第二节排列与组合
高三数学一轮复习第十一篇计数原理概率随机变量及其分布第2节排列与组合课件理(1)
个.
解析: (2)若 0 在 1,3 之间,则在 0,1,3 隔开的四个空位中插入 2,4 即可,此 时的五位数个数为 A22A24 =24;若 0 在 1,3 右边,则 1,3 之间需插入一个数,另 一个数在最高位,或者在 0 左右,此时五位数的个数为 A22C12 ×3=12;若 0 在 1,3 左边,此时 2,4 只能一个在 0 的左边(最高位)、一个在 1,3 之间,此时的 五位数个数为 A22A22 =4.故共可组成五位数有 24+12+4=40(个).
不同元素中取出 m 个元素的排列数
n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数
排列数公式
A
m n
=n(n-1)(n-2)…
公 式
(n-m+1) =
n!
(n m)!
组合数公式
C
m n
=
Amn Amm
=
n(n 1)(n 2)...(n m 1) = n!
m!
m!(n m)!
性 质
A
n n
【即时训练】 (2015河南郑州市二次质量预测)某校开设A类选修课2 门,B类选修课3门,一位同学从中选3门.若要求两类课程中各至少选 一门,则不同的选法共有( ) (A)3种 (B)6种 (C)9种 (D)18种
解析:直接法: C12C32 + C22C13 =9. 间接法: C35 -1=9. 故选 C.
答案: (2)40
备选例题
【例 1】
(1)若
3
A
3 x
=2
A2 x 1
+6
A
2 x
,则
x=
.
(2)若
Cx2 16
第十章排列和组合
第十章 排列和组合考纲解读1． 理解分类计数原理、分步计数原理的区别.2． 掌握排列数计算公式、组合数计算公式及组合数的性质 3． 能运用排列组合的知识解决简单的实际问题4． 掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算一些简单问题。
高考真题演练：1．四封信投入3个不同的信箱，其不同的投信方法有 种。
2.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单， 开演前又增加了两个新节目。
如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 （ ） A ．42 B ．96 C ．48 D ．1243.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数有（） A 、24 B 、36 C 、46 D 、604.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 （ ） A ．140种 B ．120种 C ．35种 D ．34种5. 要排一张有5个独唱和3个合唱的节目表，如果合唱节目不能排在第一个，并且合唱节目不能相邻，则不同排法的种数是（）A 、B 、C 、D 、6. 若41313--+=n n n C C C ， 则n 的值为第一节 分类与分步计数原理一、本节知识点回顾1． 分类计数原理与分步计数原理（1） 做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1k 种不同的方法，在第二类办法中有2k 种不同的方法，…在第n 类办法中有n k 种不同的方法.无论用哪一种方法, 都可以完成这件事,那么完成这件事共有n k k k N ++=21种不同的方法.【说明】：分类计数原理又叫加法原理.（2） 做一件事，完成它需要分成n 个步骤，完成第一个步骤有1k 种不同的方法，完成第二个步骤有2k 种不同的方法，…完成第n 个步骤有n k 种不同的方法.在连续完成这n 个步骤之后,这件事情才能完成,那么完成这件事共有n k k k N ⋅⋅⋅= 21种不同的方法.【说明】：分步计数原理又叫乘法原理.二、典型例题讲评题型一 分类计数原理例1．从5名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次主题班会,则不同的选法为( )A.15种B.8种C.5种D.3种例2.有不同的红手帕5块，粉红手帕6块，绿手帕3快，白手帕2块，小刚从中任拿一块，则共有 种取法。
2022人教A版高中数学选择性必修第三册同步培优第六章计数原理第2节排列与组合 习题课 排列数的应用
第六章 习题课A 组·素养自测一、选择题1．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( D ) A ．24 B ．48 C ．60D ．72[解析] 由题意，可知个位可以从1,3,5中任选一个，有A 13种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有A 44种方法，所以奇数的个数为A 13A 44＝3×4×3×2×1＝72．2．(2021·嘉兴一中月考)从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数字中任取2个不同的数字分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为( D )A ．56B ．54C ．53D ．52[解析] 在8个数中任取2个不同的数可以组成A 28＝56(个)对数值．但在这56个对数值中，log 24＝log 39，log 42＝log 93，log 23＝log 49，log 32＝log 94，即满足条件的对数值共有56－4＝52(个)．3．把语文、数学、物理、历史、外语这五门课程安排在一天的五节课里，如果数学必须比历史先上，那么不同的排法有( C )A ．48种B ．24种C ．60种D ．120种[解析] 五门课程随意安排有A 55种排法，数学课在历史课前和历史课在数学课前各占总排法数的一半，所以数学课排在历史课前的排法有12A 55＝60(种)．