定积分练习题
积分练习题计算函数的定积分与面积
积分练习题计算函数的定积分与面积积分练习题——计算函数的定积分与面积在高等数学中，定积分是一种重要的数学概念，它可以用来计算函数下面的面积。
本篇文章将以练习题的形式，帮助读者更好地理解如何计算函数的定积分以及相应的面积。
练习一：计算定积分问题：计算函数 f(x) = x²在区间 [0, 2] 上的定积分。
解答：要计算函数 f(x) = x²在区间 [0, 2] 上的定积分，我们可以先求出该函数的不定积分，然后在区间的两个端点处相减。
首先，对于任意幂函数xⁿ（其中n ≠ -1），它的不定积分可以表示为：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C其中 C 是常数。
根据这个公式，我们可以求出函数 f(x) = x²的不定积分：∫x² dx = x³/3 + C然后，我们将区间的上限和下限代入不定积分的结果中：∫[0, 2] x² dx = (2³/3 + C) - (0³/3 + C)根据这个结果，我们可以得到函数 f(x) = x²在区间 [0, 2] 上的定积分为：∫[0, 2] x² dx = 8/3练习二：计算面积问题：计算函数 f(x) = sin(x) 在区间[0, π/2] 上的面积。
解答：要计算函数 f(x) = sin(x) 在区间[0, π/2] 上的面积，我们可以使用定积分的概念，并利用几何图形的面积计算方法。
首先，我们可以将函数 f(x) = sin(x) 的图像与 x 轴所围成的图形看作一个矩形和一段曲线所围成的图形。
具体而言，我们可以将该图形分为两部分：矩形和扇形。
当 x 在[0, π/2] 之间时，函数 sin(x) 在此区间上是一个非负函数，因此，所求的面积即为矩形和扇形的面积之和。
首先计算矩形的面积。
矩形的高度为 f(x) = sin(x) 在[0, π/2] 上的最大值sin(π/2) = 1，矩形的宽度为区间的长度π/2 - 0 = π/2。
考数学考点6导数定积分练习
考数学考点6导数、定积分练习考点6 导数、定积分y?1.（2021 ・海南高考理科・T3）曲线xx?2在点??1,?1?处的切线方程为（）（A）y?2x?1 （B）y?2x?1 （C）y??2x?3 （D）y??2x?2 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.y??【规范解答】选A.因为2k?y?(x?2)2，所以，在点??1,?1?处的切线斜率x??1?2?2(?1?2)2，所以，切线方程为y?1?2(x?1)，即y?2x?1，故选A.2.（2021・山东高考文科・Ｔ8）已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量x （单位：万件）的y1y??x3?81x?2343函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（）(A) 13万件 (B) 11万件(C) 9万件 (D) 7万件【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力.【思路点拨】利用导数求函数的最值.2y'??x?81,令y??0得x?9或x??9（舍去）【规范解答】选C.，当x?9时y'?0；当x?9时y'?0，故当x?9时函数有极大值，也是最大值，故选C.3.（2021・山东高考理科・Ｔ7）由曲线y=x,y=x围成的封闭图形面积为（）231（A）121(B) 41 (C) 37(D) 12【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【思路点拨】先求出曲线y=x,y=x的交点坐标，再利用定积分求面积.【规范解答】选A.由题意得: 曲线y=x,y=x的交点坐标为(0,0)，(1,1)，故所求封闭图形的面积为2323111?1-?1=?（x-x)dx=3412,故选A.10234x4.（2021・辽宁高考理科・Ｔ10）已知点P在曲线y=e?1上，?为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则?- 1 -的取值范围是（）??3???3?(,][,)[,?)(A)[0,4) (B)42 (C)24 (D) 4【命题立意】本题考查了导数的几何意义，考查了基本等式，函数的值域，直线的倾斜角与斜率. 【思路点拨】先求导数的值域，即tan?的范围，再根据正切函数的性质求?的范围. 【规范解答】选D.5.（2021・湖南高考理科・Ｔ4）?421dxx等于（）(A)?2ln2 (B)2ln2 (C)?ln2 (D)ln2 【命题立意】考查积分的概念和基本运算.1【思路点拨】记住x的原函数.【规范解答】选D .?4241dxx=(lnx+c)2 =(ln4+c)-(ln2+c)=ln2.【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数.6.（2021・江苏高考・Ｔ8）函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标?其中k?N为ak+1,，若a1=16，则a1+a3+a5的值是___________.【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容.【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线的斜率，然后求得切线方程，再由y?0，即可求得切线与x轴交点的横坐标.?【规范解答】由y=x2(x>0)得，y?2x，2y?a?2ak(x?ak), k所以函数y=x2(x>0)在点(ak,ak2)处的切线方程为：当y?0时，解得x?ak2，- 2 -所以ak?1?ak,a1?a3?a5?16?4?1?212.【答案】217.（2021・江苏高考・Ｔ１4）将边长为1m正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是2(梯形的周长）S?梯形的面积,则S的最小值是____ ____. 梯形，记【命题立意】本题考查函数中的建模在实际问题中的应用，以及等价转化思想.【思路点拨】可设剪成的小正三角形的边长为x，然后用x分别表示梯形的周长和面积，从而将S用x表示出来，利用函数的观点解决.【规范解答】设剪成的小正三角形的边长为x，(3?x)24(3?x)2S???(0?x?1)21?x133?(x?1)??(1?x)22则：方法一：利用导数的方法求最小值.4(2x?6)?(1?x2)?(3?x)2?(?2x)4(3?x)2S(x)??S?(x)??2(1?x2)2331?x，S?(x)?0,0?x?1,x?13，11x?(0,]x?[,1)3时，S?(x)?0,递减；当3时，S?(x)?0,递增；当x?故当13233时，S取最小值是3.方法二：利用函数的方法求最小值4t241S??2??1113?t?6t?83?8?6?13?x?t,t?(2,3),?(,)t2tt32，则：令 131323?,x?3时，S取最小值是3. 故当t8323【答案】3【方法技巧】函数的最值是函数最重要的性质之一，高考不但在填空题中考查，还会在应用题、函数导数的综合解答题中考查.高中阶段，常见的求函数的最值的常用方法有：换元法、有界性法、数形结合法、导- 3 -数法和基本不等式法.8.（2021・陕西高考理科・Ｔ１3）从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x,y）,则点M取自阴影部分的概率为 .【命题立意】本题考查积分、几何概型概率的简单运算，属送分题. 【思路点拨】由积分求出阴影部分的面积即可求解. 【规范解答】阴影部分的面积为S阴影??3x2dx?x3?1.0011所以点M取自阴影部分的概率为P?S阴影11??S长方形3?13.1【答案】39．（2021 ・海南高考理科・T13）设y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x) ≤1,可以用随机模拟方法近似计算积分由此得到N个点?10f(x)dx,先产生两组（每组N个）区间[0,1]上的均匀随机数x1,x2…,xN和y1,y2…,yN,(xi,yi)（i=1,2,…,N）,再数出其中满足yi?f?xi?（i=1,2,…,N）的点数N1，那么由随机10模拟方法可得积分?的近似值为 .【命题立意】本题主要考查了定积分的几何意义以及几何概型的计算公式. 【思路点拨】由随机模拟想到几何概型，然后结合定积分的几何意义进行求解. 【规范解答】由题意可知，f(x)dxx,y所有取值构成的区域是一个边长为1的正方形，而满足yi≤f(xi)的点1(xi,yi)落在y=f(x)、y?0以及x?1、x?0围成的区域内，由几何概型的计算公式可知?0f(x)dx的近N1似值为N. N1【答案】Nk2xf2xxx10.（2021・北京高考理科・Ｔ１8）已知函数()=ln(1+)-+，(k≥0).(1)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；- 4 -感谢您的阅读，祝您生活愉快。
