关于椭圆和 Q-共轭的几何解释
椭圆内极点极线
椭圆内极点极线
椭圆内极点极线是椭圆曲线上最重要的特性之一，是不可少的数学概念。
椭圆的极点和极线是数学的一个重要的分支，它也被称为椭圆学，它在数学中的应用十分广泛，它可以用来研究各种复杂的曲线以及椭圆曲线内部的结构。
椭圆内极点极线是椭圆所拥有的一种特殊极性特征，它具有极点和极线两个概念，极点在椭圆上是难以辨认的，它的位置受到椭圆的参数的影响，而极线则是椭圆曲线上最重要的一条线，是椭圆内极点的一条直线，也就是说，极线是椭圆上具有极性的定义的一条直线。
椭圆的极点极线是数学的重要概念，也是解决复杂数学中的有关椭圆曲线的问题的基础。
椭圆极点极线在数学中有重要的应用，它可以用来解决椭圆曲线上的积分、微分、应力和变形等问题，有助于理解椭圆曲线的特殊性。
此外，椭圆的极点极线也能够被用来研究椭圆曲线内其余相关结构。
椭圆极点极线可以用来研究可能存在的“共轭”结构，“共轭”就是椭圆曲线上多条极线相交的点，共轭结构能够有助于理解椭圆曲线的特殊性。
椭圆的极点极线也可以用来研究椭圆曲线的参数，这些参数包括长半径、短半径、焦点以及非焦点等，在数学的应用中，有助于进行更复杂的数学推导。
此外，椭圆极点极线也可以应用到椭圆上的其他分支数学中，如微积分、物理学、工程学等，它们可以有效地用来解决椭圆曲线上的
相关问题，有助于理解椭圆曲线的斜率、曲率分布以及椭圆曲线的形状等特性。
总的来说，椭圆的极点极线是一类重要的数学概念，它有助于理解椭圆曲线的特殊性，也可以用来解决椭圆曲线上的积分、微分、应力和变形等问题，或者用于其他分支数学中以推导椭圆曲线的特殊性。
椭圆相关知识点总结
椭圆相关知识点总结椭圆是数学几何中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用，如天文学、航天工程、电子工程等。
本文将对椭圆的定义、性质、方程和应用进行总结和讨论。
一、椭圆的定义和性质1.定义：椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
这两个给定点称为焦点，常数称为椭圆的离心率。
2.性质：–椭圆的离心率介于0和1之间，离心率越接近于0，椭圆越接近于圆形。
–椭圆的长轴是两个焦点之间的距离，短轴是椭圆的两个相互垂直的直径的长度之一。
–椭圆的焦点到任意一点的距离之和等于椭圆的长轴的长度。
二、椭圆的方程椭圆的标准方程可以表示为：(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1其中，(h, k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的长度。
通过标准方程，我们可以得到椭圆的一些重要参数： - 焦点的坐标为 (h ± c, k)，其中 c² = a² - b²。
- 离心率为 e = c/a。
三、椭圆的应用1.天文学：行星和卫星的运动轨迹多为椭圆，椭圆方程可以用来描述它们的轨道。
2.航天工程：火箭发射轨迹也常用椭圆来描述，以便计算火箭的速度和位置。
3.电子工程：天线的辐射范围常用椭圆来描述，以便确定最佳的天线安装位置和方向。
4.地理测量学：椭圆体被用作地球的近似模型，以便进行地图绘制和测量。
5.光学：椭圆反射镜和椭圆透镜在光学系统中有着重要的应用，可以用来聚焦和成像。
综上所述，椭圆是数学几何中的重要概念，在许多领域中都有广泛的应用。
通过对椭圆的定义、性质、方程和应用的总结，我们对椭圆有了更深入的了解，也认识到椭圆在实际问题中的重要性。
双曲线和椭圆知识点汇总
椭圆知识点知识要点小结：知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+by a x )0(>>b a ，其中222b a c -=2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和222b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆12222=+by a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
椭圆知识点总结
椭圆知识点总结椭圆是平面解析几何中的一个重要曲线，在数学和物理学等领域都有广泛的应用。
下面我们来详细总结一下椭圆的相关知识点。
一、椭圆的定义平面内与两个定点$F_1$、＄F_2$的距离之和等于常数（大于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
用数学语言表示为：＄｜PF_1| ＋｜PF_2| ＝ 2a$（＄2a ＞ 2c$，其中$2c ＝｜F_1F_2|＄）二、椭圆的标准方程1、焦点在$x$轴上的椭圆标准方程：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$），其中$a$为椭圆的长半轴长，＄b$为椭圆的短半轴长，＄c ＝＼sqrt{a^2 b^2}＄为半焦距。
2、焦点在$y$轴上的椭圆标准方程：＄＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$）三、椭圆的性质1、对称性椭圆关于$x$轴、＄y$轴和原点对称。
2、范围对于焦点在$x$轴上的椭圆，＄a ＼leq x ＼leq a$，＄b ＼leq y ＼leqb$；对于焦点在$y$轴上的椭圆，＄b ＼leq x ＼leq b$，＄a ＼leq y ＼leq a$。
