7函数
新教材高中数学7正切函数7-3正切函数的图象与性质课件北师大版必修第二册

(A )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
(2)若函数y=3tanωx+π6的最小正周期是π2,则ω=__±__2__.
题型四
数形结合思想—利用图象解三角不等式
例 4 观察正切曲线,解不等式tan x>1.
[分析] 的解集.
先确定在一个周期 -π2,π2 内的x值的范围,再写出不等式
以tanπ4<tan25π,-tanπ4>-tan25π,
即tan-134π>tan-125π.
[归纳提升] 1.求函数y=Atan(ωx+φ)(A,ω,φ都是常数)的单调 区间的方法
(1)若ω>0,由于y=tan x在每一个单调区间上都是单调递增的,故 可用“整体代换”的思想,令kπ-π2<ωx+φ<kπ+π2,求得x的范围即可.
∈Z,所以函数y=tan 12x-π4 的单调递增区间是 2kπ-2π,2kπ+32π (k∈ Z).
(2)由于tan
-134π
=tan
-4π+34π
=tan
3π 4
=-tan
π 4
,tan
-125π
=-
tan2π+25π=-tan25π,又0<π4<25π<π2,而y=tan x在0,π2上单调递增,所
(2)若ω<0,可利用诱导公式先把y=Atan(ωx+φ)转化为y=Atan [- (-ωx-φ)]=-Atan(-ωx-φ),即把x的系数化为正值,再利用“整体代 换”的思想,求得x的范围即可.
2.运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. (2)运用单调性比较大小关系.
7-函数的连续性省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件

单调递增 (递减). (证实略)
比如,
y
sin
x
在
[
2
,
2
] 上连续单调递增,
其反函数 y arcsin x 在 [-1 , 1] 上也连续单调递增.
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又如, y ex 在 ( , ) 上连续单调 递增, 其反函数 y ln x 在 ( 0, ) 上也连续单调递增.
定理3. (连续函数复合函数是连续)
x0
x) x
loga
e
例2. 求 lim a x 1. x0 x
解: 令 t a x 1, 则 x loga (1 t) ,
原式 lim t ln a t0 loga (1 t)
说明: 当 a e, x 0 时, 有 ln(1 x) ~ x, ex 1 ~ x
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3
例3. 求 lim(1 2x)sin x .
x , 1 x
f (x) 0
当 x 1 时, x , f (x) 1 1 x
故 x 1 为跳跃间断点.
在 x 0, 1处, f (x) 连续.
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内容小结
1. f (x) 在点 x0 连续等价形式
lim
x x0
f
(x)
f (x0 )
lim [
x0
f
( x0
x)
f
(x0 )]
0
f (x0 ) f (x0 ) f (x0 )
左连续 右连续
2. f (x) 在点 x0 间断类型
可去间断点 第一类间断点 跳跃间断点 左右极限都存在
第二类间断点
无穷间断点 振荡间断点
左右极限最少有一 个不存在
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§2-7 函数的凸性

§2-7 函数的凸性·勾画函数图形的方法1.凸函数 函数的“凸性”概念最初来自曲线的弯曲方向。
例如,曲线3x y =在O y 轴左边是向下弯曲的(称为上凸),而在O y 轴右边是向上弯曲的(称为下凸)(图2-28).虽然说“弯曲方向”或“凸性”这些名称是几何上的术语,但经过抽象后的凸函数理论在其他数学分支中也是很有用的.从图2-29中看出,向上弯曲(下凸)的曲线上任何两点的连线(弦)AB 的中点C 在弧 AB 的上方;而从图2-30中看出,向下弯曲(上凸)的曲线上任何两点的连线(弦)AB 的中点C 在弧 AB 的下方.根据上面几何上的启示,我们引入下面的定义:【注1】在国内早期的一些教科书(包括翻译前苏联的一些教科书)中,都把下凸函数称为“凹函数”,而把上凸函数称为“凸函数”.本书中的称呼与上面这些称呼恰好相反,但与新近一些教科书或论文中的称呼是一致的.请读者注意到这些区别.【注2】通常说“函数)(x f 在区间),(b a 内是下(上)凸函数”,若对于),(b a 内任意两点1x 和2x )(21x x ≠与任意)1,0(∈t ,都满足琴生(Jesen)不等式[]1212()(1)()(1)()f tx t x t f x t f x >+-<+-它等价于不等式())()()(22112211x f t x f t x t x t f +<+>(其中1t 和2t 为正数且121=+t t )显然,不等式(2-9)是琴生不等式的特殊情形.不过,对于连续函数来说,不等式(2-9)与琴生不等式是等价的.因此,我们就用简单的不等式(2-9)定义函数的凸性.关于两者等价性的证明,有兴趣的读者可登陆网站去看专题选讲( )【注3】若函数)(x f 在区间),(b a 内可微分,则从图2-31看出,下凸(上凸)函数的图形上,每一点处的切线都在图形的下面(上面),而且导函数)(x f '是增大(减小)的.我们也可以证明这个结论(有的教科书中就把这个结论作为凸函数的定义).图2-29图2-30x图2-28定理2-3 设函数)(x f 在区间),(b a 内可微分.若导数)(x f '在),(b a 内是增大(减小)的,则函数)(x f 在区间),(b a 内是下凸(上凸)的.从图2-31看出,逆命题也成立(在上面指出的网站上有证明).证 设1x 和2x 为区间),(b a 内任意两点(不妨认为1x <2x ).根据微分中值定理,当导数)(x f '增大(减小)时,1212121212()()1()()22222f x f x x x x x x x f f x f f x f ⎧⎫⎡⎤⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎩⎭121211221()()222x x x x f c x f c x ⎧⎫++⎛⎫⎛⎫''=-+-⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭0)]()()[(41)(1212<>'-'-=c f c f x x 其中2221112x c x x c x <<+<<,即)(2)()()2(2121)(21x x x f x f x x f <+<+>因此,函数)(x f 在区间),(b a 内是下凸(上凸)的.假若函数)(x f 在区间),(b a 内有二阶导数,那么根据定理2-3和判别函数单调性的方法(定理2-2),就有下面判别函数凸性的方法.定理2-4 设函数)(x f 在区间),(b a 内有二阶导数)(x f ''. ⑴ 若()0()f x a x b ''><<,则)(x f 在区间),(b a 内是下凸函数; ⑵ 若()0()f x a x b ''<<<,则)(x f 在区间),(b a 内是上凸函数.对于函数)(3+∞<<-∞=x x y ,由于⎩⎨⎧+∞<<><<-∞<=''x x x y 0,00,06 所以,它在区间)0,(-∞内是上凸的,而在区间),0(+∞内是下凸的(图2-28).2.拐点(变曲点) 函数图形可能在这一段上是上凸的,而在相邻的另一段上又是下凸的(如图2-28中原点的两边).这样两段弧的连接点,就称为函数图形(曲线)的拐点(曲线拐弯的点)或变曲点(曲线改变弯曲方向的点).同时,也把函数图形的拐点的横坐标称为这个函数的拐点或变曲点.若点∈0(,)x a b 是函数()f x 的拐点且有二阶导数0''()f x ,则''=0()0f x .这是因为,例如函数)(x f 在点0x 的左边近旁下凸时,由于00()()()f x f x x x ''<<,所以图2-31(1) 下凸切线(2) 上凸切线0)()(lim)(0000≥-'-'=''-→x x x f x f x f x x且函数)(x f 在点0x 的右边上凸时,由于)()()(00x x x f x f <'>',所以0)()(lim)(0000≤-'-'=''+→x x x f x f x f x x因此0()0f x ''=. 同理,若函数)(x f 在点0x 的左边上凸且在点0x 的右边下凸时,也有0)(0=''x f .但是要注意,仅有..0)(0=''x f 时.,点.0x 不一定是函数......)(x f 的拐点....例如函数4()f x x =,尽管有(0)0f ''=,但0不是函数4()f x x =的拐点, 因为2()120(||0)f x x x ''=>>,即函数4()f x x = 在原点0的两边都是下凸的(图2-32).特别,假若函数()f x 在区间-+00(,)x x δδ内有二阶导数,且''()f x 在点0x 的两边有相反的符号,则0x就是函数()f x 的拐点.此时,显然有0()0f x ''=.3.勾画函数图形的方法 在中学数学中,绘制函数图形时,用的是描点法.