2009届高三数学二轮专题复习教案――平面向
高考数学二轮复习 第一部分专题二 三角函数与平面向量 第3讲 平面向量课件 理
且 α＋β＝1.
3．辨明易错易混点 (1)若 a＝0，则 a·b＝0，但由 a·b＝0，不能得到 a＝0 或 b＝0， 因为 a⊥b，a·b＝0. (2)两向量夹角的范围为[0，π]，向量的夹角为锐角与向量的 数量积大于 0 不等价．
[思路点拨] (1)以向量A→B，A→C为基底，利用向量的加减运算 和平面向量基本定理求解． (2)利用向量的坐标运算和向量共线定理求解． [解析] (1)A→D＝A→C＋C→D＝A→C＋13B→C＝A→C＋13(A→C－A→B)＝43 A→C－13A→B＝－13A→B＋43A→C. (2)因为(a＋kc)∥(2b－a)， 又 a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)， 所以 2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0， 所以 k＝－1163.
2．活用性质与结论
(1)平面向量的三个性质
①若 a＝(x，y)，则|a|＝ a·a＝ x2＋y2；
②若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|A→B|＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2；
③若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为 a 与 b 的夹角，
则 cos
θ＝ a·b ＝
|a||b|
A．(2，0)
B．(0，－2)
C．(－2，0)
D．(0，2)
解析：因为 a 在基底 p，q 下的坐标为(－2，2)，即 a＝－2p
＋2q＝(2，4)，令 a＝xm＋yn，则 a＝(－x＋y，x＋2y)＝(2，
4)，所以－x＋x＋2y＝y＝42，，解得xy＝＝20.，所以 a 在基底 m2＋y1y2
.
x12＋y21 x22＋y22
高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题二 三角函数、
考点三
考点一 考点二 考点三
根据上面所做题目，请填写诊断评价
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考点 错题题号
诊
知识性 方法性 运算性 审题性
断 考点一
评 价 考点二
考点三
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考点一
考点一 考点二 考点三
平面向量的概念及线性运算 [经典结论·全通关]
1．在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一 个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减 法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量． 2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底， 并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运 算来解决． 3．向量 a 与 b 共线(b≠0)⇔存在实数 λ 使得 a＝λb.
试题 解析
首先将所求向量用等边三角形的边表示的向量表示出来，再利用 数量积的定义求解． 如图所示，A→F＝A→D＋D→F. 又 D，E 分别为 AB，BC 的中点， 且 DE＝2EF，所以A→D＝12A→B， D→F＝12A→C＋14A→C＝34A→C， 所以A→F＝12A→B＋34A→C.
考点二
考点三
考点一 考点二 考点三
试题 解析
(1)∵m⊥n，∴m·n＝0.
故
2 2 sin
x－
2 2 cos
x＝0，∴tan
x＝1.
(2)∵m
与
n
的夹角为π3，∴cos〈m，n〉＝|mm|··|nn|＝
2 2 sin
x－
2 2 cos
1×1
x＝12，
故 sinx－π4＝12. 又 x∈0，π2，∴x－π4∈－π4，π4，x－π4＝π6，即 x＝51π2.
高考数学二轮复习精品教学案专题06平面向量(教师版).
【2013考纲解读】1. 理解平面向量的概念与几何表示、两个向量相等的含义;掌握向量加减与数乘运算及其意义;理解两个向量共线的含义,了解向量线性运算的性质及其几何意义.2．了解平面向量的基本定理及其意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;理解用坐标表示的平面向量共线的条件.3．理解平面向量数量积的含义及其物理意义;了解平面向量数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.【知识络构建】【重点知识整合】1．平面向量的基本概念2．共线向量定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λ·a.如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1或者x1y2－x2y1＝0，即用坐标表示的两个向量平行的充要条件是它们坐标的交叉之积相等．当其中一个向量的坐标都不是零时，这个充要条件也可以写为x 2x 1＝y 2y 1，即对应坐标的比值相等．3．平面向量基本定理对于任意a ，若以不共线的向量e 1，e 2作为基底，则存在唯一的一组实数对λ，μ，使a ＝λe 1＋μe 2.4．向量的坐标运算a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa＝(λx 1，λy 1)．5．数量积(1)已知a ，b 的夹角为〈a ，b 〉＝θ(θ∈[0，π])，则它们的数量积为a ·b ＝|a |·|b |cos θ，其中|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影，向量的数量积满足交换律、数乘结合律和分配律，但不满足结合律，即a ·(b ·c )≠(a ·b )·c ；(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2； (3)两非零向量a ，b 的夹角公式为cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22；(4)|a |2＝a ·a .(5)两个向量垂直的充要条件就是它们的数量积等于零． 【高频考点突破】考点一 向量的有关概念和运算(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，与a 同向的单位向量为a|a |.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)． 例1、已知关于x 的方程：·x 2＋·2x ＋＝0(x ∈R)，其中点C 为直线AB 上一点，O 是直线AB 外一点，则下列结论正确的是 ( )A ．点C 在线段AB 上B ．点C 在线段AB 的延长线上且点B 为线段AC 的中点 C ．点C 在线段AB 的反向延长线上且点A 为线段BC 的中点D ．以上情况均有可能【方法技巧】解决向量的有关概念及运算问题要注意以下几点(1)正确理解向量的基本概念；(2)正确理解平面向量的基本运算律，a ＋b ＝b ＋a ，a ·b ＝b ·a ，λa ·b ＝λ(a ·b )与a (b ·c )≠(a ·b )c ；(3)相等向量、相反向量、单位向量、零向量，在概念考查中 一定要重视，如有遗漏，则会出现错误. 考点二 平面向量的数量积1． 两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值确定．2．求非零向量a ，b 的夹角一般利用公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a |·|b |先求出夹角的余弦值，然后求夹角；向量a 在向量b 方向上的投影为a ·b|b |.【方法技巧】(1)准确利用两向量的夹角公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |及向量模的公式|a |＝a ·a .(2)在涉及数量积时，向量运算应注意： ①a ·b ＝0，未必有a ＝0，或b ＝0； ②|a ·b |≤|a ||b |；③a (b ·c )与(a ·b )c 不一定相等.考点三 平面向量与三角函数的综合应用通过对向量的运算把问题转化为求三角函数的值、最值或研究三角函数的性质等问题，是高考中经常出现的题型．例3.已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)． (1)求向量b ＋c 的长度的最大值； (2)设α＝π4，且a ⊥(b ＋c )，求cos β的值．[解] (1)法一：由已知得b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，则 |b ＋c |2＝(cos β－1)2＋sin 2β＝2(1－cos β)． ∵－1≤cos β≤1，∴0≤|b ＋c |2≤4，即0≤|b ＋c |≤2. 当cos β＝－1时，有|b ＋c |max ＝2， 所以向量b ＋c 的长度的最大值为2. 法二：∵|b |＝1，|c |＝1，|b ＋c |≤|b |＋|c |＝2.当cos β＝－1时，有b ＋c ＝(－2,0)，即|b ＋c |＝2， 所以向量b ＋c 的长度的最大值为2.