3、顶点焦点在$x$轴上的椭圆，顶点坐标为$（＼pm a, 0)＄，＄（0, ＼pm b)＄；焦点在$y$轴上的椭圆，顶点坐标为$（0, ＼pm a)＄，＄（＼pm b, 0)＄。
4、离心率椭圆的离心率$e ＝＼frac{c}｛a}＄，其中$0 ＜ e ＜ 1$。
离心率反映了椭圆的扁平程度，＄e$越接近$0$，椭圆越接近于圆；＄e$越接近$1$，椭圆越扁。
5、准线焦点在$x$轴上的椭圆，准线方程为$x ＝＼pm ＼frac{a^2}｛c}＄；焦点在$y$轴上的椭圆，准线方程为$y ＝＼pm ＼frac{a^2}｛c}＄四、椭圆中的常见结论1、焦半径公式对于焦点在$x$轴上的椭圆，设点$P(x_0, y_0)＄为椭圆上一点，左焦点为$F_1$，右焦点为$F_2$，则$｜PF_1| ＝ a ＋ ex_0$，＄｜PF_2|＝ a ex_0$；对于焦点在$y$轴上的椭圆，焦半径公式为$｜PF_1| ＝ a ＋ ey_0$，＄｜PF_2| ＝ a ey_0$。
第10讲椭圆及双曲线的第二定义
第10讲 椭圆及双曲线的第二定义一． 椭圆1. 第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l （F 不在l 上）的距离之比等于常数e （0<e<1），则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫椭圆的准线（ca 2x :l ±=），常数e 是椭圆的离心率。
2. 焦半径：椭圆上任一点和焦点的连线段的长称为焦半径设椭圆焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为椭圆的左右焦点，P(x 0,y 0)是椭圆上任一点，则0201a ,a ex PF ex PF -=+=。
（简记为：左+右-） 3. 焦点弦：过椭圆焦点的弦称为椭圆的焦点弦。
设过椭圆的焦点F 1(-c,0)的弦为AB ，其中A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则)(2a AB 21x x e ++=4. 通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径，其长a2212b H H = 例1. 椭圆16410022=+y x 上有一点P ，它到右焦点的距离为14，求点P 到左准线的距离。
例2. 若椭圆13422=+y x 内有一点P(1,-1)，F 为右焦点，在该椭圆上求一点M ，使得MF MP 2+最小，并且求最小值例3. 已知椭圆192522=+y x ，若椭圆上有一点P 到右焦点的距离是1，则点P 的坐标为多少？二． 双曲线1. 第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l （F 不在l 上）的距离之比等于常数e （e>1），则动点M的轨迹叫做双曲线。
定点F 是双曲线的焦点，定直线l 叫双曲线的准线（ca 2x :l ±=），常数e 是双曲线的离心率。
2. 焦半径：双曲线上任一点和焦点的连线段的长称为焦半径设双曲线焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为双曲线的左右焦点，若P(x 0,y 0)是双曲线左支上任一点，则0201a ,--a ex PF ex PF -==。
椭圆高中知识点总结
椭圆高中知识点总结摘要：一、椭圆的概念及几何性质二、椭圆的标准方程及其求法三、椭圆的参数及其性质四、椭圆的定理及应用五、椭圆与双曲线、抛物线的区别与联系正文：一、椭圆的概念及几何性质椭圆是数学中一种重要的曲线，它是指在平面内到两定点（称为焦点）的距离之和等于常数（大于焦点间距离）的点的轨迹。
椭圆有两个焦点F1、F2 和两个顶点A、B，其中AF1 + AF2 = 2a，BF1 + BF2 = 2b，a 和b 分别为椭圆的长半轴和短半轴，且a > b > 0。
椭圆的几何性质包括：椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，椭圆的离心率等。
二、椭圆的标准方程及其求法椭圆的标准方程是指椭圆方程中，焦点在x 轴和y 轴上的形式。
椭圆的标准方程有两种形式，分别为：1.当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程为：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 12.当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程为：(x^2 / b^2) + (y^2 / a^2) = 1求椭圆标准方程的方法有待定系数法、直接法等。
三、椭圆的参数及其性质椭圆的参数包括长半轴a、短半轴b、焦距c 等，它们之间的关系为：a > c > b。
椭圆的离心率e 定义为c / a，其值介于0 和1 之间。
当e =0 时，椭圆退化为圆；当e = 1 时，椭圆退化为抛物线。
四、椭圆的定理及应用1.椭圆的切线定理：过椭圆外一点作椭圆的两条切线，它们的交点在椭圆的焦点连线上。
2.椭圆的焦半径定理：椭圆的焦半径（即连接焦点与顶点的线段）长度为a^2 - b^2。
3.椭圆的离心率定理：离心率e 满足e^2 = 1 - (b^2 / a^2)。
4.椭圆的面积公式：S = πab。
五、椭圆与双曲线、抛物线的区别与联系椭圆、双曲线和抛物线都是解析几何中的重要曲线，它们有以下区别和联系：1.椭圆是到两定点距离之和为常数的点的轨迹，而双曲线是到两定点距离之差为常数的点的轨迹。
