江苏省盐城市2021届新高考数学四模试卷含解析
江苏省盐城市2021届新高考物理四模试卷含解析
江苏省盐城市2021届新高考物理四模试卷一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．如图所示，一个小球（视为质点）从H ＝12m 高处，由静止开始通过光滑弧形轨道AB ，进入半径R ＝4m 的竖直圆环，且与圆环间动摩擦因数处处相等，当到达环顶C 时，刚好对轨道压力为零；沿CB 圆弧滑下后，进入光滑弧形轨道BD ，且到达高度为h 的D 点时的速度为零，则h 之值可能为（取g ＝10 m/s 2，所有高度均相对B 点而言）（ ）A ．12 mB ．10 mC ．8.5 mD ．7 m【答案】C【解析】【分析】【详解】从高度12m 处到C 点由动能定理 21(2)2f mg H R W mv --=，2mv mg R= 可得12f W mgR = 从C 点到D 点由动能定理2f 12''2mv mg R W mgh +⋅-= 由于小球在圆环的相同高度处，下滑的速度比上滑的小，对轨道的压力更小，搜到的摩擦力更小，则摩擦力做功f 10'2W mgR << 则h 之值8m '10m h <<故选C 。
2．质量为m 的小球套在竖直的光滑杆上，一根轻质弹簧一端固定于O 点，另一端与小球相连，弹簧与杆在同一竖直平面内．让小球从A 点开始释放，此时弹簧处于原长，当小球下降的最大竖直高度为h 时到达B 点，若全过程中弹簧始终处于弹性限度内，竖直杆与OB 的夹角为30°，下列研究小球从A 到B 全过程的说法正确的是A．当弹簧与杆垂直时，小球速度最大B．小球的加速度为重力加速度的位置共有三个C．弹簧的弹性势能先增大后减小D．弹簧的弹性势能增加量大于mgh【答案】B【解析】小球A运动过程如右图所示：当小球滑至C点时，弹簧与杆垂直，水平方向弹簧弹力与杆的弹力平衡，小球在竖直方向受重力，则小球的加速度为重力加速度，小球仍向下加速，此时速度不是最大，当合力为零时速度最大，而合力为零的位置应在弹簧与杆垂直位置的下方，故A错误．在图中A、D两位置，弹簧处于原长，小球只受重力，即小球加速度为重力加速度的位置有A、C、D三个，故B正确；弹簧的形变量先增大后减小再增大，其弹性势能先增大后减小再增大，故C错误；小球与弹簧组成的系统只有重力和弹力做功，所以系统的机械能守恒．根据系统机械能守恒定律可知，小球从A到B全过程中增加的弹性势能应等于减少的重力势能mgh，故D错误．所以B正确，ACD错误．3．空间内有一水平向右的电场E，现有一带电量为q的小球以初速度为v0向右上抛出，已知3mgE ，求小球落地点距离抛出点的最远距离（）A ．20v gB ．202v gC ．203v gD ．202v g 【答案】C【解析】【详解】设与水平方向发射角θ，落地点y=0，故竖直方向上有201cos 02v t gt θ⋅-= 解得202sin v t gθ= 在水平方向有2222200002sin cos cos [sin 2(1cos 2]2333v v x v t t g g g θθθθθ=⋅+=+=+- 又因为sin 2cos 2sin(2)6333πθθθ-=-≤， 所以最远射程为203v x = 故C 正确，ABD 错误。
2021年江苏省盐城市普通高校高职单招数学摸底卷(含答案)
2021年江苏省盐城市普通高校高职单招数学摸底卷(含答案)学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(20题)1.已知互相垂直的平面α，β交于直线l若直线m，n满足m⊥a，n⊥β则（）A.m//LB.m//nC.n⊥LD.m⊥n2.设a，b为实数，则a2=b2的充要条件是（）A.a=bB.a=-bC.a2=b2D.|a|=|b|3.设集合U={1，2,3,4,5,6}，M={1，3,5}，则C∪M=()A.{2,4,6}B.{1,3,5}C.{1,2,4}D.U4.设A-B={x|x∈A且x B}，若M={4，5，6，7，8}，N={7，8，9，10}则M-N等于（）A.{4，5，6，7，8，9，10}B.{7，8}C.{4，5，6，9，10}D.{4，5，6}5.已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=()A.{x|x＞2}B.{x|x＞1}C.{x|2＜x＜3}D.{x|1＜x＜3}6.设f(x)=,则f(x)是( )A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数7.A.B.C.8.A.B.C.D.9.已知a是函数f(x)=x3-12x的极小值点，则a=()A.-4B.-2C.4D.210.6人站成一排，甲乙两人之间必须有2人，不同的站法有（）A.144种B.72种C.96种D.84种11.过点A(1，0)，B(0，1)直线方程为（）A.x+y-1=0B.x-y-1=0C.x+y+1=0D.x-y+1=012.A.{-3}B.{3}C.{-3,3}D.13.A.1B.8C.2714.若输入-5,按图中所示程序框图运行后，输出的结果是（）A.-5B.0C.-1D.115.在△ABC中，角A，B，C所对边为a，b，c，“A＞B”是a＞b的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16.设a=log32，b=log52，c=log23，则（）A.a＞c＞bB.b＞c＞aC.c＞b＞aD.c＞a＞b17.已知，则点P（sina，tana）所在的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限18.对于数列0,0,0,...,0,...,下列表述正确的是()A.是等比但不是等差数列B.既是等差又是等比数列C.既不是等差又不是等比数列D.是等差但不是等比数列19.将函数图像上所有点向左平移个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵向不变），则所得到的图像的解析为（）A.B.C.D.20.二、填空题(20题)21.若事件A与事件互为对立事件，则_____.22.23.等差数列中，a1＞0，S4=S9，S n取最大值时，n=_____.24.25.不等式的解集为_____.26.有一长为16m的篱笆要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.27.在ABC中，A=45°，b=4，c=，那么a=_____.28.到x轴的距离等于3的点的轨迹方程是_____.29.已知正实数a,b满足a+2b=4,则ab的最大值是____________.30.在：Rt△ABC中，已知C=90°，c=，b=，则B=_____.31.已知函数则f(f⑶）=_____.32.33.34.35.某校有高中生1000人，其中高一年级400人，高二年级300人，高三年级300人，现釆取分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则高三年级应抽取的人数是_____人.36.37.当0＜x＜1时，x(1-x)取最大值时的值为________.38.39.如图是一个算法流程图，则输出S的值是____.40.三、计算题(5题)41.甲、乙两人进行投篮训练，己知甲投球命中的概率是1/2，乙投球命中的概率是3/5,且两人投球命中与否相互之间没有影响.(1) 若两人各投球1次，求恰有1人命中的概率;(2) 若两人各投球2次，求这4次投球中至少有1次命中的概率.42.解不等式4<|1-3x|<743.有语文书3本，数学书4本，英语书5本，书都各不相同，要把这些书随机排在书架上.(1) 求三种书各自都必须排在一起的排法有多少种?(2) 求英语书不挨着排的概率P。
江苏省扬州市2021届新高考数学四模考试卷含解析
江苏省扬州市2021届新高考数学四模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若x yi +(,)x y ∈R 与31i i +-互为共轭复数，则x y +=（ ） A ．0B ．3C ．－1D ．4 【答案】C【解析】【分析】 计算3121i i i+=+-，由共轭复数的概念解得,x y 即可. 【详解】3121i i i+=+-Q ，又由共轭复数概念得：x 1,y 2==-， 1x y ∴+=-.故选：C【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念.2．设x 、y 、z 是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x 、y 、z 均为直线；②x 、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x 、y 、z 均为平面.其中使“x z ⊥且y z x y ⊥⇒∥”为真命题的是（ ） A ．③④B ．①③C ．②③D ．①②【答案】C【解析】【分析】①举反例，如直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断.③用垂直于同一直线的两平面平行判断.④举例，如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时.【详解】①当直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时,不正确；②因为垂直于同一平面的两直线平行,正确；③因为垂直于同一直线的两平面平行,正确；④如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时, 不正确.故选:C.【点睛】此题考查立体几何中线面关系，选择题一般可通过特殊值法进行排除，属于简单题目.3．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ）A ．147B ．294C ．882D ．1764【答案】A【解析】【分析】根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S 的值.【详解】依题意列表如下： 上列乘6 上列乘5 上列乘21 6 30 6012 3 15 3013 2 10 2014 32 152 1515 65 6 1216 1 5 10所以6603020151210147S =+++++=.故选：A【点睛】本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.4．设0.08log 0.04a =，0.3log 0.2b =，0.040.3c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c >> 【答案】D【解析】【分析】【详解】 因为0.080.080.080.08log 0.042log 0.2log 0.2log 10a ===>=，0.30.3log 0.2log 10b =>=， 所以0.20.211log 0.08,log 0.3a b==且0.2log y x =在()0,∞+上单调递减，且0.080.3< 所以11a b>，所以b a >， 又因为0.080.08log0.2log 0.081a =>=，0.0400.30.31c =<=，所以a c >，所以b a c >>.故选：D.【点睛】本题考查利用指对数函数的单调性比较指对数的大小，难度一般.除了可以直接利用单调性比较大小，还可以根据中间值“0,1”比较大小.5．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）A ．甲的数据分析素养优于乙B ．乙的数据分析素养优于数学建模素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数学运算最强【答案】D【解析】根据所给的雷达图逐个选项分析即可.【详解】对于A ，甲的数据分析素养为100分，乙的数据分析素养为80分，故甲的数据分析素养优于乙，故A 正确；对于B ，乙的数据分析素养为80分，数学建模素养为60分，故乙的数据分析素养优于数学建模素养，故B 正确；对于C ，甲的六大素养整体水平平均得分为10080100801008031063+++++=， 乙的六大素养整体水平均得分为806080606010025063+++++=，故C 正确； 对于D ，甲的六大素养中数学运算为80分，不是最强的，故D 错误；故选：D【点睛】本题考查了样本数据的特征、平均数的计算，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.6．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{0，1，2}，则满足A ∪C ＝B 的集合C 的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】【分析】由A C B ⋃=可确定集合C 中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案.【详解】由A C B ⋃=可知集合C 中一定有元素2，所以符合要求的集合C 有{}{}{}{}2,2,0,2,1,2,0,1，共4种情况，所以选A 项.【点睛】考查集合并集运算，属于简单题.7．已知双曲线C ：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为8，一条渐近线方程为y =，则C 为（ ） A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．2211648x y -= D ．2214816x y -= 【答案】A【分析】由题意求得c 与b a 的值，结合隐含条件列式求得a 2，b 2，则答案可求. 【详解】由题意，2c ＝8，则c ＝4，又b a=a 2+b 2＝c 2， 解得a 2＝4，b 2＝12.∴双曲线C 的方程为221412x y -=. 故选：A.【点睛】本题考查双曲线的简单性质，属于基础题.8．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x ，y 进行回归分析，设u= lny ，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为ˆu=-0.5v+2，则变量y 的最大值的估计值是（ ） A ．eB ．e 2C ．ln2D ．2ln2【答案】B【解析】【分析】 将u= lny ，v=(x-4)2代入线性回归方程ˆu=-0.5v+2，利用指数函数和二次函数的性质可得最大估计值. 【详解】解：将u= lny ，v=(x -4)2代入线性回归方程ˆu=-0.5v+2得： ()2ln 0.542y x =--+，即()20.542x y e--+=， 当4x =时，()20.542x --+取到最大值2，因为x y e =在R 上单调递增，则()20.542x y e --+=取到最大值2e .故选：B.【点睛】本题考查了非线性相关的二次拟合问题，考查复合型指数函数的最值，是基础题,.9．已知函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,则方程[]()3f f x =的实数根的个数是（ ） A ．6B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】画出函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,将方程[]()3f f x =看作()(),3t f x f t ==交点个数，运用图象判断根的个数．【详解】画出函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩令()(),3t f x f t =∴=有两解()()120,1,1,+t t ∈∈∞ ，则()()12,t f x f x t ==分别有3个，2个解，故方程[]()3f f x =的实数根的个数是3+2=5个故选：D【点睛】本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中档题．10．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（ ）种A ．240B ．320C ．180D ．120【答案】C【解析】【分析】在所有两组至少都是3人的分组中减去3名女干部单独成一组的情况，再将这两组分配，利用分步乘法计数原理可得出结果.【详解】两组至少都是3人，则分组中两组的人数分别为3、5或4、4，又因为3名女干部不能单独成一组，则不同的派遣方案种数为432882221180C C A A ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查排列组合的综合问题，涉及分组分配问题，考查计算能力，属于中等题.11．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =-，77S =-，则n S 的最小值为（ ）A ．12-B ．15-C ．16-D ．18-【答案】C【解析】【分析】根据已知条件求得等差数列{}n a 的通项公式，判断出n S 最小时n 的值，由此求得n S 的最小值.【详解】 依题意11237217a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得17,2a d =-=，所以29n a n =-.由290n a n =-≤解得92n ≤，所以前n 项和中，前4项的和最小，且4146281216S a d =+=-+=-.故选：C【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式的基本量计算，考查等差数列前n 项和最值的求法，属于基础题.12．公比为2的等比数列{}n a 中存在两项m a ，n a ，满足2132m n a a a =，则14m n +的最小值为（ ） A ．97 B ．53 C ．43 D ．1310【答案】D【解析】【分析】根据已知条件和等比数列的通项公式，求出,m n 关系，即可求解.【详解】22211232,7m n m n a a a a m n +-==∴+=，当1,6m n ==时，1453m n +=，当2,5m n ==时，141310m n +=， 当3,4m n ==时，1443m n +=，当4,3m n ==时，141912m n +=，当5,2m n ==时，14115m n +=，当6,1m n ==时，14256m n +=， 14m n +最小值为1310. 故选:D.【点睛】本题考查等比数列通项公式，注意,m n 为正整数，如用基本不等式要注意能否取到等号，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省盐城市2021届高三年级第三次模拟考试数学试题及答案
