，﹣3，0）所以．因为，所以PA⊥BD．法二：如图2，连接AO，延长AO交BD于点F．通过计算可得EO=3，AE=2，又知AD=4，AB=8，得．所以Rt△AEO∽Rt△BAD．得∠EAO=∠ABD．所以∠EAO+∠ADF=90°所以AF⊥BD．因为直线AF为直线PA在平面ABCD内的身影，所以PA⊥BD．【点评】本题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析问题能力．21．（12分）（2004•贵州）双曲线=1（a＞1，b＞0）的焦点距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l的距离之和．求双曲线的离心率e的取值范围．【分析】直线l的方程是bx+ay﹣ab=0．点（1，0）到直线l的距离，点（﹣1，0）到直线l的距离，．由知．所以4e4﹣25e2+25≤0．由此可知e的取值范围．【解答】解：直线l的方程为，即bx+ay﹣ab=0．由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离，同理得到点（﹣1，0）到直线l的距离．由，即．于是得，即4e4﹣25e2+25≤0．解不等式，得．由于e＞1＞0，所以e的取值范围是．【点评】本题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力．22．（14分）（2004•贵州）已知函数f（x）=e﹣x（cosx+sinx），将满足f'（x）=0的所有正数x从小到大排成数列{x n}．（Ⅰ）证明数列{f{x n}}为等比数列；（Ⅱ）记S n是数列{x n f{x n}}的前n项和，求．【分析】（1）先求导数，解出f'（x）=0的所有正数解x，求得数列{x n}．从而可证明数列{f{x n}}为等比数列．（2）利用错位相减法求得Sn，从而求得，进而得解．【解答】解：（Ⅰ）证明：f'（x）=﹣e﹣x（cosx+sinx）+e﹣x（﹣sinx+cosx）=﹣2e﹣x sinx．由f'（x）=0，得﹣2e﹣x sinx=0．解出x=nπ，n为整数，从而x n=nπ，n=1，2，3，f（x n）=（﹣1）n e﹣nπ.．所以数列{f{x n}}是公比q=﹣e﹣π的等比数列，且首项f（x1）=q．（Ⅱ）解：S n=x1f（x1）+x2f（x2）++x n f（x n）=πq（1+2q++nq n﹣1），qS n=πq（q+2q2++nq n），S n﹣qS n=πq（1+2q2++q n﹣1﹣nq n）=，从而===．因为，所以．【点评】本小题主要考查．函数求导，等比数列证明，错位相减的求和方法，及极限的求解等知识．是对知识的综合性考查，能力要求较高．参与本试卷答题和审题的老师有：tuolujiao；liuerq；danbo7801；qiss；wodeqing；zhwsd；zhiyuan；caoqz；涨停；豫汝王世崇；301137；xintrl；wzj123；yhx01248；sllwyn；zlzhan；lzcgm（排名不分先后）菁优网2017年5月17日。

2004年高考数学真题

2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1－P)n －k一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共60。

