2.1数列的概念和简单表示法(1)
(完整版)数列公式汇总.doc
人教版数学必修五第二章数列重难点解析第二章课文目录2． 1数列的概念与简单表示法2． 2等差数列2． 3等差数列的前n 项和2． 4等比数列2． 5等比数列前n 项和【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。
2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。
3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。
4、等差数列 n 项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。
5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。
6、等比数列的前n 项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式【难点】1、根据数列的前n 项观察、归纳数列的一个通项公式。
2、理解递推公式与通项公式的关系。
3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。
4、灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题。
5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。
6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。
一、数列的概念与简单表示法⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列 .注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项 . 各项依次叫做这个数列的第 1 项（或首项），第2 项，，第 n 项， .⒊数列的一般形式：a1 , a2 , a3 , , a n , ，或简记为a n，其中 a n是数列的第n项⒋数列的通项公式：如果数列 a n 的第 n 项a n与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式 .注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1， 0， 1， 0， 1 ， 0 ，它的通项公式可以是1 ( 1) n 1|.a n ，也可以是 a n | cos n 12 2⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．5.数列与函数的关系：*数列可以看成以正整数集N（或它的有限子集{1 ， 2， 3，， n} ）为定义域的函数a n f (n) ，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
高中数学优质教案6：§2.1 数列的概念与简单表示法
§2.1 数列的概念与简单表示法设计思想：1．教学背景分析“数列”是高中数学重要的内容之一，其作用和地位，可从以下三个方面来看：①数列有着广泛的实际应用.例如：堆放物品总数的计算，要用到数列的前n项公式；产品规格设计的某些问题，要用到等比数列的原理；储蓄、分期付款的有关计算等也要用到数列的相关知识.②数列起着承上启下的作用.一方面，初中数学的许多内容，在解决数列的某些问题中，得到了充分的运用；数列与前面学习的函数等知识有密切的联系；学习数列，又为今后学习数列的极限等知识作好了准备.③数列是培养学生数学能力的良好教材.学习数列需要经常观察、分析、归纳、猜想，还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题，这些都有助于学生数学能力的提高.2．教学目标的设计根据本课时知识的特点和作用，为了让学生更好的掌握相应的基础知识和基本技能，提高学生的数学思维能力，帮助学生养成良好的学习习惯，从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等三个方面对教学目标进行设计.3．教学方法分析根据本课时知识结构和特点，教学中以讲授法为主.为了充分调动学生的学习积极性，设计同时采用启发式、探究式的教学方法.在课堂教学过程中，努力实现“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过创设问题情景，使学生尽可能地动手、动口、动脑，积极的参与教学全过程，为提高学生的能力创造条件.4.教学过程的设计为了实现本课时的教学目标，教学过程将按以下几个环节进行：（1）设置情景，引入新课：利用多媒体课件展示下面几个特殊数列：①杂技表演中的叠罗汉（自下而上的人数）：3，2，1，1，1②斐波那契数列（兔子繁殖问题）：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……③国际象棋棋盘（棋盘上有八行八列共64个格子，如图所示）上的麦粒数：1，2，4，8，16，32，……④生活中的实例：堆放着的圆钢各层的根数（最下层为100根，自下而上）：100，99，98，97，96，……，2，1（2）提出问题：根据上述所设情景及本课时内容，提出以下问题：①以上所举的例子中，所得各列数（按先后顺序排列），各自有什么特征？你能找出（或说出）它们的规律吗？②上述的每一列数，都按照一定的规律排列的，每一个数均有其特定的位置，不能乱排，那么，象这样的一列数，你知道人们管它叫什么吗？2月份1月份3月份4月份5月份......6月份12月份1对2对3对1对8对5对③各列数中的项（每一个数），我们能用一个含有正整数n的公式来表示吗？（3）揭示课题与解决问题：学生分组游戏、探究讨论、猜想归纳与概括，从而揭示课题，形成概念.（4）知识迁移与运用：例题讲解与课堂练习.（5）课时小结：本节重点内容再现及思想方法的归纳与总结.（6）作业布置.由于数学高度抽象的特点，为了更好的体现知识的来龙去脉，同时也为了给学生创造动手实践的机会，由学生来完成兔子繁殖和在国际象棋棋盘上摆放麦粒(只要求放前6个格子，然后猜想、依次归纳出后58个格子的麦粒数)的过程，这样有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师指导下的“再创造”过程，整体上让学生经历和体验从具体实例抽象出数学概念的过程.在整个教学过程中，确定教学策略的依据是：既来源于教材又不拘泥于教材.注重把学生的原有知识、生活经验作为主要的课程资源，充分发挥学生的自主性和创造性.使整个教学过程成为师生相互交流、共同参与的过程，充分体现教师为主导、学生为主体的教学理念. 教学目标：1.知识与技能目标(1)通过教学使学生理解数列的概念，了解数列的表示法，能够根据通项公式写出数列的项．(2)通过数列定义的归纳概括，初步培养学生的观察、抽象概括能力；渗透函数思想．(3)通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的积极性．2.