盐城市2021届高三年级第三次模拟考试数学2021.05注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |y ＝x －2}，B ＝{y |y ＝x －2}，C ＝{(x ，y )|y ＝x －2}，则下列集合不为空集的是A ．A ∩BB ．A ∩CC ．B ∩CD ．A ∩B ∩C2．若复数z 满足|z －i|≤2，则z z 的最大值为A ．1B ．2C ．4D ．93．同学们都知道平面内直线方程的一般式为Ax ＋By ＋C ＝0，我们可以这样理解：若直线l 过定点P 0(x 0，y 0)，向量→n ＝(A ，B )为直线l 的法向量，设直线l 上任意一点P (x ，y )，则→n⋅→P 0P ＝0，得直线l 的方程为A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0，即可转化为直线方程的一般式．类似地，在空间中，若平面α过定点Q 0(1，0，－2)，向量→m ＝(2，－3，1)为平面α的法向量，则平面α的方程为A ．2x －3y ＋z ＋4＝0B ．2x ＋3y －z －4＝0C ．2x －3y ＋z ＝0D ．2x ＋3y －z ＋4＝04．将函数f (x )＝sin 12x 的图象向左平移π3个单位，得到函数g (x )的图象，若x ∈(0，m )时，函数g (x )的图象在f (x )的上方，则实数m 的最大值为A ．π3B ．2π3C ．5π6D ．π65．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n(n ＋1)!，则其前n 项和为A ．1－1(n ＋1)! B ．1－1n ! C ．2－1n ! D ．2－1(n ＋1)!6．韦达是法国杰出的数学家，其贡献之－是发现了多项式方程根与系数的关系，如：设一元三次方程ax 3＋bx 2＋cx ＋d ＝0(a ≠0)的3个实数根为x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝－b a ，x 1x 2＋x 2x 3＋x 3x 1＝c a ，x 1x 2x 3＝－d a ．已知函数f (x )＝2x 3－x ＋1，直线l 与f (x )的图象相切于点P (x 1，f (x 1))，且交f (x )的图象于另一点Q (x 2，f (x 2))，则A ．2x 1－x 2＝0B ．2x 1－x 2－1＝0C ．2x 1＋x 2＋1＝0D ．2x 1＋x 2＝07．设双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a ，b ＞0)的焦距为2，若以点P (m ，n )(m ＜a )为圆心的圆P 过C的右顶点且与C 的两条渐近线相切，则OP 长的取值范围是A ．(0，12)B ．(0，1)C ．(12，1)D ．(14，12)8．已知正数x ，y ，z 满足x ln y ＝ye z ＝zx ，则x ，y ，z 的大小关系为A ．x ＞y ＞zB ．y ＞x ＞zC ．x ＞z ＞yD ．以上均不对 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知X ~ N (μ1，σ12)，Y ~ N (μ2，σ22)，μ1＞μ2，σ1＞0，σ2＞0，则下列结论中一定成立的有A ．若σ1＞σ2，则P (|X －μ1|≤1)＜P (|Y －μ2|≤1)B ．若σ1＞σ2，则P (|X －μ1|≤1)＞P (|Y －μ2|≤1)C ．若σ1＝σ2，则P (X ＞μ2)＋P (Y ＞μ1)＝1D ．若σ1＝σ2，则P (X ＞μ2)＋P (Y ＞μ1)＜110．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋S n ＝An 2＋Bn ＋C ，则下列说法中正确的有A ．存在A ，B ，C 使得{a n }是等差数列 B ．存在A ，B ，C 使得{a n }是等比数列C ．对任意A ，B ，C 都有{a n }一定是等差数列或等比数列D ．存在A ，B ，C 使得{a n }既不是等差数列也不是等比数列11．已知矩形ABCD 满足AB ＝1，AD ＝2，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折起，点B 折至B ′，得到四棱锥B ′－AECD ，若点P 为B ′D 的中点，则A ．CP //平面B ′AEB ．存在点B ′，使得CP ⊥平面AB ′DC ．四棱锥B ′－AECD 体积的最大值为24D ．存在点B ′，使得三棱锥B ′－ADE 外接球的球心在平面AECD 内12．将平面向量→a ＝(x 1，x 2)称为二维向量，由此可推广至n 维向量→a ＝(x 1，x 2，…，x n )．对于n 维向量→a ，→b ，其运算与平面向量类似，如数量积→a ⋅→b ＝|→a ||→b |cos θ＝1ni ii x y =∑(θ为向量→a ，→b 的夹角)，其向量→a 的模|→a |A ．不等式(21n i i x =∑)(21nii y=∑)≤(1ni ii x y =∑)2可能成立B ．不等式(21ni i x =∑)(21nii y=∑)≥(1ni ii x y =∑)2一定成立C ．不等式n21nii x=∑＜(1nii x =∑)2可能成立D ．若x i ＞0(i ＝1，2，…，n )，则不等式111nni i i i x x =∑∑≥n 2一定成立三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．文旅部在2021年围绕“重温红色历史、传承奋斗精神”“走进大国重器、感受中国力量” “体验美丽乡村、助力乡村振兴”三个主题，遴选推出“建党百年红色旅游百条精品线路”．这些精品线路中包含上海—大会址、嘉兴南湖、井冈山、延安、西柏坡等5个传统红色旅游景区，还有港珠澳大桥、北京大兴国际机场、“中国天眼”、“两弹一星”纪念馆、湖南十八洞村、浙江余村、贵州华茂村等7个展现改革开放和新时代发展成就、展示科技强国和脱贫攻坚成果的景区．为安排旅游路线，从上述12个景区中选3个景区，则至少含有1个传统红色旅游景区的选法有 种．14．满足等式(1－tan α)(1－tan β)＝2的数组(α，β)有无穷多个，试写出一个这样的数组 ．15．若向量→a ，→b 满足|→a －→b |＝3，则→a ⋅→b 的最小值为．16．对于函数f (x )＝ln x ＋mx 2＋n x ＋1，有下列4个论断：甲：函数f (x )有两个减区间； 乙：函数f (x )的图象过点(1，－1)；丙：函数f (x )在x ＝1处取极大值；丁：函数f (x )单调．若其中有且只有两个论断正确，则m 的取值为．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点D 满足3→BD ＝→BC 与→AD ·→AC ＝0. (1)若b ＝c ，求A 的值；(2)求B 的最大值．18．(12分)请在①a 1＝2；②a 1＝2；③a 1＝3这3个条件中选择1个条件，补全下面的命题使其成为真命题，并证明这个命题(选择多个条件并分别证明的按前1个评分)．命题：已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n 2，若 ，则当n ≥2时，a n ≥2n 恒成立．19．(12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BB 1＝2BC ＝2，∠CBB 1＝2∠CAB ＝π3，且平面ABC ⊥平面B 1C 1CB .(1)求证：平面ABC ⊥平面ACB 1；(2)设点P 为直线BC 的中点，求直线A 1P 与平面ACB 1所成角的正弦值．20．(12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)上的一个点，其横坐标为x 0，过点P 作抛物线C 1的切线l ． (1)求直线l 的斜率(用x 0与p 表示)；(2)若椭圆C 2：y 22＋x 2＝1过点P ，l 与C 2的另一个交点为A ，OP 与C 2的另一个交点为B ，求证：AB ⊥PB ．B 1PC BAA 1C 121．(12分)运用计算机编程，设计一个将输入的正整数k“归零”的程序如下：按下回车键，等可能的将[0，k)中的任意一个整数替换k的值并输出k的值，反复按回车键执行以上操作直到输出k＝0后终止操作．(1)若输入的初始值k为3，记按回车键的次数为ξ，求ξ的概率分布与数学期望；(2)设输入的初始值为k(k∈N*)，求运行“归零”程序中输出n(0≤n≤k－1)的概率．22．(12分)设f(x)＝ln xx n(n∈N*)．(1)求证：函数f(x)一定不单调；(2)试给出一个正整数a，使得e x＞x2ln x＋a sin x对∀x∈(0，＋∞)恒成立．(参考数据：e≈2.72，e2≈7.39，e3≈20.10)盐城市2021届高三年级第三次模拟考试数学参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A 2．D 3．C 4．C 5．A 6．D 7．B 8．A 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．AC 10．ABD 11．ACD 12．ABD 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．18514．(0，3π4)15．－3416．2四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：(1)因为→A D ⋅→A C ＝0，所以(→A B ＋13→B C )⋅→A C ＝0，即(23→AB ＋13→AC )⋅→AC ＝0，……2分所以23bc ⋅cos A ＋13b 2＝0，因为b ＝c ，所以cos A ＝－12，……4分 因为0＜A ＜π，所以A ＝2π3．……5分(2)因为→A D ⋅→A C ＝(23→A B ＋13→A C )⋅→A C ＝23b c ⋅cos A ＋13b 2＝0，所以b 2＋c 2－a 2＋b 2＝0，即2b 2＋c 2－a 2＝0， ……6分cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋c 2－a 2－c 222ac ＝a 22＋3c 222ac ≥32，……8分 因为0＜B ＜π，所以B 的最大值为π6．……10分18．解： 选②．证明：由a n ＋1＝a n 2，且a 1＝2，所以a n ＞0， 所以lg a n ＋1＝lg a n ，lg a n ＝2n －1lg2，a n ＝22n －1， ……5分当n ≥2时，只需证明2n －1≥n ，令b n ＝n 2n －1，则b n ＋1－b n ＝n ＋12n －n2n －1＝1－n 2n ＜0，……10分所以b n ≤b 2＝1，所以2n －1≥n 成立．综上所述，当a 1＝2且n ≥2时，a n ≥2n 成立． ……12分注：选②为假命题，不得分，选③参照给分．19．解：(1)证明：因为AC ＝2BC ＝2，所以BC ＝1． 因为2∠ACB ＝π3，所以∠ACB ＝π6．在△ABC 中，BC sin A ＝AC sin B ，即1sin π6＝2sin B所以sin B ＝1，即AB ⊥BC ．……2分又因为平面ABC ⊥平面B 1C 1CB ，平面ABC ∩平面B 1C 1CB ＝BC ，AB ⊂平面ABC ， 所以AB ⊥平面B 1C 1CB ．又B 1C ⊂平面B 1C 1CB ，所以AB ⊥B 1C ， 在△B 1BC 中，B 1B ＝2，BC ＝1，∠CBB 1＝π3，所以B 1C 2＝B 1B 2＋BC 2－2B 1B ⋅BC ⋅cos π3＝3，即B 1C ＝3，所以B 1C ⊥BC ．……4分而AB ⊥B 1C ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，AB ∩BC ＝B ， 所以B 1C ⊥平面ABC ．又B 1C ⊂平面ACB 1，所以平面ABC ⊥平面ACB 1．……6分 (2)在平面ABC 中过点C 作AC 的垂线CE ，分别以CE ，CA ，CB 1所在直线为x ，y ，z 轴建1立如图所示的空间直角坐标系： 则B (32，12，0)，A (0，2，0)，B 1(0，0，3)， 所以P (34，14，0)，→B 1A 1＝→BA ＝(－32，32，0)， ……8分 所以A 1(－32，32，3)，所以→A 1P ＝(334，－54，－3)，平面ACB 1的一个法向量为→n ＝(1，0，0)， ……10分 设直线A 1P 与平面ACB 1所成的角为α，则sin α＝|cos<→A 1P ，→n >|＝|→A 1P ·→n ||→A 1P ||→n |＝3342716＋2516＋3＝3310． ……12分 20．解：(1)由x 2＝2py ，得y ＝12p x 2，所以y ′＝1px ，所以直线l 的斜率为1p x 0． ……3分(2)设P (x 0，y 0)，则B (－x 0，－y 0)，k PB ＝y 0x 0，由(1)知k P A ＝1p x 0＝y 02x 0， ……5分设A (x 1，y 1)，所以y 022＋x 02＝1，y 122＋x 12＝1， 作差得()y 0＋y 1()y 0－y 12＋(x 0＋x 1)(x 0－x 1)＝0，即y 0＋y 1x 0＋x 1⋅y 0－y 1x 0－x 1＝－12，所以k P A k AB ＝－12， ……10分所以y 02x 0k AB ＝－12，即k AB ＝－x 0y 0，所以k PB k AB ＝－1，所以AB ⊥PB ． ……12分 注：其他解法参照评分．21．