2018年四川省成都七中高考数学一模试卷(理科-教师用卷
2018年四川省成都七中高考数学三诊试卷(理科)-教师用卷
2018年四川省成都七中高考数学三诊试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：集合，，．故选：C．先求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.已知复数z满足是虚数单位，则z的虚部为A. iB.C. 1D.【答案】C【解析】解：复数z满足是虚数单位，，．则z的虚部为1．故选：C．利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.把内的均匀随机数分别转化为和内的均匀随机数，需实施的变换分别为A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】解：注意到的区间长度是的区间长度4倍，因此设是常数再用两个区间中点的对应值，得当时，，所以，可得因此x与y的关系式为：，注意到的区间长度是的区间长度5倍，因此设是常数再用两个区间中点的对应值，得当时，，所以，可得因此x与y的关系式为：，故选：C．先看区间长度之间的关系：故可设或，再用区间中点之间的对应关系得到，解出b，问题得以解决．本题考查均匀随机数的含义与应用，属于基础题解决本题解题的关键是理解均匀随机数的定义，以及两个均匀随机数之间的线性关系．4.已知命题p：，，命题q：，，则下列说法中正确的是A. 命题是假命题B. 命题是真命题C. 命题￢是真命题D. 命题￢是假命题【答案】C【解析】解：，，故命题p为真命题；当时，，故命题q为假命题，故命题是真命题，命题是假命题，命题￢是真命题，命题￢是真命题，故选：C．先判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，得到答案．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，全称命题，特称命题等知识点，难度中档．5.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为A. 4B.C.D. 2【答案】B【解析】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，底面面积为：，底面周长为：，故棱柱的表面积，故选：B．由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，代入棱柱表面积公式，可得答案．本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度基础．6.已知O为内一点，且，，若B，O，D三点共线，则t的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与BC相交于点E，E为BC的中点．，，点O是直线AE的中点．，B，O，D三点共线，点D是BO与AC的交点．过点O作交AC于点M，则点M为AC的中点．则，，，，．故选：B．以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与BC相交于点E，E为BC的中点由，可得，点O是直线AE的中点根据，B，O，D三点共线，可得点D是BO与AC的交点过点O作交AC于点M，则点M为AC的中点即可得出．本题考查了向量共线定理、向量三角形与平行四边形法则、平行线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.已知二项式的展开式中的系数为，则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：二项式展开式的通项公式为：，令，解得；所以展开式中的系数为：，解得；所以．故选：B．根据二项式展开式的通项公式，令展开式中x的指数为3求出r的值，写出的系数，求得a的值，计算的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．8.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为43，则判断框内应填入的条件是A. ？B. ？C. ？D. ？【答案】A【解析】解：第一次执行后，，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则，，第二次执行后，，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则，，第三次执行后，，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则，，第四次执行后，，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则，，第五次执行后，，不满足输出条件，应满足进行循环的条件，则，，第六次执行后，，满足输出条件，故进行循环的条件可以为？，故选：A．根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量z的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答．9.已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念，且甲乙两人均在丙领导人的同侧，则不同的排法共有A. 240种B. 360种C. 480种D. 600种【答案】C【解析】解：根据题意，设6人中除甲乙丙之外的三人为a、b、c，分2步进行分析：，甲乙两人均在丙领导人的同侧，考虑甲乙两人的顺序，有种情况，，三人排好后，有4个空位，在4个空位中任选1个，安排a，有4种情况，四人排好后，有5个空位，在5个空位中任选1个，安排b，有5种情况，五人排好后，有6个空位，在6个空位中任选1个，安排c，有6种情况，则剩余3人的安排方法有种，则6人不同的安排方法有种；故选：C．根据题意，设6人中除甲乙丙之外的三人为a、b、c，分2步进行分析：，分析甲乙两人均在丙领导人的同侧的情况数目，，将剩余的三人依次插入空位中，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意有限分析受到限制的元素．10.将函数图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变，再向左平移个单位长度得到的图象，则函数的单调递增区间为A. B.C. D.【答案】C【解析】解：将函数图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变，可得的图象；再向左平移个单位长度，可得的图象．再根据得到的图象，可得，，且，，令，可得，令，解得，可得函数的增区间为，，故选：C．利用函数的图象变换规律，三角函数的奇偶性，求得和的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得的单调递增区间．本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的单调性，三角函数的奇偶性，诱导公式，属于基础题．11.已知双曲线C：的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线E：的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线：和：的距离之和的最小值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】解：双曲线C：的渐近线方程为，右顶点到其一条渐近线的距离等于，可得，解得，即有，由题意可得，解得，即有抛物线的方程为，如图，过点M作于点A，作准线：于点C，连接MF，根据抛物线的定义得，设M到的距离为，M到直线的距离为，，根据平面几何知识，可得当M、A、F三点共线时，有最小值．到直线：的距离为．的最小值是2，由此可得所求距离和的最小值为2．故选：B．求出双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算可得a，进而得到c，由抛物线的焦点坐标，可得，进而得到抛物线的方程连接MF，过点M作于点A，作准线于点由抛物线的定义，得到，再由平面几何知识可得当M、A、F三点共线时，有最小值，因此算出F到直线l的距离，即可得到所求距离的最小值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，同时考查抛物线的方程和性质，给出抛物线和直线，求抛物线上一点到准线的距离与直线距离之和的最小值，着重考查了点到直线的距离公式、抛物线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．12.定义函数则函数在区间内所有零点的和为( )A. nB. 2nC.D.【答案】D【解析】解：当时，，所以，此时当时，；当时，，所以；由此可得时，．下面考虑且时，的最大值的情况．当时，由函数的定义知，因为，所以，此时当时，；当时，同理可知，．由此可得且时，．综上可得：对于一切的，函数在区间上有1个零点，从而在区间上有n个零点，且这些零点为，因此，所有这些零点的和为．故选：D．函数是分段函数，要分区间进行讨论，当，是二次函数，当时，对应的函数很复杂，找出其中的规律，最后作和求出．本题属于根的存在性及根的个数的判断的问题，是一道较复杂的问题，首先它是分段函数，各区间上的函数又很复杂，挑战人的思维和耐心．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若随机变量Z：：，则，已知随机变量X：，则______．【答案】【解析】解：随机变量Z：：，随机变量X：，可知，，，即，即，，．故答案为：．求出，；化简，，然后求解即可．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．14.在锐角中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且A、B、C成等差数列，，则面积的取值范围是______．【答案】【解析】解：、B、C成等差数列，，，即，，，可得，由正弦定理可得，则，，可设，，由锐角，可得，，则，则三角形ABC的面积为，故答案为：由A，B，C成等差数列，利用等差数列的性质及内角和定理求出B的度数，由正弦定理求出a，c，再由锐角三角形的定义和和差正弦公式，结合正弦函数的性质，可得ac 的范围，进而得到三角形的面积的范围．本题考查了正弦定理，三角形面积公式，以及等差数列中项的性质，熟练掌握和差公式和正弦函数的性质是解本题的关键，属于中档题．15.已知的三个顶点，，，其外接圆为圆对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，则圆C的半径r的取值范围是______．【答案】【解析】解：由题意，，，，的垂直平分线是，：，BC的中点是，的垂直平分线是．由，得到圆心H是，，则直线BH的方程为，设，．因为点M是点P，N的中点，所以，又M，N都在半径为r的圆C上，所以，即，因为上式是关于x，y的方程组有解，即以为圆心，r为半径的圆，与以为圆心，2r为半径的圆有公共点，所以，又，所以对任意成立．而在上的值域为，又线段BH与圆C无公共点，所以对任意成立，即．对任意成立，则有，故圆C的半径r的取值范围为故答案为：设P的坐标，可得M的坐标，代入圆的方程，可得以为圆心，r为半径的圆与以为圆心，2r为半径的圆有公共点，由此求得的半径r的取值范围．本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查解不等式，考查学生分析解决问题的能力，有难度．16.四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥的体积取值范围为，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是______．【答案】．【解析】解：如图，由题意可知，平面平面ABCD，过S作，垂足为O，可得面ABCD四棱锥的体积取值范围为，则，，当时，为等边时，设N为正方形ABCD的外心，G为的外心，M 为球心，可得，此时球半径，当时，为钝角时，，外接圆半径，外心到AB 的距离为．此时球半径四棱锥的外接球的表面积为当时，为直角，该四棱锥外接球就是以棱长为2的正方体的外接球，四棱锥的外接球的表面积取值范围为：．故答案为：．由题意可知，平面平面ABCD，由，可得，当时，为等边时，设N为正方形ABCD的外心，G为的外心，M为球心，此时球半径，当时，为钝角时，此时球半径当时，为直角，该四棱锥外接球就是以棱长为2的正方体的外接球，本题考查棱锥、球体积的求法，考查空间想象能力与逻辑思维能力，是中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列．求数列的通项公式；记数列的前n项和，求．【答案】解：设等差数列的公差为，由，且，，成等比数列，得，解得，．；，数列的前n项和，，，．【解析】设等差数列的公差为，由已知列关于首项与公差的方程组，得首项与公差，代入等差数列的通项公式得答案；直接利用错误相减法求数列的前n项和．本题考查等差数列的通项公式与等比数列的性质，考查错位相减法求数列的前n项和，是中档题．18.中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”，为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研，人社部从网上年龄在～岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：“”8人参加某项活动，现从这8人中随机抽2人．抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率；记抽到45岁以上的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．．【答案】解：由统计数据填列联表如下，计算观测值，所以有的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休政策”的支持度有差异；抽到1人是45岁以下的概率，抽到1人是45岁以下、1人是45岁以上的概率是，故所求的概率为；根据题意，X的可能取值是0，1，2；计算，，，可得随机变量X的分布列为故数学期望为．【解析】由统计数据填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；求抽到1人是45岁以下的概率，再求抽到1人是45岁以上的概率，根据题意知X的可能取值，计算对应的概率值，写出随机变量X的分布列，计算数学期望值．本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是中档题．19.在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四边形ADEF是正方形，，，，．求证：平面平面EBD；设M为线段EC上一点，，求二面角的平面角的余弦值．【答案】证明：，，，，为直角三角形，且，同理，，，，为直角三角形，且，又四边形ADEF是正方形，，又，．在梯形ABCD中，过点作B作于H，四边形ABHD是正方形，．在中，，，，，．，，平面ABCD，平面ABCD．平面ABCD，又平面ABCD，，因为，平面EBD，平面EBD．平面EBD，平面EBC，平面平面EBD．解：以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，0，，0，，1，，2，令，则，2，，，2，，1，，，平面EBD，1，是平面EBD的一个法向量．设平面MBD的法向量为y，．则令，得1，，，二面角的平面角的余弦值为．【解析】推导出，，，从而四边形ABHD是正方形，再由，，得平面ABCD，从而，进而平面EBD，由此能证明平面平面EBD．以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的平面角的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.设、分别是椭圆E：的左、右焦点若P是椭圆E上的一个动点且的最大值为1．求椭圆E的方程；设直线与椭圆E交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为与B不重合则直线与x轴是否交于一个定点？若是，请写出该定点的坐标，并证明你的结论；若不是请说明理由．【答案】解：设，由椭圆E：可得，，，，，可得，由表示原点和椭圆上的点的距离的平方，可得x轴上的顶点与原点的距离最大，即有，解得，则椭圆的方程为；由，得，即，设，则且，，经过点，的直线方程为令，则，又，．当时，．这说明，直线与x轴交于定点．【解析】求出椭圆的焦点坐标，设出P的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，以及两点的距离的含义，结合椭圆的性质，可得，进而得到椭圆方程；把直线方程与椭圆方程联立消去y，设出A，B的坐标，则的坐标可推断出，利用韦达定理表示出和，进而可表示出的直线方程，把代入求得x 的表达式，把，代入求得，进而可推断出直线与x轴交于定点．本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系考查了学生基础知识的综合运用．21.已知函数，其中；Ⅰ若函数在处取得极值，求实数a的值，Ⅱ在Ⅰ的结论下，若关于x的不等式，当时恒成立，求t的值．【答案】解：Ⅰ当时，，解得经验证满足条件，Ⅱ当时，整理得令，则，所以，即，．【解析】Ⅰ利用函数的导数，通过函数在处取得极值，即可求实数a的值，Ⅱ不等式，推出t的表达式，构造函数，利用函数的导数求解函数的最值求解即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的求法，构造法的应用，考查计算能力．22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：．Ⅰ写出曲线，的普通方程；Ⅱ过曲线的左焦点且倾斜角为的直线l交曲线于A，B两点，求．【答案】解：Ⅰ分即的普通方程为分，，，可化为，分即分Ⅱ曲线左焦点为，分直线l的倾斜角为，分所以直线l的参数方程为：为参数，分将其代入曲线整理可得：，分所以．设A，B对应的参数分别为，，则分所以分【解析】Ⅰ消去参数及利亚极坐标与直角坐标互化方法，写出曲线，的普通方程；Ⅱ直线l的参数方程为：为参数，将其代入曲线整理可得：，利用参数的几何运用求．本题考查参数方程的运用，考查参数方程、极坐标方程、普通方程的转化，考查学生的计算能力，属于中档题．23.已知，使不等式成立．求满足条件的实数t的集合T；若，，对，不等式恒成立，求的最小值．【答案】解：令，则，；由于使不等式成立，则有；由知，，根据基本不等式，从而，当且仅当时取等号，再根据基本不等式，当且仅当时取等号；，即的最小值为18．【解析】求出的取值范围，根据题意求得t的取值范围；由题意不等式化为，根据基本不等式求得的最小值．本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了基本不等式与转化思想，是中档题．。
