第19章专题21：一次函数的增减性-通用版八年级下册数学专题练
人教版数学2022-2023学年八年级下册第十九章一次函数同步练习题含答案
(3)当y=19.5时，求x的值．
参考答案：
1．D
【分析】先根据 ，且 判断出k的正负，然后根据一次函数的性质判断即可．
【详解】解：∵ ，且 ，
∴k<0，
∴一次函数图象经过一二四象限．
故先D．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数y=kx+b（k为常数，k≠0），当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小．当b＞0，图象与y轴的正半轴相交，当b<0，图象与y轴的负半轴相交，当b=0，图象经过原点．
（3）每分钟的进水量根据前4分钟的图象求出，出水量根据后8分钟的水量变化求解．
（1）
解：设y＝ax．
∵图象过（4，20），
∴4a＝20，
∴a＝5．
∴y随x变化的函数关系式为y＝5x（0≤x≤4）；
（2）
解：设y＝kx+b．
∵图象过（4，20）、（12，30），
∴ ，解得： ，
∴y与x的函数解析式为y＝ x+15（4≤x≤12）；
12．一次函数y=1－5x经过点（0，______）与点( )，0），y随x的增大而______.
三、解答题
13．有一进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y．单位：L．与时间x．单位：分．之间的关系如图所示：
试题解析：∵函数 的图象过一、二、四象限，
解得-1＜m＜1．
15．(1)y=14+x（4<x<14）
(2)y=20
(3)x=5.5
【分析】（1）根据三角形的周长公式，可得函数关系式，根据三角形三边的关系，可得自变量的取值范围；
八年级数学下册 第19章《一次函数》专题训练(七)函数的图象 新人教版(2021年整理)
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专题训练(七）函数的图象-—教材P83习题19.1综合运用第9题的变式与应用【例】(教材P83习题19.1综合运用第9题）1.已知张强家、体育场、文具店在同一直线上．下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家，图中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象回答下列问题：（1）体育场离张强家多远？张强从家到体育场用了多少时间?（2）体育场离文具店多远？(3)张强在文具店停留了多少时间？（4)张强从文具店回家的平均速度是多少？【解答】（1）体育场离张强家2.5千米，张强从家到体育场用了15分钟．（2）体育场离文具店2。
5－1。
5＝1(千米）．(3）张强在文具店停留了65－45＝20(分钟）．(4)张强从文具店回家的平均速度是1.5÷（100－65)＝错误!（千米/分）．【方法归纳】从函数图象中获取信息的方法：①看清横坐标、纵坐标各表示哪个量,这个过程属于哪种变化；②从左至右，分析每段函数图象上自变量和函数值如何变化；③平行于x 轴的线段，自变量值在变，函数值不变；④观察图象是否是几种变化的组合，以便分情况讨论变化规律．1．小强每天从家到学校上学行走的路程为900 m，某天他从家去上学是以每分30 m的速度行走了450 m，为了不迟到他加快了速度，以每分45 m的速度行走完剩下的路程,那么小强离学校的路程s(m）与他行走的时间t(min）之间的函数关系用图象表示正确的是（D）2．甲、乙两人进行慢跑练习，慢跑路程y(米）与所用时间t(分钟)之间的关系如图所示，下列说法错误的是（A)A．甲、乙两人8分钟各跑了800米B．前2分钟,乙的平均速度比甲快C．5分钟时两人都跑了500米D．甲跑完800米的平均速度为100米/分钟3．(黄冈中考)货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地．已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y(千米）与各自行驶时间t(小时）之间的函数图象是（C）4．甲、乙两人相约到某50米长的标准游泳池去进行100米游泳比赛，其规则定为：甲前50 m 先游自由泳,折回的后50 m改游蛙泳，而乙前50 m先游蛙泳，折回的后50 m改游自由泳，已知甲游自由泳比乙游自由泳的速度快，并且两人游自由泳的速度均比游蛙泳的速度快（假设甲、乙两人游自由泳和蛙泳均保持匀速运动），若两人同时从泳道起点出发，最后两人同时游到泳道的终点，则下列图中可用来表示甲、乙两人离开泳道起点的距离s与所用的时间t的函数关系的大致图象(A)5．清清从家步行到公交车站台，等公交车去学校．下公交车后又步行了一段路程才到学校．图中的折线表示清清的行程s（米)与所花时间t（分钟)之间的函数关系．下列说法错误的是（D)A．清清等公交车时间为3分钟B．清清步行的速度是80米/分钟C．公交车的速度是500米/分钟D．清清全程的平均速度为290米/分钟提示：清清全程的平均速度为272米/分钟．6．（遵义中考)如图1，四边形ABCD中，AB∥CD,∠ADC＝90°，P从A点出发,以每秒1个单位长度的速度，按A→B→C→D的顺序在边上匀速运动，设P点的运动时间为t秒，△PAD的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示，当P运动到BC中点时，△PAD的面积为5。
人教版初中八年级数学下册第十九章《一次函数》经典测试题(含答案解析)(2)
一、选择题1．点()1,A a y 、()22,B a y 都在一次函数0)(2y ax a a =-+≠的图象上，则1y 、2y 的大小关系是（ ）A ．12y y >B ．12y y =C ．12y y <D ．不确定A解析：A【分析】根据题意，分别表示出1y ，2y ，再判断12y y -的正负性，即可得到答案．【详解】∵点()1,A a y 、()22,B a y 都在一次函数0)(2y ax a a =-+≠的图象上，∴212y a a =-+，224y a a =-+，∴22212(2)(4)2y y a a a a a -=-+--+=＞0， ∴12y y >，故选A ．【点睛】本题主要考查一次函数图像上点的坐标特征，掌握作差法比较大小，是解题的关键． 2．下列图形中，表示一次函数y ＝mx ＋n 与正比例函数y ＝mnx （m ，n 为常数，且mn≠0）的图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．A解析：A【分析】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论mn 的符号，然后根据m 、n 同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．【详解】解：①当mn ＞0，m ，n 同号，同正时y ＝mx ＋n 过1，3，2象限，同负时过2，4，3象限；②当mn ＜0时，m ，n 异号，则y ＝mx ＋n 过1，3，4象限或2，4，1象限．【点睛】此题主要考查一次函数与正比例函数的图象判断，解题的关键是熟知一次函数的图象与性质．3．甲、乙两汽车从A 城出发前往B 城，在整个行程中，汽车离开A 城的距离y 与时间t 的对应关系如图所示．下列结论错误的是（ ）．A ．A ，B 两城相距300kmB ．行程中甲、乙两车的速度比为3∶5C ．乙车于7：20追上甲车D ．9：00时，甲、乙两车相距60km C解析：C【分析】 根据题意得A ，B 两城相距300km ，结合图表甲、乙两车消耗的总时间，可计算得甲、乙两车的速度，从而得到乙车追上甲车和在9：00时甲、乙两车的距离，从而得到答案．【详解】根据题意得：A ，B 两城相距300km ，故选项A 结论正确；根据题意得：甲车从A 城出发前往B 城共消耗5小时，乙车从A 城出发前往B 城共消耗3小时； 甲车的速度300==60km/h 5 乙车的速度300==100km/h 3∴行程中甲、乙两车的速度比为603=1005，故答案B 结论正确； 设乙车出发x 小时后，乙车追上甲车 得：()601100x x += ∴32x = ∵乙车于6：00出发∴乙车于7：30追上甲车，故选项C 结论错误；∵9：00时，甲车还有一个小时的到B 城∴9：00时，甲、乙两车相距60160km ⨯=，故选项D 结论正确；【点睛】本题考查了函数图像和一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握函数图像的性质，从而完成求解．4．已知56a =-，56b =+，则一次函数y ＝(a ＋b )x ＋ab 的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．C 解析：C【分析】计算a ＋b 和ab 的值 ，根据一次函数的性质，可以得到该函数图象经过哪几个象限，本题得以解决．【详解】解：∵a ＋b=56-+56+=250>，ab=()()5656-+=10-<， ∴该函数的图象经过第一、三、四象限，故选：C ．【点睛】本题考查一次函数的图象，二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．5．某游泳馆新推出了甲、乙两种消费卡，设游泳次数为x 时两种消费卡所需费用分别为y 甲，y 乙元，y 甲，y 乙与x 的函数图象如图所示，当游泳次数为30次时选择哪种消费卡更合算（ ）A ．甲种更合算B ．乙种更合算C ．两种一样合算D ．无法确定B解析：B【分析】 根据一次函数的图象，哪个函数图象在上面，哪个就大，直接得出答案即可．【详解】解：利用图象，当游泳次数大于10次时，y 甲在y 乙上面，即y 甲＞y 乙，∴当游泳次数为30次时，选择乙种方式省钱．【点睛】此题主要考查了一次函数的应用以及利用函数图象比较函数大小，利用数形结合得出是解题关键．6．已知一次函数(6)1y a x =-+经过第一、二、三象限，且关于x 的不等式组1()0232113a x x x ⎧-->⎪⎪⎨+⎪+≥⎪⎩恰有 4 个整数解，则所有满足条件的整数a 的值的和为（ ） A ．9B ．11C ．15D ．18A解析：A【分析】 根据关于x 的不等式组10232113a x x x ⎧⎛⎫--> ⎪⎪⎪⎝⎭⎨+⎪+≥⎪⎩恰有4个整数解以及一次函数(6)1y a x =-+经过第一、二、三象限，可以得到a 的取值范围，然后即可得到满足条件的a 的整数值，从而可以计算出满足条件的所有整数a 的和，本题得以解决．【详解】 解：由不等式组10232113a x x x ⎧⎛⎫--> ⎪⎪⎪⎝⎭⎨+⎪+≥⎪⎩，解得23a x -≤<， ∵不等式组恰有4个整数解， ∴123a <≤， ∴36a <≤，∵一次函数(6)1y a x =-+的图象经过第一、二、三象限， ∴60a ->，∴6a <，∴36a <<，又∵a 为整数，∴a=4或5，∴满足条件的所有整数a 的和为4+5=9，故选：A ．【点睛】本题考查一次函数的性质、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．7．一艘轮船在航行中遇到暗礁，船身有一处出现进水现象，等到发现时，船内已有一定积水，船员立即开始自救，一边排水一边修船，假设轮船触礁后的时间为x分钟，船舱内积水量为y吨，修船过程中进水和排水速度不变，修船完工后排水速度加快，图中的折线表示y与x的函数关系，下列说法中：①修船共用了38分钟时间；②修船过程中进水速度是排水速度的3倍；③修船完工后的排水速度是抢修过程中排水速度的4倍；④最初的仅进水速度和最后的仅排水速度相同，其中正确的信息判断是（）A．①②B．②③C．②④D．③④D解析：D【分析】当0≤x≤10时,可求出修船时的进水速度，当10≤x≤26时，可求出修船时的出水速度从而判断①②，当x≥26时，可求出修船后的出水速度，即可判断③，进而可判断④．【详解】有图像可知：第10分钟时，进水速度减小，即第10分钟开始修船，第26分钟时不再进水，即第26分钟停止修船，所以修船共用了16分钟时间，故①错误；当0≤x≤10时，进水速度=40÷10=4（吨/分），当10≤x≤26时，应进水：4×16=64（吨），实际进水：88-40=48（吨），则排水速度=（64-48）÷16=1（吨/分），所以修船过程中进水速度是排水速度的4倍，故②错误；当x≥26时，排水速度=88÷（48-26）=4（吨/分），所以修船完工后的排水速度是抢修过程中排水速度的4倍，故③正确；由当0≤x≤10时，进水速度=40÷10=4（吨/分），x≥26时，排水速度=88÷（48-26）=4（吨/分），可知：最初的仅进水速度和最后的仅排水速度相同，故④正确．故选D【点睛】本题主要考查函数图像，掌握函数图像上点的坐标的实际意义，是解题的关键．8．如图，直线y＝kx（k≠0）与y＝23x+2在第二象限交于A，y＝23x+2交x轴，y轴分别于B、C两点．3S△ABO＝S△BOC，则方程组236kx yx y-=⎧⎨-=-⎩的解为（）A．143xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩B．321xy⎧=-⎪⎨⎪=⎩C．223xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩D．3432xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C解析：C 【分析】先根据223y x=+可得B、C的坐标，进而确定OB、OC的长，然后根据3S△ABO＝S△BOC结合点A在第二象限确定A点的纵坐标，然后再根据点A在y＝23x+2上，可确定点A的横坐标即可解答．【详解】解：由223y x=+可得B（﹣3，0），C（0，2），∴BO＝3，OC＝2，∵3S△ABO＝S△BOC，∴3×12×3×|yA|＝12×3×2，解得y A＝±23，又∵点A在第二象限，∴y A＝23，当y＝23时，23＝23x+2，解得x＝﹣2，∴方程组236kx yx y-=⎧⎨-=-⎩的解为223xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩．故答案为C．【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，理解方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标成为解答本题的关键．9．对函数22y x =-+的描述错误是（ ）A ．y 随x 的增大而减小B ．图象经过第一、三、四象限C ．图象与x 轴的交点坐标为(1,0)D ．图象与坐标轴交点的连线段长度等于5B 解析：B【分析】根据一次函数的图象与性质即可判断A 、B 两项，求出直线与x 轴的交点即可判断C 项，求出直线与y 轴的交点，再根据勾股定理即可求出图象与坐标轴交点的连线段长度，进而可判断D 项，于是可得答案．【详解】解：A 、因为﹣2＜0，所以y 随x 的增大而减小，故本选项说法正确，不符合题意； B 、函数22y x =-+的图象经过第一、二、四象限，故本选项说法错误，符合题意； C 、当y=0时，220x -+=，所以x=1，所以图象与x 轴的交点坐标为(1,0)，故本选项说法正确，不符合题意；D 、图象与x 轴的交点坐标为(1,0)，与y 轴的交点坐标为（0，2），所以图象与坐标轴交点的连线段长度等于22125+=，故本选项说法正确，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与坐标轴的交点以及勾股定理等知识，属于基础题目，熟练掌握一次函数的基本知识是解题的关键．10．直线y mx b =+与y kx =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式mx b kx +<的解集为（ ）A ．3x >-B ．3x <-C ．1x >-D ．1x <-C解析：C【分析】 根据图象可得，直线y ＝mx ＋b 与y ＝kx 的交点坐标为（−1，3），所以当x ＞−1时，直线y ＝mx ＋b ，落在直线y ＝kx 的下方，可得关于x 的不等式mx ＋b ＜kx ．即可得结论．【详解】根据图象可知：直线y mx b =+与y kx =的交点坐标为：(1,3)-，则关于x 的不等式mx b kx +<的解集为1x >-．故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解决本题的关键是掌握一次函数与一元一次不等式的关系．二、填空题11．已知点)(,A m n 在一次函数53y x =+的图像上，则53n m -+的值是______．6【分析】将点代入一次函数中得n-5m=3即可代入求值【详解】∵点在一次函数的图像上∴5m+3=n ∴n-5m=3∴=3+3=6故答案为：6【点睛】此题考查一次函数图象上点坐标特点已知式子的值求代数式解析：6【分析】将点)(,A m n 代入一次函数53y x =+中得n-5m=3，即可代入求值．【详解】∵点)(,A m n 在一次函数53y x =+的图像上，∴5m+3=n ，∴n-5m=3，∴53n m -+=3+3=6，故答案为：6．【点睛】此题考查一次函数图象上点坐标特点，已知式子的值求代数式的值，掌握函数图象上点坐标特点是解题的关键．12．如图，直线l 是一次函数y kx b =+的图象，若点()4,A m 在直线l 上，则m 的值是____． 3【分析】观察函数图象找出点的坐标利用待定系数法可求出直线的函数关系式再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出的值【详解】解：将代入得：解得：直线的函数关系式为当时故答案为：3【点睛】本题考查了一次解析：3【分析】观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法可求出直线l 的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出m 的值．【详解】解：将(2,0)-，(0,1)代入y kx b =+，得：201k b b -+=⎧⎨=⎩， 解得：121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线l 的函数关系式为112y x =+． 当4x =时，14132m =⨯+=． 故答案为：3．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、函数图象以及待定系数法求一次函数解析式，根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键．13．如图，直线y ax b =+与x 轴交于A 点(4,0)，与直线y mx =交于B 点(2,)n ，则关于x 的一元一次方程ax b mx -=的解为___________．参考答案【分析】首先根据两直线交于点B 可联立方程组求出x 的值在通过求得x 即可得解；【详解】∵∴解得：∵直线与直线交于点∴由得：∴∴关于x 的一元一次方程的解为：故答案是：【点睛】本题主要考查了一次函数的图像性 解析：2x =-【分析】首先根据两直线交于点B ，可联立方程组求出x 的值，在通过ax b mx -=求得x ，即可得解；【详解】∵y ax b y mx=+⎧⎨=⎩， ∴ax b mx +=，解得：b x m a=-， ∵直线y ax b =+与直线y mx =交于B 点(2,)n ，∴2bm a =-，由ax b mx -=，得：b x m a=--， ∴2bx m a =-=--，∴关于x 的一元一次方程ax b mx -=的解为：2x =-．故答案是：2x =-．【点睛】 本题主要考查了一次函数的图像性质，准确分析计算是解题的关键．14．已知直线22y x =-与x 轴交于A ，与y 轴交于B ，若点C 是坐标轴上的一点，且AC AB =，则点C 的坐标为________．【分析】利用待定系数法求出两点坐标利用勾股定理求出根据确定点坐标即可【详解】解：令得到令得到以为圆心长为半径作圆交坐标轴即为点或故答案为：【点睛】本题考查一次函数的应用等腰三角形的判定和性质等知识熟解析：()1+()1()0,2 【分析】利用待定系数法求出A 、B 两点坐标，利用勾股定理求出AB ，根据AC AB =，确定点C 坐标即可．【详解】解：令0x =，得到2y =-，(0,2)B ，令0y =，得到1x =，(1,0)A ∴，1OA ∴=，2OB =， 22125AB ，以A 为圆心，AB 长为半径作圆，交坐标轴即为C 点，5ACAB ， (15C ，0)，(15，0)或(0,2)，故答案为：()1+、()1-、()0,2．．【点睛】本题考查一次函数的应用，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握待定系数法确定交点坐标是解题的关键．15．已知一次函数5y x m =+的图象与正比例函数y kx =的图象交于点(2,4)(,k m -是常数)，则关于x 的方程5x kx m =-的解是________．【分析】由题意可知当x=-2时一次函数与正比例函的函数值相同从而可得到方程的解【详解】解：一次函数图象与正比例函数图象交于点所以则则所以方程的解是故答案为：【点睛】本题考查一次函数与一次方程组的关系解析：2x =-【分析】由题意可知当x=-2时，一次函数5y x m =+与正比例函y kx =的函数值相同，从而可得到方程的解．【详解】解：一次函数5y x m =+图象与正比例函数y kx =图象交于点(2,4)-，所以5y x m y kx =+⎧⎨=⎩，则5x m kx +=，则5x kx m =-， 所以，方程5x kx m =-的解是2x =-，故答案为：2x =-．【点睛】本题考查一次函数与一次方程组的关系，一次函数的交点坐标就是它们的解析式组成的方程组的解．16．如图，函数(0)y kx k =≠和4(0)y ax a =+≠的图象相交于点(1,1)A -，则不等式4kx ax <+的解集为__________．【分析】由图象可以知道当x=-1时两个函数的函数值是相等的再根据函数的增减性可以判断出不等式的解集【详解】解：两条直线的交点坐标为（-11）当x ＜-1时直线y=ax+4在直线y=kx 的下方当x ＞-1 解析：1x >-【分析】由图象可以知道，当x=-1时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式4kx ax <+的解集．【详解】解：两条直线的交点坐标为（-1，1），当x ＜-1时，直线y=ax+4在直线y=kx 的下方，当x ＞-1时，直线y=ax+4在直线y=kx 的上方，故不等式kx ＜ax+4的解集为x>-1．故答案为：x>-1．【点睛】本题考查了一次函数和一元一次不等式的知识点，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数12y x b =--与正比例函数32y x =的图象交于点()2,A m ，与x 轴交于点B （5，0），则△OAB 的面积是________．【分析】先求出A 点坐标再过点A 作AC ⊥OB 垂足为C 用三角形面积公式即可求出面积【详解】解：把点代入得解得∴A 点坐标为（23）过点A 作AC ⊥OB 垂足为C ∵点B 坐标为（50）∴S △OAB=故答案为：【点 解析：152 【分析】 先求出A 点坐标，再过点A 作AC ⊥OB ，垂足为C ，用三角形面积公式即可求出面积．【详解】解：把点()2,A m 代入32m x =，得 322m =⨯， 解得，3m =，∴A 点坐标为（2，3），过点A 作AC ⊥OB ，垂足为C ，∵点B 坐标为（5，0），∴S △OAB =111553222OB AC ⨯⨯=⨯⨯=， 故答案为：152．【点睛】本题考查了求正比例函数图象上点的坐标和利用坐标求三角形面积，解题关键是求出A 点坐标．18．如图，平面直角坐标系xOy 中，()0,2A ，()2,0B ，C 为AB 的中点，P 是OB 上的一个动点，ACP ∆周长最小时，点P 的横坐标是______．【分析】根据中点坐标公式求得C 点坐标作点A关于x 轴的对称点A′连接A′C 交x 轴于点P 此时△ACP 周长最小求直线A′C 的解析式然后求其与x 轴的交点坐标从而求解【详解】解：∵为的中点∴C 点坐标为（11） 解析：23【分析】根据中点坐标公式求得C 点坐标，作点A 关于x 轴的对称点A′，连接A′C ，交x 轴于点P ，此时△ACP 周长最小，求直线A′C 的解析式，然后求其与x 轴的交点坐标，从而求解．【详解】解：∵()0,2A ，()2,0B ，C 为AB 的中点，∴C 点坐标为（1，1）作点A 关于x 轴的对称点A′，连接A′C ，交x 轴于点P ，此时△ACP 周长最小， 由对称的性质可得A′点坐标为（0，-2）设直线A′C 的解析式为y=kx+b ，将（0，-2），（1，1）代入解析式可得21b k b =-⎧⎨+=⎩，解得：2=3b k =-⎧⎨⎩∴直线A′C 的解析式为y=3x-2，当y=0时，3x-2=0，解得23x =∴点P 的坐标为（23，0） 故答案为：23．【点睛】本题考查一次函数与几何图形，掌握一次函数的性质，利用数形结合思想解题是关键．19．已知一次函数y＝2x+b的图象经过点A（2，y1）和B（﹣1，y2），则y1_____y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．＞【分析】由k＝2＞0利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大结合2＞﹣1即可得出y1＞y2【详解】解：∵k＝2＞0∴y随x的增大而增大又∵2＞﹣1∴y1＞y2故答案为：＞【点睛】本题考查一次函数解析：＞【分析】由k＝2＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，结合2＞﹣1即可得出y1＞y2．【详解】解：∵k＝2＞0，∴y随x的增大而增大，又∵2＞﹣1，∴y1＞y2．