基本初等函数(整理)
(整理)基本初等函数.
函数的概念1．函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。
记作：y =f (x )，x ∈A 。
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )| x ∈A }叫做函数的值域。
注意：（1）“y =f (x )”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y =g(x )”；（2）函数符号“y =f (x )”中的f (x )表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x 。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 3．两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A 、值域C 和对应法则f 。
当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。
因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。
4．区间（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示。
5．映射一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。
记作“f ：A →B ”。
映射和函数的区别：映射是两个集合之间的对应关系，集合A 所有元素在B 中有元素对应，集合B 中的元素在A 中不一定有对应的元素。
但是函数，自变量x 所有的值在因变量y 里面都有对应，而因变量y 的所有元素在自变量x 中也有对应； 6．分段函数若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数； 7．复合函数若y =f (u)，u=g(x ),x ∈(a ，b )，u ∈(m,n)，那么y =f [g(x )]称为复合函数，u 称为中间变量，它的取值范围是g(x )的值域。
(完整版),基本初等函数公式总结,推荐文档
( f g)dx f dx gdx kfdx k f dx
运算公式：
fg dx f dg fg g df
分部积分法计算法则
对
幂
指
三
ln x
x
ex
sin x 、 cos x
两两组合，位置排在前面的选 f ，排列在后面的选 g
dx c dx
1 dx d ln x x
凑微分公式 1 dx 2d x x
导数公式
(c) 0 (0) 0
(x) 1 (x2 ) 2x
(log a
x)
1 x ln a
(ln x) 1 x
(sin x) cos x (cos x) sin x
1 0
1 x
1 x2
(a x ) a x ln a
( f g) ( f ) (g) ( fg) ( f )g f (g) (kf ) k( f )
0 dx c
1 dx x c
x
dx
1 2
x2
c
1 x2
dx 1 c x
不定积分公式
1 x
dx 2
x c
ax dx ax c
ln a
不定积分运算法则： 加减法，数乘
x
dx
2
3
x2
c
3
xa dx 1 xa1 c
a 1
1 x
dx
ln |
x | c
ex dx ex c sin x dx cos x c cos x dx sin x c
(x a ) ax a1
( x) 1 2x
(e x ) e x
f g
(
f
)g g2
f
(g)
高一数学必修一第二章基本初等函数知识点总结
在 R 上是减函数
函数值的 变化情况
a 变化对
图象的影 响
y＞1(x ＞ 0), y=1(x=0), 0 ＜ y＜1(x ＜ 0)
y＞ 1(x ＜ 0), y=1(x=0), 0 ＜ y＜ 1(x ＞ 0)
在第一象限内， a 越大图象越高，越靠近 y 轴； 在第一象限内， a 越小图象越高，越靠近 y 轴； 在第二象限内， a 越大图象越低，越靠近 x 轴． 在第二象限内， a 越小图象越低，越靠近 x 轴．
y
f ( x) 中反解出 x
1
f ( y) ；
③将 x f 1( y ) 改写成 y f 1 ( x) ，并注明反函数的定义域．
（ 8）反函数的性质
①原函数 y
f (x) 与反函数 y
1
f ( x) 的图象关于直线 y
x 对称．
②函数 y f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y f 1 (x ) 的值域、定义域． ③若 P(a,b) 在原函数 y f (x ) 的图象上，则 P' (b, a) 在反函数 y f 1(x ) 的图象上．
③根式的性质： (n a )n a ；当 n 为奇数时， n an
a ；当 n 为偶数时， n an | a |
a (a 0)
．
a (a 0)
（ 2）分数指数幂的概念
m
①正数的正分数指数幂的意义是： a n n a m (a 0, m, n N , 且 n 1) ． 0 的正分数指数幂等于 0．②正数的负分数
设一元二次方程 ax 2 bx c 0( a 0) 的两实根为 x1, x2 ，且 x1 x2 ．令 f ( x) ax 2 bx c ，从以下四个方
面来分析此类问题：①开口方向： a ②对称轴位置： x
基本初等函数知识总结
