第二讲 基本初等函数
第二章基本初等函数
第二章基本初等函数金乡高中 金 瑜§2．1指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算（三课时）第一课时：教学目标：1.理解n 次方根、根式的概念；2.正确运用根式运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。
教学重点：根式的概念、运算性质 教学难点：根式概念的理解 教学方法：学导式 教学过程：（Ⅰ）创设情景；阅读问题1、问题2，认识将指数的取值范围进行推广的重要性和必要性。
（Ⅱ）复习回顾 引例：填空（1）；a 0= （a ； *)n n aa a a n N =⋅∈个（)0≠__＝na -)N n ,0a (*∈≠ (2) a m a n =____ (m,n ∈Z)；(a m )n =___(m,n ∈Z)； (ab)n =___(n ∈Z) （3）； -；___9=_____9=______0=（4）；)0a _____()a (2≥=________a 2=(1)(2)复习整数指数幂的概念和运算性质；(3)(4)复习平方根的概念（Ⅲ）讲授新课22=4 ，（-2）2=4 2，-2叫4的平方根⇒23=8 2叫8的立方根； （-2）3=-8-2叫-8的立方根 ⇒⇒25=32 2叫32的5次方根 … 2n =a 2叫a 的n 次方根 ⇒⇒1.n 次方根的定义：（板书）一般地，如果，那么x 叫做a 的n 次方根（ th root ）,其中，且。
n x a =n 1n >n N *∈问题1：n 次方根的定义给出了，x 如何用a 表示呢？是否正确？na x =分析过程：例1．根据n 次方根的概念，分别求出27的3次方根，-32的5次方根，a 6的3次方根。
（要求完整地叙述求解过程）结论1：当n 为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n 次方根是正数，负数的n 次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。
此时，a 的n 次方根可表示为。
na x =从而有：，，3273=2325-=-236a a =例2．根据n 次方根的概念，分别求出16的4次方根，-81的4次方根。
专题二：基本初等函数
专题二：函数、基本初等函数的图象与性质【知识链接】一、函数的有关概念：设A,B 非空的集合，如果按照某种确定的对应关系f 使对于集合A 中的任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的是)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数。
1.函数的三要素：⎪⎩⎪⎨⎧对应法则值域定义域2.函数相等：如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，则这两个函数相等。
3.函数的表示法：⎪⎩⎪⎨⎧关系式法图像法列表法4.函数的定义域： ①分式的分母不为0②根式的被开方数大于或等于0③对数的真数大于0，底数大于0且不等于1 ④零次幂的底数不等于0⑤三角函数中的正切x y tan =；)(2Z k k x ∈+≠ππ⑥已知函数)(x f 的定义域为D ，求函数)]([x g f 的定义域，只需D x g ∈)(⑦已知函数)]([x g f 的定义域，求函数)(x f 的定义域，只需{})(x g y y x =∈，即)(x g 的值域。
二、函数的基本性质⎪⎩⎪⎨⎧周期性奇偶性单调性注意：①若)()(x f a x f =+，则)(x f 是周期为a 的周期函数；若)()(x f a x f -=+则)(x f 是周期为a 2的周期函数；若)0()(1)(≠=+a x f a x f 恒成立，则)(x f 是周期为a 2的周期函数；若)0()(1)(≠-=+a x f a x f 恒成立，则)(x f 是周期为a 2的周期函数。
②若函数)(x f y =有两条对称轴)(,b a b x a x ≠==，则)(x f y =必是周期函数，且周期为b a T -=2③若)(x f y =图像有两个对称中心))(0,(),0,(b a b B a A ≠，则)(x f y =是周期函数，且周期为 b a T -=2④若)(x f y =的图像有一条对称中心)0,(a A 和一条对称轴)(b a b x ≠=，则函数必是周期函数且 周期为b a T -=4⑤若)()(x b f a x f -=+，则函数)(x f 的图像关于2ba x +=轴对称。
02 复合函数、反函数、初等函数
y ax
(a 1)
• (0,1)
11
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3. 对数函数 y loga x (a 0,a 1)
y ln x
y loga x
(1,0)
•
(a 1)
y log 1 x
a
12
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4. 三角函数
正弦函数 y sin x
y sin x
13
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幂函数 指 对数 数函 函数 数 三角函数 反三角函数
23
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幂函数 y = x α （∈R），
指数函数 y = a x （a ＞0,且 a ≠1） 对数函数 y = log a x (a＞0,且a≠1) 三角函数 y = sin x , y = cos x
y = tan x , y = cot x 反三角函数 y = arcsin x , y = arccos x
例 如 y x3 , x R是 单 射 ， 其反函数为x 3 y, y R 通常写作y 3 x, x R
7
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y 反函数y ( x)
Q(b, a )
直接函数y f ( x)
o
P(a, b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x对称.