故答案为：＞．【点睛】本题考查一次函数的增减性，根据比例系数k的正负，判断y随x的变化规律是解题关键．，且y随x的增大而减小，则这个一次函数的解20．已知一个一次函数的图象过点(1,2)析式为__________．（只要写出一个）y=-x+1(答案不唯一)【分析】设一次函数的解析式为y=kx+b根据一次函数的性质得k＜0取k=-1然后把（-12）代入y=-x+b 可求出b【详解】解：设一次函数的解析式为y=kx+b∵y随x的增解析：y=-x+1．(答案不唯一)【分析】设一次函数的解析式为y=kx+b，根据一次函数的性质得k＜0，取k=-1，然后把（-1，2）代入y=-x+b可求出b．【详解】解：设一次函数的解析式为y=kx+b ，∵y 随x 的增大而减小，∴k 可取-1，把（-1，2）代入y=-x+b 得1+b=2，解得b=1，∴满足条件的解析式可为y=-x+1．故答案为y=-x+1．(答案不唯一)【点睛】本题考查了一次函数y=kx+b 的性质：k ＞0，y 随x 的增大而增大，函数从左到右上升；k ＜0，y 随x 的增大而减小，函数从左到右下降．三、解答题21．如图，在平面直角坐标系中，已知(,0)A a ，(,0)B b ，其中a ，b 满足|1|30a b ++-=．（1）填空：a =______，b =______．（2）如果在第三象限内有一点(2,)M m -，请用含m 的式子表示ABM 的面积．（3）在（2）条件下，当52m =-时，在y 轴上有一点P ，使得BMP 的面积与ABM 的面积相等，请求出点P 的坐标． 解析：（1）1-；3；（2）△ABM 的面积为2m -；（3）点P 的坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或70,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【分析】（1）根据非负数性质可得a 、b 的值；（2）根据三角形面积公式列式整理即可；（3）先根据（2）计算S △ABM ，再分两种情况：当点P 在y 轴正半轴上时、当点P 在y 轴负半轴上时，利用割补法表示出S △BMP ，根据S △BMP =S △ABM 列方程求解可得． 【详解】解：（1）∵|1|30a b +-=，∴10a +=，30b -=，∴1a =-，3b =；（2）如图1所示，过M 作ME x ⊥轴于E ，∵(1,0)A -，(3,0)B ，∴1OA =，3OB =，∴4AB =，∵在第三象限内有一点(2,)M m -，∴||ME m m ==-， ∴114()222ABM S AB ME m m =⨯=⨯⨯-=-． （3）设(0,)P n ，BM 交y 轴于点C ，连接MP ，BP 如下图：设直线BM 的解析式为y kx b =+， 把(3,0)B ，52,2M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入得 30522k b k b +=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩， 解之得：1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 即1322y x =-，∴30,2C ⎛⎫-⎪⎝⎭， 当52m =-时，11545222ABM m S AB y =⋅=⨯⨯=． ∵BMP ABM SS =， ∴()1||52x x B M PC -=， 即13(32)522n ⨯++=， 解之得：12n =或72n =-， 综上，点P 的坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或70,2⎛⎫-⎪⎝⎭． 【点睛】 本题主要考查了非负数的性质，坐标与图形的性质，利用待定系数法求一次函数解析式，利用割补法表示出△BMP 的面积等知识，根据题意建立方程是解题的关键．22．已知y 与1x -成正比例，当3x =时，4y =，求y 与x 之间的函数关系式． 解析：22y x =-【分析】首先根据题意设出关系式：y=k （x-1），再利用待定系数法把x=3，y=4代入，可得到k 的值，再把k 的值代入所设的关系式中，可得到答案；【详解】解：因为y 与1x -成正比例，所以设()1y k x =-（0k ≠）∵当3x =时，4y =，∴()431k =-解得2k =所以， y 与x 之间的函数关系式为：22y x =-【点睛】此题主要考查了对正比例的理解，关键是设出关系式，代入x ，y 的值求k ．23．天府七中科创小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A 、B 、C 三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A 、B 两点同时同向出发，经过7min 同时到达C 点，乙机器人始终以60m/min 的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y （m ）与他们的行走时间x （min ）之间的图象，请结合图象，回答下列问题．（1）A 、B 两点之间的距离是________m ，甲机器人前2min 的速度为________m/min ． （2）若前3min 甲机器人的速度不变，求出前3min ，甲、乙两机器人之间的距离y （m ）与他们的行走时间x （min ）之间的关系式．（3）若前3min 甲机器人的速度依然不变，当两机器人相距不超过28m 时，求出时间a 的取值范围．解析：（1）70，95；（2）3570y x =-；（3）1.2 2.8t ≤≤或4.67t ≤≤．【分析】（1）根据图象结合题意，即可得出A 、B 两点之间的距离是70m ．设甲机器人前2min 的速度为xm/min ，根据2分钟甲追上乙列出方程，即可求解；（2）先求出F 点的坐标，再设线段EF 所在直线的函数解析式为y ＝kx ＋b ，将()2,0E 、()3,35F 两点的坐标代入，利用待定系数法即可求解；（3）设()0,70D ，()2,0E ，根据图象可知两机器人相距28m 时有三个时刻（0～2，2～3，4～7）分别求出DE 所在直线的解析式、GH 所在直线的解析式，再令28y =，列出方程求解即可．【详解】（1）由题意可知，A 、B 两点之间的距离是70m ，设甲机器人前2min 的速度为m /min x ，根据题意得2(60)70x -=，解得95x =．（2）若前3min 甲机器人的速度不变，由（1）可知，前3min 甲机器人的速度95m/min ， 则点F 纵坐标为：(32)(9560)35-⨯-=，即()3,35F ，设线段EF 所在直线的函数解析为：y kx b =+，将()2,0E ，()3,35F 代入，得20335k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得3570k b '=⎧⎨=-⎩， 则线段EF 所在直线的函数解析式为：3570y x =-．（3）如图：设()0,70D ，()7,0H ，∵()0,70D ，()2,0E ，∴线段DE 所在直线的函数解析式为：3570y x =-+，()4,35G ，()7,0H ，∴线段GH 所在直线的函数解析式为：3524533y x =-+， 设两机器人出发min t 时相距28m ，由题意得：357028t -+=或357028t -=，或352452833t -+=， 解得： 1.2t =或28t =.或 4.6t =， 1.2 2.8t ∴≤≤或4.67t ≤≤时，两机器人相距不超过28m ．【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．24．如图，已知直线113y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt ABC △，90BAC ∠=︒．（1）A 点坐标为________，B 点坐标为________；（2）求直线BC 的解析式；（3）点P 为直线BC 上一个动点，当S 3S AOP AOB =时，求点P 坐标．解析：（1）（3，0）；（0，1）．（2）直线BC 的解析式为y=12x+1．（3）点P 的坐标为（4，3）或（-8，-3）．【分析】 （1）分别代入y=0，x=0，求出与之对应的x ，y 的值，进而可得出点A ，B 的坐标； （2）过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，易证△ABO ≌△CAE ，利用全等三角形的性质可得出点C 的坐标，根据点B ，C 的坐标，利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式； （3）利用三角形的面积公式结合S △AOP =3S △AOB ，即可求出点P 的纵坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 坐标．【详解】解：（1）当y=0时，-13x+1=0， 解得：x=3，∴点A 的坐标为（3，0）；3∴点B 的坐标为（0，1）．故答案为：（3，0）；（0，1）．（2）过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，如图所示．∵△ABC 为等腰直角三角形，∴AB=AC ，∠BAC=90°．∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠BAC+∠EAC=180°，∴∠OBA=∠EAC ．在△ABO 和△CAE 中，90AOB CEA OBA EACAB CA ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝＝， ∴△ABO ≌△CAE （AAS ），∴AE=BO=1，CE=AO=3，∴OE=OA+AE=4，∴点C 的坐标为（4，3）．设直线BC 的解析式为y=kx+b （k≠0），将B （0，1），C （4，3）代入y=kx+b ，得：143b k b ⎧⎨+⎩＝＝， 解得：121k b ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，∴直线BC 的解析式为y=12x+1． （3）∵S △AOP =3S △AOB ，即12OA•|y P |=3×12OA•OB ， ∴12×3|y P |=3×12×3×1， ∴y P =±3．2解得：x=4，∴点P 坐标为（4，3）；当y=-3时，12x+1=-3， 解得：x=-8，∴点P 的坐标为（-8，-3）． ∴当S △AOP =3S △AOB 时，点P 的坐标为（4，3）或（-8，-3）． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点A ，B 的坐标；（2）利用全等三角形的性质，求出点C 的坐标；（3）利用三角形的面积结合S △AOP =3S △AOB ，求出点P 的纵坐标．25．如图1，在平面直角坐标系中，直线3:32AB y x =+与x 轴交于点A ，且经过点(2,)B m ，已知点(3,0)C ． （1）求点,A B 的坐标和直线BC 的函数表达式．（2）在直线BC 上找一点D ，使ABO 与ABD △的面积相等，求点D 的坐标． （3）如图2，E 为线段AC 上一点，连结BE ，一动点F 从点B 出发，沿线段BE 以每秒1个单位运动到点E 再沿线段EA 以每秒2个单位运动到A 后停止，设点F 在整个运动过程中所用时间为t ，当t 取最小值时，求点E 的坐标．解析：（1）(2,0),(2,6),618A B y x -=-+；（2）1218,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或842,55⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）(223,0)-．【分析】（1）令直线332y x =+中的0y =，得出点A 的坐标，再把x=2代入得出点B 的坐标，然后用待定系数法即可求解； （2）过点O 作直线m ，在点H 上方作直线n ，使直线m 、n 和直线AB 等距离，则直线m （n ）和BC 的交点即为所求点，进而求解；（3）过点B 作BM ⊥x 轴于点M ，过点A 作直线AH 使∠CAH=30°，过点B 作BH ⊥AH 于点H ，交x 轴于点E ，则点E 为所求点，进而求解．【详解】（1）令直线332y x =+中的0y =，则3302x +=， 解得：2x =-，∴由题意得：(2,0)A -，将(2,)B m 代入直线332y x =+中得3232m ⨯+=， 6m =，(2,6)B ∴，设直线BC 为：y kx b =+，∴代入(2,6),(3,0)B C 可得，2630k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：618k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的函数表达式为：618y x =-+．