基本初等函数知识总结含义:常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数1.常数函数（y=C）（1）定义域: D（f）＝（-∞，+∞）（2）值域: Z(f)=C(3) 性质: 它的图像是一条平行于x轴并通过点(0，C)在y轴上截距为C的直线(4 )图像：(5)周期性：常值函数是一个周期函数. 因对于任何x∈(-∞,+∞)和实数T，f(x+T)=f(x)=T,但并无最小正周期【注】常值函数不含自变量且不存在反函数2.幂函数(1)定义：形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数.(2)性质：在(0，+∞)内总有意义①当α＞0时函数图像过点(0，0)和(1，1)，在(0，+∞)内单调增加且无界②当α＜0时函数图像过点(1，1)，在(0，+∞)内单调减少且无界(3)图像：3.指数函数y=a^x(a>0且a≠1)(1)定义域：x∈R(2)值域：(0，+∞)(3)性质：①单调性：1.当0＜a＜1时，在(-∞，+∞)内单调减少 2.当a ＞1时，在(-∞，+∞)内单调增加②奇偶性：非奇非偶函数③周期性：非周期函数④有界性：无界函数(4)图像：①由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。
②由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。
③指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低” 如图：(5)运算法则：①②③④4.对数函数y=logax（a>0 且a≠1）(1)定义：如果a^x=N（a>0，且a ≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数一般地，函数y=logax（a>0，且a ≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数(2)定义域：(0，+∞)，即x>0(3)值域：R(4)性质：①单调性：1.当0＜a＜1时，在(0，+∞)内单调减少 2.当a ＞1时，在(0，+∞)内单调增加②奇偶性：非奇非偶函数③周期性：非周期函数④有界性：无界函数(5)图像：【注】①负数和零没有对数②1的对数是零③底数的对数等于1(6)常用法则/公式：5.三角函数⑴正弦函数y=sin x(1)定义：对边与斜边的比(2)定义域：R(3)值域：【-1，1】(4)最值：1.当X=2Kπ(K∈Z)时，Y 取最大值1 2.当X=2Kπ+3π/2(K∈Z时，Y取最小值－1(5)性质：①周期性：最小正周期都是2πT=2π②奇偶性：奇函数③对称性：对称中心是(Kπ,0)，K ∈Z；对称轴是直线x=Kπ+π/2，K ∈Z④单调性：在[2Kπ-π/2,2Kπ+π/2]，K∈Z上单调递增；在[2Kπ+π/2,2Kπ+3π/2]，K∈Z上单调递减⑤有界性：有界函数(6)图像：(2)余弦函数y=cos x(1)定义：邻边与斜边之比(2)定义域：R(3)值域：【-1，1】(4)最值：1.当X=2Kπ +π /2(K∈Z)时，Y取最大值1 2.当X=2Kπ +π (K∈Z)时，Y取最小值－1(5)性质：①周期性：最小正周期都是2πT=2π②奇偶性：偶函数③对称性：对称中心是(Kπ+π/2,0)，K∈Z；对称轴是直线x=Kπ，K∈Z④单调性：在[2Kπ,2Kπ+π]，K∈Z上单调递减；在[2Kπ+π,2Kπ+2π]，K∈Z上单调递增⑤有界性：有界函数(6)图像：(3)正切函数y=tan x(1)定义：对边与邻边之比(2)定义域：{x∣x≠Kπ+π/2,K∈Z}(3)值域：R(4)最值：无最大值和最小值(5)性质：①周期性：最小正周期都是πT=π②奇偶性：奇函数③对称性：对称中心是(Kπ/2,0)，K∈Z④单调性：在[Kπ-π/2,Kπ+π/2]，K∈Z上单调递增⑤有界性：无界函数(6)图像：(4)余切函数y=cot x(1)定义：在直角三角形中，某锐角的相邻直角边和相对直角边的比，叫做该锐角的余切。
六大基本初等函数图像及其性质(可编辑修改word版)
1. 幂函数的图像：2. 幂函数的性质；性质函数 定义域 y R R R [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R O奇偶性 奇 偶奇 [0,+∞)x非奇非偶 {y|y ≠0}奇 单调性 增[0,+∞) 增 (-∞,0] 减增 增(0,+∞) 减 (-∞,0) 减公共点（1,1）六 大 基 本 初 等 函 数 图 像 及 其 性 质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中 C 为常数）；常数函数（ y = C ）C ≠ 0 C = 0 yOxyxO平行于 x 轴的直线y 轴本身 定义域 R定义域 R二、幂函数 y = x ， x 是自变量，是常数；1） 当α为正整数时，函数的定义域为区间为 x ∈ (-∞,+∞) ，他们的图形都经过原点，并当α>1 时在原点处与 x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于 y 轴对称；2） 当α为负整数时。
函数的定义域为除去 x=0 的所有实数； 3） 当α为正有理数m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的n定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4） 如果 m>n 图形于 x 轴相切，如果 m<n,图形于 y 轴相切，且 m 为偶数时，还跟 y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；(0,1) Oxb.1.当 a > 1 时，a 值越大， y = ax在（- ∞，+ ∞）是减函数在（- ∞，+ ∞）是增函数单调性公共点奇偶性 O值域非奇非偶性质定义域(0,1) R (0,1)过点(0，1)，即 x = 0 时， y = 15） 当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除 x=0 以外的一切实数。