4．(多选)停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有( AD )A ．A 99种B ．A 99A 44种 C ．8A 88种D ．9A 88种 [解析] 将4个空车位视为一个元素，与8辆车共9个元素进行全排列，共有A 99＝9A 88种．5．三位女生坐到二排四列的8个位置中，要求同列中最多只有一个女生，同排中任两个女生不相邻，则不同的排法数为(A)A．72 B．36C．48 D．96[解析]根据题意，完成这件事可分两步：第一步，先在8个位置中选取符合条件的3个位置，有2×2＋2×4＝12种情况；第二步，将三位女生全排列，安排到选出的3个位置，有A33＝6种情况．根据分步乘法计数原理，共有12×6＝72种排法．二、填空题6．用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1,2相邻，这样的六位数的个数是__40__．[解析]可分为三步来完成这件事：第一步：先将3,5进行排列，共有A22种排法；第二步：再将4,6插空排列，共有2A22种排法；第三步：将1,2放入3,5,4,6形成的空中，共有A15种排法；由分步乘法计数原理得，共有2A22A22A15＝40种不同的排法．7．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__96__．[解析]先分组后用分配法求解，5张参观券分为4组，其中2个连号的有4种分法，每一种分法中的排列方法有A44种，因此共有不同的分法4A44＝4×24＝96(种)．8.2020年某地举行博物展，某单位将展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该单位展出这5件作品不同的方案有__24__种．(用数字作答)[解析]将2件书法作品排列，方法数为2种，然后将其作为1件作品与标志性建筑设计作品共同排列有2种排法，对于其每一种排法，在其形成的3个空位中选2个插入2件绘画作品，故共有不同展出方案：2×2×A23＝24种．三、解答题9．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？[解析](1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A25种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A 66种排法，故共有不同排法A 25A 66＝14 400种．(2)先不考虑排列要求，有A 88种排列，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有A 45A 44种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有A 88－A 45A 44＝37 440种．10．从－3，－2，－1,0,1,2,3,4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数a ，b ，c ，问：(1)共能组成多少个不同的二次函数？(2)在这些二次函数中，图象关于y 轴对称的有多少个？ [解析] (1)方法一(直接法——优先考虑特殊位置)因为a ≠0，所以确定二次项系数有7种，确定一次项和常数项有A 27种，所以共有7A 27＝294个不同的二次函数．方法二(直接法——优先考虑特殊元素)当a ，b ，c 中不含0时，有A 37个；当a ，b ，c 中含有0时，有2A 27个，故共有A 37＋2A 27＝294(个)不同的二次函数．方法三(间接法)共可构成A 38个函数，其中当a ＝0时，有A 27个均不符合要求，从而共有A 38－A 27＝294(个)不同的二次函数．(2)依题意b ＝0，所以共有A 27＝42(个)符合条件的二次函数．B 组·素养提升一、选择题1．(多选)用0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位数字的六位数共有( AB )A ．A 15A 35个 B ．12A 15A 55个C ．A 15A 55个D ．2A 15A 44个 [解析] 解法一：确定最高位有A 15种不同方法．确定万位、千位、百位，从剩下的5个数字中取3个排列，共有A 35种不同的方法，剩下两个数字，把大的排在十位上即可，由分步乘法计数原理知，共有A 15·A 35＝300(个)．解法二：由于个位数字大于十位数字与个位数字小于十位数字的应各占一半，故有12 A15·A55＝300(个)．2．某地为了迎接运动会，在某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是(C)A．1 205秒B．1 200秒C．1 195秒D．1 190秒[解析]由题意每次闪烁共5秒，所有不同的闪烁为A55个，相邻两个闪烁的时间间隔为5秒，因此需要的时间至少是5A55＋(A55－1)×5＝1 195(秒)．3．有4本不同的书A，B，C，D，要分给三个同学，每个同学至少分一本，书A，B 不能分给同一人，则这样的分法共有(C)A．18种B．24种C．30种D．36种[解析]4本不同的书分给三个同学，共有6A33＝36，书A，B分给同一人有A33＝6，所以共有36－6＝30种，故选C．4．(北京高考题)把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有(B)A．48 B．36C．30 D．24[解析]将A，B捆绑在一起，有A22种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A44种摆法，共有A22A44种摆法，而A，B，C 3件产品在一起，且A，B相邻，A，C相邻时有2种情况，将这3件产品与剩下2件产品全排列，有2A33种摆法．故A，B相邻，A，C不相邻的摆法有A22A44－2A33＝36(种)．