椭圆的椭心角和共轭直径的性质
一
证 明
图 ３
设 点 Ａ， 的 坐 标 分 别 为 （ ｙ ） Ｃ ｚ ，。 ，
ｂ ， Ｂ 和 Ｃ 是 椭 圆 的 Ａ Ｄ
（ ｙ ）设 直径 Ａ 与 Ｃ 的倾 斜角 分别 为 ａ， ｚ ， ， Ｂ Ｄ
Ｎ ３ Ｏ 一 口 ，Ｉ Ｃ １ ６ ， 一一 － １Ａ Ｉ ０ — ｚ Ｏ ａ ，
２１ ０ ０年第 ５期 如 图 ３所 示 ， 设椭 圆 的
方 程 为 ＋
ａ ｏ
中学数 学月 刊
・ ３ ・ ７
与 Ｃ 的长分 别为 ２ ２ ０ 这两 条共 轭直径 Ｄ ａ 和 ｂ， 为 的夹角 ， 求证 ：ｉ ０一 ｓ ｎ
一 一
＝ ｌ ａ＞ ｂ ＝ （ ＝
．
一
的共 轭直径 ． 特别地 ， 当一条 直径所 在直 线斜率 为
０ 另 一条直径 所在 直 线斜 率 不存 在 时 ， 们 也称 ， 我
这两条 直径 为椭 圆的共轭直 径． 椭 圆 的两条共轭 直径端 点坐标 之 间有 何关 系
呢？
个关 系 ： Ａ 和 Ｃ 是共 轭直 径 ， 若 Ｂ Ｄ 且点 Ａ（ ｘ，
２ 共 轭 直 径 的 定 义
（
ｚｚ ）＋ ２ － ｔ－
即得 与 Ａ 平行 的一 组 弦的 中点 轨迹方程 为 Ｂ
１ 口１ 。ｔ 一 ｚ 而’ １ Ｙ
Ｉ Ｘ ：
Ｉ
ｂＸ ｔ ２｝
文［ ］中的定义是 ： Ａ 和 Ｃ 是 椭 圆的两 ２ 若 Ｂ Ｄ 条 直径 ， Ｂ平分 平行 于 Ｃ 的弦 ，Ｄ 平 分平行 于 Ａ Ｄ Ｃ
・ ６・ ３
中学数学 月刊
２１ ０ ０年第 ５期
椭圆的椭心角和共轭直径的性质
双曲线的简单几何性质教学讲义
双曲线的简单几何性质教学讲义自主预习·探新知情景引入凉水塔的纵切面是双曲线，双曲线是非常优美的曲线，也是我们的生产生活经常用到的曲线，因此，我们有必要探究其有怎样的特性．新知导学1．双曲线的简单几何性质焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上双曲线方程__x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)____y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)__范围__x≤－a或x≥a____y≤－a或y≥a__对称性关于__x__轴对称，关于__y__轴对称，关于__原点__对称关于__x__轴对称，关于__y__轴对称，关于__原点__对称顶点__(－a,0)、(a,0)____(0，－a)、(0，a)__渐近线__y＝±ba x____y＝±ab x__离心率e>1e>1e越大，张口越大，e越小，张口越小(1)双曲线只有两个顶点，即实轴的两个端点，而椭圆有四个顶点，即长轴两端点与短轴两端点．(2)双曲线的实轴、虚轴与椭圆的长轴、短轴既有区别又有联系，勿将它们混淆．(3)两个特殊的双曲线①等轴双曲线：实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．②共轭双曲线：实轴与虚轴互换的双曲线称为共轭双曲线，即x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)与y2b2－x2a2＝1(a>0，b>0)互为共轭双曲线．(4)双曲线的焦点总在实轴所在直线上，而椭圆的焦点总在长轴上．(5)双曲线中a、b、c的几何意义及特征三角形：①当双曲线焦点在x轴上时，a是实半轴长，b是虚半轴长，且c2＝a2＋b2，所以以a、b、c为三边长可构成直角三角形，如图，其中Rt △OA 2B 2称为双曲线的特征三角形．②当双曲线的焦点在y 轴上时，可得类似结论． (6)双曲线每一支上的所有点中顶点离焦点最近． 预习自测1．双曲线x 225－y 29＝1的顶点坐标是( A )A ．(±5,0)B ．(±5,0)或(0，±3)C ．(±4,0)D ．(±4,0)或(0，±3)[解析] ∵双曲线的顶点在x 轴上，又a ＝5，∴选A ．2．(2019·浙江卷，2)渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线的离心率是( C ) A ．22B ．1C ．2D ．2[解析] 由题意可得ba＝1，∴ e ＝1＋b 2a2＝1＋12＝ 2.故选C ．3．(2020·山东潍坊高二期末)双曲线方程为x 24－y 2＝1，则渐近线方程为( A )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±xD ．y ＝12x[解析] ∵双曲线方程为x 24－y 2＝1，则渐近线方程为x 24－y 2＝0，即y ＝±12x ，故选A ．4．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1(a >0)的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( B )A ．34B ．32C ．3D ．4[解析] 由题意得a 2＋5＝9，∴a 2＝4，∴a ＝2.∴离心率e ＝c a ＝32.5．(2020·北京卷，12)已知双曲线C ：x 26－y 23＝1，则C 的右焦点的坐标为__(3,0)__；C 的焦点到其渐近线的距离是[解析] 双曲线C ：x 26－y 23＝1中，c 2＝6＋3＝9，∴c ＝3，则C 的右焦点的坐标为(3,0)，C 的渐近线方程为y ＝±36x ，即y ＝±12x ，即x ±2y ＝0，则C 的焦点到其渐近线的距离d ＝33＝ 3.6．