过程与方法(1)通过两个游戏，培养学生探究新问题的意识和能力；(2)利用游戏，调动学生参与学习的积极性，培养学生的钻研精神;(3)进一步培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力、综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．3.情感、态度与价值观通过教学，培养学生良好的思维习惯、严紧的学习态度以及不怕困难和勇于探索的精神；让学生认识到课堂知识与实际生活的联系，感受数学来源于生活并服务于生活，从而提高学生学数学、用数学的意识.教学重点：教学重点是数列的定义的归纳与认识；教学难点：正确理解数列与函数的联系与区别．教学准备：收集相关图片、资料；制作幻灯片；布置学生预习，并且每个小组（四人为一个学习小组）准备若干张小纸签（不低于40张）和一张国际象棋棋盘（自制）及麦粒或米粒若干.教学过程：一、设置情景，引入课题：今天开始我们研究一个新课题，现在先看下面几个例子▲情景1（杂技表演中的叠罗汉自下而上的人数）：（展示第一张幻灯片）【问题】你能写出各层的人数吗？ （让学生观察后按顺序写出各层的人数）▲情景2（兔子繁殖问题）：一对大兔每月能生出一对小兔，而小兔经过一个月就长成大兔，问从一对小兔开始，一年后共繁殖成多少对大兔？组织学生做游戏：请大家拿出准备好的纸签，在其中的16张上写上 “小兔”，再在另外的24张上写上 “大兔”，然后按上述要求，做 “兔子繁殖”的游戏.（教师巡视引导）【问题1】你发现其中的规律吗？（让学生在游戏中寻找规律）【问题2】你能依次写出1～12月中各个月兔子的对数吗？2月份1月份3月份4月份5月份......6月份12月份1对2对3对1对8对5对请学生代表发言，教师补充.（板书）1～12月中各个月兔子的对数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……（展示第二张幻灯片）总结：它的规律是，从第三项起，每一项都等于这项的前面两项的和，即+2+1=+n n n a a a (*N n 且n ≥3)▲情景3（际象棋棋盘棋上的麦粒数，盘上有八行八列共64个格子，如图所示）：关于国际棋有这样一个传说：国王要奖奖赏的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放1颗麦粒，第二个格子里放2颗麦粒，第三个格子里放4颗麦粒，第四个格子里放8颗麦粒，依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的粮食来实现上述这个要求”.国王觉得这是件很容易的事，就欣然同意了他的要求.组织学生做游戏：请大家拿出准备好的棋盘与麦粒，按要求在棋盘上依次摆放.【问题1】你认为国王有能力满足发明者的要求吗？【问题2】你能依次写出每个格子里放的麦粒数分别是多少吗？请学生代表发言，教师补充.（板书）每个格子里放的麦粒数依次是：20，21，22，23，24，25，26，……，263【问题3】你能帮国王计算一下，需要准备多少麦粒吗？你是否能估算出这些粮食大约有多重吗？▲情景4（生活中的实例：放圆钢，如图所示）：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，……【问题1】 最多可放多少层？【问题2】第57层有多少根？【问题3】从第1层到第57层一共有多少根？（板书）每层的圆钢根数（自上而下）依次是：1，2，……97，98，99，100.二、揭示课题：在上面的例子中，我们不能满足于逐一的去数（有的问题需要花大量的时间去数，如情景2中兔子的对数，情景4中圆钢的根数等，而有的问题中很难数甚至不可能数，如例中的麦粒数就很难数.），而是要求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是一个个按一定顺序排好对的一列数，象这样排好队的数就是我们这一章的研究对象——数列.三、新课讲授：数列的概念与简单表示法（板书）1．数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列．为表述方便给出几个名称：项，项数，首项（以幻灯片的形式给出）．以上述4个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数． 由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系．（板书）2．数列与函数的关系数列可以看作特殊的函数，项数是其自变量，项是项数所对应的函数值，数列的定义域是正整数集*N ，或是正整数集*N 的有限子集｛1，2，3，……，n ｝．于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列．遇到数学概念不单要下定义，还要给其数学表示，以便研究与交流，下面探讨数列的表示法． （板书）3．数列的表示法数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用1a 表示第一项，用2a 表示第二项，……，用n a 表示第n 项，依次写出成为：（1）列举法：123,,,a a a …n a ，…（如幻灯片上的例子）简记为｛n a ｝．一个函数的直观形式是其图象，我们也可用图形表示一个数列，把它称作图示法．（2）图象法：启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数n 为横坐标，相应的项a n 为纵坐标，即以（n ，a n ） 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列3，2，1，1，1 为例，作出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在y 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．有些函数可以用解析式来表示，解析式反映了一个函数的函数值与自变量之间的数量关系，类似地有一些数列的项能用其项数的函数式表示出来，即)(n f a n =，这个函数式叫做数列的通项公式．（3）通项公式法：如上述情景4中的数列：1，2，3，…，97，98，99，100的通项公式为=n a n (*N ∈n ，1≤n ≤100)0，1，2，3，… 的通项公式为1-=n a n (*N ∈n )；1，1，1，…的通项公式为1=n a (*N ∈n ，1≤n ≤3)； 41,31,21,1，…的通项公式为na n 1=(*N ∈n )； 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第n 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．例如，数列{a n }的通项公式a n =2n -1，则a 52=2×52-1=103.值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公式，即便有通项公式，通项公式也未必唯一．除了以上三种表示法，某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．（4）递推公式法：如前面所举的钢管的例子，第n +1 层钢管数a n +1与第n 层钢管数a n 的关系是a n +1=a n +1，在给定a 1=1，便可依次求出各项．再如数列{a n }中，a n +1=2a n ，若a 1=1这个数列就是1，2，4， 8，16，32，64，… ．