（2）设直线AB 交y 轴于点H ，则点H （0，3），过点O 作直线m ，在点H 上方作直线n ，使直线m 、n 和直线AB 等距离，由AB 的表达式知，直线m 的表达式为32y x =直线n 的表达式为362y x =+ ∴32618y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，解得125,185x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故点D 的坐标为1218(,)553+62618y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，解得85,425x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩点D′的坐标为842,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 故点D 的坐标为为1218,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或842,55⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）过点B 作BM ⊥x 轴于点M ，过点A 作直线AH 使∠CAH=30°，过点B 作BH ⊥AH 于点H ，交x 轴于点E ，则点E 为所求点，理由：∵∠CAH=30°，∴12EH AE =∴12=+=+=BE EA t BE EH BH 为最小， ∴∠EBM=∠BME-∠BEM=90°-∠BEM=90°-∠AEH=∠EAH=30°，设EM=x ，则BE=2x ，BM=6，∴BE 2=EM 2+BM 2，即（2x ）2=x 2+36，解得23x =∴223,=-=-OE OM EM∴点E 的坐标为(223,0)-．【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理的运用、最小距离问题等，有一定的综合性．26．“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段OD 和折线OABC 表示“龟兔赛跑”时路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．（1）填空：折线OABC 表示赛跑过程中_____________的路程与时间的关系，线段OD 表示赛跑过程中_______________的路程与时间的关系．赛跑的全程是_______________米． （2）乌龟用了多少分钟追上了正在睡觉的兔子？（3）兔子醒来，以48千米/时的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了0.5分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？解析：（1）兔子；乌龟；1500；（2）14分钟；（3）28.5分钟【分析】（1）利用乌龟始终运动，中间没有停留，进而得出折线 OABC 和线段OD 的意义和全程的距离；（2）根据乌龟的速度及兔子睡觉时的路程即可得；（4）用乌龟跑完全程的时间+兔子晚到的时间−兔子在路上奔跑的两端所用时间可得．【详解】()1龟兔赛跑中，兔子在途中睡了一觉，通过图像发现AB 段S 没有发生变化，∴折线OABC 表示赛跑过程中兔子的路程与时间的关系，线段OO 则表示赛跑过程中乌龟的路程与时间的关系，赛跑的全程是1500米．()150025030V ==龟米/分钟， 50700,t ⨯=14t =．答：乌龟用了14分钟追上了正在睡觉的兔子．()83,48t v =千米/时800=米/分钟， 150********t -==分钟， 300.5129.5+-=分钟，29.5128.5-=分钟，答：兔子中间停下睡觉用了28.5分钟．【点睛】本题考查了函数图象，理解两个函数图象的交点表示的意义，从函数图象准确获取信息是解题的关键．27．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是测得的弹簧的长度y 与所挂物体的质量x 的几组对应值．是 ，因变量是 ．（2）当所悬挂重物为6kg 时，弹簧的长度为 cm ；不挂重物时，弹簧的长度为 cm ．（3）请直接写出弹簧长度y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）的关系式，并计算若弹簧的长度为46cm 时，所挂重物的质量是多少kg ？（在弹簧的允许范围内）解析：（1）x ，y ；（2）40，28；（3）y=2x+28，9kg【分析】（1）根据自变量与因变量的定义解答即可；（2）由表格可知：不挂重物时，弹簧的长度为28cm ，重物每增加1kg ，弹簧长度增加2cm ，据此可求当所悬挂重物为6kg 时弹簧的长度；（3）根据（2）中分析可写出函数关系式，把y=46代入中求得的函数关系式，求出x 的值即可；【详解】解：（1）上述表格反映了弹簧的长度ycm 与所挂物体的质量xkg 这两个变量之间的关系．其中所挂物体的质量x 是自变量，弹簧的长度y 是因变量．（2）由表格可知不挂重物时，弹簧的长度为28cm ，∵重物每增加1kg ，弹簧长度增加2cm ，∴当所悬挂重物为6kg 时，弹簧的长度为38+2=40cm ；（3）∵重物每增加1kg ，弹簧长度增加2cm ，∴y=2x+28，把y=46代入y=2x+28，得出：46=2x+28，∴x=9，所以，弹簧的长度为46cm 时，此时所挂重物的质量是9kg ．【点睛】本题主要考查了函数关系式和常量与变量的知识，解答本题的关键在于熟读题意并求出弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式．28．画出函数2y x =+的图象，利用图象：（1）求方程20x +=的解；。
最新人教版初中八年级下册数学【第十九章一次函数 习题专题课(4)】教学课件
三、例题展示
例1.如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）
两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求该一次函数的解析式；
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 2 b=1 0 1 2 …
（4）写出该函数的一条性质： 函数的最小值为0（答案不唯一）
．
•• •• •
方法归纳：
对自变量 y=|kx+b|的图象和性质
分类讨论
去绝对值
转化
分段函数
x b，y kxb k
x b，y kx b k
分析相应一次函数的图象
A
B
C
D
【分析】对于每个选项，先确定一个解析式所对应的图象，根据一次函数图象与系数
的关系确定a、b的符号，然后根据此符号看另一个函数图象的位置是否正确．
二、练习回顾
4．两个一次函数y＝ax+b和y＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象
可能是（ B ）.
A
A、对于y＝ax+b，当a＞0，图象经过第一、三象限，则
方法归纳： 一次函数的k值决定直线的方向， 如果k＞0，直线就从左往右上升，y随x的增大而增大； 如果k＜0，直线就从左往右下降，y随x的增大而减小； 而b值决定直线和y轴的交点， 如果b＞0，则与y轴的正半轴相交； 如果b＜0，则与y轴的负半轴相交； 如果b＝0，一次函数就变成正比例函数，图象过原点.
解：由题意得y＝|x+3|．
即当x≥−3，y=x+3 当x<−3，y=−x−3
八年级数学下册 第19章《一次函数》专题训练(九)一次函数的图象与性质 新人教版(2021年整理)
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专题训练（九) 一次函数的图象与性质类型1 一次函数图象与字母系数的关系1．在直角坐标系中，既是正比例函数y＝kx，又是y的值随x的增大而减小的图象是（C）2．(营口中考）已知一次函数y＝(a＋1)x＋b的图象如图所示，那么a的取值范围是（C) A．a＞1 B．a＜－1 C．a＞－1 D．a＜03．已知正比例函数y＝kx(k≠0)的图象如图所示，则在下列选项中k值可能是（B) A．1 B．2.2 C．3 D．44．(钦州中考)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过A（1，0)和B(0,2）两点，则它的图象不经过第三象限．5．一次函数y＝mx＋n的图象如图所示．(1)试化简代数式：错误!－|m－n|；(2)若点(－2，a），（3，b）在函数图象上，比较a，b的大小．解：（1)由图象可知，m＜0，n＞0,∴m－n<0。
∴错误!－|m－n|＝－m＋m－n＝－n。
(2)∵一次函数y＝mx＋n的图象从左往右逐渐下降，∴y随x的增大而减小．又∵点（－2，a)，(3，b）在函数图象上，且－2＜3，∴a＞b。
类型2 一次函数图象上的点的坐标6．(遂宁中考）直线y＝2x－4与y轴的交点坐标是（D)A．（4,0) B．(0,4）C．(－4，0）D．(0，－4）7．一次函数y＝5x－2的图象经过点A(1，m),如果点B与点A关于y轴对称，那么点B所在的象限是(B)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．已知点（－2,y1)，(－1，y2)，（1，y3）都在直线y＝－3x＋2上,则y1，y2,y3的大小关系是（A)A．y＞y2＞y3B．y1＜y2＜y31C．y＞y2＞y1D．y3＜y2＜y139．(株洲中考）已知直线y＝2x＋3－a与x轴的交点在A(2，0)，B(3,0）之间（包括A、B两点），则a的取值范围是7≤a≤9．10．（庆阳中考)如图,定点A(－2，0)，动点B在直线y＝x上运动，当线段AB最短时，点B 的坐标为（－1，－1）．11．（淄博中考)在直角坐标系中，一条直线经过A（－1，5），P（－2，a)，B(3，－3)三点．(1）求a的值；(2）设这条直线与y轴相交于点D，求△OPD的面积．解：（1）设直线的解析式为y＝kx＋b，把A(－1,5），B（3,－3)代入,可得错误!解得错误!∴直线的解析式为y＝－2x＋3。
第19章 一次函数的图象和性质 (教学课件)- 人教版八年级数学下册
y随 x的增大而增大；
2
k＜0时，直线从左向右下降，
A
y随 x的增大而减小．
-5
O
-2
y =3x+1 y =x+1 C B
D 5x E
初中数学
一次函数的图象和性质
思考 观察图形你能找到这四个函数图像的共同之处吗
？
（1） y=x+1 ；
（2） y=3 x+1 ；
（3） y= -x+1 ；
（4） y=-3 x+1．
则它的图象经过第
象限．
初中数学
一次函数的图象和性质
初中数学
一次函数的图象和性质
画 探究1 画一次函数 y=2 x-3 的图象．
y
2
-5
O
5x
-2
-4
-6
初中数学
一次函数的图象和性质
画 探究1 画一次函数 y=2 x-3 的图象．
列表
y
2
-5
O
5x
-2
-4
-6
初中数学
一次函数的图象和性质
画 探究1 画一次函数 y=2 x-3 的图象．
x … -2 -1 0 1 2 … y … -7 -5 -3 -1 1 … y
>−
5 3
时， y随x的增大
初中数学
课前复习
练习4 正比例函数 y = (2a− 1) x的图象经过第二、四象限，那么 a 的取值范围是 ．
练习5 设一次函数 y = kx + b(k ≠ 0)的图象经过 A(1,3)， B(0,−2) 两点，求此函数的解析式．
初中数学
课前复习
练习4 正比例函数 y = (2a− 1) x的图象经过第二、四象限，那么 a
人教版八年级下册数学 第19章 19.2.3 一次函数 习题课件
新知基本功
10．【教材P90思考(4)变式】有一块长为5 m，宽为2 m的长方 形木板，现要在长边上截去长为x m的一个小长方形(如图)， 则剩余木板的面积y(m2)与x(m)之间的关系式为( B ) A．y＝2x B．y＝10－2x C．y＝5x D．y＝10－5x
新知基本功
11．【教材P99习题T11变式】某通讯公司最近推出的无线市 话的收费标准为：前3 min(不足3 min按3 min计)收费0.2 元，3 min后每分收费0.1元．则通话一次的时间x(单位： min)(x>3)与这次通话费用y(单位：元)之间的关系式是
精彩一题 15．小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用水桶和体积相
同的小球进行了如下操作(如图)：
根据图中的信息，解答下列问题：
精彩一题 (1)放入一个小球后水桶中水面升高_____2___ cm；
(2)求放入小球后(水未溢出)水桶中水面的高度y(单位：cm) 与小球个数x(单位：个)之间的一次函数解析式(不需要 写出自变量的取值范围)； 解：因为每放入一个小球后，水面升高2 cm， 所以y＝30＋2x.
