最新数学冀教版初中九年级下册29.4切线长定理公开课教学设计

294 切线长定理

1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．

2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．

3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．

一、情境导入

新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．、

二、合作探究

探究点一：切线长定理 【类型一】利用切线长定理求三角形的周长

如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，

切点在(AB ︵)上．若PA 长为2，则△PEF 的周长是________．

解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB ，因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为，所以EA ＝E ，F ＝BF ，所以△PEF 的周长PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋E ＋F ＋PF ＝(PE ＋E )＋(F ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4

【类型二】利用切线长定理求角的大小

如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点在⊙O上，如果∠AB＝70°，

那么∠OPA的度数是________度．

解析：如图所示，连接OA、OB∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°又∵∠AOB＝2∠AB＝140°，∴∠APB＝360°－∠PAO－∠AOB －∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝错误!∠APB ＝20°故答案为20

方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB

【类型三】切线长定理的实际应用

为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面

上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5c，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．

解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA∵AP、AQ为⊙O的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO又∠BA＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BA＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝55(c)，即铁环的半径为55c

探究点二：三角形的内切圆

【类型一】求三角形的内切圆的半径

如图，⊙O是边长为2的等边△AB的内切圆，则⊙O的半径为________．

解析：如图，连接OD 由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以∠OD ＝30°，OD ⊥B ，所以D ＝错误!B ，O ＝2OD 又由B ＝2，则D ＝1在Rt △OD 中，根据勾股定理得OD 2＋D 2＝O 2，所以OD 2＋12＝(2OD )2

，所以OD ＝错误!即⊙O 的半径为错误!

方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等． 【类型二】求三角形的周长

如图，Rt △AB 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，B 分别相切于点D 、E ，过劣弧(DE ︵)

(不包括端点D 、E )上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB 、B 分别交于点M 、N 若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( ) A ．r B 错误!r ．2r D 错误!r

解析：连接OD ，OE ，∵⊙O 是Rt △AB 的内切圆，∴OD ⊥AB ，OE ⊥B 又∵MD ，MP 都是⊙O 的切线，且D 、P 是切点，∴MD ＝MP ，同理可得NP ＝NE ，∴Rt △MBN ＝MB ＋BN ＋NM ＝MB ＋BN ＋NP ＋PM ＝MB ＋MD ＋BN ＋NE ＝BD ＋BE ＝2r ，故选

三、板书设计

教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题．明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等