四川省成都七中18年中考数学模拟试卷(一)
四川省成都七中2018年中考数学模拟试卷(一)四川省成都七中2018年中考数学模拟试卷一、选择题：2013 1．如果a的倒数是﹣1，那么a等于A．1 B．﹣1 C．2013 D．﹣2013 2．下列运算正确的是A．×=1 B．5﹣8=﹣3 C．2=6 D．=0 3．据益阳市统计局在网上发布的数据，2012年益阳市地区生产总值突破千亿元大关，达到了1020亿元，将102 000 000 000用科学记数法表示正确的是11101011A．×10 B．×10 C．×10 D．×10 4．如图是一个4个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图为﹣30A．2 B．C．D．5．若方程：x﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是A．m＞1 B．m＜1 C．m≤1 D．m≥1 6．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也随之改变．密度ρ与体积V 满足函数关系式ρ=，其图象如图所示，则k的值为33A．9 B．﹣9 C．4 D．﹣4 第1页7．定义：f=，g=．例如f=，g=．则g[f]等于A．B．C．D．8．武汉市2010年国内生产总值比2009年增长了12%，于受到国际金融危机的影响，预计今年比2010年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是A．12%+7%=x% B．=2 2C．12%+7%=2?x% D．= 9．已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1．下列结论：2①abc＞O，②2a+b=O，③b﹣4ac ＜O，④4a+2b+c＞O 其中正确的是2A．①③B．只有②C．②④D．③④10．如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD 的对称中心位置，正方形EFGH绕点E 顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为S，旋转的角度为θ，S与θ的函数关系的大致图象是A．B．C．D．第2页二、填空题：11．a﹣4ab分解因式结果是．12．己知实数a、b满足a+b=5，ab=3，则a﹣b=．13．函数y=与y=x﹣2图象交点的横坐标分别为a，b，则+的值为．14．如图，点A，B，C 的坐标分别为，，．若以点A，B，C，D 为顶点的四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则点D的坐标为．215．两块大小一样斜边为4且含有30°角的三角板如图水平放置．将△CDE绕C点按逆时针方向旋转，当E点恰好落在AB上时，△CDE 旋转了度，线段CE旋转过程中扫过的面积为．三、计算题：16．解答下列各题：计算：解方程：20030+﹣；+；﹣1先化简，再求值：，其中m是方程x+3x+1=0的根．2第3页四、解答题：17．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+b 与坐标轴交于A，B两点，与双曲线y=交于D点，过点D作DC⊥x轴，垂足为C，连接OD．已知△AOB≌△ACD．如果b=﹣2，求k的值；试探究k与b的数量关系，并写出直线OD 的解析式．18．某海域有A、B、C三艘船正在捕鱼作业，C船突然出现故障，向A、B两船发出紧急求救信号，此时B船位于A船的北偏西72°方向，距A船24海里的海域，C船位于A 船的北偏东33°方向，同时又位于B船的北偏东78°方向．求∠ABC的度数；A船以每小时30海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点．．五、解答题：19．甲口袋有2个相同的小球，它们分别写有数字1和2，；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数字3、4、5，从这两个口袋中各随机地取出1个球．用“树状图法”或“列表法”表示所有可能出现的结果；取出的两个小球上所写数字之和是偶数的概率是多少？第4页20．如图1，矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC 折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．求证：△DEC≌△EDA；求DF的值；如图2，若P 为线段EC上一动点，过点P作△AEC 的内接矩形，使其顶点Q落在线段AE 上，定点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．六、填空题：21．若函数22．已知+=3，则代数式的值为．，则当函数值y=8时，自变量x的值等于．23．“数学王子”高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时就能在课堂上快速地计算出1+2+3+…+98+99+100=5050，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：令S=1+2+3+…+98+99+100①S=100+99+98+…+3+2+1②①+②：有2S=×100解得：S=5050 请类比以上做法，回答下列问题：若n为正整数，3+5+7+…+=168，则n=．24．如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．第5页25．射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm 为半径的圆与△ABC的边相切，请写出t 可取的一切值七、解答题：26．某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3000元，已知绿茶每千克成本50元，在第一个月的试销时间内发现，销量w 随销售单价x的变化而变化，具体变化规律如下表所示销售单价x … 70 75 80 85 90 … 销售量w … 100 90 80 70 60 … 设该绿茶的月销售利润为y．请根据上表，写出w与x之间的函数关系式；求y与x之间的函数关系式．并求出x 为何值时，y的值最大？若在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，那么第二个月里应该确定销售单价为多少元？第6页27．如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E．设P 是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G．求证：△PAC∽△PDF；若AB=5，=，求PD的长；=x，tan∠AFD=y，求y与x 之间的函数关系式．在点P运动过程中，设值范围）第7页28．如图，已知：如图①，直线y=﹣x+与x轴、y轴分别交于A、B两点，两动点D、E分别从A、B两点同时出发向O 点运动；对称轴过点A且顶点为M的抛物线y=a2+h始终经过点E，过E作EG∥OA交抛物线于点G，交AB 于点F，连结DE、DF、AG、BG．设D、E的运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，运动时间为t秒．用含t代数式分别表示BF、EF、AF的长；当t为何值时，四边形ADEF是菱形？判断此时△AFG与△AGB是否相似，并说明理；当△ADF是直角三角形，且抛物线的顶点M恰好在BG上时，求抛物线的解析式．第8页四川省成都七中2018年中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题：20131．如果a的倒数是﹣1，那么a等于A．1 B．﹣1 C．2013 D．﹣2013 考点：有理数的乘方；倒数．分析：先根据倒数的定义求出a的值，再根据有理数的乘方的定义进行计算即可得解．解答：解：∵×=1，∴﹣1的倒数是﹣1，a=﹣1，∴a==﹣1．故选B．点评：本题考查了有理数的乘方的定义，﹣1的奇数次幂是﹣1．2．下列运算正确的是A．×=1 B．5﹣8=﹣3 C．2=6 D．=0 考点：负整数指数幂；有理数的减法；有理数的乘法；零指数幂．分析：根据有理数的乘法、减法及负整数指数幂、零指数幂的运算法则，结合各选项进行判断即可．解答：解：A、×=﹣1，运算错误，故本选项错误；B、5﹣8=﹣3，运算正确，故本选项正确；C、2=，运算错误，故本选项错误；D、=1，运算错误，故本选项错误；故选B．点评：本题考查了负整数指数幂、零指数幂及有理数的运算，属于基础题，掌握各部分的运算法则是关键．3．据益阳市统计局在网上发布的数据，2012年益阳市地区生产总值突破千亿元大关，达到了1020亿元，将102 000 000 000用科学记数法表示正确的是11101011A．×10 B．×10 C．×10 D．×10 考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．11解答：解：将102 000 000 000用科学记数法表示为：×10．故选：A．n点评：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．第9页n0﹣3﹣3201320130 4．如图是一个4个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图为A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．解答：解：从正面看可得从左往右2列正方形的个数依次为2，1；从左面看可得到从左往右2列正方形的个数依次为2，1；从上面看可得从上到下2行正方形的个数依次为2，1，故选B．点评：本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．5．若方程：x﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是A．m＞1 B．m ＜1 C．m≤1 D．m≥1 考点：根的判别式．分析：利用方程有两个不相等的实数根，则△＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．解答：解：∵△=b﹣4ac=4﹣4m＞0，∴m＜1．故选B．点评：总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0?方程有两个不相等的实数根；△=0?方程有两个相等的实数根；△＜0?方程没有实数根．6．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也随之改变．密度ρ与体积V 满足函数关系式ρ=，其图象如图所示，则k的值为3322 A．9 B．﹣9 C．4 D．﹣4 第10页考点：反比例函数的应用．分析：图象可知，反比例函数图象经过点，利用待定系数法求出函数解形式即可求得k值．解答：解：图象可知，函数图象经过点，设反比例函数为ρ=，则=，解得k=9，故选A．点评：此题主要考查图象的识别和待定系数法求函数解析式．同学们要认真观察图象．7．定义：f=，g=．例如f=，g=．则g[f]等于A．B．C．D．考点：点的坐标．专题：新定义．分析：根据新定义先求出f，然后根据g的定义解答即可．解答：解：根据定义，f=，所以，g[f]=g=．故选A．点评：本题考查了点的坐标，读懂题目信息，掌握新定义的运算规则是解题的关键．8．武汉市2010年国内生产总值比2009年增长了12%，于受到国际金融危机的影响，预计今年比2010年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是A．12%+7%=x% B．=2 C．12%+7%=2?x% D．= 考点：实际问题抽象出一元二次方程．专题：增长率问题．分析：增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×，然后用平均增长率和实际增长率分别求出今年的国内生产总值，此可得到一个方程，即x%满足的关系式．解答：解：若设2009年的国内生产总值为y，则根据实际增长率和平均增长率分别得到2010年和今年的国内生产总值分别为：2010年国内生产总值：y或y，所以1+x%=1+12%，今年的国内生产总值：y或y，2所以=．故选D．点评：本题主要考查增长率问题，然后根据增长率和已知条件抽象出一元二次方程．9．已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1．下列结论：2①abc ＞O，②2a+b=O，③b﹣4ac＜O，④4a+2b+c＞O 第11页2 22其中正确的是A．①③B．只有②C．②④D．③④考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：抛物线开口向上，得到a＞0，再对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，可得出b＜0，又抛物线与y轴交于正半轴，得到c 大于0，可得出abc小于0，选项①错误；抛物线与x轴有22个交点，得到根的判别式b﹣4ac大于0，选项②错误；x=﹣2时对应的函数值小于0，将x=﹣2代入抛物线解析式可得出4a﹣2b+c大于0，最后对称轴为直线x=1，利用对称轴公式得到b=﹣2a，得到选项④正确，即可得到正确结论的序号．解答：解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵﹣＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，①错误；∵对称轴为直线x=1，∴﹣=1，即2a+b=0，②正确，2∵抛物线与x轴有2个交点，∴b﹣4ac＞0，③错误；∵对称轴为直线x=1，∴x=2与x=0时的函数值相等，而x=0时对应的函数值为正数，∴4a+2b+c＞0，④正确；则其中正确的有②④．故选C．2点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax+bx+c，a的符号抛物线开口方向决定；b的符号对称轴的位置及a的符号决定；c的符号抛物线与y轴交点的位置决定；2抛物线与x轴的交点个数，决定了b﹣4ac的符号，此外还要注意x=1，﹣1，2及﹣2对应函数值的正负来判断其式子的正确与否．10．如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的对称中心位置，正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为S，旋转的角度为θ，S与θ的函数关系的大致图象是第12页A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．专题：压轴题；动点型．分析：过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥AB于点N，则可证明△ENK≌△EML，从而得出重叠部分的面积不变，继而可得出函数关系图象．解答：解：如右图，过点E 作EM⊥BC于点M，EN⊥AB于点N，∵点E是正方形的对称中心，∴EN=EM，旋转的性质可得∠NEK=∠MEL，在Rt△ENK和Rt△EML 中，，故可得△ENK≌△EML，即阴影部分的面积始终等于正方形面积的．故选B．点评：此题考查了动点问题的函数图象，证明△ENK ≌△EML，得出阴影部分的面积始终等于正方形面积的是解答本题的关键．二、填空题：211．a ﹣4ab分解因式结果是 a ．第13页考点：提公因式法与公式法的综合运用．专题：因式分解．分析：首先提取公因式a，再利用平方差公式进行二次分解即可．2解答：解：原式=a=a，故答案为：a．点评：此题主要考查了提公因式法和公式法分解因式，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．12．己知实数a、b满足a+b=5，ab=3，则a﹣b= ±．考点：完全平方公式．专题：计算题．分析：将a+b=5两边平方，利用完全平方公式展开，把ab的值代入求出a+b的值，再利用完全平方公式即可求出a﹣b的值．222解答：解：将a+b=5两边平方得：=a+b+2ab=25，22将ab=3代入得：a+b=19，222∴=a+b﹣2ab=19﹣6=13，则a﹣b=±．故答案为：±点评：此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．13．函数y=与y=x ﹣2图象交点的横坐标分别为a，b，则+的值为﹣2 ．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：计算题．分析：先根据反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式得到=x﹣2，去分母化为一元二次方程得到x﹣2x﹣1=0，根据根与系数的关系得到a+b=2，ab=﹣1，然后变形+得，再利用整体思想计算即可．222解答：解：根据题意得=x﹣2，化为整式方程，整理得x﹣2x﹣1=0，∵函数y=与y=x﹣2图象交点的横坐标分别为a，b，∴a、b为方程x﹣2x ﹣1=0的两根，∴a+b=2，ab=﹣1，∴+===﹣2．22故答案为：﹣2．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了一元二次方程根与系数的关系．第14页14．如图，点A，B，C的坐标分别为，，．