解：(1)P (ξ＝3)＝13×12＝16，P (ξ＝2)＝13×12＋13＝12，P (ξ＝1)＝13， ……3分则ξ的概率分布如下表：所以E (ξ)＝1×13＋2×12＋3×16＝116． ……5分(2)设运行“归零”程序中输出n (0≤n ≤k －1)的概率为P n ，得出P n ＝1n ＋1，……7分法一：则P n ＝P n ＋1×1n ＋1＋P n ＋2×1n ＋2＋P n ＋3×1n ＋3＋…＋P k －1×1k －1＋1k ， 故0≤n ≤k －2时，P n ＋1＝P n ＋2×1n ＋2＋P n ＋3×1n ＋3＋…＋P k －1×1k －1＋1k， 以上两式作差得，P n －P n ＋1＝P n ＋1×1n ＋1，则P n ＝P n ＋1×n ＋2n ＋1， ……10分则P n ＋1＝P n ＋2×n ＋3n ＋2，P n ＋2＝P n ＋3×n ＋4n ＋3，…，P k －2＝P k －1×kk －1， 则P n P n ＋1P n ＋2…P k －1＝P n ＋1P n ＋2P n ＋3…P k －1×n ＋2n ＋1×n ＋3n ＋2×n ＋4n ＋3×…×kk －1， 化简得P n ＝P k －1×k n ＋1，而P k －1＝1k ，故P n ＝1n ＋1， 又n ＝k －1时，P n ＝1n ＋1也成立，故P n ＝1n ＋1(0≤n ≤k －1)． ……12分 法二：同法一得P n ＝P n ＋1×n ＋2n ＋1， ……9分 则P 0＝P 1×21，P 1＝P 2×32，P 2＝P 3×43，…，P n －1＝P n ×n ＋1n ，则P 0P 1P 2…P n －1＝P 0P 1P 2…P n ×21×32×43×…×n ＋1n ， 化简得P 0＝P n ×(n ＋1)，而P 0＝1，故P n ＝1n ＋1(0≤n ≤k －1)， 又n ＝0时，P n ＝1n ＋1也成立，故P n ＝1n ＋1(0≤n ≤k －1)． ……12分法三：记P m (n )表示在出现m 的条件下出现n 的概率， 则P n ＋1(n )＝1n ＋1，P n ＋2(n )＝1n ＋2P n ＋1(n )＋1n ＋2＝1n ＋1， P n ＋3(n )＝1n ＋3P n ＋2(n )＋1n ＋3P n ＋1(n )＋1n ＋3＝1n ＋1， ……9分 依此类推，P k (n )＝1k P k －1(n )＋1k P k －2(n )＋…＋1k P n ＋1(n )＋1k，所以P k (n )＝1k (1n ＋1⋅(k －n －1)＋1)＝1n ＋1． ……12分 法四：记P k (n )表示在出现k 的条件下出现n 的概率， 则P k (n )＝1k P k －1(n )＋1k P k －2(n )＋…＋1k P n ＋1(n )＋1k ，则kP k (n )＝P k －1(n )＋P k －2(n )＋…＋P n ＋1(n )＋1，① 则(k －1)P k －1(n )＝P k －2(n )＋…＋P n ＋1(n )＋1，②①－得kP k (n )－(k －1)P k －1(n )＝P k －1(n )， ……9分 则P k (n )＝P k －1(n )(k ≥n ＋2)，高三数学参考答案 第 页(共5页) 5 则P k (n )＝P n ＋1(n )＝1n ＋1． ……12分22．解：(1)由f (x )＝ln x x n 得f ′(x )＝1x ·x n －nx n －1ln x x 2n ＝1－n ln x x n ＋1，因n ∈N*，由f ′(x )＝0，得x ＝e 1n ， ……1分 当x ＞e 1n 时，f ′(x )＜0；当时0＜x ＜e 1n ，f ′(x )＞0；故函数f (x )在(0，e 1n )上单调递增，在(e 1n ，＋∞)上单调递减，所以函数f (x )不单调．……3分 (2)当a ＝1时，可证明e x ＞x 2ln x ＋sin x 对∀x ∈(0，＋∞)恒成立，当x ∈(0，1)时，x 2ln x ≤0，sin x ≤1，e x ＞1，不等式成立；……4分 当x ∈(1，e )时，x 2ln x ＋sin x ＜x 2＋1，令g (x )＝x 2＋1e x ， 所以g ′(x )＝2x －(x 2＋1)e x ≤0，则函数g (x )单调递减，所以g (x )≤g (1)＝2e ＜1， 所以e x ＞x 2＋1，原不等式成立；……7分 当x ∈(e ，＋∞)时，因x 2ln x ＋sin x ≤x 2ln x ＋1，故只需证e x ＞x 2ln x ＋1，即证e x x 3＞ln x x ＋1x 3，只需证e x x 3＞ln x x ＋1e 3， 在(1)中令n ＝1，可得f (x )≤f (e )＝1e，故ln x x ＋1e 3≤1e ＋1e 3，令h (x )＝e x x 3，所以h ′(x )＝e x (x －3)x 4＝0，解得x ＝3， 当x ∈(e ，3)时，h ′(x )＜0；当x ∈(3，＋∞)时，h ′(x )＞0，所以h (x )≥h (3)＝e 327＞12，而ln x x ＋1e 3≤1e ＋1e 3＜12，所以原不等式也成立．综上所述，当a ＝1时，e x ＞x 2ln x ＋sin x 对∀x ∈(0，＋∞)恒成立． ……12分 注：当a ＝2或a ＝3时结论也成立，请参照评分；当a ≥4时结论不成立．。
江苏省盐城市2021届高三年级第三次模拟考试数学试题(参考答案)
盐城市2021届高三年级第三次模拟考试 数学参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A 2．D 3．C 4．C 5．A 6．D 7．B 8．A 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．AC 10．ABD 11．ACD 12．ABD 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．185 14．(0，3π4) 15．－3416．2 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：(1)因为→AD ⋅→AC ＝0，所以(→AB ＋13→BC )⋅→AC ＝0，即(23→AB ＋13→AC )⋅→AC ＝0， ……2分 所以23bc ⋅cos A ＋13b 2＝0，因为b ＝c ，所以cos A ＝－12， ……4分因为0＜A ＜π，所以A ＝2π3． ……5分(2)因为→AD ⋅→AC ＝(23→AB ＋13→AC )⋅→AC ＝23bc ⋅cos A ＋13b 2＝0，所以b 2＋c 2－a 2＋b 2＝0，即2b 2＋c 2－a 2＝0， ……6分 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋c 2－a 2－c 222ac ＝a 22＋3c 222ac ≥32， ……8分因为0＜B ＜π，所以B 的最大值为π6． ……10分18．解： 选②．证明：由a n ＋1＝a n 2，且a 1＝2，所以a n ＞0， 所以lg a n ＋1＝lg a n ，lg a n ＝2n －1lg2，a n ＝22n －1， ……5分当n ≥2时，只需证明2n －1≥n ，令b n ＝n 2n －1，则b n ＋1－b n ＝n ＋12n －n2n －1＝1－n 2n ＜0， ……10分所以b n ≤b 2＝1，所以2n －1≥n 成立．综上所述，当a 1＝2且n ≥2时，a n ≥2n 成立． ……12分 注：选②为假命题，不得分，选③参照给分． 19．解：(1)证明：因为AC ＝2BC ＝2，所以BC ＝1． 因为2∠ACB ＝π3，所以∠ACB ＝π6．在△ABC 中，BC sin A ＝AC sin B ，即1sin π6＝2sin B，所以sin B ＝1，即AB ⊥BC ． ……2分 又因为平面ABC ⊥平面B 1C 1CB ，平面ABC ∩平面B 1C 1CB ＝BC ，AB ⊂平面ABC ， 所以AB ⊥平面B 1C 1CB ．又B 1C ⊂平面B 1C 1CB ，所以AB ⊥B 1C ， 在△B 1BC 中，B 1B ＝2，BC ＝1，∠CBB 1＝π3，所以B 1C 2＝B 1B 2＋BC 2－2B 1B ⋅BC ⋅cos π3＝3，即B 1C ＝3，所以B 1C ⊥BC ． ……4分 而AB ⊥B 1C ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，AB ∩BC ＝B ， 所以B 1C ⊥平面ABC ．又B 1C ⊂平面ACB 1，所以平面ABC ⊥平面ACB 1． ……6分 (2)在平面ABC 中过点C 作AC 的垂线CE ，分别以CE ，CA ，CB 1所在直线为x ，y ，z 轴建1立如图所示的空间直角坐标系： 则B (32，12，0)，A (0，2，0)，B 1(0，0，3)， 所以P (34，14，0)，→B 1A 1＝→BA ＝(－32，32，0)， ……8分 所以A 1(－32，32，3)，所以→A 1P ＝(334，－54，－3)， 平面ACB 1的一个法向量为→n ＝(1，0，0)， ……10分 设直线A 1P 与平面ACB 1所成的角为α，则sin α＝|cos<→A 1P ，→n >|＝|→A 1P ·→n ||→A 1P ||→n |＝3342716＋2516＋3＝3310． ……12分 20．解：(1)由x 2＝2py ，得y＝12p x 2，所以y′＝1px ，所以直线l 的斜率为1p x 0． ……3分(2)设P (x 0，y 0)，则B (－x 0，－y 0)，k PB ＝y 0x 0，由(1)知k P A ＝1p x 0＝y 02x 0， ……5分设A (x 1，y 1)，所以y 022＋x 02＝1，y 122＋x 12＝1， 作差得()y 0＋y 1()y 0－y 12＋(x 0＋x 1)(x 0－x 1)＝0，即y 0＋y 1x 0＋x 1 y 0－y 1x 0－x 1＝－12，所以k P A k AB ＝－12， ……10分所以y 02x 0k AB ＝－12，即k AB ＝－x 0y 0，所以k PB k AB ＝－1，所以AB ⊥PB ． ……12分 注：其他解法参照评分．21．解：(1)P (ξ＝3)＝13×12＝16，P (ξ＝2)＝13×12＋13＝12，P (ξ＝1)＝13， ……3分则ξ的概率分布如下表：所以E (ξ)＝1×13＋2×12＋3×16＝116． ……5分(2)设运行“归零”程序中输出n (0≤n ≤k －1)的概率为P n ，得出P n ＝1n ＋1，……7分法一：则P n ＝P n ＋1×1n ＋1＋P n ＋2×1n ＋2＋P n ＋3×1n ＋3＋…＋P k －1×1k －1＋1k ，故0≤n ≤k －2时，P n ＋1＝P n ＋2×1n ＋2＋P n ＋3×1n ＋3＋…＋P k －1×1k －1＋1k，以上两式作差得，P n －P n ＋1＝P n ＋1×1n ＋1，则P n ＝P n ＋1×n ＋2n ＋1， ……10分则P n ＋1＝P n ＋2×n ＋3n ＋2，P n ＋2＝P n ＋3×n ＋4n ＋3，…，P k －2＝P k －1×kk －1，则P n P n ＋1P n ＋2…P k －1＝P n ＋1P n ＋2P n ＋3…P k －1×n ＋2n ＋1×n ＋3n ＋2×n ＋4n ＋3×…×kk －1，化简得P n ＝P k －1×k n ＋1，而P k －1＝1k ，故P n ＝1n ＋1，又n ＝k －1时，P n ＝1n ＋1也成立，故P n ＝1n ＋1(0≤n ≤k －1)． ……12分 法二：同法一得P n ＝P n ＋1×n ＋2n ＋1， ……9分 则P 0＝P 1×21，P 1＝P 2×32，P 2＝P 3×43，…，P n －1＝P n ×n ＋1n ，则P 0P 1P 2…P n －1＝P 0P 1P 2…P n ×21×32×43×…×n ＋1n ，化简得P 0＝P n ×(n ＋1)，而P 0＝1，故P n ＝1n ＋1(0≤n ≤k －1)， 又n ＝0时，P n ＝1n ＋1也成立，故P n ＝1n ＋1(0≤n ≤k －1)． ……12分法三：记P m (n )表示在出现m 的条件下出现n 的概率， 则P n ＋1(n )＝1n ＋1，P n ＋2(n )＝1n ＋2P n ＋1(n )＋1n ＋2＝1n ＋1， P n ＋3(n )＝1n ＋3P n ＋2(n )＋1n ＋3P n ＋1(n )＋1n ＋3＝1n ＋1， ……9分依此类推，P k (n )＝1k P k －1(n )＋1k P k －2(n )＋…＋1k P n ＋1(n )＋1k，所以P k (n )＝1k (1n ＋1 (k －n －1)＋1)＝1n ＋1． ……12分法四：记P k (n )表示在出现k 的条件下出现n 的概率， 则P k (n )＝1k P k －1(n )＋1k P k －2(n )＋…＋1k P n ＋1(n )＋1k ，则kP k (n )＝P k －1(n )＋P k －2(n )＋…＋P n ＋1(n )＋1，① 则(k －1)P k －1(n )＝P k －2(n )＋…＋P n ＋1(n )＋1，②①－得kP k (n )－(k －1)P k －1(n )＝P k －1(n )， ……9分 则P k (n )＝P k －1(n )(k ≥n ＋2)，则P k (n )＝P n ＋1(n )＝1n ＋1． ……12分22．解：(1)由f (x )＝ln xx n 得f′(x )＝1x ·x n －nx n －1ln x x 2n＝1－n ln x x n ＋1， 因n ∈N *，由f′(x )＝0，得x ＝e 1n， ……1分当x ＞e 1n时，f′(x )＜0；当时0＜x ＜e 1n，f′(x )＞0；故函数f (x )在(0，e 1n)上单调递增，在(e 1n，＋∞)上单调递减，所以函数f (x )不单调． ……3分 (2)当a ＝1时，可证明e x ＞x 2ln x ＋sin x 对∀x ∈(0，＋∞)恒成立，当x ∈(0，1)时，x 2ln x ≤0，sin x ≤1，e x ＞1，不等式成立； ……4分 当x ∈(1，e )时，x 2ln x ＋sin x ＜x 2＋1，令g (x )＝x 2＋1ex ，所以g′(x )＝2x －(x 2＋1)e x ≤0，则函数g (x )单调递减，所以g (x )≤g (1)＝2e ＜1， 所以e x ＞x 2＋1，原不等式成立； ……7分 当x ∈(e ，＋∞)时，因x 2ln x ＋sin x ≤x 2ln x ＋1，故只需证e x ＞x 2ln x ＋1， 即证e x x 3＞ln x x ＋1x 3，只需证e x x 3＞ln x x ＋1e3，在(1)中令n ＝1，可得f (x )≤f (e )＝1e ，故ln x x ＋1e 3≤1e ＋1e 3，令h (x )＝e xx 3，所以h′(x )＝e x (x －3)x 4＝0，解得x ＝3，当x ∈(e ，3)时，h′(x )＜0；当x ∈(3，＋∞)时，h′(x )＞0， 所以h (x )≥h (3)＝e 327＞12，而ln x x ＋1e 3≤1e ＋1e 3＜12，所以原不等式也成立．综上所述，当a ＝1时，e x ＞x 2ln x ＋sin x 对∀x ∈(0，＋∞)恒成立． ……12分 注：当a ＝2或a ＝3时结论也成立，请参照评分；当a ≥4时结论不成立．。
2021年全国新高考Ⅰ卷数学真题试卷(含答案及解析)
C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立
【答案】B
【解析】
【分析】根据独立事件概率关系逐一判断
【详解】 ，
故选：B
【点睛】判断事件 是否独立，先计算对应概率，再判断 是否成立
二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
故选：AC
11.已知点 在圆 上，点 、 ，则（）
A.点 到直线 的距离小于
B.点 到直线 的距离大于
C.当 最小时，
D.当 最大时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】计算出圆心到直线 的距离，可得出点 到直线 的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当 最大或最小时， 与圆 相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
（1）若小明先回答A类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
（2）为使累计得分 期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
19.记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，点 在边 上， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
20.如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， 为 的中点.