像这样，如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系用一个公式来表示，这个公式叫做这个数列的递推公式．递推公式是数列所特有的表示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可．可由学生举例，以检验学生是否理解．四、课堂练习：教材A组题P33 1．（1）、（2）、（3）；2；3．（1）、（2）；4．（1）（2）.五、小结：（师生共同小结）1．数列的概念（口述）2．数列的四种表示方法：（1）列举法；（2）图象法；（3）通项公式法；（4）递推公式法.六、板书设计教案点评：教学设计中，教师特别注重组织学生开展活动，让学生的兴趣在了解深究任务中产生，让学生的思考在分析真实数据中形成，让学生的理解在集体讨论中加深，让学生的学习在合作探究活动中进行．当然在活动过程前后的独立思考以及在此基础上的集体讨论也属于探索活动的有机组成部分，经过独立思考，多种多样的方案、不同的推测结论、各具特色的陈述理由才会形成集体讨论，才会热烈而富有启发性．而在实施时，教师考虑到学时的限制，把有些活动的思考与讨论作为作业预先或者事后布置给学生（如本节作业）．让学生有充分思考、组织和表达的机会，其合作及交流的形式可以是多样的．。
高中数学：第2章 数列 §2.1-第1课时
第二章 数列§2.1 数列的概念与简单表示法第1课时 数列的概念与通项公式1.下列说法中正确的是A.数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}B.数列1，0，－1，－2与－2，－1，0，1是相同的数列C.数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项为1＋1k D.数列0，2，4，6，…可记为{2n }解析 {1，3，5，7}是一个集合，故选项A 错；数虽相同，但顺序不同，不是相同的数列，故选项B 错；数列0，2，4，6，…可记为{2n －2}，故选项D 错，故选C. ★答案★ C2.已知数列{a n }为1，0，1，0，…，则下列各式可作为数列{a n }的通项公式的有 (1)a n ＝12[1＋(－1)n ＋1]；(2)a n ＝sin 2n π2；(3)a n ＝12[1＋(－1)n ＋1]＋(n －1)(n －2)；(4)a n ＝1－cos n π2；(5)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1（n 为奇数），0（n 为偶数）.A.1个B.2个C.3个D.4个解析 对于(3)，将n ＝3代入，则a 3＝3≠1，易知(3)不是通项公式.根据三角中的半角公式可知(2)和(4)实质是一样的，都可作为数列{a n }的一个通项公式.数列1，0，1，0，…的通项公式可猜想为a n ＝12＋12×(－1)n ＋1，即为(1)的形式.(5)是分段表示的，也为数列的一个通项公式.故选D.★答案★ D3.在数列1，1，2，3，5，8，x ，21，34，55中，x 等于 A.11B.12C.13D.14解析 观察数列可知，后一项是前两项的和， 故x ＝5＋8＝13. ★答案★ C4.数列1，2，7，10，13，…中的第26项为________.解析 ∵a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，∴a n ＝3n －2， ∴a 26＝3×26－2＝76＝219. ★答案★ 2195.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2＋n，那么110是它的第________项.解析 令2n 2＋n ＝110，解得n ＝4或n ＝－5(舍去)，所以110是该数列的第4项.★答案★ 4[限时45分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1.下列有四个结论，其中叙述正确的有①数列的通项公式是唯一的；②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数；③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；④每个数列都有通项公式.A.①②B.②③C.③④D.①④解析数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确.★答案★ B2.数列0，33，22，155，63，…的一个通项公式是A.a n＝n－2n B.a n＝n－1nC.a n＝n－1n＋1D.a n＝n－2n＋2解析已知数列可化为：0，13，24，35，46，…，故a n＝n－1n＋1.★答案★ C3.已知数列12，23，34，…，nn＋1，则0.96是该数列的A.第20项B.第22项C.第24项D.第26项解析由nn＋1＝0.96，解得n＝24.★答案★ C4.已知数列{a n}的通项公式a n＝nn＋1，则a n·a n＋1·a n＋2等于A.n n ＋2B.n n ＋3C.n ＋1n ＋2D.n ＋1n ＋3解析 a n ·a n ＋1·a n ＋2＝n n ＋1·n ＋1n ＋2·n ＋2n ＋3＝n n ＋3.故选B. ★答案★ B5.已知数列{a n }的通项公式a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)，则它的前30项之积是 A.15 B.5C.6D.log 23＋log 31325解析 a 1·a 2·a 3·…·a 30＝log 23×log 34×log 45×…×log 3132 ＝lg 3lg 2×lg 4lg 3×…×lg 32lg 31＝lg 32lg 2＝log 232＝log 225＝5. ★答案★ B6.(能力提升)图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成：通过观察可以发现：第n 个图形中，火柴棒的根数为 A.3n －1B.3nC.3n ＋1D.3(n ＋1)解析 通过观察，第1个图形中，火柴棒有4根；第2个图形中，火柴棒有4＋3根；第3个图形中，火柴棒有4＋3＋3＝4＋3×2根；第4个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＝4＋3×3根；第5个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＋3＝4＋3×4根，…，可以发现，从第二项起，每一项与前一项的差都等于3，即a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝3，a 5－a 4＝3，…，a n －a n －1＝3(n ≥2)，把上面的式子累加，则可得第n 个图形中，a n ＝4＋3(n －1)＝3n ＋1(根).★答案★ C二、填空题(每小题5分，共15分)7.在数列－1，0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第________项.解析 令n －2n 2＝0.08，解得n ＝10⎝⎛⎭⎫n ＝52舍去，即为第10项. ★答案★ 108.