若以点A，B，C，D为顶点的四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则点D的坐标为．考点：坐标与图形变化-旋转；轴对称图形；中心对称图形．分析：首先根据点的坐标确定坐标轴的位置，而根据AB=BC，以点A，B，C，D为顶点的四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则四边形ABCD是正方形，根据作图即可得到D的位置，确定D的坐标．解答：解：∵以点A，B，C，D为顶点的四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，点A，B，C的坐标分别为，，．∴点D的坐标为．点评：掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．正确判定四边形的形状是解决本题的关键．15．两块大小一样斜边为4且含有30°角的三角板如图水平放置．将△CDE绕C点按逆时针方向旋转，当E 点恰好落在AB上时，△CDE旋转了30 度，线段CE旋转过程中扫过的面积为．第15页考点：旋转的性质；扇形面积的计算．专题：压轴题．分析：根据含有30°角的直角三角形的性质可知CE′是△ACB的中线，可得△E′CB是等边三角形，从而得出∠ACE′的度数和CE′的长，从而得出△CDE旋转的度数；再根据扇形面积公式计算求解．解答：解：∵三角板是两块大小一样斜边为4且含有30°的角，∴CE′是△ACB的中线，∴CE′=BC=BE′=2，∴△E′CB 是等边三角形，∴∠BCE′=60°，∴∠ACE′=90°﹣60°=30°，∴线段CE 旋转过程中扫过的面积为：故答案为：30，．=．点评：考查了含有30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定，旋转的性质和扇形面积的计算，本题关键是得到CE′是△ACB 的中线．三、计算题：16．解答下列各题：计算：解方程：20030 +﹣；+；﹣1先化简，再求值：，其中m是方程x+3x+1=0的根．2考点：分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解一元一次方程．专题：计算题．分析：原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用立方根定义计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可得到结果；方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x=m代入方程求出m的值，代入计算即可求出值．解答：解：原式=﹣1+1﹣2+3=1；去分母得：3=2，去括号得：9x+15=4x﹣2，移项合并得：5x=﹣17，解得：x=﹣；原式=2÷=?=，∵m是方程x+3x+1=0的根，第16页∴m+3m=﹣1，即m=﹣1，则原式=﹣．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．四、解答题：17．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+b与坐标轴交于A，B两点，与双曲线y=交于D点，过点D作DC⊥x轴，垂足为C，连接OD．已知△AOB≌△ACD．如果b=﹣2，求k的值；试探究k与b的数量关系，并写出直线OD 的解析式．2考点：反比例函数综合题．分析：首先求出直线y=2x﹣2与坐标轴交点的坐标，然后△AOB≌△ACD得到CD=OB，AO=AC，即可求出D坐标，点D在双曲线y=的图象上求出k的值；首先直线y=2x+b与坐标轴交点的坐标为A，B，再根据△AOB≌△ACD得到CD=DB，AO=AC，即可求出D坐标，把D点坐标代入反比例函数解析式求出k和b之间的关系，进而也可以求出直线OD的解析式．解答：解：当b=﹣2时，直线y=2x﹣2与坐标轴交点的坐标为A，B．∵△AOB≌△ACD，∴CD=OB，AO=AC，∴点D的坐标为．∵点D在双曲线y=的图象上，∴k=2×2=4．直线y=2x+b与坐标轴交点的坐标为A，B．∵△AOB≌△ACD，∴CD=OB，AO=AC，∴点D的坐标为．第17页∵点D在双曲线y=的图象上，∴k=?=b．2即k与b的数量关系为：k=b．直线OD的解析式为：y=x．点评：本题主要考查反比例函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及反比例函数图象的特征，此题难度不大，是一道不错的2015年中考试题．18．某海域有A、B、C三艘船正在捕鱼作业，C船突然出现故障，向A、B两船发出紧急求救信号，此时B船位于A船的北偏西72°方向，距A船24海里的海域，C船位于A船的北偏东33°方向，同时又位于B船的北偏东78°方向．求∠ABC的度数；A船以每小时30海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点．．2考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：应用题．分析：根据两直线平行，同旁内角互补，即可得到∠DBA的度数，则∠ABC即可求得；作AH⊥BC于点H，分别在直角△ABH 和直角△ACH中，利用三角函数求得BH 和CH的长，则BC即可求得，进而求得时间．解答：解：∵BD∥AE，∴∠DBA+∠BAE=180°，∴∠DBA=180°﹣72°=108°，∴∠ABC=108°﹣78°=30°；作AH⊥BC，垂足为H，∴∠C=180°﹣72°﹣33°﹣30°=45°，∵∠ABC=30°，∴AH=AB=12，∵sinC=∴AC=，==12．≈≈小时．则A到出事地点的时间是：答：约小时能到达出事地点．第18页点评：本题主要考查了方向角含义，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．五、解答题：19．甲口袋有2个相同的小球，它们分别写有数字1和2，；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数字3、4、5，从这两个口袋中各随机地取出1个球．用“树状图法”或“列表法”表示所有可能出现的结果；取出的两个小球上所写数字之和是偶数的概率是多少？考点：列表法与树状图法．分析：首先根据题意画出树状图，然后树状图求得所有等可能的结果；中的树状图求得取出的两个小球上所写数字之和是偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：画树状图得：则共有6种等可能的结果；∵取出的两个小球上所写数字之和是偶数的有3种情况，∴取出的两个小球上所写数字之和是偶数的概率是：=．点评：此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．如图1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．求证：△DEC≌△EDA；求DF的值；如图2，若P为线段EC上一动点，过点P 作△AEC的内接矩形，使其顶点Q落在线段AE上，定点M、N落在线段AC 上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．第19页。
四川省成都七中2018届高三10月阶段性考试理科数学试卷
成都七中高2018届10月理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个是符合题目要求的）1.已知{},2,1/,0,log /2⎭⎬⎫⎩⎨⎧>==>==x x y y P x x y y U 则=P C U （ ） A. ),21[+∞ B. )21,0( C. ),0(+∞ D. ),21[]0,(+∞⋃-∞ 2.已知函数f (x )＝x －sin x ，若x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，且f (x 1)＋f (x 2)>0，则下列不等式中正确的是( )A ．x 1>x 2B ．x 1<x 2C ．x 1＋x 2>0D ．x 1＋x 2<03.函数x y -=34与函数322-=x y 关于（ ）对称 A. 43=x B. 49=x C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,43 D. 49-=x 4.已知命题x x R x p ⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∀3121,:，命题,1,:20300x x R x q -=∈∃则下列命题中为真命题的（ ）A.q p ∧B.q p ⌝∨C.q p ∧⌝D. q p ⌝∧⌝5.平面//α平面β的一个充分条件是（ ）A ．存在一条直线βα//,//,m m m ；B ．存在一条直线βα//,,m m m ⊂；C ．存在两条平行直线αββα//,//,,,,n m n m n m ⊂⊂；D ．存在两条异面直线αβα//,//,,,n m m n m ⊂；6.已知函数bc cx bx x x f +++-=2331)(在1=x 处有极值34-，则=b （ ） A.-1 B. 1 C.1或-1 D.-1或3 7．若101a b c >><<，，则（ ） A.c c a b < B.c c ab ba < C.log log b a a c b c <D.log log a b c c < 8. 910sin 49tan ππ-=（ ） A.1B.2C.3D.2A.关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,12π对称 B.可由函数)(x f 向右平移3π个单位长度得到 C.)(x g y =在⎪⎭⎫ ⎝⎛3,0π上单调递增 D.)(x g y =在⎪⎭⎫ ⎝⎛1213,127π上单调递增 10.已知函数)(x f 在R 上的导函数是)(/x f ，且满足2/)(2)(x x f x xf >+，下面的不等式在R 内恒成立的是（ ）A.0)(>x fB.0)(<x fC.x x f >)(D.x x f <)(11.设函数[]2(2),(1,),()1||,1,1,f x x f x x x -∈+∞⎧⎪=⎨-∈-⎪⎩若关于x 的方程0log )(=-x x f a （0a >且1a ≠）在区间]5,1[内恰有5个不同的根，则实数a 的取值范围是（ ）A．( B ．),2(e C．)+∞ D ．)3,(e12.若存在正实数m ，使得关于x 的方()()224ln ln 0x a x m ex x m x ++-+-=⎡⎤⎣⎦有两个不同的根，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),0-∞B ．10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ()1,0,2e ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知()()3'21f x x f x =-，则()'1____f = 14．已知函数12)(2+-=a x a x f ，若“0)(),1,0(≠∈∀x f x ”是假命题，则a 的取值范围______________15．已知ABC ∆中，ABC BC AC ∆==,6,2的面积为23，若线段BA 的延长线上存在点D ，使得4π=∠BDC ，则CD =___________16．已知函数()2,01,0x x a x f x x x ⎧++<⎪=⎨->⎪⎩的图像上存在不同的两点,A B ，使得曲线()y f x =在这两点处的切线重合，则实数a 的取值范围是__________三、解答题（本大题共6小题，第17题满分10分，18-22每题满分12分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设p :实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a ≠，:q 实数x 满足2260,280.x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩ （1）若1,a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p q ⌝⌝是的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.18.设()4cos()sin cos(2)6f x x x x πωωωπ=--+（1）若1-=ω，求)6(π-=x f y 在]4,32[ππ-上的单调递减区间； （2）若()f x 在区间3[,]22ππ-上为增函数，其中.0>ω求ω的最大值20．已知函数)(1)(,2)(2R a ax x g ax e x f x ∈+=-=.(Ⅰ)设函数)()()(x f x g x h -=,其导函数为/()h x ，若/()h x 在),0[+∞上具有单调性，求a 的取值范围；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求证：)(41)1()31()21()1(*N n n n f f f f ∈+>+⋅⋅⋅+++.19.如图，在等腰直角OPQ ∆中，22,90==∠OP POQ ,点M 在线段PQ 上. （1）若5=OM ，求PM 的长；（2）若点N 在线段MQ 上，且 30=∠MON ，当POM ∠取何值时，OMN∆的面积的最小值22.已知函数a x ax x b x f +--=221ln )( （1）当0,2≤=a b ，求函数的单调区间；（2）当x b =，在其定义域内有两个不同的极值点分别为12x x 、，证明：212x x e >。
四川成都七中 2018 年外地生招生考试数学试卷(含答案)
成都七中 2018 年外地生招生考试数学（考试时间：120 分钟 总分：150 分）一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题 5 分，共 5 分） 1、满足|a-b|=|a|+|b| 成立的条件是（）A 、ab>0B 、ab<0C 、ab≤0D 、ab≤12、已知 a 、b 、c 为正数，若关于 x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0有 两个实数根，则关于 x 的方程a 2x 2+b 2x+c 2=0解的情况为（）A 、有两个不相等的正根B 、有一个正根，一个负根C 、有两个不相等的负根D 、不一定有实数根 3、已知数据 的平均数为 a ， 的平均数为 b ，则数据 的平均数为（）A 、2a+3bB 、32a+b C 、4a+9b D 、2a+b 4、若函数y=21(x 2-100x+196+|x 2-100x+196|) ，则当自变量 x 取 1、2、3……100 这 100 个自然数时，函数值的和是（ ）A 、540B 、390C 、194D 、97 5、已知(m 2+1)(n 2+1)=3(2mn-1) ，则n(m1-m)的值为（ ） A 、0 B 、1 C 、-2 D 、-1 6、如果存在三个实数 m 、p 、q ，满足 m+p+q=18，且p +m 1+q p 1++q +m 1=97，则q p +m +q m +p +pm +q 的值是（ ）A 、8B 、9C 、10D 、117、已知如图，△ABC 中，AB=m ，AC=n ，以 BC 为边向外作正方形 BCDE ，连结 EA ，则 EA 的最大值为（ ）A 、2m+nB 、m+2nC 、3m+nD 、m+3n8、设 A 、B 、C 、D 为平面上任意四点，如果其中任意三点不在同一直线上，则△ABC 、△ABD 、△ACD 、△BCD 中至少存在一个三角形的某个内角满足（ ）A 、不超过 15°B 、不超过 30°C 、不超过 45°D 、以上都不对9、将抛物线T:Y=X2-2X+4绕坐标原点 O 顺时针旋转 30°得到抛物线T’，过点A （33,-3）、B(3,33)的直线l 与抛物线T’相交于点 P 、Q 。
四川省成都市第七中学2018-2019高中毕业班零诊模拟考试数学(理)试题(解析版)
