holstein–primakoff 变换
数值变换理论发展简介
数值变换理论发展简介1 引言一位著名的科学家曾经说过：人类活动的本质就是对信息进行加工和处理。
从信息论的观点看，所谓信息就是客观事物的时间、空间特性的总体反映，而信号则是观察客观事物表达其相应信息的技术手段，也就是信息的载体。
信息是通过信号来表达，对信息的加工和处理，也就表现为对信号的加工和处理。
目前信号处理广泛应用于许多领域中，比如结构的健康检测和损伤识别；地震信号中的分析和处理；去处信号噪音干扰；图象的压缩；图象的边缘检测；语音信号的分析、变换和综合等。
自从1822年傅立叶发表“热传导解析理论”以来，信号分析方法不断改进创新，影响较大的数值变换方法主要有Fourier变换、Garbor变换、小波变换，以及近年得到广泛应用的Hilbert-Huang 变换等。
本文将简要介绍这四种数值分析方法，总结其各自的特点。
2 主要数值分析方法介绍2.1 Fourier变换Fourier变换的理论是人类数学发展史上的一个里程碑，从1807年开始，直到1966年(1807年Fourier提出任意一个周期函数都可以表示为Fourier级数的结论是有误的，直到1966年才证明了2L可积的周期函数才能表示为Fourier 级数)，整整用了一个半世纪多，才发展成熟。
它在各个领域产生了深刻的影响，一度被认为是信号处理领域中最完美、应用最广泛、效果最好的一种手段。
Fourier 理论不仅仅在数学上有很大的理论价值，更重要的是Fourier 变换或Fourier 积分得到的频谱信息具有物理意义。
Fourier 变换表述为：任意一个周期为T(=π2)的函数)(t f ，都可以用三角级数表示：)(t f = ∑∞-∞=k iktk e C = 20a + ∑∞=1cos k k kt a + ∑∞=1sin k k kt b (1) k C = π21⎰-π20)(dt e t f ikt = *ikt e f , (2) k k k C C a -+= )(k k k C C i b --= (3)傅立叶变换是一种纯频域的分析方法，他在频域内的定位性是完全准确的（即频域分辨率最高）。
7第七章傅里叶变换
实用标准文案精彩文档第七章 傅立叶变换§7.0 引言7.0.1 “变换”的概念在数学上，为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，常采用“变换”手段。
例如初等数学中的利用对数将较复杂的乘、除运算化为较简易的加、减运算的做法，事实上就是一种变换，可称他为对数变换。
详细说即，为求两数A 与B 之积AB （商B A /），可使用对数变换、变换后的加（减）法运算、反对数变换三个步骤来完成：（1）、对数变换：对已知的A 、B 分别求出对数A lg 、B lg ； （2）、变换后的加（减）法运算：求出两个对数的和B A lg lg + (差B A lg lg -)； （3）、反对数变换：求出上述和（差）的反对数，即是AB （B A /）：)lg (lg lg 1B A AB +=- ()lg (lg lg /1B A B A -=-)。
这种方法总起来说是根据定理：“积（商）的对数等于对数的和（差）：B A AB lg lg )lg (+= (B A B A lg lg )/lg (-=)”得出的。
下图直观说明了对数变换的内在关系：乘（除）运算常规域中的运算： 正实数A ，B 积AB （商A/B ）对数变换lg （·） 反对数变换lg -1（·）变换后之域中的运算： 对数lgA 、lgB 对数和 lgA+lgB=lg(AB)加（减）运算 ( 对数差lgA-lgB=lg(A/B) )从数确定其对数值的变换称为正变换，从对数值确定其反对数值的变换称之为反变换或逆变换。
数与其对数值在一定条件（即A 、B 为正实数）下是一一对应的。
变换前的数常称为变换后的数的象原，变换后的数常称为变换前的数的象。
再例如解析几何中的坐标变换、复变函数中的保角变换等都属于这种变换，后面要谈的积分变换也是这样一类变换。
当然，说变换方法能化复杂运算为简单运算，不仅仅是因为变换后的运算较简单，实际上还依赖于变换及反变换容易进行，或者虽不易进行，但却可行，并且已由人们造表（如对数表、积分变换表等），通过查表而显得容易罢了。
K-L变换