定积分求面积专升本练习题
定积分求面积专升本练习题### 定积分求面积专升本练习题#### 练习题一：计算曲线下的面积设函数 \( f(x) = 2x - x^2 \)，求该函数在区间 \([0, 2]\) 上的面积。
解题步骤：1. 确定积分区间：\([0, 2]\)。
2. 写出积分表达式：\(\int_{0}^{2} (2x - x^2) dx\)。
3. 计算积分：\(\int (2x - x^2) dx = x^2 - \frac{1}{3}x^3 +C\)。
4. 代入积分区间的上下限：\(\left[ x^2 - \frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{2} = (4 - \frac{8}{3}) - (0 - 0) = \frac{4}{3}\)。
5. 得出结果：面积为 \(\frac{4}{3}\) 平方单位。
#### 练习题二：计算曲线与x轴围成的面积设函数 \( g(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \)，求该函数在区间 \([0, 3]\) 上与x轴围成的面积。
解题步骤：1. 确定积分区间：\([0, 3]\)。
2. 写出积分表达式：\(\int_{0}^{3} (x^3 - 3x^2 + 2) dx\)。
3. 计算积分：\(\int (x^3 - 3x^2 + 2) dx = \frac{1}{4}x^4 -x^3 + 2x + C\)。
4. 代入积分区间的上下限：\(\left[ \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 2x\right]_{0}^{3} = (20.25 - 27 + 6) - (0 - 0 + 0) = 1.25\)。
5. 得出结果：面积为 \(1.25\) 平方单位。
#### 练习题三：计算曲线与y轴围成的面积设函数 \( h(x) = \sqrt{4 - x^2} \)，求该函数在区间 \([-2, 2]\) 上与y轴围成的面积。
解题步骤：1. 确定积分区间：\([-2, 2]\)。
定积分及微积分基本定理练习题及答案
1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x2－x)dx B ．S ＝⎠⎛01(x －x2)dxC ．S ＝⎠⎛01(y2－y)dyD ．S ＝⎠⎛01(y －y)dy [答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．[解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x2)dx.2．(2010·日照模考)a ＝⎠⎛02xdx ，b ＝⎠⎛02exdx ，c ＝⎠⎛02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a<c<bB ．a<b<cC ．c<b<aD ．c<a<b [答案] D[解读] a ＝⎠⎛02xdx ＝12x2|02＝2，b ＝⎠⎛02exdx ＝ex|02＝e2－1>2，c ＝⎠⎛02sinxdx ＝－cosx|02＝1－cos2∈(1,2)，∴c<a<b.3．(2010·理，7)由曲线y ＝x2，y ＝x3围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14C.13D.712 [答案] A[解读] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．∴S ＝⎠⎛01(x2－x3)dx ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x3－14x401＝112.[点评] 图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：(2010·师大附中)设点P 在曲线y ＝x2上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S1，S2.如图所示，当S1＝S2时，点P 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，169 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，157 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，137 [答案] A[解读] 设P(t ，t2)(0≤t ≤2)，则直线OP ：y ＝tx ，∴S1＝⎠⎛0t (tx －x2)dx ＝t36；S2＝⎠⎛t 2(x2－tx)dx ＝83－2t ＋t36，若S1＝S2，则t ＝43，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169.4．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x3所围成的图形的面积为( ) A ．4 B.43C.185D ．6[答案] A[解读] S ＝⎠⎛02x3dx ＝⎪⎪⎪x4402＝4. 5．(2010·省考试院调研)⎠⎛1－1(sinx ＋1)dx 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos1 [答案] B[解读] ⎠⎛1－1(sinx ＋1)dx ＝(－cosx ＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.6．曲线y ＝cosx(0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2π B ．3π C.3π2D ．π [答案] A [解读] 如右图， S ＝∫02π(1－cosx)dx ＝(x －sinx)|02π＝2π.[点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π，则对称性就无能为力了． 7．函数F(x)＝⎠⎛0xt(t －4)dt 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值 [答案] B[解读] F ′(x)＝x(x －4)，令F ′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4， ∵F(－1)＝－73，F(0)＝0，F(4)＝－323，F(5)＝－253.∴最大值为0，最小值为－323. [点评] 一般地，F(x)＝⎠⎛0x φ(t)dt 的导数F ′(x)＝φ(x)．8．已知等差数列{an}的前n 项和Sn ＝2n2＋n ，函数f(x)＝⎠⎛1x 1t dt ，若f(x)<a3，则x的取值围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫36，＋∞B ．(0，e21) C ．(e －11，e) D ．(0，e11) [答案] D[解读] f(x)＝⎠⎛1x 1t dt ＝lnt|1x ＝lnx ，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx<11得，0<x<e11.9．(2010·一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC ，曲线y ＝sinx(0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 随机投一点(该点落在矩形OABC 任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π4 [答案] A[解读] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝⎠⎛0πsinxdx ＝－cosx|0π＝－(cos π－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝S S 矩形OABC ＝22π＝1π.10．