它的缺点是不能从整体上把握函数变化的状态.下面的绘图方法称为解析法,而它的优点正好弥补了描点法的缺陷.因此,把两者结合起来就是最好的绘图方法.例29 勾画出函数3231y x x =+-的略图.解 2363(2)y x x x x '=+=+, 666(1)y x x ''=+=+用驻点2-和0(它们有可能是极值点),与二阶导数等于0的点1-(它有可能是拐点),将函数的定义区间),(+∞-∞划分为四个小区间:),0(),0,1(),1,2(),2,(+∞-----∞,再把函数)(x f 在这些小区间内有关)(x f '和)(x f ''的信息,填在下面的表格中.我们利用导数的有关信息所画出的略图 (见图2-33),使我们能够看出函数的变化状 态.例如在哪个区间内,它是增大的或减小的, 是下凸的或上凸的;又在哪个点上取到极大值 或极小值.图2-324.函数图形的渐近线 不管是描点法,还是上面用导数的方法(即解析法),都只能画出函数图形的有限部分.对于那些能够伸向无穷远处的函数图形,当函数图形伸向无穷远时,它有可能无限接近某一直线(称它为渐近线).例如,函数x y arctan =的图形就有两条渐近线2y π=±(图2-34).因为它们与Ox 轴平行,所以称它们为水平渐近线.求水平渐近线的方法很简单.若存在有穷极限b x f x =+∞→)(lim或 b x f x =-∞→)(lim则曲线)(x f y =就有水平渐近线b y =.函数图形也可能有垂直渐近线.例如函数x y tan =的图形(图2-35)有两条垂直渐近线2x π=±.求垂直渐近线的方法也很简单.观察函数)(x f y =,若它有无穷间断点a ,即∞=-→)(lim x f ax 或 ∞=+→)(lim x f ax则曲线)(x f y =就有垂直渐近线a x =.函数图形还可能有斜渐近线b kx y +=)0(≠k .如图2-36,设曲线)(x f y =上的点(,)P x y 到直线b kx y +=的距离为d .在直角三角形PAN 中,()()f x kx b P A -+==sec d θ=按照渐近线的定义,直线b kx y +=是曲线)(x f y =的渐近线,当且仅当点P 沿曲线伸向无穷远时,有0→d ;而0→d ,当且仅当有常数k 和b ,使[]lim ()()0x f x kx b →∞-+= 或 []lim ()x f x kx b →∞-=.图2-34图2-36于是,当条件满足时,可以按下面的方法求常数k 和b : 第一步,先求斜率.k 因为xx f kx xx f k )()(-+=且 ()lim0x kx f x x→∞-=,所以 ()limx f x k x→∞=.第二步,再求截距b , 即 []lim ()x b f x kx →∞=-. 例30 求曲线1222-+-=x x x y 的渐近线.解 因为∞=→y x 1lim ,所以它有垂直渐近线1=x . 又 222limlim1(1)x x y x x k xx x →∞→∞-+===-,222lim ()lim 1x x x x b y kx x x →∞→∞⎡⎤-+=-=-⎢⎥-⎣⎦2lim11x x x →∞-+==--,所以它有斜渐近线1-=x y (图2-37).例31 勾画函数1222-+-=x x xy 的图形. 解 2)1()2(--='x x x y ,3)1(2-=''x y像例29那样,用函数的驻点0和2(没有二阶导数等于0的点),把函数的定义域分成若干小区间(注意,1=x 是间断点),并把有关信息填入下表格中:【注】 有垂直渐近线1=x 和斜渐近线1-=x y . 根据表格中提供的信息,可勾画出函数的略图(见图2-37). 习 题1.验证下列函数在所示区间内是下凸的:⑴(1),(0,)y x αα=>+∞; ⑵),(,e +∞-∞=xy ; ⑶),0(,ln +∞=x x y ; ⑷)0(,∞+=x x y . 2.验证函数)10(<<=ααx y 与x y ln =在 区间),0(+∞内是上凸的.3.求下列函数的下凸区间与上凸区间:⑴323x x y -=; ⑵x x y sin +=; ⑶2e x y -=; ⑷)1ln(2x y +=. 答案:⑴在)1,(-∞内下凸,在),1(+∞内上凸;⑵在(2,2)k k ππ+π内上凸,在(2,22)k k π+ππ+π内下凸; ⑶在,⎛-∞-⎝与⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内下凸,在⎛⎝内上凸;⑷在)1,(--∞与),1(+∞内上凸,在)1,1(-内下凸.4.设函数)()(+∞<<-∞x x f 为偶函数.若在区间)0,(-∞内有0)(>'x f 且 0)(<''x f则在区间),0(+∞内,下列哪一种情形是对的?⑴0)(,0)(<''<'x f x f ; ⑵0)(,0)(>''>'x f x f ; ⑶0)(,0)(>''<'x f x f ; ⑷0)(,0)(<''>'x f x f .提示:)()(x f x f -=. 答案:⑴ 又问:若函数)()(+∞<<-∞x x f 为连续奇函数且在区间)0,(-∞内有0)(>'x f 且 0)(<''x f那么上述情形中哪一种是对的?点0是它的拐点吗? 答案:⑵;0是拐点.5.证明下列不等式:⑴ )1,,0,0(22>≠>>+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+ααααy x y x y xy x ;⑵ )(2ee e2y x yxyx ≠+<+;⑶ ),0,0(ln ln 2ln)(y x y x y y x x y x y x ≠>>+<++.提示:选择适当的下凸函数.【注】勾画函数图形之前,要注意以下事项:①确定函数的定义域;②函数是否具有奇偶性或周期性;③求出函数的连续区间,并查明它是否有间断点;④若有零值点,求出函数的同号区间;⑤求出函数的极值点、最大(小)值点和拐点;⑥确定函数的增大或减小区间、下凸或上凸区间;⑦查明是否有渐近线;⑧查明函数是否还有其他特性.6.勾画下列函数的图形.⑴ x x y 33-=; ⑵ 2e x y -=; ⑶ 21xx y +=;⑷ xxy +=12; ⑸ x x y 1e )6(+=; ⑹ sin2x y π=.7.证明:若)(x f 在区间),(b a 内是下凸函数,则有n x f x f x f n x x x f n n )()()(2121+++≤⎪⎭⎫⎝⎛+++ 提示:先考虑k n 2=的情形(k 为正整数).对于其他情形,可取正整数m 使k m n 2=+. 8.证明:若),,2,1(0n i x i =>,则有nx x x x x x nnn +++≤2121 (几何平均值不超过算术平均值)提示:考虑下凸函数)0(ln )(>-=x x x f .。
第2章 2-7 函数的图象

第2章 2-7 函数的图象一、知识梳理1.作图(1)列表描点法其基本步骤是列表、描点、连线,首先:①确定函数的 ;②化简函数 ;③讨论函数的性质( 、 、 、 等);其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最高点、最低点、与坐标轴的交点),描点,连线.(2)图象变换法平移变换①水平平移:y =f (x ±a )(a >0)的图象,可由y =f (x )的图象向 (+)或向 (-)平移单位而得到.②竖直平移:y =f (x )±b (b >0)的图象,可由y =f (x )的图象向 (+)或向 (-)平移单位而得到.对称变换①y =f (-x )与y =f (x )的图象关于 对称.②y =-f (x )与y =f (x )的图象关于 对称.③y =-f (-x )与y =f (x )的图象关于 对称.④y =f -1(x )与y =f (x )的图象关于直线 对称.⑤要得到y =|f (x )|的图象,可将y =f (x )的图象在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方,其余部分不变.⑥要得到y =f (|x |)的图象,可将y =f (x ),x ≥0的部分作出,再利用偶函数的图象关于 的对称性,作出x <0的图象.伸缩变换①y =Af (x )(A >0)的图象,可将y =f (x )图象上所有点的纵坐标变为 , 不变而得到 ②y =f (ax )(a >0)的图象,可将y =f (x )图象上所有点的横坐标变为 的倍, 不变而得到.2.识图对于给定的函数的图象,要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的 、 、 、 、 ,注意图象与函数解析式中参数的关系3.用图函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.4.图象对称性的证明证明函数图象的对称性,即证明其图象上的任意一点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图象上. 特别提示①若f (a +x )=f (b -x ),x ∈R 恒成立,则y =f (x )的图象关于x =a +b 2成轴对称图形,若f (a +x )=-f (b -x ),x ∈R ,则y =f (x )的图象关于点(a +b 2,0)成中心对称图形. ②函数y =f (a +x )与函数y =f (b -x )的图象关于直线x =12(b -a )对称.二、考点自测1.