1．(1－i)2·i=（）A ．2－2iB ．2+2iC ．－2D ．22．已知函数=-=+-=)(.)(.11lg)(a f b a f x xx f 则若（）A ．bB ．－bC ．b 1D ．－b 13．已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |= （）A ．7B ．10C ．13D ．4 4．函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是（） A ．y=x 2－2x +2(x <1) B ．y=x 2－2x +2(x ≥1)C ．y=x 2－2x (x <1)D ．y=x 2－2x (x ≥1)5．73)12(x x -的展开式中常数项是（）A ．14B ．－14C ．42D ．－426．设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆I ，则下列各式中错误的是（）A ．( I A)∪B=IB ．( I A)∪( I B)=IC ．A ∩( I B)=φD ．( I A)∪( I B)= I B7．椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF =（）球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径，球的体积公式V=334R π，其中R 表示球的半径A ．23B ．3C ．27D ．48．设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（）A ．[－21，21]B ．[－2，2]C ．[－1，1]D ．[－4，4]9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度10．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H.设四面体EFGH的表面积为T ，则S T等于（）A ．91B ．94C ．41D ．3111．从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（）A ．12513B ．12516C ．12518D ．1251912．ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为（）A ．3－21B ．21－3 C ．－21－3 D ．21+3第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．不等式|x +2|≥|x |的解集是 .14．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=60°，则动点P 的轨迹方程为 .15．已知数列{a n }，满足a 1=1，a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n －1)a n －1(n ≥2)，则{a n }的通项 1, n=1, a n =,n ≥2.16．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 .①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）求函数x xx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值.18．（本小题满分12分）一接待中心有A 、B 、C 、D 四部热线电话，已知某一时刻电话A 、B 占线的概率均为0.5，电话C 、D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望. 19．（本小题满分12分）已知,R a ∈求函数axe x xf 2)(=的单调区间.20．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥 P —ABCD ，PB ⊥AD 侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°.（I ）求点P 到平面ABCD 的距离，（II ）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小.21．（本小题满分12分）设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y a x 与直线相交于两个不同的点A 、B.（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：（II）设直线l与y轴的交点为P，且.125PBPA=求a的值.22．（本小题满分14分）已知数列1}{1=aan中，且a2k=a2k－1+(－1)K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….（I）求a3, a5；（II）求{ a n}的通项公式.2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修I ）参考答案一、选择题DBCBABCCBADB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．{x |x ≥－1} 14．x 2+y 2=4 15．2!n 16．①②④三、解答题 17．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函娄的有关性质.满分12分.解：x x xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x xx所以函数f (x )的最小正周期是π，最大值是43，最小值是41.18．本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分. 解：P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.P(ξ=1)=12C ×0.52×0.62+12C ×0.52×0.4×0.6=0.3P(ξ=2)= 22C ×0.52×0.62+12C 12C ×0.52×0.4×0.6+22C ×0.52×0.42=0.37. P(ξ=3)= 22C 12C ×0.52×0.4×0.6+12C 22C ×0.52×0.42=0.2 P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.04于是得到随机变量ξ的概率分布列为：ξ0 1 2 3 4P 0.09 0.3 0.37 0.2 0.04所以E ξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8.19．本小题主要考查导数的概率和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想.满分12分. 解：函数f (x )的导数：.)2(2)(22ax ax ax e ax x e ax xe x f ++=+='（I ）当a =0时，若x <0，则)(x f '<0，若x >0,则)(x f '>0.所以当a =0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.（II ）当,02,02,02>-<>+>x a x ax x a 或解得由时由.02,022<<-<+x a ax x 解得所以，当a >0时，函数f (x )在区间（－∞，－a 2）内为增函数，在区间（－a 2，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；（III ）当a <0时，由2x +ax 2>0，解得0<x <－a 2,由2x +ax 2<0，解得x <0或x >－a 2.所以当a <0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－a 2）内为增函数，在区间（－a 2，+∞）内为减函数.20．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.（I ）解：如图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O.连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交于点E ，连结PE.∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB ， ∵PA=PD ，∴OA=OD ，于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD.由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角， ∴∠PEB=120°，∠PEO=60° 由已知可求得PE=3∴PO=PE ·sin60°=23233=⨯，即点P 到平面ABCD 的距离为23.（II ）解法一：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA.)43,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点G PB B P .连结AG .又知).0,233,2(),0,23,1(-C A 由此得到：,0).0,0,2(),23,233,0(),43,43,1(=⋅=⋅-=-=--=PB BC PB GA BC PB GA 于是有所以θ的夹角BCGA PB BC PB GA ,.⊥⋅⊥ 等于所求二面角的平面角，于是,772||||cos -=⋅⋅=BC GA BCGA θ 所以所求二面角的大小为772arccos-π .解法二：如图，取PB 的中点G ，PC 的中点F ，连结EG 、AG 、GF ，则AG ⊥PB ，FG//BC ，FG=21BC.∵AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，FG ⊥PB ， ∴∠AGF 是所求二面角的平面角. ∵AD ⊥面POB ，∴AD ⊥EG .又∵PE=BE ，∴EG ⊥PB ，且∠PEG=60°.在Rt △PEG 中，EG=PE ·cos60°=23.在Rt △PEG 中，EG=21AD=1. 于是tan ∠GAE=AE EG =23,又∠AGF=π－∠GAE.所以所求二面角的大小为π－arctan 23.21．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分. 解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax有两个不同的实数解.消去y 并整理得（1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+= 的取值范围为即离心率且且e e e a a a aa e（II ）设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A .125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x PB PA =-=-∴=由此得由于x 1+x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，1317,06028912,,.12125.1212172222222222=>=----=--=a a a a x a a x a a x 所以由得消去所以22．本小题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分. 解：（I ）a 2=a 1+(－1)1=0, a 3=a 2+31=3. a 4=a 3+(－1)2=4, a 5=a 4+32=13, 所以，a 3=3,a 5=13. (II) a 2k+1=a 2k +3k= a 2k －1+(－1)k +3k , 所以a 2k+1－a 2k －1=3k +(－1)k ,同理a 2k －1－a 2k －3=3k －1+(－1)k －1, ……a 3－a 1=3+(－1).所以(a 2k+1－a 2k －1)+(a 2k －1－a 2k －3)+…+(a 3－a 1)=(3k +3k －1+…+3)+[(－1)k +(－1)k －1+…+(－1)],由此得a 2k+1－a 1=23(3k －1)+21[(－1)k －1],于是a 2k+1=.1)1(21231--++k ka 2k = a 2k －1+(－1)k=2123+k (－1)k －1－1+(－1)k =2123+k (－1)k =1. {a n }的通项公式为：当n 为奇数时，a n =;121)1(232121-⨯-+-+n n当n 为偶数时，.121)1(2322-⨯-+=nn n a。

