勾股定理地总统证法及其他证法
勾股定理两种主要证明方法
勾股定理两种主要证明方法勾股定理是一个基本的几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。
“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一个最著名的例子。
当整数a,b,c满足a^2;+b^2;=c^2;这个条件时，(a,b,c)叫做勾股数组。
也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a^2;+b^2;=c^2;。
在中国数学史中同样源远流长，是中算的重中之重。
《周髀算经》中已有“勾三股四弦五”的记述，赵爽的《周髀算经》中将勾股定理表述为“勾股各自乘，并之，为弦实。
开方除之，即弦。
”勾股定理现辨认出约有种证明方法，就是数学定理中证明方法最少的定理之一。
下面我们一起来观赏其中一些证明方法：方法一：赵爽“弦图”三国时期吴国数学家赵爽在为《周髀算是经》并作注释时，编定了一幅“勾股圆方图”，也称作“弦图”，这就是我国对勾股定理最早的证明。
年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的“弦图”，标志着中国古代数学成就。
方法二：刘徽“青朱进出图”约公元年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍《九章算术》作注释时，用“出入相补法”证明了勾股定理。
方法三：欧几里得“公理化证明”希腊数学家欧几里得（euclid，公元前～公元前）在巨著《几何原本》给出一个公理化的证明。
年希腊为了纪念二千五百年前古希腊在勾股定理上的贡献，发售了一张邮票，图案就是由三个棋盘排序而变成。
方法四：毕达哥拉斯“拼图”毕达哥拉斯（公元前—前年），古希腊知名的哲学家、数学家、天文学家.将4个全等的直角三角形拼成边长为(a＋b)的正方形abcd，使中间留下边长c的一个正方形洞．画出正方形abcd．移动三角形至图2所示的位置中，于是留下了边长分别为a与b的`两个正方形洞。
勾股定理之“总统证法”
问1：四边形ACDE、△ACB、 △BDE 、△ABE有 什CB、 △BDE 、 △ABE都是直角三角形.
问2：四边形ACDE与△ACB、 △BDE 、△ABE的 面积之和有什么关系？
郑宗平
2015.3.31 制
整理为：
勾股定理之“总统证法”
勾股定理是几何学的明珠，据说勾股定理的证法已达500余种；关于勾股定 理，数学史上还有一段佳话：美国第20届总统加菲尔德于1876年公开发表了一 个简明证法.他利用两个全等的直角三角形构造了一个图形来得出证明，后来 人们冠以加菲尔德得出的勾股定理的证法一个雅称叫“总统证法”.
同学们，你知道加菲尔德用两个全等三角形构造是如何构造的吗？这个证明该如何写?
勾股定理六种证明方法
勾股定理六种证明方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊勾股定理的六种证明方法呀！先来说说第一种，拼图法。
这就好比是搭积木，把不同的图形拼在一起，嘿，奇迹就出现啦！通过巧妙地组合，就能直观地看出勾股定理的奥秘。
第二种呢，是面积法。
把图形的面积算来算去，就像在玩数字游戏，突然之间，哇哦，勾股定理就被发现啦！你说神奇不神奇？然后是赵爽弦图法。
这个方法就像是一个神奇的魔法阵，通过那些线条和图形的排列组合，一下子就把勾股定理给呈现出来了。
还有总统证法呢！连总统都来研究勾股定理啦，这多有意思呀！想象一下，总统在那苦思冥想，终于找到了证明的方法，是不是很有画面感？再有就是相似三角形法。
就好像在一群相似的小伙伴中找不同，找到那些关键的点，就能解开勾股定理的秘密啦。
最后一种是射影定理法。
这就像是一束光打在墙上，影子的变化中藏着勾股定理的答案呢。
哎呀，这六种证明方法，每一种都有它独特的魅力和乐趣呀！它们就像是打开数学宝藏的不同钥匙，每一把都能让我们看到勾股定理不一样的精彩。
你说数学是不是很神奇呢？它就像一个无边无际的宇宙，等着我们去探索，去发现那些隐藏在其中的奥秘。
通过这些证明方法，我们可以更深刻地理解勾股定理，而不仅仅是记住一个公式。
这就像是了解一个人的内心，而不只是看到他的外表一样。
当我们真正理解了勾股定理，我们就能在数学的世界里更加自由地遨游，解决各种难题，发现更多的惊喜。
所以呀，朋友们，不要害怕数学，不要觉得它很难。
只要我们用心去探索，去尝试，就一定能发现它的乐趣和美妙。
勾股定理的六种证明方法就是一个很好的例子呀，它们让我们看到，数学并不是枯燥无味的，而是充满了智慧和惊喜的呢！让我们一起在数学的海洋里畅游吧！。
勾股定理的6种最常用证明方法
勾股定理的常用证明方法【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即abc ab b a 214214222⨯+=⨯++， 整理得 222c b a =+.【证法2】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. ∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB .∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2a b -.∴ ()22214c a b ab =-+⨯. ∴ 222c b a =+.【证法3】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵RtΔEAD ≌RtΔCBE, ∴∠ADE = ∠BEC.∵∠AED + ∠ADE = 90º,∴∠AED + ∠BEC = 90º.∴∠D EC = 180º―90º= 90º.∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于2 21c.又∵∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于()2 21b a+.∴()222121221cabba+⨯=+. ∴222cba=+.【证法4】（邹元治证明）以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.∵RtΔHAE ≌RtΔEBF,∴∠AHE = ∠BEF.∵∠AEH + ∠AHE = 90º,∴∠AEH + ∠BEF = 90º.∴∠HEF = 180º―90º= 90º.∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2.∵RtΔGDH ≌RtΔHAE,∴∠HGD = ∠EHA.