第三章 麦克斯韦方程 3.4 3.5 3.6
麦克斯韦方程
2021/7/19
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磁 化：外磁场使分子内电子运动状态发生变化导致分子磁矩
发生变化的现象。
磁化强度：无外加磁场时，磁介质在总体上不产生磁场，但被磁
化以后，各个分子的磁矩 m的矢量和不再是零。单位
体积内分子磁矩的矢量m 和称为磁介质的磁化强度。
m
M lim 0 (A /m)
(1-1-23)
在各向同性磁介质中，磁化强度与磁感应强度成正比：
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③位移电流：是为说明变化的电场能产生磁场而引入的。 电容的隔直流通交流特性
电流密度矢量 ： ①体电流密度矢量 J：
趋J 肤(x,效y ,应z) n ˆ ls i 0m Is(A2 /)m(1-1-6)
I J d S J n ˆdS (1-1-7)
②表两 度面种的电电关流流系密密：度矢J 量( x ,Jy S：,z ) J S n ˆ ( x l s , y0 i , z) h m I l n ˆ ls in 0 ˆ h m l Ill (0 i A I l m ( )/m A 2 ) ( 1- J 1 h S -/ 8) m
P 0r 1 E (1-1-20)
E
r称为电介质的相对介电常数。
束缚电荷：在均匀外加电场中，介质 E 0
E0
内部相邻偶极矩的正负电荷互相抵消，
结果在介质表面产生正电荷层或负电 荷层，出现在表面的电荷称为束缚电
真 0空
p 电介质
真空
荷或极化电荷。如图1-4所示。
图1-4 均匀电场中的介质板
介质受电场的作用产生束缚电荷，束缚电荷反过来也要影响电
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5
第一台电子管计算机（ENIAC)占地170平方米，重30吨， 有1.8万个电子管，用十进制计算，每秒运算5000次
麦克斯韦方程
D D H J ( H ) ( J )0 t t D D (J ) 0 J 0 J 0 t t t D
• 无源麦克斯韦方程组
H J D t D H t
麦克斯韦方程组的限定形式
在媒质中，场量之间必须满足媒质的本构关系。在 线性、各向同性媒质中：
D E
B H
J E
将本构关系代入麦克斯韦方程组，则得 E H E t H E 麦克斯韦方程组限定形式 t H 0 注：麦克斯韦方程组限定形 ( E ) 式与媒质特性相关。
• 物理意义：
D H J t
• 什么是传导电流？ • 什么是位移电流？
– 表示磁场的“漩涡源”是由传 D 导电流 J 和位移电流 t ； – 由电荷的定向运动形成的电流 – 电场随时间变化形成的“电流” – Maxwell对位移电流的认识
Maxwell 认为：电流由两个部分组成，一部分为传导 电流，另一部分他称之为位移电流 ，即总电流密度：
Faraday电磁感应实验定律表明： 变化的磁场可以产生感应电场，该电场与静 电场都对电荷有力的作用，所不同的是感应 电场沿闭合回路的积分不为零，具有涡旋场 的性质，变化的磁场是其旋涡源。 （变化）磁场 电场
第三项和第四项
B 0
D
第三项指的是不存在独立的磁荷（磁单极子），磁力线 是闭合的（即连续） 第四项指的是存在独立的电荷，无旋电场的电力线是起 于正电荷，止于负电荷 旋度的散度恒 为零 电流连续性原理：
2.
