九年级数学上册 切线长定理公开课课件 人教新课标版
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切线长定理公开课幻灯片课件
CD=CE=AC﹣AE=13﹣x
BD=BF=AB﹣AF=9﹣x ∵ BD+CD=BC
A
x
x F9
9﹣x
∴（13﹣x）+（9﹣x）=14 13 E
解得 X=4 因此 AE=4 cm
13﹣x
BD=5 cm
B O
9﹣x
D 14
13﹣x
CE=9 cm
C
例题：如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别
9cm
A
2 F
E 4
7
C
B
D
练一练
2、如图，△ABC中，∠ AB∠CA=6=04°0°，∠ACB=80 °，点O
是△ABC的内心，求∠ BOC的度数。
解：∵点O是△ABC的内心
A
解：∴∵∠点OOB是C△= A1B∠CA的BC内心
1 12
∠O∴C∠BO=B12C∠=AC2 ∠BABC=30°
OO
∴∴∠∠∠OBBCOOBCC=======111211∠18888180A0000°0°°°°C°B---- -=12∠∠1 34OO∠00(BBA°°∠CCBA-C--B40∠∠C-°OO+CC12 ∠BB∠AACCBB)
相切于点D、E、F，且AB=9cm,BC=14cm，CA=13cm，求 AE、BD、CE的长。
解：设AE=x (cm), 则AF=x (cm)
设CD=y，则CE=y 设BD=z，则BF=y
由题意得
A
x y
y z
13 14
z x 9
(1 ) (2 ) (3 )
x
x F9
z
13 E
B
O
2、如图PA、PB切圆于A、B两点，APB50 连结PO，
人教版初中九年级上册数学课件 《直线和圆的位置关系》圆(第3课时切线长定理和三角形的内切圆)
A．60° C．30°或 120°
B．120° D．60°或 120°
11
9．【四川泸州中考】如图，等腰△ABC 的内切圆⊙O 与 AB、BC、CA 分别相切 于点 D、E、F，且 AB＝AC＝5，BC＝6，则 DE 的长是( D )
A．31010 C．355
B．3
10 5
D．655
12
10．如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝3，连接 AC，⊙P 和⊙Q 分别是△ABC 和△ADC 的内切圆，则 PQ 的长是( B )
15
13．如图，在△ABC 中，内切圆 I 和边 BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F， 若∠A＝70°，则∠FDE 的度数为____5_5__°___.
16
14．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、 AB分别相切于点D、E、F，且AB＝9cm，BC ＝14cm，CA＝13cm，求AF、BD、CE的长．
第二十四章 圆
直线和圆的位置关系
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
以练助学
名师点睛
知识点1 切线长和切线长定理 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之 间线段的长，叫做这点到圆的切线长． 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切 线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线 平分这两条切线的夹角． 核心提示：(1)从圆外任意一点都可以引圆的 两条切线，过圆上一点只能引圆的一条切
2
线．(2)切线长定理主要用于证明线段相等、角
知识点2 三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切 圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交 点，叫做三角形的内心，这个三角形叫做这个 圆的外切三角形． 【典例】如图，PA、PB是⊙O的切线，切点 分别是点A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点 为点Q，分别交PA、PB于点F、E.已知PA＝12cm， 求△PEF的周长．
切线长定理及三角形的内切圆(第3课时)九年级数学上册课件(人教版)
三角形的内切圆，掌握内心的性质.（重点）
1.切线长定理及应用
互动探究
问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线 (如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的 切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
A
P O
B
A
O.
P
B
知识要点
1.切线长的定义：
切线上一点到切点
A
之间的线段的长叫做这
则S△OBC=
1 2
ar,
S△OBA=
1
cr,
2
1 S△OAC= 2 br,
S△ABC=S△OBC +S△OBA +S△OAC
B
=
1 ar
2
+
12cr
+12
br
= 1 r（a+c+b）
2
= 12lr
A
M
· r r O r
D
N C
练一练
4.如图,在△ABC中,点P是△ABC的内心,则 ∠PBC+∠PCA+∠PAB= 90° .
1. PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3.
A
（1）若AP=4,则OP= 5 ;
O
P
（2）若∠BPA=60 °,则OP= 6 .
B
例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如 下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为
30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到 相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相
3．【中考·云南】如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、 AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA ＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( A )
1.切线长定理及应用
互动探究
问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线 (如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的 切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
A
P O
B
A
O.
P
B
知识要点
1.切线长的定义：
切线上一点到切点
A
之间的线段的长叫做这
则S△OBC=
1 2
ar,
S△OBA=
1
cr,
2
1 S△OAC= 2 br,
S△ABC=S△OBC +S△OBA +S△OAC
B
=
1 ar
2
+
12cr
+12
br
= 1 r（a+c+b）
2
= 12lr
A
M
· r r O r
D
N C
练一练
4.如图,在△ABC中,点P是△ABC的内心,则 ∠PBC+∠PCA+∠PAB= 90° .
1. PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3.
A
（1）若AP=4,则OP= 5 ;
O
P
（2）若∠BPA=60 °,则OP= 6 .
B
例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如 下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为
30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到 相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相
3．【中考·云南】如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、 AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA ＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( A )
24.2.2.4 切线长定理(第4课时)(优秀经典公开课比赛课件)
切线 切线长
联系
（三）探究切线长定理：
如图，已知 PA、PB 是⊙O 的两条切线，试指出图中相等的量，并证明.
A
O
P
切线长定理：过圆外一点所画的圆的_____条切线长相等. 该定理用数学符号语言叙述为：
∵ ∴
三、课堂练习
1. 如图，⊙O 与△ ABC 的边 BC 相切，切点为点 D，与 AB、AC 的延长线相切，切点分 别为店 E、F，则图中相等的线段有_________________________________.
2.如图，PA，PB 分别为⊙O 的切线，AC 为直径，切点分别为 A、B，∠ P=70°，则∠ C=
.
3.如图，PA、PB 分别切圆 O 于 A、B，并与圆 O 的切线，分别相交于 C、D，•已知 PA=7cm，
则△ PCD 的周长为_______.
A P
O
B C 第5题
DA
P
O
CB
4.如图：已知 AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为 B，OC 平行于弦 AD. 求证：DC 是⊙O 的切线.
是
，内切圆的圆心叫做三
角形的
.会利用基本作图完成：作三角形的内切圆.
（一）探究切线长的定义： 如下图，过⊙O 外一点 P，画出⊙ O 的所有切线.
•
·O
P
定义：过圆外一点，可以作圆的______条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
（二） 探究切线与切线长的区别和联系： 区别
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24．2.2 切线长定理 (第4课时)
一、预习检测
1.经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的
联系
（三）探究切线长定理：
如图，已知 PA、PB 是⊙O 的两条切线，试指出图中相等的量，并证明.
A
O
P
切线长定理：过圆外一点所画的圆的_____条切线长相等. 该定理用数学符号语言叙述为：
∵ ∴
三、课堂练习
1. 如图，⊙O 与△ ABC 的边 BC 相切，切点为点 D，与 AB、AC 的延长线相切，切点分 别为店 E、F，则图中相等的线段有_________________________________.
2.如图，PA，PB 分别为⊙O 的切线，AC 为直径，切点分别为 A、B，∠ P=70°，则∠ C=
.
3.如图，PA、PB 分别切圆 O 于 A、B，并与圆 O 的切线，分别相交于 C、D，•已知 PA=7cm，
则△ PCD 的周长为_______.
A P
O
B C 第5题
DA
P
O
CB
4.如图：已知 AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为 B，OC 平行于弦 AD. 求证：DC 是⊙O 的切线.
是
，内切圆的圆心叫做三
角形的
.会利用基本作图完成：作三角形的内切圆.
（一）探究切线长的定义： 如下图，过⊙O 外一点 P，画出⊙ O 的所有切线.