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三、初等函数
余割函数 y csc x 1
sin x
y csc x
18
第二章基本初等函数(I)复习课
(2) 32 3, (3)2 3, (3)2 3.
(3) 2 2, (2) 2, （ 2） 2.
4 4 4 4 4 4
结论:an开偶次方根,则有 n a n | a | .
式子
n
a 对任意a ∊ R都有意义.
n
公式1.
a
n
n
a.
适用范围: ①当n为大于1的奇数时, a∈R.
第二章基本初等函数 复习课
整数指数幂
定义
有理指数幂
无理指数幂
指数
对数
运算性质
定义
定义
指数函数
图象与性质
对数函数
图象与性质
幂函数
1.整数指数幂的运算性质 (1)am· an=am+n (m,n∈Z) (2)am÷an=am-n (a≠0,m,n∈Z) (3)(am) n =amn (m,n∈Z) (4)(ab)n=anbn (n∈Z) 2.根式
*
(1)ar· as=ar+s (a＞0，r,s∈Q)； (2)ar÷as=ar-s (a＞0，r,s∈Q)； (3)(ar)s=ars (a＞0，r,s∈Q)； (4)(ab) r=arbr (a＞0，b＞0，r∈Q)
*一般地，当a>0且是一个无理数时,也是一个确定的实数,故以上 运算律对实数指数幂同样适用.
；
x
x
5
4.5
4
3.5
fx = 1.7x
2.5 2 1.5 1
3
1.7
2. 5
<
1 .7
3
0.5
-2
-1
1
2
3
4
5
6
-0.5
高三数学一轮复习 1.2 函数、基本初等函数的图象与性质学案
专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第二讲函数、基本初等函数的图象与性质【最新考纲透析】1．函数（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。
（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。
（3）了解简单的分段函数，并能简单应用。
（4）理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。
（5）会运用函数图象理解和研究函数的性质。
2．指数函数（1）了解指数函数模型的实际背景。
（2）理解有理指数幂的含义，了解褛指数幂的意义，掌握幂的运算。
（3）理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点。
（4）知道指数函数是一类重要的函数模型。
3．对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。
（2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。
（3）知道对数函数是一类重要的函数模型。
（4）了解指数函数xy a=与对数函数log ay x=互为反函数（0,1a a>≠且）。
4．幂函数（1）了解幂函数的概念（2）结合函数12321,,,,y x y x y x y y xx=====的图象了解它们的变化情况。
【核心要点突破】要点考向一：基本初等函数问题考情聚焦：1．一元二次函数、指数函数、对数函数和幂函数是最重要的基本初等函数，在每年高考中都有涉及到直接考查它们定义、定义域和值域、图象和性质的问题。
2．常与函数的性质、方程、不等式综合命题，多以选择、填空题的形式出现，属容易题。
考向链接：1．一元二次、二次函数及指数\对数函数和幂函数的定义、定义域、值域、图象和性质是解决此类题目的关键，同时要注意数形结合、化归和分类讨论思想的应用。
2.熟记幂和对数的运算性质并能灵活运用。
例1：（2010·全国高考卷Ⅱ文科·Ｔ4）函数y=1+ln（x-1）(x>1)的反函数是（A）y=1xe+-1(x>0) (B) ）y=1x e-+1(x>0)(C) y=1x e+-1(x ∈R) (D）y=1x e-+1 (x ∈R)【命题立意】本题考查了反函数的概念及其求法。
2022版高考数学大一轮复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第2讲函数的基本性质1
第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第二讲函数的基本性质练好题·考点自测1.下列说法中正确的个数是() (1）若函数y=f(x）在[1，+∞）上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，+∞).(2）对于函数f（x），x∈D,若对任意x1，x2∈D(x1≠x2）,有（x1-x2）［f（x1）-f（x2)］〉0,则函数f（x）在区间D上是增函数。
(3)若函数y=f（x+a)是偶函数,则函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称。