若数列{a n }的通项公式是a n ＝3－2n ，则a 2n ＝________，a 2a 3＝________.解析 根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项. 因为a n ＝3－2n ，所以a 2n ＝3－22n ＝3－4n ， a 2a 3＝3－223－23＝15. ★答案★ 3－4n159.(能力提升)如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME 7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图(2)中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为a n ＝________.解析 因为OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…，OA n ＝n ，…，所以a n ＝n . ★答案★n三、解答题(本大题共3小题，共35分)10.(11分)观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式： (1)34，23，712，( )，512，13，…； (2)53，( )，1715，2624，3735，…； (3)2，1，( )，12，…；(4)32，94，( )，6516，…. 解析 (1)根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则序号1 2 3 4 5 6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓912 812 712 ( ) 512 412于是括号内填612，而分子恰为10减序号，故括号内填12，通项公式为a n ＝10－n 12.(2)53＝4＋14－1， 1715＝16＋116－1， 2624＝25＋125－1， 3735＝36＋136－1. 只要按上面形式把原数改写，便可发现各项与序号的对应关系：分子为序号加1的平方与1的和的算术平方根，分母为序号加1的平方与1的差.故括号内填108， 通项公式为a n ＝（n ＋1）2＋1（n ＋1）2－1.(3)因为2＝21，1＝22，12＝24，所以数列缺少部分为23，数列的通项公式为a n ＝2n .(4)先将原数列变形为112，214，( )，4116，…，所以括号内应填318，数列的通项公式为a n ＝n ＋12n .11.(12分)在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式是关于n 的一次函数. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求a 2 017；(3)2 018是否为数列{a n }中的项？解析 (1)设a n ＝kn ＋b (k ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝2，17k ＋b ＝66，解得k ＝4，b ＝－2.∴a n ＝4n －2. (2)a 2 017＝4×2 017－2＝8 066.(3)令2 018＝4n －2，解得n ＝505∈N *， ∴2 018是数列{a n }的第505项.12.(12分)(能力提升)数列{a n }中，a n ＝n 2n 2＋1.(1)求数列的第7项；(2)求证：此数列的各项都在区间(0，1)内； (3)区间⎝⎛⎭⎫13，23内有无数列的项？若有，有几项？ 解析 (1)a 7＝7272＋1＝4950.(2)证明 ∵a n ＝n 2n 2＋1＝1－1n 2＋1，∴0<a n <1，故数列的各项都在区间(0，1)内.(3)因为13<n 2n 2＋1<23，所以12<n 2<2，又n ∈N *，所以n ＝1，即在区间⎝⎛⎭⎫13，23内有且只有一项a 1.。
高考数学知识点：数列的概念与简单表示法
高考数学知识点：数列的概念与简单表示法1500字数列是指按照一定规律排列的数字集合。
在高考数学中，数列是一个重要的知识点，它不仅会在选择题和填空题中出现，还会涉及到解答题的证明和计算。
本文将从数列的概念、简单表示法、常见数列以及数列的应用等方面，详细介绍高考数学数列知识点。
一、数列的概念数列中的数字按照一定的顺序排列，每个数字依次被称为数列的项。
一般来说，数列用字母表示，如a₁, a₂, a₃, ...，其中a₁表示数列的第一项，a₂表示数列的第二项，以此类推。
数列中的项可以是整数、分数或者实数，也可以是变量。
数列可以分为等差数列和等比数列两种。
等差数列是指相邻的两项之差都是一常数的数列，等差数列的通项公式一般为an = a₁ + (n-1)d，其中a₁表示首项，d表示公差，n表示项数。
等比数列是指相邻的两项之比都是一常数的数列，等比数列的通项公式一般为an = a₁ * r^(n-1)，其中a₁表示首项，r表示公比，n表示项数。
二、数列的简单表示法在高考数学中，常见的数列表示法有两种：通项公式和递推公式。
通项公式是指通过数列的第n项表示数列的任意一项，递推公式是指通过数列的前一项表示数列的后一项。
以等差数列为例，该数列的递推公式为an = an-1 + d，表示每一项都是前一项与公差之和。
而通项公式为an = a₁ + (n-1)d，表示数列的任意一项可以通过项数和公差计算得出。
另外，数列也可以通过数列的前几项给出，例如{1, 2, 3, ...}表示自然数列，{2, 4, 6, ...}表示偶数列。
这种表示法在高考数学中较少使用，但在解答题时可能会用到。
三、常见数列在高考数学中，有一些常见的数列被广泛应用。
这些数列包括等差数列、等比数列、等差数列的前n项和、等比数列的前n项和、斐波那契数列等等。
1. 等差数列：等差数列是指相邻的两项之差都是一常数的数列。
例如{1, 3, 5, 7, ...}是一个公差为2的等差数列。
数列的基本概念及表示 ppt课件
1， 12，31，14，
2
1， 2， 3， 4， ,66
3
1 ， 1 ， 1 ， 1
4
1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 5 共同特点：
1. 都是一列数； 2. 都有一定的顺序
数列的基本概念及表示
数列及其有关概念:
1. 数列的概念: 按照一定顺序排列着的一列数称为数列
辨析数列的概念: (1) “1, 2, 3, 4, 5”与“5, 4, 3, 2, 1”是同一 个数列吗？与“1, 3, 2, 4, 5”呢？
n 通项
公式
序号（正整数 或它的有限 子集）
数列与函数
对于数列中的每个序号n,都有唯一的一个 数（项）an与之对应.
项数n 1 2 3 4 ……64 （自变量）
项an 1 2 22 23 …… 263
可以认为： an f(n)
（函数值）
数列是一种特殊的函数
数列的基本概念及表示
数列的表示法
以数列: 2, 4, 6, 8, 10, 12, ···为例 通项公式法: an=2n
2.1.1数列的概念 与简单的表示方法
引例
8
7
6
5
64个格子 你想4得到
什么3 样的 OK
87
65 4 3 2
赏赐2 ？
1
陛下，赏小
1
。 人就一请 请子请依子可请子在在放在次些放在放以第第8类第4第颗麦1二四颗推三颗一麦个麦…粒个麦个粒…格格粒格粒格
子放2颗麦粒
数列的基本概念及表示
精品资料
?