已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是y ＝±3x ，且双曲线过点(2，3)． (1)求双曲线的方程；(2)求双曲线的焦点到渐近线的距离．[解析] (1)设双曲线的方程为：3x 2－y 2＝λ(λ≠0)，点(2，3)代入得λ＝3，所以所求双曲线方程为x 2－y 23＝1. (2)由于双曲线的方程为x 2－y 23＝1，所以它的焦点为(－2，0)、(2,0)，点(－2,0)到直线y ＝±3x 的距离为d ＝|23|1＋3＝ 3.则双曲线的焦点到渐近线的距离为 3.互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向❶根据双曲线方程研究其几何性质典例1 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．[思路分析] 将双曲线方程化成标准方程，求出a 、b 、c 的值，然后依据各几何量的定义作答． [解析] 将9y 2－4x 2＝－36变形为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13， 因此顶点为A 1(－3,0)，A 2(3,0)， 焦点坐标为F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程y ＝±b a x ＝±23x .作草图如图：『规律方法』 由双曲线的标准方程求双曲线的有关性质的步骤是：先将双曲线方程化为标准形式x 2a 2－y 2b 2＝1(或y 2a 2－x 2b 2＝1)，再根据它确定a 、b 的值(注意它们的分母分别为a 2、b 2，而不是a 、b )，进而求出c ，再对照双曲线的几何性质得到相应的答案．画几何图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a 、2b 为两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图． ┃┃跟踪练习1__■求双曲线4x 2－y 2＝4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图． [解析] 将4x 2－y 2＝4变形为x 2－y 24＝1， 即x 212－y 222＝1，∴a ＝1，b ＝2，c ＝ 5. ∴顶点坐标为A 1(－1,0)、A 2(1,0)， 焦点坐标为F 1(－5，0)、F 2(5，0)， 实半轴长a ＝1，虚半轴长b ＝2， 离心率e ＝c a ＝51＝5，渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x ，作草图如图所示．命题方向❷利用几何性质求双曲线的标准方程典例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)实轴长为8，离心率为54；(2)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P (4，－10)．[解析] (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，2a ＝8.由题意知c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝4，c ＝5，b ＝3，∴标准方程为x 216－y 29＝1或y 216－x 29＝1.(2)由2a ＝2b 得a ＝b ，所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点P (4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6. ∴双曲线的标准方程为x 26－y 26＝1.『规律方法』 1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求得．2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为y ＝n m x 的双曲线方程可设为：x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0)；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．┃┃跟踪练习2__■根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦点在x 轴上，离心率为53，且经过点M (－3,23)；(3)双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且两顶点间的距离是6.[解析] (1)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54. ∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)设所求双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵e ＝53，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝259，∴b a ＝43. 由题意得⎩⎨⎧b a ＝439a 2－12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝94b 2＝4.∴所求的双曲线方程为x 294－y 24＝1.