成都七中高2019届零诊模拟考试数学试题（理科）一、单选题（每小题5分，共60分）1. 设全集为，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直接利用交集的定义求解即可.详解：因为集合，，所以，故选C.2. 若复数满足，则复数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：把变形，利用复数代数形式的乘除运算化简即可得结果.详解：，，故选D.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3. 函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用二次函数的单调性，结合函数的定义域，根据复合函数的单调性求解即可.详解：得或，令，则为增函数，原函数的单调递增区间为，故选D.点睛：本题主要考查二次函数与幂函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.4. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（）A. 15B. 37C. 83D. 177【答案】B【解析】分析：根据已知中的流程图，我们模拟程序的运行结果，看变量i的值是否满足判断框的条件，当判断框的条件不满足时执行循环，满足时退出循环，即可得到输出结果．详解：执行程序，可得，不符合，返回循环；，不符合，返回循环；，不符合，返回循环；，不符合，返回循环；，符合，输出；故选：B点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.5. 已知命题：，；命题：，，则下列命题中为真命题的是：（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：考察函数图象可知: 命题为假命题，命题为真命题，所以为真命题．考点：命题的真假判断．6. 已知、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且，若的面积为9，则的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：由已知得，，结合能得到的值.详解：是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，，，，，，故选C.点睛：本题考查椭圆的定义，基本性质和平面向量的知识.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.7. 在公比为的正项等比数列中，，则当取得最小值时，（）A. B. C. D.【答案】AA. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】分析：由三视图可得，该几何体是底面为直角梯形的柱体，根据三视图中数据利用棱柱的体积公式可得结果. 详解：由三视图可得，该几何体是底面为直角梯形的柱体，其中棱柱的高为，底面积为，可得几何体的体积为，故选C.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.9. 已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，则，由，，则，故选B．【名师点睛】解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量，哪些是已知的，哪些是待求的，再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值，注意根据角的象限确定符号．这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．10. 若函数在处有极大值，则常数为（）A. 2或6B. 2C. 6D. -2或-6【解析】分析：求出函数的导数，再令导数等于0，求出c 值，再检验函数的导数是否满足在x=2处左侧为正数，右侧为负数，把不满足条件的 c值舍去．详解：∵函数f（x）=x（x﹣c）2=x3﹣2cx2+c2x，它的导数为=3x2﹣4cx+c2，由题意知在x=2处的导数值为 12﹣8c+c2=0，∴c=6或 c=2，又函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，故导数值在x=2处左侧为正数，右侧为负数．当c=2时，=3x2﹣8x+4=3（x﹣）（x﹣2），不满足导数值在x=2处左侧为正数，右侧为负数．当c=6时，=3x2﹣24x+36=3（x2﹣8x+12）=3（x﹣2）（x﹣6），满足导数值在x=2处左侧为正数，右侧为负数．故 c=6．故答案为：C点睛：（1）本题主要考查利用导数求极值，意在考查学生对该知识的掌握能力. (2)本题是一个易错题，容易错选A，函数f(x)在点处的导数是函数在处有极值的必要非充分条件.11. 在中，，，则角（）A. B. C. 或 D.【答案】D【解析】分析：在中，利用，结合题中条件，利用和差角公式可求得，利用正弦定理与二倍角的正弦即可求得结果.详解：在中，因为，所以，所以，即，因为，所以，所以由正弦定理得，联立两式可得，即，，所以，所以，所以，故选D.点睛：本题主要考查三角函数的计算以及正余弦定理的应用，最后求得之后，一定要抓住题中条件，最后确定出角的大小.12. 设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A. B. C. D.【解析】分析：构造函数，可得在上为减函数，可得在区间和上，都有，结合函数的奇偶性可得在区间和上，都有，原不等式等价于或，解可得的取值范围，即可得到结论.详解：根据题意，设，其导数，又由当时，，则有，即函数在上为减函数，又由，则在区间上，，又由，则，在区间上，，又由，则，则在和上，，又由为奇函数，则在区间和上，都有，或，解可得或，则的取值范围是，故选D.点睛：利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.二、填空题（每小题5分，共20分）13. 计算__________．【答案】【解析】分析：直接利用微积分基本定理求解即可.详解：,故答案为.点睛：本题主要考查微积分基本定理的应用，属于简单题.14. 已知函数，，是函数图象上相邻的最高点和最低点，若，则__________．【答案】1【解析】分析：根据勾股定理可得，求得，，从而可得函数解析式，进而可得结果.详解：令的最小正周期为，由，可得，由是函数图象上相邻的最高点和最低点，若，则由勾股定理可得，即，解得，故，可得，，故，故答案为.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.15. 已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的方程是__________．【答案】【解析】分析：利用双曲线的渐近线的方程可得＝2，再利用抛物线的焦点抛物线y2＝20x的焦点相同即可得出c，即可求得结论.详解：由题得＝2，c=5，再由得故双曲线的方程是.16. 如图，在平面四边形中，，，，.若点为边上的动点，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：设，可得，利用平面向量数量积公式结合二次函数的性质可得结果.详解：如图，连接，已知，，又，，设，，当时，有最小值，故答案为.点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.三、解答题（17-21题每小题12分，22题10分，共70分）17. 设为数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）根据数列的递推关系，利用作差法可得是首项为，公差的等差数列，从而可求的通项公式；（2）求出，，利用裂项法即可求数列的的前项和.详解：（1）由，可知，两式相减得，即，∵，∴，∵，∴（舍）或，则是首项为3，公差的等差数列，∴的通项公式.（2）∵，∴，∴数列的前项和.点睛：本题主要考查等差数列的通项，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18. 如图，四棱锥中，底面为菱形，，，点为的中点.（1）证明：；（2）若点为线段的中点，平面平面，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】分析：（1）由正三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，由线面垂直的判定定理可得平面，从而可得结论；（2）由（1）知，结合面面垂直的性质可得，平面，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量取平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.详解：（1）连接，因为，，所以为正三角形，又点为的中点，所以.又因为，为的中点，所以.又，所以平面，又平面，所以.（2）由（1）知.又平面平面，交线为，所以平面，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的一个法向量为，可得得，由（1）知平面，则取平面的一个法向量，，故二面角的余弦值为.点睛：本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. 十九大报告提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫工作.某帮扶单位帮助贫困村种植蜜柚，并利用互联网电商渠道进行销售.为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，其质量分布在区间内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：（1）按分层抽样的方法从质量落在，的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽2个，求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率；（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：.所有蜜柚均以40元/千克收购；.低于2250克的蜜柚以60元/个收购，高于或等于2250的以80元/个收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案.【答案】（1）；（2）应该选择方案.【解析】分析：（1）利用列举法，从蜜柚中随机抽取个的情况共有种，其中量小于克的仅有1种情况，由古典概型概率公式可得结果；（2）若按方案收购，求出总收益为（元），若按方案收购，收益为元，从而可得结果.详解：（1）由题得蜜柚质量在和的比例为，∴分别抽取2个和3个.记抽取质量在的蜜柚为，，质量在的蜜柚为，，，则从这个蜜柚中随机抽取个的情况共有以下10种：（2）若按方案收购，，，，，，，，，，其中质量小于2000克的仅有这1种情况，故所求概率为.（2）方案好，理由如下：由频率分布直方图可知，蜜柚质量在的频率为，同理，蜜柚质量在，，，，的频率依次为0.1，0.15，0.4，0.2，0.05，若按方案收购：根据题意各段蜜柚个数依次为500，500，750，2000，1000，250，于是总收益为（元），若按方案收购：∵蜜柚质量低于2250克的个数为，蜜柚质量低于2250克的个数为，∴收益为元，∴方案的收益比方案的收益高，应该选择方案.点睛：本题主要考查直方图的应用、古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.20. 已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于不同的两点，，已知点的坐标为，点在线段的垂直平分线上，且，求的值.【答案】（1）；（2）或.【解析】试题分析：（1）依题意，面积为，联立方程组，解得,所以椭圆的方程，；（2）设直线的方程为，联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数关系求出，设线段的中点为，则的坐标为.接着按，两类，代入，列方程，可求得或. 试题解析：（1）由,得.再由,解得,由题意可知，即,解方程组，得,所以椭圆的方程，.（2）由（1）可知点，的坐标是,设点的坐标为,直线的斜率为.则直线的方程为,于是两点的坐标满足方程组,消去并整理，得.由,得.从而..设线段的中点为，则的坐标为以下分两种情况：①当时,点的坐标是,线段的垂直平分线为轴，于是.由,得.②当时,线段的垂直平分线方程为.令,解得,由,整理得.故.综上,或.考点：直线与圆锥曲线位置关系.【方法点晴】解析几何解答题一般为试卷两个压轴题之一，“多考想，少考算”，但不是“不计算”.常用的解析几何题目中的简化运算的技巧有：利用圆锥曲线的概念简化运算，条件等价转化简化运算，用形助数简化运算，设而不求简化运算.圆锥曲线题目运算量较大时，要合理利用圆锥曲线的几何特征将所求的问题代数化.本题第一问主要就是利用方程的思想，根据题意列出方程组，即可求得椭圆方程.视频21. 已知.（1）当时，求证：；（2）若有三个零点时，求的范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】分析：（1）令，，，利用导数可得在上单调递减，，从而可得结论;（2）有三个零点等价于有三个零点，当时，当时，可得是单调函数，至多有一个零点，不符合题意，当时，利用导数研究函数的单调性，根据单调性，结合函数图象可得的范围是.详解：（1）证明：，令，，，，在上单调递减，，所以原命题成立.（2）由有三个零点可得有三个零点，，①当时，恒成立，可得至多有一个零点，不符合题意；②当时，恒成立，可得至多有一个零点，不符合题意；③当时，记得两个零点为，，不妨设，且，时，；时，；时，观察可得，且，当时，；单调递增，所以有，即，时，，单调递减，时，单调递减，由（1）知，，且，所以在上有一个零点，由，且，所以在上有一个零点，综上可知有三个零点，即有三个零点，所求的范围是.点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.22. 选修4-4：坐标系与参数方程直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点，，若点的坐标为，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据将圆的极坐标方程转化为直角坐标方程（2）由直线参数方程得，所以将直线参数方程代入圆直角坐标方程得t2+2(cosα-sinα)t-7=0，利用韦达定理化简得，最后根据三角函数有界性求最小值.试题解析：（1）由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+y2=6y，即x2+(y-3)2=9．（2）将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2+2(cosα-sinα)t-7=0．由△=4(cosα-sinα)2+4×7＞0，故可设t1，t2是上述方程的两根，所以又由直线过点(1,2)，故，结合参数的几何意义得，当时取等．所以|PA|+|PB|的最小值为．。
成都七中2018年外地生招生考试数学试题及解析(精)
成都七中2018年外地生招生考试数学(考试时间：120 分钟 总分：150 分)一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题 5 分，共 5 分) 1．满足|a －b |＝|a |＋|b |成立的条件是( C )A ．ab ＞0B ．ab ＜0C ．ab ≤0D ．ab ≤1分析：根据条件分析a 与b 的关系，进而求出正确答案． 解：当a ，b 异号或其中的一个为0时，|a －b |＝|a |＋|b |成立， 即当ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |成立．2．已知a ，b ，c 为正数，若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个实数根，则关于x 的方程a 2x 2＋b 2x ＋c 2＝0解的情况为( C ) A ．有两个不相等的正根 B ．有一个正根，一个负根 C ．有两个不相等的负根D ．不一定有实数根分析：由方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个实数根可得出b 2－4ac ≥0，结合a ，b ，c 为正数可得出△＝b 4－4a 2c 2＞0，进而可得出关于x 的方程a 2x 2＋b 2x ＋c 2＝0有两个不相等的实数根，由根与系数的关系可得出该方程的两根之和为负、两根之积为正，进而可得出关于x 的方程a 2x 2＋b 2x ＋c 2＝0有两个不相等的负根． 解：∵关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个实数根， ∴△＝b 2－4ac ≥0． 又∵a ，b ，c 为正数，∴b 2－4ac ＋2ac ＝b 2－2ac ＞0，b 2＋2ac ＞0．∵方程a 2x 2＋b 2x ＋c 2＝0的根的判别式△＝b 4－4a 2c 2＝(b 2＋2ac )(b 2－2ac )＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根．设关于x 的方程a 2x 2＋b 2x ＋c 2＝0的两个实数根为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝－b 2a 2＜0，x 1x 2＝c 2a2＞0，∴关于x 的方程a 2x 2＋b 2x ＋c 2＝0有两个不相等的负根．3．已知数据x 1，x 2，x 3的平均数为a ，y 1，y 2，y 3的平均数为b ，则数据2x 1＋3y 1，2x 2＋3y 2，2x 3＋3y 3的平均数为( A ) A ．2a ＋3bB ．23a ＋bC ．4a ＋9bD ．2a ＋b分析：把2x 1＋3y 1、2x 2＋3y 2、2x 3＋3y 3的平均数的式子用a 和b 表示出来即可． 解：∵x 1，x 2，x 3的平均数为a ，y 1，y 2，y 3的平均数为b∴(2x 1＋3y 1＋2x 2＋3y 2＋2x 3＋3y 3)÷3＝[2(x 1＋x 2＋x 3)＋3(y 1＋y 2＋y 3)]÷3＝[2×3a ＋3×3b ])÷3＝2a ＋3b ． 4．若函数y ＝12(x 2－100x ＋196＋|x 2－100x ＋196|)，则当自变量x 取1，2，3，…，100这100个自然数时，函数值的和是( B ) A ．540B ．390C ．194D ．97分析：将x 2－100x ＋196分解为(x －2)(x －98)，然后可得当2≤x ≤98时函数值为0，再分别求出x ＝1，99，100时的函数值即可．解：∵x 2－100x ＋196＝(x －2)(x －98)，∴当2≤x ≤98时，|x 2－100x ＋196|＝－(x 2－100x ＋196)，∴当自变量x 取2到98时，y ＝12[x 2－100x ＋196－(x 2－100x ＋196)]＝0，即函数值为0，而当x 取1，99，100时，|x 2－100x ＋196|＝x 2－100x ＋196，此时y ＝12[x 2－100x ＋196＋(x 2－100x ＋196)]＝x 2－100x ＋196＝(x －2)(x －98)，所以，所求和为(1－2)(1－98)＋(99－2)(99－98)＋(100－2)(100－98)＝97＋97＋196＝390． 5．已知(m 2＋1)(n 2＋1)＝3(2mn －1)，则n (1m－m )的值为( D )A ．0B ．1C ．－2D ．－1分析：通过配方求出m ，n 的值或求出m ，n 之间的关系即可！ 解：由(m 2＋1)(n 2＋1)＝3(2mn －1)，整理，得 m 2n 2＋m 2＋n 2＋1－6mn ＋3＝0， m 2n 2－4mn ＋4＋m 2－2mn ＋n 2＝0， (mn －2)2＋(m －n )2＝0， mn －2＝0，且m －n ＝0， ∴mn ＝2，m ＝n ，∴原式＝nm－mn ＝1－2＝－1．6．如果存在三个实数 m ，p ，q ，满足 m ＋p ＋q ＝18，且1m ＋p ＋1p ＋q ＋1m ＋q ＝79，则m p ＋q ＋p m ＋q ＋qm ＋p的值是( D ) A ．8B ．9C ．10D ．