多重线性回归模型
第三章 多元线性回归模型
即
Y Xb U
X 称为数据矩阵或设计矩阵。
6
二、古典假定
假定1：零均值假定 E(ui ) 0 (i 1,2,...,n)
1 E ( 1 ) E ( ) 2 2 E (μ) E 0 n E ( n )
写成矩阵形式：
Y1 1 X 21 Y 1 X 22 2 Yn 1 X 2 n X 31 X k 1 b 1 u1 X 32 X k 2 b 2 u 2 X 3 n X kn b k un
或
ei 1 X 21 X e 1 X 22 2i i X ki ei 1 X 2 n X 31 X k 1 e1 X 32 X k 2 e2 X e 0 X 3 n X kn en
9
当总体观测值难于得到时，回归系数向 量 b 是未知的，这时可以由样本观测值进行 估计，可表示为
ˆ ˆ Xb Y
但实际观测值与计算值有偏差，记为：
ˆ e Y Y
于是
ˆ e Y Xb
称为多元样本回归函数。
10
ˆ b 1 ˆ b2 ˆ b ˆ b k
同理
ˆ x x b ˆ x 2 x3 i yi b 2 2i 3i 3 3i
x2 i yi x x3 i yi x2 i x3 i ˆ b2 2 2 2 x2 x ( x x ) i 3i 2i 3i
2 3i
x3 i yi x x2 i yi x2 i x3 i ˆ b3 2 2 2 x2 x ( x x ) i 3i 2i 3i
多元线性回归模型
Cov( X ji , i ) 0
j 1,2, k
假设4，随机项满足正态分布
i ~ N (0, 2 )
上述假设的矩阵符号表示 式：
假设1，n(k+1)维矩阵X是非随机的，且X的秩=k+1，
即X满秩。
回忆线性代数中关于满秩、线性无关!
假设2，
E (μ)
E
1
E (1 )
0
n E( n )
X ki ) ) X 1i ) X 2i
Yi Yi X 1i Yi X 2i
(ˆ0 ˆ1 X 1i ˆ2 X 2i ˆk X ki ) X ki Yi X ki
解该（ k+1）个方程组成的线性代数方程组，即
可得到(k+1) 个待估参数的估计值
$ j
,
j
0,1,2, ,
k
。
□正规方程组的矩阵形式
en
二、多元线性回归模型的基本假定
假设1，解释变量是非随机的或固定的，且各X之间互不 相关（无多重共线性）。
假设2，随机误差项具有零均值、同方差及不序列相关 性。
E(i ) 0
i j i, j 1,2,, n
Var
(i
)
E
(
2 i
)
2
Cov(i , j ) E(i j ) 0
假设3，解释变量与随机项不相关
这里利用了假设: E(X’)=0
等于0，因为解释变 量与随机扰动项不相 关。
3、有效性（最小方差性）
ˆ 的方差-协方差矩阵为
Co（v ˆ） E{[ˆ E（ˆ）][ˆ E（ˆ）]}
E[(ˆ )(ˆ )]
E{（[ X X）-1X ]（[ X X）-1X ]}
多重线性回归模型注意事项
多重线性回归模型注意事项多重线性回归是一种常用的统计分析方法，用于研究多个自变量对一个连续因变量的影响。
在应用多重线性回归模型时，需要注意以下几点：1. 数据的合理性检验：使用多重线性回归模型前，需要对数据进行可靠性的检验。
包括检查数据是否存在异常值、缺失值，并采取相应的处理方法。
此外，还需要检验数据是否满足多重线性回归的基本假设，如自变量之间的线性关系、误差项的独立性、误差的均值为零等。
2. 自变量的选择：在建立多重线性回归模型时，需要选择合适的自变量。
一般来说，选择自变量应基于相关性分析、领域知识和理论依据。
同时，要注意避免自变量之间存在多重共线性的情况，多重共线性会导致模型结果不稳定且难以解释。
3. 模型的拟合度评估：对多重线性回归模型进行拟合度评估是非常重要的。
通常使用确定系数R-squared、调整R-squared和F检验等指标来评估模型的拟合优度。
较高的确定系数和显著的F检验结果表明模型比较合适。
4. 异常值和离群值的处理：多重线性回归模型对异常值和离群值非常敏感。
异常值和离群值可能会对估计参数造成较大影响，使模型结果失真。
因此，在建模过程中，需要检查和处理异常值和离群值。
可以采用剔除异常值、转换变量等方法来应对。
5. 模型假设的检验：多重线性回归模型建立时依赖于多个假设，包括线性关系、独立性、正态性和同方差性等。
