总结：线性回归分析的基本步骤
回归分析的基本思想及其初步应用
回归分析的基本思想及其初步应用1．回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，回归分析的基本步骤是画出两个变量的散点图，求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报． 2．线性回归模型(1)在线性回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x 中，b ^＝∑ni ＝1 （x i －x ）（y i －y ）∑ni ＝1（x i －x ）2，a ^＝y －－b ^x －，其中x －＝1n ∑ni ＝1x i ，y －＝1n∑ni ＝1y i ，(x ，y )称为样本点的中心，回归直线过样本点的中心． (2)线性回归模型y ＝bx ＋a ＋e ，其中e 称为随机误差，自变量x 称为解释变量，因变量y 称为预报变量．[注意] (1)非确定性关系：线性回归模型y ＝bx ＋a ＋e 与确定性函数y ＝a ＋bx 相比，它表示y 与x 之间是统计相关关系(非确定性关系)，其中的随机误差e 提供了选择模型的准则以及在模型合理的情况下探求最佳估计值a ，b 的工具．(2)线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中a ^，b ^的意义是：以a ^为基数，x 每增加1个单位，y 相应地平均增加b ^个单位．3．刻画回归效果的方式方式方法计算公式 刻画效果R 2R 2＝1－∑ni ＝1（y i －y ^i ）2∑n i ＝1（y i －y ）2R 2越接近于1，表示回归的效果越好残差图e ^i 称为相应于点(x i ，y i )的残差，e ^i ＝y i －y ^i残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高残差平方和∑ni ＝1(y i －y ^i )2 残差平方和越小，模型的拟合效果越好判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求线性回归方程前可以不进行相关性检验．( )(2)在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号．( )(3)利用线性回归方程求出的值是准确值．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×变量x 与y 之间的回归方程表示( )A ．x 与y 之间的函数关系B ．x 与y 之间的不确定性关系C ．x 与y 之间的真实关系形式D ．x 与y 之间的真实关系达到最大限度的吻合 答案：D在两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数R 2如下，其中拟合效果最好的模型是( )A ．模型1的相关指数R 2为0.98 B ．模型2的相关指数R 2为0.80 C ．模型3的相关指数R 2为0.50 D ．模型4的相关指数R 2为0.25 答案：A已知线性回归方程y ^＝0.75x ＋0.7，则x ＝11时，y 的估计值为________． 答案：8.95探究点1 线性回归方程在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 之间的一组观察值如下表.x (s) 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 y (μm)610101316171923252946(1)画出散点图；(2)求y 对x 的线性回归方程；(3)利用线性回归方程预测时间为100 s 时腐蚀深度为多少． 【解】 (1)散点图如图所示．(2)从散点图中，我们可以看出y 对x 的样本点分布在一条直线附近，因而求回归直线方程有意义．x ＝111(5＋10＋15＋ (120)＝51011，y ＝111(6＋10＋10＋…＋46)＝21411，a ^＝y －b ^x ≈21411－0.304×51011＝ 5.36. 故腐蚀深度对腐蚀时间的线性回归方程为y ＝0.304x ＋ 5.36.(3)根据(2)求得的线性回归方程，当腐蚀时间为100 s 时，y ^＝5.36＋0.304×100＝35.76(μm)，即腐蚀时间为100 s 时腐蚀深度大约为35.76 μm.求线性回归方程的三个步骤(1)画散点图：由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系． (2)求回归系数：若存在线性相关关系，则求回归系数．(3)写方程：写出线性回归方程，并利用线性回归方程进行预测说明．炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量x 与冶炼时间y (从炼料熔化完毕到出钢的时间)的数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，10)并已计算出＝1589,i ＝110y i ＝1 720，故冶炼时间y 对钢水的含碳量x 的回归直线方程为y ^＝1.267x －30.47. 探究点2 线性回归分析假定小麦基本苗数x 与成熟期有效穗y 之间存在相关关系，今测得5组数据如下：(1)以x 为解释变量，y 为预报变量，作出散点图；(2)求y 与x 之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗； (3)计算各组残差，并计算残差平方和；(4)求相关指数R 2，并说明残差变量对有效穗的影响占百分之几？ 【解】 (1)散点图如下．(2)由图看出，样本点呈条状分布，有比较好的线性相关关系，因此可以用回归方程刻画它们之间的关系．设回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，x －＝30.36，y －＝43.5，(1)该类题属于线性回归问题，解答本题应先通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，并利用残差图或相关指数R 2来分析函数模x 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4 y39.442.942.943.149.2型的拟合效果，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分析． (2)刻画回归效果的三种方法①残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适； ②残差平方和法：残差平方和 i ＝1n(y i －y ^i )2越小，模型的拟合效果越好；关于x 与y 有如下数据：x 2 4 5 6 8 y3040605070由(2)可得y i －y ^i 与y i －y －的关系如下表：y i －y ^i －1 －5 8 －9 －3 y i －y －－20－101020由于R 21＝0.845，R 22＝0.82，0.845＞0.82， 所以R 21＞R 22.