K-L变换K-L变换（Karhunen-Loeve Transform）是建立在统计特性基础上的一种变换，有的文献也称为霍特林（Hotelling）变换，因他在1933年最先给出将离散信号变换成一串不相关系数的方法。
K-L变换的突出优点是相关性好，是均方误差（MSE，Mean Square Error）意义下的最佳变换，它在数据压缩技术中占有重要地位。
假定一幅N x N的数字图像通过某一信号通道传输M次，由于受随机噪音干扰和环境条件影响，接收到的图像实际上是一个受干扰的数字图像集合对第i次获得的图像fi(x,y) ，可用一个含N2 个元素的向量Xi 表示，即该向量的第一组分量（N个元素）由图像fi(x,y) 的第一行像素组成，向量的第二组分量由图像f i(x,y) 的第二行像素组成，依此类推。
也可以按列的方式形成这种向量，方法类似。
X向量的协方差矩阵定义为：m f定义为：C f 和m f 的表达式中，“E ”是求期望。
对于M幅数字图像，平均值向量m f 和协方差矩阵C f可由下述方法近似求得：可以看出，m f 是N2 个元素的向量，C f 是N2 x N2 的方阵。
根据线性代数理论，可以求出协方差矩阵的N2 个特征向量和对应的特征值。
假定是按递减顺序排列的特征值，对应的特征向量ei = 。
则K-L变换矩阵A定义为：从而可得K-L变换的变换表达式为：该变换式可理解为，由中心化图像向量X - mx 与变换矩阵A相乘即得到变换后的图像向量Y。
Y的组成方式与向量X相同。
K-L变换虽然具有MSE意义下的最佳性能，但需要先知道信源的协方差矩阵并求出特征值。
求特征值与特征向量并不是一件容易的事，维数较高时甚至求不出来。
即使能借助计算机求解，也很难满足实时处理的要求，而且从编码应用看还需要将这些信息传输给接收端。
这些因素造成了K-L变换在工程实践中不能广泛使用。
人们一方面继续寻求解特征值与特征向量的快速算法，另一方面则寻找一些虽不是“最佳”、但也有较好的去相关与能量集中的性能且容易实现的一些变换方法。
希尔伯特-黄变换方法
IMF 1; iteration 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
residue 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
IMF 1; iteration 1 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
residue 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
IMF 1; iteration 1 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
residue 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
IMF 1; iteration 1 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
residue 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
residue 1 0.5 0 -0.5 -1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
IMF 1; iteration 4 1 0.5 0 -0.5 -1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
分数阶傅立叶变换
FRFT的一般研究思路：
例如：分数阶傅立叶变换和Radon_Wigner变换的 关系。 信号分数阶傅立叶变换的模平方是信号在 该方向的Radon_Wigner变换。 利用这个结果可以研究基于分数阶傅立叶 变换的噪声背景下的线性调频信号检测方法。
FRFT的一般研究思路：
2.将FRFT视为时频面上的旋转算子
信号FRFT的时频分布是信号时频分布的一 个旋转。
可用于信号间的分离，噪声抑制。这是分 数阶傅立叶域滤波或扫频滤波的基本原理。进 一步提出分数阶傅立叶变换域的最佳滤波的概 念。
可以应用于多路复用技术。
FRFT的一般研究思路：
3.研究FRFT与其他时频分析方法的关系 研究与Wigner_Ville分布、小波变换、短