为了验证这些假设是否成立，可以进行残差的正态性检验、残差的独立性检验和残差的同方差性检验。
若假设不成立，需要采取相应的修正方法或使用其他模型。
6. 变量的标准化与比较：在多重线性回归模型中，自变量的量纲可能不同，可能会对模型的结果产生偏差。
为了解决这个问题，可以对自变量进行标准化处理，将其转化为无量纲的变量，在模型构建和结果解释中更具可比性。
7. 多重共线性的诊断与解决：多重共线性是指自变量之间存在高度相关性的情况。
多重共线性会导致模型不稳定、参数估计不准确，降低模型的解释力。
多元线性回归的计算模型
多元线性回归的计算模型多元线性回归模型的数学表示可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y表示因变量，Xi表示第i个自变量，βi表示第i个自变量的回归系数（即自变量对因变量的影响），ε表示误差项。
1.每个自变量与因变量之间是线性关系。
2.自变量之间相互独立，即不存在多重共线性。
3.误差项ε服从正态分布。
4.误差项ε具有同方差性，即方差相等。
5.误差项ε之间相互独立。
为了估计多元线性回归模型的回归系数，常常使用最小二乘法。
最小二乘法的目标是使得由回归方程预测的值与实际值之间的残差平方和最小化。
具体步骤如下：1.收集数据。
需要收集因变量和多个自变量的数据，并确保数据之间的正确对应关系。
2.建立模型。
根据实际问题和理论知识，确定多元线性回归模型的形式。
3.估计回归系数。
利用最小二乘法估计回归系数，使得预测值与实际值之间的残差平方和最小化。
4.假设检验。
对模型的回归系数进行假设检验，判断自变量对因变量是否显著。
5. 模型评价。
使用统计指标如决定系数（R2）、调整决定系数（adjusted R2）、标准误差（standard error）等对模型进行评价。
6.模型应用与预测。
通过多元线性回归模型，可以对新的自变量值进行预测，并进行决策和提出建议。
多元线性回归模型的计算可以利用统计软件进行，例如R、Python中的statsmodels库、scikit-learn库等。
这些软件包提供了多元线性回归模型的函数和方法，可以方便地进行模型的估计和评价。
在计算过程中，需要注意检验模型的假设前提是否满足，如果不满足可能会影响到模型的可靠性和解释性。
总而言之，多元线性回归模型是一种常用的预测模型，可以分析多个自变量对因变量的影响。
通过最小二乘法估计回归系数，并进行假设检验和模型评价，可以得到一个可靠的模型，并进行预测和决策。
计量经济学-多元线性回归模型
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y为因变 量，X1, X2,..., Xk为自变量，β0, β1,..., βk为回归 系数，ε为随机误差项。
多元线性回归模型的假设条件
包括线性关系假设、误差项独立同分布假设、无 多重共线性假设等。
研究目的与意义
研究目的
政策与其他因素的交互作用
多元线性回归模型可以引入交互项，分析政策与其他因素（如技 术进步、国际贸易等）的交互作用，更全面地评估政策效应。
实例分析：基于多元线性回归模型的实证分析
实例一
预测某国GDP增长率：收集该国历史数据，包括GDP、投资、消费、出口等变量，建立 多元线性回归模型进行预测，并根据预测结果提出政策建议。
最小二乘法原理
最小二乘法是一种数学优化技术，用 于找到最佳函数匹配数据。
残差是观测值与预测值之间的差，即 e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)e = y (beta_0 + beta_1 x_1 + cdots + beta_k x_k)e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)。
在多元线性回归中，最小二乘法的目 标是使残差平方和最小。
t检验
用于检验单个解释变量对被解释变量的影响 是否显著。
F检验
用于检验所有解释变量对被解释变量的联合 影响是否显著。
拟合优度检验
通过计算可决系数（R-squared）等指标， 评估模型对数据的拟合程度。
残差诊断
检查残差是否满足独立同分布等假设，以验 证模型的合理性。
04
多元线性回归模型的检验与 诊断