所以(1)的拟合效果好于(2)的拟合效果． 探究点3 非线性回归分析某地今年上半年患某种传染病的人数y (人)与月份x (月)之间满足函数关系，模型为y ＝a e bx ，确定这个函数解析式．月份x /月 1 2 3 4 5 6 人数y /人526168747883【解】 设u ＝ln y ，c ＝ln a ， 得u ^＝c ^＋b ^x ，则u 与x 的数据关系如下表：x12 3 4 56u ＝ln y 3.95 4.114.224.3044.356 7 4.418 8非线性回归方程的步骤(1)确定变量，作出散点图．(2)根据散点图，选择恰当的拟合函数．(3)变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线性回归方程． (4)分析拟合效果：通过计算相关指数或画残差图来判断拟合效果． (5)根据相应的变换，写出非线性回归方程．某种书每册的成本费y (元)与印刷册数x (千册)有关，经统计得到数据如下：x(千册)1 2 3 5 10 20 30 50 100 200 y (元)10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15检验每册书的成本费y (元)与印刷册数的倒数1x之间是否具有线性相关关系，如有，求出y 对x 的回归方程，并画出其图形．解：首先作变量置换u ＝1x，题目中所给的数据变成如下表所示的10对数据．u i 1 0.5 0.33 0.2 0.1 0.05 0.03 0.02 0.01 0.005 y i10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15然后作相关性检测．经计算得r ≈0.999 8>0.75，从而认为u 与y 之间具有线性相关关系，由公式得a ^≈1.125，b ^≈8.973，所以y ^＝1.125＋8.973u ，最后回代u ＝1x ，可得y ^＝1.125＋8.973x.这就是题目要求的y 对x 的回归方程．回归方程的图形如图所示，它是经过平移的反比例函数图象的一个分支．1．关于回归分析，下列说法错误的是( ) A ．回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法 B ．散点图中，解释变量在x 轴，预报变量在y 轴C ．回归模型中一定存在随机误差D ．散点图能明确反映变量间的关系解析：选D.用散点图反映两个变量间的关系时，存在误差． 2．下列关于统计的说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数，方差恒不变； ②回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必经过点(x ，y )； ③线性回归模型中，随机误差e ＝y i －y ^i ；④设回归方程为y ^＝－5x ＋3，若变量x 增加1个单位，则y 平均增加5个单位． 其中正确的为________(写出全部正确说法的序号)．解析：①正确；②正确；③线性回归模型中，随机误差的估计值应为e ^i ＝y i －y ^i ，故错误；④若变量x 增加1个单位，则y 平均减少5个单位，故错误． 答案：①②3．某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x (x 取整数)(元)与日销售量y (台)之间有如下关系：x 35 40 45 50 y56412811(1)画出散点图，并判断y 与x 是否具有线性相关关系；(2)求日销售量y 对销售单价x 的线性回归方程(方程的斜率保留一个有效数字)； (3)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据(2)写出P 关于x 的函数关系式，并预测当销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润．解：(1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量具有线性相关关系．(2)因为x －＝14×(35＋40＋45＋50)＝42.5，(3)依题意有P ＝(161.5－3x )(x －30) ＝－3x 2＋251.5x －4 845＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x －251.562＋251.5212－4 845. 所以当x ＝251.56≈42时，P 有最大值，约为426元．故预测当销售单价为42元时，能获得最大日销售利润．知识结构深化拓展线性回归模型的模拟效果(1)残差图法：观察残差图，如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高．(2)残差的平方和法：一般情况下，比较两个模型的残差比较困难(某些样本点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型的小，而另一些样本点的情况则相反)，故通过比较两个模型的残差的平方和的大小来判断模型的拟合效果．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好．(3)R 2法：R 2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好．[注意] r 的绝对值越大说明变量间的相关性越强，通常认为r 的绝对值大于等于0.75时就是有较强的相关性，同样R 2也是如此，R 2越大拟合效果越好.[A 基础达标]1．废品率x %和每吨生铁成本y (元)之间的回归直线方程为y ^＝256＋3x ，表明( ) A ．废品率每增加1%，生铁成本增加259元 B ．废品率每增加1%，生铁成本增加3元 C ．废品率每增加1%，生铁成本平均每吨增加3元 D ．废品率不变，生铁成本为256元解析：选C.回归方程的系数b ^表示x 每增加一个单位，y ^平均增加b ^，当x 为1时，废品率应为1%，故当废品率增加1%时，生铁成本平均每吨增加3元．2．已知某产品连续4个月的广告费用为x i (i ＝1，2，3，4)千元，销售额为y i (i ＝1，2，3，4)万元，经过对这些数据的处理，得到如下数据信息：①x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝18，y 1＋y 2＋y 3＋y 4＝14；②广告费用x 和销售额y 之间具有较强的线性相关关系；③回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝0.8(用最小二乘法求得)，那么当广告费用为6千元时，可预测销售额约为( )A ．3.5万元B ．4.7万元C ．4.9万元D ．6.5万元解析：选B.依题意得x ＝4.5，y ＝3.5，由回归直线必过样本点中心得a ^＝3.5－0.8×4.5＝－0.1，所以回归直线方程为y ^＝0.8x －0.1.