【难点探究】难点一 平面向量的概念及线性运算例1、 (1)a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )A ．λ1＝λ2＝－1B ．λ1＝λ2＝1C ．λ1·λ2＋1＝0D ．λ1λ2－1＝0(2) 设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R)，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R)，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2，已知点C (c,0)，D (d,0)(c ，d ∈R)调和分割点A (0,0)，B (1,0)，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C 、D 可能同时在线段AB 上D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上【点评】 向量的共线定理和平面向量基本定理是平面向量中的两个带有根本意义的定理．平面向量基本定理是平面内任意一个向量都可以用两个不共线的向量唯一线性表示，这个定理的一个极为重要的导出结果是，如果a ，b 不共线，那么λ1a ＋λ2b ＝μ1a ＋μ2b 的充要条件是λ1＝μ1且λ2＝μ2.共线向量定理有一个直接的导出结论，即如果OA →＝xOB →＋yOC →，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是x ＋y ＝1.【变式探究】(1)如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →(m ，n >0)，则1m ＋4n的最小值为( )A ．2B ．4 C.92 D ．9(2) 设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．【答案】(1)C (2)(－4，－2)【解析】 (1)MO →＝AO →－AM →＝AB →＋AC→2－1m AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1m AB →＋12AC →， 同理NO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n AC →＋12AB →，M ，O ，N 三点共线，故⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1m AB →＋12AC →＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n AC →＋12AB →，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1m －λ2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－λ2＋λn AC →＝0.难点二 平面向量的数量积例2 如图所示，P 为△AOB 所在平面内一点，向量OA →＝a ，OB →＝b ，且P 在线段AB 的垂直平分线上，向量OP →＝c .若|a |＝3，|b |＝2，则c ·(a －b )的值为( )A ．5B ．3 C.52 D.32【答案】C【解析】 设AB 中点为D ，c ＝OP →＝OD →＋DP →，所以c ·(a －b )＝(OD →＋DP →)·BA →＝OD →·BA →＋DP →·BA →＝OD →·BA →＝12(a ＋b )·(a －b )＝12(|a |2－|b |2)＝52.【点评】 平面向量问题的难点就是把平面向量的几何运算与数量积运算的结合，这里要充分利用平面向量的几何运算法则、平面向量的共线向量定理、两向量垂直的条件以及平面向量数量积的运算法则，探究解题的思想．【变式探究】(1)已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p 1：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3；p 2：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2π3，π；p 3：|a －b |＞1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3；p 4：|a －b |＞1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π.其中的真命题是( ) A ．p 1，p 4 B ．p 1，p 3 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 4(2)在△OAB 中，设OA →＝a ，OB →＝b ，则OA 边上的高等于________．难点三 平面向量的共线与垂直的综合运用例3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，左顶点为A ，若|F 1F 2|＝2，椭圆的离心率为e ＝12.(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 是椭圆上的任意一点，求PF 1→·PA →的取值范围；(3)已知直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆相交于不同的两点M ，N (均不是长轴的端点)，AH ⊥MN ，垂足为H 且AH →2＝MH →·HN →，求证：直线l 恒过定点．【解答】 (1)由已知得c ＝1，a ＝2，b ＝3，∴所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设P (x 0，y 0)，又A (－2,0)，F 1(－1,0)， ∴PF 1→·PA →＝(－1－x 0)(－2－x 0)＋y 20＝14x 20＋3x 0＋5. 由于P (x 0，y 0)在椭圆上，∴－2≤x 0≤2，可知f (x 0)＝14x 20＋3x 0＋5在区间[－2,2]上单调递增，∴当x 0＝－2时，f (x 0)取最小值为0；当x 0＝2时，f (x 0)取最大值为12，∴PF 1→·PA →的取值范围是[0,12]．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，由Δ>0得4k 2＋3>m 2.【点评】 本题是以考查解析几何基本问题为主的试题，但平面向量在其中起着关键作用．本题的难点是第三问，即把已知的垂直关系和向量等式转化为AM →·AN →＝0，从而达到使用韦达定理建立直线中参数k ，m 的方程，确定k ，m 的关系，把双参数直线系方程化为单参数直线系方程，实现了证明直线系过定点的目的．【变式探究】已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程为y ＝43x ，右焦点F (5,0)，双曲线的实轴为A 1A 2，P 为双曲线上一点(不同于A 1，A 2)，直线A 1P 、A 2P 分别与直线l ：x ＝95交于M 、N 两点．(1)求双曲线的方程；(2)求证：FM →·FN →为定值．【解答】 (1)依题意可设双曲线方程为x 2a2－y 2b 2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝43，c ＝5，c 2＝a 2＋b2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝4，∴所求双曲线方程为x 29－y 216＝1.(2)A 1(－3,0)、A 2(3,0)、F (5,0)，设P (x ，y )，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫95，y 0，A 1P →＝(x ＋3，y )，A 1M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫245，y 0，∵A 1、P 、M 三点共线，∴(x ＋3)y 0－245y ＝0，∴y 0＝24y5x ＋3，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫95，24y 5x ＋3. 同理得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫95，－6y5x －3. ∴FM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－165，24y 5x ＋3，FN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－165，－6y 5x －3， ∴FM →·FN →＝25625－14425·y2x 2－9. ∵x 29－y 216＝1，∴y 2x 2－9＝169，∴FM →·FN →＝25625－14425·169＝25625－25625＝0，即FM →·FN →＝0为定值．【历届高考真题】 【2012年高考试题】1.【2012高考真题重庆理6】设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且c b c a //,⊥，则b a +（A ）5 （B ）10 （C ）25 （D ）102.【2012高考真题浙江理5】设a ，b 是两个非零向量。