(2010·质检)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2－2≤x<02cosx 0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的图形面积S为( )A.32B ．1 C ．4 D.12 [答案] C[解读] 面积S ＝∫π2－2f(x)dx ＝⎠⎛0－2(x ＋2)dx ＋∫π202cosxdx ＝2＋2＝4.11．(2010·二十中)设函数f(x)＝x －[x]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g(x)＝－x3，f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f(x)与g(x)的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g(x)dx 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－76[答案] A[解读] 由题意可得，当0<x<1时，[x]＝0，f(x)＝x ，当1≤x<2时，[x]＝1，f(x)＝x －1，所以当x ∈(0,2)时，函数f(x)有一个零点，由函数f(x)与g(x)的图象可知两个函数有4个交点，所以m ＝1，n ＝4，则⎠⎛m n g(x)dx ＝⎠⎛14⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 3dx ＝⎪⎪⎪－x2614＝－52.11．(2010·调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c(b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )A.13B.23C.12D.34 [答案] A[解读] 方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根的充要条件为Δ＝4b2－4c ≥0，即b2≥c ，由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p ＝⎠⎛01b2db 1×1＝13.12．(2010·省调研)已知正方形四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y ＝x2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 的概率是( )A.12B.14C.13D.25 [答案] C[解读] 如图，正方形面积1，区域M 的面积为S ＝⎠⎛01x2dx＝13x3|01＝13，故所求概率p ＝13.2．如图，阴影部分面积等于( )A ．23B ．2－ 3 C.323D.353 [答案] C[解读] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31 (3－x2－2x)dx ＝(3x －13x3－x2)|1－3＝323.3.⎠⎛024－x2dx ＝( )A ．4πB ．2πC ．π D.π2[答案] C[解读] 令y＝4－x2，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( )A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．在t1时刻，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面[答案] A[解读] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间行驶的路程就是该时间段速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t0时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C ，D 错误；同样，在t1时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝t1围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与t 轴和t ＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．(2012·日照模拟)向平面区域Ω＝{(x ，y)|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )A.π4B.12 C.π2－1 D.2π [答案] D [解读]平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6． (sinx －cosx)dx 的值是( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．－2[答案] D[解读] (sinx －cosx)dx ＝(－cosx －sinx) ＝－2.7．(2010·模拟)⎠⎛02(2－|1－x|)dx ＝________.[答案] 3[解读] ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x|)dx ＝⎠⎛01(1＋x)dx ＋⎠⎛12(3－x)dx＝(x ＋12x2)|10＋(3x －12x2)|21＝32＋32＝3.8．(2010·十二中)已知函数f(x)＝3x2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f(x)dx ＝2f(a)成立，则a ＝________.[答案] －1或13[解读] ∵⎠⎛1－1f(x)dx ＝⎠⎛1－1(3x2＋2x ＋1)dx ＝(x3＋x2＋x)|1－1＝4，⎠⎛1－1f(x)dx ＝2f(a)，∴6a2＋4a ＋2＝4，∴a ＝－1或13.9．已知a ＝∫π20(sinx ＋cosx)dx ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x2项的系数是________．[答案] －192[解读] 由已知得a ＝∫π20(sinx ＋cosx)dx ＝(－cosx ＋sinx)|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是Tr ＋1＝(－1)r ×Cr 6×26－r ×x3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解读] 设直线与抛物线的两个交点分别为A(a ，a2)，B(b ，b2)，不妨设a<b ， 则直线AB 的方程为y －a2＝b2－a2b －a(x －a)， 即y ＝(a ＋b)x －ab.则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛a b[(a ＋b)x －ab －x2]dx ＝(a ＋b2x2－abx －x33)|b a ＝16(b －a)3，∴16(b －a)3＝43， 解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P(x ，y)，其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a2＋b22.将b －a ＝2代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1，y ＝a2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x2＋1.能力拓展提升11.(2012·二测)等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝⎠⎛034xdx ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12[答案] C[解读] 因为S3＝⎠⎛034xdx ＝2x2|30＝18，所以6q ＋6q2＋6＝18，化简得2q2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．(2012·模拟)已知(xlnx)′＝lnx ＋1，则⎠⎛1elnxdx ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解读] 由(xlnx)′＝lnx ＋1，联想到(xlnx －x)′＝(lnx ＋1)－1＝lnx ，于是⎠⎛1elnxdx ＝(xlnx －x)|e 1＝(elne －e)－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________． [答案] 18[解读] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A(2,2)、B(8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y)－y22]dy ＝(4y －y22－y36)|2－4＝18.14.