当x ＝6时，y ^＝0.8×6－0.1＝4.7.3．某化工厂为预测某产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，现取了8对观测值，计算得的线性回归方程是( )A.y ^＝11.47＋2.62xB.y ^＝－11.47＋2.62x C.y ^＝2.62＋11.47x D.y ^＝11.47－2.62x 解析：选A.由题中数据得x ＝6.5，y ＝28.5，a ^＝y －b ^x ＝28.5－2.62×6.5＝11.47，所以y 与x 的线性回归方程是y ^＝2.62x ＋11.47.故选A.4．若某地财政收入x 与支出y 满足线性回归方程y ＝bx ＋a ＋e (单位：亿元)，其中b ＝0.8，a ＝2，|e |≤0.5.如果今年该地区财政收入10亿元，则年支出预计不会超过( )A ．10亿元B ．9亿元C ．10.5亿元D ．9.5 亿元解析：选C.代入数据y ＝10＋e ，因为|e |≤0.5， 所以9.5≤y ≤10.5，故不会超过10.5亿元．5．某种产品的广告费支出x 与销售额y (单位：万元)之间的关系如下表：y 与x 的线性回归方程为y ＝6.5x ＋17.5，当广告支出5万元时，随机误差的效应(残差)为________．解析：因为y 与x 的线性回归方程为y ^＝6.5x ＋17.5，当x ＝5时，y ^＝50，当广告支出5万元时，由表格得：y ＝60，故随机误差的效应(残差)为60－50＝10. 答案：106．若一组观测值(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )之间满足y i ＝bx i ＋a ＋e i (i ＝1，2，…，n )，且e i 恒为0，则R 2为________．解析：由e i 恒为0，知y i ＝y ^i ，即y i －y ^i ＝0， 故R 2＝1－∑ni ＝1 （y i －y ^i ）2∑n i ＝1 （y i －y ）2＝1－0＝1.答案：17．某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y (元)与该周每天销售这种服装件数x 之间的一组数据关系见表：已知∑7i ＝1x 2i ＝280，∑7i ＝1x i y i ＝3 487. (1)求x ，y ；(2)已知纯利y 与每天销售件数x 线性相关，试求出其回归方程． 解：(1)x ＝3＋4＋5＋6＋7＋8＋97＝6，y ＝66＋69＋73＋81＋89＋90＋917＝5597.(2)因为y 与x 有线性相关关系，所以b ^＝∑7i ＝1x i y i－7x y ∑7i ＝1x 2i －7x 2＝3 487－7×6×5597280－7×36＝4.75，a ^＝5597－6×4.75＝71914≈51.36.故回归方程为y ^＝4.75 x ＋51.36.8．已知某校5个学生的数学和物理成绩如下表：(1)假设在对这5名学生成绩进行统计时，把这5名学生的物理成绩搞乱了，数学成绩没出现问题，问：恰有2名学生的物理成绩是自己的实际分数的概率是多少？(2)通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系，在上述表格是正确的前提下，用x 表示数学成绩，用y 表示物理成绩，求y 与x 的回归方程； (3)利用残差分析回归方程的拟合效果，若残差和在(－0.1，0.1)范围内，则称回归方程为“优拟方程”，问：该回归方程是否为“优拟方程”？参考数据和公式：y ^＝b ^x ＋a ^，其中．解：(1)记事件A 为“恰有2名学生的物理成绩是自己的实际成绩”， 则P (A )＝2C 25A 55＝16.(2)因为x ＝80＋75＋70＋65＋605＝70，y ＝70＋66＋68＋64＋625＝66，学生的编号i 1 2 3 4 5 数学x i 80 75 70 65 60 物理y i7066686462[B 能力提升]9.假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）有如表的统计资料：使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.010．(选做题)某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表所示：身高x(cm)60708090100110体重y(kg) 6.137.909.9912.1515.0217.50身高x(cm)120130140150160170体重y(kg)20.9226.8631.1138.8547.2555.05 (1)(2)如果体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高175 cm 、体重82 kg 的在校男生体重是否正常？ 解：(1)根据题表中的数据画出散点图如图所示．由图可看出，样本点分布在某条指数函数曲线y ＝c 1e c 2x的周围， 于是令z ＝ln y ，得下表：x 60 70 80 90 100 110 z 1.81 2.07 2.30 2.50 2.71 2.86 x 120 130 140 150 160 170 z3.043.293.443.663.864.01作出散点图如图所示：由表中数据可得z 与x 之间的回归直线方程为 z ^＝0.662 5＋0.020x ，则有y ^＝e 0.662 5＋0.020x .(2)当x ＝175时，预报平均体重为y ^＝e 0.662 5＋0.020×175≈64.23， 因为64.23×1.2≈77.08＜82，所以这个男生偏胖．。
线性回归
d. Predicto rs: (C o nstant), 俄 语 词 汇 学 成 绩 , 俄 语 阅 读 成 绩 , 俄 语 语 法 成 绩 , 俄 罗斯 概况成 绩
e. Dependent V ari abl e: 俄 语 作 文 词 汇 密 集 度
方差分析表：验证因变量与自变量无线性相关的概率，如 果P<0.05，则回归模型具有统计意义。
Coefficientsa
Unstandardized C o effic ients
Model
1
(C o nstant)
试题库平均分
B Std. Error
1.070
9.935
1.007
.094
a. Dependent Variable: 最 新 模 拟 得 分
Standardized C o effic ients
629.008 4650.200
df 1 18 19
Mean Square 4021.192 34.945
a. Predicto rs: (Co nstant), 试 题 库 平 均 分
b. Dependent Variable: 最 新 模 拟 得 分
F 115.072
Sig. .000a
方差分析表：验证因变量与自变量 无线性相关的概率，如果P<0.05， 则回归模型具有统计意义。
.000d
Residu al
.082
25
.003
Total
.591
29