15.函数 的最小值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】由解析式知 定义域为 ，讨论 、 、 ，并结合导数研究的单调性，即可求 最小值.
【详解】A： 且 ，故平均数不相同，错误；
B：若第一组中位数为 ，则第二组的中位数为 ，显然不相同，错误；
C： ，故方差相同，正确；
D：由极差的定义知：若第一组的极差为 ，则第二组的极差为 ，故极差相同，正确；
江苏省盐城市2021届新高考物理四模考试卷含解析
江苏省盐城市2021届新高考物理四模考试卷一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．如图所示为交流发电机发电的示意图，矩形线圈ABCD 面积为S 、匝数为N 、整个线圈的电阻为r 。
在磁感应强度为B 的磁场中，线圈绕OO '轴以角速度ω匀速转动，外电阻为R ，线圈的AB 边连在金属滑环K 上，CD 边连在金属滑环L 上，线圈在转动时可以通过滑环和电刷保持与外电路相连。
关于发电过程中的四个状态，下列说法正确的是（ ）A ．线圈转到图甲位置时，通过线圈的磁通量为NBSB ．线圈转到图乙位置时，通过线圈的磁通量的变化率为NBS ωC ．线圈转到图丙位置时，外电路中交流电流表的示数为()NBS R r ω+D ．线圈转到图丁位置时，AB 边感应电流方向为A B →【答案】D【解析】【分析】【详解】A ．线圈转到图甲位置时，通过线圈的磁通量为BS ，与匝数无关，A 错误；B ．线圈转到图乙位置时，感应电动势m E NBS N tω∆Φ==∆ 解得磁通量的变化率BS tω=ΔΦΔ B 错误；C ．电流表示数显示的为有效值m22()I R r ==+ C 错误；D ．线圈转到图丁位置时，根据楞次定律可知线框中的电流为A B C D →→→，D 正确。
故选D 。
2．做竖直上抛运动的物体，在任意相同时间间隔内，速度的变化量()A．大小相同、方向相同B．大小相同、方向不同C．大小不同、方向不同D．大小不同、方向相同【答案】A【解析】试题分析：根据速度的公式v=v0﹣gt可得，在任意相同时间间隔内，速度的变化量为△v=﹣g△t，即，速度变化的大小为g△t，方向与初速度的方向相反，所以A正确．故选A．3．如图所示为氢原子的能级图，用某种频率的光照射大量处于基态的氢原子，结果受到激发后的氢原子能辐射出三种不同频率的光子，让辐射出的光子照射某种金属，结果有两种频率的光子能使该金属发生光电效应，其中一种光子恰好能使该金属发生光电效应，则打出的光电子的最大初动能为（）A．0 B．1.89eV C．10.2eV D．12.09eV【答案】B【解析】【详解】由题可知，某种频率的光照射处于基态的氢原子后，处于激发态的氢原子能辐射出三种不同频率的光子，表面氢原子激发后处于n=3的激发态，辐射出的光子中，两种频率较高的光子能量为hv1=E3﹣E1=12.09eV，hv2=E2﹣E1=10.2eV，由于这两种光子中有一种光子恰好能使该金属发生光电效应，由此可知，该金属的逸出功为10.2 eV，则打出的光电子的最大初动能为E k=12.09 eV﹣10.2 eV=1.89 eV，故B正确，ACD错误。
2021届江苏省苏北四市第二次适应性模拟考试(二模)数学试卷2021.4
江苏省苏北四市2021届高三4月新高考适应性模拟考试数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知集合M ＝{}12xx -<，N ＝21x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭，则MN ＝A ．{}2x x <B ．{}12x x ≤<C ．{}15x x ≤<D ．{}02x x << 2．若复数z 满足(3+4i)5i z =（i 是虚数单位），则z ＝ A ．1 B ．12 C ．5 D ．153．已知sin2a =，2log sin 2b =，sin 22c =，则a ，b ，c 的大小关系是A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞a4．甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次（无并列名次），已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五，据此推测5人的名次排列情况共有 A ．5种 B ．8种 C ．14种 D ．21种5．定义在R 上的奇函数()f x 在(-∞，0]上单调递减，且(1)1f -=，则不等式1(lg )(lg )f x f x-2>的解集为 A ．(-∞，10) B ．(0，10) C ．(110，10) D ．(0，110) 6．今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过82021天后是A ．星期二B ．星期三C ．星期四D ．星期五7．将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解，当p ×q (p ，q N *∈)是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数()f n p q =-，例如(12)431f =-=，则20211(2)i i f =∑＝A ．21011﹣1B ．21011C ．21010﹣1D ．21010 8．如图，直角三角形PQR 的三个顶点分别在等边三角形ABC 的边AB 、BC 、CA 上，且PQ ＝23，QR ＝2，∠PQR ＝2π，则AB 长度的最大值为 A ．103B ．6C ．4213 D ．86二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．某高中2020年的高考考生人数是2010年高考考生人数的1.5倍，为了更好地比较该校考生的升学情况，统计了该校2010年和2020年的高考升学率，得到如下柱状图：则下列说法中正确的有A ．与2010年相比，2020年一本达线人数有所减少B ．2020年二本达线率是2010年二本达线率的1.25倍C ．2010年与2020年艺体达线人数相同D ．与2010年相比，2020年不上线的人数有所增加10．已知1x ，2x 是函数()2sin()6f x x πω=- (ω＞0)的两个不同零点，且12x x -的最小值是2π，则下列说法中正确的有 A ．函数()f x 在[0，3π]上是增函数B ．函数()f x 的图像关于直线6x π=-对称C ．函数()f x 的图像关于点(π，0)中心对称D ．当x ∈[2π，π]时， 函数()f x 的值域是[﹣2，1] 11．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，BC ＝BB 1＝2，E 、F 分别为棱AB 、A 1D 1的中点，则下列说法中正确的有 A ．DB 1⊥CEB ．三棱锥D —CEF 的体积为83C ．若P 是棱C 1D 1上一点，且D 1P ＝1，则E 、C 、P 、F四点共面D ．平面CEF 截该长方体所得的截面为五边形12．17世纪初，约翰·纳皮尔为了简化计算而发明了对数，对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明．我们知道，任何一个正实数N 可以表示成N ＝10n a ⨯(1≤a ＜10，n ∈Z)的形式，两边取常用对数，则有lgN ＝n ＋lg a ，现给出部分常用对数值（如下表），则下列说法中正确的有真数x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 lg x (近似值)0.3010.4770.6020.699 0.7780.8450.9030.9541.000在区间(10，10B ．250是15位数C ．若50210m a -=⨯(1≤a ＜10，m ∈Z)，则m ＝﹣16D ．若m 32(m N *∈)是一个35位正整数，则m ＝12三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知两个单位向量a 、b 满足12a b ⋅=-，则a 与b 的夹角为 ．14．已知F 为双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过F 作与x 轴垂直的直线交双曲线于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆过坐标原点，则该双曲线的离心率为 ． 15．写出一个值域为[1，2]的周期函数()f x ＝ ．16．已知正四棱锥S —ABCD 的底面边长为2，其内切球与两侧面SAB ，SAD 分别切于点P ，Q ，则PQ 的长度为 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，11a =，23a =，其前n 项和n S 满足1122n n n S S S +-+=+(n ≥2，n N *∈)． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n a n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＜b ＜c ，现有三个条件：①a ，b ，c 为连续自然数；②c ＝3a ；③C ＝2A ．（1）从上述三个条件中选出两个，使得△ABC 不存在，并说明理由（写出一组作答即可）；（2）从上述三个条件中选出两个，使得△ABC 存在，并求a 的值．19．（本小题满分12分）某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取216人进行调查，部分数据如下表所示（单位：人）：（1）请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”？（2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量X表示被抽到的男性观众的人数，求X的分布列；（3）在抽出的216人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“差评”的观众中抽取m(m N*∈)人，现从这(10＋m)人中，随机抽出2人，用随机变量Y表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数．若随机变量Y的数学期望不小于1，求m 的最大值．20．（本小题满分12分）图1是由正方形ABCD，Rt△ABE，Rt△CDF组成的一个等腰梯形，其中AB＝2，将△ABE、△CDF分别沿AB，CD折起使得E与F重合，如图2．（1）设平面ABE平面CDE＝l，证明：l∥CD；（2）若二面角A—BE—D，求AE长．21．（本小题满分12分）已知函数ln ()xf x x=． （1）若直线1y kx =-是曲线()y f x =的切线，求实数k 的值；（2）若对任意x ∈(0，+∞)，不等式ln ()1af x ax x≤--成立，求实数a 的取值集合． 22．（本小题满分12分）已知椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，过F 的直线0x -+=与椭圆在第一象限交于M 点，O 为坐标原点，三角形MFO ． （1）求椭圆的方程；（2）若△ABC 的三个顶点A ，B ，C 都在椭圆上，且O 为△ABC 的重心，判断△ABC 的面积是否为定值，并说明理由．江苏省苏北四市2021届高三4月新高考适应性模拟考试数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知集合M ＝{}2，N ＝21x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭，则MN ＝A ．{}2x x <B ．{}12x x ≤<C ．{}15x x ≤<D ．{}02x x << 答案：B解析：M ＝{}2＝[1，5)，N ＝21x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭＝(0，2)，所以MN ＝{}12x x ≤<，故B符合题意．2．若复数z 满足(3+4i)5i z =（i 是虚数单位），则z ＝ A ．1 B ．12 C ．5 D ．15答案：1 解析：5i 43i 34i 55z ==++，故z ＝1，选A ． 3．已知sin2a =，2log sin 2b =，sin 22c =，则a ，b ，c 的大小关系是A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞a 答案：B解析：sin2a =∈(0，1)，则2log sin 20b =<，sin 221c =>，故c ＞a ＞b ，选B ．4．甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次（无并列名次），已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五，据此推测5人的名次排列情况共有 A ．5种 B ．8种 C ．14种 D ．21种 答案：C解析：当丙是第一时，有33A ＝6种情况；当丙不是第一时，有112222C C A ＝8种情况．故共有6＋8＝14种，选C ．5．定义在R 上的奇函数()f x 在(-∞，0]上单调递减，且(1)1f -=，则不等式1(lg )(lg )f x f x-2>的解集为A ．(-∞，10)B ．(0，10)C ．(110，10)D ．(0，110) 答案：D解析：1(lg )(lg )2lg 2lg 1f x f x x x -=>⇒>，据题意知，()f x 在R 上单调递减，且(1)1f -=，故lg 1x <-，解得1010x <<，故D 符合题意． 6．今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过82021天后是A ．星期二B ．星期三C ．星期四D ．星期五 答案：C解析：20212021011222021202120212021202120218(17)777C C C C =+=++++，故82021除以7的余数是1，故选C ．7．将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解，当p ×q (p ，q N *∈)是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数()f n p q =-，例如(12)431f =-=，则20211(2)i i f =∑＝A ．21011﹣1B ．21011C ．21010﹣1D ．21010 答案：A解析：当i 为偶数时，(2)if ＝0；当i 为奇数时，(2)if ＝122i -，所以2021012101010111(2)222221i i f ==++++=-∑．8．如图，直角三角形PQR 的三个顶点分别在等边三角形ABC 的边AB 、BC 、CA 上，且PQ ＝QR ＝2，∠PQR ＝2π，则AB 长度的最大值为A B ．6 C ．3 D 答案：C解析：设∠PQB ＝θ，则∠RQC ＝2πθ-，所以∠BPQ ＝23πθ-，∠CRQ ＝6πθ+， 在△PBQ 中，由正弦定理，，即，在△CRQ 中，由正弦定理，，即，所以．二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．某高中2020年的高考考生人数是2010年高考考生人数的1.5倍，为了更好地比较该校考生的升学情况，统计了该校2010年和2020年的高考升学率，得到如下柱状图：则下列说法中正确的有A ．与2010年相比，2020年一本达线人数有所减少B ．2020年二本达线率是2010年二本达线率的1.25倍C ．2010年与2020年艺体达线人数相同D ．与2010年相比，2020年不上线的人数有所增加 答案：BD解析：设2010年考生数为x ，则2020年考生数为32x ，因为x ·28%＜32x ·24%＝x ·36%，即A 错误；因为405324==1.25，即B 正确； 因为x ·8%＜32x ·8%＝x ·12%，即C 错误；因为x ·32%＜32x ·28%＝x ·42%，即D 正确．10．已知1x ，2x 是函数()2sin()6f x x πω=- (ω＞0)的两个不同零点，且12x x -的最小值是2π，则下列说法中正确的有A ．函数()f x 在[0，3π]上是增函数 B ．函数()f x 的图像关于直线6x π=-对称C ．函数()f x 的图像关于点(π，0)中心对称D ．当x ∈[2π，π]时， 函数()f x 的值域是[﹣2，1] 答案：ABD解析：易知()f x 的周期T ＝2×2π＝π，所以ω＝2，即()2sin(2)6f x x π=-，当x ∈[0，3π]时，26x π-∈[6π-，2π]，()f x 单调递增，即A 正确；当6x π=-时，262πππ-=-，即B 正确；()2sin(2)06f πππ=-≠，即C 错误；当x ∈[2π，π]时，26x π-∈[56π，116π]，所以()f x 的值域是[﹣2，1]，即D 正确．11．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，BC ＝BB 1＝2，E 、F 分别为棱AB 、A 1D 1的中点，则下列说法中正确的有A ．DB 1⊥CEB ．三棱锥D —CEF 的体积为83C ．若P 是棱C 1D 1上一点，且D 1P ＝1，则E 、C 、P 、F 四点共面 D ．