(3)若焦点在x 轴上，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意知2a ＝6，b a ＝23，∴a ＝3，b ＝2.∴双曲线的方程为x 29－y 24＝1.若焦点在y 轴上，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意知2a ＝6，a b ＝23，∴a ＝3，b ＝92.∴双曲线的方程为y 29－4x 281＝1.故所求双曲线方程为x 29－y 24＝1或y 29－4x 281＝1.命题方向❸双曲线的离心率典例3 (2019·全国卷Ⅱ理，11)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( A ) A ．2B ．3C ．2D ．5[思路分析] 利用双曲线和圆的性质，结合已知条件得到关于a ，c 的方程，进而求得双曲线的离心率．[解析] 设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 的坐标为(c,0)．由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，如图，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c2.由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2得⎝⎛⎭⎫c 22＋⎝⎛⎭⎫c 22＝a 2， 故ca＝2，即e ＝ 2.故选A ． 『规律总结』 1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求得．2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为y ＝n m x 的双曲线方程可设为：x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0)；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．┃┃跟踪练习3__■(1)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，则它的离心率为( A )A ．2B ．32C ．3D ．2(2)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( D )A ．73B ．54C ．43D ．53[解析] (1)由已知双曲线两条渐近线互相垂直， ∴b a ·(－ba )＝－1，即a 2＝b 2，即a ＝b ， ∴此双曲线是等轴双曲线，故e ＝ 2.(2)设a >0，b >0，因为双曲线渐近线方程为y ＝±b a x ，所以4＝±b a ×3而a >0，b >0，∴a ＝34b ，a 2＝916b 2，e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2＝259＝53，选D ． 命题方向❹实际应用问题典例4 如图所示，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿AP 、BP 运到P 处，其中|AP |＝100 m ，|BP |＝150 m ，∠APB ＝60°.怎样运土才能最省工？[思路分析] 半圆形横截面上的点可分三类：(1)沿AP 到P 较近；(2)沿BP 到P 较近；(3)沿AP 或BP 到P 等距离，其中第三类的点位于前两类点的分界线上．[解析] 设M 为分界线上任一点，则|MA |＋|AP |＝|MB |＋|BP |，即|MA |－|MB |＝|PB |－|P A |＝50 m ，所以M 在以A 、B 为焦点的双曲线的右支上．易得|AB |2＝17 500 m 2，建立如图所示的平面直角坐标系，得分界线所在的曲线方程为x 2625－y 23 750＝1(x ≥25)．故运土时，在双曲线左侧的土沿AP 运到P 处，右侧的土沿BP 运到P 处最省工． 『规律方法』 解决实际问题的主要方法是抽象出数学模型，用数学知识解决，最后再回归到实际问题中．要注意实际问题中变量的范围及数学模型求解结果的实际意义． ┃┃跟踪练习4__■A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 正东6 km ，C 在B 北偏西30°，相距4 km ，P 为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远．因此4 s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方向角．[解析]如图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则B(－3,0)，A(3,0)，C(－5,23)．因为|PB|＝|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上．设敌炮阵地坐标为(x，y)，BC的中点为D，易求k BC＝－3，D(－4，3)，所以直线PD：y－3＝13(x＋4)．①又|PB|－|P A|＝4，故P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且方程为x24－y25＝1(x＞0)．②联立①②，得x＝8，y＝53，所以P的坐标为(8,53)．因此k P A＝538－3＝ 3.