例3 高一（2）班考试名次由小到大排成的一列数
从函数的观点看， 数列项是序号的函数。
序号
1
2
人教版高中数学必修五2.1数列的概念与简单表示法说课稿
《数列的概念与简单表示法》（第一课时）说课稿尊敬的各位专家、评委：下午好！我的抽签序号是＿＿＿＿，今天我说课的课题选自人教A版第二章第一节《数列的概念与简单表示法》第一课时.我将从教材分析、教法分析、教学过程分析和教学评价分析四个方面来谈谈我对教材的理解和教学的设计，敬请各位专家、评委批评指正.一、教材分析（一）地位与作用数列是高中数学的重要内容之一，也是高考考查的重点及热点之一.数列有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算要用到数列的一些知识；数列与前面学习的函数等知识有着密切的联系，数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的数学模型；因此我们有必要学习数列.（二）教学目标根据对教材结构与内容的分析，以及新《课标》的要求，我制定了如下的教学目标：1.知识与技能目标：（1）了解数列及其有关概念，了解数列与函数之间的关系；（2）能够根据数列的通项公式写出数列的任意一项以及根据数列的前几项写出它的一个通项公式.2.过程与方法目标：通过猜想与折纸活动，引入数列的概念，通过对一列数的观察、分析、归纳，写出符合条件的一个通项公式，体会数学中的归纳思想、类比思想、由特殊到一般的思想方法.3.情感态度价值观目标：（1）培养学生的观察能力和抽象概括能力，逐步培养学生善于思考和解决问题的能力；（2）调动学生的积极情感，主动参与学习.（三）教学重难点重点：数列的有关概念，通项公式及其应用. 难点：根据数列的前几项写出它的一个通项公式. 二、教法分析（一）学情分析学生的知识经验较为丰富，具备了一定的观察、分析、猜想、类比、推理能力；但是通过观察数列的前几项写出它的通项公式还是比较难，因此在教学中要注重引导、启发学生分析数列中的每一项与它的序号之间的关系，才能求出数列的通项公式.（二）教法采用问题驱动教学法和观察分析，猜想验证，探究发现的教学方法（三）学法小组合作学习，突出探究、发现与交流（四）教学手段多媒体辅助教学三、教学过程分析（一）创设情景，引入概念活动一：观察下列两组图形，猜想每组图形中的第6个图的点数分别是多少？第一组第二组引导学生观察得出第一组图的点数分别为：1,4,9,16,25,36，…，这些数被称为正方形数。
1_数列的概念与简单表示法(一)
数列的概念与简单表示法(一)
认识课标（2分钟）
• 1.了解数列的概念、表示、分类； • 2.理解数列的通项公式及其简单应用； • 3.能根据数列的前几项写出一个通项公式。
• 一．学习内容（6分钟）
• 阅读教材P28-29（含例1），梳理教材内容； 然后阅读并填写《学与导》P8知识导读； 1．什么叫数列？以及数列的项和首项的含义？ 2．数列的一般形式是怎样的？ 3．数列的分类 (1)根据数列的项数可以将数列分为哪两类数列？ (2)按照数列的每一项随序号变化的情况可以怎样分类？ 4．什么叫数列的通项公式？
2 3 4 • 4.写出数列 1, , , ,... 3 5 7 断它的增减性。
六．小结和作业（2分钟） 本节课你有哪些收获？ • • • • • • • 1.作业本上的作业： P31练习2 2.《学与导》上的作业： 必做题： 课中例2（1）；课后1、2； 选做题： 课中例2（2）；课后3.
• 二．导读单
• • • • • •
• 三．生成问题（6分钟）
• 每个同学把生成的问题写在《学与导》P8， 小组负责人组织交流、讨论问题；最后各小组 负责人组织填写问生成反馈单。
• 四．师生互动解决问题（6分钟）
五．目标达成检测（15分钟）
• • • • • 1.完成教材P31练习4和P33习题A组3； 2.完成《学与导》P8导读题2、5； 3.已知数列 {an }的通项公式为 an 5n 3 （1）写出数列的第4项和第6项； （2）18是否是该数列的一项？如果是，是哪 一项？27是否是该数列的一项呢？ 的通项公式，并判
高中数学知识点总结(第六章 数列 第一节 数列的概念与简单表示)
第六章 数列第一节 数列的概念与简单表示一、基础知识 1．数列的概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N *(或它的有限子集{1,2，…，n })为定义域的函数a n ＝f (n )当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性.(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 2．数列的分类(1)按照项数有限和无限分：⎩⎪⎨⎪⎧有限数列：项数有限个；无限数列：项数无限个；(2)按单调性来分：⎩⎪⎨⎪⎧递增数列：a n ＋1>a n ，递减数列：a n ＋1<a n，常数列：a n ＋1＝a n＝C常数，摆动数列.3．数列的两种常用的表示方法(1)通项公式：如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．1并不是所有的数列都有通项公式；2同一个数列的通项公式在形式上未必唯一. (2)递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．通项公式和递推公式的异同点不同点相同点通项公式 可根据某项的序号n 的值，直接代入求出a n 都可确定一个数列，也都可求出数列的任意一项递推公式可根据第一项(或前几项)的值，通过一次(或多次)赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的二、常用结论(1)若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，n ∈N *. (2)在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1. 考点一 由a n 与S n 的关系求通项a n[典例] (1)(2018·广州二模)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则数列{a n }的通项公式为____________．(2)(2018·全国卷Ⅰ改编)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则a n ＝________. [解析] (1)由log 2(S n ＋1)＝n ＋1，得S n ＋1＝2n ＋1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.(2)∵S n ＝2a n ＋1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋1， ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1＋1，得a 1＝－1.∴数列{a n }是首项a 1为－1，公比q 为2的等比数列， ∴a n ＝－1×2n －1＝－2n －1.[答案] (1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2 (2)－2n －1[解题技法]1．已知S n 求a n 的3个步骤 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)注意检验n ＝1时的表达式是否可以与n ≥2的表达式合并． 2．S n 与a n 关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化． (1)利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解． (2)利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．[题组训练]1.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)(n ∈N *)，则a n ＝( ) A ．2n B ．2n －1 C ．2nD ．