实验表明，各向同性的媒质中，本构关系可以描述为：
、 和 分别称为介电常数、磁导率和媒质的电导率， D E 它们的单位分别为F/m、H/m和S/m; B H 数值与媒质的类型有关, J E 真空中 0 1 109 F / m, 0 4 10 7 H / m 36
麦克斯韦方程组八种
麦克斯韦方程组八种
麦克斯韦方程组由以下八个方程组成：
1. 麦克斯韦第一方程（电场的高斯定律）：
∮E·dA = 1/ε₀∮ρdV
2. 麦克斯韦第二方程（磁场的高斯定律）：
∮B·dA = 0
3. 麦克斯韦第三方程（电场的法拉第定律）：
∮E·dl = -dΦB/dt
4. 麦克斯韦第四方程（磁场的安培定律）：
∮B·dl = μ₀I + μ₀ε₀dΦE/dt
5. 法拉第电磁感应定律：
ε = -dΦB/dt
6. 毕奥-萨伐尔定律：
B = μ₀(H + M)
7. 连续性方程：
∇·J = -dρ/dt
8. 导电率方程：
J = σE
其中，E为电场，B为磁场，ρ为电荷密度，J为电流密度，ί
为位移电流密度，A为曲面，V为体积，dl为曲线段，dA为曲面元，dV为体积元，ΦB为磁通量，ΦE为电通量，H为磁场强度，M为磁化强度，ε₀为真空介电常数，μ₀为真空磁导率，σ为电导率。
麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程是建立在库伦定律、安培定律、法 拉第电磁感应定律这几个实验定律的基础之上的。
一、法拉第电磁感应定律
1、研究对象 变化磁场产生电场。
2、研究内容
闭合线圈中的感应电动势与通过该线圈内部的磁
通量变化率成正比，
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dm dt
d dt
B ds
S
1
麦克斯韦方程组
电202荷4/3密/14度和电流密度。
9
麦克斯韦方程组
电场方程
E E荷 E感
E荷 / 0 +
E荷 0
E感
E感
0
B t
E
E
/ 0
B
t
E荷 有源场，又称纵场。
E感 有旋场，又称横场。
二20者24/均3/1对4 电荷有力的作用
磁场方程
B B流 B感
B流 0
③
对②式两边取散度，
(
E)
(
B)
t
③
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Case B
E
B
/0
0J
0 0
E t
① ④
对④式两边取散度，
左边： ( B) 0
右边：0
J
0 0
t
(
E)
电荷守恒定律
①
11
麦克斯韦方程组
2、方程的重要意义
揭示了电磁场内在运动规律，不仅
和
J
可以激发电磁
场，而且变化的电场和磁场也可以相互激发。
④
8
麦克斯韦方程组
E dS
1
dV
S
0 V
①
积 分 形
l
3,麦克斯韦方程组 电磁波要点
1、麦克思韦假说：
2、环路定理ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B L E dl S t dS
L
变化的磁场可以激发电场 ——感生电场（涡旋电场） 变化的电场可以激发磁场 ——位移电流磁场
3、自感
I
L
di L dt
§5
磁场的能量
比较电场能
[场能密度] 单位体积内的场能
dW w dV
电场高斯定理
D dS
S
面内
q
i自
电场环路定理：
其中：
B E dl dS t 方程2 L S
方程1
E E电荷 E感生 D 0 r E
磁场高斯定理：
S
B dS 0
方程3
安培环路定理
//
E
B S
B
B S E - -//- - ---E//-S S // ⊙ E B
例1、已知某电磁波的电场矢量函数：
求：磁场强度矢量 解： H
t x E E 0 cos2 j T
E
t x H E 0 cos2 T t x H E 0 cos2 k T
稳恒磁场 1 W m LI 2 2
类比
L
通过平板电容器得 出下述结论
通过长直螺线管得 出下述结论
存在
场中
1 we D E 2
在电磁场中
w we wm
1 wm B H 2
普遍适用
各种电场 磁场
1 1 w D E B H 2 2
麦克斯韦方程组
Idl
dF
Idl
dF
F l dF l Idl B
B
B
例 求 如图不规则的平 面载流导线在均匀磁场中所受 的力，已知 B 和 I . 解 取一段电流元 Idl
y
dF
Idl
B
I dF Idl B o dFx dF sin BIdl sin dFy dF cos BIdl cos
0 di 0dr di dq dr , dB 2 2 a b 2r 4r 0 a b 0 ln B dB dr 4 a 4r a
（2）磁矩 m ，dq旋转 产生的磁矩
1 dm r di r 2 dr 2 a b 1 1 2 (a b) 3 a 3 m dm r dr 6 2 a （3）若 a >> b, 求 Bo 及 m 。 若 a>>b , AB 可看成点电荷i 2 q 2 b 1 2 0i 0b 2 a b. B0 , m a i 2 2a 4a
利用安培环路定理求无限长均匀密绕载流直螺线管 的磁场
例 5 有一无限长圆柱形导体和一无限长薄圆筒形导
体，都通有沿轴向均匀分布的电流，它们的磁导率都 为 0, 外半径都为R。今取长为 l，宽为 2R的矩形平面 ABCD 和 A`B`C`D`， AD及A`D` 正好在圆柱的轴线上。 问通过ABCD的磁通量大小是多少？通过A`B`C`D的磁 通量是多少?