故炮击的方向角为北偏东30°.命题方向❺直线与双曲线的位置关系典例5 已知曲线C：x2－y2＝1和直线l：y＝kx－1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为2，求实数k的值．[思路分析]第一步，审题．审结论明确解题方向，求k的值或k的取值范围，应利用条件建立k的方程或不等式求解；审条件发掘解题信息，直线与曲线交于不同两点，可利用判别式法求解，△AOB的面积为2，可利用割补法和根与系数的关系求解．第二步，建立联系，探寻解题途径．第(1)问，可将l与C的方程联立，消元利用Δ>0求k的取值范围；第(2)问可由A、B向x轴作垂线，将三角形面积转化为梯形与三角形面积的差或和用直线AB与y轴的交点，分割为两个三角形面积的和，利用根与系数的关系求解．第三步，规范解答．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1y ＝kx －1，消去y 整理，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0Δ＝4k 2＋8(1－k 2)>0，解得－2<k <2且k ≠±1.所以实数k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(1)得x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2. 又直线l 恒过点D (0，－1)，则S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝ 2.所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2， 即(－2k 1－k 2)2＋81－k 2＝8.解得k ＝0或k ＝±62，由(1)知上述k 的值符合题意，所以k ＝0或k ＝±62. ┃┃跟踪练习5__■ 过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线l 有( C ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝3，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x 2－y 22＝1，得y ＝±2，∴|AB |＝|y 1－y 2|＝4满足题意．当直线l 的斜率存在时，其方程为y ＝k (x －3)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)x 2－y 22＝1， 得(2－k 2)x 2＋23k 2x －3k 2－2＝0.当2－k 2≠0时，x 1＋x 2＝23k2k 2－2，x 1x 2＝3k 2＋2k 2－2，|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2(23k 2k 2－2)2－12k 2＋8k 2－2＝1＋k 216(k 2＋1)(k 2－2)2＝4(1＋k 2)|k 2－2|＝4，解得k ＝±22，故这样的直线有3条．学科核心素养 双曲线中的中点弦问题 解决双曲线中的弦的中点问题一是利用根与系数的关系及中点坐标来求解；二是利用“点差法”，找到斜率与中点坐标的关系来求解．如已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b2＝1x 22a 2－y 22b 2＝1，两式相减，得1a 2(x 21－x22)－1b 2(y 21－y 22)＝0， 变形得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2x 0a 2y 0.应用“点差法”时因不能确定直线与双曲线是否相交，因此，最后需将结果代回检验． 典例6 已知双曲线方程为2x 2－y 2＝2.(1)过定点P (2,1)作直线交双曲线于P 1，P 2两点，当点P (2,1)是弦P 1P 2的中点时，求此直线方程．(2)过定点Q (1,1)能否作直线l ，使直线l 与此双曲线相交于Q 1，Q 2两点，且Q 是弦Q 1Q 2的中点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．[解析] (1)若直线斜率不存在，即弦P 1P 2⊥x 轴，则由双曲线的对称性知弦P 1P 2的中点在x轴上，不可能是点P (2,1)，所以直线l 斜率存在． 故可设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)， 即y ＝kx －2k ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－y 2＝2，y ＝kx －2k ＋1消去y 并化简， 得(2－k 2)x 2＋2k (2k －1)x －4k 2＋4k －3＝0. 设直线l 与双曲线的交点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)． 当2－k 2≠0，即k 2≠2时，有x 1＋x 2＝－2k (2k －1)2－k 2.又点P (2,1)是弦P 1P 2的中点， ∴－2k (2k －1)2－k 2＝4，解得k ＝4.当k ＝4时，Δ＝4k 2(2k －1)2－4(2－k 2)(－4k 2＋4k －3)>0，当k 2＝2，即k ＝±2时，此时，直线的斜率与渐近线的斜率相等，即k ＝±2的直线l 与双曲线不可能有两个交点．