高三数学二轮复习专题一第二讲复数、平面向量、程序框图与推理教案理
研热门（聚焦打破）种类一 复数 (1) 共轭复数复数 z ＝ a ＋ b i 的共轭复数为 z ＝ a － b i. (2) 复数的模复数 z ＝ ＋ i 的模 | z | ＝a 22a bb .(3) 复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i ? a ＝c 且 b ＝ d ( a ， b ， c ，d ∈ R) ．特别地， a ＋ b i ＝ 0? a ＝ 0 且 b ＝ 0( a ， b ∈ R)． [ 例 1](1)(2012 年高考天津卷 )i 是虚数单位，复数＝ ()A ． 1－ iB ．－ 1＋ iC ． 1＋ iD．－ 1－ i(2)(2012 年高考江西卷 ) 若复数 z ＝ 1＋ i(i 为虚数单位 ) ， z 是 z 的共轭复数，则 z 2＋ z 2的虚部为 () A ． 0 B ．－ 1 C ． 1D．－ 2[分析](1) 利用复数的乘法、除法法例求解．5＋ 3i （ 5＋ 3i ）（ 4＋ i ） 17＋ 17i＝ 1＋ i.4－ i ＝42＋ 1＝ 17(2) 利用复数运算法例求解．∵ z ＝ 1＋ i ，∴ z ＝ 1－ i ， z 2＋ z 2＝ (1 ＋i) 2＋ (1 － i) 2＝ 2i － 2i ＝ 0. [ 答案 ] (1)C(2)A追踪训练1． (2012 年广州模拟 ) 设复数 z 1＝ 1－ 3i ， z 2＝ 3－ 2i ，则在复平面内对应的点在 ()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限分析： 由于 z 1 1－ 3i ＝ （ 1－ 3i ）（ 3＋2i ） ＝ 9－ 7i＝ 3－ 2i （ 3－ 2i ）（ 3＋ 2i ） ，z 213 9 7在复平面内对应的点为 ( 13，－ 13) ，在第四象限，选 D. 答案： D2． (2012 年高考陕西卷 ) 设 a ，b ∈ R ， i 是虚数单位，则“ ab ＝0”是“复数 a ＋ b为纯虚数”的 ()iA ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充足必需条件D ．既不充足也不用要条件分析： 直接法．∵ a ＋ b＝ a － b i 为纯虚数，∴必有 a ＝ 0， b ≠0，i而 ab ＝ 0 时有 a ＝ 0 或 b ＝ 0，∴由 a ＝ 0， b ≠ 0? ab ＝ 0，反之不可立．∴“ ab ＝0”是“复数 a ＋ b为纯虚数”的必需不充足条件．i答案： B种类二 平面向量1．平面向量的线性运算法例(1) 三角形法例；(2) 平行四边形法例． 2．向量共线的条件 存在两非零向量 a ，b ，则(1) 若 a ，b 共线，则存在 λ∈R ， b ＝ λa .(2) 若 a ＝ ( x 1， y 1) ，b ＝ ( x 2， y 2) ，则 x 1y 2－ x 2y 1＝ 0.3．向量垂直的条件(1) 已知非零向量 ， ，且 a 与 b 垂直，则a ·＝0.a bb(2) 已知 a ＝( x 1， y 1) ， b ＝ ( x 2， y 2) ，则 x 1x 2＋ y 1y 2＝ 0. 4．夹角与模(1) 设 θ 为①cos θ＝|a 与b ( a ≠0， b ≠ 0) 的夹角，则a · ba ||b |；②若 a ＝ ( x 1， y 1) ，b ＝ ( x 2，y 2) ，x xy y2则 cos θ＝1 2＋ 12.2 2 x 21＋ 12＋2x yy(2) 若 ＝(x ， )，则|| ＝2＋2.ayaxy[ 例 2](1)(2012年高考课标全国卷 ) 已知向量 a ， 夹角为 45°，且 |a | ＝ 1，|2 a － | ＝，则| | ＝ ________.bbb(2)(2012 年高考江苏卷 ) 如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝ 2 ， BC ＝ 2，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD上，uuur uuur uuur uuur若 AB · AF ＝ 2 ，则 AE · BF 的值是________．[ 分析 ] (1) 利用平面向量的数目积观点、模的观点求解．∵ a， b 的夹角为45°，| a|＝1，2∴ a· b＝| a|·|b|cos 45 °＝2 | b| ，|2 a2 2 | ＋ | 2 ，∴ |b|＝3 2. －|＝4 －4× | | ＝10b 2 b b[答案](1)3 2 (2) 2追踪训练已知 A(－3，0)、 B(0，2) ，O为坐标原点，点C在∠ AOB内，| OC|＝2 2 ，且∠AOC＝，uuur uuur uuur4∈ R) ，则的值为 ()设OC＝OA OB (A． 1 B. 1 3C. 1D. 22 3uuur uuur uuur uuur uuur分析：过 C作 CE⊥ x 轴于点 E，由∠ AOC＝，知 | OE|＝| CE| ＝2，因此OC＝OE＋OB＝OA OB ，uuur uuur 4.即 OE ＝λ OA ，因此(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝23答案： D种类三算法与程序框图1．算法的三种基本逻辑构造：次序构造，条件构造，循环构造．2．循环构造必定包括条件构造．[ 例 3](1)(2012 年高考天津卷 ) 阅读如下图的程序框图，运转相应的程序，则输出S 的值为() A． 8 B ． 18C． 26 D ． 80( 2)(2012年高考陕西卷)如下图是用模拟方法预计圆周率π值的程序框图，P 表示预计结果，则图中空白框内应填入()N 4N M 4MA．P＝1 000 B．P＝1 000 C．P＝1 000 D．P＝1 000[ 分析 ] (1) 依据循环条件，逐次求解判断．运转一次后＝ 0＋ 3－ 30＝ 2，运转两次后＝ 2＋32－ 3＝8，运转三次后＝8＋ 33－32＝ 26，此时n＝4，S S S 输出 S.(2) 采纳几何概型法．∵ x i， y i为0~1之间的随机数，组成以 1 为边长的正方形面，当 x i2＋ y i2 ≤ 1 时，点 ( x i，y i ) 均落在以原点为圆心，以 1 为半径且在第一象限的1圆内，当 x i2 ＋ y i2 >1 4时对应点落在暗影部分中(如下图 )．∴有N1＝4M － M ， π( M ＋N ) ＝ 4M ，π＝4M.4， N M41000[ 答案 ] (1)C(2)D追踪训练(2012 年洛阳模拟 ) 假如履行如下图的程序框图，则运转结果为()A ．1 B ．－ 1C. 1D ．222分析： 第一次循环： s ＝ 1，i ＝ 2；2第二次循环： s ＝－ 1， i ＝3；第三次循环： s ＝ 2， i ＝ 4； 易知当 i ＝ 2 012 时输出 s ，由于循环过程中 s 的值呈周期性变化，周期为3，又 2 012 ＝ 670× 3＋ 2，因此运转结果与 i ＝ 2 时输出的结果一致，故输出s ＝ 1.2答案： C种类四 合情推理 1．类比推理的一般步骤(1) 找出两类事物之间的相像性或一致性；(2) 用一类事物的性质推断另一类事物的性质，得出一个明确的结论．2．概括推理的一般步骤(1) 经过察看个别事物发现某些同样的性质；(2) 从已知的同样性质中推出一个明确表述的一般性命题．一般状况下，概括的个别事物越多，越拥有代表性，推行的一般性结论也就越靠谱．[ 例 4](2012 年高考陕西卷 ) 察看以下不等式1 31＋ 22 <2，11 51＋ 22 ＋32 <3，1 1 1 71＋ 22 ＋32 ＋42<4，照此规律，第五个不等式为 ________________ ．[ 分析 ]概括察看法．察看每行不等式的特色，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子组成等差数列．∴第五个不等式为1 1 1 1 1 11132 42 52 62 622 [答案]11 11 1 1 1122222623 4 5 6追踪训练(2012 年南昌市一中月考 ) 在平面上， 我们假如用一条直线去截正方形的一个角， 那么截下的是一个直角三角形，若将该直角三角形按图标出边长a ， ， ，则由勾股定理有： 2＋ 2＝2. 假想把正方形换成正方体，b c a b c把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 OLMN ，假如用 S 1，S 2， S 3 表示三个侧面面积， S 4 表示截面面积，那么你类比获得的结论是________．分析： 由图可得 S 1＝ 1 OM · ON ， S 2＝ 1OL · ON ，2 21S3＝OM· OL，1S4＝ML· NL·sin∠MLN＝1ML· NL·1－cos2∠MLN22 2 2＝1 · ·1－（ ML＋ NL－ MN））22 ML NL 2ML·NL＝1·2 2 2 2 2 2.4 4ML·NL －（ ML＋ NL－ MN）2 2 2∵ OM＋ ON＝ MN，2＋2＝2，OM OL ML2 2 2OL ＋ ON＝LN ，∴S4 ＝12·2＋2·2＋2·2，2 OM ON OL ON OM OL2 2 2 2∴S＋S＋S＝S.1 2 3 42 2 2 2答案：1＋ 2＋3＝4.S S S S析典题（展望高考）高考真题【真题】(2012 年高考安徽卷 ) 若平面向量a，b知足 |2 a－b| ≤ 3，则a·b的最小值是 ________．【分析】利用向量减法的三角形法例及数目积的运算公式求解．由向量减法的三角形法例知，当a 与b共线且反向时， |2 － | 的最大值为 3. 此时设＝(λ<0) ，则 |2aa b a λ b－b|＝|2 b－ b|＝3，又由a ·＝ | | · |b|cos 〈，〉，知b a a b当 a 与 b 共线且反向时， a· b 最小．有： a· b＝| a|·| b|·cos＝－9| λ|＝9λ＝9（ 2λ－ 1）2 4λ2－ 4λ＋ 1 1－（－ 4λ－λ）－ 4≥－9( 当且仅当λ＝－1时取“＝” ) ，8 2∴ a· b 的最小值为－9 .【答案】－8 98【名师点睛】此题考察了向量减法的三角形法例、数目积的运算公式及利用均值不等式求最值．其解题的重点是将 a·b 表示为λ的函数，再依据函数构造变形求最值．考情展望高考对平面向量的考察灵巧多变，多以选择题、填空题形式出现，主要波及平面向量的线性运算与数目积的运算，有时综合三角不等式、最值等问题名师押题uuur uuur uuur uuur uuur uuur 【押题】在边长为 1 的正三角形ABC中，BD＝x BA，CE＝y CA，x>0，y>0，且x＋y＝ 1，则CD·BE的最大值为 ( )【分析】成立如下图的直角坐标系，则( －1，0)， ( 1 ，0)， (0，3),A 2B 2C 2 设 D( x1，0)， E( x2， y2)，【答案】 D。