2004年高考数学（省市卷）试题分章选解

2004年高考数学（省市卷）试题分章选解
佚名
【期刊名称】《中学数学教学参考：教师版》
【年(卷),期】2004(000)010
【总页数】14页(P37-50)
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
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2004年高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]

2004年全国统一考试理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 P n (k)=C k n P k(1－P)n －k一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合=⋂<--=<=N M x x x N x x M 则集合},032|{},4|{22 （）A ．{2|-<x x }B ．{3|>x x }C ．{21|<<-x x }D ． {32|<<x x }2．=-+-+→542lim 22x x x x n x （）A ．21B ．1C ．52 D ．41 3．设复数ωω++-=1,2321则i =（）A ．ω-B ．2ωC ．ω1-D ．21ω 4．已知圆C 与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称，则圆C 的方程为（）A ．1)1(22=++y xB ．122=+y xC ．1)1(22=++y xD ．1)1(22=-+y x球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径，球的体积公式V=334R π，其中R 表示球的半径5．已知函数)2tan(ϕ+=x y 的图象过点)0,12(π，则ϕ可以是（）A ．6π-B ．6πC ．12π-D ．12π 6．函数x e y -=的图象（）A ．与x e y =的图象关于y 轴对称B ．与x e y =的图象关于坐标原点对称C ．与x e y -=的图象关于y 轴对称D ．与x e y -=的图象关于坐标原点对称7．已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为（）A ．31 B ．33 C ．32 D ．36 8．在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 9．已知平面上直线l 的方向向量e =),53,54(-点O （0，0）和A （1，－2）在l 上的射影分别是O ′和A ′，则λ=''A O e ，其中λ= （）A ．511 B ．511-C ．2D ．－2 10．函数x x x y sin cos -=在下面哪个区间内是增函数（）A ．)23,2(ππB ．)2,(ππC ．)25,23(ππ D ．)3,2(ππ 11．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为（）A ．4π B ．2π C ．πD ．2π12．在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521 的数共有（） A ．56个 B ．57个 C ．58个 D ．60个第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为14．设y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥,12,,0y x y x x则y x z 23+=的最大值是 .15．设中心在原点的椭圆与双曲线2222y x -=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 . 16．下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱 ④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱其中，真命题的编号是（写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知锐角三角形ABC 中，.51)sin(,53)sin(=-=+B A B A （Ⅰ）求证：B A tan 2tan =；（Ⅱ）设AB=3，求AB 边上的高. 18．（本小题满分12分）已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A 、B 两组，每组4支.求：（Ⅰ）A 、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率；（Ⅱ）A 组中至少有两支弱队的概率. 19．（本小题满分12分）数列}{n a 的前n 项和记为S n ，已知).3,2,1(2,111 =+==+n S nn a a n n 证明：（Ⅰ）数列}{nS n是等比数列；（Ⅱ）.41n n a S =+ 20．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=2，侧棱AA 1=1，侧面AA 1B 1B的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M.（Ⅰ）求证CD ⊥平面BDM ；（Ⅱ）求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小.21．（本小题满分12分）给定抛物线C ：y 2=4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点。