已知函数f(x)＝ex －1，直线l1：x ＝1，l2：y ＝et －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l1，l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S2表示．直线l2，y 轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解读] 由题意得S1＋S2＝⎠⎛0t (et －1－ex ＋1)dx ＋⎠⎛t 1(ex －1－et ＋1)dx ＝⎠⎛0t (et －ex)dx＋⎠⎛t 1(ex －et)dx ＝(xet －ex)|t 0＋(ex －xet)|1t ＝(2t －3)et ＋e ＋1，令g(t)＝(2t －3)et ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t)＝2et ＋(2t －3)et ＝(2t －1)et ，令g ′(t)＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t)<0，g(t)是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t)>0，g(t)是增函数，因此g(t)的最小值为g(12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2. 15．求下列定积分．(1)⎠⎛1－1|x|dx 。
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(定积分与微积分基本定理)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（定积分与微积分基本定理）练习一、 基础小题练透篇1．若a ＝⎠⎛02 x 2d x ，b ＝⎠⎛02 x 3d x ，c ＝⎠⎛02 sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a<c<bB ．a<b<cC ．c<b<aD ．c<a<b2．由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形的面积为( )A ．329 B ．2－ln 3 C ．4＋ln 3 D ．4－ln 33．[2023ꞏ甘肃省兰州市第一次月考]求由抛物线y ＝2x 2与直线x ＝0，x ＝t(t ＞0)，y ＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成n 个小区间，则第i －1个区间为( )A ．⎣⎡⎦⎤i －1n ，i nB ．⎣⎡⎦⎤i n ，i ＋1n C ．⎣⎡t （i －1）n ，ti n D ．⎣⎡t （i －2）n ，t （i －1）n4．若数列{a n }是公比不为1的等比数列，且a 2 018＋a 2 020＝⎠⎛024－x 2 d x ，则a 2 017(a 2 019＋2a 2 021＋a 2 023)＝( )A ．4π2B ．2π2C ．π2D ．3π25．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m /s )行驶至停止. 在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m )是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113 C ．4＋25ln 5 D ．4＋50ln 26．已知分段函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2，x ≤0，e －x，x>0，则⎠⎛13 f(x －2)d x ＝( ) A ．3＋1e B ．2－e C ．73 －1e D ．2－1e7．设函数f(x)＝ax 2＋b(a ≠0)，若⎠⎛03 f(x)d x ＝3f(x 0)，x 0>0，则x 0＝________．8．[2023ꞏ河南省信阳考试]⎠⎛12 (1x ＋1－（x －2）2 )d x ＝________．二、能力小题提升篇1．[2023ꞏ兰州检测]曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝14 所围成的图形(如图中阴影部分所示)的面积为( )A ．23B ．13C ．12D ．142．[2023ꞏ河北唐山联考]曲线y ＝x －1x ＋1与其在点(0，－1)处的切线及直线x ＝1所围成的封闭图形的面积为( )A ．1－ln 2B ．2－2ln 2C ．2ln 2－1D ．ln 23．[2023ꞏ河南商丘检测]已知不等式1－3x ＋a <0的解集为(－1，2)，则⎠⎛0a (2e 2x ＋x)d x＝( )A ．e ＋12B ．e －12 C ．e 2＋12 D ．e 2－124．[2023ꞏ河南省洛阳市考试]由抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点M(0，－3)和点N(3，0)处的两条切线所围成的图形的面积为( )A ．94B ．92C ．74 D ．25．[2023ꞏ江西省新余市第一中学考试]函数的图象f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，－4≤x<0，4cos x ，0≤x ≤π2 与x 轴所围成的封闭图形的面积为________．6．[2023ꞏ吉林省东北师范大学模拟]设y ＝f(x)为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分⎠⎛01 f(x)d x ，先产生两组(每组n 个)区间[0，1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x n 和y 1，y 2，…，y n ，由此得到n 个点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n)，再数出其中满足y i >f(x i )(i ＝1，2，…，n)的点有m 个，那么由随机模拟方法可得积分⎠⎛01f(x)d x 的近似值为________．7．[2023ꞏ吉林省实验中学检测]若f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x －4），x>0，2x＋∫π60cos 3x d x ，x ≤0， 则f(2 018)＝________．三、高考小题重现篇1.[湖南卷]由直线x ＝－π3 ，x ＝π3 ，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A ．12B ．1C ．32 D ．32．[湖北卷]若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛－11f （x ）g （x ）d x ＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f(x)＝sin 12 x ，g(x)＝cos 12 x ②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1 ③f(x)＝x ，g(x)＝x 2. 其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．[江西卷]若f(x)＝x 2＋2⎠⎛01 f(x)d x ，则⎠⎛01 f(x)d x ＝( )A ．－1B ．－13C ．13 D ．14．[湖北卷]已知二次函数y ＝f(x)的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A ．2π5 B ．43 C ．32 D ．π2 5．[湖南卷]⎠⎛02 (x －1)d x ＝________．6．[福建卷]如图，在边长为e (e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________.四、经典大题强化篇1.