n
n
逆：
(F p )1 F p
分数阶傅立叶变换的性质：
可交换性：
F F p1 p2 F p2 F p1
可结合性：
(F p1 F p2 )F p3 F p1 (F p2 F p3 )
分数阶傅立叶变换的性质：
特征值与特征函数：
F p k
e jpk / 2 k
2
2
sin
例：
F p[s(t)](பைடு நூலகம்)
u cos（ d F p[s(t)](u)）＋（j2）sin （F p[s(t)](u)]）
dt
证明：
（F ps(u)) 1 j cot s(t) exp( j2 t2 u2 cot j2 tu )dt
主要研究方向和成果
FRFT的基本性质 FRFT与其他时频分析工具的关系 FRFT的光学实现技术和应用 FRFT的数值计算与快速算法 FRFT在信号处理中的应用 高维分数阶傅立叶变换的研究
数字图像处理 03图像变换(沃尔什变换)
6
数字图像处理讲义，2006，陈军波©中南民族大学
3.2.2 Walsh函数
WW (0,t) = 1 WW (1, t ) = R (1, t ) WW (2, t ) = R (2, t ) ⋅ R (1, t ) WW (3, t) = R (2, t)
W W ( 0 , t ) +1
-1 W W (1, t ) +1
t 1
WaWlsWh(序7,的t ) W= Ral(s3h,函t ) 数的特点: R(数1(1)的,是t )是完+-11偶备函的数正,交序函号数为,奇序数号1的为t是偶
WW (4,t) WW (5, t)
t 1 1t
R奇( 2函, t )数+1;可用于正交变换。 t
-1
1
WW (6,t)
1t
R(2(3),一t ) 个+1周期内,过零点数与序号
WW (0, t ) = R (3, t ) 0 ⋅ R ( 2, t ) 0 ⋅ R (1, t ) 0 = 1
5 101 111
WW (1, t ) = R (3, t ) 0 ⋅ R ( 2, t ) 0 ⋅ R (1, t )1 = R (1, t )
6 110 101 7 111 100
WW ( 2, t ) = R (3, t ) 0 ⋅ R ( 2, t )1 ⋅ R (1, t )1 = R ( 2, t ) ⋅ R (1, t )
WW (0,t) =1 WW (1,t) = R(1,t) WW (2,t) = R(2,t)⋅ R(1,t) WW (3,t) = R(2,t) WW (4,t) = R(3,t)⋅ R(2,t) WW (5,t) = R(3,t)⋅ R(2,t)⋅ R(1,t) WW (6,t) = R(3,t)⋅ R(1,t) WW (7,t) = R(3,t)
K-l变换.
1 2 L n
正交化后为*，将*T 记作A。 因此定义一维K L变换为
F *T f A f
反变换定义为
f *F AT F
图像霍特林变换
思想：将二维图像采用行堆叠或列堆叠转换为 一维处理。
Step1：同一幅图象l次传送，形成图象集合
列特征脸的线性加权和表示。此时待识别人脸问题 转换为投影系数向量，识别问题转换为分类问题。 最简单的分类是最小距离分类等。
K-L 变换的应用－人脸识别
❖谢谢！
✓ 变换Y=ATX与反变换X=AY即为K-L变换的变 换公式。
根据K-L变换的原理，A是X空间的协方差矩阵∑x的特 征向量矩阵的转置矩阵，即
A = ΦT =
由Y = AX 因此当n=3时,
Φ 11
Φ 21
Φ 12
Φ 22
...
Φ 1n
...
Φ 2n
... ... ... ...
Φ n1
Φ n2
...
Y = AX 式中：X为变换前多光谱空间的像元矢量；
Y为变换后多光谱空间的像元矢量； A为一个n×n的线性变换矩阵。
对于K-L变换中的矩阵A，必须满足以下要求：
✓ A为n×n正交矩阵，A=[φ1,φ2,φ3,…,φn] ✓ 对正交矩阵A来说，取φi为X的协方差矩阵∑x
的特征向量，协方差矩阵除对角线以外的元 素都是零
❖ K-L变换即主成分分析就可以简化大维数的数据集合。它还可以用于许 多图像的处理应用中，例如：压缩、分类、特征选择等。
K-L变换的原理
❖ 思想
▪ 目的是寻找任意统计分布的数据集合主要分量的子 集。
▪ 基向量满足相互正交性，且由它定义的空间最优的 考虑了数据的相关性。
第二章 量子变换理论 (优选.)