二、填空题5.6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为__576__．[解析]“不能都站在一起”与“都站在一起”是对立事件，由间接法可得A66－A33A44＝576．6．如图是一个正方体纸盒的展开图，若把1,2,3,4,5,6分别填入小正方形后，按虚线折成正方体，则所得到的正方体相对面上的两个数的和都相等的概率是__115__．[解析] 6个数任意填入6个小正方形中有A 66＝720种方法；将6个数分三组(1,6)，(2,5)，(3,4)，每组中的两个数填入一对面中，共有不同填法A 33×2×2×2＝48种，故所求概率P ＝48720＝115． 三、解答题7．用0,1,2,3,4五个数字：(1)可组成多少个五位数；(2)可组成多少个无重复数字的五位数；(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数．[解析] (1)各个数位上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理知，共有4×5×5×5×5＝2 500(个)．(2)解法一：先排万位，从1,2,3,4中任取一个有A 14种填法，其余四个位置四个数字共有A 44种，故共有A 14·A 44＝96(个)．解法二：先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入有A 14种方法，其余四个数字全排有A 44种方法，故共有A 14·A 44＝96(个)．(3)构成3的倍数的三位数，各个位上数字之和是3的倍数，按取0和不取0分类：①取0，从1和4中取一个数，再取2进行排，先填百位A 12，其余任排有A 22，故有2A 12·A 22种．②不取0，则只能取3，从1或4中再任取一个，再取2然后进行全排为2A 33，所以共有2A 12A 22＋2A 33＝8＋12＝20(个)．(4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1,3中选一个填入个位有A 12种填法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有A 13种填法，包含0在内还有3个数在中间三位置上全排列，排列数为A 33，故共有A 12·A 13·A 33＝36(个)．8.4名男同学和3名女同学站成一排．(1)7名同学中，甲、乙、丙排序一定(只考虑位置的前后顺序)，有多少种不同的排法？(2)7名同学中，甲乙两名同学之间必须恰有3名同学，有多少种不同的排法？(3)7名同学中，甲、乙两名同学相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？(4)女同学从左到右按从高到矮的顺序排，有多少种不同的排法？(3名女生身高互不相等)[解析](1)7名同学的所有排法有A77种，其中甲、乙、丙的排序有A33种，所以甲、乙、＝840(种)．丙排序一定的排法有A77A33(2)先排甲、乙两名同学，有A22种排法，再从余下5名同学中选3名同学排在甲、乙两名同学中间，有A35种排法，这时把已排好的5名同学视为一个整体，与最后剩下的2名同学进行全排列，有A33种排法，故不同的排法共有A22A35A33＝720(种)．(3)先排除甲、乙、丙3名同学以外的其他4名同学，有A44种排法，由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有A22种排法，最后把排好的甲、乙看作一个整体与丙分别插入原先排好的4名同学形成的5个空位中，有A25种排法，故不同的排法共有A44A22A25＝960(种)．(4)从7个位置中选出4个位置把男生排好，有A47种排法，然后在余下的3个位置中排女生，由于要求女生从左到右按从高到矮的顺序排，故女生的排法只有1种，故不同的排法共有A47×1＝840(种)．。
2015届高考数学总复习 第十章 第二节排列与组合(一)课时精练 理
第二节排列与组合(一)1．(2013·威海模拟)将a，b，c三个字母填写到3×3方格中，要求每行每列都不能出现重复字母，不同的填写方法有( )A．9 B．10 C．12 D．16解析：先填第一行，则第一行有A33＝6种，第二行第一列有2种，其余2列有唯一1种，第三列唯一确定1种，共有6×2＝12(种)．答案：C2．用0,1,2,3,4排成无重复数字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是( )A．36 B．32 C．24 D．20解析：将3个偶数“捆绑”，2个奇数“捆绑”，这样得到2个新元素，将这2个新元素排列，得到种数为A33A22A22，其中，0在首位的有四个：02 413,02 431,04 213,04 231，所以，这样的五位数的个数是A33A22A22－4＝20.故选D.答案：D3．有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花的不同摆放种数是( ) A．12 B．24 C．36 D．48解析：利用相邻问题捆绑法，间隔问题插空法得：A22A22A23＝24，故选B.答案：B4．如图，一环形花坛分成A，B，C，D 4块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为( )A．96 B．84 C．60 D．48解析：分三类：种2种花有A24种种法；种3种花有2A34种种法；种4种花有A44种种法．所以共有A24＋2A34＋A44＝84种．故选B.另解：按A－B－C－D顺序种花，可分A，C同色与不同色有4×3×(1×3＋2×2)＝84种．故选B.答案：B5．五位同学参加某作家的签字售书活动，则甲、乙都排在丙前面的方法有( )A．20种B．24种C．40种D．56种解析：若丙在第三位，则排法种数为A22A22＝4；若丙在第四位，排法数为A23A22＝12；若丙在第五位，则有A44＝24种不同的排法．