（x R ）2 2
Idl
r
B
dB
p *
o
R
I
B
dB
麦克斯韦方程
总结实验结果又经过实践检验的麦氏方程组和洛 伦兹力公式正确的反映了电磁场的运动规律以及它和 带电物质的相互作用规律，成为电动力学的理论基础。 其它的电磁现象，如欧姆定律、介质电化、磁化等 都可以结合物质结构推算出来。
总结本节课的内容 （1）Maxwell’s equations in Vacuum
B E 变化磁场 t
这些分别都有自己的适用条件和范围。
然后我们看非恒定电流情况下，是否也是： B 0 J
如果是的话，则： ( B) 0 J 0
就会与电荷守恒定律 J 0矛盾，因为非恒定电 t 流情况下 J 0 t
F Fe Fm q( E v B)
如果把它写成力密度的形式，则有
fe E ,
从而得到
fm J B
f E J B ( E v B)
这也称为Lorentz力密度的公式。
他的这一预言在 Maxwell 去世后（ 1879 年）不到 10 年的时间内，由德国科学家 Hertz 通过实验证实。 从而证明了Maxwell的假设和推广的正确性。
• （3） 虽然方程组是在真空中推倒出来的，如果将 看 作总电荷密度（包括自由电荷和极化电荷） 看作总电 流密度（传导、磁化和极化电流密度），此方程组也 适用于介质存在情况。 • （4） 麦氏方程组是决定电磁场变化的一套完整的方 程。如果初始状态已知，电荷电流分布及变化给定， 以后任何时刻的场分布都可以由麦氏方程组唯一确定 。如果不知道电荷电流的变化规律，也可以通过场与 电荷电流之间的作用联合求解。
主要论述：变化电场产生磁场。
由电磁现象的基本实验定律，我们有如下关系式 E 0 静止电荷( 0) E 0 B 0 0) 运动电荷(稳恒电流 0 t B 0 J
电磁场与电磁波--麦克斯韦方程组
erykEm sin(t
kz)
对时间 t 积分，得
r B
r ey
kEm
cos(t
kz)
2.6 麦克斯韦方程组
rr
B = H
r H
r ey
kEm
cos(t
kz)
rr
D E
r D
erx
Em
cos(t
kz
)
rr 以上各个场矢量都应满足麦克斯韦方程，将以上得到的 H和 D 代入式
erx ery erz
r H
r
t
H 0
r
E /
r E t
2.6 麦克斯韦方程组
时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的磁场；而时变磁场的激 发源除了传导电流以外，还有变化的电场。电场和磁场互为激发源， 相互激发。
时变电磁场的电场和磁场不再相 互独立，而是相互关联，构成一 个整体 —— 电磁场。电场和磁 场分别是电磁场的两个分量。
r H
x
y
z
erx
H y z
erx
k 2 Em
sin(t
kz)
Hx Hy Hz
r
D t
erx
Dx t
erx Em sin(t kz)
由
r H
r D
t
k 2 2
作业：思考题 : 2.16, 2.18 习 题 : 2.20, 2.22
代入麦克斯韦方程组中，有
限定形式的麦克斯韦方程
r H
r E
t
(
r E
r
t
(
r H
)
(H) 0
r
( E)
r E)
（线性、各向 同性均匀媒质）
麦克斯韦方程组(彩图完美解释版)