函数y =5x 与函数y =-15x 的图象关于 ( ) A .x 轴对称 B .y 轴对称出 C .原点对称 D .直线y =x 对称2.为了得到函数y =3×(13)x 的图象,可以把函数y =(13)x 的图象 ( ) A .向左平移3个单位长度 B .向右平移3个单位长度C .向左平移1个单位长度D .向右平移1个单位长度3.为了得到函数f (x )=log 2x 的图象,只需将函数g (x )=2log 8x 的图象_______________ 4.已知下列曲线:以及编号为①②③④的四个方程: ①x -y =0; ②|x |-|y |=0;③x -|y |=0;④|x |-y =0. 请按曲线A 、B 、C 、D 的顺序,依次写出与之对应的方程的编号________.5.作出下列函数的图象:(1)y =10|lg x |; (2)y =x -|x -1|.三、热点探究热点一、作图例1.分别画出下列函数的图象:(1)y =|lg x |; (2)y =2x +2; (3)y =x 2-2|x |-1.变式迁移 1 作出下列函数的图象:(1)y =|x -2|·(x +1); (2)y =(12)|x |; (3)y =|log 2(x +1)|.热点二、识图例2.回答下述关于图象的问题:(1)向形状如右图,高为H 的水瓶注水,注满为止,若将注水量V 看作水深h 的函数,则函数V =f (h )的图象是下图中的( )(2)某学生一天早晨离家去学校,开始骑自行车,中途自行车胎破,他只好推着自行车赶到学校.若将这天早晨他从家里出来后离学校的距离d 表示为他出发后的时间t 的函数d =f (t ),则函数f (t )的大致的图象是下图中的( )变式迁移 2已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如右图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( )A .在t 1时刻,甲车在乙车前面B .t 1时刻后,甲车在乙车后面C .在t 0时刻,两车的位置相同D .t 0时刻后,乙车在甲车前面热点三、函数图象的对称性例3.已知y =f (2x +1)是偶函数,则函数y =f (2x )的图象关于直线________对称,函数y =f (x )的图象关于直线________对称.变式迁移3(1)已知函数y=f(x)的定义域为R,且当x∈R时,f(m+x)=f(m-x)恒成立,求证:y=f(x)的图象关于直线x=m对称;(2)若函数y=log2|ax-1|的图象的对称轴是x=2,求非零实数a 的值.热点四、函数图象的应用例4已知函数f(x)=|x2-4x+3|. (1)求函数f(x)的单调区间,并指出其增减性;(2)求集合M={m|使方程f(x)=mx有四个不相等的实根}.变式迁移 4 若不等式|2x -m |≤|3x +6|恒成立,求实数m 的取值.四、课时作业一、选择题1.函数y =-1x 2+2x +1的图象是( )2.函数f (x )=1+log 2x 与g (x )=2-x +1在同一直角坐标系下的图象大致是 ( )3.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x ,x ≤1,log 13x ,x >1,则y =f (1-x )的图象是 ( )4.设函数y =f (x )定义在实数集上,则函数y =f (x -1)与y =f (1-x )的图象关于( )A .直线y =0对称B .直线x =0对称C .直线y =1对称D .直线x =1对称二、填空题5.函数y =2-x x -1的图象关于点________对称. 6.已知0<a <1,则方程a |x |=|log a x |的实根的个数是________.三、解答题7.已知函数y =f (x )同时满足以下五个条件:(1)f (x +1)的定义域是[-3,1]; (2)f (x )是奇函数; (3)在[-2,0)上,f ′(x )>0;(4)f (-1)=0;(5)f (x )既有最大值又有最小值.请画出函数y =f (x )的一个图象,并写出相应于这个图象的函数解析式.8.已知函数f (x )=|x -8|-|x -4|.(1)作出函数y =f (x )的图象;(2)解不等式|x -8|-|x -4|>2.[高考·模拟·预测]1.函数y =f (x )的图象如图所示,则函数y =log 12f (x )的图象大致是( )2.下列三件事与如下图中吻合最好的顺序为 ( )①我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是立刻返回家里取了作业本再上学; ②我骑车一路以常速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一段时间;③我出发后,心情轻松,缓缓行进,后来为了赶时间开始加速.A .(1)(2)(4)B .(4)(2)(3)C .(4)(1)(3)D .(4)(1)(2)3.如右图所示,一质点P (x ,y )在xOy 平面上沿曲线运动,速度大小不变,其在x 轴上的投影点Q (x,0)的运动速度V =V (t )的图象大致为( )4.把函数f (x )=x 3-3x 的图象C 1向右平移u 个单位长度,再向下平移v 个单位长度后得到图象C 2,若对任意u >0,曲线C 1与C 2至多只有一个交点,则v 的最小值为 ( )A .2B .4C .6D .85.已知f (x )是以2为周期的偶函数,当x ∈[0,1]时,f (x )=x ,且在[-1,3]内,关于x 的方程f (x )=kx +k +1(k ∈R ,k ≠-1)有四个根,则k 的取值范围是________.6.已知函数f (x )=m (x +1x )的图象与h (x )=12(x +1x)+2的图象关于点A (0,1)对称. (1)求m 的值; (2)若g (x )=f (x )+a 2x,且g (x )在区间(0,2]上为减函数,求实数a 的取值范围.1.解析:间接法,只要抓住定义域{x |x ≠-1}及y <0,即可选出B.如果用直接法,则把y =-1x 2+2x +1变形为y =-(x +1)-2,它可看成是把y =x -2的图象向左平移1个单位,再作关于x 轴对称而得. 答案:B2.解析:g (x )=2-x +1=2-(x -1)的图象是由y =2-x 的图象右移1个单位而得.本题考查函数图象的平移法则.答案:C3.解析:画出y =f (x )的图象,再作其关于y 轴对称的图象,得到y =f (-x )的图象,再将所得图象向右移动1个单位,得到y =f [-(x -1)]=f (-x +1)的图象,故选C.4.解析:函数y =f (x )与y =f (-x )的图象关于y 轴对称,y =f (1-x )=f [-(x -1)].把y =f (x )与y =f (-x )的图象同时都向右平移一个单位,就得到y =f (x -1)与y =f (1-x )的图象,对称轴y 轴向右平移一个单位得直线x =1,故选D.5.解析:y =2-x x -1=-1+1x -1,y =2-x x -1的图象是由y =1x 的图象先右移1个单位,再下移1个单位而得到,故对称点为(1,-1).答案:(1,-1)6.解析:a |x |=|log a x |有意义,则x >0,问题即a x =|log a x |.画出两个函数y =a x ,y =|log a x |的图象,则可以得到交点有2个.答案:27.解:由(1)知,-3≤x ≤1,-2≤x +1≤2, 故f (x )的定义域是[-2,2].由(3)知,f (x )在[-2,0)上是增函数.综合(2)和(4)知,f (x )在(0,2]上也是增函数,且f (-1)=f (1)=0,f (0)=0.故函数y =f (x )的一个图象如右图所示,与之相应的函数解析式是f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ x +1,-2≤x <0,0,x =0,x -1,0<x ≤2.8.解:(1)f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ 4,x ≤4,-2x +12,4<x ≤8,-4,x >8.图象如下:(2)不等式|x -8|-|x -4|>2,即f (x )>2,由-2x +12=2,得x =5.由函数f (x )的图象可知原不等式的解集为(-∞,5).[高考·模拟·预测]1.解析:∵0<12<1,∴y =log 12f (x )的图象在(0,1]上递增,在[1,2)上递减(同增异减).故选C. 2.解析:根据其速度的变化判断函数图象的单调性可得①②③对应图象为(4)(1)(2),选D.3.解析:由图可知,当质点P (x ,y )在两个封闭曲线上运动时,投影点Q (x,0)的速度先由正到0,到负,到0,再到正,故A 错误;投影点Q (x,0)在终点的速度是由大到小接近0,故D 错误;质点P (x ,y )在开始时沿直线运动,故投影点Q (x,0)的速度为常数,因此C 是错误的,故选 B.4.解析:C 2的解析式为y =(x -u )3-3(x -u )-v .由题意对于关于x 的方程(x -u )3-3(x -u )-v =x 3-3x ,即3ux 2-3u 2x -3u +u 3+v =0对于任意u >0至多只有一个实数解,∴Δ=9u 4-12u (u 3-3u +v )≤0,即v ≥-14u 3+3u ,令f (u )=-14u 3+3u ,则f ′(u )=-34u 2+3=-34(u 2-4),∴当u =2时f (u )取得最大值f (2)=4.