多元线性回归模型的估计与解释
多元线性回归模型的估计与解释多元线性回归是一种广泛应用于统计学和机器学习领域的预测模型。
与简单线性回归模型相比，多元线性回归模型允许我们将多个自变量引入到模型中，以更准确地解释因变量的变化。
一、多元线性回归模型的基本原理多元线性回归模型的基本原理是建立一个包含多个自变量的线性方程，通过对样本数据进行参数估计，求解出各个自变量的系数，从而得到一个可以预测因变量的模型。
其数学表达形式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y为因变量，X1、X2、...、Xn为自变量，β0、β1、β2、...、βn为模型的系数，ε为误差项。
二、多元线性回归模型的估计方法1. 最小二乘法估计最小二乘法是最常用的多元线性回归模型估计方法。
它通过使残差平方和最小化来确定模型的系数。
残差即观测值与预测值之间的差异，最小二乘法通过找到使残差平方和最小的系数组合来拟合数据。
2. 矩阵求解方法多元线性回归模型也可以通过矩阵求解方法进行参数估计。
将自变量和因变量分别构成矩阵，利用矩阵运算，可以直接求解出模型的系数。
三、多元线性回归模型的解释多元线性回归模型可以通过系数估计来解释自变量与因变量之间的关系。
系数的符号表示了自变量对因变量的影响方向，而系数的大小则表示了自变量对因变量的影响程度。
此外，多元线性回归模型还可以通过假设检验来验证模型的显著性。
假设检验包括对模型整体的显著性检验和对各个自变量的显著性检验。
对于整体的显著性检验，一般采用F检验或R方检验。
F检验通过比较回归平方和和残差平方和的比值来判断模型是否显著。
对于各个自变量的显著性检验，一般采用t检验，通过检验系数的置信区间与预先设定的显著性水平进行比较，来判断自变量的系数是否显著不为零。
通过解释模型的系数和做假设检验，我们可以对多元线性回归模型进行全面的解释和评估。
四、多元线性回归模型的应用多元线性回归模型在实际应用中具有广泛的应用价值。
多元线性回归模型原理
多元线性回归模型原理Y=β0+β1*X1+β2*X2+...+βn*Xn+ε其中，Y表示因变量，X1、X2、..、Xn表示自变量，β0、β1、β2、..、βn表示模型的参数，ε表示误差项。
通过对数据进行拟合，即最小化误差平方和，可以估计出模型的参数。
多元线性回归模型的原理是基于最小二乘法，即通过最小化残差平方和来估计参数的值。
残差是指模型预测值与真实值之间的差异，最小二乘法的目标是找到一组参数，使得所有数据点的残差平方和最小。
通过求解最小二乘估计，可以得到模型的参数估计值。
为了评估模型的拟合程度，可以使用各种统计指标，例如R方值、调整R方值、标准误差等。
R方值表示模型解释因变量方差的比例，取值范围在0到1之间，值越接近1表示模型对数据的拟合程度越好。
调整R方值考虑了模型中自变量的个数和样本量之间的关系，可以更准确地评估模型的拟合程度。
标准误差表示模型预测值与真实值之间的标准差，可以用于评估模型的预测精度。
在建立多元线性回归模型之前，需要进行一些前提条件的检查，例如线性关系、多重共线性、异方差性和自变量的独立性。
线性关系假设要求自变量与因变量之间存在线性关系，可以通过散点图、相关系数等方法来检验。
多重共线性指的是自变量之间存在高度相关性，会导致参数估计的不稳定性，可以使用方差膨胀因子等指标来检测。
异方差性指的是残差的方差不恒定，可以通过残差图、方差齐性检验等方法来检验。
自变量的独立性要求自变量之间不存在严重的相关性，可以使用相关系数矩阵等方法来检验。
当满足前提条件之后，可以使用最小二乘法来估计模型的参数。
最小二乘法可以通过不同的方法来求解，例如解析解和数值优化方法。
解析解通过最小化误差平方和的一阶导数为零来求解参数的闭式解。
数值优化方法通过迭代来求解参数的数值估计。
除了最小二乘法，还有其他方法可以用于估计多元线性回归模型的参数，例如岭回归和lasso回归等。
岭回归和lasso回归是一种正则化方法，可以对模型进行约束，可以有效地避免过拟合问题。
《医学统计学》之多元(重)线性回归
多元(重)线性回归模型的假设
1 线性关系
假设自变量与因变量之间存在线性关系，即因变量可以用自变量的线性组合来表示。
2 独立性
假设误差项之间相互独立，即每个观测值的误差项不受其他观测值的影响。