三、指数函数 y = a x( x 是自变量, a 是常数且a > 0 ， a ≠1)，定义域是 R ； [无界函数]1. 指数函数的图象：2. 指数函数的性质；yyx(0，+∞) Ox1） 当 a > 1 时函数为单调增,当 0 < a < 1时函数为单调减； 2） 不论 x 为何值, y 总是正的,图形在 x 轴上方；3） 当 x = 0 时, y = 1,所以它的图形通过(0,1)点。
六大初等函数
六大初等函数
在数学中，初等函数是指可以用有限次基本运算与求导来表示的函数。
在高中数学中，常见的六大初等函数包括：
1. 常数函数：y = c （c为常数）
2. 幂函数：y = x^n （n为正整数）
3. 指数函数：y = a^x （a>0，且a≠1）
4. 对数函数：y = loga(x) （a>0，且a≠1）
5. 三角函数：y = sin(x)、y = cos(x)、y = tan(x) （x为弧度）
6. 反三角函数：y = arcsin(x)、y = arccos(x)、y = arctan(x) （x为实数）
这六大初等函数在数学中应用广泛，是数学学习的基础。
其中，常数函数和幂函数是最基本的函数，指数函数和对数函数则在科学计算、物理学、化学等领域中被广泛应用，三角函数和反三角函数则在几何学、物理学、信号处理等领域中有重要作用。
了解和掌握这些初等函数的概念、性质和应用，对于进一步学习高等数学和应用数学都至关重要。
- 1 -。
基本初等函数知识点
基本初等函数知识点一、引言在数学中，初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）以及复合运算得到的函数。
基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及反三角函数。
本文将详细介绍这些基本初等函数的定义、性质和图像。
二、常数函数定义：常数函数 \( f(x) = c \)，其中 \( c \) 是一个实数常数。
性质：常数函数的图像是一条平行于 \( x \) 轴的直线，其所有点的函数值都等于常数 \( c \)。
图像：见附录图1。
三、幂函数定义：幂函数 \( f(x) = x^n \)，其中 \( n \) 是实数。
性质：幂函数的性质取决于指数 \( n \) 的值。
当 \( n \) 为正整数时，函数图像是 \( n \) 次幂的曲线；当 \( n \) 为负整数时，函数图像是倒数的幂函数曲线。
图像：见附录图2。
四、指数函数定义：指数函数 \( f(x) = a^x \)，其中 \( a > 0 \) 且 \( a\neq 1 \)。
性质：指数函数的底数 \( a \) 决定了函数图像的形状。
当 \( a > 1 \) 时，函数是增长的；当 \( 0 < a < 1 \) 时，函数是衰减的。
图像：见附录图3。
五、对数函数定义：对数函数 \( f(x) = \log_a(x) \)，其中 \( a > 0 \) 且\( a \neq 1 \)。
性质：对数函数是指数函数的逆函数。
当 \( a > 1 \) 时，函数是单调增加的；当 \( 0 < a < 1 \) 时，函数是单调减少的。
图像：见附录图4。
六、三角函数1. 正弦函数 \( \sin(x) \)2. 余弦函数 \( \cos(x) \)3. 正切函数 \( \tan(x) \)定义：这些函数与单位圆上的点的坐标有关。
性质：三角函数具有周期性，它们的周期为 \( 2\pi \)。
六大基本初等函数图像及性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）0≠C0=C平行于x 轴的直线y 轴本身 定义域R定义域R二、幂函数 αx y = ，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数x y =2x y =3x y =21xy =1-=x y定义域 R R R [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增[0,+∞) 增 增 增(0,+∞) 减 (-∞,0] 减(-∞,0) 减公共点（1,1）xyOxy =2x y =3x y =1-=xy 21xy =O=y xCy =Oxyy1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；性质函数x a y =)1(>ax a y =)10(<<a定义域 R 值域(0，+∞) 奇偶性 非奇非偶公共点过点(0，1)，即0=x 时，1=y单调性在），（∞+∞-是增函数 在），（∞+∞-是减函数 1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
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1.1 初等函数图象及性质 1.1.1 幂函数
1函数 （μ 是常数） 叫做幂函数。
2幂函数的定义域，要看μ 是什么数而定。
但不论μ 取什么值，幂函数在(0,+ ∞ )总有定义。
3最常见的幂函数图象如下图所示：[如图]
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
-551015
4①α＞0时，图像都过（0,0）、（1,1）点，在区间（0，+∞）上是增函数； 注意α＞1与0<α＜1的图像与性质的区别.
