(完整版)排列组合问题常用方法(二十种)

解排列组合问题常用方法（二十种）一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）例1、由01,2,3,4,5，可以组成多少个没有重复数字五位奇数？ 分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。

末位和首位有特殊要求。

先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有13C 种组合；然后排首位，从2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有14C 种组合；最后排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有34A 种排列。

由分步计数原理得113344288C C A =。

变式1、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有24A 种排列，再种其它葵花有55A 种排列。

由分步计数原理得25451440A A =。

二、相邻问题捆绑法例2、7人站成一排 ，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？分析：分三步。

先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理得522522480A A A =。

变式2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 。

分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有25A 种排列。

三、相离问题插空法例3、一个晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？分析：相离问题即不相邻问题。

分两步。

第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种排列，第二步将4个舞蹈插入第一步排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有46A 种排列，由分步计数原理得545643200A A =。

变式3、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为 。

分析：将2个新节目插入原定5个节目排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有26A 种排列， 由分步计数原理得2630A =。

四、定序问题除序（去重复）、空位、插入法例4、7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有多少种不同的排法？分析：（除序法）除序法也就是倍缩法或缩倍法。

对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数。

共有不同排法种数为：7733840A A =。

（空位法）设想有7把椅子，让除甲、乙、丙以外的四人就坐，共有47A 种坐法；甲、乙、丙坐其余的三个位置，共有1种坐法。

总共有47840A =种排法。

思考：可以先让甲乙丙就坐吗？（可以）（插入法）先选三个座位让甲、乙、丙三人坐下，共有37C 种选法；余下四个空座位让其余四人就坐，共有44A 种坐法。

总共有3474840C A =种排法。

变式4、10人身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有多少种不同的排法？分析：10人身高各不相等且从左至右身高逐渐增加，说明顺序一定。

若排成一排，则只有一种排法；现排成前后两排，因此共有510252C =种排法。

五、平均分组问题倍除法（去重复法）例5、6本不同的书平均分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分法？分析：分三步取书有222642C C C 种分法，但存在重复计数。

记6本书为ABCDEF ，若第一步取AB ，第二步取CD ，第三步取EF ，该分法记为()AB CD EF ，，，则在222642C C C 中还有()AB CD EF ，，、()AB CD EF ，，、()AB CD EF ，，、()AB CD EF ，，、()AB CD EF ，，共33A 种分法 ，而这些分法仅是()AB CD EF ，，一种分法。

总共应有22264233C C C A 种分法。

平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，分组后一定要除以nn A （n 为均分的组数），避免重复计数。

变式5①、将13个球队分成3组，一组5个队，其它两组4个队，有多少种不同的分法？分析：分三步。

第一步取5个队为一组，有513C 种分法；余下8个队平均分成两组，每组4个队，有4484C C 种分法，但存在重复计数。

记8个队为ABCDEFGH ，若第二步取ABCD ，第三步取EFGH ，该分法记为()ABCD EFGH ，，则在4484C C 中还有()EFGH ABCD ，共22A 种分法，而这22A 种分法是同一种分法。

总共应有445841322C C C A ⋅种分法。

变式5②、10名学生分成3组，其中一组4人，另两组3人，正、副班长不能分在同一组，有多少种不同的分组方法？分析：㈠总的分组方法：分三步。

第一步取4人为一组，有410C 种分法；余下6个人平均分成两组，每组3个人，有3363C C 种分法，但存在重复计数。

记6个人为ABCDEF ，若第二步取ABC ，第三步取DEF ，该分法记为()ABC DEF ，，则在3363C C 中还有()DEF ABC ，共22A 种分法，而这22A 种分法是同一种分法。

总共应有3346310222100C C C A ⋅=种分法。

㈡正、副班长同分在4人一组：分三步。

第一步在8人中取2人，加上正、副班长共4人为一组，有28C 种分法；余下6个人平均分成两组，每组3个人，有3363C C 种分法，但存在重复计数。

记6个人为ABCDEF ，若第二步取ABC ，第三步取DEF ，该分法记为()ABC DEF ，，则在3363C C 中还有()DEF ABC ，共22A 种分法，而这22A 种分法是同一种分法。