a. Predicto rs: (C o nstant), 俄 语 词 汇 学 成 绩
b. Predicto rs: (C o nstant), 俄 语 词 汇 学 成 绩 , 俄 语 阅 读 成 绩
多元线性回归分析实例及教程
多元线性回归分析实例及教程多元线性回归分析是一种常用的统计方法，用于探索多个自变量与一个因变量之间的关系。
在这个方法中，我们可以利用多个自变量的信息来预测因变量的值。
本文将介绍多元线性回归分析的基本概念、步骤以及一个实际的应用实例。
1.收集数据：首先，我们需要收集包含因变量和多个自变量的数据集。
这些数据可以是实验数据、观察数据或者调查数据。
2.确定回归模型：根据实际问题，我们需要确定一个合适的回归模型。
回归模型是一个数学方程，用于描述自变量与因变量之间的关系。
3.估计回归参数：使用最小二乘法，我们可以估计回归方程的参数。
这些参数代表了自变量对因变量的影响程度。
4.检验回归模型：为了确定回归模型的有效性，我们需要进行各种统计检验，如F检验和t检验。
5.解释结果：最后，我们需要解释回归结果，包括参数的解释和回归方程的解释能力。
应用实例：假设我们想预测一个人的体重（因变量）与他们的年龄、身高、性别（自变量）之间的关系。
我们可以收集一组包含这些变量的数据，并进行多元线性回归分析。
首先，我们需要建立一个回归模型。
在这个例子中，回归模型可以表示为：体重=β0+β1×年龄+β2×身高+β3×性别然后，我们可以使用最小二乘法估计回归方程的参数。
通过最小化残差平方和，我们可以得到每个自变量的参数估计值。
接下来，我们需要进行各种统计检验来验证回归模型的有效性。
例如，我们可以计算F值来检验回归方程的整体拟合优度，t值来检验各个自变量的显著性。
最后，我们可以解释回归结果。
在这个例子中，例如，如果β1的估计值为正且显著，表示年龄与体重呈正相关；如果β2的估计值为正且显著，表示身高与体重呈正相关；如果β3的估计值为正且显著，表示男性的体重较女性重。
总结：多元线性回归分析是一种有用的统计方法，可以用于探索多个自变量与一个因变量之间的关系。
通过收集数据、确定回归模型、估计参数、检验模型和解释结果，我们可以得到有关自变量对因变量影响的重要信息。
如何进行回归分析：步骤详解(六)
回归分析是一种常用的统计方法，用来探讨自变量和因变量之间的关系。
它可以帮助我们了解变量之间的影响程度和方向，从而做出预测和决策。
在实际应用中，回归分析可以用来解决各种问题，比如市场营销、经济预测、医学研究等。
下面将详细介绍如何进行回归分析的步骤。
数据收集和准备进行回归分析的第一步是收集和准备数据。
首先需要确定研究的问题和变量，然后收集相关的数据。
在数据收集过程中，要确保数据的准确性和完整性。
一些常用的数据来源包括调查、实验、观测等。
在收集到数据后，还需要进行数据清洗和转换，以确保数据的质量和适用性。
变量选择在进行回归分析之前，需要对自变量和因变量进行选择。
自变量是用来解释因变量变化的变量，而因变量是需要预测或解释的变量。
在选择变量时，需要考虑变量之间的相关性和适用性。
通常情况下，选择的自变量应该具有理论基础或经验依据，以及与因变量之间的相关性。
模型建立在选择好自变量和因变量后，接下来就是建立回归模型。
回归模型是用来描述自变量和因变量之间关系的数学表达式。
常见的回归模型包括线性回归、多元线性回归、逻辑回归等。
在建立模型时，需要确定模型的函数形式和参数估计方法。
模型拟合建立回归模型后，需要对模型进行拟合。
模型拟合是通过最小化残差平方和来确定模型参数的过程。
通常使用最小二乘法来进行模型拟合。
在拟合模型时，需要对模型的质量进行评估，比如残差分析、方差分析等。
模型诊断在拟合模型后，还需要对模型进行诊断。
模型诊断是用来检验模型的适用性和准确性的过程。
常用的模型诊断方法包括检验模型的假设条件、检验模型的预测能力、检验模型的稳健性等。
模型解释最后，需要对建立的回归模型进行解释。
模型解释是用来解释自变量和因变量之间关系的过程。
通常使用模型的参数估计和假设检验来进行模型解释。
模型解释可以帮助我们了解变量之间的影响程度和方向，从而做出决策和预测。
总结回归分析是一种常用的统计方法，用来探讨自变量和因变量之间的关系。
进行回归分析的步骤包括数据收集和准备、变量选择、模型建立、模型拟合、模型诊断和模型解释。
线性回归分析
表：小区超市的年销售额（百万元）与小区常住人口数（万人）统计表
24
10
01-03 回归分析的应用
分析步骤：(一)
11
01-03 回归分析的应用
分析步骤：（二）
反映模型的拟合度
12
01-03 回归分析的应用
分析步骤：（三） • 一元线性回归 y=kx+b
第三组数据的第1个数据（301.665）是回归直线的截距b，第2个数据（ 44.797）也叫回归系数，其实就是回归直线的斜率k。
某一类回归方程的总称回归分析的概念50102?分类1回归分析按照涉及的变量多少分为一一元回归分析多元回归分析2按照自变量和因变量之间的关系类型可分为线性回归分析非线性回归分析回归分析的概念60102?步骤回归分析的概念1
Contents 内 容
01 回归分析的起源 02 回归分析的概念 03 回归分析的应用
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01-03 回归分析的应用
想一想 做一做：
已 知 2009 — 2015 年 淘 宝 “ 双 11 ” 当天销量统计如图所示，请利用散 点图进行回归分析，模拟淘宝“双 11 ” 的 销 量 变 化 规 律 ， 并 预 测 2016年的销量。
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01-03 回归分析的应用
两种回归分析工具使用总结： • 利用回归分析工具进行线性回归的优缺点如下： ① 优点：可以进行一元线性回归，也可以进行多元线性回归。 ② 缺点：只能进行线性回归，不能直接进行非线性回归。 • 利用散点图和趋势线进行回归分析的优缺点如下： ① 优点：不仅能进行线性回归，还能进行非线性回归。 ② 缺点：只能进行一元回归，不能进行多元回归。
回归分析的基本原理及应用
回归分析的基本原理及应用概述回归分析是统计学中一种常用的数据分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
它可以帮助我们理解变量之间的相关性，并通过建立模型来预测未来的结果。
在本文中，我们将介绍回归分析的基本原理，并探讨其在实际应用中的具体作用。
回归分析的基本原理回归分析基于以下两个基本原理：1.线性关系：回归分析假设自变量与因变量之间存在线性关系。
换句话说，自变量的变化对因变量的影响可以通过一个线性方程来描述。
2.最小二乘法：回归分析使用最小二乘法来估计回归方程中的参数。
最小二乘法试图找到一条直线，使得所有数据点到该直线的距离之和最小。
回归分析的应用场景回归分析在各个领域中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：•经济学：回归分析用于研究经济中的因果关系和预测经济趋势。