[2023ꞏ四川绵阳模拟]A ，B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t m/s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 站前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t ) m/s ，在B 站恰好停车，试求：(1)A ，C 间的距离； (2)B ，D 间的距离．2．[2023ꞏ江西省赣州市赣县月考]已知函数f (x )＝ax ＋ln x (a ∈R ).(1)若a ＝2，求导函数曲线y ＝f ′(x )与直线x ＝1，x ＝e 及x 轴所围成的面积； (2)求f (x )的单调区间．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：D答案解析：a ＝⎠⎛02x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3 ⎪⎪ 2 0＝83 ，b＝⎠⎛02 x 3d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 4 ⎪⎪20＝4，c ＝⎠⎛02 sin x d x ＝（－cos x ）⎪⎪20＝1－cos 2.∵cos 2∈[－1，1]，∴1－cos 2∈[0，2]，∴1－cos 2<83<4，故c<a<b.2．答案：D答案解析：S ＝＝4－ln 3. 3．答案：D答案解析：在[0，t]上等间隔插入（n －1）个分点，把区间[0，t]等分成n 个小区间，每个小区间长度均为t n ，故第i －1个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ()i －2n ，t ()i －1n .本题选择D 选项． 4．答案：C答案解析：根据定积分的几何意义，⎠⎛02 4－x 2d x 表示以原点为圆心，以2为半径的四分之一圆的面积，所以⎠⎛02 4－x 2d x ＝π.所以a 2 018＋a 2 020＝π，设a 2 018＝a ，公比为q ，则a ＋aq 2＝π，所以a 2 017（a 2 019＋2a 2 021＋a 2 023）＝a q（aq ＋2aq 3＋aq 5）＝a 2（1＋2q 2＋q 4）＝a 2（1＋q 2）2＝[a （1＋q 2）]2＝π2.5．答案：C答案解析：令v （t ）＝7－3t ＋251＋t ＝0，又t>0，则t ＝4，汽车刹车的距离是⎠⎛04 ⎝ ⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝4＋25ln 5.6．答案：C答案解析：⎠⎛13 f （x －2）d x ＝⎠⎛12 f （x －2）d x ＋⎠⎛23 f （x －2）d x ＝⎠⎛12 （x 2－4x ＋5）d x＋⎠⎛23 e－x ＋2d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－2x 2＋5x ⎪⎪21＋（－e －x ＋2）⎪⎪ 32＝[⎝ ⎛⎭⎪⎫13×23－2×22＋5×2 －⎝ ⎛⎭⎪⎫13×13－2×12＋5×1 ]＋[（－e －3＋2）－（－e －2＋2）]＝73 －1e.7．答案： 3答案解析：依题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋bx ⎪⎪⎪3＝3（ax 20 ＋b ），即3ax 20 ＝9a （a≠0），x 20 ＝3（x 0>0），由此解得x 0＝ 3 .8．答案：ln 2＋π4答案解析：由题意得，⎠⎛12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1－（x －2）2 d x ＝⎠⎛12 1x d x ＋⎠⎛12 1－（x －2）2 d x＝ln x|21 ＋⎠⎛12 1－（x －2）2 d x ＝ln 2＋⎠⎛12 1－（x －2）2d x .根据定积分的几何意义可知，⎠⎛121－（x －2）2 d x 表示圆（x －2）2＋y 2＝1满足1≤x≤2，y≥0的这一部分面积，即圆面积的14 ，故⎠⎛12 1－（x －2）2d x ＝π4 .因此⎠⎛12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1－（x －2）2 d x ＝ln 2＋⎠⎛12 1－（x －2）2 d x ＝ln 2＋π4 .二 能力小题提升篇1．答案：D答案解析：令x 2＝14 ，得x ＝12 或x ＝－12 （舍去），所以所求的阴影部分的面积为∫120⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x 2 d x ＋∫112⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－14 d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －x 33 ⎪⎪⎪120 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－14x ⎪⎪⎪112 ＝14 .2．答案：C答案解析：因为y ＝x －1x ＋1 ，所以y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1 ′＝2（x ＋1）2 ，则曲线y ＝x －1x ＋1 在（0，－1）处的切线的斜率k ＝2，切线方程为y ＝2x －1，则曲线y ＝x －1x ＋1 与其在点（0，－1）处的切线及直线x ＝1所围成的封闭图形的面积S ＝⎠⎛01 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1－x －1x ＋1 d x ＝⎠⎛01 （2x －1－1＋2x ＋1 ）d x ＝[x 2－2x ＋2ln （x ＋1）]⎪⎪⎪1＝2ln 2－1. 3．答案：D答案解析：∵不等式1－3x ＋a <0，∴x ＋a －3x ＋a<0，∴（x ＋a ）（x ＋a －3）<0，∴－a<x<－a ＋3，由于1－3x ＋a <0的解集为（－1，2），∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝－1－a ＋3＝2，解得a ＝1，∴⎠⎛0a（2e 2x＋x ）d x ＝⎠⎛01（2e 2x＋x ）d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ＋x 22 ⎪⎪⎪10 ＝e 2－12 .4．答案：A答案解析：∵y ＝－x 2＋4x －3，则y′＝－2x ＋4，在点M （0，－3）的切线斜率k 1＝y′|x ＝0＝4，切线方程y ＝4x －3，在点N （3，0）的切线斜率k 2＝y′|x ＝3＝－2，切线方程y ＝－2()x －3 ，联立方程⎩⎨⎧y ＝4x －3y ＝－2()x －3 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32y ＝3， 即两切线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 ， 所围成的图形的面积为S ＝∫32[]()4x －3－()－x 2＋4x －3 d x ＋∫332[]－2()x －3－()－x 2＋4x －3 d x＝∫320x 2d x ＋∫332 ()x 2－6x ＋9 d x ＝13 x 3|32 0＋（13 x 3－3x 2＋9x ）|332＝94 .故选A .5．答案：12答案解析：由题意可得：围成的封闭图形的面积为：S ＝⎠⎛－4（x ＋4）d x ＋∫π2 04cos x d x ＝（12 x 2＋4x ）|0－4 ＋4sin x|π2 0＝0－()8－16 ＋4sin π2－0＝12.6．答案：1－mn答案解析：由题意得满足y i ≤f （x i ）（i ＝1，2，…，n ）的点有n －m 个，故n －m n ≈⎠⎛01f （x ）d x 1 ，即⎠⎛01 f （x ）d x≈1－mn ，故积分⎠⎛01 f （x ）d x 的近似值为1－mn .7．答案：712答案解析：当x≤0时，f （x ）＝2x＋∫π60cos 3x d x ＝2x＋sin 3x 3⎪⎪⎪π6＝2x＋13，所以f （2 018）＝f （2）＝f （－2）＝14 ＋13 ＝712.三 高考小题重现篇1．答案：D答案解析：如图可得，∫π3－π3 cos x d x ＝sin x|π3 －π3＝2sin π3 ＝ 3 .2．答案：C答案解析：由题意，要满足f （x ），g （x ）是区间[－1，1]上的一组正交函数，即需满足⎠⎛－11 f （x ）g （x ）d x ＝0.