3 常数方差
假设误差项具有常数方差，即各个观测值的误差方差相同。
多元(重)线性回归模型的估计方法
最小二乘法
多元(重)线性回归模型的模型选择方法
前向选择法
从不包含自变量的空模型开 始，逐步添加自变量，选择 最佳的组合。
后向消除法
从包含所有自变量的全模型 开始，逐步删除自变量，选 择最简单且最有效的模型。
逐步回归法
结合前向选择法和后向消除 法，逐步调整自变量，找到 最优的模型。
多元(重)线性回归模型的实际应用
医学研究
用于分析多个影响因素对疾病发生、病程进展和治 疗效果的影响。
市场分析
用于预测市场需求和销售量，并确定最佳的市场推 广策略。
财务预测
社会科学
用于预测企业的财务状况，并制定相应的经营决策。
用于研究社会现象和群体行为，解释和预测社会现 象的变化。
通过方差膨胀因子等指标，判断自变量之间是否存在高度相关性，以避免估计结果的不 准确性。
多元(重)线性回归模型的模型检验
1
残差分析
通过观察残差的分布和模式，检验回归模型是否符合基本假设。
2
拟合优度检验
通过比较拟合优度指标（如决定系数R²）和假设分布，评估回归模型的拟合程度。
3
异常值检验
通过检测异常值对回归分析结果的影响，判断数据中是否存在异常观测值。
《医学统计学》之多元 (重)线性回归
在医学统计学中，多元(重)线性回归是一种强大的数据分析方法，可用于探索 和建立多个自变量与因变量之间的关系。
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编号
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
医用多元统计分析方法
身高(cm) x1
135.1 163.6 156.2 167.8 145.0 165.5 153.3 160.5 147.6 155.1 143.0 160.8 158.2 144.5 156.5
体重(kg) x2 32.0 46.2 37.1 41.5 33.0 49.5 41.0 47.2 40.5 44.7 31.5 40.4 37.5 34.7 32.0
n
n
Q
yi yˆ i 2
yi b0 b1 x1 b2 x2 bm xm 2
i 1
i 1
医用多元统计分析方法
2 偏回归系数的估计
最小二乘法(least square, LS) 基本思想
残差平方和(sum of squares for residuals)最小
医用多元统计分析方法
xm2
xmn
n( m
1)
B
b1 bm (
m
E
1)1
e2
en
n1
Y XB E＝Yˆ E
Yˆ XB
yˆ a b1 x1 b2 x2 bm xm
医用多元统计分析方法
回归方程的矩阵形式
1.75
2.00
Y
2.75
1.75
1
1
X
1
1
135.1 139.9 163.6
156.5
32.0
30.4
46.2
0.5657 B 0.005017
32.0
0.05406
31
Y XB E
1.75 0.5657 0.005017135.1 0.05406 32.0 0.0920 2.00 0.5657 0.005017139.9 0.05406 30.4 0.2204
➢ ei ～ N(0, 2)，即正态性(Normality)； ➢ Var(ei)= 2，即方差齐性(Equal variance)；
LINE
医用多元统计分析方法
回归模型的应用条件
Y 成年后的身高(英寸)
71
69
67
65
63
30
32
34
36
38
40
ห้องสมุดไป่ตู้
X 两岁时的身高(英寸)
2岁身高X与成年后身高Y的散点图
多重线性回归模型
Multiple Linear Regression Model
主要内容
1 多重线性回归模型简介 2 偏回归系数的估计 3 方程的假设检验 4 偏回归系数的假设检验 5 决定系数与剩余标准差 6 回归与t检验、方差分析的关系 7 标准偏回归系数与自变量的贡献
医用多元统计分析方法
某地13岁男童身高，体重，肺活量的实测数据(部分)
-------------------------------------------------------------------------
y|
Coef. Std. Err.