•
·O
P
定义：过圆外一点，可以作圆的______条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
（二） 探究切线与切线长的区别和联系： 区别
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24．2.2 切线长定理 (第4课时)
一、预习检测
1.经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的
九年级数学切线长定理课件人教版
B
OP垂直平分AB
O
。
M
P
A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB
∵OA=OB
∴OP垂直平分AB
例题讲解： 已知：如图，PA，PB是⊙O 的两条切线，A、B为切点。直线OP交⊙O 于点D、E，交AB于点C。 （1）写出图中所有的垂直关系； B OA⊥PA，OB⊥PB， OP⊥AB
:
.A 1.切线长：在经过 圆外一点的圆的切 F o. . P D 线上，这点和切点 .B 小 之间的线段的长， 结 叫做这点到圆的切 ： 线长。 2.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切 线，它们的切线长相等，圆心和这一点的 连线平分两条切线的夹角。
达 标 检 测
已知：如图，P为⊙ O外一点，PA、 PB 为⊙ O 的切线，A和B是切点， BC是直径 求证：AC∥OP
（2）写出图中所有的全 E 等三角形；
O
。
C D A
P
△OAP≌△OBP;△OCA≌△OCB △ACP≌△BCP
（3）图中有哪些线段相等(除半径外)、弧相 等？ PB=PA;BC=AC 弧BD=弧AD; 弧EB=弧EA
A E P
O C B
D
（5）如果PA=4cm，
PD=2，①求半径OA的长。
②求弦AB的长。
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上， 这点和切点之间的线段的长，叫做这 点到圆的切线长。
A P
思考： 切线长 和切线 的区别？
O
B
小结：切线是直线，不可以度量；切线长 是指切线上的一条线段的长，可以度量。
探索！
o.
.BA
B B A B
.P
OB是⊙O的一条半径吗？PB是 线段PA与PB， ∠ APO 与∠BPO ⊙O的切线吗？ 有什么关系？
OP垂直平分AB
O
。
M
P
A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB
∵OA=OB
∴OP垂直平分AB
例题讲解： 已知：如图，PA，PB是⊙O 的两条切线，A、B为切点。直线OP交⊙O 于点D、E，交AB于点C。 （1）写出图中所有的垂直关系； B OA⊥PA，OB⊥PB， OP⊥AB
:
.A 1.切线长：在经过 圆外一点的圆的切 F o. . P D 线上，这点和切点 .B 小 之间的线段的长， 结 叫做这点到圆的切 ： 线长。 2.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切 线，它们的切线长相等，圆心和这一点的 连线平分两条切线的夹角。
达 标 检 测
已知：如图，P为⊙ O外一点，PA、 PB 为⊙ O 的切线，A和B是切点， BC是直径 求证：AC∥OP
（2）写出图中所有的全 E 等三角形；
O
。
C D A
P
△OAP≌△OBP;△OCA≌△OCB △ACP≌△BCP
（3）图中有哪些线段相等(除半径外)、弧相 等？ PB=PA;BC=AC 弧BD=弧AD; 弧EB=弧EA
A E P
O C B
D
（5）如果PA=4cm，
PD=2，①求半径OA的长。
②求弦AB的长。
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上， 这点和切点之间的线段的长，叫做这 点到圆的切线长。
A P
思考： 切线长 和切线 的区别？
O
B
小结：切线是直线，不可以度量；切线长 是指切线上的一条线段的长，可以度量。
探索！
o.
.BA
B B A B
.P
OB是⊙O的一条半径吗？PB是 线段PA与PB， ∠ APO 与∠BPO ⊙O的切线吗？ 有什么关系？
人教版九年级数学课件-切线长定理
即 1AC•BC1AC•r1BC•r1AB•r ，所以 r 1 AC BC AB ，代入數據
2
222
2
得r=1cm.
方法小結：直角三角形的外接圓半徑等於斜邊長的一半，
內接圓半徑
r abc 2
.
（2）若移動點O的位置，使⊙O保持與
A
△ABC的邊AC、BC都相切，求⊙O的半徑r
的取值範圍.