2n －1解析：选C 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2(a 1－1)，可得a 1＝2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1， ∴a n ＝2a n －1，∴数列{a n }为首项为2，公比为2的等比数列， ∴a n ＝2n .2.设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，则a n ＝____________. 解析：因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ， 故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)． 两式相减得(2n －1)a n ＝2， 所以a n ＝22n －1(n ≥2)．又由题设可得a 1＝2，满足上式， 从而{a n }的通项公式为a n ＝22n －1. 答案：22n －1考点二 由递推关系式求数列的通项公式[典例] (1)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝a n ＋n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________________．(2)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，则数列{a n }的通项公式为________________． (3)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________________． [解析] (1)累加法由题意得a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3，…，a n ＝a n －1＋n (n ≥2)， 以上各式相加，得a n ＝a 1＋2＋3＋…＋n .又∵a 1＝1，∴a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋n 2(n ≥2)．∵当n ＝1时也满足上式，∴a n ＝n 2＋n2(n ∈N *)．(2)累乘法∵a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，a n －2＝n －3n －2a n －3，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时，a 1＝1，上式也成立． ∴a n ＝1n (n ∈N *)．(3)构造法∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3， ∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2， ∴a n ＋1＝2·3n －1， ∴a n ＝2·3n －1－1(n ∈N *)．[答案] (1)a n ＝n 2＋n 2(n ∈N *) (2)a n ＝1n (n ∈N *) (3)a n ＝2·3n －1－1(n ∈N *)[解题技法]1．正确选用方法求数列的通项公式(1)对于递推关系式可转化为a n ＋1＝a n ＋f (n )的数列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通项公式．(2)对于递推关系式可转化为a n ＋1a n＝f (n )的数列，并且容易求数列{f (n )}前n 项的积时，采用累乘法求数列{a n }的通项公式．(3)对于递推关系式形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0,1，q ≠0)的数列，采用构造法求数列的通项． 2．避免2种失误(1)利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到a 2a 1，漏掉a 1而导致错误；二是根据连乘求出a n 之后，不注意检验a 1是否成立．(2)利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定最后一个式子的形式．[题组训练] 1.累加法设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1nn ＋1，则通项公式a n ＝________. 解析：原递推公式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－13，a 4＝a 3＋13－14，…，a n －1＝a n －2＋1n －2－1n －1，a n ＝a n－1＋1n －1－1n ，以上(n －1)个式子的等号两端分别相加得，a n ＝a 1＋1－1n ，故a n ＝4－1n .答案：4－1n2.累乘法设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ，则通项公式a n ＝________.解析：由a n ＋1＝2n a n ，得a n a n －1＝2n －1(n ≥2)，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2n n －12.又a 1＝1适合上式，故a n ＝2n n －12.答案：2nn －123.构造法在数列{a n }中，a 1＝3，且点P n (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线4x －y ＋1＝0上，则数列{a n }的通项公式为________．解析：因为点P n (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线4x －y ＋1＝0上，所以4a n －a n ＋1＋1＝0，即a n＋1＝4a n ＋1，得a n ＋1＋13＝4⎝⎛⎭⎫a n ＋13，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋13是首项为a 1＋13＝103，公比为4的等比数列，所以a n ＋13＝103·4n －1，故a n ＝103·4n －1－13.答案：a n ＝103·4n －1－13考点三 数列的性质及应用考法(一) 数列的周期性[典例] 数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n，0≤a n≤12，2a n－1，12<a n<1，a a 1＝35，则数列的第 2 019项为________．[解析] 因为a 1＝35，故a 2＝2a 1－1＝15，a 3＝2a 2＝25，a 4＝2a 3＝45，a 5＝2a 4－1＝35，a 6＝2a 5－1＝15，a 7＝2a 6＝25，…，故数列{a n }是周期数列且周期为4，故a 2 019＝a 504×4＋3＝a 3＝25.[答案] 25考法(二) 数列的单调性(最值)[典例] (1)(2018·百校联盟联考)已知数列{a n }满足2S n ＝4a n －1，当n ∈N *时，{(log 2a n )2＋λlog 2a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________．(2)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫78n，则当a n 取得最大值时，n ＝________. [解析] (1)∵2S n ＝4a n －1,2S n －1＝4a n －1－1(n ≥2)， 两式相减可得2a n ＝4a n －4a n －1(n ≥2)， ∴a n ＝2a n －1(n ≥2)． 又2a 1＝4a 1－1，∴a 1＝12，∴数列{a n }是公比为2的等比数列，∴a n ＝2n －2， 设b n ＝(log 2a n )2＋λlog 2a n ＝(n －2)2＋λ(n －2)， ∵{(log 2a n )2＋λlog 2a n }是递增数列，∴b n ＋1－b n ＝2n －3＋λ>0恒成立，∴λ>3－2n 恒成立， ∵(3－2n )max ＝1，∴λ>1， 故实数λ的取值范围是(1，＋∞)．