人教版 八年级下
第十九章 一次函数
19.2 一次函数 第3课时 一次函数
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1 y＝kx＋b 2A
3C 4 b＝0；特殊 5 －2；≠2
答案显示
6D
7A
8 见习题
9
y＝15＋0.2x；x≥0且 x为整数
10 B
习题链接
11 C 12 见习题 13 见习题 14 见习题 15 见习题
(C) A．y＝0.1x C．y＝0.2＋0.1(x－3)
B．y＝0.2＋0.1x D．y＝0.1x＋0.5
厦门第一中学八年级数学下册第十九章《一次函数》基础练习(培优专题)
一、选择题1．点()1,A a y 、()22,B a y 都在一次函数0)(2y ax a a =-+≠的图象上，则1y 、2y 的大小关系是（ ）A ．12y y >B ．12y y =C ．12y y <D ．不确定A解析：A【分析】根据题意，分别表示出1y ，2y ，再判断12y y -的正负性，即可得到答案．【详解】∵点()1,A a y 、()22,B a y 都在一次函数0)(2y ax a a =-+≠的图象上，∴212y a a =-+，224y a a =-+，∴22212(2)(4)2y y a a a a a -=-+--+=＞0， ∴12y y >，故选A ．【点睛】本题主要考查一次函数图像上点的坐标特征，掌握作差法比较大小，是解题的关键． 2．如图，点O 为平面直角坐标系的原点，点A 在x 轴正半轴上，四边形OABC 是菱形．已知点B 坐标为(3，3)，则直线AC 的函数解析式为（ ）A ．y ＝333B ．y 33C ．y ＝﹣333 D ．y 33D 解析：D【分析】过B 点作BH ⊥x 轴于H 点，菱形的对角线的交点为P ，如图，设菱形的边长为t ，则OA ＝AB ＝t ，在Rt △ABH 中利用勾股定理得到（3﹣t ）2+32＝t 2，解方程求出t ，得到A （2，0），再利用P 为OB 的中点得到P （323AC 的解析式即可．【详解】解：过B 点作BH ⊥x 轴于H 点，菱形的对角线的交点为P ，如图，∵四边形ABCO为菱形，∴OP＝BP，OA＝AB，设菱形的边长为t，则OA＝AB＝t，∵点B坐标为（33∴BH3AH＝3﹣t，在Rt△ABH中，（3﹣t）2+32＝t2，解得t＝2，∴A（2，0），∵P为OB的中点，∴P（323设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（2，0），P（32320332k bk b+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：323kb⎧=-⎪⎨=⎪⎩，∴直线AC的解析式为y33故选：D．【点睛】本题主要考查菱形的性质，勾股定理以及一次函数的待定系数法，熟练掌握菱形的性质和待定系数法，是解题的关键．3．若正比例函数y＝（m﹣2）x的图象经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m＞0 B．m＜0 C．m＞2 D．m＜2D解析：D【分析】根据正比例函数的大小变化规律判断k的符号．【详解】解：根据题意，知：y随x的增大而减小，则k＜0，即m﹣2＜0，m＜2．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的性质：当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．4．一次函数y=-3x-2的图象和性质，表述正确的是（ ）A ．y 随x 的增大而增大B ．函数图象不经过第一象限C ．在y 轴上的截距为2D ．与x 轴交于点（-2，0）B 解析：B【分析】根据一次函数y=kx+b （k≠0）的性质：k ＞0，y 随x 的增大而增大，函数从左到右上升；k ＜0，y 随x 的增大而减小，即可判断A 项，解析式特点找到函数通过的象限即可判断B 项；使y=0时，对应的横坐标即可判断C ；使x=0时，对应的纵坐标即可判断D ．【详解】A. 因为k=-3，所以y 随x 的增大而减小，故此项不正确；B. 根据函数解析式y=-3x-2特点，函数图象经过第二、三、四象限，故此项正确；C. y=-3x-2与y 轴的交点坐标（0，-2），那么在y 轴上的截距为-2，故此项不正确；D. y=-3x-2与x 轴交于点（23-，0），故此项不正确； 故选B【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象，一次函数的性质，正确掌握一次函数图象的增减性和一次函数的性质是解题的关键．5．如图①，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，点P 从点B 出发沿折线B E D --运动到点D 停止，点Q 从点B 出发沿BC 运动到点C 停止，它们的运动速度都是1/cm s ．现P ，Q 两点同时出发，设运动时间为()x s ，BPQ 的面积为2()y cm ，若y 与x 的对应关系如图②所示，则矩形ABCD 的面积是（ ）A ．296cmB ．284cmC ．272cmD ．256cm C解析：C【分析】 过点E 作EH BC ⊥，由三角形面积公式求出EH=AB=6，由图2可知当14x =时，点P 与点D 重合，则12AD =，可得出答案．【详解】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P 运动到点E 时，10x =，30y =， 过点E 作EH BC ⊥，由三角形面积公式得：11103022y BQ EH EH =⋅=⨯⨯=，解得：EH=AB=6， ∴BE=10×1=10，228BH AE BE AB ==-=， 由图2可知：当14x =时，点P 与点D 重合，4ED ∴=，8412BC AD ∴==+=，矩形的面积=12672⨯=．故选：C ．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，三角形的面积等知识，从图像中得出当10x =，14x =时，点P 的位置，熟练掌握数形结合思想方法是解题的关键．6．已知点P （m ，n ）在第二象限，则直线y =nx ＋m 图象大致是下列的（ ） A ． B ．C ．D ．C解析：C【分析】根据点P 在第二象限，确定m ＜0，n ＞0，根据k ，b 的符号，确定图像的分布即可.【详解】∵点P （m ，n ）在第二象限，∴m ＜0，n ＞0，∴图像分布在第一，第三象限，第四象限，故选C.【点睛】本题考查了根据k ，b 的符号确定一次函数图像的分布，熟记k ，b 的符号与图像分布的关系是解题的关键.7．函数2y x x=+-()P x,y 一定在第（ ）象限A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B解析：B【分析】 由二次根式和分式有意义的条件，得到0x <，然后判断得到0y >，即可得到答案．【详解】解：根据题意，则 ∵00x x -≥⎧⎪⎨-≠⎪⎩，解得：0x <， ∴20x >，10x >-， ∴210y x x=+>-， ∴点(,)P x y 一定在第二象限；故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，以及判断点所在的象限，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题．8．甲、乙两人从公司去健身房，甲先步行前往，几分钟后乙乘出租车追赶，出租车的速度是甲步行速度的5倍，乙追上甲后，立刻带上甲一同前往，结果甲比预计早到4分钟，他们距公司的路程y （米）与时间x （分）间的函数关系如图所示，则下列结论中正确的个数为（ ）①甲步行的速度为100米/分；②乙比甲晚出发7分钟；③公司距离健身房1500米；④乙追上甲时距健身房500米．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个C解析：C【分析】 根据一次函数的图象获取信息，可得到距公司的路程y （米）与时间x （分）间的函数关系，进而对四个结论进行判断，即可得出结果．【详解】解：观察图象，得：甲步行的速度为1000÷10＝100米/分，故①正确；10−1000500＝10−2＝8，即乙比甲晚出发8分钟，故②错误； 设公司距离健身房x 米，依题意得x 100−（10＋x 1000500-）＝4， 解得x ＝1500，∴公司距离健身房1500米，故③正确；乙追上甲时距健身房1500−1000＝500米，故④正确．故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数图象的应用，熟练掌握一次函数图象与性质及利用数形结合的思想是解题的关键．9．关于x 的一次二项式ax+b 的值随x 的变化而变化，分析下表列举的数据，若ax+b ＝11，则x 的值是（ ）A ．3B ．﹣5C ．6D ．不存在C解析：C【分析】设y=ax+b ，把x=0，y=-1和x=1，y=1代入求出a 与b 的值，即可求出所求．【详解】解：设y ＝ax+b ， 把x=0，y=-1和x=1，y=1代入得：11a b b +=⎧⎨=-⎩， 解得：21a b =⎧⎨=-⎩， ∴2x ﹣1＝11，解得：x ＝6．故选：C ．【点睛】此题考查了解二元一次方程组以及代数式求值，一次函数的解析式，熟练掌握解二元一次方程组是解本题的关键．10．下列命题中，①()1,2A -关于y 轴的对称点为()1,2--；②2±；③2y x =-+与x 轴交于点()2,0；④22x y =-⎧⎨=⎩是二元一次方程23x y +=-的一个解．其中正确的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4A解析：A【分析】根据关于y 轴对称的坐标特征判断①；根据平方根定义判断②；根据直线与x 轴交点坐标判断③；根据方程的解的定义判断④．【详解】解：①()1,2A -关于y 轴的对称点为（1，2）； ②216的平方根是22±；③2y x =-+与x 轴交于点（2，0）；④21x y =-⎧⎨=⎩是二元一次方程23x y +=-的一个解． ∴正确的是：③，1个故选：A【点睛】本题考查关于y 轴对称的坐标特征、平方根定义、直线与x 轴交点坐标、方程的解，考查学生的辨析能力，熟知以上知识点是解答此题的关键．二、填空题 11．如图，直线1:22l y x =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，直线21:12y l x =+交x 轴于点D ，交y 轴于点C ，直线1l 、2l 交于点M ．（1）点M 坐标为________；（2）若点E 在y 轴上，且BME 是以BM 为一腰的等腰三角形，则E 点坐标为________．