故总的排法总数为40种．答案：C6．下面是高考第一批录取的一份志愿表．现有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择，如果要将表格填满且规定：学校没有重复，同一学校的专业也没有重复A.43·(A233C．A34·(C23)3D．A34·(A23)3解析：第一步，先填写志愿学校，三个志愿学校的填写方法数是A34；第二步，再填写对应志愿学校的专业，各个对应学校专业的填写方法数都是A23，故专业填写方法数是A23A23A23.根据分步乘法计数原理，共有填写方法数A34(A23)3.故选D.答案：D7．如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F 6个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有( )A．288种B．264种C．240种D．168种解析：(1)B，D，E，F用四种颜色，则有A44×1×1＝24种涂色方法；(2)B，D，E，F用三种颜色，则有A34×2×2＋A34×2×1×2＝192种涂色方法；(3)B，D，E，F用两种颜色，则有A24×2×2＝48种涂色方法．所以共有24＋192＋48＝264种不同的涂色方法．故选B.答案：B8．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( )A．70种B．80种C．100种D．140种解析：(直接法)一男两女，有C15C24＝5×6＝30种，两男一女，有C25C14＝10×4＝40种，共计70种．故选A.(间接法)任意选取C39＝84种，其中都是男医生有C35＝10种，都是女医生有C34＝4种，于是符合条件的有84－10－4＝70种．故选A.答案：A9．(2013·珠海一模)若把英语单词“good ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有__________种．解析：根据题意，因为“good”四个字母中的两个“o”是相同的，则其不同的排列有12×A 44＝12种，而正确的排列只有1种，则可能出现的错误共有11种．答案：1110．某校开设9门课程供学生选修，其中A ，B ，C 3门由于上课时间相同，至多选1门．学校规定，每位同学选修4门，共有________种不同的选修方案(用数字作答)．解析：第一类，从A ，B ，C 中选一门有C 13·C 36＝60种；第二类，不选A ，B ，C 课程，有C 46＝15种．所以共有60＋15＝75种选法．答案：7511．(2013·浙江卷)将A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母排成一排，且A ，B 均在C 的同侧，则不同的排法有________种(用数字作答)．解析：第一类，字母C 排在左边第一个位置，有A 55种；第二类，字母C 排在左边第二个位置，有A 24A 33种；第三类，字母C 排在左边第三个位置，有A 22A 23＋A 23A 33种，由对称性可知共有2×(A 55＋A 24A 33＋A 22A 33＋A 23A 33)＝480种．答案：48012．(2013·广州二模)用0,1,2,3,4,5这六个数字，可以组成________个没有重复数字且能被5整除的五位数(结果用数值表示)．解析：因为用0,1,2,3,4,5这六个数字，可以组成没有重复数字且能被5整除的五位数，所以：①当有0时，若0排在个位，可从1,2,3,4,5这5个数字中选4个排在其他四个位置，有A 45＝120种方法，若0不排在个位，它又不能排在万位，故有三个位置可排，有A 13种方法，个位必排5，再从1,2,3,4中选三个在在其他三个位置自由排列，有A 34种方法，所以共有A 13·A 34＝72种方法；②若没有0，则5必排在个位，1,2,3,4，在其他四个位置自由排列，有A 44＝24种方法；综合①②得，共有120＋72＋24＝216种方法．答案：21613．某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，则该晚会的节目单的编排总数为__________种(用数字作答)．解析：用插空法．C 19×C 110×C 111＝990.答案：990。
人教A版数学选修23第一章第2节《排列组合习题课》
一、基础题
• 本部分题目限时回答，到时间 之前由答题员将本组答案写在 题板上，到时间不答的不得分， 答对得分，答错不扣分。每题 10分。小组讨论后不再讲授。
1、 8名同学争夺3项冠军，获得冠 军的可能性有多少种？
• 8名同学争夺3项冠军，获得冠 军的可能性有多少种？
【解析】：重复排列求幂法（住店法） 。
同室4人各写一张贺卡，先集中起来，然后 每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4 张贺年卡不同的分配方式有多少种？
标号排位树状图
6、有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙 丙各需一人承担，从10人中选出4人承担 这三项任务，不同的选法有多少种？
• 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙 各需一人承担，从10人中选出4人承担这 三项任务，不同的选法有多少种？
• 马路上有编号为1，2，3…，9的九只路灯，现 要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或 三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的 关灯方案有多少种？
• 相离问题插空法 （屁股上绑着的凳子！）
• 把此问题当作一个排队模型，在6盏亮灯的5个
空隙中插入3盏不亮的灯共有 满足条件的关灯方案有10种.