D
24.2 直線和圓的位置關係
第3課時 切線長定理
學習目標
1.掌握切線長定理，初步學會運用切線長定理進行計算 與證明.（重點）
2.瞭解有關三角形的內切圓和三角形的內心的概念. 3.學會利用方程思想解決幾何問題，體驗數形結合思想. （難點）
問題1 上節課我們學習了過圓上一點作已知圓的切線（如
左圖所示），如果點C是圓外一點，又怎麼作該圓的切線
⑵ ∠DOE= 70°. P
DA
C
O
E B
例2 △ABC的內切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切於點D、
E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE
的長. A
想一想：圖中你能找出哪些相等的線段？
理由是什麼？
F
解:設AF=xcm，則AE=xcm.
E O
∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)，
2
總結歸納
設Rt△ABC的直角邊為a、b，斜邊為c，則Rt△ABC
的內切圓的半徑 r＝ a＋b－c 2
ab
或r＝ a＋b＋c
當堂練習
1.如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，切點分別是A、B，如
果AP=4, ∠APB= 40 ° ,則∠APO=20 ° ,PB=4 .
人教版九年级数学上册切线长定理课件
若从⊙O外的一点引两条切线PA，PB，切点分别
是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结论？
并证明你所发现的结论。
B
PA = PB
。
P
∠OPA=∠OPB
O
A 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
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1、切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线.
1.经过半径的外端； 2.与半径垂直．
几何应用:
OA是⊙O的半径 OA⊥l于A
.O
L A
l是⊙O的切线.
2、切线的性质定理
圆的切线垂直于过切 点的半径
几何应用:
∵L是⊙O的切线 ， ∴OA⊥L
.O
L A
过圆外一点可以引圆的几条切线？
（2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。
A
∵ OA=OB，OP=OP
3、通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度。
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两 条切线的夹角。
切线长定理的基本图形的研究
1、理解切线长的概念，掌握切线长定理。
切点，直线OP交于⊙O于点D、E， E 交AB于C。
O CD
P
（1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
B
（2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
（3）写出图中所有的全等三角 形△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
人教九年级数学上册《切线长定理课件》课件
A
D
P
·O
E
C B
例题3
、如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆 ⊙O分别相切于点L、M、N、P，
求证： AD+BC=AB+CD 证明：由切线长定理得
C N
பைடு நூலகம்
∴AL=AP，LB=学M科B网 ,NC=MCD， DN=DP
M O
P
∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP
即 AB+CD=AD+BC
请证明你所发现的结论。 B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
O
P
学 科网
A 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
试用文字语言 叙述你所发现 的结论
∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
AL
B
想一想
A
反思：在解决有关圆的
切线长问题时，往往需
。
要我们构建基本图形。 O
P
学 科网
B
（1）分别连结圆心和切点
（2）连结两切点
（3）连结圆心和圆外一点
思考
如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下
一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?
I
D
内切圆和内心的定义:
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
连结OA、OB、OC、OD、OE、OF， D
F
则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
O·
∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC ＋S△AOC B
D
P
·O
E
C B
例题3
、如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆 ⊙O分别相切于点L、M、N、P，
求证： AD+BC=AB+CD 证明：由切线长定理得
C N
பைடு நூலகம்
∴AL=AP，LB=学M科B网 ,NC=MCD， DN=DP
M O
P
∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP
即 AB+CD=AD+BC
请证明你所发现的结论。 B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
O
P
学 科网
A 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
试用文字语言 叙述你所发现 的结论
∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
AL
B
想一想
A
反思：在解决有关圆的
切线长问题时，往往需
。
要我们构建基本图形。 O
P
学 科网
B
（1）分别连结圆心和切点
（2）连结两切点
（3）连结圆心和圆外一点
思考
如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下
一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?
I
D
内切圆和内心的定义:
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
连结OA、OB、OC、OD、OE、OF， D
F
则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
O·
∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC ＋S△AOC B