()()或()或()【分析】（1）联立两个方程组求解即可（2）根据题意有以M 为顶点和以B 为顶点两种情况分别求解即可【详解】解：（1）联立两个方程组得将①代入②得：解得：将代入①得：∴点坐标为()故答解析：(25，65) (0，25)或(0，252-或(0，252+ 【分析】（1）联立两个方程组求解即可（2）根据题意有以M 为顶点和以B 为顶点两种情况，分别求解即可【详解】解：（1）联立两个方程组得22112y x y x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩①② 将①代入②得：22=112x x -++ 解得：2=5x 将2=5x 代入①得：5=6y ∴点M 坐标为(25，65) 故答案为：(25，65) （2）由22y x =-+得当x=0时，y=2故B(0，2)以BM 为一腰时，有两种情况当BME 以M 为顶点时，设E 点坐标为(0，y ) 则66255y -=- 解得：25y = 故E 点坐标为(0，25) 当BME 以B 为顶点时，设E 点坐标为(0，y ) ∵5= 若E 在B 下方则y=2若E 在B 上方 则y=25+ 故E 点坐标为(0，2)或(0，2+ 故答案为：(0，25)或(0，2-或(0，2+ 【点睛】本题考查两直线相交问题及等腰三角形的性质，熟练掌握等要三角形的定义及性质是解本题的关键12．已知y ＋3与x 成正比例，且x ＝2时，y ＝7，则y 与x 的函数关系式为______________________．【分析】根据题意设把x ＝2时y ＝7代入求出k 的值即可求解【详解】解：根据题意可得把x ＝2时y ＝7代入可得解得∴故答案为：【点睛】本题考查正比例函数的定义根据题意求出k 的值是解题的关键 解析：53y x =-【分析】根据题意设3y kx ，把x ＝2时，y ＝7代入求出k 的值，即可求解． 【详解】解：根据题意可得3y kx ， 把x ＝2时，y ＝7代入可得732k +=，解得5k =， ∴53y x =-，故答案为：53y x =-．【点睛】本题考查正比例函数的定义，根据题意求出k 的值是解题的关键．13．直线1:l y kx =与直线2:l y ax b =+在同一平面直角坐标系中的图形如图所示，两条直线相交于点A ，直线x m =分别与两条直线交于M ，N 两点，若AMN 的面积不小于12时，则m 的取值范围是_______． 或【分析】把点A （12）代入直线方程先求出两条直线的解析式然后求出点MN 的坐标再求出MN 的长度利用三角形的面积公式即可求出答案【详解】解：由图可知点A 为（12）直线与y 轴的交点为（01）把点A （12解析：0m ≤或2m ≥【分析】把点A （1，2）代入直线方程，先求出两条直线的解析式，然后求出点M 、N 的坐标，再求出MN 的长度，利用三角形的面积公式，即可求出答案．【详解】解：由图可知，点A 为（1，2），直线2:l y ax b =+与y 轴的交点为（0，1），把点A （1，2）代入1:l y kx =，则2k =；∴12:l y x =；把点A （1，2）和点（0，1）代入2:l y ax b =+，21a b b +=⎧⎨=⎩，解得：11a b =⎧⎨=⎩； ∴2:1=+l y x ；把x m =分别代入两条直线方程，则12y m =，21y m =+，∴点M 的坐标为（m ，2m ），点N 的坐标为（m ，m+1）， ∴2(1)1MN m m m =-+=-，∴△AMN 边MN 上的高为：1m - ∵1112AMN S m m ∆=•-•-， 当AMN 的面积等于12时，则 211111(1)222AMN S m m m ∆=•-•-=-=， ∴2m =或0m =， 结合AMN 的面积不小于12， ∴0m ≤或2m ≥；故答案为：0m ≤或2m ≥．【点睛】本题考查了一次函数的性质，解一元一次不等式，求一次函数的解析式，解题的关键是正确的理解题意，掌握一次函数的性质进行解题．14．在平面直角坐标系中，直线6y kx =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，若AOB 的面积为12，则k 的值为_________．或【分析】求出AB 点坐标在Rt △AOB 中利用面积构造方程即可解得k 值【详解】由直线与y 轴于B 则则∴直线与x 轴于A 令则∴∴∴∴∴解得：由k≠0符合题意则k 的值为或故答案为：或【点睛】本题主要考查了一次 解析：32-或32【分析】 求出A 、B 点坐标，在Rt △AOB 中，利用面积构造方程即可解得k 值．【详解】由直线6y kx =+与y 轴于B ，则0x =，则6y =，∴(0,6)B ，直线6y kx =+与x 轴于A ，令0y =，则60kx +=，6x k =-， ∴6,0A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴6OA k =-，6OB =， ∴1122AOB S OA OB =⋅=△， ∴64k -=， ∴64k-=±， 解得：132k =-，232k =， 由k≠0，符合题意， 则k 的值为32-或32． 故答案为：32-或32． 【点睛】本题主要考查了一次函数问题，掌握图象上点的坐标特征以及利用面积构造方程，会解方程是解题关键．15．如图，一个直角三角形与一个正方形在同一水平线上，此三角形从图①的位置开始，匀速向右平移，到图③的位置停止运动．如果设运动时间为x ，三角形与正方形重叠部分的面积为y ，在下面的平面直角坐标系中，线段AB 表示的是三角形在正方形内部移动的面积图象，C 点表示的是停止运动后图象的结束点，下面有三种补全图象方案，正确的方案是______．①②③乙【分析】由题意可知三角形没全进入正方形之前重叠部分为直角三角形当三角形即将出正方形之后重叠部分为直角梯形利用面积公式求出两个图形的面积即可判断其图象【详解】设直角三角形的底为a 高为b 运行速度为v 由解析：乙【分析】由题意可知三角形没全进入正方形之前，重叠部分为直角三角形．当三角形即将出正方形之后，重叠部分为直角梯形．利用面积公式求出两个图形的面积即可判断其图象．【详解】设直角三角形的底为a ，高为b ，运行速度为v ．由题意可知当三角形没全进入正方形之前，重叠部分为与原三角形相似的直角三角形． ∵重叠部分的直角三角形的底为vx ，∴根据三角形相似，可知：vx a b =重叠直角三角形的高 ， 即重叠直角三角形的高=bvx a， ∴22122bvx bv y vx x a a==， ∵a ， b ， v 都为常数且大于0，∴222bv y x a=是一个开口向上的曲线． 当三角形即将出正方形之后，重叠部分为去掉与原三角形相似的直角三角形的直角梯形．设正方形边长为l ，则该梯形的高为()l vx a --，下底为b ， 根据三角形相似可知：vx l b a -=梯形上底， 即梯形上底()b vx l a -=， ∴[]1()()2b vx l y b l vx a a -⎡⎤=⨯+⨯--⎢⎥⎣⎦． ∵a ， b ， v ，l 都为常数且大于0， ∴[]1()()2b vx l y b l vx a a -⎡⎤=⨯+⨯--⎢⎥⎣⎦中2x 项的系数为202bv a-<， ∴[]1()()2b vx l y b l vx a a -⎡⎤=⨯+⨯--⎢⎥⎣⎦是一个开口向下的曲线． ∴只有乙符合．故答案为：乙．【点睛】本题考查动点问题的函数图象．理解三角形运动过程中的分界点，利用三角形和梯形的面积公式列出关于x 的方程来判断其图象是解题关键．16．已知：一次函数()21y a x =-+的图象不经过第三象限，化简=_________．【分析】首先根据一次函数y=（a-2）x+1的图象不经过第三象限可得a-2＜0进而得到a ＜2再根据二次根式的性质进行计算即可【详解】解：∵一次函数的图象不经过第三象限∴解得：故答案为：【点睛】本题考解析：52a -【分析】首先根据一次函数y=（a-2）x+1的图象不经过第三象限，可得a-2＜0，进而得到a ＜2，再根据二次根式的性质进行计算即可．【详解】解：∵一次函数()21y a x =-+的图象不经过第三象限，∴20a -<，解得：2a <，=23a a =-+-23a a =-+-故答案为：52a -．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，以及二次根式的化简，关键是掌握：①k ＞0，b＞0⇔y=kx+b 的图象在一、二、三象限；②k ＞0，b ＜0⇔y=kx+b 的图象在一、三、四象限；③k ＜0，b ＞0⇔y=kx+b 的图象在一、二、四象限；④k ＜0，b ＜0⇔y=kx+b 的图象在二、三、四象限．17．若点()14,y -，()22,y 都在直线2y x =-+上，则1y __________2y （填“＞”或“＝”或“＜”）＞【分析】由y ＝−x ＋2可知k ＝−1＜0故y 随x 的增大而减小由−4＜2可得y1y2的大小关系【详解】解：∵k ＝−1＜0∴y 随x 的增大而减小∵−4＜2∵y1>y2故答案为：>【点睛】本题主要考查一次函解析：＞【分析】由y ＝−x ＋2可知k ＝−1＜0，故y 随x 的增大而减小，由−4＜2，可得y 1，y 2的大小关系．【详解】解：∵k ＝−1＜0，∴y 随x 的增大而减小，∵−4＜2，∵y 1>y 2故答案为：>【点睛】本题主要考查一次函数的增减性，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键． 18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数12y x b =--与正比例函数32y x =的图象交于点()2,A m ，与x 轴交于点B （5，0），则△OAB 的面积是________．【分析】先求出A 点坐标再过点A 作AC ⊥OB 垂足为C 用三角形面积公式即可求出面积【详解】解：把点代入得解得∴A 点坐标为（23）过点A 作AC ⊥OB 垂足为C ∵点B 坐标为（50）∴S △OAB=故答案为：【点解析：152先求出A 点坐标，再过点A 作AC ⊥OB ，垂足为C ，用三角形面积公式即可求出面积．【详解】解：把点()2,A m 代入32m x =，得 322m =⨯， 解得，3m =，∴A 点坐标为（2，3），过点A 作AC ⊥OB ，垂足为C ，∵点B 坐标为（5，0），∴S △OAB =111553222OB AC ⨯⨯=⨯⨯=， 故答案为：152．【点睛】本题考查了求正比例函数图象上点的坐标和利用坐标求三角形面积，解题关键是求出A 点坐标．19．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y =x ＋2交x 轴于点A ，交y 轴于点A 1，点A 2，A 3．．．在直线l 上，点B 1，B 2，B 3．．在x 轴的正半轴上，若△A 1OB 1，△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3．．．，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x 轴上，则第2021个等腰直角三角形A 2021B 2020B 2021顶点B 2021的横坐标为__________．【分析】先求出…的横坐标探究总结得到即可根据规律解决问题【详解】解：探究规律：令则令则∴∴…发现并总结规律：∴运用规律：当时故答案为【点睛】本题考查规律型：点的坐标等腰直角三角形的性质等知识解题的关解析：202222-先求出123,,B B B …的横坐标，探究总结得到122,n n B x +=-，即可根据规律解决问题．【详解】解：探究规律： :2,l y x =+令0,x = 则2,y =()10,2,A ∴令0,y = 则2,x =-()2,0,A ∴-12,OA OA ∴==∴11121223232,4,8,OB OA B B B A B A B B ======∴12222,B x ==- 23622,B x ==-341422,B x ==-…，发现并总结规律：∴122,n n B x +=-运用规律：当2021n =时，202120222 2.B x ∴=-故答案为20222 2.