平面CEF 截该长方体所得的截面为五边形 答案：BCD解析：因为DB 与CE 不垂直，所以DB 1不可能垂直于CE ，故A 错误；V D —CEF ＝V F —CDE ＝118422323⨯⨯⨯⨯=，即B 正确；当P 是棱C 1D 1上一点，且D 1P ＝1时，CE ∥FP ，故E 、C 、P 、F 四点共面，即C 正确；由C 可知，FP ，PC ，CE 为截面的边，而截面又与平面ABB 1A 1以及平面ADD 1A 1相交，得两条截面的边，即共有五条边，即D 正确．12．17世纪初，约翰·纳皮尔为了简化计算而发明了对数，对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明．我们知道，任何一个正实数N 可以表示成N ＝10n a ⨯(1≤a ＜10，n ∈Z)的形式，两边取常用对数，则有lgN ＝n ＋lg a ，现给出部分常用对数值（如下表），则下列说法中正确的有A ．310在区间(104，105)内B ．250是15位数C ．若50210m a -=⨯(1≤a ＜10，m ∈Z)，则m ＝﹣16D ．若m 32(m N *∈)是一个35位正整数，则m ＝12 答案：ACD 解析：，A 正确； ，B 错误；，即m ＝﹣16，故C 正确；，则，则，又，即m ＝12，D 正确．三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知两个单位向量a 、b 满足12a b ⋅=-，则a 与b 的夹角为 ．答案：23π解析：cos<a ，b >＝12a ba b⋅=-⋅，所以a 与b 的夹角为23π．14．已知F 为双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过F 作与x 轴垂直的直线交双曲线于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆过坐标原点，则该双曲线的离心率为 ．解析：222210b c ac c a e e e a =⇒=-⇒--=⇒=．15．写出一个值域为[1，2]的周期函数()f x ＝ ．答案：()sin 1f x x =+ 解析：答案不唯一16．已知正四棱锥S —ABCD 的底面边长为2，其内切球与两侧面SAB ，SAD分别切于点P ，Q ，则PQ 的长度为 ．解析：该正四棱锥的侧面的高，则该正四棱锥的高，其体积，表面积，所以内切球半径，设球心为O ，则上，所以，即P ，Q 位于侧面高的处，所以．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，11a =，23a =，其前n 项和n S 满足1122n n n S S S +-+=+(n ≥2，n N *∈)． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n a n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 解：（1）由题意得即， 又，所以所以数列{}n a 是以1为首项，公差为2的等差数列， 所以；（2）所以． 18．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＜b ＜c ，现有三个条件：①a ，b ，c 为连续自然数；②c ＝3a ；③C ＝2A ．（1）从上述三个条件中选出两个，使得△ABC 不存在，并说明理由（写出一组作答即可）；（2）从上述三个条件中选出两个，使得△ABC存在，并求a的值．解：（1）选①②时三角形不存在，理由如下：因为a，b，c为连续自然数，a＜b＜c，所以b＝a＋1，c＝a＋2，又因为c＝3a，所以a＋2＝3a，解得不满足所以△ABC不存在；选②③时三角形不存在，理由如下：在△ABC中，由正弦定理得，因为，所以，所以，又因为c＝3a，所以cosA，此时A不存在，所以△ABC不存在，（2）选①③时三角形存在：因为a，b，c为连续自然数，a＜b＜c，所以b＝a＋1，c＝a＋2，在△ABC中，由余弦定理得，在△ABC中，由正弦定理得，因为，所以，所以，所以，解得．19．（本小题满分12分）某观影平台为了解观众对最近上映的某部影片的评价情况（评价结果仅有“好评”、“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取216人进行调查，部分数据如下表所示（单位：人）：（1）请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”？（2）若将频率视为概率，从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量X表示被抽到的男性观众的人数，求X的分布列；（3）在抽出的216人中，从给出“好评”的观众中利用分层抽样的方法抽取10人，从给出“差评”的观众中抽取m(m N*∈)人，现从这(10＋m)人中，随机抽出2人，用随机变量Y表示被抽到的给出“好评”的女性观众的人数．若随机变量Y的数学期望不小于1，求m的最大值．解：（1）填写2×2列联表如下：所以所以有99%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”；（2）从观影平台的所有给出“好评”的观众中随机抽取1人为男性的概率为，且各次抽取之间相互独立，所以，所以故X的分布列为（3）Y的可能取值为0，1，2，所以所以，即，即，解得，又所以m的最大值为2．20．（本小题满分12分）图1是由正方形ABCD，Rt△ABE，Rt△CDF组成的一个等腰梯形，其中AB＝2，将△ABE、△CDF分别沿AB，CD折起使得E与F重合，如图2．（1）设平面ABE平面CDE＝l，证明：l∥CD；（2）若二面角A—BE—D，求AE长．解：（1）因为CD∥AB，AB平面ABE，CD平面ABE，所以CD∥平面ABE，又CD平面ECD，平面ABE平面ECD＝所以；（2）因为，所以，又平面ADE，平面ADE，所以AB⊥平面ADE，因为平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面AED，过E作EO⊥AD于点O，则O是AD的中点，因为平面平面AED＝AD，平面ADE，所以EO⊥平面ABCD，以O为原点，与AB平行的直线为x轴，OD所在直线为y轴，OE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系O—xyz，设，则设平面ABE的法向量为，则，即，取，则，所以平面ABE的一个法向量为，同理可求得平面BDE的一个法向量为，所以，解得或，检验发现时二面角A—BE—D的平面角为钝角，所以，此时，21．（本小题满分12分）已知函数ln ()xf xx=．（1）若直线1y kx=-是曲线()y f x=的切线，求实数k的值；（2）若对任意x∈(0，+∞)，不等式ln()1af x axx≤--成立，求实数a的取值集合．解：（1）因为，所以，设切点为，此时切线方程为，又直线过(0，﹣1)，所以，即，令，则，且在上单调递增，所以方程有唯一解，所以，（2）不等式恒成立，即不等式恒成立，令，则所以是函数的极值点，所以，即此时，所以在上递减，在上递增，所以，符合题意，所以，实数a 的取值集合为．22．（本小题满分12分）已知椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，过F 的直线0x -+=与椭圆在第一象限交于M 点，O 为坐标原点，三角形MFO ． （1）求椭圆的方程；（2）若△ABC 的三个顶点A ，B ，C 都在椭圆上，且O 为△ABC 的重心，判断△ABC 的面积是否为定值，并说明理由． 解：（1）直线过左焦点F ，所以，所以，又由得，即，所以，由椭圆定义知，即，所以椭圆的方程为，（2）当直线BC 的斜率不存在时，设直线BC 的方程为，设，则，因为O 为△ABC 的重心，所以，所以，所以，当直线BC 的斜率存在时，设直线BC 的方程为，设，由得，显然，所以，所以，所以BC 的中点，因为O 为△ABC 的重心，所以，由A在椭圆上得，化简得，所以，因为点A到直线BC的距离d等于O到直线BC距离的3倍，所以，所以，综上得，△ABC的面积为定值．。
江苏省镇江市2021届新高考数学四模试卷含解析
江苏省镇江市2021届新高考数学四模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．()()()()()*121311x x x nx n N +++⋅⋅⋅+∈的展开式中x 的一次项系数为（ ）A ．3n C B ．21n C +C ．1n n C -D ．3112n C + 【答案】B 【解析】 【分析】根据多项式乘法法则得出x 的一次项系数，然后由等差数列的前n 项和公式和组合数公式得出结论． 【详解】由题意展开式中x 的一次项系数为21(1)122n n n n C +++++==L ． 故选：B ． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数．同时本题考查了组合数公式． 2．一物体作变速直线运动，其v t -曲线如图所示，则该物体在1s~6s 2间的运动路程为（ ）m ．A ．1B ．43C ．494D ．2【答案】C 【解析】 【分析】由图像用分段函数表示()v t ，该物体在1s~6s 2间的运动路程可用定积分612()d s v t t =⎰表示，计算即得解 【详解】 由题中图像可得，2,01()2,1311,363t t v t t t t⎧⎪≤<⎪=≤≤⎨⎪⎪+<≤⎩由变速直线运动的路程公式，可得61311132621()d 22d 1d 3s v t t tdt t t t ⎛⎫==+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰6132211231492(m)64tt t t ⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭．所以物体在1s~6s 2间的运动路程是49m 4． 故选：C 【点睛】本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题. 3．下图所示函数图象经过何种变换可以得到sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图像得到函数的一个解析式为()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据平移法则得到答案. 【详解】设函数解析式为()()sin f x A x b ωϕ=++， 根据图像：1,0A b ==，43124T πππ=-=，故T π=，即2ω=，sin 1126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,3k k Z πϕπ=+∈，取0k =，得到()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，函数向右平移6π个单位得到sin 2y x =. 故选：D . 【点睛】本题考查了根据函数图像求函数解析式，三角函数平移，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 4．设m r ，n r 均为非零的平面向量，则“存在负数λ，使得m n λ=r r ”是“0m n ⋅<r r”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论． 【详解】因为m r ，n r 均为非零的平面向量，存在负数λ，使得m n λ=r r， 所以向量m r ，n r共线且方向相反， 所以0m n ⋅<r r，即充分性成立；反之，当向量m r ，n r 的夹角为钝角时，满足0m n ⋅<r r ，但此时m r ，n r不共线且反向，所以必要性不成立． 所以“存在负数λ，使得m n λ=r r ”是“0m n ⋅<r r”的充分不必要条件． 故选B ． 【点睛】判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p ，定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确． 5．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为( )A ．10B ．50C ．60D ．140【答案】C 【解析】从频率分布直方图可知，用水量超过15m³的住户的频率为(0.050.01)50.3+⨯=，即分层抽样的50户中有0.3×50=15户住户的用水量超过15立方米 所以小区内用水量超过15立方米的住户户数为152006050⨯=，故选C 6．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为()32222x y x y +=.给出下列四个结论： ①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为18； ④四叶草面积小于4π. 其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②④【答案】C 【解析】 【分析】①利用,x y 之间的代换判断出对称轴的条数；②利用基本不等式求解出到原点的距离最大值；③将面积转化为,x y 的关系式，然后根据基本不等式求解出最大值；④根据,x y 满足的不等式判断出四叶草与对应圆的关系，从而判断出面积是否小于4π. 【详解】①：当x 变为x -时， ()32222x y x y +=不变，所以四叶草图象关于y 轴对称；当y 变为y -时，()32222x yx y +=不变，所以四叶草图象关于x 轴对称；当y 变为x 时，()32222x yx y +=不变，所以四叶草图象关于y x =轴对称；当y 变为x -时，()32222x y x y +=不变，所以四叶草图象关于y x =-轴对称；综上可知：有四条对称轴，故正确；②：因为()32222x y x y +=，所以()222322222x y x yx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，所以2214x y +≤，所以2212x y +≤，取等号时2218x y ==，所以最大距离为12，故错误；③：设任意一点(),P x y ，所以围成的矩形面积为xy ， 因为()32222x y x y +=，所以()()3322222x y x y xy =+≥，所以18xy ≤，取等号时2x y ==，所以围成矩形面积的最大值为18，故正确；④：由②可知2214x y +≤，所以四叶草包含在圆2214x y +=的内部，因为圆的面积为：144S ππ=⋅=，所以四叶草的面积小于4π，故正确. 故选：C. 【点睛】本题考查曲线与方程的综合运用，其中涉及到曲线的对称性分析以及基本不等式的运用，难度较难.分析方程所表示曲线的对称性，可通过替换方程中,x y 去分析证明.7．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人们喜爱．下图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形．若在这个窗花内部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是（ ）A ．37B ．47C ．57D ．67【答案】D 【解析】 【分析】由几何概型可知,概率应为非小正方形面积与窗花面积的比,即可求解. 【详解】由题,窗花的面积为21241140-⨯=,其中小正方形的面积为5420⨯=,所以所求概率1402061407P -==,故选:D 【点睛】本题考查几何概型的面积公式的应用,属于基础题.8．函数22()2cos (sin cos )2f x x x x =++-的一个单调递增区间是（ ） A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．59,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简()f x 表达式，再根据三角函数单调区间的求法，求得()f x 的单调区间，由此确定正确选项. 【详解】因为22()2cos (sin cos )2f x x x x =++-1cos 21sin 2224x x x π⎛⎫=+++-=+ ⎪⎝⎭，由()f x 单调递增，则222242k x k πππππ-≤+≤+（k ∈Z ），解得388k x k ππππ-≤≤+（k ∈Z ），当1k =时，D 选项正确.C 选项是递减区间，A ，B 选项中有部分增区间部分减区间. 故选：D 【点睛】本小题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想，应用意识. 9．在复平面内，31ii+-复数（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】将复数化简得=12z i +,12z i =-,即可得到对应的点为()1,2-,即可得出结果. 【详解】3(3)(1)12121(1)(1)i i i z i z i i i i +++===+⇒=---+，对应的点位于第四象限.故选:D . 【点睛】本题考查复数的四则运算,考查共轭复数和复数与平面内点的对应,难度容易.10．如图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F 且EF=22，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC ⊥BEB ．EF //平面ABCDC ．三棱锥A-BEF 的体积为定值D ．异面直线AE,BF 所成的角为定值【答案】D 【解析】 【分析】A ．通过线面的垂直关系可证真假；B ．根据线面平行可证真假；C ．根据三棱锥的体积计算的公式可证真假；D ．