（4）若函数y=f(x+b）是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点（b,0)中心对称。
(5)已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数,若f（x）在(-∞,0)上是减函数，则f（x）在(0，+∞)上是增函数。
(6)若T为函数y=f(x）的一个周期，那么nT（n∈Z）也是函数f(x)的周期。
A.3 B。
4 C.5 D。
62。
［2019北京，3,5分]［文］下列函数中,在区间（0,+∞)上单调递增的是(）A。
y=x12 B.y=2-xC.y=lo g12x D.y=1x3.[2019全国卷Ⅱ，6,5分]［文］设f（x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=e x—1，则当x<0时，f（x）=()A .e —x —1B .e -x +1C .—e —x —1 D.—e -x +14.［2020山东，8,5分］若定义在R 的奇函数f (x )在（—∞,0）上单调递减，且f (2)=0，则满足xf （x —1)≥0的x 的取值范围是( )A.［—1，1]∪［3，+∞）B.［-3,-1］∪［0,1] C 。
[—1,0]∪[1，+∞） D 。
［-1,0］∪[1，3］5.［2021大同市调研测试］已知函数f （x ）=ax 3+b sin x +c ln(x +√x2+1)+3的最大值为5,则f （x )的最小值为 ( ）A.—5 B 。
1 C .2 D.36.[2020福州3月质检]已知f (x )是定义在R 上的偶函数,其图象关于点(1,0)对称。
高考数学二轮复习课件函数基本初等函数I的图象与性质
[点评] 本例第二题是历史上有名的函数“狄利克雷”函 数，这个函数的著名的性质之一就是其为周期函数，任何非零 实数都是其周期，这个函数没有最小正周期．函数的奇偶性和 周期性都是函数在其定义域上的整体性质，即对定义域内任意 的一个自变量都满足的性质，在证明函数的奇偶性和周期性 时，一定要注意这个特点，如本题中我们在证明D(x)为偶函数 时，就是对定义域内任意无理数证明其满足偶函数的定义，也 得证明对定义域内任意有理数也满足偶函数的定义，缺少任何 一个方面的证明都是不完整的，作出的结论也就可能是错误 的．本例第一题是求函数的定义域，求函数定义域的主要依 据：①分式的分母不为零；②偶次方根被开方数不小于零；③ 对数函数的真数必须大于零；④指数函数和对数函数的底数必 须大于零且不等于1.
结论错误的是( ) A．D(x)的值域为{0,1} B．D(x)是偶函数
C．D(x)不是周期函数 D．D(x)不是单调函数
[思考流程] (1)(分析)观察所给函数解析式的形式 ⇨ (推理) 利用对数、分式和根式有意义的条件列出不等式组 ⇨ (结论) 解不等式组并求交集得出函数的定义域．
(2)(分析)欲判断选项结论需根据新函数定义和函数性质进 行 ⇨ (推理)根据D(x)的定义，利用函数值域、偶函数、周期 函数、函数单调性概念，逐项作出判断 ⇨ (结论)参照选项作 出选择．
► 探究点一 函数的概念的理解和性质的应用
例1
(1)[2012·山东卷]
函数f(x)＝
1 lnx＋1
＋
4－x2 的
定义域为( )
A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2]
D．(－1,2]
(2)[2012·福建卷]
设函数D(x)＝
高中数学课件第二章-基本初等函数
2
∴ f (x) 1 的零点为 9 , 2 5 .
4
82
题型分类 深度剖析
题型一 零点的判断 【例1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点.
(1)f（x）=x2-3x-18，x∈［1，8］； (2)f（x）=log2(x+2)-x，x∈［1，3］. 思维启迪第（1）问利用零点的存在性定理或 直接求出零点，第（2）问利用零点的存在性定理 或利用两图象的交点来求解.
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象
与x轴的交点 __(_x_1,_0_)_,__ __(_x_2_,_0_)__
零点个数
__两__个__
__(_x_1,_0_)__ _一__个__
无交点 _无__
3.二分法 （1）二分法的定义
对于在区间［a，b］上连续不断且_f_(_a_)_·__f(_b__)_<_0_的 函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区 间__一__分__为__二__,使区间的两个端点逐步逼近_零__点__,进 而得到零点近似值的方法叫做二分法. （2）用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 第一步，确定区间［a，b］，验证_f_(_a_)_·__f_(_b_)_<_0__,
（2）利用图象求解.