麦克斯韦方程组关于热力学的方程,详见“麦克斯韦关系式”.麦克斯韦方程组（英语：Maxwell's equations）是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描写电磁场的根本方程组.它含有四个方程,不但分别描写了电场和磁场的行动,也描写了它们之间的关系.麦克斯韦方程组是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描写电场与磁场的四个根本方程.在麦克斯韦方程组中,电场和磁场已经成为一个不成朋分的整体.该方程组体系而完全地归纳分解了电磁场的根本纪律,并预言了电磁波的消失.麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流假说的焦点思惟是：变更的磁场可以激发涡旋电场,变更的电场可以激发涡旋磁场;电场和磁场不是彼此孤立的,它们互相接洽.互相激发构成一个同一的电磁场（也是电磁波的形成道理）.麦克斯韦进一步将电场和磁场的所有纪律分解起来,建立了完全的电磁场理论体系.这个电磁场理论体系的焦点就是麦克斯韦方程组.麦克斯韦方程组,是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一组描写电场.磁场与电荷密度.电流密度之间关系的偏微分方程.从麦克斯韦方程组,可以推论出光波是电磁波.麦克斯韦方程组和洛伦兹力方程是经典电磁学的基本方程.从这些基本方程的相干理论,成长消失代的电力科技与电子科技.麦克斯韦1865年提出的最初情势的方程组由20个等式和20个变量构成.他在1873年测验测验用四元数来表达,但未成功.如今所运用的数学情势是奥利弗·赫维赛德和约西亚·吉布斯于1884年以矢量剖析的情势从新表达的.麦克斯韦方程组的地位麦克斯韦方程组在电磁学中的地位,如同牛顿活动定律在力学中的地位一样.以麦克斯韦方程组为焦点的电磁理论,是经典物理学最引以骄傲的成就之一.它所揭示出的电磁互相感化的完善同一,为物理学家建立了如许一种信心：物资的各类互相感化在更高层次上应当是同一的.别的,这个理论被广泛地运用到技巧范畴.1845年,关于电磁现象的三个最根本的试验定律：库仑定律（1785年）,安培—毕奥—萨伐尔定律（1820年）,法拉第定律（1831-1845年）已被总结出来,法拉第的“电力线”和“磁力线”概念已成长成“电磁场概念”.场概念的产生,也有麦克斯韦的一份功绩,这是当时物理学中一个巨大的创举,因为恰是场概念的消失,使当时很多物理学家得以从牛顿“超距不雅念”的约束中摆脱出来,广泛地接收了电磁感化和引力感化都是“近距感化”的思惟.1855年至1865年,麦克斯韦在周全地审阅了库仑定律.安培—毕奥—萨伐尔定律和法拉第定律的基本上,把数学剖析办法带进了电磁学的研讨范畴,由此导致麦克斯韦电磁理论的诞生.麦克斯韦方程组的积分情势:（1）描写了电场的性质.电荷是若何产生电场的高斯定理.（静电场的高斯定理）电场强度在一关闭曲面上的面积分与关闭曲面所包抄的电荷量成正比.电场 E （矢量）经由过程任一闭曲面的通量,即对该曲面的积分等于4π乘以该曲面所包抄的总电荷量.静电场（见电场）的根本方程之一,它给出了电场强度在随意率性关闭曲面上的面积分和包抄在关闭曲面内的总电量之间的关系.依据库仑定律可以证实电场强度对随意率性关闭曲面的通量正比于该关闭曲面内电荷的代数和经由过程随意率性闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包抄的所有电荷量的代数和与电常数之比.电场强度对随意率性关闭曲面的通量只取决于该关闭曲面内电荷的代数和,与曲面内电荷的散布情形无关,与关闭曲面外的电荷亦无关.在真空的情形下,Σq是包抄在关闭曲面内的自由电荷的代数和.当消失介质时,Σq应懂得为包抄在关闭曲面内的自由电荷和极化电荷的总和.在静电场中,因为天然界中消失着自力的电荷,所以电场线有起点和终点,只要闭合面内有净余的正（或负）电荷,穿过闭合面的电通量就不等于零,即静电场是有源场;高斯定理反应了静电场是有源场这一特征.凡是有正电荷的地方,必有电力线发出;凡是有负电荷的地方,必有电力线会聚.正电荷是电力线的泉源,负电荷是电力线的尾闾.