2009年高考数学第二轮复习热点专题测试卷平面向量含祥解
2009年高考数学第二轮执点专题测试：平面向量（含详解）一、选择题：1、若(3,5)AB =，(1,7)AC =, 则BC =（ ）A ．（－2，－2）B ．（－2，2）C ．（4，12）D ．（－4,－12）2、已知平面向量→a ＝(1，1)，→b ＝(1，－1)，则向量12→a －32→b ＝ ( )A 、(－2，－1)B 、(－2，1)C 、(－1，0)D 、(－1，2) 3、设a =(1,－2)，b =(－3,4)，c =(3，2),，则(a －2b )·c =（ ）A.(10，－8) B 、0 C 、1 D 、（21，－20）4、已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD =，则顶点D 的坐标为（ ）A ．722⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．122⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．(32)，D ．(13)， 5、已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（ ）A. －1B. 1C. －2D. 26、若平面向量b 与向量a =（1，－2）的夹角是180°，且|b |=，则b =（ ） A ．（－1，2） B ．（－3，6）C ．（3，－6）D ．（－3，6）或（3，－6）7、在ABC AB ABC ∆=+⋅∆则中，若,02是（ ）A ．锐角三角形B ． 直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形8、在ABC ∆中，已知向量(0,2),(3,4)AB BC ==，则三角形的AB 与BC 所成角α的余弦值等于（ ）A.45- B.45 C.35- D. 359、关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题：①若∙∙a b =a c ，则=b c ．②若(1)(26)k ==-，，，a b ，∥a b ，则3k =-． ③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为60．其中真命题的个数有（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）310、直角坐标平面内三点()()()1,23,29,7A B C -、、，若E F 、为线段BC 的三等分点，则·＝（ ）（A ）20 （B ）21 （C ）22 （D ）2311、如图，在平行四边形ABCD 中，()()2,3,2,1-==BD AC ，则=⋅AC AD （ ）（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）612、在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F. 若a AC =, b BD =,则=AF （ ） A ．1142a b + B.2133a b + C.1124a b + D.1233a b + 二、填空题13、已知向量)3,(),2,4(x b a ==向量，且a ∥b ，则x = 。
2009届高三数学第二轮专题复习教案：极限导数复数
2009届高三数学二轮专题复习教案：极限导数和复数一、本章知识结构：设n a 是一个无穷数列，A 是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N ，使得只要正整数n ＞N ，就有|n a -A|＜ε，那么就说数列n a 以A 为极限（或A 是数列的极限），记作∞→n lim n a=A 。
3、数列极限的运算法则如果∞→n lim n a =A ，∞→n lim n b =B ，那么 (1) ∞→n lim (n a ±n b )=∞→n lim n a ±∞→n lim n b =A ±B ； (2) ∞→n lim (n a ·n b )=∞→n lim n a ·∞→n lim n b =A ·B（3）)0(lim ≠==∞→∞→∞→B B A b im l a iml b a n n n n nn n（4）∞→n lim（c ·na ）= c ·∞→n lim n a=cA （c 为常数）极限运算法则中的各个极限都应存在，都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个。
在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限。
4、特殊数列的极限 （1）∞→n limC=C （C 为常数） （2） 0（|a|＜1）∞→n limn a = 1（a=l )不存在（|a|＞1或a=-1） (3) ∞→n limαn 1=0(α＞0的常数)(4)00a b （当k=l 时）101101limk k k l l n l a x a x a b x b x b --→∞++++++= 0（当k ＜l 时) 不存在（当k ＞l 时）说明：欲求极限的式子中，含有项数与n 有关的“和式”或“积式”，应先求和或积。
5、常见的数列极限的类型和求法（1）“00”型，分子、分母分别求和再转化。
（2）“∞∞”型，分子、分母先求和，再化简，转化为有极限。
2009年高考数学二轮复习专题讲座7——解析几何(修改)
《解析几何》二轮复习思考一、考试说明与教学要求回顾1（1）理解直线的斜率和倾斜角的概念；掌握过两点的直线斜率的计算公式；了解直线的倾斜角的范围；理解直线的斜率和倾斜角之间的关系，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率．（2）掌握直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式）的特点与适用范围；能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；了解直线方程的斜截式与一次函数的关系．（3）能根据斜率判定两条直线平行或垂直．（4）了解二元一次方程组的解与两直线的交点坐标之间的关系，体会数形结合思想；能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．（5）掌握两点间的距离公式和点到直线的距离公式及其简单应用；会求两条平行直线间的距离．（6）掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化．（7）能根据直线与圆的方程判断其位置关系（相交、相切、相离）；能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．（8）了解空间直角坐标系；会用空间直角坐标系刻画点的位置．了解空间中两点间的距离公式，并会简单应用．（9）能从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．2．圆锥曲线（必）（1）掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题；了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法．（2）了解双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程；了解双曲线的简单几何性质． （3）了解抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程；了解抛物线的简单几何性质． 3．圆锥曲线（加）（1）了解曲线与方程的对应关系；了解求曲线方程的一般步骤，能求一些简单曲线的方程；掌握求直线与圆锥曲线的交点坐标的方法；进一步体会数形结合的思想方法．（2）掌握抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程；掌握抛物线的简单性质，会用抛物线的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题． 4．坐标系与参数方程（1）了解极坐标系；会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；会进行极坐标和直角坐标的互化．