例如，通过分析历史数据，可以建立一个经济模型来预测未来的通货膨胀率。
•市场营销：回归分析可以用于研究消费者行为和市场需求。
例如，可以通过回归分析来确定哪些因素会影响产品销量，并制定相应的营销策略。
•医学研究：回归分析在医学研究中起着重要的作用。
例如，通过回归分析可以研究不同因素对疾病发生率的影响，并预测患病风险。
•社会科学：回归分析可帮助社会科学研究人们的行为和社会影响因素。
例如，可以通过回归分析来确定教育水平与收入之间的关系。
回归分析的步骤进行回归分析通常需要以下几个步骤：1.收集数据：首先需要收集相关的数据，包括自变量和因变量的取值。
2.建立回归模型：根据数据的特点和研究的目的，选择适当的回归模型。
常见的回归模型包括线性回归、多项式回归和逻辑回归等。
3.估计参数：使用最小二乘法估计回归模型中的参数值。
这个过程目的是找到一条最能拟合数据点的直线。
4.评估模型：通过分析回归模型的拟合优度和参数的显著性，评估模型的有效性。
5.预测分析：利用建立好的回归模型进行预测分析。
通过输入新的自变量值，可以预测对应的因变量值。
回归分析的局限性回归分析虽然在许多领域中有广泛应用，但也存在一些局限性：•线性假设：回归分析假设因变量与自变量之间存在线性关系。
回归分析步骤
回归分析步骤The 13 Steps for Statistical Modeling in any Regression or ANOVANo matter what statistical model you’re running, you need to go through the same 13 steps. The order and the specifics of how you do each step will differ depending on the data and the type of model you use.These 13 steps are in 3 major parts. Most people think of only Part 3 as modeling. However, if you do all 3 parts, and think of them all as part of the analysis, the modeling process will be faster, easier, and make more sense.Part 1: Define and DesignIn the first 4 steps, the object is clarity. You want to make everything as clear as possible to yourself. The more clear things are at this point, the smoother everything will be.1. Write out research questions in theoretical and operational termsA lot of times, when researchers are confused about the right statistical method to use, the real problem is they haven’t defined their research questions. They have a general idea of the relationship they want to test, but it’s a bit vague. You need to be very specific.For each research question, write it down in both theoretical and operational terms.2. Design the study or define the designDepending on whether you are collecting your own data or doing secondary data analysis, you need a clear idea of the design. Design issues are about randomization and sampling:• Nested and Crossed Factors• Potential confounders and control variables• Longitudinal or repeated measurements on a study unit• Sampling: simple random sample or stratification or clustering3. Choose the variables for answering research questions and determine their level of measurementEvery model has to take into account both the design and the level of measurement of the variables.Level of measurement, remember, is whether a variable is nominal, ordinal, or interval. Within interval, you also need to know if variables are discrete counts or continuous.It’s absolutely vital that you know the level of measurement of each response and predictor variable, because they determine both the type of information you can get from your model and the family of models that is appropriate.4. Write an analysis planWrite your best guess for the statistical method that will answer the research question, taking into account the design and the type of data. It does not have to be final at this point—it just needs to be a reasonable approximation.5. Calculate sample size estimationsThis is the point at which you should calculate your sample sizes–before