2004年数学全国卷1

2004年高考试题全国卷Ⅰ 理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1－P)n －k一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共601．(1－i)2·i= （）A ．2－2iB ．2+2iC ．－2D ．2 2．已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f xxx f 则若（）A ．bB ．－bC ．b1D ．－b1 3．已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b|=（）A ．7B ．10C ．13D ．4 4．函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是（）A ．y=x 2－2x +2(x <1)B ．y=x 2－2x +2(x ≥1)C ．y=x 2－2x (x <1)D ．y=x 2－2x (x ≥1) 5．73)12(xx -的展开式中常数项是（）A ．14B ．－14C ．42D ．－42球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径，球的体积公式V=334R π，其中R 表示球的半径6．设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆I ，则下列各式中错误．．的是（）A ．(I C A)∪B=IB ．(IC A)∪(I C B)=I C ．A ∩(I C B)=φD ．(I C A) (I C B)= I C B7．椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF =（）A ．23 B ．3C ．27 D ．48．设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（）A ．[－21，21] B ．[－2，2]C ．[－1，1]D ．[－4，4]9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（） A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度10．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H.设四面体EFGH的表面积为T ，则ST等于（）A ．91B ．94C ．41 D ．31 11．从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（）A ．12513 B ．12516 C ．12518 D ．12519 12．ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为（）A ．3－21 B ．21－3 C ．－21－3 D ．21+3第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．不等式|x +2|≥|x |的解集是 .14．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为 .15．已知数列{a n }，满足a 1=1，a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n －1)a n －1(n ≥2)，则{a n }的通项 1___n a ⎧=⎨⎩12n n =≥ 16．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 .①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）求函数xxx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值.18．（本小题满分12分）一接待中心有A 、B 、C 、D 四部热线电话，已知某一时刻电话A 、B 占线的概率均为0.5，电话C 、D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望. 19．（本小题满分12分）已知,R a ∈求函数axe x xf 2)(=的单调区间.20．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥 P —ABCD ，PB ⊥AD 侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°.（I ）求点P 到平面ABCD 的距离，（II ）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小. 21．（本小题满分12分）设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围：（II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.125=求a 的值. 22．（本小题满分14分）已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,……. （I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式.2004年高考试题全国卷1 理科数学（必修+选修Ⅱ）(河南、河北、山东、山西、安徽、江西等地区)参考答案一、选择题DBCBABCCBADB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．{x |x ≥－1} 14．x 2+y 2=4 15．2!n 16．①②④ 三、解答题17．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函娄的有关性质.满分12分.解：xx xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x所以函数f (x )的最小正周期是π，最大值是43，最小值是41. 18．本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分. 解：P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.P(ξ=1)=12C ×0.52×0.62+12C ×0.52×0.4×0.6=0.3P(ξ=2)= 22C ×0.52×0.62+12C 12C ×0.52×0.4×0.6+22C ×0.52×0.42=0.37. P(ξ=3)= 22C 12C ×0.52×0.4×0.6+12C 22C ×0.52×0.42=0.2 P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.0419．本小题主要考查导数的概率和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想.满分12分. 解：函数f (x )的导数：.)2(2)(22ax ax ax e ax x e ax xe x f ++=+='（I ）当a =0时，若x <0，则)(x f '<0，若x >0,则)(x f '>0.所以当a =0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数. （II ）当,02,02,02>-<>+>x ax ax x a 或解得由时由.02,022<<-<+x aax x 解得所以，当a >0时，函数f (x )在区间（－∞，－a 2）内为增函数，在区间（－a2，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；（III ）当a <0时，由2x +ax 2>0，解得0<x <－a2, 由2x +ax 2<0，解得x <0或x >－a2. 所以当a <0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－a2）内为增函数，在区间（－a2，+∞）内为减函数. 20．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.（I ）解：如图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O.连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交于点E ，连结PE.∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB ，∵PA=PD ，∴OA=OD ，于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD.由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角， ∴∠PEB=120°，∠PEO=60°由已知可求得PE=3∴PO=PE ·sin60°=23233=⨯，即点P 到平面ABCD 的距离为23. （II ）解法一：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA.)43,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点G PB B P .连结AG.又知).0,233,2(),0,23,1(-C A 由此得到：,0).0,0,2(),23,233,0(),43,43,1(=⋅=⋅-=-=--=PB BC PB GA 于是有所以θ,.⊥⋅⊥ 等于所求二面角的平面角，于是,772||||cos -=⋅=BC GA θ 所以所求二面角的大小为772arccos-π . 解法二：如图，取PB 的中点G ，PC 的中点F ，连结EG 、AG 、GF ，则AG ⊥PB ，FG//BC ，FG=21BC. ∵AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，FG ⊥PB ， ∴∠AGF 是所求二面角的平面角. ∵AD ⊥面POB ，∴AD ⊥EG.又∵PE=BE ，∴EG ⊥PB ，且∠PEG=60°. 在Rt △PEG 中，EG=PE ·cos60°=23. 在Rt △PEG 中，EG=21AD=1.于是tan ∠GAE=AEEG =23, 又∠AGF=π－∠GAE.所以所求二面角的大小为π－arctan23. 21．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分. 解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得（1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+= 的取值范围为即离心率且且e e e a a aaa e（II ）设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x PB PA =-=-∴=由此得由于x 1+x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，1317,06028912,,.12125.1212172222222222=>=----=--=a a a a x aa x a a x 所以由得消去所以22．本小题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分. 解：（I ）a 2=a 1+(－1)1=0,a 3=a 2+31=3.a 4=a 3+(－1)2=4, a 5=a 4+32=13, 所以，a 3=3,a 5=13. (II) a 2k+1=a 2k +3k= a 2k －1+(－1)k +3k,所以a 2k+1－a 2k －1=3k +(－1)k,同理a 2k －1－a 2k －3=3k －1+(－1)k －1, ……a 3－a 1=3+(－1).所以(a 2k+1－a 2k －1)+(a 2k －1－a 2k －3)+…+(a 3－a 1)=(3k +3k －1+…+3)+[(－1)k +(－1)k －1+…+(－1)], 由此得a 2k+1－a 1=23(3k －1)+21[(－1)k －1], 于是a 2k+1=.1)1(21231--++k k a 2k = a 2k －1+(－1)k=2123+k (－1)k －1－1+(－1)k =2123+k(－1)k =1. {a n }的通项公式为：当n 为奇数时，a n =;121)1(232121-⨯-+-+n n 当n 为偶数时，.121)1(2322-⨯-+=nn n a。