①⎠⎛－11 f （x ）g （x ）d x ＝⎠⎛－11 sin 12 x cos 12 x d x ＝12 ⎠⎛－11 sin x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos x |1－1 ＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数；②⎠⎛－11 f （x ）·g （x ）d x ＝⎠⎛－11（x ＋1）（x －1）d x ＝ ⎠⎛－11（x 2－1）d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x |1－1 ＝－43 ≠0，故第②组不是区间[－1，1]上的正交函数；③⎠⎛－11 f （x ）g （x ）d x ＝⎠⎛－11 x·x 2d x ＝⎠⎛－11 x 3d x ＝x 44 |1－1 ＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数．综上，其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是2.3．答案：B答案解析：不妨设⎠⎛01 f （x ）d x ＝k ，则f （x ）＝x 2＋2⎠⎛01 f （x ）d x ＝x 2＋2k ，所以⎠⎛01 f（x ）d x ＝⎠⎛01 （x 2＋2k ）d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2kx |10 ＝13 ＋2k ＝k ，得k ＝－13 ，即⎠⎛01 f （x ）d x ＝－13. 4．答案：B答案解析：容易求得二次函数的答案解析式为f （x ）＝1－x 2，所以S ＝⎠⎛－11 （1－x 2）d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 33 |1－1 ＝43 .5．答案：0答案解析：⎠⎛02 （x －1）d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x |20 ＝12 ×22－2＝0.6．答案：2e2答案解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝e x，y ＝e ， 解得x ＝1，因为y ＝e x与y ＝ln x 互为反函数，故所求阴影部分面积S ＝2⎠⎛01 （e －e x）d x ＝2，故所求概率P ＝2e2 .四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）设A 到C 的时间为t 1 s ，则1.2t 1＝24，解得：t 1＝20，则AC ＝⎠⎛0201.2t d t ＝0.6t 2|200 ＝240（m ）.即A 、C 间的距离为240 m ． （2）设D 到B 的时间为t 2 s ，则24－1.2t 2＝0，解得t 2＝20，则BD ＝⎠⎛020 （24－1.2t ）d t ＝（24t －0.6t 2）|200 ＝240（m ），即B 、D 间的距离为240 m ． 2．答案解析：（1）由已知，当a ＝2时，f （x ）＝2x ＋ln x ， ∴导函数曲线y ＝f′（x ）与直线x ＝1，x ＝e 及坐标轴所围成的面积为：S ＝⎠⎛1e f′（x ）d x ＝()2x ＋ln x |e1 ＝2e －1.（2）由题得f′（x ）＝a ＋1x＝ax ＋1x （x>0）， ①当a≥0时，由于x>0，则ax ＋1>0恒成立， 即f′（x ）>0当x>0时恒成立，∴函数f （x ）的单调递增区间为（0，＋∞）；②当a<0时，令f′（x ）＝0可得x ＝－1a>0，当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 时，f′（x ）>0；当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞ 时，f′（x ）<0， ∴函数f （x ）的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞ . 综上，当a≥0时，函数f （x ）的单调递增区间为()0，＋∞ ；当a<0时，函数f （x ）的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞ .。
定积分应用练习题
定积分的应用练习题1. 抛物线22y x = 把圆228x y +=分为两部分，分别求出这两部分的面积。
2. 直线将椭圆2236x y y +=分成两部分，分别求出这两部分的面积。
3. 在抛物线21y x =-上找一点00(,)P x y ，其中00x ≠，过00(,)P x y 作抛物线的切线，使该切线与抛物线及两坐标轴所围成的图形的面积最小。
4. 从抛物线21y x =-上的点00(,)P x y 引另一条抛物线2y x =的切线，求该切线与2y x=所围成的图形的面积。
5. 求有抛物线24(0)y ax a =>与过焦点的弦所围成图形面积的最小值。
6. 求星形线33cos (02)sin x a t t y a tπ⎧=≤≤⎨=⎩所围成的图形的面积A ，全长L ，绕Ox 轴旋转一周所形成的旋转体的体积，和该旋转体的侧表面积。
7. 求伯努利双纽线22cos 2a ρθ=的面积A ，及绕Ox 轴旋转的旋转体的体积和侧表面积。
8. 求圆域222()()x y b ab a +-≤>绕Ox 轴旋转而成的圆环体的体积。
9. （1）求曲线32y x x =-与2y x =所围成的图形的面积；（2）若该图形绕Oy 绕一周，求所得旋转体的体积。
10. 求螺线(0)m ae θρθπ=≤≤与Ox 轴所围成的面积A ，弧长L ，绕Ox 轴旋转一周所形成的旋转体的体积，和该旋转体的侧表面积。
11. 在曲线2(04)3y x =≤≤上人一点的密度等于该点至原点一段曲线的弧线长度，求其质量。
12. 半径为R ，长为l 的圆柱体平放在深度为2R 的水池中（柱体的侧面与水面相切），设柱体的密度为(1)ρρ>，问将柱体移出水中需要做多少功？13. 设半径为R ，高为h 的圆柱体水池盛满了水，若将水池中的水吸干，要做多少功？14. 将半径为的半圆形板竖直放入水中，是其直径与水面相齐。
（1）求该板一侧所受的压力；（2）欲使压力增加一倍，该板应下移多少米？15. 一根半径为R 的圆环金属丝，其线密度为ρ，以等角速度ω绕其某一条直径旋转，求金属丝的动能。
高等数学练习题积分
高等数学练习题积分一、计算下列不定积分：1. ∫(3x^2 - 2x + 1)dx2. ∫(2x^3 + 5x^2 - 7x + 3)dx3. ∫(1/x)dx4. ∫(e^x)dx5. ∫(sin(x))dx6. ∫(cos(x))dx二、计算下列定积分：1. ∫[0,1] (x^2)dx2. ∫[-1,1] (x^3)dx3. ∫[0,π] (sin(x))dx4. ∫[0,2π] (cos(x))dx5. ∫[0,1] (1/x)dx三、计算下列积分的值：1. ∫[0,1] (x^2 - 2x + 3)dx2. ∫[-2,2] (x^3 - 3x^2 + 2x - 1)dx3. ∫[0,π/2] (2sin(x)cos(x))dx4. ∫[0,π] (e^x - e^(-x))dx5. ∫[1,e] (ln(x))dx四、利用定积分求下列面积：1. 曲线y = x^2与x轴围成的面积。
2. 曲线y = sin(x)与x轴在区间[0,π]内围成的面积。
3. 曲线y = e^(-x)与x轴在区间[0,1]内围成的面积。
4. 曲线y = ln(x)与x轴在区间[1,e]内围成的面积。
5. 曲线y = cos(x)与x轴在区间[0,π/2]内围成的面积。
五、利用定积分求下列曲线的弧长：1. 曲线y = x^3在区间[0,1]的弧长。
2. 曲线y = sin(x)在区间[0,π]的弧长。
3. 曲线y = e^x在区间[0,1]的弧长。
4. 曲线y = ln(x)在区间[1,e]的弧长。
5. 曲线y = cos(x)在区间[0,π/2]的弧长。
六、利用定积分求下列体积：1. 绕x轴旋转曲线y = x^2在区间[0,1]所围成的体积。
2. 绕x轴旋转曲线y = sin(x)在区间[0,π]所围成的体积。
3. 绕x轴旋转曲线y = e^(-x)在区间[0,1]所围成的体积。
4. 绕x轴旋转曲线y = ln(x)在区间[1,e]所围成的体积。
高职数学积分练习题