∴v ≥4.故选B.5.解析:由题意作出f (x )在[-1,3]上的示意图如右:记y =k (x +1)+1,∴y =k (x +1)+1的图象过定点A (-1,1).记B (2,0),由图象知,方程有四个根,即函数y =f (x )与y =kx +k +1有四个交点,故k AB <k <0.∴-13<k <0. 答案:(- 13,0) 6.解:(1)解法一:设P (x ,y )是函数h (x )的图象上任意一点,则点P 关于A 点的对称点(x ′,y ′)在函数f (x )的图象上.∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ′+x =0,y ′+y =2,故⎩⎪⎨⎪⎧x ′=-x ,y ′=2-y . 于是有2-y =m (-x -1x ),即得y =m (x +1x )+2,∴m =12. 解法二:易知h (x )经过点(1,3),故f (x )经过点(-1,-1),代入得m =12. (2)由(1)得f (x )=12(x +1x ),故有g (x )=12(x +1x )+a 2x =12(x +a +1x), 解法一:g ′(x )=12(1-a +1x 2).当0<x ≤a +1(a ≥-1)时,g ′(x )≤0, ∵g (x )在区间(0,2]上为减函数,故有a +1≥2,得a ≥3.即a 的取值范围为[3,+∞).解法二:任意取x 1,x 2∈(0,2],不妨设x 1<x 2.则g (x 1)-g (x 2)=12(x 1-x 2)x 1x 2-(a +1)x 1x 2>0恒成立. 故x 1x 2-(a +1)<0,对0<x 1<x 2≤2恒成立.∴1+a ≥4,∴a ≥3.即a 的取值范围为[3,+∞).。
七个重要的奇函数

七个重要的奇函数1、正弦函数:正弦函数是一个常见的函数,它的定义为y = sin x,其中x是定义域的角度单位,y是值域的正弦值,采用弧度制表示为y = sin(θ),其中θ为弧度值。
此函数有许多应用,在振动力学、传送力学、电器工程、地理学等多学科及其领域都有着重要的地位。
2、余弦函数:余弦函数是一个对称的函数,它的定义为y = cos x,其中x是定义域的角度单位,y是值域的余弦值,采用弧度制表示为y = cos(θ),其中θ为弧度值。
振动力学、旋转力学、复变函数、地理学等领域都采用此函数大量的运算结果。
3、双曲正弦函数:双曲正弦函数是一类比较特殊的函数,它的定义为y = sinh x,其中x是定义域的参数,y是值域的双曲正弦值,采用弧度制表示为y = sinh(θ),其中θ为弧度值。
它是用来描述零温度以上的分子动力学现象,广泛应用于磁流体力学、热力学、孔径理论等多学科领域。
4、双曲余弦函数:双曲余弦函数是一类比较特殊的函数,它的定义为y = cosh x,其中x是定义域的参数,y是值域的双曲余弦值,采用弧度制表示为y = cosh(θ),其中θ为弧度值。
它主要应用于极限分析、宇宙学、核物理等领域,一般用于描述宇宙膨胀、电磁力学、流体力学等现象。
5、正切函数:正切函数是一类特殊的函数,它的定义为y = tan x,其中x是定义域的角度单位,y是值域的正切值,采用弧度制表示为y = tan(θ),其中θ为弧度值。
它可以用来求出有关角度的三角形的长度、宽度以及角度、极限等关系,广泛应用于机械工程、电子学、旋转力学、建筑学等领域。
6、双曲正切函数:双曲正切函数是一类特殊的函数,它的定义为y = tanh x,其中x是定义域的参数,y是值域的双曲正切值,采用弧度制表示为y = tanh(θ),其中θ为弧度值。
它主要用于研究复杂系统的动态特性,并可以更好的分析极限系统的运行规律,因此,它的应用廣泛应用于热控、自动控制、现代机械工程、现代工程数学等领域。
第7绝对值函数

Y.P.M 数学竞赛讲座 1绝对值函数在这里绝对值函数f(x)特指函数f(x)=a 1|x-x 1|+a 2|x-x 2|+…+a n |x-x n |.1.图像变换[例1]:(1989年全国高中数学联赛试题)设函数f 0(x)=|x|,f 1(x)=|f 0(x)-1|,f 2(x)=|f 1(x)-2|,则函数y=f 2(x)的图像与x 轴所围成图形中的封闭部分的面积是_________.[解析]:[评注]:①函数y=f(|x|)是偶函数,图像关于y 轴对称,在y 轴右侧的图像与y=f(x)的图像重合;②函数y=|f(x)|是非负函数,y=f(x)在x 轴上方的图像与y=|f(x)|的图像重合,y=f(x)在x 轴下方的图像与y=|f(x)|的图像关于轴对称.[类题]:1.(2006年湖北高考试题)关于x 的方程(x 2-1)2-|x 2-1|+k=0,给出下列四个命题:①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根; ②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根; ③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根; ④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)32.(2005年上海高考试题)设定义域为R 的函数f(x)=⎩⎨⎧=≠-1,01||,1|lg |x x x ,则关于x 的方程f 2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是( )(A)b<0,且c>0 (B)b<0,且c=0 (C)b>0,且c<0 (D)b ≥0,且c=03.(1986年全国高中数学联赛试题)已知f(x)=|1-2x|,x ∈[0,1].那么方程f(f(f(x)))=21x 的解的个数是 . 2.几何意义[例2]:(2005年全国高中数学联赛北京初赛试题)2005个实数x 1,x 2,…,x 2005满足|x 1-x 2|+|x 2-x 3|+…+|x 2004-x 2005|+|x 2005 -x 1|=1,则|x 1|+|x 2|+…+|x 2005|的最小值等于 .[解析]:[评注]:数轴上的点P 、A 对应的实数分别是x 、a,则|PA|=|x-a|.这就是绝对值的几何意义.利用该几何意义可得|x-a|+ |x-b|≥|a-b|;|x-a|-|x-b|≤|a-b|.[类题]:1.(2011年全国高中数学联赛四川初赛试题)己知实数x 满足|2x+1|+|2x-5|=6,则x 的取值范围是 .2.(2009年重庆高考试题)不等式|x+3|-|x-1|≤a 2-3a 对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为( )(A)(-∞,-1]∪[4,+∞) (B)(-∞,-2]∪[5,+∞) (C)[1,2] (D)(-∞,1]∪[2,+∞)3.(2007年全国高中数学联赛天津初赛试题)在平面直角坐标系中定义两点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)之间的交通距离为d(P,Q)=|x 1-x 2|+|y 1-y 2|.若C(x,y)到点A(1,3),B(6,9)的交通距离相等,其中实数x,y 满足0≤x ≤10,0≤y ≤10,则所有满足条件的点C 的轨迹的长之和为________. 3.三角不等[例3]:(2009年全国高中数学联赛安徽初赛试题)当实数a ∈ 时,不存在实数x,使得|x+a+1|+|x+a 2-2|<3.[解析]:[评注]:绝对值三角不等式:||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b|,|a-c|≤|a-b|+|b-c|.[类题]:1.(2009年辽宁高考试题)设函数f(x)=|x-1|+|x-a|.如果∀x ∈R,f(x)≥2,则a 的取值范围是 .2.(2004年第十五届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)对于任意实数x,若不等式|x-3|+|x-4|>a(a>0)恒成立,则实数a 应满足( )(A)0<a<1 (B)0<a ≤1 (C)a>1 (D)a ≥13.(2004年第十五届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)已知不等式|x-a|+|x-b|<1(其中a,b 是常数)的解集是空集,则2 Y.P.M 数学竞赛讲座 |a-b|的取值范围是( )(A)(-1,1) (B)(0,1) (C)[1,+∞) (D)(1,+∞)4.零点方法[例4]:(2002年全国高中数学联赛北京初赛试题)已知f(x+1)=|x-1|-|x+1|,且f(f(x))=f(2002)+1,则x= .[解析]:[评注]:零点法,即令函数f(x)中每个绝对值内的式子等于零,分别求出x 的值,并把求出的值表示在数轴上,然后按这些点把数轴分成的部分,由左至右分类去绝对值.[类题]:1.(1993年第四届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)函数f(x)=|2x-1|-|x-1|的最小值为_______.2.