-【点睛】本题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题．20．已知直线()0y kx b k =+≠过()1,0和()0,2-，则关于x 的不等式0kx b +<的解集是______．【分析】由题意可以求得k 和b 的值代入不等式即可得到正确答案【详解】解：由题意可得：∴k=2b=-2∴原不等式即为2x-2<0解之可得：x<1故答案为x<1【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式的综解析：1x <【分析】由题意可以求得k 和b 的值，代入不等式即可得到正确答案 ．【详解】解：由题意可得：02k b b =+⎧⎨-=⎩，∴ k=2，b=-2，∴原不等式即为2x-2<0，解之可得：x<1，故答案为x<1 ．【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式的综合应用，利用直线与坐标轴的交点求出不等式的系数是解题关键．三、解答题21．已知y 与1x -成正比例，当3x =时，4y =，求y 与x 之间的函数关系式． 解析：22y x =-【分析】首先根据题意设出关系式：y=k （x-1），再利用待定系数法把x=3，y=4代入，可得到k 的值，再把k 的值代入所设的关系式中，可得到答案；【详解】解：因为y 与1x -成正比例，所以设()1y k x =-（0k ≠）∵当3x =时，4y =，∴()431k =-解得2k =所以， y 与x 之间的函数关系式为：22y x =-【点睛】此题主要考查了对正比例的理解，关键是设出关系式，代入x ，y 的值求k ．22．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，一次函数y kx b =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点(0,4)B ，与正比例函数3y x =-交于点(1,)C m -．（1）求直线AB 的函数表达式．（2）在y 轴上找点P ，使OCP △为等腰三角形，直接写出所有满足条件的P 点坐标． （3）在直线AB 上找点Q ，使得78COQ APB S S =，求点Q 的坐标．解析：（1）4y x =+；（2）1234510),(0,10),(0,6),0,3P P P P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）513,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭或91,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【分析】（1）由题意易得()1,3C -，然后把点B 、C 的坐标代入y kx b =+求解即可；（2）由题意易得可分①当OC OP =时，②当C 为等腰OCP △的顶点时，则C 在OP 的中垂线上，③当P 为等腰OCP △的顶点时设(0,)P a ，进而根据等腰三角形的性质进行求解即可；（3）过Q 作x 轴平行线交CO 于点D ，设(,4)Q m m +，则4,43m D m +⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，由题意可得8AOB S =△，进而可得()12COQ c o S QD y y =⋅-，然后可得441433m +=，进而求解即可．【详解】解：（1）由题意得：3y x =-过 (1,)C m -，3(1)3m ∴=-⨯-=，(1,3)C ∴-，∵直线:AB y kx b =+过(0,4),(1,3)B C -，代入可得43bk b =⎧⎨=-+⎩，解得14k b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为4y x =+；（2）①当O 为等腰OCP △的顶点时，则OC OP =，(OC ==OP ∴=12(0,P P ∴．②当C 为等腰OCP △的顶点时，则C 在OP 的中垂线上，C ∴的纵坐标为OP 纵坐标的中点，3(0,6)P ∴．③当P 为等腰OCP △的顶点时设(0,)P a ，22CP OP ∴=，22a ∴=，解得53a =，综上所述12345(0,(0,6),0,3P P P P ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）4y x =+与x 轴交于点A ，(4,0)A ∴-，1144822AOB A B Sx y ∴=⨯⨯=⨯⨯=， 778COQ AOB S S ==，过Q 作x 轴平行线交CO 于点D ，设(,4)Q m m +，则4,43m D m +⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， ()12COQ c o S QD y y ∴=⋅-， 14323m m +=⨯+⨯， 143723m m +∴⨯+⨯=， 441433m +∴=， 441433m +∴=或441433m +=-， 解得52m =或92m =-， 513,22Q ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭或91,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握一次函数的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．23．地表以下岩层的温度()y ℃随着所处深度() km x 的变化而变化，在某个地点y 与x 之间满足如下关系： 深度() km x1 2 3 4 温度()y ℃ 55 90 125 160y x （2）当8x =时，求出相应的y 值．（3）若岩层的温度是510℃，求相应的深度是多少？解析：（1）3520y x =+；（2）300；（3）相应的深度是14km ．【分析】（1）根据图表可知，深度每增加1km ，温度增加35℃，据此直接直接写出y 与x 之间的关系式即可；（2）根据（1）所得关系式，令x=8，求得y 的值即可；（3）根据（1）所得关系式，令y=510，求得x 的值即可．【详解】（1）由图表可知，深度每增加1km ，温度增加35℃，5535(1)y x ∴=+-553535x =+-3520x =+，即y 与x 之间的关系式为：3520y x =+；（2）由3520y x =+令8x =时，则35820300y =⨯+=；（3）由3520y x =+令510y =时，则3520510x +=，解得14x =故相应的深度是14km ．【点睛】本题主要考查一次函数的应用，明确题意、正确列出函数解析式成为解答本题的关键． 24．某商品经销店欲购进A 、B 两种纪念品，用160元购进的A 种纪念品与用240元购进的B 种纪念品的数量相同，每件B 种纪念品的进价比A 种纪念品的进价贵10元． （1）求A 、B 两种纪念品每件的进价分别为多少元？（2）若这两种纪念品共购进1000件，由于A 种纪念品销量较好，进购时A 不少于B 种纪念品的数量，且不超过B 种纪念品的1.5倍，问共有多少种进购方案？（3）该商店A 种纪念品每件售价24元，B 种纪念品每件售价35元，在（2）的条件下求出哪种方案获利最多，并求出最大利润．解析：（1）A 、B 两种纪念品每件进价分别为20元、30元；（2）101种；（3）A 种500件，B 种中500件时，最大利润为4500元【分析】(1) 设A 种纪念品每件进价a 元，则B 种纪念品每件进价(10)x +元，根据题意列方程求解即可；（2）设A 种纪念品购进y 件，则B 种纪念品购进(1000)y -件，依据题意列不等式组，求出y 的整数取值范围，即可得出进购方案；（3）根据题意得出利润的关系式，再结合第二问y 的取值范围求出最大利润．【详解】解：（1）设A 种纪念品每件进价a 元，则B 种纪念品每件进价(10)x +元． 根据题意得16024010x x =+，去分母， 得：160(10)240x x +=，解得：20x ， 经检验，20x 是原方程的解，1030x +=（元），∴A 种纪念品每件进价20元，B 种纪念品每件进价30元．（2）设A 种纪念品购进y 件，则B 种纪念品购进(1000)y -件，根据题意得：10001.5(1000)y y y y ≥-⎧⎨≤-⎩，解得：500600y ≤≤． 又y 只能取整数，500y ∴=，501， (600)则共有101种购进方案．（3）由题意得，最大利润为：(2420)(3530)(1000)5000W y y y =-+--=-+，在500600y ≤≤时，当500y =时，max 4500W =（元），∴当A 种购进500件，B 种购进500件时，利润最大为4500元．【点睛】本题考查分式方程、一元一次不等式组及一次函数的综合应用，解题关键在于充分理解题意，根据题意列出相关关系式进行求解．25．一次函数()0y kx b k =+≠满足，当112x -≤≤，121y -≤≤，求这条直线的函数解析式．解析：1y x =-或y x =-．【分析】分点()1,2--，()2,1或()1,1-，()2,2-在直线上两种情形，分别解答即可．【详解】解：∵112x -≤≤时，121y -≤≤，∴点()1,2--，()2,1或()1,1-，()2,2-在直线上．∵点()11,x y 在直线y kx b =+上，∴221k b k b -+=-⎧⎨+=⎩或122k b k b -+=⎧⎨+=-⎩， ∴11k b =⎧⎨=-⎩或10k b =-⎧⎨=⎩ ∴1y x =-或y x =-．【点睛】本题主要考查运用待定系数法求一次函数解析式，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 26．已知一次函数y kx b =+，在0x =时的值为4，在1x =-时的值为2，（1）求一次函数的表达式．（2）求图象与x 轴的交点A 的坐标，与y 轴交点B 的坐标；（3）在（2）的条件下，求出△AOB 的面积；解析：（1）24y x =+；（2）A （-2，0）B (0)4，；（3）4 【分析】（1）把两组x 和y 值代入解析式，求出k 和b 值，即可得到结论；（2）利用函数解析式分别代入x=0和y=0的情况就可求出A 、B 两点坐标；（3）通过A 、B 两点坐标即可算出直角三角形AOB 的面积．【详解】（1）把0x =，4y =和1x =-，2y =代入y kx b =+得42b k b =⎧⎨-+=⎩解得24k b =⎧⎨=⎩ 所以这个一次函数的表达式为24y x =+．（2）把0y =代入24y x =+，得：2x =-则A 点坐标为(20)-，把x=0代入24y x =+，得y=4，则B 点坐标为(0)4，； （3）根据题意作函数大致图像：由图可知：2OA =，4OB =， 所以11 24422OAB S OA O B =⋅=⨯⨯=△ 【点睛】本题考查一次函数解析式求法和一次函数图象上点的坐标特点，正确求出一次函数与x 轴和y 轴的交点是解题的关键．27．某商店需要购进甲、乙两种商品共200件，其进价和售价如表：甲 乙 进价（元/件）14 35 售价（元/件） 20 45件？（2）若商店计划投入资金小于5320元，且销售完这批商品后获利大于1660元，请问有几种购货方案？并求出其中获利最大的购货方案．