(2)当a n 取得最大值时，有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，∴⎩⎨⎧n ＋2⎝⎛⎭⎫78n≥n ＋1⎝⎛⎭⎫78n －1，n ＋2⎝⎛⎭⎫78n≥n ＋3⎝⎛⎭⎫78n ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤6，n ≥5，∴当a n 取得最大值时，n ＝5或6. [答案] (1)(1，＋∞) (2)5或6[解题技法]1．解决数列的单调性问题的3种方法2．解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．[题组训练]1．设数列{a n }，a n ＝nanb ＋c，其中a ，b ，c 均为正数，则此数列( ) A ．递增 B ．递减 C ．先增后减D ．先减后增解析：选A 因为a n ＝na bn ＋c＝a b ＋c n ，而函数f (x )＝ab ＋c x(a >0，b >0，c >0)在(0，＋∞)上是增函数，故数列{a n }是递增数列．2．已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，若a 1＝12，则a 2 019＝( )A ．－1 B.12C ．1D ．2解析：选A 由a 1＝12，a n ＋1＝11－a n ，得a 2＝11－a 1＝2，a 3＝11－a 2＝－1，a 4＝11－a 3＝12，a 5＝11－a 4＝2，…，于是可知数列{a n }是以3为周期的周期数列，因此a 2 019＝a 3×673＝a 3＝－1.[课时跟踪检测]A 级1．(2019·郑州模拟)已知数列1，3，5，7，…，2n －1，若35是这个数列的第n 项，则n ＝( )A ．20B ．21C ．22D ．23解析：选D 由2n －1＝35＝45，得2n －1＝45，即2n ＝46，解得n ＝23，故选D. 2．(2019·福建四校联考)若数列的前4项分别是12，－13，14，－15，则此数列的一个通项公式为( )A.－1n ＋1n ＋1B.－1nn ＋1C.－1nnD.－1n －1n解析：选A 由于数列的前4项分别是12，－13，14，－15，可得奇数项为正数，偶数项为负数，第n 项的绝对值等于⎪⎪⎪⎪1n ＋1，故此数列的一个通项公式为－1n ＋1n ＋1.故选A. 3．(2019·莆田诊断)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则a 5的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选A 由题意可得，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 3＝a 2－a 1＝2－1＝1，a 4＝a 3－a 2＝1－2＝－1，a 5＝a 4－a 3＝－1－1＝－2.故选A.4．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n (n ∈N *)，若p －q ＝5，则a p －a q ＝( ) A ．10 B ．15 C ．－5D ．20解析：选D 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－3n －[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，符合上式，所以a n ＝4n －5，所以a p －a q ＝4(p －q )＝20.5．设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，2]C ．(－∞，3)D.⎝⎛⎦⎤－∞，92 解析：选C 因为数列{a n }是单调递增数列， 所以a n ＋1－a n ＝2n ＋1－b >0(n ∈N *)， 所以b <2n ＋1(n ∈N *)， 所以b <(2n ＋1)min ＝3，即b <3.6．若数列{a n }满足12≤a n ＋1a n≤2(n ∈N *)，则称{a n }是“紧密数列”．若{a n }(n ＝1,2,3,4)是“紧密数列”，且a 1＝1，a 2＝32，a 3＝x ，a 4＝4，则x 的取值范围为( )A ．[1,3)B ．[1,3]C ．[2,3]D ．[2,3)解析：选C 依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧12≤x32≤2，12≤4x≤2，解得2≤x ≤3，故x 的取值范围为[2,3]．7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________. 解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥28．已知数列32，54，76，9m －n ，m ＋n 10，…，根据前3项给出的规律，实数对(m ，n )为________．解析：由数列的前3项的规律可知⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝8，m ＋n ＝11，解得⎩⎨⎧m ＝192，n ＝32，故实数对(m ，n )为⎝⎛⎭⎫192，32.答案：⎝⎛⎭⎫192，329．数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＋S n －1＝2n －1(n ≥2，n ∈N *)，且S 2＝3，则a 1＋a 3的值为________．解析：∵S n ＋S n －1＝2n －1(n ≥2)，令n ＝2， 得S 2＋S 1＝3，由S 2＝3得a 1＝S 1＝0， 令n ＝3，得S 3＋S 2＝5，所以S 3＝2， 则a 3＝S 3－S 2＝－1， 所以a 1＋a 3＝0＋(－1)＝－1. 答案：－110．已知数列{a n }满足a n ＝(n －λ)2n (n ∈N *)，若{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围为________．解析：因为a n ＝(n －λ)2n (n ∈N *)且数列{a n }是递增数列，所以a n ＋1－a n ＝2n (n ＋2－λ)>0，所以n ＋2－λ>0，则λ<n ＋2.又n ∈N *，所以λ<3，因此实数λ的取值范围为(－∞，3)．答案：(－∞，3)11．(2019·衡阳四校联考)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝4a n ＋3. (1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{a n }的通项公式； (2)证明：a n ＋1＋1a n ＋1＝4.解：(1)a 1＝3，a 2＝15，a 3＝63，a 4＝255.因为a 1＝41－1，a 2＝42－1，a 3＝43－1，a 4＝44－1，…， 所以归纳得a n ＝4n －1.(2)证明：因为a n ＋1＝4a n ＋3，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝4a n ＋3＋1a n ＋1＝4a n ＋1a n ＋1＝4.12．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围． 解：(1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. 因为n ∈N *，所以n ＝2,3，所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3. 因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94， 由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2. (2)由a n ＋1>a n ，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，解得k >－3.