(2009年全国高中数学联赛四川初赛试题)若实数x 满足log 2x=1+cos θ,其中θ∈[-2π,0],则函数f(x)=|x-1|+2|x-3|的最大值等于 .3.(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)函数y=2143--+x x +3168--+x x 的最小值为 ,此时x = . 5.二阶函数[例5]:(2007年全国高中数学联赛福建初赛试题)设函数f(x)=|1-2x|-3|x+1|,如果方程f(x)=a 恰有两个不同的实数根u,v,满足2≤|u-v|≤10,则实数a 的取值范围是 .[解析]:[评注]:二阶函数f(x)=a|x-x 1|+b|x-x 2|(x 1<x 2)有如下性质:①当a+b>0时,f(x)有最小值=min{f(x 1),f(x 2)},当a+b<0时,f(x)有最大值=max{f(x 1),f(x 2)},当a+b=0时,f(x)有最小值=min{f(x 1),f(x 2)},也有最大值=max{f(x 1),f(x 2)};②当且仅当a=b 时,f(x)的图像是轴对称图形,且对称轴为x=221x x +;③当且仅当a+b=0时,f(x)的图像是中心对称图形,且对称中心为(221x x +,f(221x x +)). [类题]:1.(2007年全国高中数学联赛试题)设实数a 使得不等式|2x-a|+|3x-2a|≥a 2对任意实数x 恒成立,则满足条件的a 所组成的集合是 .2.(2008年山东高考试题)设函数f(x)=|x+1|+|x-a|的图象关于直线x=1对称,则a 的值为( )(A)3 (B)2 (C)1 (D)-13.(2010年湖南高考试题)用min{a,b}表示a,b 两数中的最小值.若函数f(x)=min{|x|,|x+t|}的图像关于直线x=-21对称,则t 的值为( )(A)-2 (B)2 (C)-1 (D)1 6.最值问题[例6]:(2011年北大等十三校联考(北约)自主招生试题)函数f(x)=|x-1|+|2x-1|+…+|2011x-1|的最小值为_______.[解析]:[评注]:关于函数f(x)=a 1|x-x 1|+a 2|x-x 2|+…+a n |x-x n |有如下结论:①函数f(x)的极值在零点x 1,x 2,…,x n 处取得;②当a 1+a 2+…+a n >0时,f(x)有最小值;当a 1+a 2+…+a n <0时,f(x)有最大值;当a 1+a 2+…+a n =0时,f(x)有最小值,也有最大值;③当|a i |为正整数时,零点x i 计|a i |次,把这些零点由小到大的排列.当|a 1|+|a 2|+…+|a n |为奇数时,所有零点的中间数是其极值点;当|a 1|+|a 2|+…+|a n |为偶数时,所有零点的中间两数(包括这两个数)之间的任意一个数都是其极值点.[类题]:1.(2008年全国高中数学联赛四川初赛试题)函数f(x)=|x-1|+|x-3|+|x-5|+|x-7|的最小值为_______.2.⑴(2007年第十八届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)函数f(x)=∑=--101|)1 2(| nnx的最小值是( )(A)40 (B)50 (C)60 (D)80⑵(2006年全国Ⅱ高考试题)函数f(x)=∑=-191| |nnx的最小值为( )(A)190 (B)171 (C)90 (D)453.(2009年上海高考试题)某地街道呈现东—西、南—北向的网格状,相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5),(6,6)为报刊零售点.请确定一个格点(除零售点外)__________为发行站.使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.7.图象性质[例7]:(2007年全国高中数学联赛江苏初赛试题)(2008年全国高中数学联赛贵州初赛试题)已知f(x)=|x+1|+|x+2|+ …+|x+2007|+|x−1|+|x−2|+…+|x−2007|(x∈R),且f(a2−3a+2)=f(a−1),则a的值有( )(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)无数个[解析]:[评注]:关于函数f(x)=a1|x-x1|+a2|x-x2|+…+a n|x-x n|的图像有如下结论:①函数f(x)图像的两端是两条射线,这两条射线所在直线的斜率及在y轴上的截距分别互为相反数;②函数f(x)图像的是轴对称图形的充要条件是:所有零点关于其中位数对称,且关于中位数对称的两零点所对应的系数相等,其对称轴为x=中位数;③函数f(x)图像的是中心对称图形的充要条件是所有零点关于其中位数对称,关于中位数对称的两零点所对应的系数互为相反数,且所有系数和为零,其对称中心为(x0,f(x0)),其中x0为零点的中位数.奇数阶绝对值函数不是中心对称图形.[类题]:1.(2012北约自主招生试题)求x的范围,使得|x+2|+|x|+|x-1|是增函数.2.(原创题)若函数f(x)=|x+1|+2|x+a|+(b-1)|x+3|的图像为轴对称图形,则a+b= .3.(原创题)函数f(x)=|x-1|+|x-2|+…+|x-1006|-|x-1007|-|x-1008|-…-|x-2012|图像的对称中心为 .8.综合函数[例8]:(2009年全国高中数学联赛福建初赛试题)若对于任意的实数x,函数f(x)=x2-2x-|x-1-a|-|x-2|+4的值都是非负实数,则实数a的最小值为 .[解析]:[评注]:[类题]:1.(2005年全国Ⅱ高考试题)设函数f(x)=2|x+1|-|x-1|,则使f(x)≥22的x的取值范围为 .2.(2011年辽宁高考试题)已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.则不等式f(x)≥x2-8x+15的解集为 .3.(2008年广东高考试题)己知a∈R,若关于x的方程x2+x+|a-41|+|a|=0有实根,则a的取值范围是.绝对值函数在这里绝对值函数f(x)特指函数f(x)=a 1|x-x 1|+a 2|x-x 2|+…+a n |x-x n |.1.图像变换[例1]:(1989年全国高中数学联赛试题)设函数f 0(x)=|x|,f 1(x)=|f 0(x)-1|,f 2(x)=|f 1(x)-2|,则函数y=f 2(x)的图像与x 轴所围成图形中的封闭部分的面积是_________. y y y[解析]:f 0(x)=|x|,f 1(x)=|f 0(x)-1|, 1 2 f 2(x)=|f 1(x)-2|的图像如图: O -1 O 1 x 1其面积为8-1=7. -3 O 3 x [评注]:①函数y=f(|x|)是偶函数,图像关于y 轴对称,在y 轴右侧的图像与y=f(x)的图像重合;②函数y=|f(x)|是非负函数,y=f(x)在x 轴上方的图像与y=|f(x)|的图像重合,y=f(x)在x 轴下方的图像与y=|f(x)|的图像关于轴对称.[类题]:1.(2006年湖北高考试题)关于x 的方程(x 2-1)2-|x 2-1|+k=0,给出下列四个命题:①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根; ②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根; ③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根; ④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解:令f(x)=|x 2-1|,设方程(x 2-1)2-|x 2-1|+k=0的两根分别为y 1、y 2,则y 1+y 2=1,y 1y 2=k,k ≤41,且f(x)=y 1,f(x)=y 2,①由图知,方程恰有2个实根⇔y 1>1,y 2<0,如y 1=2,y 2=-1,k=-2满足条件,所以①正确;②由图知,方程恰有4个实根⇔y 1=y 2=21,k=41所以②正确;③由图知,方程恰有5个实根⇔y 1=1,y 2=0,k=0所以③正确;④由图知,方程恰有8个实根⇔y 1≠y 2,且y 1、y 2∈(0,1),如y 1=31,y 2=32,k=92满足条件,所以④正确.综上,正确命题的个数为4,假命题的个数为0,故选(A).2.(2005年上海高考试题)设定义域为R 的函数f(x)=⎩⎨⎧=≠-1,01||,1|lg |x x x ,则关于x 的方程f 2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是( )(A)b<0,且c>0 (B)b<0,且c=0 (C)b>0,且c<0 (D)b ≥0,且c=03.(1986年全国高中数学联赛试题)已知f(x)=|1-2x|,x ∈[0,1].那么方程f(f(f(x)))=21x 的解的个数是 . 解:f(x)=|1-2x|=|2x-1|的图像如图: y y yf(f(x))=|2|2x-1|-1|的图像如图: 1(求该函数的零点41,43); O 21 x O 41 43 x O 81 41 43 87 x f(f(f(x)))=|2|2|2x-1|-1|-1|(求该函数的零点81,41,43,87),共有8个解. 由y=f(x)到y=|2f(x)-1|的变换:纵坐标伸长2倍,得值域[0,2];再向下平移1个单位,最后作绝对值变换.2.