解 （1）方法一 ∵ g(x) x e2 2 e2 2 e, x
等号成立的条件是x=e.
故g(x)的值域是[2e，+∞)，
4分
因而只需m≥2e，则 g(x)=m就有零点.
6分
方法二 作出g(x) x e2 的图象如图： x
4分
可知若使g(x)=m有零点，则只需m≥2e.
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第二讲 基本初等函数
考点一 指数运算与对数运算
1、 已知
a
23+b23=4, x=a+3a13b23，y=b+3a23b13，求(x+y)23+(x−y)2
3
的值。
2、 已知
x
12+x−1
2
=a
,求下列各式的值：
⑴
x+
1
x
⑵
x32−x
−
3
2
x12−x
−
1
2
3、设a, b, c 都是正数，且3
a=4b=5c
,那么（ ）
A 1c=1a+1b B 2c=2a+1b
C 1c=2a+2b D 2c=1a+2b
4、已知a=(2+√3)−1,b=(2−√3)−1, 求(a+1)−2+(b+1)−2.
5、分别求出下列各式的x的值：
⑴
x=log
27
1
9
⑵
log
1
2
x=−4
⑶ logx8=−3
6、证明：
⑴
log
amxn=nmloga
x
⑵
log
a
b=
logcb
log
c
a
考点二 指数函数&对数函数
1． ○1如果log
a3>𝑙𝑙𝑙𝑙gb
3>0，那么a，b间的关系是________
A. 0
2已知0
a(xy)<0 B. 0< loga
(xy)
<1
C. 1< log
a(xy)<2 D. loga
(xy)
>2
○
3已知函数f(x)=log
2
(x2−ax+3a)在区间[2,+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是
__________.
A. (−∞,4) B. (-4, 4]
C. (-∞,−4)∪[2,+∞) D. [-4, 2)
2. 已知f(x)=|2
x
−1|,a
A. a<0, b<0, c<0 B. a<0, b>0, c<0
C. 2−a<2c D. 2
a+2c
<2
3．x
−2=2x
的解的个数是_______
A 1 B 2 C 3 D 4
练习
1．已知函数f(x)=−22x−a+1.
⑴ 求证：f（x）的图像关于点M(a, -1)对称；
⑵ 若f(x)≥−2
x
在x≥a上恒成立，求实数a的取值范围。
2．已知关于x的方程a∙4
x+b∙2x
+c=0,（ a≠0）中，常数a、b同号而b，c异号，则
下列结论中正确的是（ ）
A 此方程无实根；
B 此方程有两个互异的负实根；
C 此方程有两异号实根；
D 此方程仅有一个实根。
3. 已知函数f(x)=loga1+x1−x (a>0, a≠1).
1求函数f(x)的定义域；
2 求使f(x)>0的x的取值范围。
考点三 二次函数&&幂函数
方程的根
1、用二分法求f(x)=x
3
−x−1在区间[1, 1.5]内的一个零点（精确到0.1）
2、设二次函数f(x)==x 求实数a的取值范围。 3、设二次函数f(x)=x 2 ○ ○ 2−x1 恒成立问题： 1 2 5、已知a>0，f(x)=ax−bx ○ ○ 数形结合 x 7、已知二次函数f(x)= ax f(x)≥x. ○ ○
2
+ax+a, 方程f(x)-x=0 的两根为x1、x2，且满足0
2
+x+c (c>0). 若f(x)=0有两个实数根x1、x2，（x1
）
1求正实数c的取值范围。
2求x
的取值范围。
○
3如果存在一个实数m，使得f(m)<0, 求证：m+1>x2.
4、 若不等式x
2
+ax+1≥0对一切x∈�0,
�
成立。试求a的取值范围。
2
.
1当b>0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1, 证明：a≤2√b.
2当b>1时，证明：对任意x∈[0,1], |f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤2√b.
6、已知f(x)=ax
2
+bx+c的图像过（-1,0）点，是否存在常数a, b, c，使不等式x≤f(x)≤12(1+
2
)对一切x∈R都成立？若存在，求出其表达式。
2
+bx+c (a, b, c∈R), 满足f(1)=1且f(-1)=0, 对于任意实数x，有
1证明：a>0, c>0;
2设g(x)=f(x)-mx (x∈R), 求m的取值范围，使g(x)在区间[-1, 1]上是单调函数。