根据列举特殊情况可证真假. 【详解】A ．因为11,,AC BD AC DD DD BD D ⊥⊥=I ，所以AC ⊥平面11BDDB ， 又因为BE ⊂平面11BDD B ，所以AC BE ⊥，故正确；B ．因为11//D B DB ，所以//EF DB ，且EF ⊂/平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ， 所以//EF 平面ABCD ，故正确；C ．因为1122BEF S EF BB =⨯⨯=V A 到平面11BDD B 的距离为122h AC == 所以11312A BEF BEF V S h -=⋅⋅=V 为定值，故正确； D ．当1111AC B D E =I ，AC BD G ⋂=，取F 为1B ，如下图所示：因为//BF EG ，所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠，且222tan 12AG AEG GE ∠===， 当1111AC B D F =I ，AC BD G ⋂=，取E 为1D ，如下图所示：因为11//,D F GB D F GB =，所以四边形1D GBF 是平行四边形，所以1//BF D G ，所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠，且2232tan 212AGAEG GE∠===⎛⎫+ ⎪⎝⎭由此可知：异面直线,AE BF 所成角不是定值，故错误. 故选：D. 【点睛】本题考查立体几何中的综合应用，涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算，难度较难.注意求解异面直线所成角时，将直线平移至同一平面内.11．抛物线方程为24y x =，一直线与抛物线交于A B 、两点，其弦AB 的中点坐标为(1,1)，则直线的方程为（ ） A ．210x y --= B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ---=【答案】A 【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法得到1212422y y x x -==-，所以直线AB 的斜率为2，又过点(1,1)，再利用点斜式即可得到直线AB 的方程. 【详解】解：设()()1122,,,A x y B x y ，∴122y y +=，又21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得：()2212124y y x x -=-， ∴()()()1212124y y y y x x +-=-，∴1212422y y x x -==-，∴直线AB 的斜率为2，又∴过点(1,1)，∴直线AB 的方程为：12(1)y x -=-，即2 10x y --=， 故选：A. 【点睛】本题考查直线与抛物线相交的中点弦问题，解题方法是“点差法”，即设出弦的两端点坐标，代入抛物线方程相减后可把弦所在直线斜率与中点坐标建立关系． 12．下列与函数y =定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2xy =B ．21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．21log y x=D ．14y x =【答案】C 【解析】 【分析】分析函数y =的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项. 【详解】函数y =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数. A 选项，2log 2xy =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为增函数，不符合.B 选项，21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为R ，不符合.C 选项，21log y x=的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数，符合. D 选项，14y x =的定义域为[)0,+∞，不符合. 故选：C 【点睛】本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年江苏省盐城市高考数学三模试卷(附详解)
2021年江苏省盐城市高考数学三模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合A={x|y=√x−2}，B={y|y=√x−2}，C={(x,y)|y=√x−2}，则下列集合不为空集的是()A. A∩BB. A∩CC. B∩CD. A∩B∩C2.若复数z满足|z−i|≤2，则z⋅z−的最大值为()A. 1B. 2C. 4D. 93.同学们都知道平面内直线方程的一般式为Ax+By+C=0，我们可以这样理解：若直线l过定点P0(x0,y0)，向量n⃗=(A,B)为直线l的法向量，设直线l上任意一点P(x,y)，则n⃗⋅P0P⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得直线l的方程为A(x−x0)+B(y−y0)=0，即可转化为直线方程的一般式.类似地，在空间中，若平面α过定点Q0(1,0,−2)，向量m⃗⃗⃗ =(2,−3,1)为平面α的法向量，则平面α的方程为()A. 2x−3y+z+4=0B. 2x+3y−z−4=0C. 2x−3y+z=0D. 2x+3y−z+4=04.将函数f(x)=sin12x的图象向左平移π3个单位，得到函数g(x)的图象，若x∈(0,m)时，函数g(x)的图象在f(x)的上方，则实数m的最大值为()A. π3B. 2π3C. 5π6D. π65.已知数列{a n}的通项公式为a n=n(n+1)!，则其前n项和为()A. 1−1(n+1)!B. 1−1n!C. 2−1n!D. 2−1(n+1)!6.韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如：设一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的3个实数根为x1，x2，x3，则x1+x2+x3=−ba ，x1x2+x2x3+x3x1=ca，x1x2x3=−da.已知函数f(x)=2x3−x+1，直线l与f(x)的图象相切于点P(x1,f(x1))，且交f(x)的图象于另一点Q(x2,f(x2))，则()A. 2x1−x2=0B. 2x1−x2−1=0C. 2x1+x2+1=0D. 2x1+x2=07.设双曲线C：x2a2−y2b2=1(a,b>0)的焦距为2，若以点P(m,n)(m<a)为圆心的圆P过C的右顶点且与C的两条渐近线相切，则OP长的取值范围是()A. (0,12)B. (0,1)C. (12,1)D. (14,12)8. 已知正数x ，y ，z 满足xlny =ye z =zx ，则x ，y ，z 的大小关系为( )A. x >y >zB. y >x >zC. x >z >yD. 以上均不对二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知X ～N(μ1,σ12)，Y ～N(μ2,σ22)，μ1>μ2，σ1>0，σ2>0，则下列结论中一定成立的有( )A. 若σ1>σ2，则P(|X −μ1|≤1)<P(|Y −μ2|≤1)B. 若σ1>σ2，则P(|X −μ1|≤1)>P(|Y −μ2|≤1)C. 若σ1=σ2，则P(X >μ2)+P(Y >μ1)=1D. 若σ1=σ2，则P(X >μ2)+P(Y >μ1)<110. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n +S n =An 2+Bn +C ，则下列说法中正确的有( )A. 存在A ，B ，C 使得{a n }是等差数列B. 存在A ，B ，C 使得{a n }是等比数列C. 对任意A ，B ，C 都有{a n }一定是等差数列或等比数列D. 存在A ，B ，C 使得{a n }既不是等差数列也不是等比数列11. 已知矩形ABCD 满足AB =1，AD =2，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折起，点B折至B′，得到四棱锥B′−AECD ，若点P 为B′D 的中点，则( )A. CP//平面B′AEB. 存在点B′，使得CP ⊥平面AB′DC. 四棱锥B′−AECD 体积的最大值为√24D. 存在点B′，使得三棱锥B′−ADE 外接球的球心在平面AECD 内12. 将平面向量a⃗ =(x 1,x 2)称为二维向量，由此可推广至n 维向量a ⃗ =(x 1,x 2,⋯,x n ).对于n 维向量a ⃗ ，b ⃗ ，其运算与平面向量类似，如数量积a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cosθ=∑x i n i=1y i (θ为向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角)，其向量a ⃗ 的模|a ⃗ |=√∑x i 2n i=1，则下列说法正确的有( )A. 不等式(∑x i 2n i=1)(∑y i 2n i=1)≤(∑x i n i=1y i )2可能成立 B. 不等式(∑x i 2n i=1)(∑y i 2n i=1)≥(∑x i n i=1y i )2一定成立 C. 不等式n ∑x i 2n i=1<(∑x i n i=1)2可能成立D. 若x i >0(i =1,2,⋯,n)，则不等式∑1x in i=1∑x i n i=1≥n 2一定成立三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 文旅部在2021年围绕“重温红色历史、传承奋斗精神”“走进大国重器、感受中国力量”“体验美丽乡村、助力乡村振兴”三个主题，遴选推出“建党百年红色旅游百条精品线路”.这些精品线路中包含上海一大会址、嘉兴南湖、井冈山、延安、西柏坡等5个传统红色旅游景区，还有港珠澳大桥、北京大兴国际机场、“中国天眼”、“两弹一星”纪念馆、湖南十八洞村、浙江余村、贵州华茂村等7个展现改革开放和新时代发展成就、展示科技强国和脱贫攻坚成果的景区.为安排旅游路线，从上述12个景区中选3个景区，则至少含有1个传统红色旅游景区的选法有______ 种.14. 满足等式(1−tanα)(1−tanβ)=2的数组(α,β)有无穷多个，试写出一个这样的数组______ ．15. 若向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ −b ⃗ |=√3，则a ⃗ ⋅b ⃗ 的最小值为______ ． 16. 对于函数f(x)=lnx +mx 2+nx +1，有下列4个论断：甲：函数f(x)有两个减区间； 乙：函数f(x)的图象过点(1,−1)； 丙：函数f(x)在x =1处取极大值； 丁：函数f(x)单调．若其中有且只有两个论断正确，则m 的取值为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点D 满足3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0． (1)若b =c ，求A 的值； (2)求B 的最大值．18.请在①a1=√2；②a1=2；③a1=3这3个条件中选择1个条件，补全下面的命题使其成为真命题，并证明这个命题(选择多个条件并分别证明的按前1个评分)．命题：已知数列{a n}满足a n+1=a n2，若____，则当n≥2时，a n≥2n恒成立．19.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BB1=2BC=2，∠CBB1=2∠CAB=π，3且平面ABC⊥平面B1C1CB．(1)求证：平面ABC⊥平面ACB1；(2)设点P为直线BC的中点，求直线A1P与平面ACB1所成角的正弦值．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点P是抛物线C1：x2=2py(y>0)上的一个点，其横坐标为x0，过点P作抛物线C1的切线l．(1)求直线l的斜率(用x0与p表示)；(2)若椭圆C2：y2+x2=1过点P，l与C2的另一个交点为A，OP与C2的另一个交点2为B，求证：AB⊥PB．21.运用计算机编程，设计一个将输入的正整数k“归零”的程序如下：按下回车键，等可能的将[0,k)中的任意一个整数替换k的值并输出k的值，反复按回车键执行以上操作直到输出k=0后终止操作．(1)若输入的初始值k为3，记按回车键的次数为ξ，求ξ的概率分布与数学期望；(2)设输入的初始值为k(k∈N∗)，求运行“归零”程序中输出n(0≤n≤k−1)的概率．(n∈N∗).22.设f(x)=lnxx n(1)求证：函数f(x)一定不单调；(2)试给出一个正整数a，使得e x>x2lnx+asinx对∀x∈(0,+∞)恒成立．(参考数据：e≈2.72，e2≈7.39，e3≈20.10)答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A={x|y=√x−2}={x|x≥2}，B={y|y=√x−2}={y|y≥0}，C={(x,y)|y=√x−2}，∴A∩B=[2,+∞)，A∩C=⌀，B∩C=⌀，A∩B∩C=⌀，故选：A．求出集合A，B，利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．2.【答案】D【解析】解：复数z满足|z−i|≤2，由复数模的几何意义知，复数z在复平面内对应的点Z的轨迹为：以(0,1)为圆心，以2为半径的圆的内部(包括圆周)，|z|表示点Z到点O(0,0)的距离，如图所示：当点Z的坐标为(0,3)时，|z|的值最大，所以zz−=|z|2的最大值为9．故选：D．根据复数模的几何意义，利用数形结合法得到当点Z的坐标为(0,3)时，|z|的值最大，得出|z|2的最大值．本题主要考查了复数模的几何意义应用问题，是基础题．3.【答案】C【解析】解：根据题意，类比平面中的结论，设P(x,y,z)是平面α上任意一点，则PQ 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x,−y,−2−z)，向量m⃗⃗⃗ =(2,−3,1)为平面α的法向量， 故有m ⃗⃗⃗ ⊥PQ 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即m ⃗⃗⃗ ⋅PQ 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(1−x)+(−y)×(−3)+(−2−z)=0， 变形可得：2x −3y +z =0， 故选：C ．根据题意，设P(x,y,z)是平面α上任意一点，类比平面中的结论，可得m ⃗⃗⃗ ⋅PQ 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(1−x)+(−y)×(−3)+(−2−z)=0，变形可得答案．本题考查合情推理的应用，涉及空间向量数量积的坐标计算，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：将函数f(x)=sin 12x 的图象向左平移π3个单位，得到函数g(x)的图象， 所以g(x)=sin 12(x +π3)，当0<x <m 时，g(x)的图象在f(x)的上方，即g(x)−f(x)>0， 所以sin 12(x +π3)−sin 12x >0，由和差化积公式可得，sin 12(x +π3)−sin 12x =2cos(12x +π12)sin π12>0， 因为sin π12>0，所以原不等式可转化为cos(12x +π12)>0，由余弦函数的图象可得，−π2+2kπ<12x +π12<π2+2kπ,k ∈Z ， 所以−7π6+4kπ<x <5π6+4kπ,k ∈Z ， 因为0<x <m ，所以−7π6<x <5π6，故(0,m)⊆(−7π6,5π6)，故m ≤5π6，所以m 的最大值为5π6．故选：C．先利用图象变换得到g(x)的图象，然后将问题转化为sin12(x+π3)−sin12x>0，利用和差化积公式进一步转化为求解cos(12x+π12)>0，由余弦函数的图象分析求解即可．本题考查了三角函数图象的变换，和差化积公式的应用，余弦函数图象的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．5.【答案】A【解析】解：a n=n(n+1)!=n+1−1(n+1)!=1n!−1(n+1)!，所以其前n项和为11!−12!+12!−13!+...+1n!−1(n+1)!=1−1(n+1)!．故选：A．求得a n=n+1−1(n+1)!=1n!−1(n+1)!，由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．本题考查数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：f′(x)=6x2−1，则6x12−1=f(x2)−f(x1)x2−x1=2x23−x2+1−(2x13−x1+1)x2−x1=2x22+2x1x2+2x12−1，∴x22+x1x2−2x12=0，则x2+2x1=0．故选：D．求导，由导数的几何意义可知，f′(x1)=f(x2)−f(x1)x2−x1，化简后即可得解．