几何意义[例2]:(2005年全国高中数学联赛北京初赛试题)2005个实数x 1,x 2,…,x 2005满足|x 1-x 2|+|x 2-x 3|+…+|x 2004-x 2005|+|x 2005 -x 1|=1,则|x 1|+|x 2|+…+|x 2005|的最小值等于 .[解析]:在数轴上取点P i :x i ,则|x 1|+|x 2|+…+|x 2005|=|OP 1|+|OP 2|+…+|OP 2005|,|x 1-x 2|+|x 2-x 3|+…+|x 2004-x 2005|+|x 2005-x 1| =1⇔|P 1P 3|+|P 2P 3|+…+|P 2004P 2005|+|P 1P 2005|=1⇒2|P 1P 2005|≥1,为使|OP 1|+|OP 2|+…+|OP 2005|最小,取P 1,P 2…,P 2004为O,P 2004, 0.5⇒|x 1|+|x 2|+…+|x 2005|的最小值等于0.5.2 Y.P.M 数学竞赛讲座[评注]:数轴上的点P 、A 对应的实数分别是x 、a,则|PA|=|x-a|.这就是绝对值的几何意义.利用该几何意义可得|x-a|+ |x-b|≥|a-b|;|x-a|-|x-b|≤|a-b|.[类题]:1.(2011年全国高中数学联赛四川初赛试题)己知实数x 满足|2x+1|+|2x-5|=6,则x 的取值范围是 .2.(2009年重庆高考试题)不等式|x+3|-|x-1|≤a 2-3a 对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为( )(A)(-∞,-1]∪[4,+∞) (B)(-∞,-2]∪[5,+∞) (C)[1,2] (D)(-∞,1]∪[2,+∞)3.(2007年全国高中数学联赛天津初赛试题)在平面直角坐标系中定义两点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)之间的交通距离为d(P,Q)=|x 1-x 2|+|y 1-y 2|.若C(x,y)到点A(1,3),B(6,9)的交通距离相等,其中实数x,y 满足0≤x ≤10,0≤y ≤10,则所有满足条件的点C 的轨迹的长之和为________.解:由条件得|x-1|+|y-3|=|x-6|+|y-9|.①当x ≤1,y ≤3时,无解;②当x ≤1,3≤y ≤9时,y=8.5,线段长为1;③当x ≤1,y ≥9时,无解;④当1≤x ≤6,y ≤3时,无解;⑤当1≤x ≤6,3≤y ≤9时,x+y=9.5,线段长为52;⑥当1≤x ≤6,y ≥9时,无解;⑦当x ≥6,y ≤3时,无解;⑧当x ≥6,3≤y ≤9时,y=3.5,线段长为4;⑨当x ≥6,y ≥9时,无解.综上所述,点C 的轨迹构成的线段的长之和为1+52+4=5(1+2). 3.三角不等[例3]:(2009年全国高中数学联赛安徽初赛试题)当实数a ∈ 时,不存在实数x,使得|x+a+1|+|x+a 2-2|<3.[解析]:不存在实数x,使得|x+a+1|+|x+a 2-2|<3⇔∀x ∈R,|x+a+1|+|x+a 2-2|≥3⇔|(a 2-2)-(a+1)|≥3⇔a 2-a ≤0,或a 2-a-6≥0⇔a ∈(-∞,-2]∪[0,1]∪[3,+∞). [评注]:绝对值三角不等式:||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b|,|a-c|≤|a-b|+|b-c|.[类题]:1.(2009年辽宁高考试题)设函数f(x)=|x-1|+|x-a|.如果∀x ∈R,f(x)≥2, 则a 的取值范围是 .2.(2004年第十五届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)对于任意实数x,若不等式|x-3|+|x-4|>a(a>0)恒成立,则实数a 应满足( )(A)0<a<1 (B)0<a ≤1 (C)a>1 (D)a ≥13.(2004年第十五届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)已知不等式|x-a|+|x-b|<1(其中a,b 是常数)的解集是空集,则|a-b|的取值范围是( )(A)(-1,1) (B)(0,1) (C)[1,+∞) (D)(1,+∞)4.零点方法[例4]:(2002年全国高中数学联赛北京初赛试题)已知f(x+1)=|x-1|-|x+1|,且f(f(x))=f(2002)+1,则x= .[解析]:f(x+1)=|x-1|-|x+1|⇒f(x)=|x-2|-|x|⇒f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-<)2(2)20(22)0(2x x x x ,f(2002)=-2⇒f(2002)+1=-1,①当x<0时,f(x)=2⇒f(f(x))=f(2)=-2;②当x>2时,f(x)=-2⇒f(f(x))=f(-2)=2;③当0≤x ≤2时,f(x)=2-2x ⇒f(f(x))= f(2-2x)=2|x|-2|x-1|=2x-2|x-1|=-1⇒2x+1=2|x-1|⇒x=41. [评注]:零点法,即令函数f(x)中每个绝对值内的式子等于零,分别求出x 的值,并把求出的值表示在数轴上,然后按这些点把数轴分成的部分,由左至右分类去绝对值.[类题]:1.(1993年第四届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)函数f(x)=|2x-1|-|x-1|的最小值为_______.2.(2009年全国高中数学联赛四川初赛试题)若实数x 满足log 2x=1+cos θ,其中θ∈[-2π,0],则函数f(x)=|x-1|+2|x-3|的最大值等于 .3.(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)函数y=2143--+x x +3168--+x x 的最小值为 ,Y.P.M 数学竞赛讲座 3 此时x = .5.二阶函数[例5]:(2007年全国高中数学联赛福建初赛试题)设函数f(x)=|1-2x|-3|x+1|,如果方程f(x)=a 恰有两个不同的实数根u,v,满足2≤|u-v|≤10,则实数a 的取值范围是 .[解析]:因为函数f(x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+-≤≤----<+)21)(4()211(25)1(4x x x x x x 的图像如图: 当a>3时,f(x)=a 无解;当a=3时,f(x)=a 只有一个解;当-29≤a<3时,直线y=a 与y=x+4和y=-5x-2有两个交点,故此时f(x)=a 有两个不同的解u=a-4,v=-51(a+2),2≤|u-v|≤10⇔-316≤a ≤34;当a<-29时,直线y=a 与y=x+4和y=-x-4有两个交点,故此时f(x)=a 有两个不同的解u=a-4,v=-(a+4),2≤|u-v|≤10⇔-5≤a ≤-1,得实数a 的取值范围是[-5,34]. [评注]:二阶函数f(x)=a|x-x 1|+b|x-x 2|(x 1<x 2)有如下性质:①当a+b>0时,f(x)有最小值=min{f(x 1),f(x 2)},当a+b<0时,f(x)有最大值=max{f(x 1),f(x 2)},当a+b=0时,f(x)有最小值=min{f(x 1),f(x 2)},也有最大值=max{f(x 1),f(x 2)};②当且仅当a=b 时,f(x)的图像是轴对称图形,且对称轴为x=221x x +;③当且仅当a+b=0时,f(x)的图像是中心对称图形,且对称中心为(221x x +,f(221x x +)). [类题]:1.(2007年全国高中数学联赛试题)设实数a 使得不等式|2x-a|+|3x-2a|≥a 2对任意实数x 恒成立,则满足条件的a 所组成的集合是 .解:令x=at,则原不等式为|a||2t-1|+|a||3t-2|≥a 2⇔|a|≤|2t-1|+|3t-2|⇔|a|≤31.2.(2008年山东高考试题)设函数f(x)=|x+1|+|x-a|的图象关于直线x=1对称,则a 的值为( )(A)3 (B)2 (C)1 (D)-13.(2010年湖南高考试题)用min{a,b}表示a,b 两数中的最小值.若函数f(x)=min{|x|,|x+t|}的图像关于直线x=-21对称,则t 的值为( )(A)-2 (B)2 (C)-1 (D)1 6.最值问题[例6]:(2011年北大等十三校联考(北约)自主招生试题)函数f(x)=|x-1|+|2x-1|+…+|2011x-1|的最小值为_______.[解析]:f(x)=|x-1|+2|x-21|+…+2011|x-20111|,所有零点由小到大:20111(2011个),20101(2010个),…,21(2个), 1(1个),共有1+2+…+2011=1006×2011个,所以在503×2011个与503×2011+1个零点之间取得最小值,令1+2+…+n<503×2011⇒n 的最小值=1421⇒第503×2011个与503×2011+1个零点均为14221⇒f(x)的最小值为f(14221)= 711592043. [评注]:关于函数f(x)=a 1|x-x 1|+a 2|x-x 2|+…+a n |x-x n |有如下结论:①函数f(x)的极值在零点x 1,x 2,…,x n 处取得;②当a 1+a 2+…+a n >0时,f(x)有最小值;当a 1+a 2+…+a n <0时,f(x)有最大值;当a 1+a 2+…+a n =0时,f(x)有最小值,也有最大值;③4 Y.P.M 数学竞赛讲座 当|a i |为正整数时,零点x i 计|a i |次,把这些零点由小到大的排列.