11分析：注意到所求代数式的三个分式的分子与分母的和恰好都是m ＋p ＋q ，故可利用推导合比性质类似的方法，每个分式加上1，再提出m ＋p ＋q ，这样就把两个已知条件完美的利用起来了！明确了这一点，直接将两个已知条件相乘即可达到这一目的． 解：∵m ＋p ＋q ＝18，且1m ＋p ＋1p ＋q ＋1m ＋q ＝79， ∴(m ＋p ＋q )(1m ＋p ＋1p ＋q ＋1m ＋q )＝79×18，即m ＋p ＋q m ＋p ＋m ＋p ＋q p ＋q ＋m ＋p ＋qm ＋q＝14， ∴1＋q m ＋p ＋1＋p m ＋q ＋1＋m p ＋q ＝14，∴m p ＋q ＋p m ＋q ＋q m ＋p＝11． 7．如图，△ABC 中，AB ＝m ，AC ＝n ，以BC 为边向外作正方形BCDE ，连结EA ，则EA 的最大值为( A )BA．2m＋n B．m＋2n C．3m＋n D．m＋3n分析：在正方形中求线段的最值问题，通常都是将要求（或已知）的线段所在的三角形进行旋转，把要求和的线段和已知的线段转化到同一个三角形中，利用三角形三边之间关系求解．解：将△ABE绕点B顺时针旋转90°，得△A′BC，连接A′A，则△A′BA是等腰直角三角形，AA′＝2AB＝2 m，在△A′AC中，A′C≤A′A＋AC＝2m＋n，即EA＝A′C的最小值2m＋n．8．设A，B，C，D为平面上任意四点，如果其中任意三点不在同一直线上，则△ABC，△ABD，△ACD，△BCD 中至少存在一个三角形的某个内角满足(C)A．不超过15°B．不超过30°C．不超过45°D．以上都不对分析：关于解（或证明）“至少”，“不大于”，“不可能”等相关问题，一般都采用反证法来完成！根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的三个内角都大于45°，从假设出发推出矛盾：四边形内角和大于360°矛盾；三角形内角和大于180°．从而得以证明结论．解：△ABC，△ABD，△ACD，△BCD中至少存在一个三角形的某个内角满足不超过45°，证明：假设A，B，C，D四点，任选三点构成的三角形的三个内角都大于45°，当ABCD构成凸四边形时，可得各角和大于360°，与四边形内角和等于360°矛盾；当ABCD构成凹四边形时，可得三角形内角和大于180°，与三角形内角和等于180°矛盾．故在△ABC，△ABD，△ACD，△BDC中至少有一个三角形的内角不超过45°．9．将抛物线T：y＝x2－2x＋4绕坐标原点O顺时针旋转30°得到抛物线T′，过点A(33，－3)，B(3，33)的直线l与抛物线T′相交于点P，Q，则△OPQ的面积为(B)A．8 B．9 C．10 D．11yxT′T y = x2 2∙x + 4HPQABO分析：由题意A(33，－3)，B(3，33)可知OA⊥OB，建立如图新的坐标系(OB为y′轴，OA为x′轴)，利用方程组求出P，Q的坐标，根据S△OPQ＝S△OBP＋S△OBQ计算即可．解∵点A(33，－3)，B(3，33)，∴OA⊥OB，建立如图新的坐标系，OB为y′轴，OA为x′轴．在新的坐标系中，A(6，0)，B(0，6)，∴直线AB解析式为y′＝－x′＋6，由⎩⎨⎧y′＝－x′＋6，y′＝x′2－2x′＋4，解得⎩⎨⎧x′＝2，y′＝4;或⎩⎨⎧x′＝－1，y′＝7．∴在新的坐标系中，P(－1，7)，Q(2，4)，∴S△OPQ＝S△OBP＋S△OBQ＝12×6×1＋12×6×2＝9．10．如图，锐角△ABC的三条高线AD，BE，CF相交于点H，连结DE，EF，DF，则图中的三角形个数有(C)A．40 B．45 C．47 D．63分析：数三角形的个数时，要想做到不重不漏，就必须要按一定的顺序，按一定规律去数！解：图中的三角形共有47个．二、填空题11．将一个各面都涂油漆的正方形切割成125个同样大小的小正方体，那么仅有2面涂油漆的小正方体共有36个．分析：由于125=5×5×5，由题意可得，大正方体每条棱2面涂油漆的小正方体有5-2=3个，再乘以12即可求解．解：125＝5×5×5，则大正方体每条棱2面涂油漆的小正方体有5－2＝3个，3×12＝36(个)．答：仅有2面涂油漆的小正方体共有36个．12．已知x ≠y ，且x 2＝2y ＋5，y 2＝2x ＋5，则x 3－2x 2y 2＋y 3＝ ．分析：把两个已知等式分别相加和相减，得到x ＋y ＝－2，xy ＝－1，再由将立方和公式和完全平方公式，将x 3－2x 2y 2＋y 3变形为关于x ＋y 和xy 的代数式即可求解．解：∵⎩⎨⎧x 2＝2y ＋5，①y 2＝2x ＋5，②①－②，得 x 2－y 2＝2(y －x )， 即(x －y )(x ＋y )＝2(y －x ) ∵x ≠y ， ∴x ＋y ＝－2．①＋②，得 x 2＋y 2＝2(y ＋x )＋10＝－4＋10＝6， ∴(x ＋y )2－2xy ＝6，即(－2)2－2xy ＝6， ∴xy ＝－1，∴x 3－2x 2y 2＋y 3＝(x ＋y )[(x ＋y )2－3xy ]－2(xy )2＝－16， 故答案为：－16．13．如图，多边形ABDEC 是由边长为m 的等边△ABC 和正方形BDEC 组成，⊙O 过A ，D ，E 三点，则∠ACO ＝ ．分析：先求出∠ACE 的度数，再证△ACO ≌△ECO ，即可求出∠ACO ＝12∠ACE ＝75°．解：∵多边形ABDEC 是由边长为m 的等边△ABC 和正方形BDEC 组成， ∴AC ＝EC ，∠ACE ＝∠ACB ＋∠ECB ＝60°＋90°＝150°， ∵⊙O 过A ，D ，E 三点， ∴AO ＝EO ， 又OC ＝OC ，∴△ACO ≌ECO (SSS )，∴∠ACO ＝∠ECO ＝12∠ACE ＝12×150°＝75°．变式练习：(1)如图，多边形ABDEC 是由边长为m 的等边△ABC 和正方形BDEC 组成，⊙O 过点A ，D ，E 三点，则⊙O 的半径等于 ．(2)若多边形ABDEC 是由一个等腰△ABC 和一个矩形BDEC 组成，AB ＝AC ＝BD ＝m ，⊙O 过A ，D ，E 三点，则⊙O 的半径是否改变？解：(1)如图，过A 作BC 的垂线交DE 于F 点，由于△ABC 为等边三角形，则AF 平分BC ， ∵四边形BDEC 为正方形， ∴AF 也垂直平分DE ，∴过点A ，D ，E 三点的圆的圆心O 在AF 上， 连接AD ，OD ，则OA ＝OD ， ∴∠1＝∠2， 又∵BC ＝BD ＝BA ， ∴∠3＝∠4， 而AF ∥BD ， ∴∠1＝∠4， ∴∠2＝∠3， ∴AB ∥OD ，∴四边形ABDO 为菱形，∴AO ＝AB ＝2，即⊙O 的半径为2． (2)⊙O 的半径不改变．因为AB ＝AC ＝BD ＝2，此题的求法和(1)一样，⊙O 的半径为2． 故答案为2，不改变．14．已知实数a ，b ，c 满足a ≠b ，且2(a －b )＋2(b －c )＋(c －a )＝0，则(c －b )(c －a )(a －b )2＝ 2＋2 ．方法一：（主元法－－将2看成未知数)令2＝x ，则原等式就可变为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系求出代数式的值．解：令2＝x ，则2＝x 2，原等式就可变形为关于x 的一元二次方程(a －b )x 2＋(b －c )x ＋(c －a )＝0． ∵(a －b )＋(b －c )＋(c －a )＝0 ∴方程必有一个根是1， ∴方程的两个根分别是1和2， 根据根与系数关系有： 1＋2＝－b －c a －b ，1•2＝c －aa －b∴(c －b )(c －a )(a －b )2＝－b －c a －b ·c －aa －b＝(1＋2)·1•2＝2＋2．方法二：（整体思想）等式整理后，不能求出a ，b ，c 的值，所以可尝试进行等式变形．注意到a －b ，b －c ，c －a 这三个代数式之间的特殊关系（任意两个相加可得第三个），这样即可将已知条件看成关于其中两个代数式的等式，结合所求代数式进行变形，求出c －a a －b （或c －b a －b ）的值，再把要求的分式变形，使变形后的分式只含有c －a a －b （或c －ba －b ），再整体代入．解：2(a －b )＋2(b －c )＋(c －a )＝0可变形为2(a －b )＋2(b －c )－[(a －b )＋(b －c )]＝0， 即 (a －b )＋(2－1)(b －c )＝0， ∴c －b a －b ＝12－1＝2＋1， ∴c －a a －b ＝(c －b )＋(b －a )a －b ＝c －b a －b －1＝2＋1－1＝2， ∴(c －b )(c －a )(a －b )2＝c －b a －b ·c －aa －b＝(1＋2)•2＝2＋2．15．将小王与小孙现在的年龄按从左至右的顺序排列得到一个四位数，这个数为完全平方数，再过31年，将他们的年龄按同样方式排列，又得到一个四位数，这个数仍然为完全平方数，则小王现在的年龄是 12 岁． 分析：设小王年龄为x 岁，小孙年龄为y 岁，可得100x ＋y ＝m 2，100(x ＋31)+y ＋31＝n 2，两式相减因式分解后得到 31×101＝(n －m )(n ＋m )，得到方程组后解答即可． 解：设小王年龄为x 岁，小孙年龄为y 岁，可得，⎩⎨⎧100x ＋y =m 2，100(x ＋31)＋y ＋31＝n 2，两式相减得100×31＋31＝n 2－m 2， 31×101＝(n －m )(n ＋m )，∴⎩⎨⎧n ＋m ＝101，n －m ＝31， 解得，⎩⎨⎧m ＝35，n ＝66，∴100x ＋y ＝352＝1225， ∴x ＝12，y ＝25，即：小王现在的年龄是12岁．16．设合数k 满足，1＜k ＜100，若k 的数字和为质数，就称合数k 为“山寨质数”，则这种“山寨质数”的个数是 23 个．分析：分别从质数的定义分析进而分别得出和为质数的山寨质数． 解：用S (K )表示k 的数字和；而M (p )表示为山寨质数p 的合数的集合．当k ≤99时，S (k )≤18，不大于18的质数共有7个，它们是：2，3，5，7，11，13，17， 山寨为2的合数有M (2)＝{20}，而M (3)＝{12，21，30}， M (5)＝{14，32，50}，M (7)＝{16，25，34，52，70}；M (11)＝{38，56，65，74，92}，M (13)＝{49，58，76，85，94}，M (17)＝{98}， 共得23个山寨质数．17．如图，在平面直角坐标系中，☉M 经过坐标原点，且与x 轴、y 轴分别相交于点A (－8，0)，B (0，－6)两点．若抛物线对称轴过点M ，顶点C 在圆上，开口向下，交x 轴于点D ，E 两点，P 在抛物线上，若S △PDE ＝15S △ABC ，则满足条件的P 点有 3 个．分析：求出AB 的解析式y ＝−34x －6，根据条件求出C 点坐标，设抛物线解析式y ＝a (x ＋4)2＋2，将点B 代入解析式，求出a 值，确定抛物线解析式；可求出抛物线与x 轴交点间距离DE ＝4，点P 到x 轴的距离是2，P 点的纵坐标是2或－2，分别求出P 点对应的横坐标即可确定P ． 解：∵抛物线对称轴过点M ，∴AM ＝BM ＝CM ，AN ＝ON ， ∵A (－8，0)，∴N (－4，0)，∴M 点的横坐标是－4， 直线AB 的解析式为y ＝−34x －6，∴M (－4，－3)，∴AM ＝5，∴CM ＝5，∴C (－4，2)， ∴S △ABC ＝12×5×8＝20，∵S △PDE ＝15S △ABC ，∴S △PDE ＝4，设抛物线解析式y ＝a (x ＋4)2＋2，∵经过点B (0，－6)，∴a ＝－12，∴y ＝－12x 2－4x －6，∴D (－6，0)，E (－2，0)，∴DE ＝4，∴点P 到x 轴的距离是2，∴P 点的纵坐标是2或－2，当P 点纵坐标是2时，－12x 2－4x －6＝2，解得x ＝－4，∴P (－4，2)；当P 点纵坐标是－2时，－12x 2－4x －6＝－2，∴x ＝－4＋22或x ＝－4－22，∴P (－4＋22，－2)或P (－4－22，－2)， ∴符合条件的P 点有3个．18．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，D 为AB 中点，BE ＝3，AC ＝4，☉B 经过点E ，P 为☉B 上一动点，则4PC ＋3PD 的最小值为 ．DE CBAP分析：由含30°角直角三角形的性质得出AB ＝2AC ＝8，由勾股定理得出BC ＝AB 2－AC 2＝43，由D 为AB 中点，得出BD ＝AD ＝12AB ＝4，由圆半径得出BP ＝BE ＝3，在线段BE 上取点Q ，使BQ ＝94，连接PQ ，过点C 作CH ⊥AB 于H ，求出BQ PB ＝BP BD ，∠PBD ＝∠QBP ，则△PBQ ∽△DBP ，得出PQ PD ＝BQ BP ＝34，推出4PQ＝3PD ，PQ ＝34PD ，即PC ＋34PD ＝PC ＋PQ ，连接CQ ，交⊙B 于点P ′，此时P ′C ＋P ′Q ＝CQ 最小，即P ′C＋34P ′D 最小，则P ′为4PC ＋3PD 的最小值时的动点P 的位置，易求AH ＝12AC ＝2，CH ＝AC 2－AH 2＝23，HQ ＝AB －BQ －AH ＝154，由勾股定理得出CQ ＝CH 2＋HQ 2＝4174，由4CQ ＝4(PC ＋34PD )＝4PC ＋3PD ，即可得出结果．解；∵Rt △ABC 中∠ACB ＝90°，∠A ＝60°， ∴AB ＝2AC ＝8，BC ＝AB 2－AC 2＝43， ∵D 为AB 中点，∴BD ＝AD ＝12AB ＝4，∵⊙B 经过点E ，P 为⊙B 上一动点， ∴BP ＝BE ＝3，在线段BE 上取点Q ，使BQ ＝94，连接PQ ，过点C 作CH ⊥AB 于H ，如图所示：∴BQ PB ＝94 3 ＝34，∵BP BD ＝34，∴BQ PB ＝BP BD ， ∵∠PBD ＝∠QBP ， ∴△PBQ ∽△DBP ， ∴PQ PD ＝BQ BP ＝34，， ∴4PQ ＝3PD ，PQ ＝34PD ，∴PC ＋34PD ＝PC ＋PQ ，连接CQ ，交⊙B 于点P ′，此时P ′C ＋P ′Q ＝CQ 最小，即P ′C ＋34P ′D 最小，∴P ′为4PC ＋3PD 的最小值时的动点P 的位置， ∵∠A ＝60°，∠CHA ＝90°，∴AH ＝12AC ＝2，∴CH ＝AC 2－AH 2＝42－22＝23， ∴HQ ＝AB －BQ －AH ＝8－94－2＝154，∴CQ ＝CH 2＋HQ 2＝(23)2＋(154)2＝4174，∴4CQ ＝4(PC ＋34PD )＝4PC ＋3PD ，∴4PC ＋3PD ＝4×4174＝417． 三、解答题19．是否存在这样的整系数二次三项式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，其中a 不是2018的倍数，而且f (1)，f (2)，…，f (2018)被2018除的余数各不相同？请做出判断并说明理由． 分析：根据因式分解得相关知识可以解答此题． 解：存在，取 a ＝1009，令f (x )＝1009x 2＋2010x 由于对任何正整数，乘积都是偶数． 由此 1009 是 2018 的倍数．∴令 被 2018 除的余数与 被 2018 除的余数相同 即，除的余数各不相同．20．若m ，n ，p 为三个整数，且m ＋n ＋p ＝21，n m ＝pn，求：(1)当m 取最小值时，np 的值； (2)当m 取最大值时，np 的值．＝pn ＝x ，则n ＝mx ，p ＝nx ＝mx ·x ＝mx 2，由m ＋n ＋p ＝21，得mx 2＋mx ＋m ＝21，显然该方程有有理根，据此可解决本题！＝pn ＝x ，则n ＝mx ，p ＝nx ＝mx ·x ＝mx 2，由m ＋n ＋p ＝21，得mx 2＋mx ＋m ＝21， 即方程x 2＋x ＋1－21m ＝0有有理根，∴Δ＝1－4×1×(10，∴0＜m ≤28，(1)当m 取最小值1时，x 2＋x －20＝0，解得x ＝4或x ＝－5． ①当m ＝1，x ＝4时，n ＝4，p ＝16，∴np ＝64； ②当m ＝1，x ＝－5时，n ＝－5，p ＝25，∴np ＝－125．21．平面直角坐标系内，A 坐标为(0，3)，B 为x 轴负半轴上一动点，C 为B 关于A 的对称点，D 为B 关于y 轴的对称点，作△BCD 的外接圆，交y 轴负半轴于E 点，连结BE ，CE ，BI 平分∠CBD 交CE 于点I ． (1)如图 1，若AI ⊥CE ，设Q 为☉A 上在第二象限内一点，连接DQ 交y 轴于T 点，连结BQ 并延长交y 轴正半轴于G 点，求AT ·AG 的值；(2)如图2，若A (0，3)，B ，D 关于y 轴对称，当tan ∠ABO ＝34时，线段AB 上一动点P (不与A ，B 重合)，连结PD 交y 轴于M 点，△PMB 外接圆☉O 1交y 轴另一点为N ，若☉O 1半径为R ，求MN R的值．分析：（1）由垂径定理和外角性质可证BE ＝IE ＝IC ，通过证明△BEO ∽△CBE ，可得OE OB ＝BE CE，可得OB ＝2OE ，设⊙A 的半径为R ，由勾股定理可求R ＝5，通过证明△ABG ∽△ATB ，可得AB AG ＝AT AB，即可求解； （2）作O 1K ⊥MN 于K ，连接O 1N ，PN ，BM ，由三角函数可求OB ＝OD ＝4，通过解直角三角形可求MN R的值．解：(1)连结 QC ，TB ，则∠QCB ＋∠CBQ ＝90°，又∠QDB ＋∠DTO ＝90°，而∠QCB ＝∠QDB ，∴∠CBQ ＝∠DTO ＝∠BTO ，且∠BAG ＝∠BAT∴△ABG ∽△ATB ，∴AB AG ＝AT AB，∴AB 2＝AG •AT ． ∵AI ⊥CE ，∴I 为CE 的中点，∴AE ＝AC ，IE ＝IC ．∴∠ACE ＝∠AEC ，且∠ACE ＋∠CBE ＝90°，∠AEC ＋∠BEO ＝90°，∴∠BEO ＝∠CBE ，且∠BEC ＝∠BOD ＝90°，∴△BEO ∽△CBE ，∴OE OB ＝BE CE， ∵AE ⊥BD ，∴BE ︵＝DE ︵，∴∠DBE ＝∠BCE ．又∵∠CBI ＝∠DBI ，∠BIE ＝∠∠BCE ＋∠CBE ，∠IBE ＝∠DBI ＋∠DBE ，∴∠BIE ＝∠IBE ，∴BE ＝IE ＝IC ，∴OE ：OB ＝BE ：CE ＝1︰2，∴OB ＝2OE ．设⊙A 的半径为R ，由AB 2－OA 2＝BO 2，OE ＝R －3，得R 2－32＝4(R －3)2，解得R ＝5，或R ＝3(不合题意，舍去)．∴AT •AG ＝AB 2＝25．(注：可连结 AD ，CD 证△BAG ∽△TAD ，△TAD ≌△TAB ，本质类似．)(2)作O 1K ⊥MN 于K ，连接O 1N ，PN ，BM ，则MN ＝2NK ，且∠N O 1K ＝∠1，∴MNR ＝2NKO 1K ＝2sin ∠NO 1K ＝2sin ∠1．∵tan ∠ABO ＝34＝OAOB ，∴OB ＝OD ＝4，且OM ⊥BD ，∴∠2＝∠3．又∠2＝∠4＋∠5，∠3＝∠1＋∠6，∵∠5＝∠6，∴∠1＝∠4＝∠NO 1K ，∴MNR ＝2sin ∠4＝2×BO AB ＝85．。