高职数学积分练习题一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx的结果是多少？A. 1/3B. 1/2C. 1/4D. 1/62. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = sin(x)3. 函数f(x) = e^x的原函数是什么？A. e^x + CB. e^x - CC. e^(-x) + CD. e^x * ln(x) + C4. 计算不定积分∫(1/x) dx的结果是什么？A. ln|x| + CB. ln(x) + CC. x + CD. 1/x + C5. 函数f(x) = sin(x)的不定积分是什么？A. -cos(x) + CB. cos(x) + CC. -sin(x) + CD. sin(x) + C6. 计算定积分∫(-1,1) x^4 dx的结果是多少？A. 0B. 1/5C. 2/5D. 1/37. 函数f(x) = 1/√(1-x^2)的不定积分是什么？A. arcsin(x) + CB. arccos(x) + CC. arctan(x) + CD. arcsec(x) + C8. 计算定积分∫(0,π/2) sin(x) dx的结果是多少？A. 1B. 2C. π/2D. π9. 函数f(x) = x^2的原函数是什么？A. x^3/3 + CB. x^3/2 + CC. x^3 + CD. x^3 - C10. 计算定积分∫(0,1) e^x dx的结果是多少？A. e - 1B. e + 1C. e^2 - 1D. e^2 + 1二、填空题（每题4分，共20分）11. 计算定积分∫(0,2) (x+1) dx的结果为______。
12. 函数f(x) = 2x的原函数为______。
13. 计算定积分∫(1,e) (1/x) dx的结果为______。
积分练习题
积分练习题一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分是：A. 0.33B. 0.5C. 1D. 22. 如果∫(0到π)sin(x)dx=2，那么∫(π到2π)sin(x)dx的值是：A. -2B. 0C. -1D. 13. 函数F(x)=∫(1到x)t^2dt的原函数是：A. x^3/3+CB. x^3+CC. (x^3)/3+CD. x^3/34. ∫(0到1)e^(-x)dx的值在以下哪个区间内：A. (0,1)B. (1,2)C. (0.3,0.7)D. (0.7,1)5. 以下哪个函数是∫(0到1)x^2dx的反导数：A. x^3/3B. x^3C. 3x^2D. 3x二、计算题（每题10分，共30分）1. 计算定积分∫(0到1)(2x+3)dx。
2. 求函数F(x)=∫(0到x)t^2e^t dt的原函数。
3. 计算∫(0到π/2)cos^2(x)dx，并证明其结果。
三、证明题（每题15分，共30分）1. 使用分部积分法证明∫(0到1)xln(x)dx=-1/4-1/4ln(1)。
2. 证明定积分∫(0到π)xsin(x)dx=2-π。
四、应用题（每题20分，共20分）1. 一个物体的位移函数为s(t)=t^3-t，t∈[0,2]，求物体在时间t=0到t=2这段时间内的平均速度。
答案：一、1. C2. B3. C4. C5. A二、1. ∫(0到1)(2x+3)dx = [x^2+3x]_0^1 = (1+3) - (0+0) = 42. F(x) = ∫(0到x)t^2e^t dt = [t^3e^t/3]_0^x = x^3e^x/3 - 1/33. ∫(0到π/2)cos^2(x)dx = ∫(0到π/2)(1+cos(2x))/2 dx = [x/2 + sin(2x)/4]_0^π/2 = π/4 + 1/4三、1. 设u=ln(x), dv=x dx, 则du=1/x dx, v=x^2/2∫(0到1)xln(x)dx = uv|_0^1 - ∫(0到1)vdu = (1/2)ln(1) - [x^2ln(x)/2]_0^1 = -1/4 - 1/4ln(1)2. ∫(0到π)xsin(x)dx = ∫(0到π)d(-cos(x)) = -xcos(x)|_0^π = -πcos(π) + 0 = 2-π四、物体的平均速度为位移的定积分除以时间，即：∫(0到2)(t^3-t)dt / 2 = [t^4/4 - t^2/2]_0^2 = (16-4)/4 = 3 物体在时间t=0到t=2这段时间内的平均速度为3。
定积分求体积练习题
定积分求体积练习题在微积分学中，定积分是一个重要的概念。
它可以被用于计算曲线下的面积，以及三维空间中的体积。
本文将通过一些定积分求体积的练习题，来帮助读者更好地理解和运用这一概念。
第一个练习题是求取由曲线 $y=x^2$ 和直线 $y=4$ 所围成的区域沿$x$ 轴的旋转体的体积。
要解决这个问题，我们可以首先确定旋转体的上下界，并找出面积函数的方程。
在这个例子中，上下界分别是曲线$y=x^2$ 和直线 $y=4$。
因此，我们可以得到面积函数的方程为$A(x)=4-x^2$。
接下来，我们需要计算旋转体的体积。
根据定积分的定义，我们可以得到这个体积为：$$V=\int_{-2}^{2} A(x)dx$$通过求解上述积分，我们可以得到旋转体的体积为$\frac{64}{3}$。
第二个练习题是求取由曲线 $y=\sqrt{x}$ 和直线 $y=0$ 所围成的区域沿$y$ 轴的旋转体的体积。
同样地，我们需要确定旋转体的上下界，并找出面积函数的方程。
在这个例子中，上下界分别是曲线$y=\sqrt{x}$ 和直线 $y=0$。
因此，面积函数的方程为 $A(y)=\pi y^2$。
接下来，我们需要计算旋转体的体积。
根据定积分的定义，我们可以得到这个体积为：$$V=\int_{0}^{1} A(y)dy$$通过求解上述积分，我们可以得到旋转体的体积为$\frac{\pi}{3}$。
通过这两个例子，我们可以看到定积分求体积的方法可以被广泛应用于各种曲线图形的计算中。
只需要确定旋转体的上下界，并找出面积函数的方程，就可以通过定积分来确定体积。
除了以上的两个练习题，还有许多其他形式的定积分求体积的题目可以练习和探索。
例如，可以考虑由曲线 $y=e^x$ 和直线 $y=1$ 所围成的区域沿 $x$ 轴的旋转体的体积，或者由曲线 $y=\sqrt{1-x^2}$ 和直线 $y=0$ 所围成的区域沿 $y$ 轴的旋转体的体积等等。
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第九章 定 积 分 练 习 题 §1定积分概念 习 题 1．按定积分定义证明：baabkkdx).( 2．通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集i，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分：
（1）1012233)1(41:;ninnidxx提示 （2）10;dxex （3）baxdxe; （4）12(0).(:)biiiadxabxxx提示取 §2 牛顿一菜布尼茨公式
1．计算下列定积分：
（1）10)32(dxx； （2）102211dxxx； （3）2lneexxdx；
（4）102dxeexx； （5）302tanxdx （6）94;)1(dxxx （7）40;1xdx （8）eedxxx12)(ln1 2．利用定积分求极限：
（1）);21(1334limnnn
（2）;)(1)2(1)1(1222limnnnnnn （3）);21)2(111(222limnnnnn （4）)1sin2sin(sin1limnnnnnn 3．证明：若f在[a,b]上可积，F在[a,b]上连续，且除有限个点外有F＇（x）=f(x),则有
()()().bafxdxFbFa §3 可积条件
1．证明：若Tˊ是T增加若干个分点后所得的分割，则'.''TTiiii 2．证明：若f在[a,b]上可积，上也可积在则,,,,afbaa. 3.设f﹑g均为定义在[a,b]上的有界函数。证明：若仅在[a,b]中有限个点处,gf则当f在[a,b]上可积时，g在[a,b]上也可积，且
.dgabdfab
3．设f在[a,b]上有界，,,baan.limcann证明：在[a,b]上只有,2,1na
n
为其间断点，则f在[a,b]上可积。
4．证明：若f在区间上有界，则 "','".supsupinfffff
。
§4 定积分的性质 1.证明:若f与g都在[a,b]上可积,则 nibaiiiTdxxgxfxgf10,)()()()(lim
其中ii,是T所属小区间△i中的任意两点,i=1,2„,n. 2.不求出定积分的值,比较下列各对定积分的大小: (1)1010;2dxxxdx与 (2)2020.sinxdxxdx与 3.证明下列不等式:
(1)202;2211sin2dxx (2)1201xedxe; (3)20sin12;xdxdxx (4)4ln36.eexedxx 4.设f在[a,b]上连续,且f(x)不恒等于零,证明20.bafxdx 5.设f与g都在[a,b]上可积,证明 )(),()(,)(),()(minmax,,xgxfxmxgxfxMbaxbax
在[a,b]上也都可积. 6.试求心形线20),cos1(ar上各点极径的平均值.