DA2004年高考数学(全国卷Ⅱ文科)

2004年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题C A B C A CD B D B B C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．21- 14．5 15．1222=+y x 16．②④ 三、解答题17．本小题主要考查等差、等比数列的概念和性质，考查运算能力，满分12分. 解：（Ⅰ）设数列}{n a 的公差为d ，依题意得方程组 ⎩⎨⎧=+=+,214,911d a d a 解得.4,51==d a所以}{n a 的通项公式为.14+=n a n（Ⅱ）由,21414+=+=n n n b n a 得所以}{n b 是首项512=b ，公式42=q 的等比数列. 于是得}{n b 的前n 项和 .15)12(3212)12(24445-⨯=--⨯=n n n S 18．本小题主要考查三角函数概念，两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力，满分12分. （Ⅰ）证明：,51)sin(,53)sin(=-=+B A B A Θ .2tan tan 51sin cos ,52cos sin .51sin cos cos sin ,53sin cos cos sin =⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+∴B A B A B A B A B A B A B A 所以.tan 2tan B A =（Ⅱ）解：ππ<+<B A 2Θ，,43)tan(,53)sin(-=+∴=+B A B A 即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ，将B A tan 2tan =代入上式并整理得.01tan 4tan 22=--B B解得262tan ±=B ，舍去负值得262tan +=B ， .62tan 2tan +==∴B A 设AB 边上的高为CD. 则AB=AD+DB=.tan tan 26CD CD A B +=+ 由AB=3，得CD=2+6. 所以AB 边上的高等于2+6.19．本小题主要考查组合、概率等基本概念，相互独立事件和互斥事件等概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分.（Ⅰ）解法一：三支弱队在同一组的概率为 115544881.7C C C C +=故有一组恰有两支弱队的概率为.76711=-解法二：有一组恰有两支弱队的概率.76482523482523=+C C C C C C（Ⅱ）解法一：A 组中至少有两支弱队的概率 21481533482523=+C C C C C C 解法二：A 、B 两组有一组至少有两支弱队的概率为1，由于对A 组和B 组来说，至少有两支弱队的概率是相同的，所以A 组中至少有两支弱队的概率为.2120．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.满分12分.解法一：（Ⅰ）如图，连结CA 1、AC 1、CM ，则CA 1=.2∵CB=CA 1=2，∴△CBA 1为等腰三角形，又知D 为其底边A 1B 的中点，∴CD ⊥A 1B. ∵A 1C 1=1，C 1B 1=2，∴A 1B 1=3又BB 1=1，A 1B=2. ∵△A 1CB 为直角三角形，D 为A 1B 的中点，∴CD=21A 1B=1，CD=CC 1，又DM=21AC 1=22，DM=C 1M.∴△CDM ≌△CC 1M ，∠CDM=∠CC 1M=90°，即CD ⊥DM.因为A 1B 、DM 为平面BDM 内两条相交直线，所以CD ⊥平面BDM. （Ⅱ）设F 、G 分别为BC 、BD 的中点，连结B 1G 、FG 、B 1F ，则FG//CD ，FG=21CD. ∴FG=21，FG ⊥BD. 由侧面矩形BB 1A 1A 的对角线的交点为D 知BD=B 1D=21A 1B=1，所以△BB 1D 是边长为1的正三角形. 于是B 1G ⊥BD ，B 1G=.23∴∠B 1GF 是所求二面角的平面角，又 B 1F 2=B 1B 2+BF 2=1+（2)22=23， ∴ 222221111313()()3222cos .231222B G FG B FB GF B G FG+-+-∠===-⋅⋅⋅即所求二面角的大小为.33arccos -π 解法二：如图，以C 为原点建立坐标系.（Ⅰ）B （2，0，0），B 1（2，1，0），A 1（0，1，1），D （)21,21,22，M （22，1，0），),21,21,0(),1,1,2(),21,21,22(1-=--==DM B A CD 则,0,01=⋅=⋅DM CD B A CD ∴CD ⊥A 1B ，CD ⊥DM.