值得深思的小错误

错中悟理
值得深思的小错误
河南省临颍县南街村高中数学组 赵先举 462600
在考试中,我们很多题目错误的原因不是不会,而是在细节处的忽略使我们不能得满分.
其实,这些小错误往往是导致我们失利的主要原因.因此,我们平时要对这些小错误进行深思.
以避免这些错误的发生,下面结合例子加以说明.
一、忽略函数定义域而导致的错误
例1.下列各小题中,p是q的充要条件的是( )

①.:2pm或6m;2:3qyxmxm有两个不同的实数解.

②.():1;()fxpfx:()qyfx是偶函数.
③.:coscos;p:tantanq.
④.:;pABA:UUqCBCA.
A.①② B. ②③ C.①②④ D. ①④

错解:逐个进行检验,可知①显然正确;而对于②,由()1()fxfx可得()()fxfx于是,②

也正确;③是tantan的既不充分也不必要条件.故答案选C.
错误剖析:对于②,虽然由()1()fxfx可得()()fxfx,但是其定义域不一定关于原点对称,
故不一定是偶函数.所以,答案选D.
点评:对于函数问题,在研究其性质时,首先要考虑其定义域,脱离开定义域的函数是没有意义
的.而函数具有奇偶性首先必须保证其定义域关于原点对称.这是其必要条件.

二、忽视特殊情况而导致的错误

例2.设等比数列{}na的公比为 q,前 n项和为 nS,是否存在常数 c,使数列
{}nSc

也成等比数列?若存在,求出常数c;若不存在,请说明理由.
错解: 设存在常数c,使数列cSn 成等比数列.
212)())((cScScSnnn,2112
22(nnnnnn
SSScSSS

qqaSnn1
)1(
,代 入 上 式 得1,)1()1()1()1(1212221qacqqqcaqqqann.
综 上 可 知 ,存 在 常 数 11qac,使cSn成等比数列.
错误剖析:此题虽然结果也是正确的,但是不能得满分,它忽略了一种特殊情况,即1q.故应
补充这种情况的说明.
设存在常数c,使数列cSn 成等比数列.

212)())((cScScSnnn，2112
22(nnnnnn
SSScSSS

①当1q 时,1naSn 代入上式得


)2()1((1)2(122121nnnacananna

，即21a=0

但10a,于是不存在常数c,使cSn成等比数列.
②当 1q时,同错解答案..
点评:等比数列前n项和公式与q有关,当1q时,一般都要单独考虑,忽视这一点就会导致答
案不全而失分.因此,遇到这类问题一定要注意分类讨论思想的应用.
三、忽略实际图形的存在而导致的错误

例3. 在平面直角坐标系xOy中,经过点(02)，且斜率为k的直线l与椭圆
2
2
12xy

有两个不同的交点P和Q.设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为AB,,是否存在
常数k,使得向量OPOQ与AB共线?如果存在,求k值;如果不存在,请说明理由．

错解:由已知条件，直线l的方程为2ykx,代入椭圆方程得22(2)12xkx．
整理得22122102kxkx ①
设1122()()PxyQxy，，，，则1212()OPOQxxyy，,
由方程①,1224212kxxk． ② 又1212()22yykxx ③
而(20)(01)(21)ABAB，,，，，.所以,OPOQ与AB共线等价于

1212
2()xxyy
,将②③代入上式,解得22k.即存在22k满足条件.
错误剖析:实际上,要使得直线和椭圆有两个不同的交点,
必须满足2221844202kkk,即即k的取值范围为

22
22









，，∞∞
．显然满足条件的k不存在.

点评:本题错解中,忽略了直线和椭圆有两个交点的条件,得到了错误的答案.这一点提醒我们
在遇到直线与二次曲线有交点的情况,先要根据方程限制参数的取值范围,这样就会减少失误,
提高得分率.
俗话说,“细节决定成败”,对于我们会的题目更应当注意细节,只有这样才能真正把会的
题做对,避免会而不对或对而不全导致的失分.