∵∠HGD + ∠GHD = 90º,∴∠EHA + ∠GHD = 90º.又∵∠GHE = 90º,∴∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于()2b a+.∴()22214cabba+⨯=+. ∴222cba=+.【证法5】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结 BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点L .∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ，∵ ΔFAB 的面积等于221a ， ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =2a . 同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积 ∴ 222b a c += ，即 222c b a =+.【证法6】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 ()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++,∴ 222c b a =+.D。
勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法
勾股定理(毕达哥拉斯定理） 勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
勾股定理是余弦定理的一个特例。
勾股定理约有400种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。
“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a ² + b ²= c ²的正整数组（a ，b ,c )。
（3,4,5)就是勾股数。
也就是说,设直角三角形两直角边为a 和b ,斜边为c ，那么a ²+b ²=c ² ,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b,斜边长为c ，那么。
勾股定理的逆定理命题2 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足,那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a), 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状。
∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB。
∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形,它的面积等于c2。
∵ EF = FG =GH =HE = b―a ，∠HEF = 90º。
∴ EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于.∴ ∴。
【证法2】（课本的证明) 做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a 、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等。
即, 整理得 .【证法3】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º，∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º。
勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理）勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
勾股定理是余弦定理的一个特例。
勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a ² + b ²= c ²的正整数组(a ,b ,c )。
(3,4,5)就是勾股数。
也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a ²+b ²=c ² ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。
勾股定理的逆定理命题2 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º. ∴ EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于.∴ ∴.【证法2】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等.即， 整理得 .【证法3】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于∴ .∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
勾股定理的证明方法总统证明法
勾股定理的证明方法总统证明法说到勾股定理，大家肯定不陌生吧？想当年，咱们的祖先可是为了这个定理煞费苦心，折腾了好久。
勾股定理挺简单的，就是说如果你有一个直角三角形，那么它的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
通俗一点儿说，想象你有一个直角三角形，两个短边分别是3和4，斜边就是5。
这个数字组合在小伙伴们之间也是脍炙人口了。
今天呢，我们来聊聊勾股定理的一个证明方法——总统证明法。
别被这个名字吓着了，听起来很严肃，其实超级简单，跟咱们老百姓的生活息息相关。
嗯，你可得准备好，坐稳了，接下来就带你去感受一下这个有点“总统味儿”的神奇证明法。
首先啊，所谓的“总统证明法”就是一种很简单、又让人眼前一亮的证明方式。
它不是那种“拿着公式，照着念”那种死板的方式，而是通过一个有趣的图形和一点巧妙的构造，让你脑袋瞬间清晰。
假如你能看到这个图形，保证你会对勾股定理的证明拍手叫好。
那怎么证明呢？我们先来这么个小设定：想象一个大正方形，里面有四个相同的直角三角形，剩下的地方就空出一个小正方形。
大正方形的边长是直角三角形的斜边长度，也就是说大正方形的每条边长都等于斜边。
是不是有点意思了？这时候，你会发现，四个三角形的面积加上小正方形的面积，刚好等于大正方形的面积。