高斯定理是从库仑定律直接导出的,它完全依附于电荷间感化力的二次方反比律.把高斯定理运用于处在静电均衡前提下的金属导体,就得到导体内部无净电荷的结论,因而测定导体内部是否有净电荷是磨练库仑定律的重要办法.对于某些对称散布的电场,如平均带电球的电场,无穷大平均带电面的电场以及无穷长平均带电圆柱的电场,可直接用高斯定理盘算它们的电场强度.电位移对任一面积的能量为电通量,因而电位移亦称电通密度.（2）描写了变更的磁场激发电场的纪律.磁场是若何产生电场的法拉第电磁感应定律.（静电场的环路定理）在没有自由电荷的空间,由变更磁场激发的涡旋电场的电场线是一系列的闭合曲线.在一般情形下,电场可所以库仑电场也可所以变更磁场激发的感应电场,而感应电场是涡旋场,它的电位移线是闭合的,对关闭曲面的通量无进献.麦克斯韦提出的涡旋电场的概念,揭示出变更的磁场可以在空间激发电场,并经由过程法拉第电磁感应定律得出了二者的关系,上式标明,任何随时光而变更的磁场,都是和涡旋电场接洽在一路的.（3）描写了磁场的性质.阐述了磁单极子的不消失的高斯磁定律（稳恒磁场的高斯定理）在磁场中,因为天然界中没有单独的磁极消失,N极和S极是不克不及分别的,磁感线都是无头无尾的闭合线,所以经由过程任何闭合面的磁通量必等于零.因为磁力线老是闭合曲线,是以任何一条进入一个闭合曲面的磁力线确定会从曲面内部出来,不然这条磁力线就不会闭合起来了.假如对于一个闭合曲面,界说向外为处死线的指向,则进入曲面的磁通量为负,出来的磁通量为正,那么就可以得到经由过程一个闭合曲面的总磁通量为0.这个纪律相似于电场中的高斯定理,是以也称为高斯定理.（4）描写了变更的电场激发磁场的纪律.电流和变更的电场是如何产生磁场的麦克斯韦-安培定律.（磁场的安培环路定理）变更的电场产生的磁场和传导电流产生的磁场雷同,都是涡旋状的场,磁感线是闭合线.是以,磁场的高斯定理仍实用.在稳恒磁场中,磁感强度H沿任何闭合路径的线积分,等于这闭合路径所包抄的各个电流之代数和.磁场可以由传导电流激发,也可以由变更电场的位移电流所激发,它们的磁场都是涡旋场,磁感应线都是闭合线,对关闭曲面的通量无进献.麦克斯韦提出的位移电流的概念,揭示出变更的电场可以在空间激发磁场,并经由过程全电流概念的引入,得到了一般情势下的安培环路定理在真空或介质中的暗示情势,上式标明,任何随时光而变更的电场,都是和磁场接洽在一路的.合体：式中H为磁场强度,D为电通量密度,E为电场强度,B为磁通密度.在采取其他单位制时,方程中有些项将消失一常数因子,如光速c等.上面四个方程构成：描写电荷若何产生电场的高斯定律.描写时变磁场若何产生电场的法拉第感应定律.阐述磁单极子不消失的高斯磁定律.描写电流和时变电场如何产生磁场的麦克斯韦-安培定律.分解上述可知,变更的电场和变更的磁场彼此不是孤立的,它们永久亲密地接洽在一路,互相激发,构成一个同一的电磁场的整体.这就是麦克斯韦电磁场理论的根本概念.麦克斯韦方程组的积分情势反应了空间某区域的电磁场量(D.E.B.H)和场源(电荷q.电流I)之间的关系.麦克斯韦方程组微分情势：式中J为电流密度,,ρ为电荷密度.H为磁场强度,D为电通量密度,E为电场强度,B为磁通密度.上图分别暗示为：（1）磁场强度的旋度（全电流定律）等于该点处传导电流密度与位移电流密度的矢量和;（2）电场强度的旋度（法拉第电磁感应定律）等于该点处磁感强度变更率的负值;（3）磁感强度的散度处处等于零（磁通持续性道理） .（4）电位移的散度等于该点处自由电荷的体密度（高斯定理） .在电磁场的现实运用中,经常要知道空间逐点的电磁场量和电荷.电流之间的关系.从数学情势上,就是将麦克斯韦方程组的积分情势化为微分情势.上面的微分情势分别暗示：（1）电位移的散度等于该点处自由电荷的体密度（高斯定理） .（2）磁感强度的散度处处等于零（磁通持续性道理） .