因为A 1B 、DM 为平面BDM 内两条相交直线，所以CD ⊥平面BDM. （Ⅱ）设BD 中点为G ，连结B 1G ，则G （41,41,423），22(-=BD 、21、21），),41,43,42(1--=G B 10BD BG ∴=u u u r u u u u r g ，1BD B G ∴⊥．又CD BD ⊥， CD ∴u u u r 与1B G u u u u r的夹角θ等于所求的二面角的平面角．.33cos 11-==∴θ 所以所求的二面角等于.33arccos-π 21．本小题主要考查导数的概念的计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力.满分12分.解：函数)(x f 的导数 .1)(2-+-='a ax x x f 令0)(='x f ，解得),1(,)1,1(,)1,()(,211,),1()(,211.11+∞---∞>>-+∞≤≤--==a a x f a a x f a a a x x 在内为减函数在上为增函数在函数时即当不合题意上是增函数在函数时即当或为增函数.依题意应有当.0)(,),6(,0)(,)4,1(>'+∞∈<'∈x f x x f x 时当时所以 .614≤-≤a 解得.75≤≤a 所以a 的取值范围是[5，7].22．本小题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力。

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全国卷数学（文）第1页（共8页） 2004年高考试题全国卷4 文科数学（必修+选修Ⅰ）

（甘肃、青海、宁夏、贵州、新疆等地区）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.

第I卷参考公式：如果事件A、B互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么 P（A·B）=P（A）·P（B）如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 Pn(k)=CknPk(1－P)n－k 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．设集合U={0，1，2，3，4，5}，集合M={0，3，5}，N={1，4，5}，则M∩（NCU）= （） A．{5} B．{0，3} C．{0，2，3，5} D． {0，1，3，4，5}

2．函数)(2Rxeyx的反函数为（） A．)0(ln2xxy B．)0)(2ln(xxy C．)0(ln21xxy D．)0(2ln21xxy 3．正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45°角，则此三棱柱的体积为（） A．26 B． 6 C．66 D． 36 4．函数)1()1(2xxy在1x处的导数等于（） A．1 B．2 C．3 D．4 5．为了得到函数xy)31(3的图象，可以把函数xy)31(的图象（） A．向左平移3个单位长度 B．向右平移3个单位长度

球的表面积公式 S=42R 其中R表示球的半径，球的体积公式

V=334R 其中R表示球的半径全国卷数学（文）第2页（共8页）

C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度 6．等差数列}{na中，78,24201918321aaaaaa，则此数列前20项和等于（） A．160 B．180 C．200 D．220 7．已知函数kxyxy与41log的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则k （）

A．41 B．41 C．21 D．21 8．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线0443yx与圆C相切，则圆 C的方程为（） A．03222xyx B．0422xyx C．03222xyx D．0422xyx 9．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），

要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（） A．210种 B．420种 C．630种 D．840种 10．函数))(6cos()3sin(2Rxxxy的最小值等于（）