要知道，大正方形的面积就是斜边的平方，而小正方形的面积就是两条直角边的平方和。
哇，这样一来，勾股定理就有了“实物”的支撑，不再是纸上谈兵了。
看看这个证明过程到底是怎么神奇地展开的。
假设大正方形的边长是c，这时候大正方形的面积就是c²。
里面有四个直角三角形，每个直角三角形的面积是(frac{1{2ab)，其中a和b分别是直角三角形的两条直角边。
于是，四个三角形的面积加上那个小正方形的面积，正好是大正方形的面积。
小正方形的边长就是两条直角边的差，边长是ab，所以小正方形的面积就是(ab)²。
按照面积相等的原则，咱们就得出一个结论：c² = a² + b²，这不就是勾股定理了吗？简简单单，不需要什么复杂的公式，靠的是一个巧妙的构图和一点点几何的思维。
勾股定理几种证明方法
勾股定理几种证明方法勾股定理的证明【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b，所以面积相等.即11a2+b2+4×ab=c2+4×ab22，整理得a2+b2=c2.【证法2】（邹元治证明）以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积1ab2等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.∵RtΔHAE≌RtΔEBF,∴∠AHE=∠BEF.∵∠AEH+∠AHE=90º,∴∠AEH+∠BEF=90º.∴∠HEF=180º―90º=90º.∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2.∵RtΔGDH≌RtΔHAE,∴∠HGD=∠EHA.∵∠HGD+∠GHD=90º,∴∠EHA+∠GHD=90º.又∵∠GHE=90º,∴∠DHA=90º+90º=180º.2∴.∴a+b=c.【证法3】（赵爽证明）以a、b为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角(a+∴ABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于(a+b)2=4×1ab+c22221ab2三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB.∵∠HAD+∠HAD=90º，∴∠EAB+∠HAD=90º，2∴ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c.∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90º. 2(b−a)∴EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.14×ab+(b−a)2=c22∴.222∴a+b=c.【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面1ab2积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵∴∵∴∴∴RtΔEAD≌RtΔCBE,∠ADE=∠BEC.∠AED+∠ADE=90º,∠AED+∠BEC=90º.∠DEC=180º―90º=90º.ΔDEC是一个等腰直角三角形，12c2它的面积等于.又∵∠DAE=90º,∠EBC=90º,∴AD∥BC.1(a+b)2∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2.1(a+b)2=2×1ab+1c222.∴2∴a+b=c.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,∴∠EGF=∠BED，∵∠EGF+∠GEF=90°，222∴∴又∵∴∴∵∴∴即又∵∠BED+∠GEF=90°，∠BEG=180º―90º=90º.AB=BE=EG=GA=c，ABEG是一个边长为c的正方形.∠ABC+∠CBE=90º.RtΔABC≌RtΔEBD,∠ABC=∠EBD.∠EBD+∠CBE=90º.∠CBD=90º.∠BDE=90º，∠BCP=90º，BC=BD=a.∴BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则1a2+b2=S+2×ab,21c2=S+2×ab2,∴a2+b2=c2.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC，交AC于点P.过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.∵∠BCA=90º，QP∥BC，∴∠MPC=90º，∵BM⊥PQ，∴∠BMP=90º，∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90º，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90º，∴∠QBM=∠ABC，又∵∠BMP=90º，∠BCA=90º，BQ=BA=c，∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD.过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L.∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD，∴ΔFAB≌ΔGAD，12a∵ΔFAB的面积等于2ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，2∴矩形ADLM的面积=a.2b同理可证，矩形MLEB的面积=.∵正方形ADEB的面积=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积222222∴c=a+b，即a+b=c.【证法8】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R.过B作BP⊥AF，垂足为P.过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.∵∠BAD=90º，∠PAC=90º，∴∠DAH=∠BAC.又∵∠DHA=90º，∠BCA=90º，AD=AB=c，∴RtΔDHA≌RtΔBCA.∴DH=BC=a，AH=AC=b.由作法可知，PBCA是一个矩形，所以RtΔAPB≌RtΔBCA.即PB=CA=b，AP=a，从而PH=b―a.∵RtΔDGT≌RtΔBCA,RtΔDHA≌RtΔBCA.∴RtΔDGT≌RtΔDHA.∴DH=DG=a，∠GDT=∠HDA.