you collect data and after you have an analysis plan. You need to know which statistical tests you will use as a basis for the estimates.And there really is no point in running post-hoc power analyses–it doesn’t tell you anything.Part 2: Prepare and explore6. Collect, code, enter, and clean dataThe parts that are most directly applicable to modeling are entering data and creating new variables.For data entry, the analysis plan you wrote will determine how to enter variables. For example, if you will be doing a linear mixed model, you will want the data in long format.7. Create new variablesThis step may take longer than you think–it can be quite time consuming. It’s pretty rare for every variable you’ll need for analysis to be collected in exactly the right form. Create indices, categorize, reverse code, whatever you need to do to get variables in their final form, including running principal components or factor analysis.8. Run Univariate and Bivariate StatisticsYou need to know what you’re working with. Check the distributions of the variables you intend to use, as well as bivariate relationships among all variables that might go into the model.You may find something here that leads you back to step 7 or even step 4. You might have to do some data manipulation or deal with missing data.More commonly, it will alert you to issues that will become clear in later steps. The earlier you are aware of issues, the better you can deal with them. But even if you don’t discover the issue until later, it won’t throw you for a loop if you have a good understanding of your variables.9. Run an initial modelOnce you know what you’re working with, run the model listed in your analysis plan. In all likelihood, this will not be the final model.But it should be in the right family of models for the types of variables, the design, and to answer the research questions. You need to have this model to have something to explore and refine.Part 3: Refine the model10. Refine predictors and check model fitIf you are doing a truly exploratory analysis, or if the point of the model is pure prediction, you can use some sort of stepwise approach to determine the best predictors.If the analysis is to test hypotheses or answer theoretical research questions, this part will be more about refinement. You can• Test, and possibly drop, interactions and quadratic or explore other types of non-linearity• Drop nonsignificant control variables• Do hierarchical modeling to see the effects of predictors added alone or in blocks.• Check for overdispersion• Test the best specification of random effects11. Test assumptionsBecause you already investigated the right family of models in Part 1, thoroughly investigated your variables in Step 8, and correctly specified your model in Step 10, you should not have big surprises here. Rather, this step will be about confirming, checking, and refining. But what you learn here can send you back to any of those steps for further refinement.12. Check for and resolve data issuesSteps 11 and 12 are often done