本题考查导数的几何意义的运用，考查运算求解能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由已知可得，c=1，双曲线的渐近线方程为bx±ay=0，由圆P与渐近线相切可得，r=|bm+an|√a2+b2=|bm−an|√a2+b2，则n=0．则圆的半径r =a −m =|bm|c=bm ，即m =ab+1．则m 2=(ab+1)2=a 2(b+1)2=1−b 2(b+1)2=−1+2b+1， ∵b ∈(0,1)，∴−1+2b+1∈(0,1)，则m ∈(0,1)． 即OP 长的取值范围是(0,1)． 故选：B ．由已知可得双曲线的半焦距及渐近线方程，再由圆心到两渐近线的距离相等得n =0，由半径相等可得m 与a 、b 的关系，求出m 的取值范围得答案．本题考查双曲线的几何性质，考查推理论证及运算求解能力，是中档题．8.【答案】A【解析】解：由题意知，lny >0，即y >1，且z =lny <y ，xy =ylny >1，即x >y ， 综上，x >y >z ， 故选：A ．易知，y >1，z =lny <y ，xy =ylny >1，由此可判断x ，y ，z 的大小关系． 本题考查实数的大小比较，从不等式的性质视角解答本题是关键，属于基础题．9.【答案】AC【解析】解：由题意可知，对于选项A ，B ，若σ1>σ2，则Y 分布更为集中， 则在相同的区间范围内，Y 的相对概率更大，故P(|X −μ1|≤1)<P(|Y −μ2|≤1)，故选项A 正确，B 错误；由正态分布的性质可得，P(Y >μ1)=P(X ≤μ2)，又P(X ≤μ2)+P(X >μ2)=1， 所以P(X >μ2)+P(Y >μ1)=1，故选项C 正确，D 错误． 故选：AC ．利用正态分布的参数σ的含义，即可判断选项AB ；利用正态分布的性质，即可判断选项CD ．本题考查了正态分布的参数的含义以及正态分布曲线的性质的应用，考查了逻辑推理能力，属于中档题．10.【答案】ABD【解析】解：∵a n+S n=An2+Bn+C，∴当n≥2时，a n−1+S n−1=A(n−1)2+B(n−1)+C．两式作差得：2a n−a n−1=2An+B−A．当A=B=0时，a na n−1=12，∴数列{a n}是等比数列，∴B对；当A=0且B≠0时，2(a n−B)=a n−1−B，可得：a n−B=(a1−B)(12)n−1，∴a n=(a1−B)(12)n−1+B，∴数列{a n}既不是等差也不是等比数列，∴D对；当A=B=1时，2a n−a n−1=2n，a n=2n−2满足此式，∴A正确；通过对D的判断可知C显然错；故选：ABD．把n换成n−1写出新的等式，原等式与新等式作差可解决此题．本题考查等差等比数列、作差法，考查数学运算能力，属于中档题．11.【答案】ACD【解析】解：对于A，取AB′中点M，∵点P为B′D的中点，∴MP//AD，MP=12AD，∵EC//AD，且EC=12AD，∴MP//EC，且MP=EC，∴四边形MPCE为平行四边形，∴CP//ME，∵ME⊂平面B′AE，CP⊄平面B′AE，∴CP//平面B′AE，故A正确；对于B，假设存在点B′，使得CP⊥平面AB′D，则CP⊥AD，∵AD⊥CD，CP∩CD=C，∴AD⊥平面CPD，则AD⊥PD，∴AD⊥B′D，在△AB′D中，AB′=1，AD=2，∴AD>AB′，∴AD不可能垂直于BD，故B错误；对于C，V B′−AECD=13ℎ⋅S AECD，ℎ为B′到平面ABCD的距离，当平面AB′E 垂直于平面AECD 时，ℎ取得最大值，此时ℎ为B′到AE 的距离， 此时ℎ=√(AB′)2−(AE 2)2=(√22)=√22，S AECD =12×(2+1)×1=32，∴四棱锥B′−AECD 体积的最大值为13×√22×32=√24，故C 正确；对于D ，当平面AB′E ⊥平面AECD 时，存在点B′，使得三棱锥B′−ADE 外接球的球心在平面AECD 内， B′H =√22，NH =√22，∴B′N =1，∵∠AEN =∠DEN =45°，∴AE ⊥DE ，在直角三角形AED 中，AE =ED ， N 为AD 的中点，∴EN =AN =DN =1，则B′N =EN =AN =DN =1， ∴N 为三棱锥B′−AED 的外接球的球心， ∵N 在平面AECD 内，故D 正确． 故选：ACD ．取AB′中点M ，证明四边形MPCE 为平行四边形，得CP//ME ，进一步证得CP//平面B′AE ，判定A ；利用反证法，判定B 错误；求出棱锥B′−AECD 体积的最大值，判断C ；证明当平面AB′E ⊥平面AECD 时，存在点B′，使得三棱锥B′−ADE 外接球的球心在平面AECD 内，判断D ．本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，棱锥体积的求法，考查空间想象能力与计算能力，是中档题．12.【答案】ABD【解析】解：对于A ，构造a ⃗ =(x 1,x 2,⋯,x n )，b ⃗ =(y 1,y 2,⋯,y n )， 所以|a ⃗ ⋅b ⃗ |≤|a ⃗ ||b ⃗ |⇒|x 1y 1+x 2y 2+⋯+x n y n |≤√x 12+x 22+⋯+x n n √y 12+y 22+⋯+y n n ⇒(∑x i n i=1y i )²≤∑x i n i=1²∑y i n i=1²，当且仅当x 1y 1=x 2y 2=⋯=xny n 时取“=”，例如(a²+1)(b²+1)≥(ab +1)²，当a =b =1时取“=”，故A 正确； 对于B ，由A 的分析过程知，B 正确；对于C ，构造a⃗ =(x 1,x 2,⋯,x n )，b ⃗ =(1,1,⋯,1)， 知|a ⃗ ⋅b ⃗ |≤|a ⃗ ||b ⃗ |⇒|x 1+x 2+⋯+x n |≤√x 12+x 22+⋯+x n n ⋅√n ， 所以n ∑x i n i=1²≥(∑x i ni=1)²，故C 错误；对于D ，构造a ⃗ =(√1x 1,√1x 2,⋯,√1x n)，b ⃗ =(√x 1,√x 2,…,√x n )，所以|a⃗⋅b⃗ |≤|a⃗||b⃗ |⇒√1x1+1x2+⋯+1x n√x1+x2+⋯+x n≥n⇒∑1x ini=1⋅∑x ini=1≥n²，D正确．故选：ABD．构造a⃗=(x1,x2,⋯,x n)，b⃗ =(y1,y2,⋯,y n)，利用平面向量的推广运算即可判断选项A，B；构造a⃗=(x1,x2,⋯,x n)，b⃗ =(1,1,⋯,1)，利用平面向量的推广运算即可判断选项C；构造a⃗=(√1x1,√1x2,⋯,√1x n)，b⃗ =(√x1,√x2,…,√x n)，利用平面向量的推广运算即可判断选项D．本题主要考查类比推理，向量的数量积公式以及向量模的公式，考查逻辑推理与运算求解能力，属于中档题．13.【答案】185【解析】解：由题意可知，总体情况为从12个景区选3个景区，共有C123种，从7个非传统红色旅游景区中选3个景区，共有C73种，则至少含有1个传统红色旅游景区的选法共有C123−C73=220−35=185种，故答案为：185．总体情况为从12个景区选3个景区，共有C123种，从7个非传统红色旅游景区中选3个景区，共有C73种，然后利用间接法求解即可．本题考查了排列组合的简单计数问题，涉及到间接法的应用，属于基础题．14.【答案】(0,3π4)【解析】解：因为(1−tanα)(1−tanβ)=1−(tanα+tanβ)+tanαtanβ=2，所以tanαtanβ=1+tanα+tanβ，所以tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−1，所以α+β=3π4+kπ，k∈Z，故满足题意的一组(α,β)为(0,3π4).故答案为：(0,3π4).由已知结合两角和的正切公式进行化简可求α+β，进而可求．本题主要考查了两角和的正切公式，属于基础试题，15.【答案】−34【解析】解：∵向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗−b⃗ |=√3，∴(a⃗−b⃗ )2=3，即a⃗2+b⃗ 2=3+2a⃗⋅b⃗ ≥2√a⃗2⋅b⃗ 2=2|a⃗||b⃗ |≥−2a⃗⋅b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ ≥−34，故答案为：−34．根据模长结合不等式的性质即可求解结论．本题主要考查向量的数量积以及模长公式的应用，属于中档题目．16.【答案】2【解析】解：函数f(x)的定义域是(0,+∞)，由题意得：f′(x)=1x +2mx+n=2mx2+nx+1x，令g(x)=2mx2+nx+1，显然g(x)过定点(0,1)，①m>0时的图像可能是：或，②m<0时的图像可是：或当x>0时，函数f(x)最多1个减区间，故甲错误，则乙正确；则f(1)=m+n+1=−1，即m+n=−2，，若丙正确，则解得：m=1，故n=−3，此时f′(x)=(2x−1)(mx−1)x而此时f(x)在x=1处取极小值，即与丙矛盾，若丁正确，则m=2，n=−4，可满足题意，综上：乙丁正确，且m=2，故答案为：2．求出函数的导数，判断甲错误，乙正确，假设丙正确，得到矛盾，假设丁正确，满足题意，从而求出答案．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．17.【答案】解：(1)因为AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即(23AB ⃗⃗⃗⃗⃗+13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以23bc ⋅cosA +13b 2=0， 因为b =c ，所以cosA =−12， 因为0<A <π，所以A =2π3．(2)因为23bc ⋅cosA +13b 2=0，所以b 2+c 2−a 2+b 2=0，即2b 2+c 2−a 2=0， cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 22+32c 22ac≥√32，当且仅当a =√3c 时等号成立，因为0<B <π，所以B 的最大值为π6．【解析】(1)直接利用向量的数量积以及余弦定理求得cosA =−12，进而求解结论， (2)结合余弦定理以及基本不等式即可求解结论．本题主要考查向量的数量积以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题目．18.【答案】解：选②．证明：由a n+1=a n 2，且a 1=2，∴a n >0，两边取对数可得：lga n+1=2lga n ， ∴lga n =2n−1lg2，a n =22n−1．当n ≥2时，只需证明2n−1≥n ， 令b n =n2n−1，则b n+1−b n =n+12n−n 2n−1=1−n 2n<0．所以b n ≤b 2=1，∴2n−1≥n 成立．综上所述，当a 1=2且n ≥2时，a n ≥2n 成立． 选①，结论不成立．证明：由a n+1=a n 2，且a 1=√2，∴a 2=2，a 2=2≥22不成立． 选③．证明：由a n+1=a n2，且a1=3，∴a n>0，两边取对数可得：lga n+1=2lga n，∴lga n=2n−1lg3，a n=32n−1．当n≥2时，要证明a n=32n−1≥2n．只需证明2n−1≥n，令b n=n2n−1，则b n+1−b n=n+12n−n2n−1=1−n2n<0．所以b n≤b2=1，∴2n−1≥n成立．综上所述，当a1=2且n≥2时，a n≥2n成立．【解析】选②.由a n+1=a n2，且a1=2，可得a n>0，两边取对数可得：lga n+1=2lga n，利用等比数列的通项公式可得lga n，a n.当n≥2时，只需证明2n−1≥n，令b n=n2n−1，通过作差即可得出结论．本题考查了等比数列的通项公式、作差法、不等式的性质、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)证明：因为AC=2BC=2，所以BC=1因为2∠CAB=π3，所以∠CAB=π6．在△ABC中，BCsinA =ACsinB，即1sinπ6=2sinB，所以sinB=1，即AB⊥BC.……(2分)又因为平面ABC⊥平面B1C1CB，平面ABC∩平面B1C1CB=BC，AB⊂平面ABC，所以AB⊥平面B1C1CB．又B1C⊂平面B1C1CB，所以AB⊥B1C，在△B1BC中，B1B=2，BC=1，∠CBB1=π3，所以B1C2=B1B2+BC2−2B1B⋅BC⋅cosπ3=3，即B1C=√3，所以B1C⊥BC．而AB⊥B1C，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，AB∩BC=B，所以B1C⊥平面ABC．又B1C⊂平面ACB1，所以平面ABC⊥平面ACB1．(2)在平面ABC 中过点C 作AC 的垂线CE ，以C 为坐标原点，分别以CA ，CE ，CB 1所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，B(12,√32,0)，A(2,0,0)，B 1(0,0,√3)，所以P(14,√34,0)，A 1(32,−√32,√3)，所以A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−54,3√34,−√3)，平面ACB 1的一个法向量为n⃗ =(0,1,0)，……(10分) 设直线A 1P 与平面ACB 1所成的角为α， 则直线A 1P 与平面ACB 1所成角的正弦值为： sinα=|cos <A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >|=|A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗ ||A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n⃗⃗ |=3√34√2516+2716+3=3√310．【解析】(1)推导出AB ⊥BC ，从而AB ⊥平面B 1C 1CB ，进而AB ⊥B 1C ，推导出B 1C ⊥BC ，AB ⊥B 1C ，从而B 1C ⊥平面ABC ，由此能证明平面ABC ⊥平面ACB 1．(2)在平面ABC 中过点C 作AC 的垂线CE ，以C 为坐标原点，分别以CA ，CE ，CB 1所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A 1P 与平面ACB 1所成的角的正弦值．本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．20.【答案】解：(1)由x 2=2py ，得y =12p x 2，则y′=1p x ，∴由导数的几何意义可知，直线l 的斜率为x 0p ；(2)证明：设P(x 0,y 0)，则B(−x 0,−y 0)，k PB =yx 0，由(1)知k PA =1p x 0=2y 0x 0，设A(x 1,y 1)，则y 022+x 02=1，y 122+x 12=1，作差得(y 0+y 1)(y 0−y 1)2+(x 0+x 1)(x 0−x 1)=0，即y 0+y 1x0+x 1⋅y 0−y1x 0−x 1=−12，∴k PA k AB =−12，∴y 02x 0k AB =−12，即k AB =−x0y 0，∴k PB k AB =−1， ∴AB ⊥PB ．【解析】(1)将抛物线C 1变形可得y =12p x 2，求导，利用导数的几何意义即可求得直线l 的斜率；(2)设P(x 0,y 0)，则B(−x 0,−y 0)，k PB =yx 0，k PA =2y 0x 0，设A(x 1,y 1)，利用点差法可得k PA k AB =−12，进而得到k AB =−xy 0，由此可得k PB k AB =−1，继而得证．本题是对抛物线与椭圆知识的综合考查，涉及了垂直关系的证明，导数的几何意义以及点差法的运用，考查推理论证能力以及运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)P(ξ=3)=13×12=16，P(ξ=2)=13×12+13=12，P(ξ=1)=13，……(3分)则ξ的概率分布如下表：所以E(ξ)=1×13+2×12+3×16=116.……(5分)(2)设运行“归零”程序中输出n(0≤n ≤k −1)的概率为P n ，得出P n =1n+1，……(7分) 法一：则P n =P n+1×1n+1+P n+2×1n+2+P n+3×1n+3+⋯+P k−1×1k−1+1k ， 故0≤n ≤k −2时，P n+1=P n+2×1n+2+P n+3×1n+3+⋯+P k−1×1k−1+1k ， 以上两式作差得，P n −P n+1=P n+1×1n+1，则P n =P n+1×n+2n+1，……(10分) 则P n+1=P n+2×n+3n+2，P n+2=P n+3×n+4n+3，…，P k−2=P k−1×kk−1， 则P n P n+1P n+2…P k−1=P n+1P n+2P n+3…P k−1×n+2n+1×n+3n+2×n+4n+3×…×kk−1， 化简得P n =P k−1×kn+1，而P k−1=1k ，故P n =1n+1，又n =k −1时，P n =1n+1也成立，故P n =1n+1(0≤n ≤k −1). ……(12分) 法二：同法一得P n =P n+1×n+2n+1，……(9分)则P 0=P 1×21，P 1=P 2×32，P 2=P 3×43，…，P n−1=P n ×n+1n，则P 0P 1P 2…P n−1=P 0P 1P 2…P n ×21×32×43×…×n+1n，化简得P 0=P n ×(n +1)，而P 0=1，故P n =1n+1(0≤n ≤k −1)，又n =0时，P n =1n+1也成立，故P n =1n+1(0≤n ≤k −1). ……(12分) 法三：记P m (n)表示在出现m 的条件下出现n 的概率， 则P n+1(n)=1n+1，P n+2(n)=1n+2P n+1(n)+1n+2=1n+1， P n+3(n)=1n+3P n+2(n)+1n+3P n+1(n)+1n+3=1n+1，……(9分) 依此类推，P k (n)=1k P k−1(n)+1k P k−2(n)+⋯+1k P n+1(n)+1k ， 所以P k (n)=1k (1n+1⋅(k −n −1)+1)=1n+1. ……(12分) 法四：记P k (n)表示在出现k 的条件下出现n 的概率， 则P k (n)=1k P k−1(n)+1k P k−2(n)+⋯+1k P n+1(n)+1k ， 则kP k (n)=P k−1(n)+P k−2(n)+⋯+P n+1(n)+1，① 则(k −1)P k−1(n)=P k−2(n)+⋯+P n+1(n)+1，② ①−得kP k (n)−(k −1)P k−1(n)=P k−1(n)，……(9分) 则P k (n)=P k−1(n)(k ≥n +2)，则P k (n)=P n+1(n)=1n+1. ……(12分)【解析】(1)求出概率，得到ξ的分布列，然后求解期望．