又∵∠DGT=90º，∠DHF=90º，∠GDH=∠GDT+∠TDH=∠HDA+∠TDH=90º，∴DGFH是一个边长为a的正方形.∴GF=FH=a.TF⊥AF，TF=GT―GF=b―a.∴TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP=b，高FP=a+（b―a）.用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为c2=S1+S2+S3+S4+S5①∵S8+S3+S4=1[b+(b−a)]•[a+(b−a)]b2−1ab22，=S5=S8+S9，1S3+S4=b2−ab−S8b2−S−S18.2∴=②把②代入①，得c2=S1+S2+b2−S1−S8+S8+S92b+S2+S9=b2+a2.=222∴a+b=c.【证法9】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c.做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.∵∠TBE=∠ABH=90º，∴∠TBH=∠ABE.又∵∠BTH=∠BEA=90º，BT=BE=b，∴RtΔHBT≌RtΔABE.∴HT=AE=a.∴GH=GT―HT=b―a.又∵∠GHF+∠BHT=90º，∠DBC+∠BHT=∠TBH+∴∠GHF=∠DBC.∵DB=EB―ED=b―a，∠HGF=∠BDC=90º，∴RtΔHGF≌RtΔBDC.即S7=S2.过Q作QM⊥AG，垂足是M.由∠BAQ=∠BEA=90º，可知∠ABE=∠QAM，而AB=AQ=c，所以RtΔABE≌RtΔQAM.又RtΔHBT≌RtΔABE.所以RtΔHBT≌RtΔQAM.即S8=S5.由RtΔABE≌RtΔQAM，又得QM=AE=a，∠AQM=∠BAE.∵∠AQM+∠FQM=90º，∠BAE+∠CAR=90º，∠AQM=∠BAE，∴∠FQM=∠CAR.又∵∠QMF=∠ARC=90º，QM=AR=a，∴RtΔQMF≌RtΔARC.即S4=S6.222c=S+S+S+S+Sa=S+Sb1234516∵，，=S3+S7+S8，又∵S7=S2，S8=S5，S4=S6，22a+b=S1+S6+S3+S7+S8∴=S1+S4+S3+S2+S5=c，222即a+b=c.【证法10】（利用反证法证明）如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.222222假设a+b≠c，即假设AC+BC≠AB，则由AB2=AB•AB=AB(AD+BD)=AB•AD+AB•BD22可知AC≠AB•AD，或者BC≠AB•BD.即AD：AC≠AC：AB，或者BD：BC≠BC：AB.在ΔADC和ΔACB中，∵∠A=∠A，∴若AD：AC≠A C：AB，则∠ADC≠∠ACB.在ΔCDB和ΔACB中，∵∠B=∠B，∴若BD：BC≠BC：AB，则∠CDB≠∠ACB.又∵∠ACB=90º，∴∠ADC≠90º，∠CDB≠90º.222AC+BC≠AB这与作法CD⊥AB矛盾.所以，的假设不能成立.222∴a+b=c.【证法15】（辛卜松证明）DD2设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为(a+b)2=a2+b2+2ab；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为∴∴(a+b)21=4×ab+c222=2ab+c.a2+b2+2ab=2ab+c2,【证法11】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c.做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.在EH=b上截取ED=a，连结则AD=c.∵EM=EH+HM=b+a,ED=∴DM=EM―ED=(b+a)―a=b.又∵∠CMD=90º，CM=a，∠AED=90º，AE=b，∴RtΔAED≌RtΔDMC.∴∠EAD=∠MDC，DC=AD=c.∵∠ADE+∠ADC+∠MDC=180º，∠ADE+∠MDC=∠ADE+∠EAD=90º，∴∠ADC=90º.∴作AB∥DC，CB∥DA，则ABCD是一个边长为c的正方形.∵∠BAF+∠FAD=∠DAE+∠FAD=90º，∴∠BAF=∠DAE.连结FB，在ΔABF和ΔADE中，∵AB=AD=c，AE=AF=b，∠BAF=∠DAE，∴ΔABF≌ΔADE.∴∠AFB=∠AED=90º，BF=DE=a.∴点B、F、G、H在一条直线上.在RtΔABF和RtΔBCG 中，∵AB=BC=c，BF=CG=a，∴RtΔABF≌RtΔBCG.2c=S2+S3+S4+S5，∵S1=S5=S4=S6+S7，b2=S1+S2+S6，a2=S3+S7，22a+b=S3+S7+S1+S2+S6∴=S2+S3+S1+(S6+S7)∴=S2+S3+S4+S52=c。
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实用文档 文案大全 总统巧证勾股定理 学过几何的人都知道勾股定理。它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛。迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种。其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话。
总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的。事情的经过是这样的；
在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。
于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
他是这样分析的，如图所示：
1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。 实用文档 文案大全 勾股定理的证明 罗洪信 （2002年4月25日参加桂林市创新教育课堂教学大比武用） 【证法1】（课本的证明）
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即
abcabba214214222， 整理得 222cba.
【证法2】（邹元治证明） 以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角