【数学】四川省成都市第七中学2018届高三上学期一诊模拟数学理试卷含解析
四川省成都市第七中学2018届高三上学期一诊模拟试卷数学理科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合若则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】集合，，则，故选D.2. 复数（为虚数单位）的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】复数的虚部为，故选A.3. “直线与平面内无数条直线平行”是“直线//平面”的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由“直线与平面内无数条直线都平行”不能推出“直线与平面平行”，因为直线可能在平面内,故充分性不成立,由“直线与平面平行”,利用直线和平面平行的定义可得“直线与平面内无数条直线都平行”,故必要性成立,故“直线与平面内无数条直线都平行“是”直线与“平面平行”的必要非充分条件,故选C.4. 设实数满足约束条件则目标函数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，得，联立，得，由，而目标函数的取值范围是，故选D.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移、旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5. 《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）A. 18B. 17C. 16D. 15【答案】B【解析】由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示二进制数的，转化为十进制数的计算为，故选B.6. 在区间内随机取一个数，则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，，故方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是，故选D...................7. 已知则（）A. -6或1B. -1或6C. 6D. 1【答案】A【解析】由题意，，或，故选A.8. 已知为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中常数项的系数是（）A. -20B. 20C.D. 60【答案】A【解析】模拟程序框图的运行过程，如下：，是，；，是，；，是，；，否，退出循环，输出的值为二项式的展开式中的通项是，令，得常数项是，故选A.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图以及二项式定理，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9. 定义在上的奇函数满足是偶函数，且当时，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】是定义在上的奇函数，，函数是定义在上的偶函数，，，可得，则的周期是，，故选C.10. 已知函数若成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不妨设，，故，令，，易知在上是增函数，且，当时，，当时，，即当时，取得极小值同时也是最小值，此时，即的最小值为，故选B.11. 在直角坐标平面上的一列点简记为若由构成的数列满足其中为方向与轴正方向相同的单位向量，则称为点列.有下列说法①为点列；②若为点列，且点在点的右上方.任取其中连续三点则可以为锐角三角形；③若为点列，正整数若，满足则④若为点列，正整数若，满足则.其中，正确说法的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】①由题意可知，，显然有是点列，①正确；②在中，，，点在点的右上方，为点列，，，则，为钝角，为钝角三角形，不可以为锐角三角形，②错；③，，，③正确；④同理②，由于为点列，于是，可推导，，即，④正确，正确说法的个数为，故选C.12. 已知是双曲线的左右焦点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，与双曲线交于点，且均在第一象限，当直线时，双曲线的离心率为，若函数，则（）A. 1B.C. 2D.【答案】C【解析】双曲线的，双曲线的渐近线方程为与圆联立，解得，与双曲线方程联立，解得，即为，直线与直线平行时，既有，即，既有，，即，故选C.【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率、双曲线的渐近线，属于难题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求与离心率有关的问题，应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e的等式.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 抛物线上的点到焦点的距离为2，则__________．【答案】2【解析】抛物线上一点到焦点的距离为，该点到准线的距离为，抛物线的准线方程为，求得，故答案为.14. 已知递减等差数列中，为等比中项，若为数列的前项和，则的值为__________．【答案】4【解析】设递减等差数列的公差为成等比数列，，，又，联立解得，，故答案为.【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前项和的关系.15. 在四面体中，，二面角的余弦值是，则该四面体的外接球的表面积是__________．【答案】【解析】取中点，连接，平面为二面角，在中，，取等边的中心，作平面，过作平面为外接球球心，，二面角的余弦值是，点为四面体的外接球球心，其半径为，表面积为，故答案为.16. 设函数对任意不等式恒成立，则正数的取值范围是__________．【答案】【解析】对任意，不等式恒成立，则等价为恒成立，，当且仅当，即时取等号，即的最小值是，由，则，由得，此时函数为增函数，由得，此时函数为减函数，即当时，取得极大值同时也是最大值，则的最大值为，则由，得，即，则，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知中，角的对边分别为，（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【答案】(1) （2）【解析】试题分析：（1）由根据正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可得，可得，即可得解的值；（2）由已知及余弦定理得解得的值，进而利用三角形面积公式即可得结果.试题解析：(1)，由正弦定理可得又（2）由余弦定理可得又的面积为18. 如图，在边长为4的菱形中,，点分别是的中点，，沿将翻折到，连接，得到如图的五棱锥，且（1）求证：平面（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）先证明，从而，根据线面垂直的判定定理可证明平面；（2）设，连接，以为原点，在直线为轴，所在直线轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：（1）点分别是的中点菱形的对角线互相垂直（2）设，连接为等边三角形，，在中，在中，，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则设平面的法向量为，由得令得平面的一个法向量为，由（1）知平面的一个法向量为，设求二面角的平面角为，则二面角的余弦值为【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. “微信运动”已成为当下热门的运动方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：附：（1）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？（2）若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选2人，其中每日走路不超过5000步的有人，超过10000步的有人，设，求的分布列及数学期望.【答案】（1）列联表见解析，没有95%以上的把握认为二者有关（2）分布列见解析，【解析】试题分析：（1）根据根据表格中数据可完成列联表，根据公式求出，由此可得没有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关；（2）的所有可能取值为分别求出各随机变量的概率，从而可得的分布列，根据期望公式可得数学期望.试题解析：（1）故没有95%以上的吧我认为二者有关（2）由题知，小王的微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过5000步的概率为，超过10000步的概率为，且当或时，；当或时，；当或时，；即的分布列为可得期望【方法点睛】本题主要独立性检验的应用以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解离散型随机变量的分布列与数学期望问题，首项要理解问题的关键，其次要准确无误的随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.20. 已知点为圆的圆心，是圆上动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足（1）当在圆上运动时，求点的轨迹方程；（2）若斜率为的直线与圆相切，与（1）中所求点的轨迹教育不同的两点是坐标原点，且时，求的取值范围.【答案】（1）（2）或【解析】试题分析：（1）中线段的垂直平分线，所以，所以点的轨迹是以点为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，从而可得椭圆方程；（2）设直线，直线与圆相切，可得直线方程与椭圆方程联立可得：，可得，再利用数量积运算性质、根与系数的关系及其即可解出的范围.试题解析：（1）由题意知中线段的垂直平分线，所以所以点的轨迹是以点为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，故点的轨迹方程式（2）设直线直线与圆相切联立所以或为所求.21. 已知函数，其导函数为. （1）设，若函数在上有且只有一个零点，求的取值范围；（2）设，且，点是曲线上的一个定点，是否存在实数，使得成立？证明你的结论【答案】（1）或（2）不存在实数，使得成立. 【解析】试题分析：（1）求得的解析式，令，可得，设，求得的导数和单调区间、极值；结合零点个数只有一个，即可得到的范围；（2）假设存在实数，使得成立，求得的导数，化简整理可得，考虑函数的图象与的图象关于直线对称，上式可转化为，设，上式即为，令，求出导数，判断单调性即可判断不存在. 试题解析：（1）当时，由题意只有一解.由得令则令得或当时，单调递减，的取值范围为当时，单调递增，的取值范围为当时，单调递减，的取值范围为由题意，得或，从而或，所以，当或时，函数只有一个零点.（2）假设存在，则有即不妨设，则，两边同除，得令令在上单调递增对恒成立，在上单调递增又对恒成立，即（*）式不成立，不存在实数，使得成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线和定点，是此曲线的左、右焦点，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.(1)求直线的极坐标方程；(2)经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于两点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由圆锥曲线化为，可得，利用截距式即可得出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可；（2）直线的斜率为，可得直线的斜率为直线的方程为，代入椭圆的方程为，，利用直线参数方程的几何意义及韦达定理可得结果.试题解析：（1）曲线可化为其轨迹为椭圆，焦点为和，经过和的直线方程为所以极坐标方程为（2）由（1）知直线的斜率为，因为，所以的斜率为，倾斜角为，所以的参数方程为代入椭圆的方程中，得因为点在两侧，所以23. 选修4-5：不等式选讲已知函数(1)当时，求不等式的解集；(2)若函数与的图像恒有公共点，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）当时，把要的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求；（2）由二次函数在取得最小值在处取得最大值，故有，由此求得实数的范围.试题解析：（1）当时，由的不等式的解集为（2）由二次函数该函数在处取得最小值2，因为在处取得最大值,所以要使二次函数与函数的图像恒有公共点，只需。
四川省成都市第七中学2018届热身考试数学(理)试题
成都七中高 2018 届热身考试数学试题（理科）本试卷分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.第 I 卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.1．已知集合 P = {x ∈ R 1 ≤ x ≤ 3}, Q = {x ∈ R x 2 ≥ 4}, 则 P ⋃ ( R Q ) = （ ）A ．( -2,3 ]B ．[2,3]C ．[1,2)D ． (-∞, -2] ⋃[1, +∞)2．复数 z 满足 (1 - i ) z = i （ i 为虚数单位），则 z 的虚部为（）A ． - 1B ．1C ． - 1iD ． 1i2 2223.甲乙两名同学 6 次考试的成绩统计如右图，甲乙两组数据 的平均数分别为 x 甲 、x 乙 ，标准差分别为 σ甲 、σ乙 ，则（ ）A ． x 甲 < x 乙，σ甲 < σ乙B ． x 甲 < x 乙，σ甲 > σ乙C ． x 甲 > x 乙，σ甲 < σ乙 D ． x 甲 > x 乙，σ甲 > σ乙4.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主 要用于解释中 国传统文化中的太极 衍生原理．数列中的 每一项，都 代表太极衍生过程中，曾经经历过 的两仪数量总和，是 中国传统文 化中隐藏着的 世界数学史上第一道 数列题．其规律是： 偶数项是序 号平方再除以 2，奇数项是序号平方减 1 再除以 2，其前 10 项依次 是 0，2，4，8，12，18，24，40，50，…，如图所示的程序框 图是为了得到大衍数列的前 100 项而设计的，那么在两个“◇”中， 可以先后填入（ ） A ．n 是偶数？， n ≥100？ C ．n 是奇数， n ≥100？B ．n 是偶数？， n > 100？ D ．n 是奇数， n > 100？A ＋ B5．在△ABC 中角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，已知 4sin 25，c ＝ 7，则△ABC 的面积为()2 2A.3 3 2B. 3 2C. 34D.3 346．将 A ，B ，C ，D ，E 这 5 名同学从左至右排成一排，则 A 与 B 相邻且 A 与 C 之间恰好有一名同学的排法有()A ．18 种B ．20 种C ．21 种D ．22 种OAA CB.7．如图，在等腰直角三角形ABO 中，OA＝OB＝1，C 为AB 上靠近→ →点A 的四等分点，过点C 作AB 的垂线l，P 为垂线上任一点，则OP·(OB－→)＝( )1 1 3．－．－2 2 2D.32πx 18．已知a =⎰2 (sin 2 -)dx ，则(ax + 1 9 展开式中，含x 的一次项的系数为（）0 2 2 2ax16 16A．B．- C．63D．-6363 63 16 169．已知函数f (x)＝A sin(ωx＋φ)( A>0，ω>0,0<φ<π)，其导数y＝f '(x)的图象如图所示，则f (π)的值为( )2A．2 2 B. 2 C．－22D．－2410．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A．23π B．23 π4C．64π3D．64πx11.已知双曲线2 y2- =1(a >0,b> 0) 的左、右顶点分别为A, B ，右焦点为F .过点F 且a2 b2垂直于x 轴的直线l 交双曲线于M , N 两点，P 为直线l 上一点，当∠APB 最大时，点P 恰好在M （或N ）处.则双曲线的离心率为（）A. 2B. 3C. 2D. 5⎧mx - ln x, x >012．已知函数f (x) =⎨⎩mx + ln(-x), x <0，若f (x) 由两个极值点x1, x2 ，记过点A( x1, f ( x1)) ，B( x2, f ( x2)) 的直线的斜率为k ，若0 <k ≤ 2e ，则实数m 的取值范围为（）A．(1,2]eB．(1,e]eC．(e,2e]第Ⅱ卷D．(2,2 +1e二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分.⎧x≥0⎪13．设不等式组⎨x＋2y≥4⎩⎪2x＋y≤4所表示的平面区域为D，则可行域D 的面积为．＝ 14．已知 tan β4，sin(α＋β)＝ 5，其中 α，β∈(0，π)，则 sin α 的值为 ． 3 1315．已知函数 f (x )＝|log 3x |，实数 m ，n 满足 0<m <n ，且 f (m )＝f (n )，若 f (x )在[m 2，n ]上的最大值为 2，则n＝ ．m 16.过抛物线 y 2= 4 x 的焦点的一条直线交抛物线与 A 、B 两点，正三角形 ABC 的顶点 C 在 抛物线的准线上，则△ABC 的边长为.三、解答题：解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2018-2019学年四川省成都七中高三(上)10月段考数学模拟试卷(理科)含答案