（2）了解曲线的极坐标方程的求法；了解简单图形（过极点的直线、过极点的圆、圆心在极点的圆）的极坐标方程．（3）会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化．（4）理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用．（5）会进行曲线的参数方程与普通方程的互化． 二、近三年高考题中考点分布情况对近三年的全国各省市的高考题按题目中出现的考点分类统计如下，其中数字表示该考点在迹有关问题都划为曲线与方程．直线与圆考查内容次之，其中排列顺序为线性规划、直线与圆的位置关系、圆的标准方程与一般方程．而其余内容常以某题中的一个点出现，单独考查的很少．三、二轮复习建议按照问题类型设计专题，把相同问题、相同方法的内容归到一起讲，强化重点知识，突出思维训练．如选用如下专题：（一）求方程问题1．回忆直线的点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式方程，圆的标准方程、一般方程，椭圆、双曲线、抛物线的标准方程，分析各自的基本量个数及相应的几何意义．2．总结求方程的基本方法，直接法与待定系数法．在用直接法求方程时，要注意条件的转化方向和手段，在用待定系数法求方程时，要注意方程形式的选择标准和一些常用的设方程的技巧．例1．已知直线l 经过点P (－1，1)，它被两平行直线l 1：x ＋2y －1=0及l 2：x ＋2y －3=0所截得的线段M 1M 2的中点M 在直线l 3：x －y －1=0上，试求直线l 的方程． 解法一：（1）当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程是x ＝－1，与直线l 1，l 2的交点分别为M 1(－1，1)，M 2(－1，2)．线段M 1M 2的中点(－1，32)不在直线l 3上，不合．（2）当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋1)，分别与l 1，l 2联列解得M 1(－1，1)，M 2(1－2k 1＋2k ，1＋4k 1＋2k ），线段M 1M 2的中点为M (－2k 1＋2k ，1＋3k1＋2k ），因为M 在直线l 3上，代入得，k ＝－27．代入得直线l 的方程为2x ＋7y －5＝0．解法二：因为被两平行直线l 1，l 2所截线段M 1M 2的中点在与l 1，l 2平行且与l 1，l 2等距离的直线上，而与l 1，l 2平行且与l 1，l 2等距离的直线方程为x ＋2y －2＝0，又由已知线段M 1M 2的中点M 在直线l 3：x －y －1=0上，所以由方程组⎩⎨⎧x ＋2y －2＝0，x －y －1=0解得线段M 1M 2中点M 的坐标为(43，13)．从而直线l 经过点P (－1，1)和M (43，13)，代入两点式得直线l 的方程为2x ＋7y －5＝0．解法三：设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =－1＋t cos α，y =1＋t sin α．其中t 为参数，代入直线l 1的方程得M 1对应参数t 1＝0，代入直线l 2的方程得M 2对应参数t 2＝2cos α＋2sin α，所以线段M 1M 2中点M对应参数t 0＝12(t 1＋t 2)＝1cos α＋2sin α，所以M 点的坐标为(－2sin αcos α＋2sin α，cos α＋3sin αcos α＋2sin α)，代入直线l 3得，－2sin αcos α＋2sin α－cos α＋3sin αcos α＋2sin α＝1，7sin α＝－2cos α，直线l 的斜率k ＝sin αcos α＝－27．代入得直线l 的方程为2x ＋7y －5＝0．例2．已知点A (2，2)，B (3，－1)，C (5，3)，求△ABC 内切圆的方程.解：代入两点式得三边的方程分别是AB ：3x ＋y －8＝0，BC ：2x －y －7＝0，CA ：x －3y ＋4＝0．设△ABC 的内心坐标为I (a ，b )，则由I 到三边的距离相等得∣3a ＋b －8∣10＝∣2a －b －7∣5＝∣a －3b ＋4∣10，根据I＋(3a ＋b －8)10＝－(2a －b －7)5＝＋(a －3b ＋4)10， 化简得⎩⎨⎧a ＋2b =6，(3＋22)a －(2－1)b =8＋72．解得a ＝6－22，b ＝2．半径r ＝－(2a －b －7)5＝－5－525＝10－5．所以内切圆的方程为(x －6＋22)2＋(y －2)2＝(10 例3．已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，3)，则该椭圆的方程是_______________． 解：根据条件可知椭圆为标准方程．（1）当焦点在x 轴上时，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由条件得⎩⎨⎧2a2b =2，(－2)2a 2＋(3)2b 2=1．解得⎩⎨⎧a =22，b =2.所求的椭圆方程为x 28＋y 24＝1．（2）当焦点在y 轴上时，设椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ．由条件得⎩⎨⎧2a 2b =2，(3)2a 2＋(－2)2b2=1．解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=7，b 2=72.所求的椭圆方程为 y 27＋2x 27＝1．3．理科复习时，还要注意求轨迹常用方法的复习，以直接法为主，强化曲线与方程的对应关系，掌握求曲线方程的一般步骤．简单的相关点法、参数法也可提一下，有利于拓展思考问题的思路．例4．如图，在以点O 为圆心，AB ＝4为直径的半圆ADB 中，OD ⊥AB ，P 是半圆弧上一点，∠POB ＝60︒，曲线C 是满足MA ＋MB 为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P ．求曲线C 的方程．解：如图建立平面直角坐标系， 因为曲线C 过点P ，所以MA ＋MB 为定值就是P A ＋PB ，根据条件求得 P A ＋PB ＝2(1＋3)，所以MA ＋MB ＝2(1＋3)＞AB ．根据椭圆定义可知，点M 的轨迹是以A ，B 为焦点，且长轴长为2(1＋3)的椭圆，在所建的坐标系中，方程形式为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b根据条件得a ＝1＋3，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝12， 所以曲线C 的方程为x 24＋23＋y212＝1．（二）求几何量问题． 1．直线的几何量主要是斜率、倾斜角、截距，圆的几何量主要是圆心、半径，这些量主要通过两直线的平行与垂直、线性规划、直线与圆的位置关系等进行综合，作为题中的一个点出现．2．圆锥曲线的几何量主要包括轴、轴长、顶点、焦距、焦点、准线、渐近线、离心率．在已知方程求有关量时，首先是把方程化为标准方程，找准a ，b ，c ，p 的值，二是记准相应量的计算公式．在已知图形中求有关量时，要明确各个量的几何意义和图形中的特征求方程或不等式求几何量．例5．直线l ：3x －y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－2x －2＝0相切，则直线l 在x 轴上的截距_____．A B DPO解：因为⊙C 方程可化为(x －1)2＋y 2＝(3)2，所以圆心C (1，0)，半径r ＝3，因为直线l 与圆C 相切，直线C 到l 的距离等于r ，即∣3⋅1－1⋅0＋m ∣2＝3，解得m ＝－33或3．当m ＝3时，直线l 方程为3x －y ＋3＝0，在x 轴上的截距为－1； 当m ＝－33，直线l 方程为3x －y ＋－33＝0，在x 轴上的截距为3．例6．(08天津理5）设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1(m ＞1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 到右准线的距离为___________解：根据椭圆定义得2a ＝1＋3，a ＝2，即m ＝2，b ＝m 2－1＝3，c ＝1，e ＝c a ＝12，根据第二定义得P 到右准线距离为2．例7．（07安徽理11）如图，F 1和F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为___________．解法一：不妨设OF 2＝1，因为OF 1＝OF 2＝OA ，所以△AF 1F 2为直角三角形．所以AF 1＝1．所以2a ＝AF 2－AF 1＝3－1,又2c ＝2，所以e ＝ca ＝3解法二：连接OA ，由△ABF 2为等边三角形，可得 A 点的坐标为(－12c ，32c )．因为A 在双曲线上，所以(－12c )2a 2－(32c )2b 2＝1，即14e 2－34e 2e 2－1＝1，去分母整理得e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4±23，e ＝3±1．因为e ＞1，所以e ＝3＋1．例8．（08四川卷12）已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK ＝2AF ，则△AFK 的面积为____________． 解：如图，过A 作AH ⊥l ，垂足为H AF ＝AH ，又AK ＝2AF ，所以AK ＝2AH ，因为∠AHK ＝所以∠AKH ＝45︒，所以KH ＝AH ＝y A ．