C53
课程名称：排列组合习题课 学 科: 数学 年 级：高二 上/下册： 选修2-3第一章第2节 版 本：人教A版
排列组合智力快车
学习目标
• 1、加深对排列组合技巧的理解，会选择 合适的方法应用在题目中。
• 2、激发兴趣，领会知识来自于平时的积 累，要养成良好的学习习惯。•Βιβλιοθήκη 3、培养全体同学的竞争意识和协作精神。
种方法,所以
4、停车场划出一排10个停车位置，今 有6辆车需要停放.要求空车位置连在 一起，不同的停车方法有多少种？
组合数学课件--第一章第二节 允许重复的组合与不相邻的组合
一、序数法
怎样建立a(3)a(2)a(1)p(1)p(2)p(3)p(4)
a(3) 确定4的位置,a(2)确定3的位置
a(1)确定2的位置,剩余的位置就是1的位置 例3:021, 3 2 1 4 例3: 201, 2 4 1 3
12
一、序数法
求n个不同的数的全排列，主要有以下两步：
1、求出0到n!-1之间各数对应的序列{an-1, an-2,…, a1} m=an-1(n-1)!+an-2(n-2)!+…a2 * 2!+a1*1! 2、由{an-1, an-2,…, a1}确定排列序列p1p2…pn an-1,确定n的位置， an-2确定n-1的位置， ……………………… a1确定2的位置， 剩下的是1的位置。
9
一、序数法
推论 从0到n!-1的n!个整数与序列{an-1, an-2,…, a1} 一一对应。这里 0a1 1,0 a2 2, …, 0 an-1 n-1 算法: int a[]={0}; int m,n;// 0=<m<=n!-1 int b=m； int index =1; do { a[index]=b%(index+1); b = b/(index+1); index++; } while(b);
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一、序数法
2、对于0,1,2,…,n!-1共n!个数求序列a[i]
for( i = 0; i < fact; i++ ) { int b=i, index =1; do { a[index]=b%(index+1); b = b/(index+1); index++; } while(b);
高二数学人教B版选择性必修第二册第三章排列组合与二项式定理第二节生日悖论的解释与模拟课件
探索与体验用计算机模拟数据验证结论的过程；
图像或徒手描点）；
（摘自商务印书馆出版的第7版《现代汉语词典》）
课后作业
1.尝试做出函数 p(n) 的图像（推荐Geogebra做函数
找多个班的学生、亲人、朋友、历史人物等生日资料，计算同一天过生日的数量占总实验次数的比例.
数学探究活动：生日悖论的解释与模拟（1）高二年级 数学
探究（二）概率计算公式验证
悖论：逻辑学指可以同时推导或证明两个互相矛盾的命题的命题或理论体系.
（1）统计当每个数组中数据个数分别为 22，23，30，31，40，41，59，60时，出现相同数据的频率，也可以根据自己兴趣调整实验数据；
数学探究活动：生日悖论的解释与模拟（1）
高二年级 数学
悖论：逻辑学指可以同时推导或证明两个互相矛盾的命 题的命题或理论体系.（摘自商务印书馆出版的第7版《现代 汉语词典》）
悖论是指这样一种逻辑上自相矛盾的状况：肯定一个命 题，就得出它的矛盾命题.也就是说：如果肯定命题A，就推 出非A；如果肯定非A，就推出A.(摘自吉林人民出版社1983 年出版的《逻辑学词典》)
探究（二）概率计算公式验证
由23个人组成的人群中至少有两个人生日相同的概率．
p
1
A23 365
36523
1
365!
36523 365 23!
0.5073
探究（二）概率计算公式验证
由41个人组成的人群中至少有两个人生日相同的概率．
p
1
A41 365
36541
1
365!
36541 365
41!