综上所述，所求直线方程为y ＝4x －7.(2)假设这样的直线l 存在，设Q 1(x 1，y 1)，Q 2(x 2，y 2)，则有x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝1.∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，且⎩⎪⎨⎪⎧2x 21－y 21＝2，2x 22－y 22＝2，两式相减，得(2x 21－2x 22)－(y 21－y 22)＝0，∴2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0， ∴2(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0.若直线Q 1Q 2⊥x 轴，则线段Q 1Q 2的中点不可能是点Q (1,1)， ∴直线Q 1Q 2有斜率，于是k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2.∴直线Q 1Q 2的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，2x 2－y 2＝2，得2x 2－(2x －1)2＝2， 即2x 2－4x ＋3＝0，∴Δ＝16－24<0.这就是说，直线l 与双曲线没有公共点，因此这样的直线不存在．『规律方法』 (1)设出直线方程与双曲线方程联立，应用根与系数的关系求解；(2)首先假设符合条件的直线存在，抓住中点这一条件求解；(3)有关中点弦问题，应用点差法往往比较简单，但注意验证直线是否满足条件． ┃┃跟踪练习6__■已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (2,0)，直线3x －2y ＝0与双曲线C 的一个交点的横坐标为2.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过点(0,1)，倾斜角为135°的直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，求△OAB 的面积．[解析] (1)设双曲线C 的标准方程是x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意可知：点(2,3)在双曲线C 上，从而有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4，4a 2－9b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝3.所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 23＝1. (2)由已知得直线l 的方程为y ＝－x ＋1， 即x ＋y －1＝0，所以原点O 到直线l 的距离为d ＝|0＋0－1|12＋12＝12.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 23＝1，y ＝－x ＋1，消去y 可得x 2＋x －2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝－2， 所以|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋12·(－1)2－4×(－2)＝32，所以△OAB 的面积S ＝12|AB |·d＝12×32×12＝32. 易混易错警示 注意双曲线的焦点位置典例7 已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±34x ，求双曲线的离心率．[错解] 由题意得b a ＝34，∴b 2a 2＝916，∴9a 2＝16(c 2－a 2)，∴25a 2＝16c 2，∴e 2＝2516，∴e ＝54.[错解分析] 错解的原因是审题不认真，误认为双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax 而导致错误．[正解] 由题意得a b ＝34，∴a 2b 2＝916，∴16a 2＝9(c 2－a 2)，∴25a 2＝9c 2，∴e 2＝259，∴e ＝53.课堂达标·固基础1．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( C ) A ．x 2－y 24＝1 B ．x 24－y 2＝1C ．y 24－x 2＝1D ．y 2－x 24＝1 [解析] 由题意，选项A ，B 表示的双曲线的焦点在x 轴上，故排除A ，B ；C 项表示的双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，D 项表示的双曲线的渐近线方程为y ＝±12x .故选C ．2．(2020·安徽安庆市高二调研)“m ＝1”是“双曲线x 2m －y 23＝1的离心率为2”的( C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] ∵双曲线x 2m －y 23＝1的离心率为2，∴a 2＝m >0，b 2＝3. ∵e ＝c a＝1＋b 2a2＝1＋3m＝2，∴m ＝1.∴“m ＝1”是“双曲线x 2m －y 23＝1的离心率为2”的充要条件．故选C ．3．双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且经过点(－3,23)的双曲线方程为( D )A ．