A．－3 B．－2 C．－1 D．－5 11．已知球的表面积为20，球面上有A、B、C三点.如果AB=AC=BC=23，则球心到平面ABC的距离为（） A．1 B．2 C．3 D．2 12．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.如果a、b、c成等差数列， ∠B=30°，△ABC的面积为23，那么b= （）

A．231 B．31 C．232 D．32

第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上 13．8)1(xx展开式中5x的系数为 . 全国卷数学（文）第3页（共8页）

14．已知函数)0(sin21AAxy的最小正周期为3，则A= . 15．向量a、b满足（a－b）·（2a+b）=－4，且|a|=2，|b|=4，则a与b夹角的余弦值等于 . 16．设yx,满足约束条件：







,0,,1yxyyx

则yxz2的最大值是 . 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）

已知α为第二象限角，且 sinα=,415求12cos2sin)4sin(的值.

18．（本小题满分12分）已知数列{na}为等比数列，.162,652aa

（Ⅰ）求数列{na}的通项公式；

（Ⅱ）设nS是数列{na}的前n项和，证明.1212nnnSSS

19．（本小题满分12分）已知直线1l为曲线22xxy在点（1，0）处的切线，2l为该曲线的另一条切线，

且.21ll （Ⅰ）求直线2l的方程；（Ⅱ）求由直线1l、2l和x轴所围成的三角形的面积. 全国卷数学（文）第4页（共8页）

ABCDP 20．（本小题满分12分）某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题.竞赛规则规定：答对第一、二、三问题分别得100分、100分、200分，答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响. （Ⅰ）求这名同学得300分的概率；（Ⅱ）求这名同学至少得300分的概率.

21．（本小题满分12分）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=43，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°. （Ⅰ）求四棱锥P—ABCD的体积；（Ⅱ）证明PA⊥BD.

22．（本小题满分14分）双曲线)0,1(12222babyax的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（－1，0）到直线l的距离之和.54cs求双曲线的离心率e的取值范围. 全国卷数学（文）第5页（共8页）

2004年高考试题全国卷4 文科数学（必修+选修Ⅰ）

（甘肃、青海、宁夏、贵州、新疆等地区）参考答案

一、选择题 1—12 B C A D D B A D B C A B 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

13．28 14．23 15．21 16．2 三、解答题 17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本技能.满分12分.

解：2cos2cossin2)cos(sin2212cos2sin)4sin( .)cos(sincos4)cos(sin2 当为第二象限角，且415sin时 41cos,0cossin，

所以12cos2sin)4sin(=.2cos42 18．（本小题主要考查等比数列的概念、前n项和公式等基础知识，考查学生综合运用基础知识进行运算的能力.满分12分. 解：（I）设等比数列{an}的公比为q，则a2=a1q, a5=a1q4.

依题意，得方程组1626411qaqa 解此方程组，得a1=2, q=3. 故数列{an}的通项公式为an=2·3n－1.

（II） .1331)31(2nnnS 全国卷数学（文）第6页（共8页）

.1,113231332313231)33(3212122222122222212nnnnnnnnnnnnnnnnSSSSSS即 19．本小题主要考查导数的几何意义，两条直线垂直的性质以及分析问题和综合运算能力.满分12分. 解：y′=2x+1. 直线l1的方程为y=3x－3. 设直线l2过曲线y=x2+x－2上的点B（b, b2+b－2）,则l2的方程为y=(2b+1)x－b2－2

因为l1⊥l2，则有2b+1=.32,31b

所以直线l2的方程为.92231xy

（II）解方程组92231,33xyxy 得.25,61yx 所以直线l1和l2的交点的坐标为).25,61( l1、l2与x轴交点的坐标分别为（1，0）、)0,322(. 所以所求三角形的面积 .12125|25|32521S 20．本小题主要考查相互独立事件同时发生的概率和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，应用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.

解：记“这名同学答对第i个问题”为事件)3,2,1(iAi，则 P（A1）=0.8，P（A2）=0.7，P（A3）=0.6. （Ⅰ）这名同学得300分的概率

P1=P（A12AA3）+P（1AA2A3）

=P（A1）P（2A）P（A3）+P（1A）P（A2）P（A3） =0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6 =0.228. （Ⅱ）这名同学至少得300分的概率 P2=P1+P（A1A2A3） =0.228+P（A1）P（A2）P（A3） =0.228+0.8×0.7×0.6 =0.564. 21．本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析