所以AF ＝y A ．即所以AF ＝FK ＝4，S △AFK ＝8． （三）几类典型问题 1．求值问题：基本解题思路是找方程，通过解方程得出 等一般都可以转化为方程．例9．已知⊙C 1：x 2＋y 2－6x ＋12y －19＝0和⊙C 2：x 2＋y 2＋6x －4y －k ＝0相切，则k 的值是解：因为⊙C 1：(x －3)2＋(y ＋6)2＝64，⊙C 2：(x ＋3)2＋(y －2)2＝13＋k ，所以C 1(3，－6)，r 1＝8，C 2(－3，2)，r 2＝13＋k ．当⊙C 1与⊙C 2外切时，8＋13＋k ＝10，解得k ＝－9；当⊙C 1与⊙C 2内切时，8－13＋k |＝10，解得k ＝311．所以k ＝－9或k ＝311．2．最值问题：解决最值问题主要通过两类方法，一是代数法，合理选择变量，把求最值的量表示为所选量的函数，利用研究函数、方程、不等式的方法求最值．二几何法，根据图形特征，利用几何不等式，求出最值．一般在小题中可能用几何法简单方便，易得结果，但过程可能不完整，在大题中应用代数法，过程规范完整，易抓住得分点． 例10．（08全国二21）设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．（1）若−→ED ＝6−→DF ，求k 的值；（2）求四边形AEBF解：（1）依题设得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1， 直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0)． 如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2．且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k 2．①由−→ED ＝6−→DF 知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 0)＝57x 2＝1071＋4k 2，由D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2，得x 0＝21＋2k ．所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38．（2）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E ，F 到AB 的距离分别为 h 1＝|x 1＋2kx 1－25＝2(1＋2k ＋1＋4k 2)5(1＋4k 2)，h 2＝|x 2＋2kx 2－25＝2(1＋2k －1＋4k 2)5(1＋4k 2)．又AB ＝5，所以四边形AEBF 的面积为S ＝12AB ⋅(h 1＋h 2)＝12⋅5⋅4(1＋2k )5(1＋4k 2)＝2(1＋2k )1＋4k 2＝21＋4k 2＋4k1＋4k 2≤22．当2k ＝1，即当k ＝12时，上式取等号．所以S 的最大值为22．解法二：由题设，|BO |＝1，|AO |＝2．设F (2cos θ，sin θ)，θ∈(0，π2)，则E (－2cos θ，－sin θ)，故四边形AEBF 的面积为S ＝S △BEF ＋S △AEF ＝12BO ⋅[2cos θ－(－2cos θ)]＋12AO ⋅[sin θ－(－sin θ)]＝2cos θ＋2sin θ＝22sin(θ＋π4)，当θ＝π4时，S 有最大值22．3．定值问题：解决定值问题主要通过两类方法，一是通过特殊位置得出定值，然后通过证明在一般位置也成立．二是通过把所要证明为定值的量表示为另外一个或两个引起变化的量的函数或方程，然后通过化简变形，证明结果与引起变化的量无关．例11．已知圆C 的方程为x 2＋y 2－6x －2y ＋5＝0，过点P (2，0)的动直线l 与圆C 交于P 1，P 2两点，过点P 1，P 2分别作圆C 的切线l 1，l 2，设l 1与l 2交于为M ，求证：点M 在一条定直线上，并求出这条定直线的方程．解法一：因为⊙C ：(x －3)2＋(y －1)2＝5，所以圆心C 为(3，1)．设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，因为P 1M ⊥CP 1，所以−→MP 1⋅−→CP 1＝0．所以(x 1－x 0)(x 1－3)＋(y 1－y 0)(y 1－1)＝0，即(x 1－3)2＋(3－x 0)(x 1－3)＋(y 1－1)2＋(1－y 0)(y 1－1)＝0，因为(x 1－3)2＋(y 1－1)2＝5，所以(x 0－3)(x 1－3)＋(y 0－1)(y 1－1)＝5，同理(x 0－3)(x 2－3)＋(y 0－1)(y 2－1)＝5．所以过点P 1，P 2的直线方程为(x －3)(x 0－3)＋(y －1)(y 0－1)＝5．因直线P 1P 2过点(2，0)．所以代入得(2－3)(x 0－3)＋(0－1)(y 0－1)＝5，即x 0＋y 0＋1＝0．所以点M 恒在直线x ＋y ＋1＝0上．解法二：设M (x 0，y 0)，则以MC 为直径的圆C 1的方程为(x －x 0)(x －3)＋(y －y 0)(y －1)＝0，即x 2＋y 2－(x 0＋3)x －(y 0＋1)y ＋3x 0＋y 0＝0，由平面几何知识可得，过M 作⊙C 的两条切线的切点分别为P 1，P 2，直线P 1P 2的方程即为⊙C 与⊙C 1公共弦所在直线方程，从而由⊙C 与⊙C 1方程相减得直线P 1P 2的方程为（x 0－3)x ＋(y 0－1)y ＋5－3x 0－y 0＝0，因为直线P 1P 2过点P (2，0)，代入得x 0＋y 0＋1＝0，即点M 恒在直线x ＋y ＋1＝0上．4．范围问题：主要通过寻找所求量的不等式或不等式组，然后解不等式或不等式组得到范围．或通过构造所求量的函数，然后研究此函数的定义域或值域等求出范围．例12．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，若PF 22PF 1的最小值为8a ，求双曲线离心率e 的取值范围．解：因为点P 在双曲线左支上，所以PF 2－PF 1＝2a ，即PF 2＝2a ＋PF 1．所以PF 22PF 1＝(2a ＋PF 1)2PF 1＝PF 1＋4a 2PF 1＋4a ≥8a ，当且仅当PF 1＝2a 时取等号．因此PF 22PF 1的最小值为8a ，当且仅当PF 1＝2a ．因为PF ≥c －a ，因此PF 1＝2a ，当且仅当2a ≥c －a ，所以3a ≥c ，即e ≤3，又因为e ＞1，所以e 的范围为(1，3]． （四）数学思想方法问题1．运动变化的思想例13．满足条件AB ＝2，AC ＝2BC 的三角形ABC 的面积的最大值是_________． 解法一：条件化为c ＝2，b ＝2a ．cos C ＝a 2＋b 2－42ab ＝3a 2－422a 2，sin C ＝－a 4＋24a 2－1622a 2，S △ABC ＝14－a 4＋24a 2－16＝14－(a 2－12)2＋128≤22．解法二：以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，设C (x ，y )，因为A (－1，0)，B (1，0)，代入化简得(x －3)2＋y 2＝(22)2，所以C 到AB 的最大距离为22，S △ABC 的最大面积为22．2．从特殊到一般的思想例14．（08浙江理科卷17）若a ≥0，b ≥0，且当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，恒有ax ＋by ≤1，则以a ，b为坐标点P (a ，b )所形成的平面区域的面积等于____________．解：(a ，b )满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，b ≥0，xa ＋yb ≤1．其中(x ．y )为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1表示的区域内任意一点．（1）当(x ，y )取(0，0)时，区域为：（2）当(x ，y )取(1，0)时，区域为： （3）当(x ，y )取(0，1)时，区域为 这三个区域的公共部分为对于上面区域中的任一个(a ，b )，则0≤a ≤1，0≤b ≤1，则对于满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1的任意的(x ，y )，都有xa ＋yb ≤x ⋅1＋y ⋅1≤1，即满足ax ＋by ≤1．因此区域为如图所示的边长为1的正方形．面积为1．四、二轮复习注意点1．根据学生的实际，有针对性地进行复习，提高复习的有效性 由于解析几何通常有2－3小题和1大题，而小题以考查基础为主、解答题的第一问也较容易，因此，对于全市的所有不同类型的学校，都要做好该专题的复习，千万不能认为该部分内容较难而放弃对该部分内容的专题复习，并且根据生源状况和一轮复习中的学生易错点及存在问题选择针对性练习，提高复习的有效性．2．重视通性通法，加强常规问题解法指导，提高考试中的解题能力 在二轮复习中，不能仅仅复习概念和性质，还应该以典型的例题和习题（可以选用08年的各地高考试题和07年的江苏各大市的高考模拟试题）为载体，在二轮复习中强化各类问题的常规解法，使学生形成解决各种类型问题的操作范式． 需要强调的是，在二轮复习中，千万不能因为时间紧而由教师一讲到底，数学学习是学生自主学习的过程，解题能力只有通过学生的自主探究才能掌握．所以，在二轮复习中，教师的作用是对学生的解题方法进行引导、点拨和点评，只有这样，才能够实施有效复习． 重视通性通法，任何“好”的解题方法，一旦脱离了学习者的认知特点，也就必然成为“不好”的方法，因此，解题方法必须适合学生的特点，源自于学生自己的思维． 3．注意强化思维的严谨性，力求规范解题，尽可能少丢分 在解解析几何的大题时，有不少学生常出现因解题不够规范而丢分的现象，因此，要通过平时的讲评对易出现错误的相关步骤作必要的强调，减少或避免无畏的丢分． 还有，在设直线方程为点斜式时，就应该注意到直线斜率不存在的情形；又如，在求轨迹方程时，还要注意到纯粹性和完备性等．。