19 0.37912 35 0.81438 51 0.97443
20 0.41144 36 0.83218 52 0.978
组合数学-排列组合
前言组合数学是一个古老而又年轻的数学分支。
据传说，大禹在4000多年前就观察到神龟背上的幻方。
幻方可以看作是一个3阶方阵，其元素是1到9的正整数，每行、每列以及两条对角线的和都是15。
贾宪,北宋数学家(约11世纪)著有《黄帝九章细草》、《算法斅古集》斅(音'笑')(“古算法导引”)都已失传。
杨辉著《详解九章算法》(1261年)中曾引贾宪的“开方作法本源”图(即指数为正整数的二项式展开系数表，现称“杨辉三角形”)和“增乘开方法”(求高次幂的正根法)。
前者比帕斯卡三角形早600年，后者比霍纳(William Geoge Horner，1786—1837)的方法(1819年)早770年。
1666年莱布尼兹所著《组合学论文》一书问世，这是组合数学的第一部专著。
书中首次使用了组合论(Combinatorics)一词。
组合数学的蓬勃发展则是在计算机问世和普遍应用之后。
由于组合数学涉及面广，内容庞杂，并且仍在很快地发展着，因而还没有一个统一而有效的理论体系。
组合分析主要研究内容是计数和枚举。
这与数学分析形成了对照。
第一章排列组合在这一章我们要用加法法则和乘法法则解决最基本的几种组合模型，包括排列、组合的计数问题。
第一节加法法则与乘法法则加法法则设事件A有m种产生方式，事件B有n种产生方式，则事件A或B之一有m+n 种产生方式。
集合论语言：若|A|=m,|B|=n,A∩B=φ,则|A∪B|=m+n。
/*例某班选修企业管理的有18人，不选的有10人，则该班共有18+10=28人。
例北京每天直达上海的客车有5次，客机有3次，则每天由北京直达上海的旅行方式有5+3=8种。
*/乘法法则设事件A有m种产生式，事件B有n种产生方式，则事件A与B有m·n种产生方式。
集合论语言：若|A|=m ,|B|=n,A×B={(a,b)|a∈A,b∈B},则|A×B|=m·n。
/*例某种字符串由两个字符组成，第一个字符可选自{a，b，c，d，e}，第二个字符可选自{1，2，3}，则这种字符串共有5×3=15个。
判断推理系统课讲义-第四章-逻辑判断(第二节-组合排列or朴素逻辑)
判断推理系统课讲义第四章逻辑判断第二节组合排列(即：朴素逻辑)特征：1.题干给出两组及两组以上对象2.给出几组对象之间的关系（国考中一般考2道）一、排除法、代入法1.排除法：读一句，排一句【例1】（2014 广东）赵先生、钱先生、孙先生、李先生四人参加一项技能比赛，获得了比赛的前四名。
据了解，他们之间有以下关系：①孙先生和李先生经常相约一起打篮球；②第一名和第三名在这次比赛中刚认识；（不是孙、李）③第二名不会骑自行车，也不打篮球；（不是孙、李、钱）④赵先生的名次比钱先生的名次靠前；⑤钱先生和李先生每天一起骑自行车上班。
根据以上条件，可以判断此次比赛的第一、二、三、四名次的获得者分别是（）。
A.孙先生、赵先生、钱先生、李先生B.李先生、赵先生、孙先生、钱先生C.李先生、孙先生、赵先生、钱先生D.孙先生、李先生、赵先生、钱先生【例2】（2014 河南）某单位要选拔人才下乡挂职。
符合条件的人有甲、乙、丙、丁、戊、己，人事部门、组织部门和办公室分别提出了自己的要求：人事部门：丙、丁两人中只能去一人组织部门：若丁不去，则戊也不能去办公室：甲、丙和己三人必须留下一个由此可以推出，能够同时满足三个部门要求的派出方案是（）。
A.乙、丙、丁、戊B.乙、丙、戊C.甲、乙、丙、己D.甲、乙、丙1.排除法：读一句，排一句2.代入法：选项代入题干验证题干条件确定优先排除题干条件不确定尝试代入【例3】（2016 河南）三人在一起猜测晚会节目的顺序。
甲说：“一班第一个出场，二班第三个出场。
”乙说：“三班第一个出场，四班第四个出场。
”丙说：“四班第二个出场，一班第三个出场。
”结果公布后，发现他们的预测都只对了一半。
由以上可以推出，节目的正确出场顺序是（）。
A.四班第一，三班第二，一班第三，二班第四B.二班第一，一班第二，三班第三，四班第四C.三班第一，四班第二，二班第三，一班第四D.一班第一，二班第二，四班第三，三班第四练习【练1】（2015 年吉林）为了熟悉各个部门的工作，某部门实施轮岗制度，人事部门的张三、后勤部门的李四、综合办的王五三人进行转岗，其中李四不去人事部。
概率论与随机过程
概率论与随机过程（工程硕士生60学时）教材及主要参考书：1．《随机过程》刘次华著，华中理工大学出版社出版。
2．《概率论与数理统计》浙江大学编，高等教育出版社出版。
3．《概率论与数理统计》同济大学编，高等教育出版社出版。
第一章 概率论第一节 预备知识一、排列与组合问题（一） 排列问题的提法：从n 个不同元素n a a a ...,21中任取r 个)(n r ≤，按先后顺序把它们排列，共有多少种不同的排列？分析：第一个位置有n 种取法，第二个位置有1-n 种取法，…第r 个位置有1+-r n 种取法，则共有：rn A r n n r n n n =-=+--)!(!)1()1(（二） 组合问题的提法：从n 个不同元素n a a a ...,21中任取r 个（n r ≤），不按先后顺序得到一种组合，共有多少中不同的组合？分析：由于不按先后顺序，因此r r a a a a 121- 与121a a a a r r -是同一组合，因此一种组合对应!r 种排列，共有：!)1()1(r r n n n +-- =)!(!!r n r n -=rn C 二、集合论（不妨假设所有集合全为Ω的子集）（一）A B ⊂，A 是B 的子集，即集合A 的元素全部属于集合B 。
例：{}全体实数=R {}全体自然数=N 则：R N ⊂（二）B A =B A ⊂⇔且A B ⊂分析：定义蕴涵了证明两个集合相等的方法。
（三）B A C =或B A C +=，即集合C 包含集合A 和集合B 的全部元素，但不包含其它元素。
例：{}全体有理数=A {}全体无理数=B 则：{}R B A C ==+=全体实数 1．运算规律（1）交换律 A B B A =（2）结合律 )()(C B A C B A =特别地：若B A ⊂，则：B B A =A A =Φ Ω=Ω A A A A =2．推广情形集合的并运算可以推广到有限个、可数多个甚至到不可数情形，为了阐述清楚，下面补充可数集合的定义。
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第二节 排列与组合 【最新考纲】 1•理解排列、组合的概念 2理解排列数公式、组
合数公式.3•能利用公式解决一些简单的实际问题.