t P>|t|
[95% Conf. Interval]
--------+----------------------------------------------------------------
2 偏回归系数的估计
正规方程及矩阵计算法
nb0 x1ib0 x2ib0
x1ib1
x12i b1
x1i x2ib1
x2ib2 x1i x2ib2 x22ib2
xmi bm x1i xmi bm x2i xmi bm
yi x1i yi x2i yi
医用多元统计分析方法
1 多重线性回归模型简介
小结：
yi yˆi ei b0 b1x1i b2 x2i L bm xmi ei
医用多元统计分析方法
主要内容
1 多重线性回归模型简介 2 偏回归系数的估计 3 方程的假设检验 4 偏回归系数的假设检验 5 决定系数与剩余标准差 6 回归与t检验、方差分析的关系 7 标准偏回归系数与自变量的贡献
医用多元统计分析方法
2 偏回归系数的估计
最小二乘法(least square, LS) 基本思想
残差平方和(sum of squares for residuals)最小！
医用多元统计分析方法
成都市男中小学生12个年龄组的平均身高
紫外光对新生小鼠背皮ATP酶阳性的郎格汉斯细胞(LC)照 射不同时间的细胞密度(个/mm3)
当x1=150，x2=32时，yˆ =1.9168， 表示对所有身高为150cm，体重为32kg的13 岁男童，估计平均肺活量为1.9168(L)。
医用多元统计分析方法
回归模型
包含误差项的回归模型 回归模型的应用条件 回归模型的矩阵形式
医用多元统计分析方法
包含误差的回归模型
yˆ a b1x1 b2 x2 L bm xm
y|
Coef. Std. Err.
t P>|t|
[95% Conf. Interval]
--------+----------------------------------------------------------------
x1 | .0299623 .0101372
2.96 0.011
.0080622 .0518624
医用多元统计分析方法
问题：
身高、体重两者与肺活量有无线性关系？ 用身高和体重同时预测肺活量有多高的精度？ 身高的贡献大，还是体重的贡献大？
医用多元统计分析方法
单变量分析的局限性：
复杂性疾病致病机制 遗传因素？ 环境暴露？ 交互作用？
医用多元统计分析方法
主要内容
1 多重线性回归模型简介 2 偏回归系数的估计 3 方程的假设检验 4 偏回归系数的假设检验 5 决定系数与剩余标准差 6 回归与t检验、方差分析的关系 7 标准偏回归系数与自变量的贡献
156.5
32.0 30.4
46.2
32.0
1
1
1
X ' 135.1 139.9 163.6
32.0 30.4 46.2
医用多元统计分析方法
1 156.5
32.0
2 偏回归系数的估计
29.00 4424.70 1076.70 X X 4424.70 677060.37 165239.80
免疫球蛋白A(IgA,g)与火箭电泳高度(Y,mm)的关系
建湖县1978～1985年疟疾逐月发病数
月 发 病 人 数
月份
2 偏回归系数的估计
直线回归方程：残差(residual)
Y 体重增量(g)
190 180 170 160 150 140 130 120 110
600
医用多元统计分析方法
Yˆ 23.9472 0.2305X
肺活量(L) y
1.75 2.75 2.75 2.75 2.50 3.00 2.75 2.25 2.00 2.75 1.75 2.75 2.00 2.25 1.75
身高与肺活量的关系
3
2.5
y
2
1.5 130
医用多元统计分析方法
140
150
160
170
身高(x1)
身高与肺活量的关系
. reg y x1
2
1.5 30
医用多元统计分析方法
35
40
45
50
体重(x2)
体重与肺活量的关系
. reg y x2
Source |
SS
df
MS
-------------+------------------------------
Model | 1.28270887
1 1.28270887
Residual | 1.45062446 13 .111586497
yi yˆi ei b0 b1x1i b2 x2i L bm xmi ei
实测值
预测值
残差
医用多元统计分析方法
回归模型的应用条件
yi yˆi ei b0 b1x1i b2 x2i L bm xmi ei
ei 称为残差:
➢ 自变量与因变量的关系是线性的(Linear)； ➢ Cov(ei,ej)=0，即独立性(Independence)；
xmi b0 x1i xmi b1 x2i xmi b2 xm2 i bm xmi yi
XXB XY
B ( X X )1 X Y
医用多元统计分析方法
2 偏回归系数的估计
正规方程及矩阵计算法
1.75 2.00
Y
2.75
1.75
1
1
X
1
1
135.1 139.9 163.6
700
800
900
X 进食量(g)
1000
2 偏回归系数的估计
6.5
Yˆ l2
6.0
5.5
Yˆ l1
Yˆ a bX
Y Y
5.0
11
12
13
14
15
16
点到回归直线的纵向距离平方和为最小！
医用多元统计分析方法
2 偏回归系数的估计
最小二乘法(least square, LS) 基本思想
残差平方和(sum of squares for residuals)最小
-------------+------------------------------
Total | 2.73333333 14 .195238095