together, or perhaps back and forth. This is where you check for data issues that can affect the model, but are not exactly assumptions. These include:Data issues are about the data, not the model, but occur within the context of the model• Multicollinearity• Outliers and influential points• Missing data• Truncation and censoringOnce again, data issues don’t appear until you have chosen variables and put them in the model.13. Interpret ResultsNow, finally, interpret the results.You may not notice data issues or misspecified predictors until you interpret the coefficients. Then you find something like a super high standard error or a coefficient with a sign opposite what you expected, sending you back to previous steps.转⾃：/13-steps-regression-anova/回归分析的⼀般步骤1、确定回归⽅程中的解释变量和被解释变量。
SPSS线性回归分析
SPSS分析技术:线性回归分析相关分析可以揭示事物之间共同变化的一致性程度，但它仅仅只是反映出了一种相关关系，并没有揭示出变量之间准确的可以运算的控制关系，也就是函数关系，不能解决针对未来的分析与预测问题。
回归分析就是分析变量之间隐藏的内在规律，并建立变量之间函数变化关系的一种分析方法，回归分析的目标就是建立由一个因变量和若干自变量构成的回归方程式，使变量之间的相互控制关系通过这个方程式描述出来。
回归方程式不仅能够解释现在个案内部隐藏的规律，明确每个自变量对因变量的作用程度。
而且，基于有效的回归方程，还能形成更有意义的数学方面的预测关系。
因此，回归分析是一种分析因素变量对因变量作用强度的归因分析，它还是预测分析的重要基础。
回归分析类型回归分析根据自变量个数，自变量幂次以及变量类型可以分为很多类型，常用的类型有：线性回归；曲线回归；二元Logistic回归技术；线性回归原理回归分析就是建立变量的数学模型，建立起衡量数据联系强度的指标，并通过指标检验其符合的程度。
线性回归分析中，如果仅有一个自变量，可以建立一元线性模型。
如果存在多个自变量，则需要建立多元线性回归模型。
线性回归的过程就是把各个自变量和因变量的个案值带入到回归方程式当中，通过逐步迭代与拟合，最终找出回归方程式中的各个系数，构造出一个能够尽可能体现自变量与因变量关系的函数式。
在一元线性回归中，回归方程的确立就是逐步确定唯一自变量的系数和常数，并使方程能够符合绝大多数个案的取值特点。
在多元线性回归中，除了要确定各个自变量的系数和常数外，还要分析方程内的每个自变量是否是真正必须的，把回归方程中的非必需自变量剔除。
名词解释线性回归方程：一次函数式，用于描述因变量与自变量之间的内在关系。
根据自变量的个数，可以分为一元线性回归方程和多元线性回归方程。
观测值：参与回归分析的因变量的实际取值。
对参与线性回归分析的多个个案来讲，它们在因变量上的取值，就是观测值。
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线性回归分析的基本步骤步骤一、建立模型知识点：1、总体回归模型、总体回归方程、样本回归模型、样本回归方程 ①总体回归模型：研究总体之中自变量和因变量之间某种非确定依赖关系的计量模型。
Y X U β=+特点：由于随机误差项U 的存在，使得Y 和X 不在一条直线/平面上。
例1：某镇共有60个家庭，经普查，60个家庭的每周收入（X ）与每周消费（Y ）数据如下：作出其散点图如下：②总体回归方程（线）：由于假定0EU =，因此因变量的均值与自变量总处于一条直线上，这条直线()|E Y X X β=就称为总体回归线（方程）。
总体回归方程的求法：以例1的数据为例，求出E (Y |X 由于01|i i i E Y X X ββ=+，因此任意带入两个X i 和其对应的E (Y |X i )值，即可求出01ββ和，并进而得到总体回归方程。
如将()()222777100,|77200,|137X E Y X X E Y X ====和代入()01|i i i E Y X X ββ=+可得：01001177100171372000.6ββββββ=+=⎧⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩以上求出01ββ和反映了E (Y |X i )和X i 之间的真实关系，即所求的总体回归方程为：()|170.6i i i E Y X X =+，其图形为：③样本回归模型：总体通常难以得到，因此只能通过抽样得到样本数据。
如在例1中，通过抽样考察，我们得到了20个家庭的样本数据：那么描述样本数据中因变量Y 和自变量X 之间非确定依赖关系的模型ˆY X e β=+就称为样本回归模型。
④样本回归方程（线）：通过样本数据估计出ˆβ，得到样本观测值的拟合值与解释变量之间的关系方程ˆˆY X β=称为样本回归方程。
如下图所示：⑤四者之间的关系：ⅰ：总体回归模型建立在总体数据之上，它描述的是因变量Y 和自变量X 之间的真实的非确定型依赖关系；样本回归模型建立在抽样数据基础之上，它描述的是因变量Y 和自变量X 之间的近似于真实的非确定型依赖关系。
这种近似表现在两个方面：一是结构参数ˆβ是其真实值β的一种近似估计；二是残差e 是随机误差项U 的一个近似估计；ⅱ：总体回归方程是根据总体数据得到的，它描述的是因变量的条件均值E (Y |X )与自变量X 之间的线性关系；样本回归方程是根据抽样数据得到的，它描述的是因变量Y 样本预测值的拟合值ˆY与自变量X 之间的线性关系。
ⅲ：回归分析的目的是试图通过样本数据得到真实结构参数β的估计值，并要求估计结果ˆβ足够接近真实值β。
由于抽样数据有多种可能，每一次抽样所得到的估计值ˆβ都不会相同，即β的估计量ˆβ是一个随机变量。
因此必须选择合适的参数估计方法，使其具有良好的统计性质。
2、随机误差项U 存在的原因： ①非重要解释变量的省略 ②人的随机行为 ③数学模型形式欠妥④归并误差（如一国GDP 的计算） ⑤测量误差等3、多元回归模型的基本假定 ①随机误差项的期望值为零()0i E U =②随机误差项具有同方差性2() 1,2,,i Var u i n σ==③随机误差项彼此之间不相关(,)0 ; ,1,2,,i j Cov u u i j i j n =≠= ④解释就变量X 1,X 2,···,X k 为确定型变量，与随机误差项彼此不相关。