高考数学二轮专题复习 专题二 第三讲 平面向量课件 新人教版
二、预测押题不能少
2．设 a＝(cos α，(λ－1)sin α)，b＝(cos β，sin β)
>0,0<
<
<
2
是平面上的两个向量，若向量
a＋b
与
a
－b 互相垂直．
(1)求实数 λ 的值；
(2)若 a·b＝45，且 tan β＝34，求 tan α 的值．
第二十六页，共34页。
第二十三页，共34页。
∵当x＋ π3 ∈[π3 ， π2 ]时，即x∈[0， π6 ]时，函数h(x)单调递
增，且h(x)∈[ 3，2]；
当x＋
π 3
∈( π2
，
5π 6
]时，即x∈(
π6 ，
π 2
]时，函数h(x)单调递
减，且h(x)∈[1,2)．
∴使得关于x的方程h(x)－t＝0在[0，
π 2
平面向量与线性规划问题(wèntí)的交汇
一、经典例题领悟好 [例1] (2013·北京高考)已知点A(1，－1)，B(3,0)， C(2,1)．若平面区域D由所有满足 AP ＝λ AB＋μ AC (1≤λ≤2，0≤μ≤1)的点P组成，则D的面积为________． 学审题——审条件之审视隐含 设 P 点坐标―→ AP、AB、AC 坐标―A―P―＝―λ―A―B＋――μ A―C→关 于 λ，μ，x，y 方程组―→求出 λ，μ―→关于 x，y 不等组―→ 作出可行域―→D 的面积．
解：(1)由题设，可得(a＋b)·(a－b)＝0， 即|a|2－|b|2＝0. 代入 a，b 的坐标，可得 cos2α＋(λ－1)2sin2α－cos2β－sin2β ＝0， 所以(λ－1)2sin2α－sin2α＝0. 因为 0<α<π2，故 sin2α≠0， 所以(λ－1)2－1＝0， 解得 λ＝2 或 λ＝0(舍去，因为 λ>0)． 故 λ＝2.
新高考高考数学二轮复习基础送分专题二平面向量课件文2
2021/4/17
新高考高考数学二轮复习基础送分
10
专题二平面向量课件文2
2．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量 a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )
⊥b ，则 a 与 b 的夹角为
A.π6 2π
C. 3
B.π3 5π
D. 6
()
2021/4/17
新高考高考数学二轮复习基础送分
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解析：因为向量 a ＝(2,4)与向量 b ＝(x,6)共线，所以 4x＝
2×6，解得 x＝3.
答案：B
2021/4/17
新高考高考数学二轮复习基础送分
2
专题二平面向量课件文2
2．设 D 为线段 BC 的中点，且―A→B ＋―A→C ＝－6―A→E ，则( )
A．―A→D ＝2―A→E
B．―A→D ＝3―A→E
16
专题二平面向量课件文2
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间 休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动 对身体不好哦~
2021/4/17
新高考高考数学二轮复习基础送分
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专题二平面向量课件文2
解析：法一：以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x
轴，AD 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系如
(3)利用数量积求解长度问题的处理方法 ①a 2＝a ·a ＝|a |2 或|a |＝ a·a. ②|a ±b |＝ a±b2＝ a2±2a·b＋b2. ③若 a ＝(x，y)，则|a |＝ x2＋y2.
2021/4/17
新高考高考数学二轮复习基础送分
20
专题二平面向量课件文2
3．求有关两向量夹角的注意点 两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时 要特别注意两个向量夹角可能是 0 或 π 的情况，如已知两个向 量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反 向共线．
高中数学平面向量复习优秀教案
平面向量复习〔一〕【复习目标】1掌握向量的相关概念:2会进行向量的根本运算3理解平面向量之间关系及平面向量的根本定理【复习重点】向量的根本运算【复习难点】理解平面向量之间关系及平面向量的根本定理复习内容一、向量的相关概念: 1)定义2)重要概念：〔1〕零向量：〔2〕单位向量：〔3〕平行向量：〔4〕相等向量：〔5〕相反向量：3)向量的表示4)向量的模〔长度〕二、向量的运算1）加法：①两个法则②坐标表示减法:①法则②坐标表示，运算律2)实数λ与向量a 的积3)平面向量的数量积：(1)两向量的夹角定义(2)平面向量数量积的定义(3)a在b上的投影(4)平面向量数量积的几何意义〔5〕平面向量数量积的运算律三、平面向量之间关系〔1〕向量平行(共线)条件的两种形式:〔2〕向量垂直条件的两种形式:〔3〕两个向量相等的条件是两个向量的坐标相等.四、平面向量的根本定理注:满足什么条件的向量可作为基底?向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。
重要概念：零向量：长度为0的向量，记作0.〔2〕单位向量：长度为1个单位长度的向量.〔3〕平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反的非零向量.〔4〕相等向量：长度相等且方向相同的向量.〔5〕相反向量：长度相等且方向相反的向量.一、向量的相关概念〔一〕、向量表示及运算：几何表示，字母表示，坐标表示1、向量的模〔长度〕即向量的大小,记作|a| ；向量的表示方法: _________2、向量的加法: 平行四边形法则；三角形法则(首尾相接)，平行四边形法则，坐标表示:a + b = (x1+ x2，y1+ y2)．运算律：交换律；结合律。
3、向量的减法: 三角形法则(指向被减数)．坐标表示: a - b = (x1- x2，y1- y2)．4、(1)实数与向量的积:λa．规定:1) |λa| =|λ||a| ;2) λ＞0时与a同向; λ＜0时与a反向; λ=0时, λa = 0;坐标表示:λa=(λx，λy)．运算律：λ(μa ) = (λμ)a ; (λ+μ)a = λa +μa ;λ(a + b ) = λa +λ b.5、平面向量的数量积1〕、（1）a与b的夹角：共同的起点（2）向量夹角的范围：[00，1800]〔3〕向量垂直：〔4〕两个非零向量的数量积：• 规定：零向量与任一向量的数量积为0几何意义：数量积a·b等于：2〕、数量积的运算律：⑴交换律：a⋅b=b⋅a⑵对数乘的结合律：(λa)⋅b= λ(a⋅b)=a⋅(λb)⑶分配律：(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c数量积不满足结合律即: (a⋅b)⋅c≠a⋅(b⋅c)3〕、平面向量数量积的重要性质a,b为非零向量，e为单位向量•〔1〕e · a=a·e=|a |cosθ•〔2〕a⊥b的条件是a·b=0(3) 当a与b同向时，a· b = |a | | b | ;当a与b反向时，a·b= - |a | | b特别地：a·a=| a |2或| a | =_____________〔4〕cosθ=〔5〕|a·b| ≤ | a | | b|二、平面向量之间关系向量平行(共线)条件的两种形式:(1)a // b(b≠ 0) ⇔a= λb;(2)a // b(a= (x1 , y1 ), b= (x2 , y2 ), b≠ 0)⇔ x1 y2- x2 y1=0向量垂直条件的两种形式:(1) a⊥b⇔a•b= 0( 2 ) a⊥b⇔a•b=x1x2+y1y2= 0〔3〕两个向量相等的条件是两个向量的坐标相等.那么a=b⇔x1=x2且y1=y2三、平面向量的根本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，则______________例1. a = (1, 2),b = (-3, 2),当k为何值时,( 1) k a + b与a-3 b垂直;(2)k a + b与a-3 b平行, 平行时它们是同向还是反向? 例2.向量a,b 不共线．(1)假设A → B = a -b, B → C= 2 a -8 b, C → B=(a +b ), 求证A 、 B 、D 共线;(2)假设 k a - b 与 a -k b 共线,求实数 k 的值。
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高三数学二轮专题复习教案――平面向量 一、本章知识结构：
二、重点知识回顾 1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.