当|a 1|+|a 2|+…+|a n |为奇数时,所有零点的中间数是其极值点;当|a 1|+|a 2|+…+|a n |为偶数时,所有零点的中间两数(包括这两个数)之间的任意一个数都是其极值点.[类题]:1.(2008年全国高中数学联赛四川初赛试题)函数f(x)=|x-1|+|x-3|+|x-5|+|x-7|的最小值为_______.2.⑴(2007年第十八届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)函数f(x)=∑=--101|)12(|n n x 的最小值是( )(A)40 (B)50 (C)60 (D)80 ⑵(2006年全国Ⅱ高考试题)函数f(x)=∑=-191||n n x 的最小值为( ) (A)190 (B)171 (C)90 (D)453.(2009年上海高考试题)某地街道呈现东—西、南—北向的网格状,相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5),(6,6)为报刊零售点.请确定一个格点(除零售点外)__________为发行站.使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.7.图象性质[例7]:(2007年全国高中数学联赛江苏初赛试题)(2008年全国高中数学联赛贵州初赛试题)已知f(x)=|x+1|+|x+2|+ …+|x+2007|+|x −1|+|x −2|+…+|x −2007|(x ∈R ),且f(a 2−3a+2)=f(a −1),则a 的值有( )(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)无数个 [解析]:由题设知f(x)为偶函数,则考虑在−1≤x ≤1时,恒有f(x)=2×(1+2+3+…+ 2007)=2008×2007.所以当−1≤a 2−3a+2≤1,且−1≤a −1≤1时,恒有f(a 2−3a+2)=f(a −1).故选(D).[评注]:关于函数f(x)=a 1|x-x 1|+a 2|x-x 2|+…+a n |x-x n |的图像有如下结论:①函数f(x)图像的两端是两条射线,这两条射线所在直线的斜率及在y 轴上的截距分别互为相反数;②函数f(x)图像的是轴对称图形的充要条件是:所有零点关于其中位数对称,且关于中位数对称的两零点所对应的系数相等,其对称轴为x=中位数;③函数f(x)图像的是中心对称图形的充要条件是所有零点关于其中位数对称,关于中位数对称的两零点所对应的系数互为相反数,且所有系数和为零,其对称中心为(x 0,f(x 0)),其中x 0为零点的中位数.奇数阶绝对值函数不是中心对称图形.[类题]:1.(2012北约自主招生试题)求x 的范围,使得|x+2|+|x|+|x-1|是增函数.2.(原创题)若函数f(x)=|x+1|+2|x+a|+(b-1)|x+3|的图像为轴对称图形,则a+b= .3.(原创题)函数f(x)=|x-1|+|x-2|+…+|x-1006|-|x-1007|-|x-1008|-…-|x-2012|图像的对称中心为 .8.综合函数[例8]:(2009年全国高中数学联赛福建初赛试题)若对于任意的实数x,函数f(x)=x 2-2x-|x-1-a|-|x-2|+4的值都是非负实数,则实数a 的最小值为 .[解析]:由条件知⎩⎨⎧≥+-=≥++-=02||)1(02|1|)0(a f a f ,解得-2≤a ≤1.当a=-2时,f(x)= x 2-2x-|x+1|-|x-2|+4,对于任意的实数x,f(x)的值都是非负实数,因此a=-2符合要求.所以,实数a 的最小值为-2.[评注]:[类题]:1.(2005年全国Ⅱ高考试题)设函数f(x)=2|x+1|-|x-1|,则使f(x)≥22的x 的取值范围为 .2.(2011年辽宁高考试题)已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.则不等式f(x)≥x 2-8x+15的解集为 .3.(2008年广东高考试题)己知a ∈R,若关于x 的方程x 2+x+|a-41|+|a|=0有实根,则a 的取值范围是 .。
《高等数学》(北大第二版 )6-7多元函数的微分中值定理与泰勒公式

例 , = 2, f 在(x0 , y0 )的泰勒多项式是 如 n
f (x0 , y0 ) + f x (x0 , y0 )∆x + f y (x0 , y0 )∆y
1 2 + [ f xx (x0 , y0 )∆x2+ 2 fxy (x0 , y0 )∆x∆y + f yy (x0 , y0 )∆y ]. 2! π 2 例1 求函数 f (x, y) = sin( x y) 在点(1,1)的二阶泰勒多 2
ϕ(1) −ϕ(0) = ϕ′(θ ),
f (x0 + ∆x, y0 + ∆y)− f (x0 , y0 )
∂f ∂f = (x0 +θ∆x, y0 +θ∆y)∆x + (x0 +θ∆x, y0 +θ∆y)∆y. ∂y ∂x
证毕.
推论 若函数z=f(x,y)在区域D 内具有连续的偏导数且
∂f ∂f 满足 ≡ 0, ≡ 0, 证明:f(x,y)在D内为一常数. ∂y ∂x 证 在区域D内任意取定一点P0 (x0 , y0 ). ∀P(x, y) ∈D,
1. 二元函数的微分中值定理
定理1 定理1
(二元函数的拉格朗日中值公式) 二元函数的拉格朗日中值公式
又假定D中有两个点P0 ( x0 , y0 )与P ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) , 1 并且P0到P的直线P0 P ⊂ D, 则存在θ , 0 < θ < 1, 使得 1
f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) = f ( x0 , y0 ) ∂f ∂f + ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y )∆x + ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y )∆y. ∂x ∂y 或写成
7 函数的奇偶性

昌乐二中数学一轮复习 编制人:杨本才、张海 使用时间:2008、9、16学案七 函数的奇偶性一、使用说明:第一节学生看书,自己梳理基础知识,然后完成基础训练与例题;第二节老师公布答案,学生自改并讨论,然后老师点拨,学生总结落实;第三节完成综合训练;第四节讲评;第五节利用20分钟的时间纠错落实。
二、 目标要求1、 了解函数奇偶性的含义,会判断函数奇偶性;2、应用函数的奇偶性解决有关问题。
三、 知识梳理1、 函数的奇偶性的定义:奇函数: ; 偶函数: ; 如果一个函数是奇函数或偶函数,就说这个函数具有 。
2、 判断函数的奇偶性的步骤:(1) 求定义域,看定义域是否关于原点对称;(2) 判断f(-x)与f(x)的关系; (3)依据定义下结论3、 具有奇偶性函数的性质:4、 判断函数的奇偶性,可以用定义(严格证明)、图象(直观表示)。
利用函数的奇偶性,可以将两个对称区间上的问题转化到一个区间上。
四、 基础训练1、对任意实数x ,下列函数中的奇函数是( )A y=2x-3B y= -32x C y=ln x5 D y= -x cosx 2、已知f(x)是以2为周期的偶函数,且当(0,1)x ∈时,()21x f x =-,则2(12)log f 的值为( )A13 B 43C 2D 11 3、已知f(x)=121+-x a 为奇函数,则a= .4、已知函数y=f(x)是R 上的偶函数,且在)0,(-∞上是减函数,若f(a)≥f(2),则实数a 的取值范围是 五、典例精析例1、 判断下列函数的奇偶性(1)()33f x x =+- (2)f(x)=2log (x+12+x )(3) f(x)=x x x -+-11)1( (4) f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+)0x (x x )0x (x x 22例2 若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b )R ∈是偶函数,且它的值域为(]4,∞-,求该函数的解析式。
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函数一、选择题1.以下函数定义正确的是:。
A) double fun(int x, int y) B) double fun(int x; int y)C) double fun(int x, int y) ; D) double fun(int x ,y)2.C语言规定,简单变量作实参,它与对应形参之间的数据传递方式是:。
(0级)A)地址传递;B)单向值传递;C)双向值传递;D)由用户指定传递方式3.以下关于C语言程序中函数的说法正确的是:。
(0级)A)函数的定义可以嵌套,但函数的调用不可以嵌套;B)函数的定义不可以嵌套,但函数的调用可以嵌套;C)函数的定义和调用均不可以嵌套;D)函数的定义和点用都可以嵌套。