§2.2 线性量子变换简介（ LQT ）
一、数学准备
1、定义一 全体满足下式的 2n 维复矩阵 M ∈ C2n×2n
MΣBM = ΣB
0
ΣB
=
−
I
n
In
0
Σ
−1 B
=
−Σ
B
构成一个 2n 维复辛群 S p (2n,C) 。M 是 M 的转置矩阵，如果 M ∈ S p (2n,C) ，则 M ∈ S p (2n,C) 。
设： M
=
A B
D C
，则有：
M
−1
=
C
B
D A
，且有
AB = −BA ， DC = −CD ， CA + DB = In
如果 M ∈ F (2n,C) ，则 M ∈ F (2n,C) 。
6、两个推论
推论 1：设 A 为 2n 维对称矩阵 A = A ，则有 exp ( AΣB ) ∈ S p (2n,C)
第二章 量子变换理论
§2.1 表象理论 一、表象概述 （一）、Hilber 空间 1、在量子力学中，状态（波函数）用 Hilbert 空间的矢量描述，称为态矢量。 2、态矢量随时间的变化由 Hilbert 空间中的一个线性算符 H 决定
i ∂ Ψ,t = Hˆ Ψ(t) ∂t
（二）、表象的建立 1、在进行具体计算时，常常需要选用一定的“坐标系”，即进入一定的表象。
Ψn ϕβ
是 A 表象基矢与 B 表
B
象基矢的内积；从物理角度来看变换矩阵把 A 表象的基矢通过上式变换为 B 表象的基矢，它
21
实际上是联系两个基矢的变换矩阵。 2、变换矩阵的特点： S +S = SS + = I . （ S + = S −1 ）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
holstein–primakoff 变换
（实用版）
目录
1.概述 Holstein-Primakoff 变换
2.Holstein-Primakoff 变换的定义和公式
3.Holstein-Primakoff 变换的应用
4.Holstein-Primakoff 变换的优点和局限性
正文
【1.概述 Holstein-Primakoff 变换】
Holstein-Primakoff 变换是一种在量子力学中广泛应用的变换方法，主要用于将一个费米子（或玻色子）系统转换为一个具有更简单描述的系统。
这种变换方法最初由 Holstein 和 Primakoff 在 1940 年代独立提出，被广泛应用于核物理、凝聚态物理、量子信息等领域。
【2.Holstein-Primakoff 变换的定义和公式】
Holstein-Primakoff 变换的基本思想是将一个费米子（或玻色子）
系统的哈密顿量通过一个二次型变换转化为一个描述该系统准粒子激发
的哈密顿量。
其具体的变换公式如下：
对于费米子系统，变换公式为：
H_F = H_B + ∑_k λ_k (a_k^dagger a_k - a_k a_k^dagger)
对于玻色子系统，变换公式为：
H_B = H_F - ∑_k λ_k (a_k a_k^dagger - a_k^dagger a_k)
其中，H_F 和 H_B 分别表示费米子系统和玻色子系统的哈密顿量，
a_k 和 a_k^dagger 分别是费米子（或玻色子）的创建和湮灭算符，λ_k 是变换参数。
【3.Holstein-Primakoff 变换的应用】
Holstein-Primakoff 变换在许多领域都有广泛的应用，包括：
（1）核物理：在核物理中，Holstein-Primakoff 变换被用于描述核的壳层结构和核的转动能级。
（2）凝聚态物理：在凝聚态物理中，Holstein-Primakoff 变换被用于描述电子气和晶格振动的相互作用，例如，在超导和高温超导材料中。
（3）量子信息：在量子信息中，Holstein-Primakoff 变换被用于描述量子比特（或量子克隆）的性质，以及在量子计算中实现量子纠错和量子加密等。
【4.Holstein-Primakoff 变换的优点和局限性】
Holstein-Primakoff 变换的优点在于它能够将一个复杂的费米子（或玻色子）系统转换为一个相对简单的准粒子系统，从而简化问题的描述。
此外，Holstein-Primakoff 变换还可以揭示系统中的一些本质特性，例如，费米子的统计性质和玻色子的凝聚性质。
然而，Holstein-Primakoff 变换也有其局限性。
首先，这种变换方法只适用于某些特定的费米子（或玻色子）系统，例如，对于相互作用强度较大的系统，Holstein-Primakoff 变换可能不再适用。