2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③平面向量的坐标表示：分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得axiyj，),(yx
叫做向量a的（直角）坐标，记作(,)axy，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标， 特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)。22axy；若),(11yxA，),(22yxB，则1212,yyxxAB，222121()()ABxxyy
3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为0； ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.（注：||aa就是单位向量）
4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量. 5.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 6.向量的加法、减法：
①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。②向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。即：a b= a+ (b)； 差向量的意义： OA= a, OB=b, 则BA=a b
③平面向量的坐标运算：若11(,)axy，22(,)bxy，则ab),(2121yyxx，ab),(2121yyxx，(,)axy。
④向量加法的交换律：a+b=b+a；向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c) 7．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa （1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=0；（3）运算定律 λ(μa)=(λμ)a，(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb
8． 向量共线定理 向量b与非零向量a共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λa。 9．平面向量基本定理：如果1e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e+λ22e。(1)不共线向量1e、2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a在给出基底1e、2e的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，1e，2e唯一确定的数量。
10. 向量a和b的数量积：①a·b=| a|·|b|cos，其中∈[0，π]为a和b的夹角。②|b|cos称为b
在a的方向上的投影。③a·b的几何意义是：b的长度|b|在a的方向上的投影的乘积，是一个实数（可
正、可负、也可是零），而不是向量。
④若a =（1x，1y）, b=（x2，2y）, 则2121yyxxba ⑤运算律：a· b=b·a, (λa)· b=a·(λb)=λ（a·b）， （a+b）·c=a·c+b·c。
⑥a和b的夹角公式：cos=abab＝222221212121yxyxyyxx ⑦2aaa|a|2=x2+y2，或|a|=222ayx⑧| a·b |≤| a |·| b |。 11．两向量平行、垂直的充要条件 设a =（1x，1y）, b=（2x，2y） ①a⊥ba·b=0 ，baab=1x2x+1y2y=0； ②ba//（a≠0）充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λa。 0//1221yxyxba 向量的平行与垂直的坐标运算注意区别，在解题时容易混淆。 12.点P分有向线段21PP所成的比的： 21PPPP，P内分线段21PP时, 0; P外分线段21PP时, 0. 定比分点坐标公式、中点坐标公式、三角形重心公式：
112121yyyxxx 1 、
222121yyy
xxx
、 )3,3(321321yyyxxx 三、考点剖析 考点一：向量的概念、向量的基本定理 【内容解读】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。 注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同；两个向量无法比较大小，它们的模可比较大 小。 如果1e和2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a有且只有一对实数λ1、λ2，使a=λ11e+λ22e. 注意：若1e和2e是同一平面内的两个不共线向量， 【命题规律】有关向量概念和向量的基本定理的命题，主要以选择题或填空题为主，考查的难度属中档类型。
例1、（2007上海）直角坐标系xOy中，ij，分别是与xy，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若jkiACjiAB3,2，则k的可能值个数是（ ）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 解：如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3,k)，所以C点在直线x=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角．所以 k 的可能值个数是2，选B 点评：本题主要考查向量的坐标表示，采用数形结合法，巧妙求解，体现平面向量中的数形结合思想。
例2、（2007陕西）如图，平面内有三个向量OA、OB、OC,其中与OA与OB的夹角为120°，OA与OC
的夹角为30°,且|OA|＝|OB|＝1， |OC| ＝32，若OC＝λOA+μOB（λ，μ∈R）, 则λ+μ的值为 .
解：过C作OA与OC的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由角BOC=90°角AOC=30°，OC=32得平行四边形的边长为2和4，2+4=6 点评：本题考查平面向量的基本定理，向量OC用向量OA与向量OB作为基底表示出来后，求相应的系数，也考查了平行四边形法则。 考点二：向量的运算 【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算；掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。 【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。 例3、(2008湖北文、理)设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=（ ） A.(－15,12) B.0 C.－3 D.－11
解：(a+2b)(1,2)2(3,4)(5,6)，(a+2b)·c (5,6)(3,2)3，选C 点评：本题考查向量与实数的积，注意积的结果还是一个向量，向量的加法运算，结果也是一个向量，还考查了向量的数量积，结果是一个数字。
例4、(2008广东文)已知平面向量),2(),2,1(mba，且a∥b，则ba32=（ ） A．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10）
解：由a∥b，得m＝－4，所以， ba32＝（2，4）＋（－6，－12）＝（－4，－8），故选（C）。
点评：两个向量平行，其实是一个向量是另一个向量的倍，也是共线向量，注意运算的公式，容易与向量垂直的坐标运算混淆。
例5、(2008海南、宁夏文)已知平面向量a=（1，－3），b=（4，－2），ab与a垂直，则是（ ） A. －1 B. 1 C. －2 D. 2
解：由于4,32,1,3,abaaba ∴43320，即101001，选Ａ 点评：本题考查简单的向量运算及向量垂直的坐标运算，注意不要出现运算出错，因为这是一道基础题，要争取满分。
例6、(2008广东理)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F. 若aAC, bBD,则AF（ ）
A．1142ab B. 2133ab C. 1124ab D. 1233ab 解:aAO21,baODAOAD2121, baabaADAOAE412121212121)(21,
由A、E、F三点共线,知1,AEAF 而满足此条件的选择支只有B，故选B. 点评：用三角形法则或平行四边形法则进行向量的加减法运算是向量运算的一个难点，体现数形结合的数学思想。
例7、（2008江苏）已知向量a和b的夹角为0120，||1,||3ab，则|5|ab ．
解：2222552510ababaabb=22125110133492，5ab7 点评：向量的模、向量的数量积的运算是经常考查的内容，难度不大，只要细心，运算不要出现错误即可。 考点三：定比分点 【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮助理解。 【命题规律】重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。由于向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。
例8、(2008湖南理)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且2,DCBD2,CEEA2,AFFB则ADBECF与BC( )
A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直
解：由定比分点的向量式得:212,1233ACABADACAB同理，有： 12,33BEBCBA12,33CFCACB