x 24－4y 29＝1B ．y 24－4x 29＝1C ．4y 29－x 24＝1D ．4x 29－y 24＝1[解析] 设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，把(－3,23)代入方程，得99－1216＝λ.所以λ＝14.故双曲线方程为x 29－y 216＝14.即4x 29－y 24＝1.故选D ． 4．(2018·北京文，12)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a ＞0)的离心率为52，则a ＝__4__.[解析] 由e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2知 a 2＋4a 2＝⎝⎛⎭⎫522＝54， ∴a 2＝16. ∵a ＞0，∴a ＝4.5．求双曲线y 2－2x 2＝1的离心率和渐近线方程． [解析] 双曲线方程化为标准方程形式为y 21－x 212＝1.所以a 2＝1，b 2＝12，焦点在y 轴上．所以a ＝1，b ＝22，c 2＝32，c ＝62. 所以e ＝c a ＝62.渐近线方程为y ＝±2x .。
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关于椭圆和Q－共轭的几何解释 邹谋炎
椭圆相关的共轭性质在最优化计算中有用。此注记可为学习者提供方便。
椭圆公式的矩阵－向量表达式如下
。 （1）
1] [0000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−
yy
xx
CB
BA
yyxx
这是一个以为中心的椭圆，其中的矩阵必须正定，即满足条件。这个
表达式中含有5个自由参数：。椭圆轴向与
),(00yx
02>−BAC
},,,,{00CBAyx
x
轴的夹角为θ，有公式
CAB−
=2)2tan(
θ
。 （2）
如果，则
CA=4/πθ±=。若0=B并且CA=
，则得到正圆。利用坐标旋转变换
（3）
⎥⎦⎤⎢
⎣
⎡
−
=θθθθcossinsincosR
可以将椭圆公式（1）变成主轴形：
， （4）
1'00)'(21=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
xx
λ
λ
T
其中 ，而
⎥⎦⎤⎢
⎣
⎡
−
−
⋅=
0
0
'yyxxRx
1λ和2
λ
是矩阵的两个特征值，
⎥⎦⎤⎢
⎣
⎡
CB
BA
)4)((22212,1BCACA+−±+=
λ
。 （5）
由公式（4），椭圆的长轴和短轴分别是
2,1
1
λ
，这里约定开根只取正值。
为了简化进一步结果的记号，在以下讨论中限定椭圆的中心在坐标原点处。椭圆公式为
， （6）
⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢
⎣
⎡
CBBAy
x
yx
QQ
,1] [
并满足。假定是椭圆上的一个点。以为切点，椭圆的切线方
程可以写成
02>−BAC
),(
000yxp=0
p
（7）
1] [
00
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡yxyxQ
使用向量描述，可以记，是一个从坐标原点到的一个向量。容易证明，
如果是椭圆在点切线上的一个向量，则有Q－共轭关系
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
0
0
0
y
x
p
),(
00
yx
M
p
0
p
。 （8）
00=MTQpp
事实上，假定是一个从点到点的向量，这两点都在切线M上，则有
M
p1p2p
0)(0120==−MTTQppppQp
图1 用于2维Q共轭的解说
椭圆的矩阵－向量表达很容易将以上结果推论到多维。以坐标原点为中心的N维
（N
≥
2）椭圆（椭球、或高维椭球）公式可以表达为
（9）
,1=Qxx
T
其中是一个N维向量，Q是一个N X N正定矩阵。假定是该N维椭圆上的一个点。
以为切点，N维椭圆的切面方程可以写成
x
0
0
p
p
（10）
,10=Qxp
T
这个公式的正确性可以通过（9）式计算N维椭球在点处任何一个维上的方向导数来检
验。将（10）式定义的切面记为M。设是M上的一个任意向量，则有Q－共轭关系
0
p
M
p
。 （11）
00=MTQpp
显然，根据上式，将理解为一个从切点指向椭圆中心的向量也是正确的。于是，我们可
以说，切面M的Q－共轭向量是一个从切点指向椭圆中心的向量。
0
p
图2 三维情况下Q－共轭关系的示意图
椭圆的这个性质是最优化技术中共轭梯度法或共轭方向法的基础。当使用梯度算法寻找
价格函数的最小值时，起始搜索方向带有随意性。但可以假定能够找到价格函数沿此方向的
一个极小值。这个极小值点应该是价格函数等高线中一个围道的切点。如果价格函数是二次
的，它的等高线是一组同中心椭圆。进而，二次价格函数有唯一的极小值点，处于各个等高
线椭圆的公共中心上。共轭方向指示了获得价格函数极小值点的正确方向。在二维情况下，
只需要二步就可以达到价格函数的极小值。在N维情况下，每次搜索只能在一个独立空间
维上进行，要确定N维椭球的一个N维切平面，原则上需要N－1个独立空间维搜索。因
此，处理形式为的二次形最小化问题，其中
Q
是一个N X N正定矩阵，使用
共轭梯度法时，至多只需要N次迭代搜索。图3示意了二维情况下共轭梯度搜索和常规梯
度搜索的差异。
bxQxxTT+
图3 说明共轭方向搜索和常规梯度方向搜索的差别