(2)设运行“归零”程序中输出n(0≤n ≤k −1)的概率为P n ，得出P n =1n+1， 法一：推出P n =P n+1×1n+1+P n+2×1n+2+P n+3×1n+3+⋯+P k−1×1k−1+1k ，利用作差法推出P n =P n+1×n+2n+1，然后利用累积法求解P n 即可． 法二：同法一得P n =P n+1×n+2n+1，利用累积法求解P n 即可．法三：记P m (n)表示在出现m 的条件下出现n 的概率，利用依此类推推出结果即可． 法四：记P k (n)表示在出现k 的条件下出现n 的概率，得到kP k (n)=P k−1(n)+P k−2(n)+⋯+P n+1(n)+1，利用作差法求解即可．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，概率的求法，数列的应用，考查分析问题解决问题的能力，是难题．22.【答案】解：(1)证明：由f(x)=lnx x n(n ∈N ∗)，得f′(x)=1xx n−nx n−1lnx x 2n=1−nlnx x n+1，因n ∈N ∗，由f′(x)=0，得x =e 1n ，当x >e 1n 时，f′(x)<0，当时0<x <e 1n ，f′(x)>0， 故函数f(x)在(0,e 1n )上单调递增，在(e 1n ,+∞)上单调递减， 所以函数f(x)不单调．(2)当a =1时，可证明e x >x 2lnx +sinx 对∀x ∈(0,+∞)恒成立， 当x ∈(0,1)时，x 2lnx ≤0，sinx ≤1，e x >1，不等式成立；， 当x ∈(1,e)时，x 2lnx +sinx <x 2+1，令g(x)=x 2+1e x，所以g′(x)=2x−(x 2+1)e x≤0，则函数g(x)单调递减，所以g(x)≤g(1)=2e <1，所以e x >x 2+1，原不等式成立，当x ∈(e,+∞)时，因x 2lnx +sinx ≤x 2lnx +1，故只需证e x >x 2lnx +1， 即证e xx 3>lnx x+1x 3，只需证e xx 3>lnx x+1e 3，在(1)中令n =1，可得f(x)≤f(e)=1e ，故lnx x+1e 3≤1e+1e 3，令ℎ(x)=e x x3，所以ℎ′(x)=e x (x−3)x 4=0，解得x =3，当x ∈(e,3)时，ℎ′(x)<0；当x ∈(3,+∞)时，ℎ′(x)>0， 所以ℎ(x)≥ℎ(3)=e 327>12，而lnx x+1e 3≤1e +1e 3<12，所以原不等式也成立．综上所述，当a =1时，e x >x 2lnx +sinx 对∀x ∈(0,+∞)恒成立． (注：当a =2或a =3时结论也成立，请参照评分；当a ≥4时结论不成立)【解析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，判断即可；(2)取a =1，x ∈(0,1)时，不等式成立；，当x ∈(1,e)时，x 2lnx +sinx <x 2+1，令g(x)=x 2+1e x，求出e x >x 2+1，原不等式成立，当x ∈(e,+∞)时，因x 2lnx +sinx ≤x 2lnx +1，故只需证e x>x 2lnx +1，即证e x x 3>lnx x+1x 3，结合函数的单调性判断即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是难题．。
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江苏省盐城市2021届新高考数学四模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<≤）是R 上的奇函数，若()f x 的图象关于直线4x π=对称，且()f x 在区间,2211ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） AB．2- C ．12 D ．12- 【答案】D【解析】【分析】根据函数()f x 为R 上的奇函数可得ϕ，由函数()f x 的对称轴及单调性即可确定ω的值，进而确定函数()f x 的解析式，即可求得12f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值. 【详解】函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<≤）是R 上的奇函数，则ϕπ=，所以()sin f x x ω=-.又()f x 的图象关于直线4x π=对称可得42k πωππ=+，k Z ∈，即24k ω=+，k Z ∈， 由函数的单调区间知，12114ππω≤⋅， 即 5.5ω≤， 综上2ω=，则()sin 2f x x =-，1122f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：D【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的综合应用，由对称轴、奇偶性及单调性确定参数，属于中档题. 2．函数()()23ln 1x f x x +=的大致图象是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.【详解】由题意可知函数()f x 为奇函数，可排除B 选项；当x 0<时，()0f x ＜，可排除D 选项；当x 1=时，()12f ln =，当x 3=时，ln10ln10(3),ln 22727f =>， 即()()1?3f f ＞，可排除C 选项， 故选：A【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．3．已知P 为圆C ：22(5)36x y -+=上任意一点，(5,0)A -，若线段PA 的垂直平分线交直线PC 于点Q ，则Q 点的轨迹方程为( )A ．221916x y += B ．221916x y -= C ．221916x y -=（0x <） D ．221916x y -=（0x >） 【答案】B【解析】【分析】 如图所示：连接QA ，根据垂直平分线知QA QP =，610QC QA -=<，故轨迹为双曲线，计算得到答案.【详解】如图所示：连接QA ，根据垂直平分线知QA QP =， 故610QC QA QC QP PC -=-==<，故轨迹为双曲线，26a =，3a =，5c =，故4b =，故轨迹方程为221916x y -=. 故选：B .【点睛】本题考查了轨迹方程，确定轨迹方程为双曲线是解题的关键.4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =且对于任意1n >，*n N ∈满足()1121n n n S S S +-+=+，则（ ）A ．47a =B ．16240S =C ．1019a =D ．20381S =【答案】D【解析】【分析】利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式，然后求解数列的和，判断选项的正误即可．【详解】 当2n …时，111112(1)22n n n n n n n n n S S S S S S S a a +-+-++=+⇒-=-+⇒=+． 所以数列{}n a 从第2项起为等差数列，1,122,2n n a n n =⎧=⎨-⎩…， 所以，46a =，1018a =．21()(1)(1)12n n a a n S a n n +-=+=-+，1616151241S =⨯+=， 2020191381S =⨯+=．故选：D ．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．5．函数22()2cos (sin cos )2f x x x x =++-的一个单调递增区间是（ ）A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．59,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】D【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简()f x 表达式，再根据三角函数单调区间的求法，求得()f x 的单调区间，由此确定正确选项.【详解】因为22()2cos (sin cos )2f x x x x =++-1cos 21sin 2224x x x π⎛⎫=+++-=+ ⎪⎝⎭，由()f x 单调递增，则222242k x k πππππ-≤+≤+（k ∈Z ），解得388k x k ππππ-≤≤+（k ∈Z ），当1k =时，D 选项正确.C 选项是递减区间，A ，B 选项中有部分增区间部分减区间.故选：D【点睛】本小题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想，应用意识.6．函数cos 220,2y x x x π⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的单调递增区间是（ ） A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】【分析】 利用辅助角公式,化简函数的解析式,再根据正弦函数的单调性,并采用整体法,可得结果.【详解】因为cos 22y x x =2sin(2)2sin(2)66x x ππ=-=--，由3222,262k x k k πππππ+-+∈Z ≤≤，解得5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即函数的增区间为5[,],36k k k ππππ++∈Z ，所以当0k =时，增区间的一个子集为[,]32ππ. 故选D.【点睛】本题考查了辅助角公式,考查正弦型函数的单调递增区间,重点在于把握正弦函数的单调性，同时对于整体法的应用,使问题化繁为简,难度较易.7．已知甲盒子中有m 个红球，n 个蓝球，乙盒子中有1m -个红球，+1n 个蓝球(3,3)m n ≥≥，同时从甲乙两个盒子中取出(1,2)i i =个球进行交换，（a ）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =.（b ）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=.则（ ）A ．1212,()()p p E E ξξ><B ．1212,()()p p E E ξξC ．1212,()()p p E E ξξ>>D ．1212,()()p pE E ξξ<< 【答案】A【解析】分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望.详解：根据题意有，如果交换一个球，有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球， 红球的个数就会出现,1,1m m m -+三种情况；如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝，对应的红球的个数就是2,1,,1,2m m m m m --++五种情况，所以分析可以求得1212,()()p p E E ξξ><，故选A.点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果.8．下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞的是（ ）A ．()lg 1y x =+B ．12y x =C ．2x y =D ．ln y x =【答案】B【解析】【分析】分别作出各个选项中的函数的图象，根据图象观察可得结果.【详解】对于A ，()lg 1y x =+图象如下图所示：则函数()lg 1y x =+在定义域上不单调，A 错误；对于B ，12y x x ==的图象如下图所示：则y x =在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞，B 正确；对于C ，2x y =的图象如下图所示：则函数2xy =单调递增，但值域为()0,∞+，C 错误； 对于D ，ln y x =的图象如下图所示：则函数ln y x =在定义域上不单调，D 错误.故选：B .【点睛】本题考查函数单调性和值域的判断问题，属于基础题.9．已知3sin 2cos 1,(,)2παααπ-=∈，则1tan 21tan 2αα-=+（ ） A ．12- B ．2- C ．12 D ．2 【答案】B【解析】【分析】结合22sin cos 1αα+=求得sin ,cos αα的值，由此化简所求表达式，求得表达式的值.【详解】由22sin 2cos 1sin cos 1αααα-=⎧⎨+=⎩，以及3(,)2παπ∈，解得34sin ,cos 55αα=-=-. 1tan 21tan 2αα-=+222sin 21cos sin cos cos sin 12cos sin 2222222sin cos sin cos sin cos sin cos sin 2222222221cos 2αααααααααααααααααα-⎛⎫--- ⎪⎝⎭===⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+311sin 524cos 5αα+-===--. 故选：B【点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查二倍角公式，属于中档题.10．已知数列{}n a 是公比为2的正项等比数列，若m a 、n a 满足21024n m n a a a <<，则()21m n -+的最小值为（ ）A ．3B ．5C ．6D ．10 【答案】B【解析】【分析】利用等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数的单调性求得110m n <-<再根据此范围求()21m n -+的最小值．【详解】Q 数列{}n a 是公比为2的正项等比数列，m a 、n a 满足21024n m n a a a <<，由等比数列的通项公式得11111122210242n m n a a a ---⋅<⋅<⋅，即19222n m n -+<<，10222m n -∴<<，可得110m n <-<，且m 、n 都是正整数，求()21m n -+的最小值即求在110m n <-<，且m 、n 都是正整数范围下求1m -最小值和n 的最小值，讨论m 、n 取值. ∴当3m =且1n =时，()21m n -+的最小值为()23115-+=.故选：B ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数性质等基础知识，考查数学运算求解能力和分类讨论思想，是中等题．11．已知实数ln333,33ln 3(n ),l 3a b c ==+=，则,,a b c 的大小关系是( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b << 【答案】B【解析】【分析】 根据41ln33<<，利用指数函数对数函数的单调性即可得出． 【详解】 解：∵41ln33<<， ∴33ln36b =+>，43336a <<<，34643327c ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭． ∴c a b <<．故选：B ．【点睛】本题考查了指数函数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 12．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，点P 椭圆上，且PF AF ⊥，若1tan 2PAF ∠=，则椭圆的离心率e 为（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．23【答案】C【解析】【分析】不妨设P 在第一象限，故2,b P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据1tan 2PAF ∠=得到2120e e --=，解得答案. 【详解】不妨设P 在第一象限，故2,b P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21tan 2b a PAF ac ∠==+，即2220a ac c --=， 即2120e e --=，解得12e =，1e =-（舍去）. 故选：C .【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。