形的面积等于ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF. ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º. ∴ 四边形EFGH是一个边长为c的 正方形. 它的面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º, ∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.
∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于2ba.
∴ 22214cabba. ∴ 222cba.
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文案大全 aba
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【证法3】（赵爽证明） 以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角
三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90º.
∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于2ab.
∴ 22214cabab. ∴ 222cba. 【证法4】（1876年美国总统Garfield证明） 以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角
形的面积等于ab21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，
它的面积等于221c. 又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD∥BC.
∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于221ba. ∴ 222121221cabba. ∴ 222cba.
【证法5】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.
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∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º. ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º. 又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º， BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则
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∴ 222cba.
【证法6】（项明达证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90º，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90º， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90º， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90º. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC， 又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF. 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.
【证法7】（欧几里得证明） 实用文档 文案大全 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、CD. 过C作CL⊥DE， 交AB于点M，交DE于点 L. ∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，
∵ ΔFAB的面积等于221a， ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，
∴ 矩形ADLM的面积 =2a. 同理可证，矩形MLEB的面积 =2b. ∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
∴ 222bac ，即 222cba.
【证法8】（利用相似三角形性质证明） 如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D. 在ΔADC和ΔACB中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º， ∠CAD = ∠BAC， ∴ ΔADC ∽ ΔACB. AD∶AC = AC ∶AB，
即 ABADAC2. 同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 ABBDBC2. ∴ 222ABABDBADBCAC，即 222cba.
【证法9】（杨作玫证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H. ∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º， ∴ ∠DAH = ∠BAC. 又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º， AD = AB = c， ∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ DH = BC = a，AH = AC = b. 由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB =
ABDCacb
987654321PQRTH
G
F
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a
bc
a
bcc
c
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AB
C
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