总共应有33263822280C CC A ⋅=种分法。

㈢正、副班长同分在3人一组：分三步。

第一步在8人中取4人，有48C 种分法；第二步在余下的4人中取3人，有34C 种分法；第三步余下1人加上正、副班长形成一组，只有一种分法。

总共应有4384280C C =种分法。

㈠减㈡减㈢得：总共有33334243636310884222221002802801540C C C C C C C C A A ⋅-⋅-=--=种分法。

变式5③、某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安 排2名，则不同的安排种数为 。

分析：分三步。

前两步将转入的4名学生平均分成两组，每组2名学生，有2242C C 种分法，但存在重复计数。

记4名学生为ABCD ，若第一步取AB ，第二步取CD ，该分法记为()AB CD ，，则在2242C C 中还有()CD AB ，共22A 种分法，而这22A 种分法是同一种分法。

第三步将分成的两组分配到6个班级，有26A 种分法。

总共应有2224262290C C A A ⋅=种分法。

六、元素相同问题隔板法例6、有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？分析：隔板法也就是档板法。

分两步。

第一步：每班分配1个名额，只有1种分法；第二步：将剩下的3个名额分配给7个班。

取716-=块相同隔板，连同3个相同名额排成一排，共9个位置。

由隔板法知，在9个位置中任取6个位置排上隔板，有69C 种排法。

每一种插板方法对应一种分法，由分步计数原理知，共有6984C =种分法。

变式6①、10个相同的球装入5个盒中，每盒至少一球，有多少中装法？分析：分两步。

第一步：每盒先装入1个球，只有1种装法；第二步：将剩下的5个球装入5个盒中。

取514-=块相同隔板，连同5个相同的球排成一排，共9个位置。

由隔板法知，在9个位置中任取4个位置排上隔板，有49C 种排法。

每一种插板方法对应一种装法，由分步计数原理知，共有49126C =种装法。

变式6②、100x y z w +++=，求这个方程的自然数解的组数。

分析：取413-=块相同隔板，连同100个相同的1排成一排，共103个位置。

由隔板法知，在103个位置中任取3个位置排上隔板，有3103C 种排法。

每一种插板方法对应一组数，共有3103176851C =组数。

七、正难问题则反总体淘汰法（若直接法难，则用间接法） 例7、从0123456789，，，，，，，，，十个数字中取出三个，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有多少种？ 分析：直接求不小于10的偶数很困难，可用总体淘汰法。

十个数字中有5个偶数5个奇数，所取的三个数字含有3个偶数的取法有35C ，只含有1个偶数的取法有1255C C ，和为偶数的取法共有123555C C C +。

淘汰和小于10的偶数共9种()024++、()026++、()013++、()015++、()017++、()019++、()213++、()215++、()413++，符合条件的取法共有1235559C C C +-。

变式7、一个班有43名同学，从中任抽5人，正、副班长、团支部书记至少抽到一人的抽法有多少种?分析：未抽到正、副班长、团支部书记的抽法有540C 种；正、副班长、团支部书记至少抽到一人的抽法有554340C C -种。

八、重排问题求幂法例8、把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法？分析：完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有7种分法，把第二名实习生分配到车间也有7种分法，依此类推，由分步计数原理共有67种不同的分法。

变式8①、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 。

分析：完成此事共分两步：把第一个新节目插入原定5个节目排后形成的六个空中，有6种插法；把第二个新节目插入前面6个节目排后形成的七个空中，有7种插法。

由分步计数原理共有6742⨯=种不同的插法。

变式8②、某8层大楼一楼电梯上来8名乘客，他们到各自的一层下电梯，下电梯的下法有多少种？ 分析：完成此事共分八步：第一名乘客下电梯有7种下法，第二名乘客下电梯也有7种下法，依此类推，由分步计数原理共有87种不同的下法。

九、环（圆）排问题直排法①环形排列问题：如果在圆周上m 个不同的位置编上不同的号码，那么从n 个不同的元素的中选取m 个不同的元素排在圆周上不同的位置，这种排列和直线排列是相同的；如果从n 个不同的元素的中选取m 个不同的元素排列在圆周上，位置没有编号，元素间的相对位置没有改变，不计顺逆方向，这种排列和直线排列是不同的，这就是环形排列的问题。

②环形排列数：一个m 个元素的环形排列，相当于一个有m 个顶点的多边形，沿相邻两个点的弧线剪断，再拉直就是形成一个直线排列，即一个m 个元素的环形排列对应着m 个直线排列。

设从n 个元素中取出m 个元素组成的环形排列数为N 个，则对应的直线排列数为mN 个。