（3）电场强度的旋度（法拉第电磁感应定律）等于该点处磁感强度变更率的负值;（4）磁场强度的旋度（全电流定律）等于该点处传导电流密度与位移电流密度的矢量和;运用矢量剖析办法,可得：(1)在不合的惯性参照系中,麦克斯韦方程有同样的情势.(2) 运用麦克斯韦方程组解决现实问题,还要斟酌介质对电磁场的影响.例如在各向同性介质中,电磁场量与介质特征量有下列关系：在非平均介质中,还要斟酌电磁场量在界面上的边值关系.在运用t=0时场量的初值前提,原则上可以求出任一时刻空间任一点的电磁场,即E(x,y,z,t)和B(x,y,z,t).科学意义经典场论是19世纪后期麦克斯韦在总结电磁学三大试验定律并把它与力学模子进行类比的基本上创立起来的.但麦克斯韦的重要功绩恰好是他可以或许跳出经典力学框架的约束：在物理上以"场"而不是以"力"作为根本的研讨对象,在数学上引入了有别于经典数学的矢量偏微分运算符.这两条是发明电磁波方程的基本.这就是说,现实上麦克斯韦的工作已经冲破经典物理学和经典数学的框架,只是因为当时的汗青前提,人们仍然只能从牛顿的经典数学和力学的框架去懂得电磁场理论.现代数学,Hilbert空间中的数学剖析是在19世纪与20世纪之交的时刻才消失的.而量子力学的物资波的概念则在更晚的时刻才被发明,特殊是对于现代数学与量子物理学之间的不成朋分的数理逻辑接洽至今也还没有完全被人们所懂得和接收.从麦克斯韦建立电磁场理论到如今,人们一向以欧氏空间中的经典数学作为求解麦克斯韦方程组的根本办法.我们从麦克斯韦方程组的产生,情势,内容和它的汗青进程中可以看到：第一,物理对象是在更深的层次上成长成为新的正义表达方法而被人类所控制,所以科学的提高不会是在既定的前提下演进的,一种新的具有熟悉意义的正义体系的建立才是科学理论提高的标记.第二,物理对象与对它的表达方法固然是不合的器械,但假如不依附适合的表达办法就无法熟悉到这个对象的"消失".第三,我们正在建立的理论将决议到我们在何种层次的意义上使我们的对象成为物理事实,这恰是现代最前沿的物理学所给我们带来的迷惑.麦克斯韦方程组揭示了电场与磁场互相转化中产生的对称性幽美,这种幽美以现代数学情势得到充分的表达.但是,我们一方面应当承认,适当的数学情势才干充分展现经验办法中看不到的整体性(电磁对称性),但另一方面,我们也不应当忘却,这种对称性的幽美是以数学情势反应出来的电磁场的同一本质.是以我们应当熟悉到应在数学的表达方法中"发明"或"看出" 了这种对称性,而不是从物理数学公式中直接推表演这种本质.。
麦克斯韦方程
0 0
c
火花
感应圈
用电磁波重复了所有 光学反射、折射、衍 射、干涉、偏振实验。
麦克斯韦的电磁场理论，为无线电技术和现代电 子通讯技术发展开辟了广阔前景.
21
小结:
1) 感应电动势的计算
dΨm dt d N dt
2) L 、M 的计算
动 v B dl B 感 ds s t
极板间出现变化电场 . 电荷变化与电场关系？
板间电场 结论
p213
A I
传导电流
dq d d Ic (S ) S dt dt dt
D
大小：
Ic d jc S dt
dD d dt dt
dD j dt
5
I
D
充电
dD dt 与 D 同向 与 j 同向 dD dt
B E dl dS L t
S
D dS 0
S
S
B dS 0
S
D H dl S( j ) dS L t
B dS 0
H dl
L
D dS S t
L
t
16
麦 克 斯 韦 电 磁 场
方 程 的 积 分 形 式
q SD ds V dV B l E dl S t ds SB ds 0 D l H dl S ( jc t ) ds
17
二.麦克斯韦方程组的意义 1. 是电磁场实验规律的概括和总结，是经典物理的三 大支柱之一。