九年级数学上册 第一章 二次函数 微专题 二次函数与一元二次方程(不等式)的关系随堂练习(含解析)(

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微专题__二次函数与一元二次方程(不等式)的关系
(教材P30作业题第2题)
用两种不同的图解法求方程x2－2x－5＝0的解(精确到0.1)．
解：解法一：作出函数y＝x2，y＝2x＋5的图象(图略)，观察图象交点的横坐标得方程的解
为x1≈－1.4，x2≈3.4；
解法二：作出函数y＝x2－2x－5的图象(图略)，观察图象与x轴交点的横坐标得方程的解
为x1≈－1.4，x2≈3.4.
【思想方法】 (1)令二次函数y＝ax2＋bx＋c中的y＝0，则原式变为一元二次方程ax2＋
bx
＋c＝0；令一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的不等号变为等号，则原式变为一元二次方程
ax
2
＋bx＋c＝0.
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的两交点的横坐标x1，x2(x1＜x2)，即为一元二次
方程ax2＋bx＋c＝0的两根(抛物线与x轴有一个交点，即方程有两个相同的根；抛物线与
x
轴没有交点，即方程无实数根)．
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a>0)的解集是x＜x1或x＞x2；一元二次不等式ax2＋bx＋
c
＜0(a>0)的解集是x1＜x＜x2.
(3)判别：b2－4ac>0⇔抛物线与x轴有两个交点；
b2－4ac＝0⇔抛物线与x
轴有一个交点；

b2－4ac<0⇔抛物线与x
轴没有交点．

二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( D )
A．k＜3 B．k＜3且k≠0
C．k≤3 D．k≤3且k≠0
函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图1所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根
的情况是( C )

图1
A．有两个不相等的实数根
B．有两个异号实数根
2

C．有两个相等的实数根
D．无实数根
设二次函数y＝x2＋bx＋c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那
么c的取值范围是( B )
A．c＝3 B．c≥3
C．1≤c≤3 D．c≤3
[2017·泰安]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：
x … －1 0 1 3
…

y … －3 1 3 1
…

下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x＝1；③当x＜1时，函数值y随
x
的增大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4.其中正确的结论有( B )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】 由表格所给出的自变量与函数值变化趋势，可知随x的值增大，y值先增大后变
小，抛物线的开口向下；由对称性知其图象的对称轴为x＝32，所以当x＜1时，函数值y随
x的增大而增大；由表可知，方程ax2＋bx＋c
＝0的根在－1与0和3与4之间．综上正确

的结论有2个．此题也可求出表达式进行判断．
[2016·沈阳]在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋2x－3的图象如图2所示，
点A(x1，y1)，B(x2，y2)是该二次函数图象上的两点，其中－3≤x1＜x2≤0，则下列结论正确
的是( D )

图2
A．y1＜y2 B．y1＞y2
C．y的最小值是－3 D．y的最小值是－4
【解析】 ∵y＝x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)，
∴该抛物线与x轴的两交点横坐标分别是－3，1.
3

∵y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，
∴该抛物线的顶点坐标是(－1，－4)，对称轴为直线x＝－1.
A．无法确定点A，B离对称轴直线x＝－1的远近，故无法判断y1与y2的大小，故本选项错
误；
B．理由同A.故本选项错误；
C．y的最小值是－4，故本选项错误；
D．y的最小值是－4，故本选项正确．故选D.
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象如图3所示，下列结论：①abc＞0；②2a＋
b
＝0；③当m≠1时，a＋b＞am2＋bm；④a－b＋c＞0；⑤若ax21＋bx1＝ax22＋bx2，且x1≠x2，
则x1＋x2＝2.其中正确的有( D )

图3
A．①②③ B．②④
C．②⑤ D．②③⑤
【解析】 ∵抛物线开口向下，∴a＜0.
∵抛物线对称轴为直线x＝－b2a＝1，
∴b＝－2a＞0，即2a＋b＝0，∴②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，∴abc＜0，∴①错误；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最大值为a＋b＋c，
∴当m≠1时，a＋b＋c＞am2＋bm＋c，即a＋b＞am2＋bm，∴③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在(3，0)的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在(－1，0)的右侧，
∴当x＝－1时，y＜0，∴a－b＋c＜0，∴④错误；
∵ax21＋bx1＝ax22＋bx2，
4

∴ax21＋bx1－ax22－bx2＝0，
∴a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(x1－x2)＝0，
∴(x1－x2)[a(x1＋x2)＋b]＝0，
∵x1≠x2，∴a(x1＋x2)＋b＝0，即x1＋x2＝－ba.
又∵b＝－2a，∴x1＋x2＝2，∴⑤正确．故选D.
[2017·攀枝花]如图4，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，B点坐标为
(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点
F，求PE＋EF
的最大值．

图4 备用图

解：(1)由题意得32＋3b＋c＝0，c＝3，解得b＝－4，c＝3，
∴抛物线的表达式为y＝x2－4x＋3；
(2)方法1：如答图①，过P作PG∥CF交CB于G，由题意知∠BCO＝∠CFE＝45°，
∵F(0，m)，C(0，3)，
∴△CFE和△GPE均为等腰直角三角形，

∴EF＝22CF＝22(3－m)，PE＝22PG，
设xP＝t(1＜t＜3)，则PE＝22PG＝22(－t＋3－t－m)＝22(－2t－m＋3)，t2－4t＋3＝
t
＋m，
∴PE＋EF＝22(－2t－m＋3)＋22(3－m)＝22(－2t－2m＋6)＝－2(t＋m－3)＝－2(
t
2
－4t)＝－2(t－2)2＋42，
∴当t＝2时，PE＋EF取最大值42.
方法2：(几何法)由题易知直线BC的表达式为y＝－x＋3，OC＝OB＝3，∴∠OCB＝45°.
5

同理可知∠OFE＝45°，∴△CEF为等腰直角三角形，

变形7答图① 变形7答图②
如答图②，以BC为对称轴将△FCE对称得到△F′CE，作PH⊥CF′于H点，则PE＋EF＝PF′
＝2PH.
∵PH＝yc－yp＝3－yp，
∴当yp最小时，PE＋EF取最大值，
∵抛物线的顶点坐标为(2，－1)，
∴当y＝－1时，(PE＋EF)max＝2×(3＋1)＝42.
[2016·杭州]已知函数y1＝ax2＋bx，y2＝ax＋b()ab≠0在同一平面直角坐标系中．
(1)若函数y1的图象过点(－1，0)，函数y2的图象过点(1，2)，求a，b的值；
(2)若函数y2的图象经过y1的顶点．
①求证：2a＋b＝0；
②当1

解：(1)由题意，得a－b＝0，a＋b＝2，解得a＝1，b＝1；
(2)①证明：∵函数y1的图象的顶点坐标为－b2a，－b24a，
∴a－b2a＋b＝－b24a，即b＝－b22a，
∵ab≠0，∴－b＝2a，∴2a＋b＝0；
②∵b＝－2a，∴y1＝ax()x－2，y2＝a()x－2，
∴y1－y2＝a()x－2()x－1.
∵10，
∴()x－2()x－1<0，
∴当a>0时，a()x－2()x－1<0，即y16

当a<0时，a()x－2()x－1>0，即y1>y2.