2018-2019学年四川省成都七中高三（上）10月段考数学模拟试卷（理科）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x2=x}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．{0，1，2}2．若i是虚数单位，复数=（）A．B．C．D．3．过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM（切点为M），交y轴于点P．若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是（）A．B．C．2D．4．已知点在幂函数f（x）的图象上，则f（x）是（）A．奇函数B．偶函数C．定义域内的减函数D．定义域内的增函数5．在区间（0，4）上任取一实数x，则2x＜2的概率是（）A．B．C．D．6．若某中学高二年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数是（）A．90.5B．91.5C．90D．917．已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（）A．12B．C．D．28．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．B．C．D．9．执行如图所示的程序框图，那么输出的S值是（）A．B．﹣1C．2018D．210．已知函数f（x）=10sin x+在x=0处的切线与直线nx﹣y=0平行，则二项式（1+x+x2）（1﹣x）n展开式中x4的系数为（）A．120B．135C．140D．10011．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率e≤2，且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=r2（r＞0）相切，则r的最大值为（）A．3B．C．2D．12．当x＞0时，不等式恒成立，则a的取值范围是（）A．[0，1）∪（1，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0]∪（1，+∞）D．（﹣∞，1）∪（1，+∞）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．等比数列{a n}中，若a2=1，a5=8，则a7=．14．已知两点A（1，1），B（5，4），若向量=（x，4）与垂直，则实数x=．15．如图是一个三棱锥的直观图和三视图，其三视图均为直角三角形，则b等于．16．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且满足4cos 2﹣cos2（B +C ）=，若a =2，则△ABC的面积的最大值是 ．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分） 17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知=a n ﹣2n （n ∈N *）．（1）求a 1的值，若a n =2n c n ，证明数列{c n }是等差数列； （2）设b n =log 2a n ﹣log 2（n +1），数列{}的前n 项和为B n ，若存在整数m ，使对任意n ∈N *且n ≥2，都有B 3n ﹣B n ＞成立，求m 的最大值．18．为了解男性家长和女性家长对高中学生成人礼仪式的接受程度，某中学团委以问卷形式调查了50位家长，得到如下统计表：（1）据此样本，能否有99%的把握认为“接受程度”与家长性别有关？说明理由；（2）学校决定从男性家长中按分层抽样方法选出5人参加今年的高中学生成人礼仪式，并从中选2人交流发言，设X 是发言人中持“赞成”态度的人数，求X 的分布列及数学期望． 参考数据参考公式 x 2=19．将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且AE=．（1）求证：DE⊥AC．（2）求DE与平面BEC所成角的正切值．（3）直线BE上是否存在一点M，使得CM∥平面ADE？若存在，求点M的位置；若不存在，请说明理由．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，半径为b的圆与直线y=x+相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知椭圆C的上顶点为B，过点B且互相垂直的动直线l1，l2与椭圆的另一个交点分别为P，Q，设直线PQ与y轴相交于点M，若=λ，求实数λ的取值范围．21．已知函数f（x）=x2+2alnx．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；（Ⅱ）若函数g（x）=+f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数）．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，求直线的倾斜角α的值．五．解答题（共1小题）23．已知函数f（x）=|2x+2|﹣|2x﹣2|，x∈R．（1）求不等式f（x）≤3的解集；（2）若方程有三个实数根，求实数a的取值范围．2018-2019学年四川省成都七中高三（上）10月段考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x2=x}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．{0，1，2}【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x2=x}={0，1}，∴A∩B={0，1}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．若i是虚数单位，复数=（）A．B．C．D．【分析】将的分子分母都乘以分母的共轭复数1﹣i，即可化简出．【解答】解：∵===，故选：B．【点评】本题考查复数的除法运算，关键是将其分子分母都乘以分母的共轭复数．3．过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM（切点为M），交y轴于点P．若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是（）A．B．C．2D．【分析】根据OM⊥PF，且FM=PM判断出△POF为等腰直角三角形，推断出∠OFP=45°，进而在Rt△OFM中求得半径a和OF的关系，进而求得a和c的关系，则双曲线的离心率可得．【解答】解：∵OM⊥PF，且FM=PM∴OP=OF，∴∠OFP=45°∴|0M|=|OF|•sin45°，即a=c•∴e==故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是利用圆的切线的性质和数形结合的数学思想的运用．4．已知点在幂函数f（x）的图象上，则f（x）是（）A．奇函数B．偶函数C．定义域内的减函数D．定义域内的增函数【分析】根据幂函数的定义，利用待定系数法求出幂函数的不等式，然后根据幂函数的性质进行判断．【解答】解：设幂函数为f（x）=xα，∵点在幂函数f（x）的图象上，∴f（）=（），即，∴，即α=﹣1，∴f（x）=为奇函数，故选：A．【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础．5．在区间（0，4）上任取一实数x，则2x＜2的概率是（）A．B．C．D．【分析】求出不等式的等价条件，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：由2x＜2得x＜1，则在区间（0，4）上任取一数x，则2x＜2的概率P==，故选：D．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据不等式的性质求出不等式的等价条件是解决本题的关键．比较基础．6．若某中学高二年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数是（）A．90.5B．91.5C．90D．91【分析】把茎叶图中8个数据按照从小到大的顺序排好，取中间两数的平均值即可．【解答】解：由茎叶图知样本数据共有8个，按照从小到大的顺序为：84，85，89，90，91，92，93，95．在中间两位的数据是90，91；所以样本的中位数是（90+91）÷2=90.5．故选：A．【点评】本题考查了茎叶图与中位数的应用问题，解题的关键是看清所给的数据的个数，计算中位数时，看清是有偶数个数据还是奇数个数据，从而求出中位数．7．已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（）A．12B．C．D．2【分析】画出约束条件表示的平面区域，根据图形找出最优解，求出目标函数的最大值．【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；目标函数z=x+y化为y=﹣x+z，由，解得A（6，6）；所以目标函数z过点A时取得最大值，为z max=6+6=12．故选：A．【点评】本题考查了简单的线性规划应用问题，是基础题．8．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．B．C．D．【分析】利用正方体棱的关系，判断平面α所成的角都相等的位置，然后求解α截此正方体所得截面面积的最大值．【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大，此时正六边形的边长，α截此正方体所得截面最大值为：6×=．故选：A．【点评】本题考查直线与平面所成角的大小关系，考查空间想象能力以及计算能力，有一定的难度．9．执行如图所示的程序框图，那么输出的S值是（）A．B．﹣1C．2018D．2【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：依题意，执行如图所示的程序框图可知：初始S=2，当k=0时，S0=﹣1，k=1时，S1=，同理S2=2，S3=﹣1，S4=，…，可见S n的值周期为3．∴当k=2007时，S2007=S0=﹣1，k=2008，退出循环．输出S=﹣1．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10．已知函数f（x）=10sin x+在x=0处的切线与直线nx﹣y=0平行，则二项式（1+x+x2）（1﹣x）n展开式中x4的系数为（）A．120B．135C．140D．100【分析】利用求函数的导数的方法求得f′（0），利用导数的几何意义、两条直线平行的性质求得n 的值，再利用二项展开式的通项公式求得二项式（1+x+x2）（1﹣x）n展开式中x4的系数．【解答】解：函数f（x）=10sin x+在x=0处的切线与直线nx﹣y=0平行，则n=f′（0）=10，则二项式（1+x+x2）（1﹣x）n=（1+x+x2）（1﹣x）10 =（1﹣x3）•（1﹣x）9，∵（1﹣x）9的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣x）r，故分别令r=4，r=1，可得展开式中x4的系数为﹣（﹣）=135，故选：B．【点评】本题主要考查求函数的导数，导数的几何意义，两条直线平行的性质，二项展开式的通项公式，属于中档题．11．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率e≤2，且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=r2（r＞0）相切，则r的最大值为（）A．3B．C．2D．【分析】根据题意，由双曲线的标准方程求出双曲线的渐近线方程，由直线与圆的位置关系分析可得方程，进而由双曲线的几何性质可得r的范围．【解答】解：根据题意，双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率e≤2，双曲线的焦点在x轴上，则其渐近线方程为y=±x，即bx±ay=0，圆x2+（y﹣2b）2=a2的圆心为（0，2b），半径r=a，又由双曲线M的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=r2（r＞0）相切，则有d==r，变形可得r2==4﹣，∵e≤2，∴，则4﹣≤3．所以r的最大值为：．故选：B．【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及直线与圆的位置关系，关键是分析a、b之间的关系以及不等式转化求解最值．12．当x＞0时，不等式恒成立，则a的取值范围是（）A．[0，1）∪（1，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0]∪（1，+∞）D．（﹣∞，1）∪（1，+∞）【分析】求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：由题意令f（x）=x2+（1﹣a）x﹣alnx﹣2a+a2，则f′（x）=x+（1﹣a）x﹣=，a＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，x→0时，f（x）→﹣∞，故不合题意，a=0时，f（x）=x2+x＞0，符合题意，a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，故f（x）min=f（a）=a（a﹣1﹣lna），令h（a）=a﹣1﹣lna，（a＞0），故h′（a）=1﹣=，令h′（a）＞0，解得：a＞1，令h′（a）＜0，解得：0＜a＜1，故h（a）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故h（a）≥h（1）=0，故a﹣1﹣lna≥0，故a＞0时，只要a≠1，则h（a）＞0，综上，a∈[0，1）∪（1，+∞），故选：A．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．等比数列{a n}中，若a2=1，a5=8，则a7=32．【分析】根据等比数列的通项公式即可求出．【解答】解：等比数列{a n}中，若a2=1，a5=8，∴a5=a2q3，∴q3=8，∴q=2，则a7=a5q2=8×4=32，故答案为：32【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了运算能力，属于基础题．14．已知两点A（1，1），B（5，4），若向量=（x，4）与垂直，则实数x =﹣3．【分析】先求出向量，再由向量垂直的性质能求出实数x ．【解答】解：∵两点A（1，1），B（5，4），向量=（x，4）与垂直，∴=（4，3），=4x+12=0，解得x=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．15．如图是一个三棱锥的直观图和三视图，其三视图均为直角三角形，则b等于．【分析】首先判断三视图与直观图之间的数据关系，图形的特征，然后求解所求数值．【解答】解：从三视图与直观图可知，直观图中a=，c=1，b为所求，是直观图中d在左视图中的射影，直观图扩展为长方体后，是面对角线，如下图所示：CG=，GH==2．b=故所求b=．故答案为：．【点评】本题考查三视图与直观图的关系，注意空间想象能力的应用，把直观图扩展为长方体是解题的关键，考查计算能力，作图能力．16．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足4cos2﹣cos2（B+C）=，若a=2，则△ABC 的面积的最大值是．【分析】利用三角形的内角和，结合已知条件等式，可得关于A 的三角方程，从而可以求得A的大小，利用余弦定理及基本不等式，可求得bc，从而可求△ABC 的面积的最大值．【解答】（本题满分为10分）解：∵A +B +C=π，∴4cos 2﹣cos 2（B +C ）=2（1+cos A）﹣cos2A=﹣2cos2A+2cos A+3=，∴2cos2A﹣2cos A+=0．…（4分）∴cos A=．∵0＜A＜π，∴A=°．…（6分）∵a=2，由余弦定理可得：4=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，（当且仅当b=c=2，不等式等号成立）．∴bc≤4．∴S△ABC=bc sin A≤×=．…故答案为：．【点评】本题的考点是解三角形，主要考查三角形的内角和，考查二倍角公式的运用，考查三角形的面积公式，基本不等式的运用，知识点多，计算需要细心，属于中档题．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．设数列{a n}的前n项和为S n，已知=a n﹣2n（n∈N*）．（1）求a1的值，若a n=2n c n，证明数列{c n}是等差数列；（2）设b n=log2a n﹣log2（n+1），数列{}的前n项和为B n，若存在整数m，使对任意n∈N*且n≥2，都有B3n﹣B n＞成立，求m的最大值．【分析】（1）由=，得，从而，由此能求出a1=4；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=，从而得到=1，由此能证明数列{c n}是首项为2，公差为1的等差数列．（2）求出=2+（n﹣1）×1=n+1，从而，进而b n=log2a n﹣log2（n+1）=n，由此得到，B3n﹣B n=，令f（n）=，则f（n+1）﹣f （n）==＞=0，从而数列{f（n）}为递增数列，当n≥2时，f（n）的最小值为f（2）=，从而＜，由此能求了出m的最大值．【解答】证明：（1）由=，得，∴，解得a1=4，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2a n﹣2n+1）﹣（2a n﹣1﹣2n）=，∴，n≥2，∴=1，∵a n=2n c n，∴c n=，∴，c n﹣c n﹣1=1，∴数列{c n}是首项为2，公差为1的等差数列．