©I基础梳理
1.排列与组合的概念 名称 定义
排列 从斥个不同元素中取 出m
( m n)个不同 元素
按照一定的顺序排成 一列
组合 合成一组 2•排列数与组合数 (1)从n个不同元素中取出 m(m < n)个元素的所有不同排列的个 数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数. (2)从n个不同元素中取出 m(m < n)个元素的所有 不同组合的个 数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.
3. 排列数、组合数的公式及性质 ⑴ A： = n(H- 1 ) (/? - 2) - (??- Z7? + I)
— 川 (n — m)!
f =垃—7』(〃一 1)(川一 一加+ 1)
\ Z J m I 特别地C：=l
1. (质疑夯基)判断下列结论的正误.(正确的打“"”，错误的 打 “X” ) (1) 所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( ) (2) 两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. ( ) (3) 若组合式Cx= C],则x= m成立.( )
(4) 排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出 的元素也各不相同的情况.也就是说，如果某个元素已被取出，则这 个元素就不再取了.( )
答案：⑴ x (2)V (3)X (4)V 2. 有A, B, C, D, E五位学生参加网页设计比赛，决出了第 一到第五的名次.A , B两位学生去问成绩，老师对 A说：你的名次 不知道，但肯定没得第一名；又对 B说：你是第三名.请你分析一
叶！ m ! (”一
m) J
(7?^7? 6 NJ，且皿冬打)*
公式
性质 (1)0! — 1 ； A” = Tt!. (2)C；=C：-w,；C：+1=C：+Cr1 下，这五位学生的名次排列的种数为 （ ） A． 6 B．18 C． 20 D．24 解析：由题意知，名次排列的种数为 C!A3= 18. 答案： B 3. （2015广东卷改编）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此 给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言 （ ） A. 1 560条 B. 780 条 c. 1 600条 D. 800 条 解析：由题意，得毕业留言共 A4o = 1 560（条）. 答案： A 4. 我们把各位数字之和为 6 的四位数称为“六合数” （如 2013 是“六合数” ），则“六合数”中首位为 2 的“六合数”共有 （ ） A. 18 个 B. 15 个 c. 12 个 D. 9 个 解析：根据“六合数 ”的定义可知， 当首位为 2 时，其余三位是 数组（0， 0， 4）， （0， 1， 3）， （0， 2， 2）， （1， 1， 2）的所有排列，即共 有 3+A3+3+ 3 = 15（个）. 答案： B 5. （2016唐山调研）某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻 村第一书记， 则甲、 乙至少有 1 人入选， 而丙没有入选的不同选法的 种数为 （ ）A. 85 B. 56 C. 49 D. 28
解析：法一（直接法）甲、乙两人均入选，有 c；c2种方法. 甲、乙两人只有1人入选，有c2c2种方法， 二由分类加法计数原理，共有 c；c7+49种选法. 法二（间接法）从9人中选3人有c3种方法. 其中甲、乙均不入选有c7种方法， •••满足条件的选排方法是 c3-c3= 84- 35= 49（种）. 答案：c --------------------- _［名师微博•通法领悟｝ ------------------------ 一个区别 排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”. 取出元素 后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合. 两个公式
1.排列数公式： Am n! An = (n-m) !
2.组合数公式： m n! Cn = m ! ( n — m)!