解析：（1）甲种商品购进80件，乙种商品购进120件；（2）共有4种购货方案，甲种商品购进81件、乙种商品购进119件时，获利最大【分析】（1）设甲种商品购进x 件，乙种商品购进y 件，根据该商品购进两种商品共200件且销售完这批商品后能获利1680元，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设甲种商品购进m 件，则乙种商品购进（200﹣m ）件，根据“该商店计划投入资金小于5320元，且销售完这批商品后获利大于1660元”，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，结合m 为非负整数即可得出购货方案的数量，设销售完这批商品后获利w 元，根据总利润＝每件的利润×销售数量（购进数量），即可得出w 关于m 的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【详解】解：（1）设甲种商品购进x 件，乙种商品购进y 件，依题意得：200(2014)(4535)1680x y x y +=⎧⎨-+-=⎩， 解得：80120x y =⎧⎨=⎩． 答：甲种商品购进80件，乙种商品购进120件．（2）设甲种商品购进m 件，则乙种商品购进(200)m -件，依题意得：1435(200)5320(2014)(4535)(200)1660m m m m +-<⎧⎨-+-->⎩， 解得：8085m <<，又m 为非负整数，m ∴可以为81，82，83，84，∴该商店共有4种购货方案．设销售完这批商品后获利w 元，则(2014)(4535)(200)42000w m m m =-+--=-+， 40-<，w ∴随m 的增大而减小，∴当81m =时，w 取得最大值，即甲种商品购进81件、乙种商品购进119件时，该商店销售完这批商品后获利最大．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．28．一次函数23y x =-+的图像经过点P （1，n ）．（1）求n 的值；（2）若一次函数1y mx =-的图像经过点P （2n -1，n ），求m 的值．解析：（1）1；（2）m =2【分析】（1）把点P （1， n ）代入一次函数 y=−2x+3 即可求出n 的值；（2）由（1）可得P （1，1），由一次函数 y=mx−1 的图像经过点P （1，1），可得m 的值．【详解】（1）一次函数23y x =-+的图像经过点P （1，n ），n =-2+3=1；（2）由n =1，P （2n -1，n ），可得P （1，1），一次函数1y mx =-的图像经过点P （1，1），11m =-，解得m=2．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．。
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19章专题21：一次函数的增减性与最值
1.已知一次函数y=-2x+1，当x≤0时，y的取值范围为（）
A．y≤1B．y≥0C．y≤0D．y≥1
【答案】D
2.已知关于x的一次函数y=mx+2m-3在-1≤x≤1上的函数值总是正的，则m的取值范围在数轴上表示正
确的是（）
A．B．C．D．
【答案】A
3.已知点A（-2，y1），B（-3，y2），C（3，y3）都在关于x的一次函数y=-x+m的图象上，则之间的
大小关系是（）
A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2 【答案】D
4.已知一次函数y=-3x+m图象上的三点P（n，a），Q（n-1，b），R（n+2，c），则a，b，c的大小关
系是（）
A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c
【答案】A
5.已知一次函数y=-0.5x+2，当1≤x≤4时，y的最大值是（）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．-6
【答案】A
6.已知A（-1，y1）和B（m，y2）在一次函数y=-3x+b（b为常数）的图象上，且y1＜y2，则m的值可
能是（）
A．-2 B．-1 C．0 D．2
【答案】A
7.已知关于x的一次函数y=（k2+1）x-2图象经过点A（3，m）、B（-1，n），则m，n的大小关系为
（）
A．m≥n B．m＞n C．m≤n D．m＜n
【答案】B
8.直线y=-2x+b上有三个点（-2.4，y1）．（-1.5，y2）．（1.3，y3）．则y1，y2，y3的大小关系是（）
A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3 D．y2＞y1＞y3
【答案】A
9.已知整数x满足-5≤x≤5，y1=x+1，y2=2x+4，对于任意一个x，m都取y1、y2中的最小值，则m的最
大值是（）
A．-4 B．-6 C．14 D．6
【答案】D
10.已知当-2≤x≤3时，函数y=|2x-m|（其中m为常量）的最小值为2m-54，则m=__________。
【答案】48
11. 已知一次函数y=（2m-1）x-1+3m （m 为常数），当x ＜2时，y ＞0，则m 的取值范围为__________。
【答案】2
173≤≤m
12. 一次函数y=kx+b ，当1≤x≤4时，3≤y≤6，则k-b 的值是__________。
【答案】-1或-8 13. 在一次函数y=-3x+1中，当-1＜x ＜2时，对应y 的取值范围是__________。
【答案】-5＜y ＜4
14. 已知实数x ，y 满足x+2y=4，并且x≤3，y ＜2，现有m=x-2y ，则m 的取值范围是__________。
【答案】-4＜m≤2 15. 已知一次函数y=kx+b 的自变量的取值范围是-3≤x≤6，相应的函数值的取值范围是-5≤y≤-2，这个一次
函数的解析式为__________。
【答案】y=
3
1
x-4（-3≤x≤6）或者y=-x-3（-3≤x≤6）． 16. 已知关于x 的函数y=3x+2m-3（-2≤m≤4），当2≤x≤7时
（1）请直接写出y 的最大值
（2）设函数的最小值为M ，求M 的最大值 【答案】(1)2m+18； (2)11
17. 某商店准备购进一批电冰箱和空调，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商店用8000元
购进电冰箱的数量与用6400元购进空调的数量相等． （1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？
（2）已知电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元．若商店准备购进这两种家电共100台，其中购进电冰箱x 台（33≤x≤40），那么该商店要获得最大利润应如何进货？ 【答案】（1）设每台电冰箱的进价m 元，每台空调的进价（m-400）元
依题意得，
400
6400
8000-=m m ， 解得：m=2000，
经检验，m=2000是原分式方程的解， ∴m=2000；
∴每台电冰箱的进价2000元，每台空调的进价1600元．
（2）设购进电冰箱x 台，则购进空调（100-x ）台，
根据题意得，总利润W=100x+150（100-x ）=-50x+15000， ∵-50＜0，
∴W 随x 的增大而减小， ∵33≤x≤40，
∴当x=33时，W 有最大值，
即此时应购进电冰箱33台，则购进空调67台．
18. 某年5月，我国南方某省A 、B 两市遭受严重洪涝灾害，1.5万人被迫转移，邻近县市C 、D 获知A 、
B 两市分别急需救灾物资200吨和300吨的消息后，决定调运物资支援灾区．已知
C 市有救灾物资240吨，
D 市有救灾物资260吨，现将这些救灾物资全部调往A 、B 两市．已知从C 市运往A 、B 两市的费用分别为每吨20元和25元，从D 市运往往A 、B 两市的费用别为每吨15元和30元，设从D 市运往B 市的救灾物资为x 吨． （1）请填写下表
A （吨）
B （吨） 合计（吨）
C （吨） 240
D （吨） x 260 总计（吨）
200
300
500
（2）设C 、D 两市的总运费为w 元，求w 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）经过抢修，从D 市到B 市的路况得到了改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m 元（m ＞0），其余路线运费不变．若C 、D 两市的总运费的最小值不小于10320元，求m 的取值范围． 【答案】（1）∵D 市运往B 市x 吨，
∴D 市运往A 市（260-x ）吨，C 市运往B 市（300-x ）吨，C 市运往A 市200-（260-x ）=（x-60）吨， 故答案为：x-60、300-x 、260-x ； （2）由题意可得，
w=20（x-60）+25（300-x ）+15（260-x ）+30x=10x+10200， ∴w=10x+10200（60≤x≤260）； （3）由题意可得，
w=10x+10200-mx=（10-m ）x+10200， 当0＜m ＜10时，
x=60时，w 取得最小值，此时w=（10-m ）×60+10200≥10320， 解得，0＜m≤8， 当m ＞10时，
x=260时，w 取得最小值，此时，w=（10-m ）×260+10200≥10320， 解得，m≤13
124
， ∵
13
124
＜10， ∴m ＞10这种情况不符合题意，
由上可得，m 的取值范围是0＜m≤8．
19. 某商店销售A 型和B 型两种电脑，其中A 型电脑每台的利润为400元，B 型电脑每台的利润为500
元．该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的2倍，设购进A 型电脑x 台，这100台电脑的销售总利润为y 元． （1）求y 关于x 的函数关系式；
（2）该商店购进A 型、B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
（3）实际进货时，厂家对A 型电脑出厂价下调a （0＜a ＜200）元，且限定商店最多购进A 型电脑60台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
【答案】（1）根据题意，y=400x+500（100-x ）=-100x+50000；
（2）∵100-x≤2x ，
∴x≥
3
100
， ∵y=-100x+50000中k=-100＜0， ∴y 随x 的增大而减小， ∵x 为整数，
∴x=34时，y 取得最大值，最大值为46600，
答：该商店购进A 型34台、B 型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；
（3）据题意得，y=（400+a ）x+500（100-x ），即y=（a-100）x+50000，
33
3
1
≤x≤60 ①当0＜a ＜100时，y 随x 的增大而减小， ∴当x=34时，y 取最大值，
即商店购进34台A 型电脑和66台B 型电脑的销售利润最大． ②a=100时，a-100=0，y=50000，
即商店购进A 型电脑数量满足333
1
≤x≤60的整数时，均获得最大利润；
③当100＜a ＜200时，a-100＞0，y 随x 的增大而增大， ∴当x=60时，y 取得最大值．
即商店购进60台A 型电脑和40台B 型电脑的销售利润最大．。