（2）∵=1，=2，∴=2+（n﹣1）×1=n+1，∴，∴b n=log2a n﹣log2（n+1）=n，∵数列{}的前n项和为B n，∴，∴B 3n ﹣B n =， 令f （n ）=，则，∴f （n +1）﹣f （n ）==＞=0，∴f （n +1）＞f （n ），∴数列{f （n ）}为递增数列， ∴当n ≥2时，f （n ）的最小值为f （2）==，据题意，＜，得m ＜19，又m 为整数，∴m 的最大值为18．【点评】本题考查等差数列的证明，考查实数值的最大值的求法，考查构造法、等差数列、数列的单调性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．18．为了解男性家长和女性家长对高中学生成人礼仪式的接受程度，某中学团委以问卷形式调查了50位家长，得到如下统计表：（1）据此样本，能否有99%的把握认为“接受程度”与家长性别有关？说明理由；（2）学校决定从男性家长中按分层抽样方法选出5人参加今年的高中学生成人礼仪式，并从中选2人交流发言，设X 是发言人中持“赞成”态度的人数，求X 的分布列及数学期望． 参考数据参考公式x 2=【分析】（1）由列联表计算K 2，对照临界值得出统计结论； （2）根据题意知X 的可能取值，计算对应的概率知， 写出随机变量X 的分布列，计算数学期望值．【解答】解：（1）由列联表知，a =12，b =14，c =18，d =6， 计算K 2=≈4.327＜6.635，所以，没有99%的把握认为“接受程度”与家长性别有关； （2）根据分层抽样所得5名男性家长中持“赞成”态度的有2人，持“无所谓”态度的有3人， 所以X 可以取值为0、1、2， 计算P （X =0）==，P （X =1）==，P （X =2）==；所以随机变量X 的分布列为：数学期望为E （X ）=0×+1×+2×=．【点评】本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，是中档题． 19．将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，AE ⊥平面ABD ，且AE =．（1）求证：DE ⊥AC ．（2）求DE 与平面BEC 所成角的正切值．（3）直线BE 上是否存在一点M ，使得CM ∥平面ADE ？若存在，求点M 的位置；若不存在，请说明理由．【分析】（1）以A为坐标原点，AB，AD，AE所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，然后利用=（0，﹣2，）•（1，1，）=0，可知DE⊥AC；（2）求出平面BCE的法向量为，设DE与平面BEC所成的角为θ，由sinθ=|cos＜＞|=，再求出cosθ，利用商的关系可得tanθ；（3）假设存在点M使得CM∥平面ADE，且，由此向量等式求出M的坐标，得到，再由AB⊥平面ADE，结合求得λ值得答案．【解答】（1）证明：以A为坐标原点，AB，AD，AE所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则E（0，0，），B（2，0，0），D（0，2，0）．取BD的中点F并连接CF，AF．由题意得，CF⊥BD且AF=CF=．又∵平面BDA⊥平面BDC，∴CF⊥平面BDA，∴C（1，1，），∴=（0，﹣2，），=（1，1，）．∵=（0，﹣2，）•（1，1，）=0，∴DE⊥AC；（2）解：设平面BCE的法向量为=（x，y，z），则，令x=1，得=（1，﹣1，）．设DE与平面BEC所成的角为θ，则sinθ=|cos＜＞|=，∴；（3）解：假设存在点M使得CM∥平面ADE，且，∵，∴，得M（2λ，0，），∴，又AB⊥平面ADE，∴=（2，0，0）为平面ADE的一个法向量．∵CM∥平面ADE，∴，即．即2（2λ﹣1）=0，∴λ=．故点M为BE的中点时，CM∥平面ADE．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面垂直的性质，训练了利用空间向量求线面角，是中档题．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，半径为b的圆与直线y=x+相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知椭圆C的上顶点为B，过点B且互相垂直的动直线l1，l2与椭圆的另一个交点分别为P，Q，设直线PQ与y轴相交于点M，若=λ，求实数λ的取值范围．【分析】（1）以原点为圆心，半径为b的圆与直线y=x+相切．可得=b，解得b．又e=，c2=a2+b2，联立解得a，c．即可得出．（2）B，设P（x1，y1），Q（x2，y2）．设直线l1的方程为：y=kx+，（不妨设k＞0），则直线l2的方程为：y=﹣x+．分别与椭圆方程联立解得x1，x2．利用=λ，即可得出．【解答】解：（1）∵以原点为圆心，半径为b的圆与直线y=x+相切．∴=b，∴b=．又e=，c2=a2+b2，联立解得a=2，c=1．∴椭圆C的标准方程为=1．（2）B，设P（x1，y1），Q（x2，y2）．设直线l1的方程为：y=kx+，（不妨设k＞0），则直线l2的方程为：y=﹣x+．联立，化为：（3+4k2）x2+8kx=0，解得x1=，同理可得：x2=．∵=λ，∴﹣=λ×．∴λ==+∈．∴实数λ的取值范围是．【点评】本题考查了直线与椭圆相交问题、直线与圆相切性质、一元二次方程的根与系数的关系、点到直线的距离公式、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．已知函数f（x）=x2+2alnx．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；（Ⅱ）若函数g（x）=+f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．【分析】（1）对函数f（x）求导，然后将x=2代入导数，令导数值为1，即可求出实数a的值；（2）先求出函数g（x）的解析式，对函数g（x）求出，由函数g（x）的单调性得到不等式g′（x）≤0在区间[1，2]上恒成立，通过参半量分离得到，求出函数h（x）=在区间[1，2]上的最小值，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：（1），由已知f′（2）=a+4=1，解得a=﹣3；（2）由，可得，由于函数g（x）在区间[1，2]上是减函数，则g′（x）≤0在区间[1，2]上恒成立，则在区间[1，2]上恒成立．即在区间[1，2]上恒成立．令，当1≤x≤2时，，所以，函数h（x）在区间[1，2]上为减函数，则，所以，．【点评】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，考查问题的转化能力以及推理能力，属于中等题．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数）．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，求直线的倾斜角α的值．【分析】（1）由曲线C的极坐标方程，得ρ2=4ρcosθ．由x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲线C的直角坐标方程．（2）将直线l的参数方程代入圆的方程，得：t2﹣2t cosα﹣3=0．利用韦达定理和弦长公式能求出直线的倾斜角α的值．【解答】选修4﹣4：坐标系与参数方程（本小题满分，第（1）问，第（2）问5分）解：（1）由曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ．∵x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x=0，即（x﹣2）2+y2=4．（2）将直线l的参数方程（t为参数）代入圆的方程，得：（t cosα﹣1）2+（t sinα）2=4，化简得t2﹣2t cosα﹣3=0．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，∴|AB|=|t1﹣t2|===，4cos2α=1，解得cos，∴或．【点评】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法及应用，考查直线的倾斜角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的合理运用．五．解答题（共1小题）23．已知函数f（x）=|2x+2|﹣|2x﹣2|，x∈R．（1）求不等式f（x）≤3的解集；（2）若方程有三个实数根，求实数a的取值范围．【分析】（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，求出不等式的解集即可；（2）分离a，得到a=x+|x﹣1|﹣|x+1|，令h（x）=x+|x﹣1|﹣|x+1|，结合函数的图象求出a的范围即可．【解答】解：（1）原不等式等价于或或，解得：x＜﹣1或，∴不等式f（x）≤3的解集为．（2）由方程可变形为a=x+|x﹣1|﹣|x+1|，令，作出图象如下：于是由题意可得﹣1＜a＜1．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及数形结合思想，是一道中档题．。
成都七中18届高三理科数学上学期一诊模拟考试试卷
A． 1
B． 1
C． -1
D．1
2
2
10．已知函数 f x ln x 1 , g x ex2 ，若 g m f n 成立，则 n m的最小值为
22
A．1 ln 2
B． ln 2
C． 2 e 3 D． e2 3
11．在直角坐标平面 xOy 上的一列点 A1 1, a1 , A2 2, a2 , , An (n, an ), ，简记为 An ．若由
bn An An1 j 构成的数列 bn 满足 bn1 bn , n 1, 2, ，其中 j 为方向与 y 轴正方向相同的单位向量，则
称 An 为T 点列．有下列说法：① A1 1, 1,
A2
2,
1 2
,
A3
3,
1 3
An
n,
1 n
8．已知 S 为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式
S
x
3 x
6
的展开式中常数项的系数是
A．﹣20 B．20 C．﹣
D．60
1/4
9.定义在 R 上的奇函数 f (x) 满足 f (x 1) 是偶函数，且 当 x [0,1] 时， f (x) x(3 2x) ，则 f (31) 2
K ](2) 设 b 2 ，且 a 0 ，点 (m, n) ( m, n ∈R)是曲线 y f (x) 上的一个定点，是否存在实数 x0(x0 m) ，
使得
f
(x0 )
f ( x0
2
m
)(
x0
m) n 成立？证明你的结论[来源:]
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第1页，共16页 2018年四川省成都七中高考数学一模试卷（理科
副标题 题号 一 二 三 总分 得分
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知集合 ， ，则
A. B.
C. D.
【答案】C 【解析】解： 集合 ，
，
故选：C． 先求出集合A，B，由此能求出 ． 本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
2. 已知i为虚数单位， ，若
为纯虚数，则
A. B. C. 2 D.
【答案】B 【解析】解：
为纯虚数，
，即 ．
故选：B． 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3. 某公司新研发了两种不同型号的平板电脑，公司统计了消费者对这两种型号平板电脑的评分情况，如图，则下列说法不正确的是 A. 甲、乙型号平板电脑的综合得分相同
B. 乙型号平板电脑的拍照功能比较好
C. 在性能方面，乙型号平板电脑做得比较好
D. 消费者比较喜欢乙型号平板电脑的屏幕
【答案】D 【解析】解：由图可得，甲乙型号平板电脑的得分如下表： 外观 拍照 系统 性能 屏幕 综合 第2页，共16页
甲 90 85 95 85 95 450 乙 85 90 95 90 90 450 由上表可知，甲、乙型号平板电脑的综合得分相同，故A正确； 乙型号平板电脑的拍照功能比较好，故B正确； 在性能方面，乙型号平板电脑做得比较好，故C正确； 甲屏幕得分95，乙屏幕得分90，消费者比较喜欢甲型号平板电脑的屏幕，故D不正确． 说法不正确的是D． 故选：D． 由已知图形列出甲乙型号平板电脑的得分数据表，然后逐一核对四个选项得答案． 本题考查命题的真假判断与应用，考查概率统计的基础知识，考查学生的识图能力，是基础题．
4. 已知 ，则
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解： ， ，即 ，
则 ， 故选：B． 由题意利用诱导公式求得 ，再利用二倍角公式求得
的值．
本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．
5. 展开式中任取一项，则所取项是有理项的概率为 A. B. C. D.
【答案】B 【解析】解：由题意可得二项展开式的通项
根据题意可得， 为整数时，展开式的项为有理项，则 ，9共有2项，而r的所有取值是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11共12个 所求的概率为
故选：B． 要求展开式中的有理项，只要在通项 中，让x的指数为整数，求解符合条件的r，求出有理项的数目，通过古典概率的计算公式可求 本题主要考查了古典概率的求解公式的应用，解题的关键是熟练应用二项展开式的通项公式，找出符合条件的项数．
6. 函数
其中e为自然对数的底数 的图象大致为 第3页，共16页
A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】判断 的奇偶性， 的单调性或变化趋势即可得出答案． 本题考查了函数的奇偶性，单调性判断，属于中档题． 【解答】
解：
，
是偶函数，故 图形关于y轴对称，排除B，D；
又 时， ， ，
，排除C，
故选A．
7. 已知平面向量 与 的夹角为 ，若 ，
，则
A. 3 B. 4 C. D. 2
【答案】A
【解析】解：平面向量 与 的夹角为 ，若 ，可得 ，
，
即： ，
， 解得
．
故选：A． 利用向量的模的运算法则，转化求解向量的模即可． 本题考查向量的模的求法，向量的夹角的应用，考查计算能力．
8. 设 ，则“
”是“ ”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不
充分也不必要条件 【答案】A 【解析】解：由 得 或 ， 作出函数 和 和 的图象如图， 第4页，共16页
则由图象可知当 时， ， 当 时， ， ， “
”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A． 根据条件分别作出 和 和 的图象，利用数形结合进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用数形结合是解决本题的关键．
9. 已知
，函数
的部分图象如图所示，则函数 图象
的一个对称中心是 A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】解：
，
函数
的图象知， ，
，
，解得 ；
又 ，解得 ；
，
；
令
， ，
则 ， ， 当 时， ，
的一个对称中心为 ． 第5页，共16页
故选：C． 利用定积分求出a的值，根据函数 的图象求出 的解析式，
再利用三角函数的图象与性质求
的对称中心． 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了定积分的计算问题，是中档题．
10. 已知双曲线C： 的离心率 ，对称中心为O，右焦点
为F，点A是双曲线C的一条渐近线上位于第一象限内的点， ， 的面积为 ，则双曲线C的方程为
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】解：由题意点A所在的渐近线为 ，
设该渐近线的倾斜角为 ，则 ，
，
直线AF的倾斜角为 ，
则 ，
联立方程组 ，得 ，即
，
则 的面积
，
双曲线的离心率 ，
，得 ，
结合 ，得 ， ， 则双曲线的方程为 ． 故选：D． 根据条件设出渐近线方程，结合三角形的面积以及离心率公式建立方程求出a，b的值即可． 本题主要考查双曲线方程的求解，根据三角形的面积公式和离心率公式建立方程是解决本题的关键．
11. 设函数
，若存在区间 ，使 在 上的值
域为 ，则k的取值范围是 A.
B. C. D.
【答案】C
【解析】解： ， ，
当 时， ， 第6页，共16页
在 上单调递增，
，
在 上单调递增，
， 在 上单调递增，
在 上的值域为 ，
，
方程 在 上有两解a，b． 作出 与直线 的函数图象，则两图象有两交点．
若直线 过点 ， 则 ， 若直线 与 的图象相切，设切点为
，
则 ，解得 ．
，
故选：C． 判断 的单调性得出 在 上有两解，作出函数图象，利用导数的意义求出k的范围． 本题考查了函数的单调性，导数的几何意义，零点个数与函数图象的关系，属于中档题．
12. 如图，在矩形ABCD中， ， ，四边形AEFG为边长为2的正方形，
现将矩形ABCD沿过点的动直线l翻折的点C在平面AEFG上的射影 落在直线
AB上，若点C在直线l上的射影为 ，则 的最小值为 第7页，共16页
A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：由题意，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，则直
线l的方程： ， ．
直线 的方程为 ， ， ，
．
． 令 ， 或 ． ，
， 时，取等号；
，
， 时，取等号；
综上所述， 的最小值为 ， 故选：A． 由题意，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，表示出 ，利用基本不等式求最小值． 本题考查空间点、线、面距离的计算，考查基本不等式的运算，难度大．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知变量x，y满足 ，则 的最大值为______． 【答案】10