(,)0 1,2,, 1,2,,ij j Cov X u i k j n ===⑤解释就变量X 1,X 2,···,X k 之间不存在精确的（完全的）线性关系，即解释变量的样本观测值矩阵X 为满秩矩阵：rank (X )=k +1<n ⑥随机误差项服从正态分布，即：u i ~N (0,σ2)，i =1,2,···,n步骤二、参数估计知识点：1、最小二乘估计的基本原理：残差平方和最小化。
2、参数估计量：① 一元回归：1201ˆˆˆi i i x y x Y Xβββ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∑∑ ② 多元回归：()1ˆT X X X Y β-'= 3、最小二乘估计量的性质（Gauss-Markov 定理）：在满足基本假设的情况下，最小二乘估计量ˆβ是β的最优线性无偏估计量（BLUE 估计量）步骤三、模型检验1、经济计量检验（后三章内容）2、统计检验 ①拟合优度检验 知识点：ⅰ：拟合优度检验的作用：检验回归方程对样本点的拟合程度 ⅱ：拟合优度的检验方法：计算（调整的）样本可决系数22/R R21RSS ESSR TSS TSS==-，2/11/1ESS n k R TSS n --=--注意掌握离差平方和、回归平方和、残差平方和之间的关系以及它们的自由度。
计算方法：通过方差分析表计算例2：下表列出了三变量（二元）模型的回归结果：1） 样本容量为多少？解：由于TSS 的自由度为n -1，由上表知n -1＝14，因此样本容量n =15。
2） 求ESS解：由于TSS ＝ESS ＋RSS ，故ESS ＝TSS －RSS ＝77 3） ESS 和RSS 的自由度各为多少？解：对三变量模型而言，k =2，故ESS 的自由度为n -k -1＝12 RSS 的自由度为k ＝2 4） 求22R R 和解：2659650.998866042RSS R TSS ===，2/110.9986/1ESS n k R TSS n --=-=-②回归方程的显著性检验（F 检验）目的：检验模型中的因变量与自变量之间是否存在显著的线性关系 步骤：1、提出假设：0121:...0:0 , 1,2,...,k j H H j kββββ====≠=至少有一2、构造统计量：/~(,1)/1RSS kF F k n k ESS n k =----3、给定显著性水平α，确定拒绝域(),1F F k n k α>--4、计算统计量值，并判断是否拒绝原假设例3：就例2中的数据，给定显著性水平1%α=，对回归方程进行显著性检验。
解：由于统计量值/65965/25140.13/177/12RSS k F ESS n k ===--，又()0.012,12 6.93F =，而()0.015140.132,12 6.93F F =>=故拒绝原假设，即在1%的显著性水平下可以认为回归方程存在显著的线性关系。
附：2R F 与检验的关系：由于()()22222/1/1/1/1RSS RSS R R RSS ESS R k TSS ESS RSS R F RSS k R n k F ESS n k ⎫==⇒=⎪⎪+-⇒=⎬---⎪=⎪--⎭又 ③解释变量的显著性检验（t 检验）目的：检验模型中的自变量是否对因变量存在显著影响。
知识点：多元回归：ˆiS β=1,1i i C ++为()1X X -'中位于第i +1行和i +1列的元素；一元回归：1ˆˆS S ββ==变量显著性检验的基本步骤：1、提出假设：01:0 :0i i H H ββ=≠2、构造统计量：ˆˆ~(1)ii t t n k S ββ=--3、给定显著性水平α，确定拒绝域/2(1)tt n k α>--4、计算统计量值，并判断是否拒绝原假设 例4：根据19个样本数据得到某一回归方程如下：12ˆ58.90.20.1 (0.0092) (0.084)Y X X se =-+-试在5%的显著性水平下对变量12X X 和的显著性进行检验。
解：由于/20.025(1)(16) 2.12t n k t α--==，故t 检验的拒绝域为 2.12t>。
对自变量1X 而言，其t 统计量值为11ˆˆ0.221.74 2.120.0092t S ββ===>，落入 拒绝域，故拒绝10β=的原假设，即在5%的显著性水平下，可以认为自变量1X 对因变量有显著影响；对自变量2X 而言，其t 统计量值为22ˆˆ0.11.192.120.084t S ββ===<，未落入拒绝域，故不能拒绝20β=的原假设，即在5%的显著性水平下，可以认为自变量2X 对因变量Y 的影响并不显著。
④回归系数的置信区间目的：给定某一置信水平1α-，构造某一回归参数i β的一个置信区间，使i β落在该区间内的概率为1α-基本步骤：1、构造统计量ˆˆ~(1)ii i t t n k S βββ-=--2、给定置信水平1α-，查表求出α水平的双侧分位数/2(1)t n k α--3、求出i β的置信度为1α-的置信区间()ˆˆ/2/2ˆˆ,iii i t S t S ααββββ-⨯+⨯ 例5：根据例4的数据，求出1β的置信度为95%的置信区间。
解：由于0.025(16) 2.12t =，故1β的置信度为95%的置信区间为：()()0.2 2.120.0092,0.2 2.120.00920.18,0.22-⨯+⨯=3、经济意义检验目的：检验回归参数的符号及数值是否与经济理论的预期相符。
例6：根据26个样本数据建立了以下回归方程用于解释美国居民的个人消费支出：122ˆ10.960.93 2.09 ( 3.33) (249.06) ( 3.09)0.9996Y X X t R =-+---= 其中：Y 为个人消费支出（亿元）；X 1为居民可支配收入（亿元）；X 2为利率（%）1） 先验估计12ˆˆββ和的符号； 解：由于居民可支配收入越高，其个人消费水平也会越高，因此预期自变量X 1回归系数的符号为正；而利率越高，居民储蓄意愿越强，消费意愿相应越低，因此个从消费支出与利率应该存在负相关关系，即2ˆβ应为负。
2） 解释两个自变量回归系数的经济含义；解：1ˆ0.93β=表示，居民可支配收入每增加1亿元，其个人消费支出相应会增加0.93亿元，即居民的边际消费倾向MPC ＝0.93；2ˆ 2.09β=-表示，利率提高1个百分点，个人消费支出将减少2.09亿元。
截距项表示居民可支配收入和利率为零时的个人消费支出为-10.96亿元，它没有明确的经济含义。
3） 检验1β是否显著不为1；（5%α=） 解：1）提出假设：0111: 1 :1H H ββ=≠2）构造统计量：111ˆˆ~(1)t t n k S βββ-=--3）给定显著性水平5%α=，查表得/20.025(1)(23) 2.07t n k t α--==，故拒绝域为 2.07t>4）计算统计量值：由于1111ˆ1ˆ1ˆˆ0.93ˆ()0.003734ˆ249.06()t S S t ββββββ=⇒=== 则111ˆˆ0.0718.75 2.070.003734t S βββ-===>，落入拒绝域。