所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞)．B 级1.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n ·2n ＋1，该数列的项排成一个数阵(如图)，则该数阵中的第10行第3个数为________．a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 ……解析：由题意可得该数阵中的第10行第3个数为数列{a n }的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝9×102＋3＝48项，而a 48＝(－1)48×96＋1＝97，故该数阵中的第10行第3个数为97. 答案：972．在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.解析：依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.答案：283．在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n(n ∈N *)． (1)讨论数列{a n }的增减性； (2)求数列{a n }的最大项．解：(1)由题意，知a n >0，令a na n －1>1(n ≥2)，即n ＋1⎝⎛⎭⎫1011nn ⎝⎛⎭⎫1011n －1>1(n ≥2)，解得2≤n <10，即a 9>a 8>…>a 1.11令a n a n ＋1>1，即n ＋1⎝⎛⎭⎫1011n n ＋2⎝⎛⎭⎫1011n ＋1>1， 整理得n ＋1n ＋2>1011，解得n >9，即a 10>a 11>…. 又a 9a 10＝1，所以数列{a n }从第1项到第9项单调递增，从第10项起单调递减． (2)由(1)知a 9＝a 10＝1010119为数列{}a n 的最大项．。
数列的概念(基础)
数列的概念与简单表示法要点一、数列的概念数列概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列. 要点诠释：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.其中数列的第1项也叫作首项；项在数列中的位置序号称为项数.要点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念。
数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号.类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质： （1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的； （2）可重复性：数列中的数可以重复；（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的.数列的一般形式可以写成：1a ，2a ，3a ，…，n a ，…，或简记为{}n a .其中n a 是数列的第n 项.要点诠释：{}n a 与n a 的含义完全不同，{}n a 表示一个数列，n a 表示数列的第n 项. 要点二、数列的分类 根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列. 无穷数列：项数无限的数列. 根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。
递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 要点三、数列的通项公式与前n 项和数列的通项公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.如数列：0，1，23，…的通项公式为1n a n =-（*n N ∈）；1，1，1，1，…的通项公式为1n a =（*n N ∈）；1，12，13，14，…的通项公式为1n a n=（*n N ∈）；要点诠释：（1）并不是所有数列都能写出其通项公式； （2）一个数列的通项公式有时是不唯一的。
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 阅读与思考 斐波那契数列》示范课课件_7
出通项公式：
an
1 5
1 2
5
n
12
5
n
,
nN
斐波那契数列有许多奇妙的性质
1， 1， 2， 3， 5， 8， 13，21， 34， 55, 89， 144， 233,…
相邻项互素（互质） 第3项，第6项，第9项，第12项，…
都能被2整除
斐波那契数列有许多奇妙的性质
1， 1， 2， 3， 5， 8， 13，21， 34， 55, 89， 144， 233,…
相邻项互素（互质） 第3项，第6项，第9项，第12项，…
都能被2整除 第4项，第8项，第12项，…都能被3整除 第5项，第10项，…都能被5整除
大自然中的斐波那契数列
解答
解答
可以将结果以列表形式列出：
1月 2月 3月 4月 5月 6月 112358
7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月 13 21 34 55 89 144
因此，斐波那契兔子问题的答案是 144 对。
兔子问题中，从第一个月开始，以后每个月的兔 子总对数可以用怎样的数学模型来刻画它呢？
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21， 34,55…
斐波那契数列的递推关系式
1 n 1,2
an an1 an2 n 3, n N
若一个数列，前两项是1，从第三项开始
每一项等于其前两项的和，则称该数列
为斐波那契数列。
根据斐波那契数列的递推公式
斐波那契数列还有很多有趣的性质未曾 介紹。在外国，仍然有很多人对这一数 列发生兴趣，并办杂志来分享研究的心 得。
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有穷数列、无穷数列。
（2）按项与项之间的大小关系分为：
递增数列 、递减数列 、常数列、摆动数列.
将“观察”中的 6个数列分类
自变量 项数 1 因变量 项 a1 ,
3.数列的函数本质
an f ( n )
f ( x) 7 x 9
2 a2 ,
3 n a3 , , an ,
n N*
(5)2， 0， 2， 0， 2；
完成P 31练习4
例2.下图中的三角形称为谢 宾斯基三角形，在这四 个 三角形中，着色三角形 的个数依次构成一个数 列的 前4项，请写出这个数列的 一个通项公式.
(1)
( 2)
( 3)
(4)
练习：教材P 33 A组5
例3.数列{an }的通项公式是an n2 5n 4. (1)30是不是数列的一项？70呢？ (2)数列中有多少项是负数？ (3)n为何值时，an有最小值？求出最小值.
数列的概念和简单表示法(1)
阅读课本P 28，理解数列的概念及其分类
观察： 1，3，6，10，…
1，4，9，16，…
1.数列的概念 按照一定顺序排列着的 一列数 1, 2,4,8与8,4, 2,1 是不同的数列
数列的一般形式：a1 , a2 , a3 ,, an , 简记为{an }2. 数Βιβλιοθήκη 的分类 （1）按项数有限还是无限分为
完成P 31练习1
例1.写出下面数列的一个通 项公式，使它的前 5项分别是 下列各数：
(1)1， 3， 5， 7， 9；
(2)2， 4， 8， 16， 32；
1 1 1 1 (3)1， ， ， ， ； 2 3 4 5 1 1 1 1 1 (4) ， ， ， ， ； 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6
an 7 n 9
4.数列的通项公式
f (1) 16
f ( 2) 23
f ( 3) f ( n ) 30 7n 9
an f ( n) — —数列的三大公式之一
通项公式的优点在哪里?
an f (n) , n N .
*
1.通项公式能够很清楚的表示数列中 项数和项的关系(递增、递减); 2.由通项公式可以求出数列中的每一 项.