4.以下正确的函数形式是:。
(1级)A)double fun(int x,int y) B)fun (int x,y){z=x+y;return z;} {int z;return z;}C)fun(x,y) D)double fun(int x,int y){int x,y; double z; {double z;z=x+y; return z;} z=x+y; return z;}5.以下说法不正确的是:。
(1级)C 语言规定A)实参可以是常量、变量或表达式B)形参可以是常量、变量或表达式C)实参可以是任意类型D)形参应与其对应的实参类型一致6.C语言允许函数值类型缺省定义,此时该函数值隐含的类型是。
(0级)A) float型B) int 型C)long 型D)double 型7.以下错误的描述是。
(0级)函数调用可以A)出现在执行语句中B)出现在一个表达式中C)做为一个函数的实参D)做为一个函数的形参8.若用数组名作为函数调用的实参,传递给形参的是。
(0级)A)数组的首地址B)数组第一个元素的值C)数组中全部元素的值D)数组元素的个数9.以下正确的说法是。
(0级)如果在一个函数中的复合语句中定义了一个变量,则该变量A)只在该复合语句中有效B)在该函数中有效C)在本程序范围内有效D)为非法变量10.以下不正确的说法为。
(0级)A)在不同函数中可以使用相同名字的变量B)形式参数是局部变量C)在函数内定义的变量只在本函数范围内有效D)在函数内的复合语句中定义的变量在本函数范围内有效11.凡是函数中未指定存储类别的局部变量,其隐含的存储类别为。
(0级)A)自动(auto)B)静态(static)C)外部(extern)D)寄存器(register)12.下面程序的正确运行结果是:。
(1级)#include<stdio.h>void main(){int a=2, i;for(i=0;i<3;i++) printf(“%4d”,f(a) ); }f( int a){ int b=0; static int c=3;b++; c++;return (a+b+c);}A)777B)71013C)7911D)78913.C语言规定:函数返回值类型是由:。
(0级)A)return语句中的表达式类型决定B)调用该函数时的主调函数类型决定C)调用该函数时系统临时决定D)定义该函数时所指定的函数类型14.决定下面函数调用语句中实参的个数为:。
(1级)func((exp1,exp2),(exp3,exp4,exp5))A) 1 B) 2 C) 4 D) 515. 。
(1级)A) 与参数a的类型相同B) void类型C) 没有返回值D) 无法确定16.建立函数的目的之一是:。
(0级)A)提高程序的执行效率B) 提高程序的可读性C) 减少程序的篇幅D) 减少程序文件所占内存17. 以下正确的说法是。
(0级)A)定义函数时,形参的类型说明可以放在函数体内B)return后边的值不能为表达式C)如果函数值的类型与返回值类型不一致,以函数值类型为准D)如果形参与实参的类型不一致,以实参类型为准18.以下正确的说法是。
(0级)A)用户若需调用标准库函数,调用前必须重新定义B)用户可以重新定义标准函数,若如此,该函数将失去原有含义C)系统根本不允许用户重新定义标准库函数D)用户若需调用标准库函数,调用前不必使用预编译命令将该函数所在文件包括到用户源文件中,系统自动去调19.以下正确的说法是。
(0级)在C语言中:A)实参和与其对应的形参各占用独立的存储单元B) 实参和与其对应的形参共占用一个存储单元C) 只有当实参和与其对应的形参同名时才共占用存储单元D) 形参是虚拟的,不占用存储单元20.若使用一维数组名作函数实参,则以下正确的说法是。
(0级)A)必须在主调函数中说明此数组的大小B) 实参数组类型与形参数组类型可以不匹配C) 在被调函数中,不需要考虑形参数组的大小D) 实参数组名与形参数组名必须一致21.有如下函数调用语句func(rec1,rec2+rec3,(rec4,rec5);该函数调用语句中,含有的实参个数是。
(1级)A) 3 B) 4 C) 5 D) 有语法错22.有如下程序int runc(int a,int b){ return(a+b);}#include<stdio.h>void main(){ int x=2,y=5,z=8,r;r=func(func(x,y),z);printf(“%\d\n”,r);}该程序的输出的结果是。
(1级)A) 12 B) 13 C) 14 D) 1523.有如下程序long fib(int n){ if(n>2) return(fib(n-1)+fib(n-2));else return(2);}#include<stdio.h>void main(){ printf(“%d\n”,fib(3));该程序的输出结果是。
(1级)A}2 B}4 C}6 D} 824.有以下程序voidf(int x,int y){ int t;if(x<y){ t=x; x=y; y=t; }}#include<stdio.h>void main(){ int a=4,b=3,c=5;f(a,b); f(a,c); f(b,c);printf("%d,%d,%d\n",a,b,c);}执行后输出的结果是。
(1级)A) 3,4,5 B) 5,3,4 C) 5,4,3 D) 4,3,525.以下函数的功能是:通过键盘输入数据,为数组中的所有元素赋值。
#define N 10void arrin(int x[N]){ int i=0;while(i<N)scanf("%d",_________);}在下划线处应填入的是。
(2级)A) x+i B) &x[i+1] C) x+(i++) D) &x[++i]26.有以下程序#include<stdio.h>void main(){ char s[]="\n123\\";printf("%d,%d\n",strlen(s),sizeof(s));}执行后输出结果是。
(1级)A) 赋初值的字符串有错B) 6,7C) 5,6 D) 6,627.以下叙述中正确的是。
(0级)A) 全局变量的作用域一定比局部变量的作用域范围大B) 静态(static)类别变量的生存期贯穿于整个程序的运行期间C) 函数的形参都属于全局变量D) 未在定义语句中赋初值的auto变量和static变量的初值都是随机值28. #include<stdio.h>void main(){int a=4,b=3,c=5,d,e,f;d=f1(a,b); d=f1(d,c);e=f2(a,b); e=f2(e,c);f=a+b+c-d-e;printf("%d,%d,%d\n",d,f,e);}f1(int x, int y){int z; z=(x>y)?x:y; return(z); }f2(int x, int y){int z; z=(x<y)?x:y; return(z); }执行后输出的结果是。
(1级)A) 3,4,5 B) 5,3,4 C) 5,4,3 D)3,5,429.以下程序的输出结果是。
(1级)#include <stdio.h>int f(void){ static int i = 0;int s =1;s += i;i++;return (s);}void main(void){int i, a = 0;for (i=0; i<5; i++) a += f()printf(“%d\n”, a);}A) 1 B) 0 C) 非0的数D) –130.以下C语言中,对函数不正确的描述是。
(0级)A) 当用数组名作形参时,形参数组改变可使实参数组随之改变B) 允许函数递归调用C) 函数形参的作用范围只是局限于所定义的函数内D) 函数说明必须在主调函数之前31.以下所列的各函数首部中,正确的是。
(1级)A) void play(var :Integer,var b:Integer) B) void play(int a,b)C) void play(int a,int b) D) Sub play(a as integer,b as integer)32.以下叙述中不正确的是。
(0级)A) 在C中,函数中的自动变量可以赋初值,每调用一次,赋一次初值。
B) 在C中,在调用函数时,实在参数和对应形参在类型上只需赋值兼容。
C) 在C中,外部变量的隐含类别是自动存储类别。
D) 在C中,函数形参可以说明为register变量。
33.以下对C语言函数的有关描述中,正确的是。
(0级)A) 在C中,调用函数时,只能把实参的值传送给形参,形参的值不能传送给实参B) C函数既可以嵌套定义又可以递归调用C) 函数必须有返回值,否则不能使用函数D) C程序中有调用关系的所有函数必须放在同一个源程序文件中34.一个数据类型为void的函数中可以没有return语句,那么函数的被调用时。
(0级)A) 没有返回值B) 返回一个系统默认值B) 返回值由用户临时决定D) 返回一个不确定的值35.在下面的函数声明中,存在着语法错误的是。
(1级)A)BC(int a, int);B)BC(int,int);C)DC(int,int=5);D)BC(int x, int y);36.以下函数值的类型是。
(1级)fun ( float x ){ float y;y= 3*x-4;return y;}A)int B)不确定C)void D)float37. 有如下程序段,在Turbo C环境下运行的结果为。