②α＜0时，图像都过（1,1）点，在区间（0，+∞）上是减函数；在第一象限，图像向上无限接近y 轴，向右无限接近x 轴. ③当x>1时，指数大的图像在上方.
1.1.2 指数函数与对数函数 1．指数函数
1函数 （a 是常数且a>0,a ≠ 1）叫做指数函数，它的定义域是区间(-∞ ,+∞ )。
2因为对于任何实数值x ，总有，又，所以指数函数的图形，总在x 轴的上方，且通过点(0,1)。
若a>1，指数函数是单调增加的。
若0<a<1，指数函数是单调减少的。
a ＞1 0＜a ＜ 1
图 象
性 质
(1)定义域：R (2)值域：(0，＋∞) (3)过点(0，1) (4)在R 上增函数
(4)在R 上减函数
有理指数幂的意义、幂的运算法则：
①m
n
m n
a a a
+⋅=；②()m n mn
a a
=；③()n n n
ab a b =（这时m,n 是有理数）
分数指数幂：n
m
n m
n n
n m n
m n
n
a
a a
a
a a a a 1
,1,,1====
-
-。
2．对数函数
由此可知 ，今后常用关系式 ，
如：
指数函数的反函数，记作 （a 是常数且a>0，≠ a1），叫做对数函数。
它的定义域是区间(0,+∞ )。
对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x 对称（图1-22）。
的图形总在y 轴上方，且通过点(1,0)。
若a>1，对数函数是单调增加的，在开区间(0,1)函数值为负，而在区间(1,+∞ )函数值为正。
若0<a<1，对数函数是单调减少的，在开区间(0,1)函数值为正，而在区间(1,+∞ )函数值为负。
[如图]
对数函数的图象和性质
重要公式：
⑴负数与零没有对数； ⑵log a 1＝0，log a a ＝1
⑶对数恒等式N a
N
a =log
(4) log a a b ＝b 运算法则
若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；
(2)log a M
N ＝log a M －log a N ；
(3)1
log log ;log log n
a a a a M n M M n
==
对数换底公式：
log a N ＝log m N
log m a (a ＞0，a ≠1，m ＞0 ，m ≠1，N ＞0)
1.1.3 三角函数与反三角函数
1．三角函数
，奇函数、有界函数、周期函数；
，偶函数、有界函数、周期函数；
，的一切实数，奇函数、
周期函数
，的一切实数，奇函数、
周期函数；
，
；；
正弦函数和余弦函数都是以2π为周期的周期函数，它们的定义域都是区间(-∞ ,+∞ )，值域都是必区间[-1,1]。
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
正切函数和余切函数都是以π为周期的周期函数，它们都是奇函数。
[如图]
；。
双曲函数与反双曲函数双曲正弦：，奇函数，单调增函数；
双曲余弦：，偶函数，时，单调减，时，单调增；
双曲正切：，奇函数，单调增函数。
函数的图形见书P27~P28。
下面公式成立
，
，
，。
反双曲正弦
反双曲余弦，
反双曲正切
函数图形的变换
平移
①由的图形，作的图形。
图形右移，，图形左移。
如：由图形作的图形。
由的图形作的图形。
②由的图形作的图形。
，图形上移，，图形下移。
如：由的图形作的图形。
翻转
①由图形作的图形。
（以轴为对称轴翻）
如：由的图形作的图形。
②由图形作的图形。
（以轴为对称轴翻）如：由的图形作的图形。
迭加与放缩（略）。