7.设f在[a,b]上可积,且在[a,b]上满足.0)(mxf证明f1在[a,b]上也可积. 8.进一步证明积分第一中值定理(包括定理9.7和定理9.8)中的中值点ξ∈(a,b). 9.证明:若f与g都在[a,b]上可积,且g(x)在[a,b]上不变号,M、m分别为 f(x)在[a,b]上的上、下确界,则必存在某实数μ(m≤μ≤M),使得
babadxxgdxxgxf.)()()(
10.证明:若f在[a,b]上连续,且babadxxxfdxxf,0)()(则在(a,b)内至少存在两点x1,x2,使f(x1)= f(x2)=0.又若badxxfx,0)(2这时f在(a,b)内是否至少有三个零点?
11.设f在[a,b]上二阶可导,且"f(x)>0.证明: (1)badxxfabbaf;)(12 (2)又若,,,0)(baxxf则又有
.,,)(2)(baxdxxfabxfba
12.证明:
(1)11ln(1)11ln;2nnn (2).1ln1211limnnn
§5 微积分学基本定理·定积分计算(续) 习 题 1． 设f为连续函数，u、v均为可导函数，且可实行复合f°u与f°v证明： )()().('))(()('))(()(xvxuxuxufxvxvfdttf
dx
d
2．设f在[a,b]上连续，xadttxtfxF.))(()(证明F”b].[a,),()(xxfx 3．求下列极限：
（1）xxdttx020;cos1lim （2）.)(022022limdtedtextxtx 4．计算下列定积分： （1）205;2sincosxdxx （2）102;4dxx （3）aadxxax0222);0(
（4）102/32;)1(xxdx （5）10;xxeedx （6）
202;sin1cosdxx
x
（7）10;arcsinxdx （8）20;sinxdxex （9）;ln1dxxee
（10）10;dxex （11）aadxxaxax02);0( （12）20.cossin
cos
d
5.设f在[-a,a]上可积。证明： （1）若f为奇函数，则aadxxf;0)(
（2）若f为偶函数，则aaadxxfdxxf0.)(2)( 6．设f为（-∞，+∞）上以p为周期的连续周期函数。证明对任何实数a，恒有
papadxxfdxxfa.)()( 7．设f为连续函数。证明： （1）2020;)(cos)(sindxxfdxxf （2）00.)(sin2)(sindxxfdxxxf
8．设J（m,n）20,(cossinnmxdxxnm为正整数）。证明： ),,2(1)2,(1),(nmJnmmnmJnmnnmJ 并求J(2m,2n). 9．证明：若在（0，∞）上f为连续函数，且对任何a＞0有
axxdttfxg常数)()(， ),,0(x
则cxxcxf),,0(,)(为常数。 10．设f为连续可微函数，试求 xadttftxdxd,)(')(
并用此结果求xtdttxdxd0.sin)( 11．设)(xfy为[a,b]上严格增的连续曲线（图 9-12）。试证存在ξ∈（a,b），使图中两阴影部分面积 相等。 12．设f为[0，2π]上的单调递减函数。证明：对 任何正整数n恒有
20.0sin)(nxdxxf 13．证明：当x＞时有不等式 ).0(1sin2cxdttcxx 14．证明：若f在[a,b]上可积，,)(,)(,,ba上单调且连续可微在则有
badtttfdxxf.)())(()( ※15.证明：若在[a,b]上f为连续可微的单调函数，则存在,,ba使得
baabdxxfbgdxxfagdxxgxf.)()()()()()( （提示：与定理9.11及其推论相比较,这里的条件要强得多, 因此可望有 一个比较简单的,不同于9.11的证明.） ※§6 可积性理论补叙 1. 证明性质2中关于下和的不等式(3). 2. 证明性质6中关于下和的极限式STst)(lim0 .
3. 设 .,0.,)(为无理数为有理数xxxxf 试求f在[0,1]上的上积分和下积分;并由此判断f在[0,1]上是否可积. 4. 设f在[a,b]上可积,且],[.,,0)(bafbaxxf在试问上是否可积?为什么? 5. 证明:定理9.14中的可积第二充要条件等价于“任给TT的对于一切满足存在,0,0都有)()(TstsxiTi.
6.据理回答: (1) 何种函数具有“任意下和等于任意上和”的性质? (2) 何种连续函数具有“所有下和（或上和）都相等”的性质？ (3) 对于可积函数，若“所有下和（或上和）都相等”，是否仍有（2）的结论？
7．本题的最终目的是要证明：若f在[a,b]上可积，则f在[a,b]内必定有无限多个处处稠密的连续点，这可用区间套方法按以下顺序逐一证明： （1）若T是[a,b]的一个分割，使得S（T）s(T)
小区间.1,fii使
（2）存在区间),,(],[111babaI使得 .1)(inf)(sup)(111xfxfIIxIx
f
（3）存在区间),,(],[11222babaI使得
.21)(inf)(sup)(222xfxfIIxIx
f
（4）继续以上方法，求出一区间序列),,(],[11nnnnnbabaI .1)(inf)(sup)(nxfxfInnIxIxnf