三点提醒 1. 特殊元素、特殊位置优先原则. 2. 解受条件限制的组合题，通常用直接法（合理分类）和间接法（排 除法）来解决，分类标准应统一.
3. 解排列、组合的综合题一般是先选再排，先分组再分配. 四字口诀 求解排列组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列, 无序组合；分类相加，分步相乘.
一、选择题 1. 把6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐 法种数为（ ） A. 144 C. 72 D. 24 解析：先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个位置，再 把三人带椅子插放在四个位置，共有 A3 = 24（种）放法. 答案：D 2. （2014安徽卷）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对， 其中所成的角为60°的共有（ ） A. 24对 B. 30对 C. 48对 D. 60对 解析：正方体六个面的对角线共有12条，则有C12 = 66对，而 相对的两个面中的对角线其夹角都不是 60°,则共有3XC4 = 18对, 而其余的都符合题意.因此满足条件的对角线共有 66- 18= 48（对）. 答案：C 3. 某班班会准备从甲、乙等 7名学生中选派4名进行发言，要
B. 120 盔:高效提能 !■ h * U 求甲、乙两人至少有一人参加.当甲、乙同时参加时，他们两人的发 言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为 ( ) A． 360 B． 520 C． 600 D．720
解析：当甲或乙只有一人参加时，不同的发言顺序的种数为 2C35
A4= 480,当甲、乙同时参加时，不同的发言顺序的种数为 A2A2= 120, 则不同的发言顺序的种数为 480+ 120= 600. 答案：C 4. (2016青岛二模)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏 导交通,每个路口至少一人,且甲、乙在同一路口的分配方案共有 () A. 18种 B. 24种 C. 36 种 D. 72 种
解析：1个路口 3人，其余路口各1人的分配方法有C3C2A3种.1 个路口 1人，2个路口各2人的分配方法有C3C2A3种.
•••由分类加法计数原理，甲、乙在同一路口的分配方案为 C3C2A； + C2C2A3=36(种). 答案： c 5. 某外商计划在 4个候选城市中投资 3个不同的项目,且在同 一个城市投资的项目不超过 2个,则该外商不同的投资方案有 ( ) A. 16种 B. 36种 c. 42 种 D. 60 种 解析： 法一 (直接法) 若 3个不同的项目投资到 4个城市中的 3个，每个城市一项，共A3种方法；若3个不同的项目投资到4个城 市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共 C§A4种方法.由分类 加法计数原理知共A：+ C2A4= 60种方法. 法二 （间接法 ） 先任意安排 3 个项目，每个项目各有 4 种安排 方法，共43= 64种排法，其中3个项目落入同一城市的排法不符合 要求共4种，所以总投资方案共43- 4= 64- 4= 60（种）. 答案：D 6．某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、 2 个小品类节目和 1 个 相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是 （ ） A． 72 B． 120 c． 144 D． 168 解析：先不考虑小品类节目是否相邻， 保证歌舞类节目不相邻的 排法共有A3 • A34 = 144种，再剔除小品类节目相邻的情况，共有 A： • A2 • A2= 24种，于是符合题意的排法共有 144- 24= 120种. 答案： B 二、填空题 7．7 位身高均不等的同学排成一排照相，要求中间最高，依次 往两端身高逐渐降低，共有 ____________ 种排法． 解析： 先排最中间位置有 1 种排法， 再排左边 3 个位置， 由于顺 序一定，共有C6种排法，再排剩下右边三个位置，共 1种排法，所 以排法种数为 c63= 20（种 ）． 答案： 20 8 .若把英语单词 good'的字母顺序写错了，则可能出现的错 误种数共有 ___________ 种． 解析：把 g、o、o、d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步： 排g和d,共有A2种排法；第二步：排两个o,共1种排法，所以总 的排法种数为A2= 12（种）.其中正确的有一种，所以错误的共 A4- 1 =12- 1 = 11（种）. 答案： 11 9. 四名优等生保送到三所学校去,每所学校至少得一名,则不 同的保送方案有 _______ 种. 解析：分两步：先将四名优等生分成2, 1, 1三组，共有c2种； 而后，对三组学生全排三所学校，即进行全排列，有 A3种.依分步 乘法计数原理,共有 N= c42A33= 36（种）.
答案： 36 10. 将 A、B、c、D、E、F 六个字母排成一排,且 A、B 均在 c 的同侧,则不同的排法共有 _________ 种（用数字作答 ）. 解析：分两步：①任意选3个空排A、B、C,共有C6 • C2 • A2
种排法.②排其余的3个字母，有A3种排法，所以由分步乘法计数 原理，共有c3 • c2 • A2 • A3=480（种）排法. 答案： 480 三、解答题